Dinâmica Estocástica
Quarta aula
Ifusp, agosto de 2016
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
1
Bibliografia básica
. van Kanpen, Stochastic processes in physics and chemistry, North-Holland, 1990, Capítulo 4
. Tomé e de Oliveira, Dinâmica estocástica e irreversibilidade, Edusp, 2014, Capítulo 2
2
Caminho aleatório em uma dimensão
“An ancient but still instructive example is the discrete-time random walk.”
(van Kanpem)
“The Random Walk in one Dimension: this is a very famous problem, which
is now considered classical.” (Gardiner)
3
Caminho aleatório em uma dimensão
x
0
1
2
1
| | |2
|Uma pessoa caminha sobre uma linha (ou uma partículase movimenta sobre uma reta)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
um passopara a direita
com probabilidade p
A cada instante de tempo ela dá:
Se p=q=1/2: então a probabilidade de dar um passo para a esquerda
é
igual à probabilidade de dar um passo para a direita.
p+q=1
|
ou
um passopara a esquerda
4
Caminho aleatório em uma dimensão
Depois de
n
passos
qual será a
probabilidade
de ela estar na
posição
?
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
5 Variável aleatória
j tal que:1
j
se o passose o passo é para a
j
direitaj
1
j
é para a esquerdaCaminho aleatório em uma dimensão
6 Variável aleatória
j tal que: j 1Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Exemplo: (2 passos)
n
2
Se, por exemplo, forem dados dois passos: o primeiro para a direita
e o segundopara a esquerda:
1
1
1
2
0
2 1
Posição depois desses dois passos:
0 1
7
Depois de passos a posiçãodela será:
1
j
se o passo se o passo é para a direitaj
j
)
....
(
1
2
n
1
j
é para a esquerdan
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Variável aleatória
j tal que:8
Depois de passos a posiçãodela será:
)
....
(
1
2
n
n
jn
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Todos os passos são independentes
então a variável é tal que:
é uma soma de variáveis aleatórias independentes
9
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Exemplo (2 passos)
n
2
Todas as possibilidades1
1
2
1
1
j
j
2
2
2 1
1
1
2
1
1
2
0
1
1
2
1
1
2
0
1
1
2
1
1
2
2
Posição depois de n=2 passos 1º passo 2º passo
10
(
1
2....
n)
(
j
1
)
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
1 1 1 1 1 1)
(
p
O que leva à expressão:
1
(
1
)
p
(
1
1
)
(
1
)
p
(
1
1
)
1
2....
n ou Mas,Valor médio da posiçãodepois de n passos
(2)
(3)
(4)
2
/
1
)
1
(
)
1
(
j
p
j
p
Vamos considerar, (caso em que há igual probabilidadepara a direita
e para a esquerda) Portanto,
0
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1 1 1
p
p
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé Din Estoc
-2016 11
(5)
(6)
(7)
valor médio da variável
10
1
0
...
2
1
nComo todas as variáveis são idênticas (têm a mesma distribuição de probabilidades) temos:
Portanto,
1
2
....
n
0
Caminho aleatório em uma dimensão
0
Tânia Tomé Din Estoc
-2016 12 (8) (9) (7)
0
1
n
j
j,
1
,
2
,
...,
13
n j 1 j 2 2
2Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
2(
1
2
3...
n)(
1
2
3...
n)
Pois (demonstração),
2 jn
2
21
22
33...
2n
1
2...
1
n...
...
...
...
2 1 2 1 3 2 2 2 1 2 2
n
n (10) (11) (12)14
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
...
...
...
2 1 2 1 3 2 2 2 1 2 2
n
n Mas,
2 1 2 1
Pois, são variáveis aleatórias independentes.
1,
2 Ou seja,j
i
j
i
j i j i
,
(
,
)
/
Pois, são variáveis aleatórias independentes ( ).
i,
ji
j
Mas, , como já vimos (Eqs. (7) e (8)).
0
j
Portanto,
2
21
22
33
...
