Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV. Derivativos

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Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 1

Mestrado em Finanças e Economia Empresarial

EPGE - FGV

Derivativos

Parte 1: Revisão de apreçamento de Ativos &

Renda Fixa 1

Descrição geral de ativos

Ativos financeiros são instrumentos que dão ao detentor o direito a um certo fluxo de caixa futuro, que pode ser conhecido de início ou não.

Os principais ativos financeiros são:

Ações

Títulos de renda fixa (Bonds) Imóveis

Commoditties

Os dois principais fatores para se apreçar ativos são:

Projeções dos fluxo de caixa futuros Definição da taxa de desconto a ser utilizada para trazê-los a valor presente.

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Taxa de desconto para os fluxos de caixa:

Trade-off risco e retorno

Se supusermos que os agentes da economia:

Tem preferencias com não saciedade local (preferem mais $ a menos $). São avessos ao risco.

Então deve existir uma relação monotônica entre risco e retorno. Quanto maior for o risco do investimento, maior será o prêmio exigido...

Se considerarmos risco como sendo volatilidade, a melhor combinação risco-retono entre os ativos da economia é dada pela fronteira eficiente.

Duas perguntas:

Dois ativos com mesma vol terão sempre o mesmo retorno esperado?

Mesmo se para mim risco é volatilidade do meu portfólio, a resposta é não. O que importa será a covariância do ativo como meu portfólio.

CAPM, APT, Arbitragem “estatística” e arbitragem verdadeira.

Fronteira

eficiente

com N ativos

com N

ativos

arriscados

Matematicamente o problema é:

Min w

’

ΣΣΣΣ

w

s.a.

w

’

R = r

w

’

i = 1

O resultado da otimiza

ç

ão

é

uma equa

ç

ão do

segundo grau para a volatilidade em fun

ç

ão

do retorno esperado.

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E(r E(r))

Fronteira

eficiente

com N

ativos

arriscados

Efficient Efficient frontier frontier Global Global minimum minimum variance variance portfolio

portfolio _Minimum_Minimum variance variance frontier frontier Individual Individual assets assets

σσσσ

E(r

E(r)) CAL (G)CAL (G) CAL (A)CAL (A) E(r E(r_HH)) E(r E(r_G_G)) E(r E(rAA)) r r_f_f

σσσσ

GG

σσσσ

G&FG&F

σσσσ

HH A A G G

σσσσ

Fronteira

eficiente

com

ativos

arriscados

e um

ativo

livre

de

risco

H H Tangency portfolio Tangency portfolio of risky assets of risky assets H H’’

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Propriedades da Fronteira Eficiente

com ativos arriscado + livre de risco

A linha CAL(G) domina todas as demais lines

Tem a melhor relação risco/retorno, i.e, maior inclinação

[ E(R_G) - R_f) / σ_G] >>>> [E(RA) - Rf) / σΑ]

Qualquer combinação de G & F domina as demais,

independentemente das preferencias

Teorema de separação de dois fundos

Fronteiras eficientes são determinadas independentemente das

preferencias do investidor e a escolha de portfolio pode ser separada em dois problemas:

Determinar o portfolio de tangência (o mesmo para todos os investidores) Alocar o investimento entre o portfolio de tangencia e o ativo livre livre de risco o perfil de risco/retorno desejado.

Problemas com a Otimiza ão M-V

Necessida um enorme quantidade de dados para se estimar: Retorno esperado, volatilidade e correlações

Ex.: Sópara matriz de covariancia tem N*(N-1)/2 parâmetros a serem estimados

Retorno médio realizado = retorno esperado?? (Black-Litterman)

Os pesos que o modelo atribui são muito sensíveis aos erros de estimação, por exemplo, pequenas mudanças no valor do retorno esperado produzem grandes mudanças nos pesos.

(Black-Litterman)

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CAPM

Uma forma de fugir da maioria destes

problemas e manter os insights importantes da

análise média variância é trabalhar com um

modelo de 1 fator: o fator “mercado”.

Como?

Suponha que estejamos com um portfolio P na

fronteira (pesos w

1

, w

2

, ... w

N

em cada ativo.).

