Física 1. Resumo e Exercícios P1

Física 1

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Fórmulas e Resumo Teórico Parte 1

Derivada de polinômios

- Considerando um polinômio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥%_{, temos:}

𝑑

𝑑𝑥𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥%() Integral de polinômios

- Considerando um polinômio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥%_{, temos:}

𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥%_{𝑑𝑥 =} 𝑎𝑥%*) 𝑛 + 1 Posição relativa 𝑟_). 𝑡 = 𝑟_. 𝑡 − 𝑟₎(𝑡) Velocidade relativa 𝑣_). 𝑡 = 𝑣_. 𝑡 − 𝑣₎(𝑡) Velocidade e Deslocamento - Considerando um vetor 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝚤 + 𝑦 𝑡 𝚥 : 𝑣 𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝚤 + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝚥 - Considerando um vetor 𝑣 𝑡 = 𝑣8 𝑡 𝚤 + 𝑣9 𝑡 𝚥 : 𝑟 𝑡 = 𝑣₈ 𝑡 𝑑𝑡 𝚤 + 𝑣₉ 𝑡 𝑑𝑡 𝚥 Velocidade e Aceleração - Considerando um vetor 𝑣 𝑡 = 𝑣₈ 𝑡 𝚤 + 𝑣₉ 𝑡 𝚥 :

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𝑎 𝑡 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣₈ 𝑑𝑡 𝚤 + 𝑑𝑣₉ 𝑑𝑡 𝚥 - Considerando um vetor 𝑎 𝑡 = 𝑎8 𝑡 𝚤 + 𝑎9 𝑡 𝚥 : 𝑣 𝑡 = 𝑎₈ 𝑡 𝑑𝑡 𝚤 + 𝑎₉ 𝑡 𝑑𝑡 𝚥 MUV – Movimento Uniformemente acelerado

𝑥 𝑡 = 𝑥_: + 𝑣_:𝑡 +𝑎 2𝑡. 𝑣 𝑡 = 𝑣_: + 𝑎𝑡 𝑎 𝑡 = 𝑎, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Dicas:

- Sempre definir sistema de coordenadas

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Exercícios Parte 1

1. Velocidade relativa

Lista 1 de Física I – 2016

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano xy. O movimento destas partículas é descrita pelas funções posição 𝑥)(𝑡) = 𝑡. + 𝑡 + 1, 𝑥.(𝑡) = 2𝑡. −

2𝑡 + 3, 𝑦)(𝑡) = 𝑡 + 3 e 𝑦.(𝑡) = 2𝑡 + 2, onde a posição é medida em metros e o

tempo t em segundos. Considere a direção i na horizontal e j na vertical.

a. Determine os vetores posição 𝑟₎(𝑡) e 𝑟_.(𝑡)de cada partícula e o vetor posição

relativa 𝑟).(𝑡).

b. Para t = 0, faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição 𝑟₎(𝑡) e

𝑟_.(𝑡) e do vetor posição relativa 𝑟).(𝑡). Determine a distância entre as

partículas.

c. Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem.

d. Determine a velocidade relativa, 𝑣_).(𝑡), no(s) instante(s) no(s) qual(is) as

partículas colidem.

2. Movimento 1D

Lista 2 de Física I – 2014

Uma bola A cai do topo de um edifício de altura h no mesmo instante em que uma bola B é lançada do solo, verticalmente para cima. Quando as bolas colidem, as velocidades são opostas e o valor da velocidade de A é o dobro da velocidade de B. A que fração da altura do edifício a colisão ocorre?

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3. Balística

Moysés, capítulo 3, pág. 86, questão 15

O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima, e ele permanece no ar durante 2s.

a. Em que ângulo ele foi lançado? b. Qual foi a velocidade inicial? c. Qual é o alcance?

4. Velocidade e Aceleração

P1 – 2016

O vetor posição de uma partícula é dado por 𝑟 𝑡 = 2,0 + 1,0𝑡. _{𝚤 + 1,0𝑡𝚥 𝑚,}

para t medido em segundos. Para o instante t = 2 s, os vetores velocidade e aceleração desta partícula se escrevem:

Escolha uma alternativa:

A. 𝑣 = 3,0𝚤 + 1,0𝚥 𝑚/𝑠 𝑒 𝑎 = 0 𝑚/𝑠.

B. 𝑣 = 3,0𝚤 + 1,0𝚥 𝑚/𝑠 𝑒 𝑎 = 1,5𝚤 + 0,5𝚥 𝑚/𝑠.

C. 𝑣 = 0 𝑚/𝑠 𝑒 𝑎 = 0 𝑚/𝑠.

D. 𝑣 = 4,0𝚤 + 1,0𝚥 𝑚/𝑠 𝑒 𝑎 = 2,0𝚤 𝑚/𝑠.

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5. Velocidade e Aceleração

P1 - 2015

O gráfico abaixo mostra a aceleração de uma partícula como função do tempo:

As figuras 1 a 4 abaixo mostram gráficos que podem representar a função posição x(t), ou a velocidade v(t), de uma dada partícula. Dentre as alternativas (a)-(e), assinale a que corretamente associa os gráficos das figuras 1 a 4 à cinemática da partícula cuja aceleração é dada pelo gráfico acima.

A. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a velocidade e posição da partícula como função do tempo.

B. A figura 4 representa a posição da partícula como função do tempo. C. A figura 2 representa a velocidade da partícula como função do tempo. D. A figura 1 representa a velocidade da partícula como função do tempo.

E. As figuras 3 e 4 representam, respectivamente, a velocidade e posição da partícula como função do tempo.

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6. Movimento 2D

P1 – 2014

Um corpo de massa 𝑚 sai do repouso e cai em queda livre de uma altura 𝐻 com relação ao solo. Quando ele passa pela altura ℎ (veja a figura abaixo) é desviado por um anteparo de modo que assume uma nova velocidade na horizontal tal que o módulo dessa velocidade é igual ao módulo da velocidade que o corpo tinha imediatamente antes de ser desviado.

a. Ache o vetor velocidade com que o corpo é lançado na horizontal.

b. A que distância 𝑥_I de sua posição inicial o corpo atinge o solo?

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7. Movimento Circular Uniformemente acelerado

Moysés, capítulo 3, pág. 87, questão 23

Uma roda, partindo do repouso, é acelerada de tal forma que sua velocidade angular aumenta uniformemente para 180 rpm em 3 min. Depois de girar com essa velocidade por algum tempo, a roda é freada com desaceleração angular uniforme, levando 4 min para parar. O número total de rotações é 1080. Quanto tempo, ao todo, a roda ficou girando?

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Gabarito Parte 1

1. a. 𝑟) 𝑡 = 𝑡. + 𝑡 + 1 𝚤 + 𝑡 + 3 𝚥 𝑚, 𝑟. 𝑡 = 2𝑡. − 2𝑡 + 3 𝚤 + 2𝑡 + 2 𝚥 𝑚, 𝑟_). 𝑡 = 𝑡. _{− 3𝑡 + 2 𝚤 + 𝑡 − 1 𝚥 𝑚} b. 𝑟) 𝑡 = 1𝚤 + 3𝚥 𝑚, 𝑟. 𝑡 = 3𝚤 + 2𝚥 𝑚, 𝑟). 𝑡 = 2𝚤 − 1𝚥 𝑚, 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 5 𝑚 c. 𝑡 = 1𝑠 d. 𝑣). 𝑡 = −1𝚤 + 1𝚥L_M 2. 2/3 3. a. 45º b. 13,9m/s c. 19,6m 4. B 5. D 6. a. 𝑣: = 2𝑔(𝐻 − ℎ)𝑥 b. 𝑥I = 2 ℎ(𝐻 − ℎ)𝑥 c. ℎ = O± OQ(8R Q . 7. 9,5 min

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Fórmulas e Resumo Teórico Parte 2

Leis de Newton

- 1º Lei: Lei da Inércia - Um objeto em movimento retilíneo uniforme tende a permanecer neste estado até que uma força o faça mudar.

- 2º Lei: 𝐹 = 𝑚𝑎.

- 3º Lei: Para toda ação (força), existe uma reação de mesmo módulo e sentido oposto.

Força centrípeta

𝐹 = −𝑚𝜔._{𝑅 𝑟 = −}𝑚𝑣.

𝑅 𝑟 Onde 𝑟 é o vetor que aponta pra direção radial.

Aceleração centrípeta

𝑎_V = −𝜔._{𝑅 𝑟 = −}𝑣.

𝑅 𝑟 Onde 𝑟 é o vetor que aponta pra direção radial.

Força de atrito estático

𝐹𝑎𝑡 ≤ 𝜇_Y 𝑁 Força de atrito dinâmico

𝐹𝑎𝑡 = 𝜇_[ 𝑁

Dicas:

- Sempre definir sistema de coordenadas

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Exercícios Parte 2

1. Força sobre blocos

P1 - 2015

A figura abaixo representa dois blocos 1 e 2, de massa 𝑚) = 1000 𝑘𝑔 e 𝑚. =

3000 𝑘𝑔, respectivamente, em contato e apoiados sobre uma superfície lisa sem atrito. Uma força F = 4000 N é aplicada ao bloco 1 empurrando todo o conjunto. Assinale a alternativa que contém a magnitude (módulo) das forças de contato exercidas pelo bloco 1 sobre bloco 2 (𝐹.())) e pelo bloco 2 sobre o bloco 1 (𝐹)(.)).

Escolha uma alternativa:

A. 𝐹) . = 0 𝑁 𝑒 𝐹. ) = 4000 𝑁 B. 𝐹) . = 3000 𝑁 𝑒 𝐹. ) = 3000 𝑁 C. 𝐹)(.) = 3000 𝑁 𝑒 𝐹.()) = 1000 𝑁 D. 𝐹)(.) = 4000 𝑁 𝑒 𝐹.()) = 0 𝑁 E. 𝐹) . = 4000 𝑁 𝑒 𝐹. ) = 4000 𝑁

2. Força centrípeta

Moysés, capítulo 4, pag.81, questão 13

O dispositivo da figura gira em torno do eixo vertical com velocidade angular w.