2n
n j 1 j 2 2)
(
E então demonstramos que:
(
)
2
(como esperado)j
n
n j 1 j 2)
(
(12) (13) (14) (15)15
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)
(
)
(
1 1 2 2 j j jp
j
Definição:
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
2 2 Portanto,1
2
1
2
1
2
j1
2
j)
(
)
(
1 1 2 2 j j jp
j
(16) (17)valor médio da variável ao quadrado
j
16 Distância quadrática média:
n j 1 j 2 2)
(
2
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
1
2
j
2)
(
jn
n
2
(18)17
2 2
variância de é proporcional ao número de passos nCaminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 2 2 2
VariânciaMas, já vimos que:
0
Portanto,
n
n
j
2
18
Caminho aleatório em uma dimensão
Probabilidadede a partícula estar em depois de passos
)
(
nP
variável aleatória =
n
n
pois
(
1
2
....
n)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
n
Função característica)
(
)
exp(
)
(
n ik n nP
e
ik
k
G
(20)19
Caminho aleatório em uma dimensão
)
(
...
)
(
)
(
)
(
k
g
1k
g
2k
g
k
G
n
exp(
)
)
(
j jk
ik
g
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Função característica
(
)
exp(
)
(
)
n ik n n
P
e
ik
k
G
exp(
(
...
))
)
(
k
ik
1 2 nG
Mas é uma somade variáveisaleatórias independentes
Então: ) ... (
1
2
n n
j
1
,
2
,
...,
(21) (22)20
Caminho aleatório em uma dimensão
exp(
)
)
(
1 1k
ik
g
exp(
)
(
)
)
(
1 1 1 1 1 1 1
ik
p
k
g
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)}
exp(
)
{exp(
2
1
)
(
1k
ik
ik
g
)
exp(
)
1
(
)
exp(
)
1
(
1ik
p
1ik
p
2
/
1
)
1
(
)
1
(
1
p
1
p
Mas,
)
(
1k
g
)
exp(
)
2
1
(
)
exp(
)
2
1
(
ik
ik
1
1
(23) (24)21
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)}
exp(
)
{exp(
2
1
)
(
1k
ik
ik
g
)
(
...
)
(
)
(
2 1k
g
k
g
k
g
n Como,)}
exp(
)
{exp(
2
1
)
(
k
ik
ik
g
j
n
j
1
,
2
,
...,
As variáveis aleatórias são idênticas, isto é, têm
j,
j
1
,
2
,
...,
n
a mesma distribuição de probabilidadesAs variáveis aleatórias têm
j,
j
1
,
2
,
...,
n
a mesma função característica:22
Caminho aleatório em uma dimensão
)
(
...
)
(
)
(
)
(
k
g
1k
g
2k
g
k
G
n nik
ik
k
G
exp(
)}
2
1
)
exp(
2
1
{
)
(
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Portanto,
)}
exp(
)
{exp(
2
1
)
(
k
ik
ik
g
j
j
1
,
2
,
...,
n
(26) (21) (25)23 expansão binomial n
ik
ik
k
G
exp(
)}
2
1
)
exp(
2
1
{
)
(
j n j n j nb
a
j
n
b
a
0)
(
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Levando em conta que:
Identificando cada termo entre chaves na expressão (26) e ficamos com a seguinte expressão para :
G
(k
)
(26) (26)
n j j n j nik
ik
j
n
k
G
0)
(exp(
))
(exp(
2
1
)
(
(27)24
))
2
(
exp(
2
1
)
(
0n
j
ik
j
n
k
G
n n j
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Portanto,
n j j n j nik
ik
j
n
k
G
0)
(exp(
))
(exp(
2
1
)
(
função característica associada à soma das variáveis aleatórias
j!
)!
(
!
j
j
n
n
j
n
(27) (28)25
2
)!
(
2
)!
(
!
2
)
(
n
n
n
n
n
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Caminho aleatório em uma dimensão
))
2
(
exp(
2
1
)
(
0n
j
ik
j
n
k
G
n n j
( )! ! ! j j n n j n )
exp(
2
1
2
/
)
(
)
(
ik
n
n
k
G
n n n
n
j
2
(30) (28) (29)26
n n nik
P
k
G
)
exp(
)
(
)
(
Mas,Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Caminho aleatório em uma dimensão
Portanto, se compararmos as expressões acima encontraremos a distribuição de probabilidades:
)
exp(
2
1
2
/
)
(
)
(
ikm
m
n
n
k
G
n n n
(30) n nn
n
n
P
2
1
)!
