Qu^anti a Os ar J. P. Eboli Instituto de Fsi a Universidade de S~ao Paulo Caixa Postal 66.318 05315-970 S~ao Paulo, SP Fevereiro de 2004
Introdu ~ao
1.1 Me ^ani a Classi a
A evolu ~ao temporal de orpos ma ros opi os e muito bem des rita
pela Me ^ani a Classi a. Segundo esta, o estado de uma part ula e
espe i ado atraves da sua posi ~ao (x) e da sua velo idade (x)_ em
rela ~ao a um dado referen ial iner ial.
E importante notar que no
ontexto daMe ^ani a Classi aestas duasquantidades(x,x)_ podemser
medidassimultaneamente om pre is~ao arbitraria.
Observaveis, i.e. quantidades mensuraveis tais omo momento
li-near, momento angular e energia, s~ao fun ~oes de ponto O(x;x)._
Por-tanto, onhe ido oestado (x,x)_ dosistema num dado instante, ovalor
dos observaveis en ontra-se univo amente determinado.
Dada uma ondi ~ao ini ial do sistema (x(t
0
) e x(t_
0
)) sua evolu ~ao
temporale regida pelasegunda leide Newton
mx=F(x;x ;_ t); (1.1)
onde m e a massa da part ula e F e a for a total agindo sobre esta.
Outra ara tersti a importante da Me ^ani a Classi a e que ela e
de-terminsti a,istoe,dada a ondi ~aoini ial e asfor as que agem sobre
o sistema, o resultado de qualquer medida feita sobre o sistema pode
ser al ulado utilizando-se aEq. (1.1).
Uma maneira elegante de apresentar o formalismo da Me ^ani a
prin piodamnimaa ~ao. Este nadamaisedoquerequererqueaa ~ao S= Z t f t i dt L(x;x)_ (1.2)
seja esta ionaria om respeito a varia ~oes de x(t), onde L e a
La-grangiana do sistema. Para sistemas simples, temos que L = m
2 _ x
2
V(x), onde V e o poten ial asso iado as for as ( onservativas) que
agemsobre o sistema. Impondo-seque S seja esta ionaria, obtemosas
equa ~oes de Euler-Lagrangepara o movimento
L x i d dt L x_ i =0: (1.3)
Muitas vezes e onveniente utilizar a formula ~ao Hamiltoniana da
Me ^ani a Classi a, a qual e obtida atraves de uma transforma ~ao de
Legendre de L emrela ~ao a variavel x._ De nimos o momento
anoni- amente onjugadoa variavel x
i por p i = L x_ i ; (1.4) ea HamiltonianaH atravesde H (x;p)=px_ L: (1.5)
Nesta formula ~aoo estado do sistemae espe i ado atraves de x e p
sendo que estas duas quantidades tambem podem ser medidas
simul-taneamente ompre is~aoarbitraria. Aevolu ~aotemporaldas variaveis
anoni amente onjugadas xe pe governada por
dx i dt = H p i ; (1.6) e dp i dt = H x i : (1.7)
Estas equa ~oes podemser rees ritas usando-seos ol hetesde
Pois-son: dx i dt =fH ;x i g; (1.8) dp i =fH ;p i g; (1.9)
onde temos que fA;Bg X i " A p i B x i A x i B p i # : (1.10)
1.2 Problemas da Fsi a Classi a
Apesar de todooseu su essonotratamentode fen^omenosma ros
opi- os aFsi aClassi a n~ao ofere euma boades ri ~aodos fen^omenos
mi- ros opi os. Classi amenteexistemdois on eitosdistintos,asaber,
on-dasepart ulas. Emes alasma ros opi asdedist^an ias,osfen^omenos
s~ao orretamente des ritos apenas por um destes on eitos. Todavia,
durante o nal do se ulo XIX e o in io do se ulo XX, foram
ole-tadas muitas informa ~oes experimentais que onduziram ao abandono
da Fsi a Classi a, prin ipalmente no que tange as ara tersti as
on-dulatorias e orpus ulares dos fen^omenos. Dentre os experimentos
histori os gostaramos de desta ar
Radia ~ao de orpo negro: Para expli ar a radia ~ao
eletromag-neti a emitida por um orpo em equilbrio termi o, Plan k postulou
quea energia eletromagneti an~ao varia ontinuamente, mas simeum
multiplode um pa otemnimo de energia.
