Um modelo computacional para o estudo da propagação da dengue

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

JOSÉ MARÍA NARANJO MARTÍNEZ

UM MODELO COMPUTACIONAL PARA O

ESTUDO DA PROPAGAÇÃO DA DENGUE

Campinas

2017

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José María Naranjo Martínez

UM MODELO COMPUTACIONAL PARA O ESTUDO

DA PROPAGAÇÃO DA DENGUE

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada.

Orientador: Maicon Ribeiro Correa

Coorientadora: Bianca M.R. Calsavara

Este exemplar corresponde à versão

final da Dissertação defendida pelo

aluno José María Naranjo Martínez e

orientada pelo Prof. Dr. Maicon

Ri-beiro Correa.

Campinas

2017

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Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Naranjo Martínez, José María,

N164m NarUm modelo computacional para o estudo da propagação da dengue / José María Naranjo Martínez. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

NarOrientador: Maicon Ribeiro Correa.

NarCoorientador: Bianca Morelli Rodolfo Calsavara.

NarDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Nar1. Dengue. 2. Equações diferenciais parciais. 3. Diferenças finitas. 4. Análise numérica. I. Correa, Maicon Ribeiro,1979-. II. Calsavara, Bianca Morelli Rodolfo,,1978-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: A computacional model for the spread of dengue disease Palavras-chave em inglês:

Dengue

Partial differential equations Finite differences

Numerical analysis

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Mestre em Matemática Aplicada Banca examinadora:

Maicon Ribeiro Correa [Orientador] José Luiz Boldrini

Carlos Cristiano Hasenclever Borges Data de defesa: 16-05-2017

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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Dissertação de Mestrado defendida em 16 de maio de 2017 e aprovada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof.(a). Dr(a). MAICON RIBEIRO CORREA

Prof.(a). Dr(a). JOSÉ LUIZ BOLDRINI

Prof.(a). Dr(a). CARLOS CRISTIANO HASENCLEVER BORGES

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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Agradecimentos

Primeiro quero agradecer a Deus pela oportunidade de fazer os meus estudos de Pós-graduação, por seu imenso apoio durante o tempo transcorrido nestes dois anos, por me permitir terminar este processo, colocando tantas pessoas que ajudaram a fazer essa conquista possível.

Meus mais sinceros agradecimentos a todos que de alguma forma contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho. A todos que, quer seja através de um conselho, instrução, exemplo, advertência, sorriso, enriqueceram meus dias e marcaram sua presença nas letras que seguem.

Em especial agradeço a meu grande amigo e orientador o Dr. Maicon R. Correa, que gentilmente aceito me orientar, obrigado pela confiança, sua grande paciência e apoio imenso, tenho certeza que todas as ideias destacadas neste trabalho têm a sua iniciativa. Assim como agradeço muito à Dra. Bianca M.R. Calsavara, por sua grande ajuda e colaboração, pela dedicação a este projeto, estou muito grato, já que sem ela não teria sido possível levar por diante este trabalho.

Agradeço muito o apoio da minha família e meu pequeno anjo, que a partir do momento de tomar a decisão de vir a este belo país em busca de alcançar essa conquista me apoiaram, obrigado por que o amor incondicional, essa conquista é deles. Princesa obrigado por ser minha força, o meu motor, este sucesso eu devo a você, graças a Deus e à vida por, você é a fonte de minha inspiração.

Quero agradecer aos membros que formaram minhas bancas de qualificação os professores Dr. José Luiz Boldrini e Dr. Laécio C. Barros, e a banca da defesa os professores Dr. José Luiz Boldrini e Dr. Carlos Cristiano Borges, muito obrigado pelos aportes e observações para a dissertação.

A todos os demais professores do programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada do IMEEC, pela oportunidade de aprender mais sobre a matemática e sua relação com outras áreas do conhecimento.

Agradeço também o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio via uma bolsa institucional CAPES de Mestrado, no período 02/2016 até 02/2017.

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“Cuando los hombres y las mujeres son capaces de respetar y aceptar sus diferencias, el amor tiene entonces la oportunidad de florecer ”.

