TENSÕES NOS SOLOS CONCEITO DE TENSÕES NO SOLO

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(3) . TENSÕES NOS SOLOS ●. CONCEITO DE TENSÕES NO SOLO Aplicação da Mecânica dos Sólidos Deformáveis aos solos → conceito de tensões num meio particulado ⇒ os solos são constituídos por partículas e as forças são transmitidas de partícula a partícula e suportadas pela água dos vazios.. Transmissão de esforços entre as partículas – Partículas granulares → transmissão de forças através do contato direto grão a grão; – Partículas de argila → pode ocorrer através da água adsorvida A transmissão se dá por áreas muito reduzidas. Ao longo de um plano horizontal no solo tem-se esforços decompostos em componentes normais e tangenciais.. Conceito de tensão total em um meio contínuo –. Conceito de tensão normal:. N ∑ σ= área. –. Conceito de tensão tangencial:. T ∑ τ= área. Tensões de contato (> 700MPa) >>>> tensões totais assim definidas (< 1 MPa) → áreas de contato muito pequenas (< 1% da área total).

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(6) . TENSÕES NOS SOLOS ●. TENSÕES NA MASSA DE SOLO – Tensões devido ao peso próprio – Tensões devido a propagação de cargas externas aplicadas ao terreno.. Tensões devido ao peso próprio do solo Caso geral - terreno inclinado Semi-espaço infinito, solo homogêneo acima do NA, elemento de solo de espessura unitária. Por equilíbrio: Σ FH= 0 ⇒ Ee = Ed Σ FV= 0 ⇒ W = R W = peso do elemento unitário de solo. W = bo ⋅ z ⋅1 ⋅ γ = b ⋅ cos i ⋅ z ⋅ γ σv = tensão atuante na base do elemento de solo. σv =. R = γ ⋅ z ⋅ cos i b. σv. Caso particular - terreno horizontal e plano, com constância horizontal nas camadas e ausência de cargas externas tensões geostáticas → tensões cisalhantes nos planos horizontal e vertical são nulas. σv = γ ⋅ z. solo estratificado → camadas uniformes de espessuras z1, z2, ..., com pesos específicos γ1, γ2, .... σv = γ1 ⋅ z1 + γ 2 ⋅ z 2 + ... + γn ⋅ zn.

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(9) . TENSÕES NOS SOLOS – Exemplo de cálculo. – Pressão neutra (ou poropressão) - u ou uw Pressão na água dos vazios dos solos → corresponde a carga piezométrica da lei de Bernoulli.. u = γw ⋅ zw. Zw = altura da coluna d’água. – Tensões efetivas - σ’ Terzaghi → estabeleceu que abaixo do NA a tensão normal total em um plano qualquer → soma de duas parcelas: • Tensão transmitida pelos contatos entre as partículas → σ’) - extremamente difícil mensuração ! tensão efetiva (σ • Pressão na água dos poros (uw) Num caso mais genérico (solo não saturado): • Pressão no ar dos poros (ua).

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(12) . TENSÕES NOS SOLOS Para um elemento de solo tem-se a seguinte condição de equilíbrio:. σ ⋅ A = σ'⋅Ac + uw ⋅ Aw + ua ⋅ Aa para solo saturado:. σ ⋅ A = σ'⋅Ac + uw ⋅ Aw. σ = tensão total σ’= tensão efetiva uw = poropressão na água (pressão neutra) ua = poropressão no ar. A = área total Ac = área de contato Aw = área de água Aa = área de ar. Como Ac <<<<< A impossível mensuração → σ’ definido pelo Princípio das tensões efetivas • Princípio das tensões efetivas: • A tensão efetiva (solos saturados) pode ser expressa por:. σ' = σ − u • Todos os efeitos mensuráveis das variações de tensões (deformações e resistência ao cisalhamento) são devido a variações na tensão efetiva - associados ao deslocamento relativo das partículas de solo.. • Experiência que ilustra o conceito de tensão efetiva.