Efeito fotoeletri o: Estefoi des obertoporHertzem1897e
expli- adoporEinsteinatravesdahipotesedequealuze onstitudade uma
ole ~aode part ulas(quanta),asquaispossuemuma energiah, onde
e afrequ^en ia daluze hea onstantede Plan k; h=6;62610 27
erg s.
Efeito Compton: Em 1924 Compton des obriu que a radia ~ao
eletromagneti a na regi~ao de raios X n~ao era espalhada de modo
on-sistente omasuanaturezaondulatoriadadoqueem olis~oesaradia ~ao
omporta-se omo um feixe de part ulas as quaispossuemenergia h
emomentoh= , onde e a velo idade daluz.
Estes tr^esfatossugerem fortementequearadia ~aoeletromagneti a
suas intera ~oes, enquanto que na propaga ~ao o omportamento e
on-dulatorioja queexibeinterfer^en ia e difra ~ao.
Esta n~aoeauni a situa ~aoemquetemosuma dualidade,dadoque
em1927DavissoneGermerobservarampelaprimeiravez adifra ~aode
eletrons, mostrandoassimquemateriaeradia ~aopossuemas\mesmas
ara tersti as", a saber, a propaga ~ao e ondulatoria, enquanto que
em olis~oes (intera ~oes) temos o apare imento de um omportamento
orpus ular.
E\natural"asso iar-seapart ulaslivresumaondaplanadaforma
(x;t)=e
i(px Et)=h
; (1.11)
o que equivale a dizer que o omprimento de onda asso iado a essa
part ulae dadopor =h=p equesua frequ^en iaobede e a! =E=h,
onde h=h=2=1;05410 27
erg s.
E importanten~ao esque er que ha mais de um se ulo a umulamos
informa ~oes sobre o omportamentoda materia e radia ~aoapequenas
dist^an ias,equeatehojen~aoexisteevid^en iaque ontrarieasprevis~oes
da Me ^ani a Qu^anti a. Mais ainda, muito de nossa te nologia atual
esta baseada em propriedades da Me ^ani a Qu^anti a. Por exemplo,
toda a eletr^oni a que utilizamos de maneira essen ial no nosso dia a
diae governada pela Me ^ani a Qu^anti a.
1.3 Rela ~oes de in erteza
Como veremos a seguir, a propaga ~ao ondulatoria das part ulas
jun-tamente om a rela ~ao de de Broglie p = hk onduzem a rela ~ao de
in erteza
hk x=p xh; (1.12)
aqualsigni aquen~aopodemosmedirsimultaneamenteaposi ~aoe
omomentodeumapart ula ompre is~oesarbitrarias. Iston~aoimpede
de podermosmedir, porexemplo,x omuma pre is~aoarbitrariadesde
quen~aonos preo upemos emmedirp. Istoeuma grandemudan aem
E importantefrisar que estes erros x e p s~ao intrnse os da
na-turezaondulatoriadamateriaen~aoest~ao orrela ionados om oserros
experimentais tradi ionaisdos pro essos de medida.
Analisemos algumas situa ~oes fsi as muito simples, as quais
per-mitem que ompreendamos que as rela ~oes de in erteza t^em origem
na natureza ondulatoria da materia, bem omo algumas de suas
on-sequ^en ias. A prova formaldestas rela ~oes sera feita mais adiante em
outro aptulo.
1.3.1 Exemplo: medidas de posi ~ao
Suponhamos que as medidas de posi ~ao s~ao feitas utilizando-se o
dis-positivo quese en ontra na gura 1.1.