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Resumo

Este trabalho trata da modelagem matemática e da simulação computacional de um problema da dinâmica populacional da propagação da dengue, através de um sistema de equações diferenciais parciais não lineares que permite a descrição da disseminação da dengue em dimensões espaciais maiores, com parâmetros dependentes do espaço e tempo. Outro fator de destaque é a inclusão de mecanismos de controle químico da epidemia. Para tal, é construída uma metodologia numérica consistente e estável a partir do emprego de Métodos de Diferenças Finitas no espaço e no tempo, definindo formulações discretas implícitas, com eventuais não linearidades tratadas pelo Método de Newton. Tal metodologia será descrita em uma forma geral e flexível, permitindo a definição de diferentes cenários da propagação da dengue a partir do emprego de parâmetros encontrados na literatura e da escolha de diferentes condições inicias.

Palavras-chave: Dengue, Equações Diferenciais Parciais, Métodos de Diferenças Finitas,

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Abstract

This work is focused on the mathematical analysis and computational simulation of a mathematical model for geographical spreading of dengue disease, defined by a system of nonlinear partial differential equations that allows for the description of the spread of dengue in higher spatial dimensions, with parameters depending on space and time. Another important aspect is the inclusion of mechanisms of chemical control of the epidemic. We construct a consistent and stable numerical methodology based on the use of Finite Difference Methods in space and time, defining discrete formulations with nonlinearities treated by Newton’s Method. Such methodology is described in a general and flexible way, allowing the definition of different scenarios of geographical spreading of dengue with the use of parameters by in the literature and the choice of different initial conditions.

Keywords: Dengue Disease, Partial Differential Equations, Finite Differential Methods,

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Porção da malha computacional utilizada para a resolução de um problema diferencial em duas dimensões. O estêncil de 5 pontos para o

Laplaciano sobre o ponto pxi, yjq também é indicado. . . 39

Figura 2 – Função l “ lpi, jq contadora das células . . . 44

Figura 3 – Curva de convergência para a discretização espacial.. . . 46

Figura 4 – Curvas de convergência para a discretização temporal. . . 47

Figura 5 – Comparação entre a solução u1 aproximada e exata.. . . 48

Figura 11 – Domínio das simulações e pontos de observação para a análise. . . 52

Figura 12 – Fase aquática do mosquito, u1: cenário 1. . . 54

Figura 13 – Mosquitos suscetíveis, u2: cenário 1. . . 55

Figura 14 – Mosquitos infectados, u3: cenário 1. . . 56

Figura 15 – Humanos suscetíveis, u4: cenário 1. . . 57

Figura 16 – Humanos infectados, u5: cenário 1. . . 58

Figura 17 – Humanos removidos, u6: cenário 1. . . 59

Figura 18 – Análise das fases aquática, mosquitos suscetíveis e infectados: cenário 1. 61 Figura 19 – Análise dos humanos suscetíveis, infectados e removidos: cenário 1. . . 62

Figura 20 – Análise mosquitos suscetíveis + infectados: cenário 1. . . 63

Figura 21 – Subregião S de R1 onde é aplicado o controle sobre a fase alada do mosquito. . . 63

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Figura 29 – Análise dos humanos infectados e removidos: cenário 2. . . 73

Figura 30 – Análise mosquitos suscetíveis + infectados: cenário 2. . . 74

Figura 37 – Análise das fases aquática e mosquitos suscetíveis: cenário 3. . . 83

Figura 38 – Análise dos humanos infectados e removidos: cenário 3. . . 84

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Erros e ordem de convergência para a discretização espacial. . . 46 Tabela 2 – Erros e ordem de convergência para a discretização temporal. . . 47 Tabela 3 – Pontos de observação para a análise. . . 51 Tabela 4 – Capacidades de suporte do mosquito para no domínio em ind{km2. . . 51 Tabela 5 – Condicões iniciais por ind{km2. . . 52 Tabela 6 – Parâmetros relativos à invasão de A. aegypti (correspondentes a 30˝_C). ₅₃

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Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . 15

