Colégio Santa Dorotéia

Colégio Santa Dorotéia 1111 Caro(a) aluno(a),

O momento de revisão deve ser visto como oportunidade de reconstruir conhecimentos necessários à continuação do processo de aprendizagem.

Naturalmente, a realização dessas atividades exigirá de você um envolvimento maior e mais comprometimento com o ato de aprender. Muitas vezes, a retomada de alguma informação que não esteja bem apreendida poderá ajudá-lo(a) a seguir com maior facilidade.

Estratégias de Estudo

• _{Você deve estudar cada conteúdo proposto no roteiro e fazer os exercícios em anexo.}

• _{Refaça os exercícios que foram propostos ao longo da etapa, listas de exercícios e atividades do} seu caderno à mão para consultá-los sempre que for necessário.

• _{Refaça as questões propostas nos módulos.}

• _{Escolha um lugar sossegado em sua casa para que nada interrompa os seus estudos.} • _{Leve a sério esse horário de estudo para que este aprendizado seja bem aproveitado.} • _{Identifique os exercícios em que teve maior dificuldade para uma revisão posterior.} • _{Reveja o seu caderno de anotações, atividades etc.}

Se você estiver mesmo empenhado em aprender, não encontrará barreiras. Depois, conte conosco. Anote suas dúvidas e traga-as para uma análise em classe.

NÃO TENHA RECEIO DE PERGUNTAR!

Se você encarar esta tarefa como um desafio, com certeza, será vitorioso.

SUCESSO! Elias Bittar PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO PARARECUPERAÇÃO DA 2ª ETAPA DE 2017:

• _{Uma avaliação individual com 7 questões discursivas, no valor de 35 pontos.}

CONTEÚDO DA AVALIAÇÃO:

• _{Sólidos geométricos:} • _Cones;

• _{Esferas e}

• _{Troncos de cone e pirâmide.} • _{Análise Combinatória:}

• _{Princípio Fundamental da Contagem;} • _{Arranjos e Combinações simples;}

• _{Permutações simples e com elementos repetidos.} • _{Probabilidades.}

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Área de Matemática Disciplina: Matemática Ano: 2º – Ensino Médio Professor: Elias Bittar

Aluno(a): _______________________________________________ Nº: _____ Turma: _____

Atividades para Estudos Autônomos

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QUESTÃO 1

Um cone reto está inscrito num cubo de aresta 8cm. Se a altura do cone e o diâmetro de sua base têm medidas iguais, qual é a diferença entre as medidas dos seus volumes?

(Considere π = 3.)

(384cm3₎

QUESTÃO 2

Um cone de revolução tem altura de 8cm e está circunscrito a uma esfera de raio igual a 2cm. CALCULE a razão entre o volume da esfera e o volume do cone.

(½)

QUESTÃO 3

Um cone circular reto tem altura igual a 4cm e base circunscrita a um hexágono regular de lado medindo 2cm. CALCULE, em cm2_{, a sua área lateral.}

(4π√5)

QUESTÃO 4

Corta-se de uma circunferência de raio 4cm um setor circular de ângulo rad

2 π

(ver desenho ilustrativo), onde o ponto C é o centro da circunferência. Um cone circular reto é construído a partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB.

O volume desse cone, em cm3_{, é igual a:}

a) 3 3 π b) 3 5 π c) 15 3 π d) 15 5 π e) 5 5 π (c)

QUESTÃO 5

Um recipiente cônico utilizado em experiências de química deve ter duas marcas horizontais circulares, uma situada a 1 centímetro do vértice do cone, marcando um certo volume V e outra marcando o dobro deste volume, situada a H centímetros do vértice, conforme figura.

Nestas condições, a distância H, em centímetros, é igual a: a) 32

b) 3 c) 4 3 d) 3 2

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QUESTÃO 6

Um cone circular reto de geratriz medindo 12cm e raio da base medindo 4cm foi seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um tronco de cone, como mostra a figura 1. A figura 2 mostra a planificação da superfície lateral S desse tronco de cone, obtido após a secção.

a) CALCULE a área e o perímetro da superfície S.

[36πcm2 _{,12(π + 1)cm]}

b) CALCULE o volume do tronco de cone indicado na figura 1.