R_P,Var(R_P)

Vamos avaliar o efeito no portfólio P de

aumentar ligeiramente o peso do ativo i

compensando com uma ligeira redução do

ativo sem risco Rf

CAPM:

da fronteira para representação beta

dE(R

dE(RPP) ) = = E(RE(Rii) ) ––RRff

dW

dWii

dVar

dVar(R(RP_P) ) = = 2Cov(R2Cov(Rii, R, RPP))

dW

dW_ii

A razão do efeito na m

A razão do efeito na méédia e na variância dia e na variância éé::

dE(R

dE(RPP) / ) / dWdWii= = E(RE(Rii) ) ––RRff

dVar

dVar(R(R_PP) / ) / dWdWii 2Cov(R2Cov(Rii, R, RPP))

Se o

Se o portfolioportfolioP era eficiente, esta razão deve ser a mesma para todos os P era eficiente, esta razão deve ser a mesma para todos os

ativos i e k:

E(R

E(Rii) ) ––RRff = = E(E(RRkk) ) ––RRff

2Cov(R

2Cov(R_ii, R, RPP) 2Cov(R) 2Cov(Rii, R, RPP))

Esta equa

Esta equaçção vale para todos os ativos k, inclusive o ão vale para todos os ativos k, inclusive o portfolioportfoliooriginal P:original P: E(R

E(Rii) ) ––RRff = = E(RE(RPP) ) ––RRff LOGO, E(RLOGO, E(Rii) ) ––RRff= = CovCov(R(Rii, R, RPP) E(R) E(RPP) ) ––RRff

2Cov(R

2Cov(Rii, R, RPP) 2Var(R) 2Var(RPP)) Var(RVar(RPP))

β

_i,p

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CAPM:

Para a representação beta virar o modelo CAPM falta afirmar que o portfolio P é o ativo de

mercado (Ibovespa, S&P 500, etc).

Esta é uma condição de equilíbrio => se todos se

deparam com a mesma fronteira em equilíbrio o ativo tangente tem que ser o representativo do mercado!

E(

rr_i_i)= )= rr_f_f+ + ββββββββiiE(rE(rmm––rrff) + ) + eeii Ou seja, devido ao efeito de diversificação do portfólio, o investidor só é recompensado pelo risco sistemático, não pelo específico do papel.

CAPM

Decompondo a variância (risco) do ativo

Tomando a variância dos dois lados da equação anterior temos: Var (Ri) = Var( αi+ βiRm+ ei)

σi2= βi2σm2+ σei2

Ou seja, Risco total = Risco sistemático (não diversificável) + risco idiossincrático (diversificável)

ARBITRAGEM ESTATÍSTICA: Para um portfólio suficientemente grande (diversificado) a soma dos riscos idiossincráticosé

insignificante (desprezível) e portanto não precisa ser remunerada. A taxa de desconto deve ser a taxa livre de risco mais uma fração proporcionalàexposição ao fator de risco sitemático:

ARBITRAGEM:

Qual o risco sistemático de uma“arbitragem pura”? Beta = 0 Então qual a taxa desconto que deve ser utilizada? Rf Jáouviram falar em risk-neutral pricing?

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Valorização de Ações

método de avaliação fundamentalista

Análise Fundamentalista: prever dividendos e lucros de uma empresa e descontá-los a taxa apropriada.

Modelo de desconto de dividendo de Gordon

(DDM)

P

₀

=

D

t

t=1 ∞

(1+k)

t

onde P0= Preço de mercado da ação hoje

Dt= Dividendo no instante de tempo t (É necessário prever isso) k = Retorno requerido (ajustada ao risco, isto é, à previsão do

risco ou do risco da previsão)

P

₀

=

D

1

+P

1

(1+k)

Se mantiver ação por 1 período

P

₀

=

D

1

(1+k)

D

₂

+P

₂

(1+k)

2

+

Se mantiver ação por 2 períodos Se mantiver ação indefinidamente

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Modelo DDM sem Crescimento

P

₀

D

(1+k)

=

A hipótese é que receitas e dividentos são mantidos constantes para sempre.

Exemplo:

Se E₁= D₁= $5.00 (= D com ausência de crescimento) e

k = 15%, então, o valor intrinseco da ação será:

P₀= $5.00 / 0.15 = $33.33

D

k

=

D

(1+k)

2

D

(1+k)

3

+

…

(usando a fórmula da PG infinita, Sn=A1/(1-q), com

A1=D1/(1+k) e q=1/(1+k))

Retenção de Lucro para investimento:

Se ROE = Tx. de desconto, então não há efeito

Considere duas empresas, A e B, cada uma com lucro esperado de $5 por ação e taxa de capitalização (custo de capital) de 12,5%.

P_A= P_B= $5/0,125 = $40

Com o passar de 1 período, qual seria o preço?

O mesmo! $40

E se houvesse retenção total do lucro na empresa A?

O preço da ação subiria $5, para $45. Vamos ver pq. A partir de período seguinte, sob a hipótese de que a rentabilidade dos projetos da empresa financiados com capital prórprio (ROE) é 12,5% os ROE) dividendos crescerão em 12,5% * $5 = 0,625 para $5,625.

PA = $5,625/0,125 = $45

Portanto, não deveria fazer diferença entre pagar dividendo ou não pagar (e reinvesti-lo).