2 MODELOS DE PROPAGAÇÃO DA DENGUE . . . 18

2.1 Modelo de Maidana e Yang . . . 18

2.2 Modelo de Thomé, Yang e Esteva . . . 19

2.3 Modelo de Araújo, Boldrini e Calsavara . . . 19

2.3.1 O Sistema nas Variáveis Originais . . . 20

2.3.2 O Sistema nas Variáveis Modificadas . . . 22

3 ANÁLISE MATEMÁTICA DO MODELO . . . 25

3.1 Espaços LppΩq . . . 25

3.2 Espaços Wk,ppΩq e Espaços Dependentes do Tempo . . . 26

3.2.1 Derivadas Fracas . . . 26

3.2.2 Definições dos Espaços . . . 27

3.3 Imersões Contínuas e Compactas . . . 29

3.4 Desigualdade de Gronwall . . . 30

3.5 Teorema de Ponto Fixo de Leray-Schauder . . . 30

3.6 Existência e Unicidade de Solução . . . 31

3.6.1 Problemas Auxiliares . . . 32

4 MODELAGEM NUMÉRICA . . . 36

4.1 A Equação Geral . . . 36

4.2 Descrição do Modelo Segundo a Equação Geral . . . 37

4.3 Formulação Semi-Discreta . . . 38

4.4 Esquemas Totalmente Discretos . . . 39

4.4.1 Métodos Lineares de Passo Múltiplo . . . 40

4.4.2 O Método θ . . . 40

4.5 Análise do Esquema Numérico . . . 41

4.6 Descrição Matricial e Algoritmo Geral. . . 43

4.7 Um Estudo de Convergência . . . 45

4.7.1 Refinamento Espacial . . . 45

4.7.2 Refinamento Temporal . . . 46

5 SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS . . . 50

5.1 Cenário 1 - Sem aplicação de controle . . . 52

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5.3 Cenário 3 - Aplicação de controle na fase aquática do mosquito . . 74

6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS . . . 86

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Capítulo 1

Introdução

A dengue é uma doença humana cujo ciclo epidemiológico envolve um hospedeiro humano e um vetor, o mosquito Aedes aegypti, que é o mais importante vetor da dengue e da febre amarela. A fêmea do A. aegypti se alimenta do sangue humano para fertilizar seus ovos, conferindo uma natureza urbana para a epidemia. Naturalmente, regiões infestadas por este mosquito estão sujeitas a epidemias de dengue causando sérios problemas de saúde pública, o que ocorre muito frequentemente em regiões tropicais e subtropicais do mundo (MAIDANA; YANG, 2008). A dengue é a doença viral mais transmitida pelo mosquito no mundo. Nos últimos 50 anos, a incidência aumentou 30 vezes com o aumento da expansão geográfica para novos países e, na presente década, de áreas urbanas para áreas rurais. Estima-se que 50 milhões de infecções da dengue ocorrem anualmente (WHO; TDR, 2009) e aproximadamente 2,5 bilhões de pessoas vivem em países com dengue endêmica (WHO, 2008). A dengue tem um amplo espectro de apresentações clínicas, muitas vezes com evolução e desfecho imprevisíveis. Enquanto a maioria dos pacientes se recupera após um curso clínico auto-limitante não grave, uma pequena proporção evolui para doença grave, principalmente caracterizada por vazamento plasmático com ou sem hemorragia (WHO; TDR, 2009). Alterações na epidemiologia da dengue, levam a problemas com o uso da classificação existente da Organização Mundial da Saúde. As infecções sintomáticas do vírus da dengue foram agrupadas em três categorias: febre indiferenciada, dengue e dengue hemorrágica. A dengue hemorrágica foi ainda classificada em quatro graus de gravidade, sendo os graus III e IV definidos como síndrome de choque de dengue (WHO, 1997). Deve ser mantido em mente que mesmo os pacientes da dengue sem sinais de advertência podem desenvolver a dengue severa.

