Qual é a melhor reta que representa esse conjunto de pontos? Podemos defini-la matematicamente!

(1)

(2)

Free Multi-Width Graph Paper from http://incompetech.com/graphpaper/multiwidth/

Regressão linear

Qual é a melhor reta que

representa esse conjunto de

pontos?

Podemos defini-la

matematicamente!

(3)

Regressão linear

d

i

Queremos

encontrar a reta

que tenha a

mínima distância

possível de cada

um dos i pontos

experimentais

y

x

(4)

Regressão linear

y

x

d

i

Reta:

Y = A + BX

Distância de um

ponto à reta:

d

i

= Y(x

i

) − y

i

= A + B x

i

− y

i

(5)

Regressão linear

y

x

d

i

Distância de um

ponto à reta:

d

i

= Y(x

i

) − y

i

= A + B x

i

− y

i

Distância de todos

os pontos à reta:

∑ d

i

= ∑ A + B x

i

− y

i

(6)

Regressão linear

y

x

d

i

> 0

Distância de todos

os pontos à reta:

∑ d

i

= ∑ A + B x

i

− y

i

d

i

< 0

(7)

Regressão linear

y

x

d

i

> 0

Distância de todos os

pontos à reta:

∑ d

i

= ∑ A + B x

i

− y

i

Módulo?

∑ |d

i

| = ∑ |A + B x

i

− y

i

|

d

i

< 0

(8)

“Desvio padrão”

−4 −4

+4

∑ |d

i

|/N = 4

−6

−2

+1

+7

∑ |d

i

|/N = 4

(9)

−4 −4

+4

−6

−2

+1

+7

√∑ d

i2

/N = 4,74

√∑ d

i2

/N = 4

“Desvio padrão”

(10)

Método dos mínimos

quadrados

d

i

Minimizamos a soma

quadrática das

distâncias:

D = ∑ d

i2

= ∑ (A + B x

i

− y

i

)

2 y

x

(11)

Método dos mínimos

quadrados

d

i

Minimizamos a soma

quadrática das

distâncias:

D(A, B) = ∑ d

i2

= ∑ (A + B x

i

− y

i

)

2 y

x

(12)

Método dos mínimos

quadrados

d

i

D(A, B) = ∑ (A + B x

i

− y

i

)

2 Vamos achar A, B que

minimizam D.

y

(13)

Equação dos Mínimos Quadrados

Y

X

iésimo ponto (x_i;y_i)

ponto da melhor reta (x_i;Y_mr)

d_i

d_i é a distância, na vertical, entre a melhor reta e o iésimo ponto experimental

melhor reta Y = A + BX

d_i= Y_mr - y_i Y_mr = A + Bx_i

a condição para obtenção da melhor reta é:

mínimo d N i i =

∑

=1 2 d_i = A + Bx_i - y_i d_i2_{= (A + Bx} i – yi)

.

(A + Bxi – yi)

(14)

2 2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ i i i i i i i A ABx Ay B x Bx y y d = + − + − + ) ).( ( 2 i i i i i A Bx y A Bx y d = + − + −

Como x_i e y_i são valores fixos ( pontos experimentais ),

a melhor reta é obtida ajustando os valores de A e de B ⇒ ( , )

1 2 _f _A _B d N i i =

∑

= mínimo ser 1 2

∑

= N i i d ⇒ 0 1 2 = ∂ ∂

∑

= A d N i i 0 1 2 = ∂ ∂

∑

= B d N i i

∑

= = = = = = = + − + − + = N i i N i i i N i i N i i N i i N i N i i A AB x A y B x B x y y d 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 ₂ ₂ ₂ 2 NA

(15)

∑

= = = = = = + − + − + = N i i N i i i N i i N i i N i i N i i NA AB x A y B x B x y y d 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 ₂ ₂ ₂ 0 ) ( 2 1 1 1 2 = − + = ∂ ∂

∑

= = = N i i N i i N i i y x B NA A d ⇒ N y x B A N i i N i i

∑

= = + − = 1 1 I 0 ) ( 2 1 1 2 1 1 2 = − + = ∂ ∂

∑

= = = = N i i i N i i N i i N i i y x x B x A B d ⇒

∑

= = =

−

=

N i i N i i i N i i

x

y

A

x

B

1 1 1 2 II

substituindo a eq.I na eq.II :

∑

= = = = = " " " " # $ % % % % & ' − − = N i i N i N i i i N i i i N i i x N x B y y x x B 1 1 1 1 1 2 III