[(112π√2)/3]

QUESTÃO 7

CALCULE o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos X, da região do plano limitada pelo triângulo com vértices nos pontos (6, 0), (8, 0) e (8, 9).

(54π u.v.)

QUESTÃO 8

Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6cm. Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revolução, cujo volume é 128πcm3_{. Nessas condições, determine,}

em cm2_{, a área total da superfície do sólido obtido na revolução.}

(144π)

QUESTÃO 9

Uma bola maciça, totalmente vedada, em formato de uma esfera perfeita, de diâmetro igual a 6cm foi lançada em uma panela cilíndrica cujo raio da base mede 5cm e altura 10cm. Sabendo que inicialmente a panela estava com água até a altura de 5cm e que a bola ficou completamente submersa pela água, quantos centímetros o nível da água se elevará?

(Dado: Considere π = 3)

(36/25)

QUESTÃO 10

Um jarro com capacidade para 2 litros está completamente cheio de água. DETERMINE a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro.

(10)

QUESTÃO 11

Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As

novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos.

Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as

26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda

que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas ao lado:

No novo sistema descrito, CALCULE o total de placas possíveis com o formato “Letra-Letra-Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra”, nessa ordem. Em seguida, CALCULE o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial.

Colégio Santa Dorotéia 4 4 4 4

QUESTÃO 12

Uma associação de moradores arrecadou 2 160 camisas, 1 800 calças e 1 200 pares de sapatos, que serão todos doados. As doações serão dispostas em pacotes. Dentro de cada pacote, um item poderá ter quantidade diferente da dos demais itens (por exemplo, a quantidade de camisas não precisará ser igual à de calças ou à de pares de sapatos); porém, a quantidade de camisas, em todos os pacotes,

deverá ser a mesma, assim como a quantidade de calças e a de pares de sapatos. a) DETERMINE o maior número possível de pacotes que podem ser preparados e qual a quantidade

de camisas, de calças e de pares de sapatos que, nesse caso, haverá em cada pacote. JUSTIFIQUE.

(18 camisas, 15 calças e 10 pares de sapatos)

b) Pedro recebeu um pacote de doações com l camisas diferentes, m calças diferentes e n pares de

sapatos diferentes. CALCULE a quantidade de escolhas, que ele pode fazer, de um conjunto contendo apenas 1 camisa, 1 calça e 1 par de sapatos do pacote.

(l . m . n)

QUESTÃO 13

Preparando-se para a sua festa de aniversário de sessenta anos, uma senhora quer usar três anéis de cores diferentes nos dedos das mãos, um anel em cada dedo. De quantos modos diferentes pode colocá-los, se não vai pôr nenhum anel nos polegares?

(336)

QUESTÃO 14

Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: 237, 366, 593...)

a) Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que o dígito 3 deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez?

(243) b) Qual é a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito

3 aparece obrigatoriamente?

(21,6%)

QUESTÃO 15

Um engenheiro construiu três casas de mesmo modelo e tamanho, uma junto da outra. Para pintura dessas casas, contratou um profissional que poderia escolher, a seu critério, tintas de cinco cores distintas.

DETERMINE de quantas formas o pintor poderia escolher as tintas, de modo que as casas fossem pintadas de cores diferentes.

(10)

QUESTÃO 16

Uma caixa contém doze presentes diferentes. Quatro crianças, uma de cada vez, deverão escolher aleatoriamente três presentes da caixa de uma só vez.

Nessas condições, ENCONTRE a quantidade possível de maneiras diferentes que esses presentes poderão ser distribuídos para essas quatro crianças.

(369 600)

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QUESTÃO 17

Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela e verde. OBSERVE a figura:

CONSIDERE as seguintes informações:

• _{cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;}

• _{qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas} verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas;

• _{duas mensagens são diferentes quando, pelo menos, uma das posições dessas cores acesas é} diferente.

CALCULE o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.

(1 680)

QUESTÃO 18

No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal.

a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos?

(11 520) b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10?

(60%)

QUESTÃO 19

ASSINALE a(s) proposição(ões) correta(s).

( 01 ) Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros.

( 02 ) Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante.

( 04 ) A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos.

( 08 ) Um dado (cubo de seis faces congruentes) perfeito, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes sucessivamente. A probabilidade de que o produto dos pontos obtidos seja maior que 12 é de 13

36 .

