( ) 1ª Avaliação. 1) Calcule o limite. lim. lim. lim. lim. lim. x 2 + lim. 2 3 ax x se x 2. , determine a R para ( ) que exista lim f ( x)

(1)

Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 1 de 4

1ª Avaliação

1) Calcule o limite

4

2 1 3

lim

2

x

→

+ −

− −

.

4

2 1 3

lim

2

x

→

+ −

− −

4

2 1 3

2

2 lim

2

2 1 3

2

x

→



_{+ −}

_{+ +}

_{− +}



⋅







_{− −}

_{+ +}

_{− +}







4

2 1 9

2

2 lim

2 2

2 1 3

x

→



_{+ −}

_{− +}



⋅







_{− −}

_{+ +}







4

2

8

2

2 lim

4

2 1 3

x

→



₋

_{− +}



⋅







₋

_{+ +}







4

2 (

4)

lim

x

→

⋅

−

4 x

−

2

2 1 3

x



_{− +}



⋅







_{+ +}







4

2

4

2

2 lim 2

2

3

2 1 3

2 4 1 3

x

→



_{− +}



_{− +}

₊

⋅

= ⋅

=







_{+ +}



_{⋅ + +}

₊





2 2

6 ⋅

2 2

3 =

2) Dada a função

2 2

3

5

2

2 ( )

2

3

2 x

x

se x

f x

x

ax

x

se x



₋

<



=



−



₋

_≥



, determine

a∈ℝ

para

que exista

2

lim ( )

x→

f x

.

2 2 2

lim ( )

x→

f x

x→ −

f x

x→ +

f x

⇒

₌

(

)

2 2 2 2

3

5

2 lim

lim 3

2

x x

x

ax

x

→ →

−

_{− =}

₋

−

2

(3

1) (

2)

lim

x

→

+ ⋅

−

2 x

−

(

)

2 2

lim 3

x→

ax

x

=

−

(

2

)

2 2

lim (3

1)

lim 3

x→

x

+ =

x→

−

ax

−

x

2

3 (2) 1 3

⋅

+ = − ⋅

a

(2) (2)

−

⇒

7 = −

3

2 a

−

4 ⇒

2 a

= −

8 ⇒

a

= −

4 3) Determine

a

para que a função seja contínua no ponto

especificado.

2

0 ( )

3

4

0 x

se x

f x

x

a

se x



_{+ −}

>



=





₋

₊

_≤



(2)

Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 2 de 4 0 0

lim ( )

(0)

x→ −

f x

=

x→ +

f x

=

f

(

2

)

0 0

2

2 lim

lim 3

4

x x

x

a

x

− + → →

+ −

₌

₋

₊

(

2

)

0 0

2

2 lim

lim 3

4

2

x x

x

a

x

− + → →



_{+ −}

_{+ +}



⋅

=

−

+







_{+ +}







(

)

(

2

)

0 0

2 2

lim

lim 3

4

2

x x

x

a

x

− + → →





+ −





₌

₋

₊



_⋅

_{+ +}







0

lim

x

− →

_x

(

)

(

)

2 0

lim 3

4

2

x

a

x

→ +









₌

₋

₊



_⋅

_{+ +}







(

2

)

0 0

1 lim

lim 3

4

2

x→ −

_x

x→ +

x

a





=

−

+





+ +





2

1

2

2 3 (0)

4 (0)

4

0

2

2 = ⋅

− ⋅

+

a

2 2

2 a

⇒

₌

_⋅

⇒

₌

+ +

4) Determine

₂ 2

1

7 lim

2

6

x

→

−





+



₋

_{+ −}







.

2 2

1

7 lim

2

6

x

→

−





+



₋

_{+ −}







2

1

7 lim

2 (

2) (

3)

x

→



₋



+



₋

_{− ⋅ +}







2

3

7 lim

(

2) (

3)

x

→



_{+ + −}





_{− ⋅ +}







2

4 lim

(

2) (

3)

x

→



₋





_{− ⋅ +}







2

2 (

2)

lim

x

→

−

(

x

−

2)

(

x

3)









⋅ +









2

2 lim

(

3)

2 3

5

x→

_x





=



₊



₊





5) Observando o gráfico da função ( )

f x

podemos afirmar:

a)

a função ( )

f x

é derivável em

x=b

b)

lim ( )

x→b+

f x

=

m

c)

lim ( )

x→b

f x

=

n

(3)

d)

a função ( )

f x

não é derivável no intervalo

( )

b c,

e)

nenhuma das alternativas acima é verdadeira

6) Uma tangente à curva

_{f x}_{( )}₌_x2

_{é paralela à reta}

₈_x₋₂_y_{+ =}₅ ₀

_.

Determine as coordenadas do ponto de tangência.

