Lista Matrizes

(1)

Matrizes Exercícios:

1) Construir a matriz A = (a_ij)₂_×₃ sabendo que a_i_j = j – i.

2) Escreva explicitamente a matriz: A = (a_ij)₃_×₁ , onde

   > ≤ = j i se 0 j i se 1 a_ij . 3) Dada a matriz             − − = 4 3 7 3 0 9 5 2 10 0 4 1 5 1 0 1

A quais são os elementos

a

₃₂_,

a

₂₃

,

a

₁₄

,

a

₂₂?

4) Determine a lei de formação de cada matriz a seguir:

a)

_











=

1

0

1 A

b)           = 6 0 0 0 4 0 0 0 2 B c)           = 6 5 4 5 4 3 4 3 2 C 5) Dada a matriz           − − 6 0 5 1 4 3 2 5 1 8 0 2 calcule: a) a₁₁ +a₂₃ +a₃₄ b) a₂₁.a₁₄ c) a₃₄ −a₂₂

6) Quantos são os elementos de uma matriz quadrada de ordem 5 ? 7) Dadas as matrizes: _      =           − =       = 2 4 -3 5 C e 2 4 8 3 1 5 0 4 2 -B , d c b a A . Pede-se:

a) os elementos da diagonal principal de A.

b) a soma dos elementos da diagonal secundária de B.

c) a diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária de C.

8) Determine x e y sabendo que 9

3 1 x y x y +     =     − −    .

(2)

9) Escreva a matriz transposta das matrizes:           =       =             − = y x 1 C 5 1 2 1 2 5 B 0 2 1 3 2 5 A .

10) Determine as matrizes opostas das matrizes acima.

11) Calcule o produto da diagonal principal da matriz:

          −4 3 0 4 3 1 0 0 2

12)Calcule a, b ,c e d, de modo que se tenha: 5 3

3 1 6 a c b −     +  = 1 15 5 b b d −     + +  . 13) Sendo A= 2 3 x y m n x y m n + −     − +   e B=      −1 10 6 8

, ache os valores de x, y, m e n para que se tenha A=B.

14) Seja matriz A=

( )

a_ij _3×₂, tal que aij = i2 –2j2 ,for igual a matriz B=

7 2 2 x y z y y z y x + −     −    ₋ _{− −}   

, qual será o valor de

x + y + z ? 15) Sendo A= _      −1 12 5 2 e B= 2 5 1 x y x y y − +     − −

 , calcule x e y de modo que A = B

t_. 16) Calcule:                 − 2 5 4 2 5 0 4 2 +                 −1 5 3 2 7 6 4 5 -             − 9 5 5 24 4 0 6 . 17) Resolva: 2 3 x y x y +     −   -      =       − 0 9 2 2 . 18) Dadas as matrizes A= 4 9 , 15 18 e 5 15 6 3 B 6 9 C 10 20       = =       − − −      , calcule: 2(2B C 3A) 1 − −

19) É possível calcular o produto A .B, sendo A uma matriz 5×2 e B uma matriz 3×4 ? Por quê ?

20) Calcule se possível _      − − 3 0 1 2 2 3 .           − 1 0 2 1 4 3 : 21) Dada a matriz A= 1 1 11 4 − calcule a matriz A 2 _{, onde A}2_=AA.

(3)

22) Determine a matriz X, tal que           − 1 0 5 0 2 3 0 1 1 . X=           8 0 5 23) Dadas as matrizes A= _      − − 2 2 2 5 e B= _      − − 6 3 1 1 , verifique que: a) AB≠BA . b) (A .B) t = B t . A t

24) Calcule, se existir, a inversa das matrizes:

a) M= 4 0 1 3 b) N=           − − 0 0 2 0 3 1 2 1 3

25) Para a fabricação de caminhões uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, cuja especificação se encontra na tabela abaixo.

TABELA 1

Modelo A B C

Eixos 2 3 4

Rodas 4 6 8

Para os dois primeiros meses do ano, a produção da indústria deverá seguir a tabela 2 abaixo. TABELA 2

janeiro fevereiro

Modelo A 30 20

Modelo B 25 18

Modelo C 20 15

Nessas condições, quantos eixos e quantas rodas serão necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção desejada?

26) Uma empresa agropecuária fez um estudo e verificou que necessitava comprar fertilizante. As quantidades que necessitava eram: Para a fazenda A: 6 toneladas de nitrogênio, 0.3 toneladas de fósforo e 0.6 toneladas de potássio; para a fazenda B: 5 toneladas de nitrogênio, 0.2 toneladas de fósforo, 0.4 toneladas de potássio; para a fazenda C: 9 toneladas de nitrogênio, 0.1 toneladas de fósforo e 0.9 toneladas de potássio.

Foi realizado um estudo de preços em três revendedores, os valores foram anotados segundo a tabela abaixo. (R$ por tonelada)

Revendedor 1 2 3

Nitrogênio 1000 1050 9500

Fósforo 1300 1500 1400

(4)

a) Quanto cada fazenda irá gastar na compra de fertilizantes de cada revendedor?

b) Supondo que escolhendo um revendedor, cada fazenda terá que realizar toda sua aquisição nesta. Qual o revendedor que terá o menor custo para a empresa?

c) Quanto irá gastar a fazenda B na aquisição de seus produtos no revendedor 3? d) Quanto a empresa agropecuária irá gastar se realizar sua compra no revendedor 2?