( 16 ) O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180. (08 + 16 = 24)

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QUESTÃO 20

Um jogo é formado por 20 pontos, conforme a figura acima. CALCULE:

a) o número total de possibilidade para "caminhar" de A a C, sabendo-se que só pode haver movimento na horizontal (da esquerda para a direita) ou na vertical (de cima para baixo), um espaço entre dois pontos de cada vez;

(35) b) a probabilidade de "caminhar" de A a C, passando por B, seguindo as regras do item a.

(18/35)

QUESTÃO 21

CALCULE o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem.

(24)

QUESTÃO 22

Uma empresa está desenvolvendo um painel retangular para um jogo de dardos, que consiste de um retângulo de base 1m e altura 0,5m e um triângulo isósceles de base 1m, conforme ilustrado na figura ao lado:

CONSIDERE as seguintes regiões:

• _{Região 1: é a região interior delimitada pelo triângulo ABE.} • _{Região 2: é a região interior delimitada pelo triângulo BCE.} • _{Região 3: é a região interior delimitada pelo triângulo CDE.}

Um jogador que acerta a região 1 ganha 20 pontos; a região 2, 10 pontos e a região 3, 20 pontos. Sabendo que Pelé é um jogador profissional de dardos e que sempre acerta o painel retangular, DETERMINE:

a) a probabilidade de, ao lançar dois dardos, Pelé acertar os dois na região 2, justificando sua resposta;

(1/4) b) a probabilidade de Pelé ganhar 40 pontos, lançando no máximo três dardos, justificando sua

resposta;

(5/8) c) a probabilidade de Pelé acertar três regiões diferentes, lançando três dardos (um após o outro),

justificando sua resposta.

(3/16)

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QUESTÃO 23

Em uma urna, foram colocadas trinta bolas, numeradas de 1a 30. Uma dessas bolas foi sorteada aleatoriamente. Em relação a essa experiência, considerem-se os dois eventos abaixo.

• _{Evento A: {a bola sorteada tem número menor ou igual a 20}.} • _{Evento B: {a bola sorteada tem número maior do que k}.}

Sabendo que k 20,< _{k ∈ IN e P(a b)} 1_,

6

∩ = _{DETERMINE o valor de K.}

(k = 15)

QUESTÃO 24

O torneio de futebol masculino nos Jogos Olímpicos de Verão 2016 contará com 16 times. Na Fase 1, serão formados quatro grupos com quatro times cada um. Cada time enfrentará, uma única vez, os demais times de seu próprio grupo. Suponha que os 16 times sejam sorteados aleatoriamente entre os grupos (qualquer combinação de times por grupo pode ocorrer, com igual probabilidade). Suponha, também, que os times do Brasil e da Alemanha participem do torneio.

a) Qual será o número total de jogos na Fase 1 desse torneio?

(24) b) Nas condições estabelecidas no enunciado desta questão, qual é a probabilidade de que Brasil e

Alemanha se enfrentem na Fase 1 do torneio?

(1/5) c) João é fã de futebol e conseguiu ingressos para dois jogos da Fase 1 do referido torneio. Considere que a chance de João obter ingresso para qualquer dos jogos da Fase 1 seja a mesma. Nessas condições, qual é a probabilidade de que João assista a pelo menos um jogo da seleção do Brasil?

(11/46)

QUESTÃO 25

O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas.

a) MOSTRE que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das mulheres. (mostrar com cálculos) b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, DETERMINE a probabilidade de que a

soma de suas idades seja igual a 49 anos.

(1/32)

Colégio Santa Dorotéia 8 8 8 8

QUESTÃO 26

Temos um baralho com 10 cartas, numeradas de 1a 10. Depois de embaralhar, viramos três cartas lado a lado sobre a mesa e somamos os três números que aparecem.

a) Qual a probabilidade de a soma total ser 6?

(1/120) b) Qual a probabilidade de a soma total ser 9?

(1/40)

QUESTÃO 27

Em uma cidade do Leste Europeu, 71 cidadãos são indicados, anualmente, para concorrerem aos títulos de Cidadão Honorário e Cidadão Ilustre da Terra. Cada indicado pode receber apenas um dos

títulos. Neste ano, a família Generoza conta com 7 pessoas indicadas ao recebimento dos títulos. A partir dessas informações, DETERMINE a probabilidade de os 2 cidadãos eleitos pertencerem à

família Generoza. JUSTIFIQUE sua resposta apresentando os cálculos realizados.