Os vários sorotipos do vírus da dengue são transmitidos aos seres humanos através das picadas de mosquitos Aedes infectados, principalmente A. aegypti. Este mosquito é uma espécie tropical e subtropical amplamente distribuída ao redor do mundo, principalmente entre as latitudes 35˝_{N e 35}˝_{S. Estes limites geográficos correspondem}

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Capítulo 1. Introdução 16

encontrada tão ao norte como 45˝_{N, mas tais invasões ocorreram durante os meses mais}

quentes e os mosquitos não sobreviveram aos invernos. Além disso, devido a temperaturas mais baixas, A. aegypti é relativamente incomum acima de 1000 metros. Os estágios imaturos são encontrados em habitats cheios de água, principalmente em recipientes artificiais estreitamente associados com habitações humanas e muitas vezes dentro de casa. Estudos sugerem que a maioria das fêmeas A. aegypti pode gastar sua vida dentro ou em torno das casas onde emergem como adultos. Isso significa que as pessoas, ao invés de mosquitos, movem rapidamente o vírus dentro e entre as comunidades. Acredita-se que a infecção primária induz imunidade protetora vitalícia ao sorotipo infectante (HALSTEAD, 1974).

Neste contexto, a modelagem matemática da disseminação espacial da dengue é tema de estudo de vários trabalhos, que variam em complexidade de acordo com as hipóteses adotadas. Em (MAIDANA; YANG,2008) os autores consideram a disseminação de um sorotipo da dengue dividindo a população de humanos e mosquitos. A população humana é dividida em grupos de indivíduos suscetíveis, infectados e imunes. A população de mosquitos é dividida em duas subclasses: a de fêmeas maduras, que estão divididas em suscetíveis e infectadas, que estão sujeitas à difusão, e a fase aquática, incluindo ovos, larvas e pupas. A partir desse modelo, foi estudada a ocorrência de infecção da dengue em uma região infestada por mosquitos sendo considerados os movimentos para a população de mosquito na disseminação espacial da dengue. Neste trabalho os autores tratam separadamente os casos em que é considerada ou não a propagação da doença devido à movimentação de indivíduos humanos. Porém, tais estudos foram feitos somente no caso onde a variável espacial é unidimensional. Com esse modelo simplificado, os autores conseguem apresentar uma estimativa da velocidade da disseminação de uma epidemia de dengue no estado de São Paulo. Estudos sobre os efeitos do controle da população de mosquitos utilizando controle químico (inseticidas e/ou larvicidas) ou controle biológico (por meio da introdução de mosquitos geneticamente modificados), com simulações para situações com alguns tipos distintos de controle, podem ser encontrados em (THOME; ESTEVA; YANG,2010).

Uma generalização do modelo de (MAIDANA; YANG,2008) pode ser encon-trada em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016), onde os autores apresentam uma análise matemática rigorosa de um sistema de equações diferenciais parciais (EDPs) não lineares que permite a descrição da disseminação da dengue em dimensão n ě 2, com parâmetros dependendo do espaço e do tempo. Um outro fator de destaque é a inclusão de mecanismos de controle químico da epidemia. Neste artigo, é apresentado um importante resultado de existência e unicidade de soluções para esse sistema e são fornecidas estimativas da solução em termos de normas que envolvem os parâmetros do problema.

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Capítulo 1. Introdução 17

Os estudos analíticos apresentados em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016), fornecem as condições para que o sistema não linear possua uma única solução. Contudo, a busca por tal solução, em casos gerais, passa necessariamente pela definição de algoritmos numéricos que permitam a construção de uma sequência de soluções aproximadas que seja, em algum sentido, convergente para a solução única do problema. Neste sentido, do ponto de vista numérico, a resolução de sistemas de equações diferenciais parciais tais como o estudado em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA,2016), demanda o emprego de métodos numéricos não triviais, capazes de lidar com as características predominantemente difusivas, advectivas ou reativas que possam surgir, de acordo com os coeficientes das equações (CORREA; BORGES, 2013). Neste trabalho objetivamos a construção de uma metodologia numérica consistente e estável a partir do emprego de Métodos de Diferenças Finitas no espaço e no tempo definindo formulações discretas implícitas, com eventuais não linearidades tratadas pelo método de Newton (LEVEQUE, 2007), para a solução de sistemas de EDPs não lineares, tais como os estudados em (MAIDANA; YANG, 2008), (THOME; ESTEVA; YANG,2010) e (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA,2016). Tal metodologia será descrita numa forma geral e flexível de forma a contemplar variações dos modelos discutidos contudo, particularmente neste trabalho, estaremos interessados na simulação computacional do modelo de (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA,2016), permitindo a definição de diferentes cenários de propagação da dengue a partir do emprego de parâmetros encontrados na literatura e da escolha de diferentes condições inicias.