(16)

multiplicando III por N : 2 1 1 1 1 1 2

∑

= = = = = " # $ % & ' + − = N i N i i i N i i N i i i N i i N x y x y B x x NB rearranjando :

_∑

= = = = = = = − = # # $ % & & ' ( # $ % & ' ( − = # $ % & ' ( − N i i N i i N i i i N i i N i i N i i N i i B x B N x x N x y x y x NB 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 isolando B: 2 1 1 2 1 1 1 ! " # $ % & − − =

∑

= = = = = N i i N i i N i i N i i N i i i x x N y x y x N B substituindo B na equação I: N y x B A N i i N i i

∑

= = + − = 1 1

e rearranjando adequadamente, teremos:

(

)

2 1 1 2 1 1 1 1 2 ! " # $ % & − − =

∑

= = = = = = N i i N i i N i i i N i i N i i N i i x x N y x x y x A

(17)

Método dos mínimos quadrados

N

=

Σx

_i

=

(Σx

_i

)

2 =

Σx

_i2

=

Σy

_i

=

Σx

_i

y

_i

=

1/f (10

-3

_{s) 1,00}

1,25

1,67

2,50

5,00

10,0

λ (m)

0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

(18)

Método dos mínimos quadrados

N

= 6

Σx

_i

= Σ(1/f

_i

) = 1,00 x 10

-3

+ 1,25 x 10

-3

+ …+ 10,0 x 10

-3

=

21,42 x 10

-3

s

(Σx

_i

)

2 = 4,588164 x 10

-4

s

2 Σx

_i2

= (1,00 x 10

-3

)

2 + (1,25 x 10

-3

)

2 + …+ (10,0 x 10

-3

)

2 =

1,366014 x 10

-4

s

2 Σy

_i

= 0,3405 + 0,4340 + … + 3,4556 = 7,3911 m

Σx

_i

y

_i

=

(1,00 x 10

-3

x 0,3405) + …+ (10,0 x 10

-3

x 3,4556) =

4,714885 x 10

-2

s m

1/f (10

-3

_{s) 1,00}

1,25

1,67

2,50

5,00

10,0

λ (m)

0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

(19)

Método dos mínimos quadrados

2 1 1 2 1 1 1

!

"

#

$

%

&

−

=

∑

= = = = = N i i N i i N i i N i i N i i i

x

N

y

x

y

x

N

B

(

)

2 1 1 2 1 1 1 1 2

!

"

#

$

%

&

−

=

∑

= = = = = = N i i N i i N i i i N i i N i i N i i

x

N

y

x

y

x

A

(20)

Método dos mínimos quadrados

A = [(1,366014 x 10

–4

x 7,39115) – (21,42 x 10

–3

x 4,714885 x 10

-2

)]/

[(6 x 1,366014 x 10

–4

) – 4,588164 x 10

–4

] =

- 8,1420724 x 10

–4

m = –0,0008 m

B = [(6

x 4,714885 x 10

-2

) – (21,42 x 10

-3

x 7,3911]/

[(6 x 1,366014 x 10

-4

) – 4,588164 x 10

-4

] = 345,23987 m/s = 345 m/s

2 1 1 2 1 1 1

!

"

#

$

%

&

−

=

∑

= = = = = N i i N i i N i i N i i N i i i

x

N

y

x

y

x

N

B

(

)

2 1 1 2 1 1 1 1 2

!

"

#

$

%

&

−

=

∑

= = = = = = N i i N i i N i i i N i i N i i N i i

x

N

y

x

y

x

A

(21)

Método dos mínimos quadrados

A = [(1,366014 x 10

–4

x 7,39115) – (21,42 x 10

–3

x 4,714885 x 10

-2

)]/

[(6 x 1,366014 x 10

–4

) – 4,588164 x 10

–4

] =

- 8,1420724 x 10

–4

m = –0,0008 m

B = [(6

x 4,714885 x 10

-2

) – (21,42 x 10

-3

x 7,3911]/

[(6 x 1,366014 x 10

-4

) – 4,588164 x 10

-4

] = 345,23987 m/s = 345 m/s

1/f (10

-3

_{s) 1,00}

1,25

1,67

2,50

5,00

10,0

λ (m)

0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

Mesma precisão de y

i

Significativos de x

i

e y

i

(22)

Universidade Federal de Santa Catarina

Licenciatura Em Física a Distância Laboratório de Física I – FSC 9301 Professor Flavio Renato Ramos de Lima Professor José Ricardo Marinelli

Fazendo regressão linear na calculadora.*

*(Os conceitos básicos são os mesmos para qualquer calculadora MAS os comandos específicos aqui mostrados são para a calculadora Casio FX‐82MS, para algumas calculadoras, alguns comandos serão ligeiramente diferentes.)