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(15) . TENSÕES NOS SOLOS • Implicações do conceito de tensões efetivas – Na prática da Mecânica dos Solos define-se tensão efetiva como a tensão que efetivamente atua nos contatos grão a grão, respondendo pelas características de deformabilidade e resistência ao cisalhamento dos solos. A tensão deixa de ser calculada pela equação equilíbrio de esforços, mas continua sendo conceitualmente considerada a tensão no esqueleto mineral; – Ao passo que, com poucas exceções, toda a deformação nos solos está relacionada a variação na tensão efetiva, o solo pode sofrer deformação sem sofrer acréscimo de tensão total, basta que haja variação da pressão neutra; – Solos argilosos podem apresentar comportamento viscoso, sujeitos a creep (adensamento secundário), manifestando deformações lentas a tensão efetiva constante; – A resistência ao cisalhamento dos solos é em parte devido ao atrito entre as partículas, função das tensões de contato entre as partículas.. • Cálculo da tensão efetiva.

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(18) . TENSÕES NOS SOLOS • Exemplo de cálculo No caso geostático, as tensões horizontais associadas às tensões verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no repouso (K0).. • Relação entre tensões efetivas horizontal (σ’h) e vertical (σ’v) No caso geostático as tensões horizontais associadas às tensões verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no repouso (K0).. K0 =. σ' h σ' v. O valor de K0 varia entre 0,3 e 3 dependendo do tipo de solo, história de tensões, plasticidade, ... VALORES TÍPICOS: Tipo de solo K0 areia fofa 0,50 areia densa 0,40 argila de baixa plasticidade 0,50 argila muito plástica 0,65 argila pré-adensada >1 solos compactados >1.

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(21) . TENSÕES NOS SOLOS – Efeito da capilaridade Por efeito da tensão superficial entre a água e a superfície das partículas → a água consegue subir acima do nível freático a uma altura maior quanto menor forem os vazios.. • Tensão superficial da água e tensões capilares. T (água a 20oC)= 0,073 N/m2. hc =. 2⋅T r ⋅ γw. • Distribuição das poropressões u= uw(?) + ua(?). z z. uw=γw z. uw= - (γw z) Exemplo de cálculo.

(22) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS Tensões devido a cargas externas - propagação e distribuição – Tensões devido a cargas externas Além do peso próprio da massa de solo, as tensões no solo podem ser originadas por carregamentos externos. A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia.. – Distribuição das tensões Experiências dos primórdios da Mecânica dos Solos: • os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada; • o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em profundidade; • como a área de atuação aumenta o valor das tensões verticais diminuem com a profundidade.. –.

(23) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS – Bulbos de tensões Bulbos de tensões ou isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões. Para efeito de projetos convenciona-se ∆σ = 0,1 σ0 como o bulbo de tensões mais afastado → superfície mais distante sob efeito da carga externa.. – Método do espraiamento das tensões Simplificadamente o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com umângulo de espraiamento de 30o. Ex: para um carregamento ao longo de uma faixa de carregamento infinito:. σv = σ0 ⋅. 2⋅L 2 ⋅ L + 2 ⋅ z ⋅ tg30o.

(24) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS O método do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos.. – Método empírico de Kögler e Scheidig para a propagação e distribuição das tensões Kögler e Scheidig (1927-1929) → experimentos com o carregamento de placas de diferentes formas e medindo-se por instrumentação as tensões verticais no interior de substratos de areia compactada.. Soluções propostas: • Para cargas em faixas de largura 2B. σz = σ0 ⋅. 2⋅B B + z ⋅ tgθ. • Para cargas aplicadas em placas circulares de raio R. R2 σz = σ0 ⋅ (R + z ⋅ tgθ) 2 • Para cargas aplicadas em placas quadradas de lado A. A2 σz = σ0 ⋅ (A + z ⋅ tgθ) 2. • Para cargas aplicadas em placas retangulares de lados A e B. σz = σ0 ⋅. A⋅B (A + z ⋅ tgθ) ⋅ (B + z ⋅ tgθ). θ = 30o para solos predominantemente argilosos e pouco rígidos θ = 45o para solos predominantemente granulares e compactos.

(25) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS – Aplicação da Teoria da Elasticidade Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade →. relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke (material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).. • Considerações sobre hipóteses da teoria da elasticidade A aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois os mesmos não satisfazem os requisitos das hipóteses: – Comportamento linear (relação tensão-deformação linear) e elástico (deformações reversíveis) → para que seja válida os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações) tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura. Resulta válido o Princípio da Superposição dos Efeitos; – Homogeneidade (mesmas propriedades em todos os pontos) → foge a realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensãodeformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade; – Isotropia → O solo é em muitos casos anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para em terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada. Para estas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade é também válido o Princípio de Saint-Venant → “Desde que as resultantes de dois carregamentos sejam as mesmas, o estado de tensões numa região suficientemente afastada da aplicação do carregamento independe da forma com que o carregamento é aplicado”.. – Soluções com base na Teoria da Elasticidade • Solução de Boussinesq para carga concentrada Boussinesq → determinou tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga puntual aplicada na superfície deste semi-espaço..