O texto está organizado da seguinte forma: no Capítulo 2 são apresentados alguns modelos referenciados na literatura sobre a propagação da dengue e é exposto o modelo base de desenvolvimento de nosso trabalho, junto com algumas modificações básicas consideradas pelos autores deste modelo matemático dado em (ARAUJO; BOL-DRINI; CALSAVARA, 2016). No Capítulo 3é introduzida a teoria básica concernente aos espaços funcionais onde existe a solução do modelo matemático, enunciando o Teorema de Ponto Fixo de Leray-Schauder, e são apresentadas algumas hipóteses básicas. Ao final, é apresentada a prova da existência e unicidade da solução do modelo matemático de (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016). A metodologia numérica é apresentada no Capítulo 4 onde introduzimos uma equação geral capaz de representar cada um dos modelos referenciados no Capítulo 2. Em seguida fazemos a descrição do modelo estudado usando a equação geral, logo é exposta uma formulação de nosso sistema e finalmente os esquemas discretos, junto com os métodos de um passo e de passos múltiplos, e as diferenças finitas com os esquemas considerados para o estudo numérico do modelo. No Capítulo 5apresentamos simulações numéricas de diferentes cenários da propagação da dengue, com base na modelagem numérica proposta, e finalmente no Capitulo 6 são apresentadas as conclusões e considerações sobre trabalhos futuros.

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18

Capítulo 2

Modelos de Propagação da Dengue

O uso de modelos matemáticos tem crescido significativamente nos últimos anos nas mais diversas áreas da ciência, e estes têm sido particularmente úteis para auxiliar o controle de doenças infecciosas. Neste capítulo, faremos referência a alguns modelos relacionados com o propósito deste trabalho. Primeiro apresentamos o modelo de Maidana e Yang (MAIDANA; YANG, 2008), que descreve a ocorrência de infecção por dengue em uma região infestada por mosquitos, mas livre de doença. A seguir, apresentamos o modelo de Thomé, Yang e Esteva (THOME; ESTEVA; YANG, 2010), que descreve a dinâmica da população de mosquitos considerando o controle biológico pela introdução de machos estéreis, além da aplicação de inseticida. Finalmente, será considerado o modelo de Araújo, Boldrini e Calsavara (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA,2016), que considera um sistema de equações diferenciais parciais não lineares que corresponde a uma generalização do modelo de Maidana e Yang (MAIDANA; YANG, 2008), contemplando diversas dimensões espaciais e parâmetros dependentes do espaço e do tempo. Este modelo, restrito ao R2, será a base da presente dissertação.

2.1 Modelo de Maidana e Yang

Maidana e Yang propõem em (MAIDANA; YANG, 2008) um modelo mate-mático para estudar a disseminação espacial da dengue utilizando um sistema de EDPs de reação-difusão. Neste modelo, as populações humana e mosquito são consideradas em subclasses de indivíduos infectados e não infectados. A dinâmica da população de mosquitos considera apenas duas subpopulações: a forma alada (mosquitos fêmeas maduras) e uma população aquática (ovos, larvas e pupas). Além disso, a difusão é considerada apenas na forma alada. A população humana é considerada homogeneamente distribuída no espaço, para descrever a disseminação localizada da dengue durante um curto período de epidemias. A infecção cruzada é modelada pela lei da ação de massa. O objetivo principal deste artigo é determinar a disseminação da dengue depois da invasão e colonização por mosquitos

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Capítulo 2. Modelos de Propagação da Dengue 19

de A. aegypti no estado de São Paulo, utilizando um modelo simples onde só é permitida a movimentação da população de mosquito (difusão e advecção). Assim descrevem a ocorrência de infecção por dengue em uma região infestada por mosquitos, possivelmente livre de doença. Outra característica deste modelo é a restrição dos movimentos apenas à população de mosquitos na disseminação espacial da dengue, desconsiderando os efeitos não-locais, ou seja, a disseminação da doença devido a movimentos intensos de indivíduos humanos.