2 ' ( ) ( ) 2 f x =x ⇒f x = x 5 8 2 5 0 2 8 5 4 2 x− y+ = ⇒ y = x+ ⇒y = x+

Se a tangente à curva é paralela à reta dada, então os coeficientes

angulares são iguais.

2x=4⇒x =2

2 2

( ) (2) 4

f x =x = =

Portanto, as coordenadas do ponto de tangência são

x=2

e

y =4

.

7) Determine o valor de

m

para que a derivada de

_{( )} 3 2 ₄ ₅

f x =x −mx + x−

seja igual a

−2

no ponto de abscissa

−3

.

3 2 ( ) 4 5 f x =x −mx + x− '_{( )} ₃ 2 ₂ ₄ f x = x − mx+

Portanto:

2 33 11 3 ( 3) 2 ( 3) 4 2 27 6 4 2 6 33 6 2 m m m m m ⋅ − − ⋅ − + = − ⇒ + + = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

(4)

8) É dado o gráfico de

f

. Estabeleça, explicando, as abscissas nos

quais

f

não é diferenciável.

1; 11 tangentes verticais x= − ⇒

4 descontinuidade x= ⇒

8 reversão brusca (quina) x= ⇒

9) Se

h(2)=4

e

_h'₍₂₎_{= −}₃

_{, encontre}

2 ( ) x d h x dx x _→      

( )

' ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d h x x h x h x x dx x _x ⋅ − ⋅   =    

( )

' ' 2 2 ( ) 2 (2) (2) (2) 2 ( 3) 4 0 6 3 4 4 2 2 x d h x h h dx x _→ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅   = = = − = −    

(5)

2ª Avaliação

1) Se dois resistores com resistência

R₁

e

R₂

estão conectados em

paralelo, como na figura, então a resistência total

R

, medida em

ohms (



) é dada por

1 2

1 1 1

R R R

Se

R₁

e

R₂

estão crescendo a taxas de 0,3



/s e 0,2



/s,

respectivamente, qual é a taxa de variação de

R

quando

R₁

= 80



e

2 R

= 100



.

           1 2 1 1 1 1 1 1 1 5 4 400 80 100 400 R 9 R R R R R   1 2 1 1 1 R R R 1_ 1_ 1 1 2 R R R     2   2 1 2 2  1 2 ( 1) dR dR dR R R R dt dt dt    1  2 2 2 2 1 2 1 dR 1 dR 1 dR dt dt dt R R R  _{ } _ _ _ _     2 2 2 9 1 1 0,3 0,2 400 80 100 dR dt      81 1 3 1 2 160.000 6.400 10 10.000 10 dR dt    81 3 2 160.000 64.000 100.000 dR dt    81 3 2 40 16 25 dR dt    81 75 32 40 400 dR dt   81 107 40 400 dR dt  107 81 10 dR dt  0,132 Ω/s dR dt

(6)

2) Dada a função

y  x x

, mostre que

2 2 1 4 dy x dx _x _{x x}   

.

y  x x   2 y x x    1 2 1 2 dy y dx x    2 1 2 2 dy x y dx x   2 1 4 dy x dx y x     2 1 4 dy x dx _x _x _x    2 2 1 4 dy x dx _x _{x x}

3) Se

f

e

g

são as funções cujos gráficos estão mostrados, e

( ) ( ( ))

u x f g x

e

v x( )g f x( ( ))

, encontre as derivadas abaixo, se ela

existir. Se não existir, explique por quê. Lembre que, se

( ) ( ( )) F x f g x

, então

F x( )f g x( ( ))g x( )

.

a)

u(1)

b)

v (1) ( ) ( ( )) ( ) F x f g x g x

a)

u x( )f g x( ( )) ( ) ( ( )) ( ) u x f g x g x (1) ( (1)) (1) u f g g (1) (3) (1) u f g     _ _    1 (1) ( 3) 4 u (1) 3 4 u

(7)

b)

v x( )g f x( ( )) ( ) ( ( )) ( ) v x g f x f x (1) ( (1)) (1) v g f f (1) (2) (1) v g f   2  2   lim ( ) lim ( ) x x g x g x 2   lim ( ) x g x (2)  g v(1)

4) Mostre, por diferenciação implícita, que a derivada segunda

 

y 

da

função

x3 y3 1

é igual a

2x₅ y 

.

3 3 ₁ x y     2 2 3x 3y dy 0 dx    2 2 3y dy 3x dx   2₂ dy x dx y       2 2 2 2 4 2 2 dy y x x y d y _dx d x y     _ _     2 2 2 2 2 2 4 2xy 2x y x y d y d x y    4 2 2 2 4 2 2xy x d y y d x y    3 4 2 2 4 2xy 2x d y y d x y    2 3 4 2 5 2 2 d y xy x d x y







  3 3 2 2 5 2x y x d y d x y    2 2 5 2 1 d y x d x y   2 2 5 2 d y x d x y

(8)

5) Encontre um polinômio de segundo grau

P

tal que

P(2) 5

,

P(2) 3

e

P(2) 2

.