(26) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS – Acréscimo de tensão vertical. σz =. σz = onde. 3⋅ P 5 cos ⋅ θ 2 2⋅π⋅z. ou. P ⋅ NB 2 z. NB =. 3 1 ⋅ 5 2 2 2⋅π  r  1 +      z  . Para pontos na vertical abaixo da carga (z/r = 0). σz =. 0,48 ⋅ P z2. – Acréscimo de tensão horizontal radial. P cos 2 θ 3 σr = ⋅ [3 ⋅ cos θ ⋅ sen θ − (1 − 2 ⋅ ν ) ⋅ ] 2 ⋅ π ⋅ z2 1 + cos θ – Acréscimo de tensão transversal. P cos 2 θ 3 ] σt = −(1 − 2 ⋅ ν ) ⋅ ⋅ [cos θ − 2 2⋅π⋅z 1 + cos θ.

(27) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS – Tensão cisalhante. τ=. 3⋅ P ⋅ cos 4 θ ⋅ sen θ 2 2⋅π⋅z. O coeficiente de Poisson →. ν=−. εx εz. se relaciona ao coeficiente ν K0 = de empuxo no repouso 1− ν. • Solução de Melan para carga ao longo de uma linha de extensão infinita Melan (1932) → integração em linha da equação de Boussinesq. 2⋅Q z3 ⋅ 2 σz = π (z + x 2 ) 2. 2⋅Q x2 ⋅ z σx = ⋅ 2 π (z + x 2 ) 2. ou de outra forma. σz =. 2⋅Q ⋅ cos 4 θ π⋅z. Q em kN/m. • Solução de Carothers-Terzaghi para carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita A partir da equação de Melan. β = ângulo entre a vertical e a bissetriz de 2α 2α =ψ - θ β=θ+α. σz =. Q ⋅ (sen 2α ⋅ cos 2β + 2α) π. σy =. 4⋅Q ⋅ν⋅α π. σx =. Q ⋅ (− sen 2α ⋅ cos 2β + 2α) π. onde ν: coeficiente de Poisson e α é expresso em radianos Q em kN/m2.

(28) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS Solução gráfica.

(29) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS • Solução de Osterberg para carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita Solução gráfica para σz sob a faixa de carregamento:. A solução apresenta o efeito da semi-largura do carregamento. Por sobreposição dos efeitos:. σz = σ0 ⋅ (Iσlado esquerdo + Iσlado direito) σ0 = γaterro ⋅ espessura do aterro onde no caso de um aterro: Para pontos situados fora da projeção da faixa de carregamento usar a solução para carga uniformemente distribuída de Carothers-Terzaghi..

(30) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS • Solução de Carothers para carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita Solução gráfica (ν = 0,45) para acréscimos de tensão vertical (σz= ∆σ1) e de tensão horizontal (σx= ∆σ3):.

(31) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS • Solução de Love para carga uniforme sobre superfície circular A fórmula de Love (Love, 1929) obtida a partir da integração da solução de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao longo da vertical que passa pelo centro de uma placa circular uniformemente carregada:.  1  σz = σ0 ⋅ 1 −  1 + (R ) 2 z . [.   3  2  . ]. Soluções gráficas (para ν = 0,45).

(32) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS.

(33) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS • Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular – Solução de Newmark Newmark (1933) → a partir da integração da equação de Boussinesq, solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular. Equação: σz =. [. ].  2 ⋅ m ⋅ n ⋅ (m 2 + n 2 + 1) 0,5   σ0  2 ⋅ m ⋅ n ⋅ (m 2 + n 2 + 1) 0,5 ⋅ (m 2 + n 2 + 2) ⋅ + arctg  2 2 2 2  4 ⋅ π  (m 2 + n 2 + 1 + m 2 ⋅ n 2 ) ⋅ (m 2 + n 2 + 1)  m + n + 1 − m ⋅ n . m=. a z. n=. b z. Solução gráfica: σz = σ0 ⋅ Iσ entrada: m e n → tem-se Iσ Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela..