Figura 1.1: Difra ~aoatraves de uma fenda.
Aposi ~aodapart ulaaolongodoeixoxedeterminadapelo entro
do anteparoe a pre is~ao desta medida e dada pelolargura do orif io,
x ' d. Para simpli ar suporemos que ini ialmente a part ula
possuap x =0,p x =0ep y
=p. Aposatravessar oanteparo,temosa
part ula p
x
' psin , onde e o ^angulo orrespondente a posi ~ao
do primeiro mnimo de difra ~ao; vide a gura 1.1. Todavia, sabemos
desde apre-es olaque sin ==d =h=px. Portanto, temosque
p x x ' h x x=h: (1.13)
Logo,anaturezaondulatoriadamateria(no aso difra ~ao)impli aque
medidasde posi ~aode umapart ulaintroduzemin ertezasnoseu
mo-mento. Maisainda, este experimento t iopermite-nos observar que
as medidas destroem informa ~oes que foram obtidas em experimentos
anteriores,ja queneste aso ovalorde p
x
foi modi ado. Isto o orre
porqueaomedirmosumadeterminadagrandezadevemosinteragir om
osistemaperdendo assiminforma ~aosobreoutrasgrandezas, jaqueas
intera ~oes n~ao podem ser desprezadas na fsi a mi ros opi a.
Poderamos tambem imaginarque seria possvel medir o momento
do anteparo na dire ~ao x e om isso determinar p
x
da part ula om
pre is~ao arbitraria, usando a onserva ~ao do momento. Analisemos
duas situa ~oes, a saber, na primeira o anteparo e lassi o enquanto
na outra ele e qu^anti o. No primeiro aso, mediramos om pre is~ao
absolutao momento p
x
doanteparo, oque nos permitiriaobter o
mo-mento do eletron om qualquer pre is~ao. Todavia, istoe in ompatvel
om a exist^en ia da difra ~ao! Logo, esta hipotese deve ser
abando-nada. No aso do anteparo tambem exibir um omportamento
on-dulatorio n~ao onseguiremos medir om pre is~ao absoluta o seu
mo-mento na dire ~ao x. Para o anteparo ser um bom instrumento de
medida de posi ~ao, devemos ter xj
part xj ante , o que impli a que p x j ante ' h=xj ante h=xj part
. Logo medir o momento do
anteparon~aonosajudaaevadir aslimita ~oes impostaspelarela ~aode
in erteza (1.12).
Este ultimo ra io niotambemnos onduz aoseguintefato: Se
al-guma part ula obede e as rela ~oes de in erteza (dualidade
onda{part ula), ent~aotodas as que interagem om eladevem
satisfazerestas rela ~oes (dualidade). Istoene essariopara
garan-tir a estrutura logi a da teoria, sen~ao poderamos realizar as medidas
pre isas para sistemas que obede em as rela ~oes de in erteza. Logo, a
dualidade onda{part ula t^emum arater universal.
Comoumprimeiroexemplo, onsideremosumsistema omprotons,
n^eutrons e eletrons interagindo entre si. 1
Uma vez que os eletrons
exibem uma dualidade onda{part ula, osprotons e n^eutrons tambem
devem possuir esta propriedade. De fato existem experimentos que
demonstram a exist^en ia da difra ~ao para estas part ulas. Como
se-gundoexemplo desta universalidade onsideremoso ampo
eletromag-neti o. Umavezqueesteinterage omeletrons,quesatisfazemrela ~oes
dein erteza,aradia ~aoeletromagneti adevepossuiradualidadeonda{
part ula, e onsequentemente devem existir rela ~oes de in erteza
en-volvendo as omponentes dos amposeletri o e magneti o. De fato,e
possvel mostrarque existem rela ~oes do tipo
E x H z h (Æl) 4 ; (1.14)
ondeÆleumadist^an ia ara tersti adoarranjoexperimentalutilizado
para estas medidassimult^aneas.