(3/355)

QUESTÃO 28

Para um campeonato de voleibol, um técnico convocou 12 jogadores, sendo um líbero e dois levantadores. Para o início de uma partida, devem ser escolhidos 6 jogadores que ficarão em seis posições distintas, sendo 3 na parte superior da quadra e 3 na parte inferior.

a) DETERMINE o número de maneiras distintas do time ser escalado para o início de uma partida, sendo que quaisquer jogadores podem começar a jogar, independentemente de serem levantadores ou líbero.

(665 280) b) Sabendo que esse técnico sempre começa o jogo com exatamente um levantador e que o líbero

sempre joga em uma das três posições da parte inferior da quadra, DETERMINE o número de maneiras diferentes de iniciar uma partida.

(90 720) c) Supondo que o técnico não compareceu no dia da partida e que o auxiliar recém-contratado escalou o time aleatoriamente, CALCULE a probabilidade dessa escalação estar de acordo com as condições do item b).

(3/22)

QUESTÃO 29

Em um jogo de dados entre dois amigos, um deles lança um dado com seis faces, numeradas de 1 a 6, e o outro lança um dado com doze faces, com formato de um dodecaedro regular, numeradas de 1 a 12. Neste jogo, o número considerado no lançamento é aquele que estiver com a face voltada para cima. Em cada um dos dados, os números ocorrem com igual probabilidade. Para vencer o jogo, o jogador que lançar o dado com doze faces precisa obter no seu lançamento um número que seja múltiplo daquele que foi obtido no lançamento do dado com seis faces.

Diante do exposto, DETERMINE a probabilidade do jogador que lançar o dado com doze faces vencer o jogo, cada vez que os dois jogadores lançarem os seus dados simultaneamente.

(29/72)

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QUESTÃO 30

Considere a distribuição de genótipos AA, aa, Aa em uma população de 500 animais jovens, todos com x anos de idade. Sorteando ao acaso um indivíduo dessa população, a probabilidade de que ele seja de genótipo AA é de 32%, e de que seja de genótipo Aa é de 46%.

Quando os membros dessa população envelhecem, ao atingirem y anos de idade (y>x), o gene a provoca a morte instantânea e, como A é dominante sobre a, os indivíduos AA e Aa permanecem sadios, enquanto que os indivíduos aa morrem.

a) Quantos indivíduos de genótipo aa teríamos que acrescentar à população dos 500 animais de x anos de idade para que o sorteio de um indivíduo nesse novo grupo pudesse ser feito com probabilidade de 50% de que o indivíduo sorteado tivesse o gene A em seu genótipo?

(280) b) Sorteando-se ao acaso um indivíduo da população original dos 500 animais quando a idade de seus membros é de y anos, logo após a morte dos indivíduos de genótipo aa, qual é a probabilidade de que o indivíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo?

(23/39)

QUESTÃO 31

De forma consecutiva extraímos de uma urna três bolas numeradas de 1 a 9, repondo a bola retirada após cada extração, formando um número de três algarismos. O primeiro algarismo sorteado é o algarismo das centenas; o segundo, o das dezenas; e o terceiro, o das unidades.

CALCULE a probabilidade de que saia um número a) com três algarismos repetidos;

(1/81) b) sem nenhum algarismo repetido;

(56/81) c) com exatamente dois algarismos exatamente iguais.

(8/27)

QUESTÃO 32

Em uma caixa com 10 lapiseiras, 4 delas estão com defeito. Se um cliente compra 2 lapiseiras escolhidas aleatoriamente, é certo afirmar que a probabilidade de que nenhuma lapiseira esteja com defeito é maior que 30%? JUSTIFIQUE sua resposta com cálculos.

(mostrar com cálculos)

QUESTÃO 33

Seis bolas brancas e seis bolas pretas estão distribuídas em três caixas e nenhuma caixa contém bolas de uma só cor. A primeira caixa contém 3 bolas, a segunda 4 bolas e a terceira 5 bolas. Sabe-se que a segunda caixa é a única em que o número de bolas pretas é maior do que o número de bolas brancas. Retirando uma bola de cada caixa, DETERMINE a probabilidade de que sejam da mesma cor.