27). (UFSM-74) Dadas as afirmações:

1) Uma matriz A, tal que At _{= -A, denomina-se matriz simétrica.}

2) Toda matriz diagonal é uma matriz identidade.

3) As matrizes _      6 5 2 3 2 1 e           6 5 5 2 4 1

são matrizes inversas.

Podemos afirmar que:

a) somente a 1ª é falsa. b) 1ª e a 2ª são falsas c) 1ª e a terceira são falsas d) todas são falsas e) todas são verdadeiras

28) Considere as afirmações:

a) Existem matrizes A e B, tais que A.B≠B.A.

b) Na multiplicação de matrizes podemos Ter AB=0, mesmo com A≠0 e B≠0. c) Se uma matriz A é inversível, sua inversa é única.

d) Na multiplicação de matrizes temos A.(B.C)=(A.B).C, se existirem os produtos envolvidos. A opção correta é: a) V-V-F-F b) V-V-V-F c) V-V-V-V d) V-V-F-V e) F-F-F-F 29). Considere as afirmações: a) Se a matriz

_{( )}

2 2 ij A a ×

= é tal que a_ij =a_ji, então At=A. b) Qualquer que seja a matriz A, (At)t=A.

c) Sejam

_{( )}

_ij m n A a × = e

( )

_ij n p B b × = , então

₍

.

₎

t t. t A B =A B . A alternativa correta é: a) V-V-V b) V-F-V c) F-V-V d) F-F-V e) V-V-F 30). Considere as afirmativas referentes as matrizes 1

0 2 x A=     e 0 2 1 B x   =    , onde x ∈ » . 1) Se x =0, o produto A.B é inversível.

2) Se x =0, então A2 =2A.

(5)

4) Se x=2 então t B=B .

a)V-F-F-V b) V-V-F-V c) V-V-V-F d) F-F-V-F e) F-V-F-V

31) Calcule o determinante de cada matriz: 3 1 -sen cos 3 5 2 4 2 ) A b) c) 2 cos sen ₂ ₃ ₅ 8 3 x x a x x     _ _  ₊  =   _ _ _ _ − ₋     _ _     32) Sendo _      = 5 6 3 4 A , calcule: t -1 ) detA b) det(A ) a 33) Resolva: 4 2 1 3 3 5 3 2 1 − − = + + − x x x .

34) Calcule o determinante das matrizes :

10 0 3 5 2 2 -3 3 4 b) 2 3 2 1 2 5 1 3 6 )           −           − − a 35) Calcule 11 1 0 1 3 2 2 4 1 3 2 = − − + x x .

36) Determine os valores inteiros de x que verificam a desigualdade:

0 2 0 1 1 5 2 2 1 ≤ − − x x .

37) Calcule o valor de x e y, sabendo que:

1 1 2 2 0 4 0 e 4 0 3 21 1 2 1 3 2 x y x y = = − .

(6)

38) Considere as afirmações:

a) Na multiplicação de matrizes podemos ter AB=0, mesmo com A≠0 e B≠0.

b) Na multiplicação de matrizes temos (A.B).C= A.(B.C), se existirem os produtos envolvidos. c) Se uma matriz A é inversível, sua inversa não é única.

d) Existem matrizes A e B, tais que A.B=B.A A opção correta é: a) V-V-F-F b)V-V-V-F c)V-V-V-V d)V-V-F-V e)F-F-F-F Respostas: 1) 0 1 2 1 0 1     −   2) 1 0 0           3) a₃₂ = −5, a₂₃=0, a₁₄ =5, a₂₂ =4 4) a)

_{( )}

2 2 1 se 0 se ij i j a i j × =  = ≠  b)

( )

3 3 i+j se 0 se ij i j b i j × =  = ≠  c)

( )

cij 3 3× = +i j 5) a) 11 b) -5 c) 8 6) 25 7) a) a,d b) 7 c) 22 8) x=2 y=7 9) t t t

(

)

1 ₅ ₂ 5 2 A B 2 1 C 1 2 0 1 5 3 x y   _ _ −   _ _ =  =_ _ =       _ _   10) –A, -B, -C 11) -24 12) a=6 b=2 c= −5 d =4 13) x=5 y=3 m=4 n= −2 14) 0 15) x=7 y=5 16) 1 0 10 2 4 1 9            

(7)

17) x=6 y=5 18) 13 3 2 47 20 2   −     −      

19) Não. Porque o número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda. 20) 11 10 3 1       21) 5 55 5 10     −   22) 2 3 2       −    24) a) 1 1 3 12 1 0 4   −           b) 1 0 0 2 1 1 0 3 6 1 1 2 2 6 3              ₋      25) 215 154 430 308       26) a) 7290 7830 7320 5860 6270 5830 10480 11220 10430           b)

[

23630 25320 23640 c) 5830,00 d)

]

7830 6270 11220           27) d 28) c 29) e 30) e 31) a) -19/3 b) 1 c) 0 32) a) 2 b) ½ 33) x = ±2 7 34) a) -5 b) 203 35) 20 17 x = 36) S = − − −

{

3, 2, 1, 0,1, 2,3

}

37) x=2 y= −2 38) a