Quando então faz diferença? Quando há oportunidades de investimento a taxas superiores à taxa de financiamento (capitalização).

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Retenção de Lucro para investimento

Se ROE > Tx Desconto, então vale a pena

Suponha agora que alguns projetos da empresa A

gerem retornos de investimento

(ROE)

(ROE) de 15% ( >

custo de capital, de 12,5%)

Neste caso, se a empresa usar os $5 que seriam

usados para pagar dividendos para investir nestes

projetos uma única vez, estará aumentando o valor

da empresa em mais do que os $5 de dividendo!

Novos dividendos = 12,5% sobre $40 + 15% sobre $5

$5,00 + $0,75 = $5,75

Preço novo = $5,75/(1,125) + $5,75/(1,125)2₊....

= $5,75/(0,125) = 46 !!!

Retenção de Lucro para investimento e crescimento

futuro dos lucros

O que aconteceria se a empresa continuamente reinvestisse parte do seu lucro, digamos 60% do lucro (quociente de retenção de lucro), e não mais apenas uma única vez?

Os dividendos futuros crescerão a uma taxa de... 60% * 15% = 9% Genericamente, a taxa de crescimento dos dividendo é dada por:

g = ROE x (quociente de retenção de lucro)

Se esta taxa de ROE for sustentável a longo prazo, ou seja, se é esperado que ela se mantenha para os re-investimentos futuros, pode-se dizer que o preço da ação será dada pelo modelo DDG com crescimento.

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Modelo DDM com Crescimento Constante do Lucro

D

₀

(1+g)

(k – g)

=

Se assume uma taxa de crescimento perpétua e constante = g Examplo:

Se E₁= $5.00, b = 60% (quociente de retenção de lucros), k = 12,5%, g = 9%, então, D₁= $5 (1- 0.6)=$2.00 P0= 2.00 / (.125 - .09) = $57,14

P

₀

D

0

(1+g)

(1+k)

=

D

0

(1+g)

2

(1+k)

2

_(1+k)

3

+

D

0

(1+g)

+

…

3

D

₁

(k – g)

=

Modelo de Crescimento em Múltiplos Estágios

P

₀

D

₀

g

1 k

D

_T

(1+g

₂

)

t t t T

=

+

=

(

)

(

)

(1+ k)

T

(k – g

2 )

1

Parece pouco razoável nossa hipótese anterior de que a taxa de crescimento será constante para sempre. A versão acima é uma generalização da anterior onde se permite ter

quantos estágios de crescimento quanto se queira, no caso presentamos o caso com 2 estágios.

g₁= taxa de crescimento no 1o_estágio

g₂= taxa de crescimento no 2o_estágio

T = número de períodos no 1o_estágio.

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Renda Fixa

conceitos básicos

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Valor presente e taxa yield

1.1

1.1 ZERO COUPON BONDS

• Possuem dois fluxos de caixa: um no ato da compra e outro no ato da recompra por parte do emissor. Por essa razão, são vendidos com deságio sobre o valor de face.

Exemplo:

Exemplo: Título com com vencimento em 60 dias uteis. Valor de mercado hoje: R$965,2436.

Valor de face: R$1000,00

Taxa interna de retorno, ou yield, do título: yield ₉₆₅1000_,₂₄₃₆ 1 16,0179%

60 / 252 = − = 1. T 1. TÍÍTULOS PRTULOS PRÉÉ −−−− ==== 1 VM VF yield du / 252 Genericamente, Onde, VF = Valor de Face VM= Valor de Mercado

du = dias úteis até o vencimento

Valor presente e taxa yield

Podemos fazer o oposto.

Dado o valor de face de um Zero Cupom Bond e a taxa yield de desconto, posso achar o preço.

P=VF/(1+r)du/252

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Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 25 ! " # $ % & ' ' ( )*+ , ! 252 / nduN 252 / 2 ndu 252 / 1 ndu

₍

₁

_yield

₎

principal

...

)

yield

1 (

2 cupom

)

yield

1 (

1 cupom

VP

+

=

Capitalização

Qual o valor n anos a frente.

Anual: FV = (1+R(1))n _PV

Semi-anual: FV = (1+R(2)_/ 2)2n PV

m-vezes por ano: FV = (1+R(m)_/

m)mnPV Capitalização contínua,

lim_m_{→ ∞}FV = enR(c)_PV

Todas são formas equivalentes de se medir o rendimento. O que

interessa é o fator de remuneração total do aplicador ao fim da aplicação.

É sempre possível mudar de uma para outra: elas servem apenas como referência (linguagem) para se comparar títulos diferentes. Cada um tem uma preferência e cada mercado tem sua convenção e isso não é importante do ponto de vista teórico apesar de ser extremamente importante operacionalmente para cálculos de gerencial, margem, fiscal, etc...