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b. Qual deve ser o valor de w para que o fio de comprimento l coma bolinha

suspensa de massa m faça um ângulo q com a vertical?

3. Equilíbrio com rotação (Difícil)

P1 – 2009

Um pequeno cubo, de massa m, é colocado no interior de um funil, a uma distância r do seu eixo vertical de simetria. A parede do funil faz um ângulo θ com a horizontal e o coeficiente de atrito estático entre o funil e o cubo é µ.

a. Calcule o ângulo máximo 𝜃L^8 que o funil pode ter para que o corpo não

deslize quando o funil está parado. Faça um diagrama do corpo livre (diagrama de forças) do cubo.

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b. Suponha que o funil possua um ângulo θ menor que aquele determinado

no item (a). Se o funil for posto para girar em torno do seu eixo vertical de simetria com uma frequência constante de b rotações por segundo, calcule o valor máximo 𝑏L^8 da frequência de rotação do funil para que o cubo

não comece a deslizar para cima. Faça um diagrama do corpo livre do cubo.

4. Atrito e rotação

Física I, Cinemática e Dinâmica

Uma moeda se encontra a uma distância r do eixo de um disco que se encontra numa posição plana e tem raio R. O coeficiente de atrito estático entre o disco e a moeda é µE. Suponha que a velocidade angular ω do disco aumenta de forma constante a partir do repouso. Qual será o módulo de sua velocidade angular no instante em que a moeda iniciará a escorregar?

Escolha uma alternativa: A. 𝜔 = _ab`Q cd B. 𝜔 = bc d a C. 𝜔 = bc d ` D. 𝜔 = abc d `Q E. 𝜔 = <sub>b</sub>` cd

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5. Dinâmica

Física I, Cinemática e Dinâmica

Um balão está preso a um bloco por meio de um fio ideal (massa desprezível e inextensível). A massa do bloco é de 2,0 kg. A tensão (módulo) no fio entre o bloco e o balão é de 30 N. O vento arrasta o balão de modo que o fio faz um ângulo θ (cos θ = 4/5 e sin θ = 3/5) em relação à vertical (ver figura abaixo). Assuma que o módulo da aceleração da gravidade no local é g = 10 m/s2_{. Assuma}

ainda que o bloco é pequeno, de maneira que a força do vento sobre o bloco é desprezível. A figura mostra o vetor velocidade inicial v0 do bloco cujo módulo é

10 m/s.

a. Faça um diagrama das forças que atuam sobre o bloco. Comente (uma ou

duas frases) a origem de cada força de seu diagrama. Defina um sistema de coordenadas e escreva as forças do seu diagrama neste sistema.

b. Determine a aceleração do bloco (enuncie leis físicas utilizadas).

c. Considere θ constante durante toda a dinâmica do sistema e determine 𝑟(𝑡)

(2D apenas) para o bloco (enuncie príncipios e resultados matemáticos utilizados).

d. Com base em seus resultados, faça uma descrição qualitativa da trajetória

do bloco. Relacionando sua descrição com os resultados para os itens anteriores (dica: faça um esquema para indicar a trajetória, como um tracejado com setas).

e. Considere que o balão tem massa desprezível e que a força do vento sobre o

balão tem componente apenas ao longo da horizontal (eixo x). Determine a força do vento sobre o balão (enuncie hipóteses, critérios, etc).

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6. Atrito estático

Física I, Cinemática e Dinâmica

Dois blocos escorregam juntos sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco de cima tem massa m1 e o de baixo m2 e o atrito entre eles tem um coeficiente estático µE. Uma força horizontal de módulo F atua sobre o bloco de baixo. Qual é a condição sobre F para que os dois blocos não deslizem entre si?

Escolha uma alternativa: A. 𝐹 ≤ 𝜇Y(𝑚) + 𝑚.)𝑔 B. 𝐹 ≤ bc(Le*LQ)d LeLQ C. 𝐹 ≤ bcLeLQd (Le*LQ) D. 𝐹 ≥ 𝜇_Y 𝑚₎ + 𝑚_. 𝑔 E. 𝐹 ≥ bcLeLQd (L_e*L_Q)

Gabarito Parte 2

1. B 2. (a) 𝑇 = 𝑚𝑔/𝑐𝑜𝑠𝜃 (b) 𝜔 = 𝑔 𝑡𝑔𝜃/(𝑑 + 𝑙 𝑠𝑒𝑛𝜃) 3. (a) 𝜃L^8 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜇) (b) 𝑏L^8 = _lmd(b ViMj*Mk%j)Q_{a(ViMj(b Mk%j)}

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5. a. 𝑃 = −𝑚𝑔 𝑦 = −20 𝑦 𝑁 𝑇 = 𝑇 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑥 + 𝑇 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 18 𝑥 + 24 𝑦 𝑁 b. 𝑎 = 9 𝑥 + 2 𝑦 𝑚/𝑠. c. 𝑟(𝑡) = −10𝑡 +p_.𝑡. _{𝑥 + 𝑡}. _{𝑦 𝑚/𝑠}. d. e. 𝐹_qk%ri = 18 𝑥 𝑁 6. A