Analisemos agora um exemplo que mostra que as rela ~oes de
in- erteza s~ao as guardi~as da estrutura logi a da Me ^ani a Ondulatoria,
i.e. asrela ~oesdein ertezaimpedemqueos arateres orpus ulare
on-dulatoriodamateria(radia ~ao) apare amsimultaneamente nomesmo
experimento.
1.3.2 Exemplo: Interfer^en ia de duas fendas
Classi amenteatrajetoriadeumapart ulapodeser onhe ida
pre isa-mente, sendo natural saber-se por qual fenda uma part ula transp~oe
um obsta ulo om duas aberturas. Logo, a nossa intui ~ao lassi a
leva-nos a desejar identi ar por qual orif io um eletron passa num
obsta ulo om duasfendas, quandoestudamosa gurade interfer^en ia
apos apassagem poreste aparato. Mostraremos que n~aoepossvel
re-velar simultaneamente anatureza orpus ulareondulatoriadoeletron
nestetipodeexperimento,umavez queaobserva ~aodafendapelaqual
Figura 1.2: Difra ~aoatraves de uma fenda.
elepassoudestruiraa gurade interfer^en ia. Paratanto, onsideremos
oaparato des ritona gura1.2
Alo aliza ~aodosmaximos(interfer^en ia onstrutiva)nestesistema
satisfazem a sin = n=a, onde n e um inteiro e e o omprimento
de onda das part ulas in identes. Logo, a dist^an ia entre maximos
adja entes edada pordsin
n+1
dsin
n
=d=a.
Para monitorarmosporqualfenda oeletron passoudevemos
deter-minarsua posi ~ao naregi~aodo anteparo om uma pre is~ao y<a=2.
Isto impli a numa in erteza p
y
2h=a em seu momento p
y
. Esta
in erteza faz om que a posi ~ao aonde o eletron e observado no
an-teparo tenha uma in erteza 2d=a, devido ao fato de medirmos por
qualfenda elepassou. Mas istodestroia gura de interfer^en ia ja que
esta in erteza adi ional e maior que a dist^an ia entre dois maximos
adja entes gura 1.2!
in-elasn~aopossibilitamaobserva ~aodos doistiposde omportamento
si-multaneamente. Mais ainda,e importantenotar apartir dos exemplos
a ima que ao efetuarmos medidas em um sistema nos o perturbamos
de maneira in ontrolavel, onduzindo-o para um novo estado e om a
onsequentemente perda de informa ~ao.
1.4 Estimativas de ordem de magnitude
No diaadia, podemos usar asrela ~oes de in erteza para estimar a
or-demdegrandezadealgumasquantidades. Paratantoe omumassumir
quealgumasvariaveistenhamumerro damesma ordemde magnitude
do seu valor. No fundo mesmo, estas estimativas s~ao exer ios de
analise dimensional mais so sti ados. Ilustremos estes pro edimentos
om dois exemplos.
1.4.1 Exemplo:
Atomo de hidrog^enio
Estimemos a energia (E
0
) do estado fundamental de um atomo de
hidrog^enio. Aexpress~aoparaaenergiadeumeletronno ampoeletri o
de um proton e dada por
E = p 2 2m e 2 r : (1.15)
Agora assumimos que x r e que p p. Logo, temos que
E pode ser expressa apenas em termos de r, uma vez que a partir da
nossa hipotese segue que rph.
E = h 2 2mr 2 e 2 r : (1.16)
Minimizando-seE om respeito a r obtemosque
E r = h 2 mr 3 + e 2 r 2 =0: (1.17) Portanto,o valorr 0
que minimizaE edado por
r 0 = h 2 2 = h ; (1.18)
onde =e 2
=h '1=137ea onstante de estrutura na.