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Exemplo: Bond Pricing

Para calcular o preço hoje de um título simplesmente descontamos cada fluxo à “taxa zero” apropriada

Exemplo:

título que paga cupom de 6% semi-annual com uma taxa curva de mercado dada ao lado:

3

103 98 39

0 05 0 5 0 058 1 0 0 064 1 5 0 068 2 0

e

− × − × − × − ×

+

=

. . . . . .

_.

Maturity

(years) (% cont comp)Zero Rate 0.5 5.0 1.0 5.8 1.5 6.4 2.0 6.8

Exemplo: Achando o Bond Yield

Vamos usar aquele bond cujo preço é 98,39 Achamos o yield resolvendo

o que nos dá y=0.0676 ou 6.76%.

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Exemplo: Par Yield

O cupom que faz um bond estar ao par para uma dada maturidade é o coupon que faz com que o preço do Bond seja o seu valor de face.

No nosso examplo resolvemos:

contínua) ção capitaliza (com 87 6 da nos que o 100 2 100 2 2 2 0 . 2 068 . 0 5 . 1 064 . 0 0 . 1 058 . 0 5 . 0 05 . 0 . c= e c e c e c e c = + + + + × − × − × − × −

Preços das obrigações ao longo do tempo

Premium Bond Par Bond Discount Bond Time to Maturity Price 0 Par value

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Ativos e taxas no Brasil

Taxa básica de juros

A política monetária é um dos principais instrumentos do governo para afetar a economia. O outro principal é a política fiscal.

O título do governo, denominado em sua moeda, é o de menor risco da economia (governo pode emitir qto quiser e sempre haverá contribuintes: mas há risco de inflação...) Os bancos centrais são os responsáveis por controlar esta taxa. Geralmente é função da inflação é do PIB (Regra de Taylor).

No Brasil é a taxa Selic. Nos EUA é o FedFunds.

A taxa básica é a taxa de 1 dia.

A idéia é que controlando esta taxa, controla-se a quantidade de dinheiro na economia. O juros de 1 dia é o preço do

dinheiro.

Dinheiro só é criado quando há transação do Banco Central (emissor) com outro agente da economia.

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Títulos do governo: LFT

Tesouro Nacional (caixa do governo) capta recursos

no mercado financeiro, via emissão primária, para

execução orçamentária e rolagem das dívidas.

LFT

LFT (Letra Financeira do Tesouro): Título

pós-fixado cujo valor nominal de R$1.000,00 é corrigido

pelo rendimento acumulado da taxa remuneração

diária de títulos públicos no Selic (Sistema Especial

de Liquidação e Custódia).

Títulos do governo: LTN

LTN

LTN (Letra do Tesouro Nacional): Título pré-fixado

com valor nominal múltiplo de R$ 1.000,00. Não há

cupom e todo o juros está implícito no deságio em

relação ao valor de face.

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Exemplo de LTN

Títulos do governo: NTN

NTN

NTNss (Nota do Tesouro Nacional): Títulos pós-fixados,

escritos em (valores de face) múltiplos de R$ 1.000,00 NTA-A’s: Indexado ao dólar + estrutura de cupons e principais

igual a papéis externos (criado para troca de títulos externos por equiv. Internos)

NTN-B: Valor do título na data-base corrigido pelo IPCA. Paga

juros semestrais sobre o valor nominal atualizado.

NTN-C: Valor do título na data-base corrigido pelo IGPM Paga

juros semestrais sobre o valor nominal atualizado.

NTN-D: Valor do título na data-base corrigido pelo dólar. Obs: A

cotação relevante é taxa média (PTAX) do dia aterior. Paga juros semestrais sobre o valor nominal atualizado.

NTN-F: Título pré-fixado, com cupons semestrais.

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Evolução da composição da dívida pública

federal no Brasil

Dívida Mobiliária Interna: Participação por Indexador

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 fe v/ 99 ag o/ 99 fe v/ 00 ag o/ 00 fe v/ 01 ag o/ 01 fe v/ 02 ag o/ 02 fe v/ 03 ag o/ 03 fe v/ 04 ag o/ 04 fe v/ 05 ag o/ 05 fe v/ 06 ag o/ 06 fe v/ 07 ag o/ 07 fe v/ 08

Selic Câmbio Preços Pré

Dívida Líquida Total (% PIB) 29% 31% 33% 35% 37% 39% 41% 43% 45% 47% 49% 51% 53% 55% 57% ja n/ 96 ja n/ 97 ja n/ 98 ja n/ 99 ja n/ 00 ja n/ 01 ja n/ 02 ja n/ 03 ja n/ 04 ja n/ 05 ja n/ 06 ja n/ 07 ja n/ 08