2
(
)!
2
(
!
)
(
(31)Caminho aleatório em uma dimensão
comportamento paran
1
1
m
m
m
m
m
!
ln
ln
)!
2
(
)!
2
(
2
!
ln
)
(
ln
n
n
n
P
n nTânia Tomé - Din Estoc - 2016 27
2
ln
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
ln
)
(
ln
P
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Fórmula de Stirling:Utilizando a expressão (33) a expressão (32) fica:
(32)
(33)
(34)
Exercício:
(*)
Caminho aleatório em uma dimensão
Comportamento para
n
1
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 28
2
ln
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
ln
)
(
ln
P
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
ln
2
2
)
2
ln(
)
2
(
2
2
)
2
ln(
)
2
(
ln
)
(
ln
P
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
ln
)
2
ln(
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
ln
)
(
ln
P
n
n
n
n
n
n
n
n
(35) (34)Caminho aleatório em uma dimensão
Comportamento para
n
1
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 29
2
ln
)
2
ln(
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
ln
)
(
ln
P
n
n
n
n
n
n
n
n
)
1
ln(
2
ln
))
1
(
2
ln(
)
2
ln(
n
n
n
n
n
Utilizando eln(
1
)
/
2
(
)
) 2 2x
o
x
x
x
)
(
2
/
)
1
ln(
x
x
x
2
o
x
2)
1
ln(
2
ln
))
1
(
2
ln(
)
2
ln(
n
n
n
n
n
(35) (36) (37) (38) (39)Caminho aleatório em uma dimensão
Comportamento paran
1
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 30
2
2
1
)
1
ln(
n
n
n
22
1
)
1
ln(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
ln
ln
)
2
ln(
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
2
(40)2
/
)
1
ln(
x
x
x
2Caminho aleatório em uma dimensão
Comportamento para
n
1
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 31
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
ln
ln
)
2
ln(
)
2
(
)
2
ln(
)
2
(
2
n
n
n
n
n
n
n
P
n2
2
ln
ln
2
ln
ln
)
(
ln
2
n
P
n2
)
(
ln
2
(41) (42) n ne
P
2 2)
(
Caminho aleatório em uma dimensão
Comportamento para
n
1
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 32
Para encontrarmos uma expressão final para devemos usar a fórmula de Stirling em uma forma mais
precisa:
)
2
ln(
2
1
ln
!
ln
m
m
m
m
m
)!
2
(
)!
2
(
2
!
ln
)
(
ln
n
n
n
P
n n)
(
nP
(44) (32) para avaliar: ,m
1
para .n
1
(*) Ver dedução da fórmula de Stirling no livro: Fundamentals of statistical and thermal physics, F. Reif, McGraw-Hill
Caminho aleatório em uma dimensão
Comportamento para
n
1
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 33
Utilizando a expressão (44) e na avaliação de:
))
1
(
2
)(
1
)(
2
(
)
2
ln(
n
n
n
n
n
)
1
ln(
2
ln
))
1
(
2
ln(
)
2
ln(
n
n
n
n
n
) ( 2 / ) 1 ln( x x x2 o x2 e n ne
n
P
2 22
1
)
(
n
1
(46) EXERCÍCIO: fazer as passagens Gaussiana densidade de probabilidadeTânia Tomé - Din Estoc - 2016 34
35
)
2
/
exp(
2
1
)
(
2 2 2
Z
Z
N
x
x
x
x
Z
1
2
3
....
NDistribuição de probabilidades associada a Z
2 2
x
0
x
jj
1
,
2
,
...,
N
jx
é tal que: eEntão para
N Teorema central do limite
Se
é uma
gaussiana.
temos:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(47)
(48)
36 Limite para
Utilizando o teorema central do limite
0
j1
)
(
2
j
n X n Z 1 2 3 ....n ) 2 / exp( 2 1 ) (Z Z2 )
2
/
exp(
2
1
)
(
X
2n
n
X
Para
n
grande podemos mostrar que:1
n
Caminho aleatório em uma dimensão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(50)
(51)
(52)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 37