Substituindo-ser
0
na Eq. (1.16),obtemos que
E 0 = 1 2 m 2 2 ; (1.19)
o qual e o valor orreto da energia do estado fundamental do atomo
de hidrog^enio. Neste ponto vo ^e deve estar se sentindo ludibriado, e
om toda a raz~ao! Opro edimento a imae apenas uma maneira para
obter uma estimativa da ordem de grandeza da energia e para tanto
zemosmuitas hipoteses sobre r e p,as quais poderiamser diferentes,
resultandonum outro valorpara E
0
,oqualainda seriauma estimativa
razoavel daordem de magnitude desta energia.
N~ao obstante sua simpli idade, este exemplo possibilita-nos
enten-der o porqu^e dos atomos serem estaveis: apesar de E de res er para
r ! 0, devemos para tanto lo alizar muito bem o eletron, surgindo
assim uma grandein erteza nomomento,que estabilizao sistema.
1.4.2 Exemplo: Grandezas nu leares
Podemosestimaraordemdemagnitudedegrandezasnu learesusando
as rela ~oes de in erteza. Para tanto, mais uma vez assumimos que
x = r e que p = p. Neste aso a energia ineti a de um nu leone
dada por E nu l ' p 2 2M nu l ' h 2 2M nu l (x) 2 : (1.20)
Uma vez que x ' 10 13
m, temos que E
nu l
' 20 MeV, que e a
es ala orretade fen^omenos nu leares.
1.4.3 Rela ~ao de in erteza E t
Alemdasrela ~oesde in erteza envolvendomomentoeposi ~aotambem
existe uma rela ~ao entre tempo e energia. Usemos um argumento
heursti o para obt^e-la. Consideremos por simpli idade uma part ula
uma in erteza emp induz uma in erteza nasua energia dada por E = E p p = p m p = vp; (1.21)
ondeveavelo idadedapart ula(onda). Consideremosumobservador
xo que v^e a passagem da onda asso iada a esta part ula. Segundo
este observador o tempo que a part ula demora para passar por sua
posi ~aoedado por
t = x v ' h v p = h E : (1.22)
Consequentemente, temosque
E t'h : (1.23)
A interpreta ~aodeste resultado e quea pre is~ao E om que
on-seguimos medir a energia de uma part ula esta limitada por E
h =t, onde t e o tempo utilizado para efetuar-se a medida.
Intui-tivamente isto o orre pois medidas de energia envolvem a analise da
evolu ~ao temporal do sistema, e esta analise e mais pre isa quando
observamos o sistemaporum perodo longo de tempo.
Aexist^en iadasdiversasrela ~oesdein ertezaestaligadaao ara ter
ondulatorio da materia. Para enterdermos isto, vejamos de outra
ma-neiraoapare imentodarela ~aodein ertezaenergia{tempo. Dadauma
onda (x;t) podemos expressa-la em termos da sua transformada de
Fourier emrela ~aoa x e t (x;t)= Z d! Z dk g(!;k) e i(kx !t) : (1.24)
Se desejarmos analisar apenas a parte temporal, podemos integrar
emk, obtendo que (x;t)= Z d! f(!;x) e i!t : (1.25)
Figura1.3: Gra o de j sin(x)
x j.
onde ! (t)ea regi~ao onde (f)ediferentede zero. Uma vez que
E =h! temos que
E th : (1.27)
Para melhor onpreendermos a propriedade (1.26) onsideremos o
seguinte exemplo. Para um dadoponto xodo espa o, assumimos que
afun ~aof seja n~ao nulaapenas para
f(!)=A se0!! ; (1.28)
onde Aeuma onstante. Utilizando(1.26) temos que
(t)= 2A t sin t! 2 e i t! 2 : (1.29)
Estafun ~aoefortementepi adaemt =0 omopodemosverapartir
da gura 1.3. Considerando que a in erteza no tempo da passagem
da onda seja da ordem da dist^an ia entre o seu maior zero negativo
( 2=!) eseu menorzero positivo(2=!),temos que
t !'4:
Cumpre salientar que essa propriedade e geral, n~ao se restringindo a