 2  ( ) P x ax bx c ( ) 2  P x ax b ( ) 2 P x a (2) 2   2 1 P a a (2) 2 1 2       3 1 P b b   2       (2) 1 (2) ( 1) 2 5 3 P c c  _{( )} 2 ₃ P x x x

(9)

3ª Avaliação

1) Esboce a curva

2 2 ₃ x y x  

.

a) Intercepto

x

:

y   0 x 0

b) Intercepto

y

:

x  0 y 0

c) Assíntota vertical:

 ( ) ( ) ( ) p x f x q x

,

p c( )0

e

q c( )0

    2 ₃ ₀ x x  assíntota vertical

d) Assíntota horizontal:

grau do numerador = grau do denominador

    1 1 1 a y y y b

e) Derivada primeira:

2 2 ₃ x y x  









       2 2 2 2 3 2 2 3 x x x x y x





     3 3 2 2 2 6 2 3 x x x y x





   2 2 6 3 x y x



2



2      6 0 6 0 0 3 x x x x

e) Derivada segunda:





   2 2 6 3 x y x

(10)













          2 2 2 4 2 3 6 6 2 3 2 3 x x x x y x













      2 2 2 2 4 2 6 3 24 3 3 x x x y x



 







   _   _    2 2 2 4 2 6 3 3 4 3 x x x y x





        2 3 2 6 3 3 3 x y x





        2 3 2 18 1 3 x y x





    _{        }  2 2 3 2 18 1 0 1 0 1 3 x x x x ( ) f x f x( ) f x( ) Forma do gráfico



 , 1



_ _ Decrescente

Côncavo para baixo  1

x 1 4 _ 0 Ponto de Inflexão



1,0



_ _ Decrescente

Côncavo para cima  0

x 0 0  Mínimo Relativo

 

0,1 _ _ Crescente

Côncavo para cima  1

x 1 4  0 Ponto de Inflexão



1,



_ _ Crescente

(11)

Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 3 de 5 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 ‐15 ‐10 ‐5 0 5 10 15 PI (‐1, 1/4) PI (1, 1/4) Mínimo (0,0) y = 1

2) Encontre, aplicando os conceitos de otimização, dois números cuja

diferença seja 100 e cujo produto seja o menor possível.

  100 x y   100 y x  P xy  ( 100) P x x  2₁₀₀ P x x 2 100 dP x dx y   100x   2x 100 0

y 50 100  50 x

y  50

3) O gráfico da derivada segunda

f 

de uma função

f

está

representado na figura abaixo. Estabeleça as coordenadas

x

dos

pontos de inflexão de

f

. Justifique sua resposta.

(12)

As abscissas

x  1

e

x 7

são as coordenadas onde a derivada

segunda é igual a zero e há mudança de sinal. A abscissa

x 4

atende

apenas à condição da derivada segunda ser igual a zero, porém não há

mudança de sinal na derivada segunda.

Resposta:

x 1

e

x 7

.

4) Sabendo que

f x dx( ) f x(   x) f x( )

e que

f x( )lnx

, mostre que

ln1,050,05

, para

x 1

e

dx  x 0,05

.

( ) ( ) ( ) f x dx f x  x f x ln(1 0,05) ln1  dx x    ln(1 0,05) dx ln1 x  0,05 ln1,05 0 1  ln1,05 0,05

5) Use a diferenciação logarítmica para achar a derivada da função

abaixo:

5 4 6

(2 1) ( 3)

y  x x 

OBS: Dê a resposta em função da variável

x

.

5 4 6 (2 1) ( 3) y  x x     _  5 4  6_ lny ln (2x 1) (x 3)   5 4 6 lny ln(2x 1) ln(x 3)    4  lny 5 ln(2x 1) 6 ln(x 3)          3 4 1 1 1 5 2 6 4 2 1 3 dy x y dx x x      3 4 1 10 24 2 1 3 dy x y dx x x    _  _     3 4 10 24 2 1 3 dy x y dx x x      _  _     3 5 4 6 4 10 24 (2 1) ( 3) 2 1 3 dy x x x dx x x

6) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:

ln(ln ), ( ,0) y  x e  ln(ln ) y x   1  (ln ) ln d y x x dx

(13)

Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 5 de 5   1 1 ln y x x   1 ln y x x  1   1 ln m m e e e  ₀  (  ₀) y y m x x  0 1(  ) y x e e  1 1 y x e