2.2 Modelo de Thomé, Yang e Esteva

Thomé, Yang e Esteva apresentam em (THOME; ESTEVA; YANG, 2010) um modelo matemático que descreve a dinâmica da população de mosquitos quando os mosquitos machos esterilizados (produzidos por irradiação) são introduzidos como controle biológico, além da aplicação de inseticida. Estes machos estéreis então são soltos em número muito grande para acasalar-se com as fêmeas locais que estão presentes no ambiente. Se houver um número suficientemente elevado de insetos estéreis, a maioria dos cruzamentos é estéril e, com o passar do tempo, o número de insetos nativos diminui e a proporção de insetos estéreis e normais aumenta, levando a população nativa à extinção. Este método é chamado de Técnica do Inseto Estéril (SIT, do inglês Sterile Insect Tecnique). Modelos matemáticos têm sido feitos para auxiliar no estudo da eficácia do SIT (ver, por exemplo, (KNIPLING, 459-462;BARCLAY; MANGEL, 1987). Alguns deles contemplam a combinação de SIT com outras medidas de controle como pesticidas (BARCLAY, 1980), ou liberação de parasitóides (HARRISON; BARCLAY, 1982). O objetivo do trabalho feito em (THOME; ESTEVA; YANG, 2010), é utilizar a teoria do controle ótimo para avaliar a eficácia da aplicação de SIT e inseticida à população de mosquitos. Encontrando o esforço mínimo necessário para reduzir o número de fêmeas férteis, considerando o custo da aplicação de inseticidas, o custo da produção de mosquitos irradiados e/o custo social. Por custo social entendemos todas as despesas relacionadas à doença como tratamento infeccioso, atendimento hospitalar e até mesma morte.

2.3 Modelo de Araújo, Boldrini e Calsavara

Araújo, Boldrini e Calsavara consideram em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSA-VARA, 2016) um sistema de equações diferenciais parciais não lineares que corresponde a uma generalização de um modelo matemático para a disseminação geográfica da doença de dengue proposto por Maidana e Yang (MAIDANA; YANG, 2008). Como em ( MAI-DANA; YANG,2008), a população de mosquitos é dividida em subpopulações: forma alada (mosquito fêmea maduro), subdividida em suscetível e infectada, e forma aquática (ovos, larvas e pupas). A população humana é dividida nas subpopulações: suscetível, infectada

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e removida (ou imune). A diferença do trabalho de Maidana e Yang, é que consideram somente o caso unidimensional com coeficientes constantes, e no trabalho (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016), considera-se dimensões espaciais maiores e também parâmetros dependentes do espaço e do tempo. Esta última generalização é feita para lidar com possíveis efeitos abióticos, temperatura, umidade, velocidade do vento, capacidade do portador, e assim por diante. Além disso, considera-se também os efeitos de termos de controle. Os autores também realizam uma rigorosa análise matemática e apresentam um resultado sobre a existência e unicidade das soluções do problema; além disso, obtêm estimativas da solução em termos de certas normas dos parâmetros do problema. Esse tipo de resultado é importante para a análise de problemas de controle ótimo com a dinâmica dada; para exemplificar sua utilidade, os autores descrevem brevemente como as estimativas podem ser usadas para mostrar a existência de controle ótimo que minimizam um critérios de otimalidade.

Este modelo é a base fundamental do desenvolvimento desta dissertação. Apre-sentaremos agora uma descrição do modelo junto com suas variáveis e parâmetros envolvi-dos.

2.3.1 O Sistema nas Variáveis Originais

Nesta seção fazemos a descrição do modelo na forma original apresentada em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016), este será o modelo utilizado para o desenvolvimento numérico, abordado no Capitulo 4.

Seja Ω Ă R2 um conjunto aberto e limitado associado com a região geográfica onde uma determinada população humana está estabelecida e a população do mosquito Aedes aegypti está se espalhando; seja também 0 ă ¯T ă 8 um tempo final dado de interesse e denotemos ¯t um instante entre r0, ¯T s e ¯Q “ Ω ˆ p0, ¯T q, o domínio espaço-tempo e ¯Γ “ BΩ ˆ p0, ¯T q o a fronteira do domínio espaço-tempo. O modelo é descrito pelas seguintes variáveis

• ¯Apx, tq : densidade espacial de mosquitos na fase aquática (ovos, pupas e larvas);