Calculadora: Regressão linear ou

método dos mínimos quadrados

(23)

Exemplo de pesos para correção do gráfico (valor total do gráfico = 10 pontos)

* Escalas

- Falta variável/unidade: -1 p por eixo

- Marcas de escala em excesso: -1 p por

eixo

- Escala proibida: -2 p por eixo

- Gráfico pequeno? (<50%): -1 p

- Precisão correta das escalas?: -1 p por

eixo

* Casos omissos:

Decidam com

coerência.

* Pontos exp. e melhor reta

- Pontos pouco visíveis: -1 p

- Pontos mal alocados: -1 p por ponto

mal alocado

- Faltam pontos da melhor reta: -2 p

- Melhor reta incoerente com pontos:

Verificar onde está erro.

- Gráfico poluído: -1 p

-Leitura difícil/falta capricho: -1 p

Agora você é o carrasco e

(24)

(25)

PATETICE DOS

COMENTARIOs

LONGE

_{PROXIMIDADE DE um gatINHO}

PERTo

UM GATINHO!

(26)

Tipos de papel

papel

(27)

(28)

eixo linear

Papel milimetrado

(29)

eixo

logarítmico

Papel semilog ou monolog

(30)

eixo

logarítmico

Papel loglog ou dilog

(31)

Escolha do papel

Critério: Curva que representa pontos

experimentais deve ser uma

reta

.

Y = A + B X

Y

(32)

Papel semilog ou monolog

Equações do tipo:

Y =

A

e

B

X

_ou

Y =

A

10 B

X

_ou

Y =

A

2 B

X

eixo

log

Y

X

A, B: constantes

desconhecidas

eixo

linear

(33)

Papel loglog ou dilog

Equações do tipo:

Y =

A

X

n

eixo

log

Y

X

A, n: constantes

desconhecidas

eixo

log

(34)

(35)

(36)

(37)

eixo

logarítmico

Papel semilog ou monolog

(38)

(39)

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

b

x C t .

a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros linear e angular.

b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog).

c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos.

a) Linearização:

Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que

Y = log x X = log t A = log C B = b

b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b:

Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578 B 0,564 b log30,000 log1,000 1, 477121255 0,564 cm s

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51

d

(40)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51

d

d d d

(41)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51

d

d d d

(42)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

Escolhendo, no gráfico, os pontos P₁(30,000;37,5) e P₂(1,000;5,50), temos: log37,5 log5,50 0,833668578 B 0,564 b log30,000 log1,000 1, 477121255 0,564 cm s

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51 + + +

0,100

1,000

_10,000

1,00

10,00

d +

(43)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51 + + + + + + d

(44)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51

d

d d d

(45)

Free Multi-Width Graph Paper from http://incompetech.com/graphpaper/multiwidth/

Traçado da curva

1. Não precisa passar

sobre todos os pontos

(às vezes não passa por

ponto algum)

2. Não precisa começar no

primeiro ponto nem

terminar no último

ponto

3. Deve ser traçada

levando em conta a

tendência dos pontos

experimentais (nunca

ligar ponto a ponto)

(46)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51 + + + + + + d

(47)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51 + + + + + + d

P

1 (x

1 , y

1 )

P

2 (x

2 , y

2 )

(48)

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos

previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s)

0,200

0,500

1,200

3,000

20,000

50,000

x(cm)

2,25

3,77

6,18

10,000

30,14

50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

b

x C t .

a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular.

b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog).

c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos.

a) Linearização:

Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t.

Comparando com a equação da reta, temos que

Y = log x

X = log t

A = log C

B = b

b) Gráfico (próxima folha)

c) Cálculo de C e b:

Escolhendo, no gráfico, os pontos P

1

(30,000;37,5) e P

2

(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50

0,833668578

B

0,564 b

log30,000 log1,000 1, 477121255

0,564 cm s

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51

Obtenção das grandezas procuradas

+ + + +

P

1 (x

1 , y

1 )

P

2 (x

2 , y

2 )

d

B =

Y

X

=

Y

₂

Y

₁

X

₂

X

₁

B =

log d

2 log d

1 log t

₂

log t

₁

A = Y

₁

BX

₁

A = log d

₁

B log t

₁

(49)

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51

d

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

b

x C t .

a) Linearização:

log C log 37,5 0,564 log 30,000 0,740934881

C 5,51

(50)