(34) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS – Solução de Steinbrenner Tensões no vértice do retângulo a uma profundidade z. Equação:.  b a ⋅ (a 2 + b 2 ) − 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ ( R − z )   b ⋅ z a ⋅ ( R 2 + z 2 )   σ0  σz = ⋅ arctg  ⋅ 2 + 2 ⋅ 2  2 2 2 + ⋅ − − ⋅ − + (a + z 2 ) ⋅ R   2⋅π  z ( a b ) ( R z ) z ( R z ) b z    onde:. R = a 2 + b2 + z2. e a>b. Solucão gráfica: entrada z/b e a/b → saída. σz i= σ0.

(35) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS • Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer Método dos “quadradinhos” (Ábaco circular de Newmark) Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos Efeitos. Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,.... da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta Iσ= 0,1. Da equação de Love:    1 σz = σ0 ⋅ 1 −   1 + R z .   2  . ( ). 3. 2.     .  σz 1 = 1−  Iσ = 1 + R σ0  z.   2  . ( ). Como Iσ = f(R/z) o traçado dos círculos segue a seguinte tabela:. O ábaco é ainda dividido em 20 setores de igual área, originando trapézios circulares (“quadradinhos”) cuja unidade de influência Iσ=0,005. 3. 2.

(36) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS Uso do ábaco – É desenhada a planta da área carregada na mesma escala de construção do ábaco (AB= z), sendo este centrado no ponto onde deseja-se determinar o acréscimo de tensões; – Conta-se o número de “quadradinhos” n abrangidos pela área de carregamento (devem ser contabilizadas de maneira fracionada os “quadradinhos” ocupados parcialmente); – O acréscimo de tensão vertical será dado por: sendo Iσ= 0,005 σz = σ0 ⋅ n ⋅ Iσ – É necessário repetir os procedimentos para cada profundidade que se deseja conhecer as tensões porque modifica a escala do desenho. Exemplo:.

(37) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS • Soluções de Mindlin (1936) e Antunes Martins (1945) para carga distribuída ao longo de um elemento vertical inserido na massa de solo As soluções consideram a transmissão de carga por uma estaca através do atrito ao longo do fuste e pela ponta para uma massa de solo homogênea, isotrópica e semi-infinita. Mindlin (1936) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pela ponta Pp - parcela da carga transmitida pela ponta Kp - coeficiente de influência (ábaco - lado direito) Antunes Martins (1945) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pelo fuste, admitindo atrito uniforme ao longo do comprimento da estaca. Pa - parcela da carga transmitida pelo fuste Pa σz = 2 ⋅ Ka Ka - coeficiente de influência (ábaco - lado C esquerdo). Pp σz = 2 ⋅ Kp C.

(38) DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos. TENSÕES NOS SOLOS • Outras soluções Soluções elásticas específicas ou soluções numéricas (p.ex. método dos elementos finitos). Bibliografia: Poulos e Davis “Elastic solutions for soil and rock mechanics”.. • Simplificações práticas com base na aplicação do Princípio de Saint-Venant – Para uma área retangular carregada, para cotas z > 3 b, a influência pode ser considerada igual a de uma carga puntual aplicada no centro de gravidade da área; – A simplificação acima também é válida quando o raio vetor R da equação de Boussinesq é maior que 5x o lado menor b da superfície retangular; – Para uma superfície retangular de lado maior > que 10x o lado menor, pode-se aplicar soluções para carga em faixa (p.ex. formulação de Carothers - Terzaghi).. – Considerações sobre o emprego da Teoria da Elasticidade a solos não homogêneos As soluções apresentadas, baseadas na Teoria da Elasticidade, indicam acréscimos de tensões verticais que independem do Módulo de Elasticidade (E) e Coeficiente de Piosson (ν), visto as simplificações quanto a isotropia e principalmente homogeneidade. Na verdade o subsolo se apresenta em estratos constituídos por solos de variados módulos ou mesmo quando formados por um único material apresentam tendência natural a valores de módulos crescentes com profundidade → necessidade de soluções mais elaboradas ou uso de soluções numéricas (métodos computacionais) ⇒ uso difundido em Mecânica dos Pavimentos. Entretanto, apesar das reconhecidas limitações da Teoria da Elasticidade, as soluções aqui apresentadas ainda têm sido empregadas (mesmo para solos não homogêneos). A justificativa para tal é o fato de conduzirem a resultados com razoável aproximação às medições experimentais..

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