• ¯MSpx, tq : densidade espacial de mosquitos em fase alada, suscetíveis à infecção;

• ¯MIpx, tq : densidade espacial de mosquitos em fase alada, infectados;

• ¯M px, tq “ ¯MSpx, tq ` ¯MIpx, tq : densidade espacial de mosquitos em fase alada; • ¯Hpx, tq : densidade espacial de humanos suscetíveis à infecção;

• ¯Ipx, tq : densidade espacial de humanos infectados; • ¯Rpx, tq : densidade espacial de humanos imunes;

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• ¯N px, tq “ ¯Hpx, tq ` ¯Ipx, tq ` ¯Rpx, tq : densidade espacial de humanos.

A dinâmica das populações se dá segundo o seguinte sistema de equações diferenciais parciais parabólicas e equações diferenciais ordinárias acopladas:

B ¯A B¯t “ ¯r ˆ 1 ´ ¯ A ¯ k2 ˙ ¯ M ´ ¯µ2A ´ ¯¯ γ ¯A ´ ¯h2A1¯ ω2 em ¯Q (2.1) B ¯MS B¯t “ ¯D∆ ¯MS´ ¯v ¨ ∇ ¯MS` ¯γ ¯A ˆ 1 ´ ¯ M ¯ k1 ˙ ´ ¯µ1M¯S ´ ¯β1M¯SI ´ ¯¯ h1M¯S1ω1 em ¯Q (2.2) B ¯MI B¯t “ ¯D∆ ¯MI ´ ¯v ¨ ∇ ¯MI´ ¯µ1 ¯ MI` ¯β1M¯SI ´ ¯¯ h1M¯I1ω1 em ¯Q (2.3) B ¯H B¯t “ ¯µH ¯ N ´ ¯µHH ´ ¯¯ β2H ¯¯MI em ¯Q (2.4) B ¯I B¯t “ ¯β2 ¯ H ¯MI´ ¯σ ¯I ´ ¯µHI¯ em ¯Q (2.5) B ¯R B¯t “ ¯σ ¯I ´ ¯µH ¯ R em ¯Q (2.6)

sujeitas às condições iniciais e de contorno ¯ Apx, 0q “ ¯A0pxq em Ω, (2.7) B ¯MS{Bn “ B ¯MI{Bn “ 0 em BΩ ˆ r0, T s, (2.8) ¯ MIpx, 0q “ ¯MI0pxq em Ω, (2.9) ¯ MSpx, 0q “ ¯MS0pxq em Ω, (2.10) ¯ Hpx, 0q “ ¯H0pxq em Ω, (2.11) ¯ Ipx, 0q “ ¯I0pxq em Ω, (2.12) ¯ Rpx, 0q “ ¯R0pxq em Ω, (2.13)

onde ¯v, ¯γ, ¯D, ¯µ1, ¯µ2, ¯µH, ¯β1, ¯β2 , ¯σ P L8pQq são funções não-negativas dadas, sendo que

¯

Dpx, tq ě d ě 0, k1px, tq, k2px, tq ě k0 ą 0, onde d e k0 são constantes. Os parâmetros do

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• ¯D : coeficiente de difusão;

• ¯v : velocidade de advecção (relativa à velocidade do vento, por exemplo);

• ¯γ : taxa de maturação per capita da forma aquática para a alada;

• ¯k1 e ¯k2 : capacidades do ambiente relativas às formas alada e aquática dos mosquitos,

respectivamente;

• ¯β1 : coeficiente de transmissão que mede a taxa de contato efetivo entre mosquitos

não infectados e humanos infectados;

• ¯β2 : coeficiente de transmissão que mede a taxa de contato efetivo entre seres humanos

não infectados e mosquitos infectados; • ¯r : taxa de oviposição intrínseca;

• ¯µ1 e ¯µ2 : taxas de mortalidade per capita das formas alada e aquática da população

de mosquitos;

• ¯µH : taxa de mortalidade per capita dos seres humanos;

• ¯σ : taxa de transferência de seres humanos infectados para a classe imune; • ¯h1 e ¯h2 : funções de controle que atuam nos subconjuntos ω1 e ω2 de Ω.

2.3.2 O Sistema nas Variáveis Modificadas

Pela adição das equações (2.4), (2.5) e (2.6) obtemos, B ¯N B¯t “ B ¯H B¯t ` B ¯I B¯t ` B ¯R B¯t “ 0,

de onde conclui-se que, neste modelo, a população humana é constante no intervalo de tempo p0, ¯T q. Então, ¯N px, ¯tq “ ¯N0pxq para todo px, ¯tq P ¯Q.

Agora supondo que ¯N0 P L8pΩq e ¯k1, ¯k2, r P L8p ¯Qq, definamos:

¯

Nsup “ } ¯N }L8_pΩq, k¯₁sup “ }¯k₁}L8_pQq, k¯₂sup “ }¯k₂}L8_pQq, r¯sup“ }¯r}_L8_pQq

e consideremos a seguinte mudança de variáveis

t “ ¯rsup¯t, A “ _¯A¯ ksup₂ , MS “ ¯ MS ¯ ksup₁ , MI “ ¯ MI ¯ k₁sup, H “ ¯ H ¯ Nsup, I “ ¯ I ¯ Nsup. Então, T “ ¯rsupT , Q “ Ω ˆ p0, T q.¯

(23)

Além disso, observe que após encontrar ¯I, podemos obter ¯R , aplicando o método de variação de parâmetros, dado que a equação (2.6) é uma EDO linear. Assim,

¯ Rpx, ¯tq “ ¯R0pxq exp ˆ ´ ż¯t 0 ¯ µHpx, sqds ˙ ` ż¯t 0 ¯ σpx, τ q ¯Ipx, τ q exp ˆ ´ ż¯t τ ¯ µHpx, sqdτ ˙

E as cinco primeiras equações (2.1)-(2.5) não dependem da última equação (2.6). Então, o sistema de equações (2.1)-(2.6) pode ser reescrito como:

BA Bt “ rk ˆ 1 ´ A k2 ˙ M ´ µ2A ´ γA ´ h2A1ω2 em Q (2.14) BMS Bt “ D∆MS´ v ¨ ∇MS` γ kA ˆ 1 ´M k1 ˙ ´ µ1MS´ β1MSI ´ h1MS1ω1 em Q (2.15) BMI Bt “ D∆MI ´ v ¨ ∇MI´ µ1MI` β1MSI ´ h1MI1ω1 em Q (2.16) BH Bt “ µHN ´ µHH ´ β2HMI em Q (2.17) BI Bt “ β2HMI´ σI ´ µHI em Q (2.18)

Com condições iniciais e de fronteira dadas por:

Apx, 0q “ A0pxq em Ω, (2.19) BMS{Bn “ BMI{Bn “ 0 em BΩ ˆ r0, T s, (2.20) MIpx, 0q “ MI0pxq em Ω, (2.21) MSpx, 0q “ MS0pxq em Ω, (2.22) Hpx, 0q “ H0pxq em Ω, (2.23) Ipx, 0q “ I0pxq em Ω, (2.24) onde A0 “ ¯ A0 ¯ k₂sup, MS0 “ ¯ MS0 ¯ ksup₁ , MI0 “ ¯ MI0 ¯ ksup₁ , H0 “ ¯ H0 ¯ Nsup, I0 “ ¯ I0 ¯ Nsup, e

(24)

k “ ¯ksup₁ {¯ksup₂ , k1 “ ¯k1{¯k1sup, k2 “ ¯k2{¯k2sup, β1 “ p ¯β1{ ¯N q{¯rsup, β2 “ p ¯β2{¯k1q{¯rsup,

µ1 “ ¯µ1{¯rsup, µ2 “ ¯µ2{¯rsup, µH “ ¯µH{¯rsup, h1 “ ¯h1{¯rsup, h2 “ ¯h2{¯rsup.

Estes parâmetros têm as mesmas condições de positividade e regularidade que os originais e

0 ď k1, k2 ď 1.

Uma vez que, por restrições biológicas, se espera que a população total de mosquitos alados p ¯MS ` ¯MIq seja menor ou igual à capacidade máxima de transporte do ambiente }¯k1}L8_{p ¯}_Qq, impomos as seguintes restrições às condições iniciais ¯MS0 ě 0, ¯MI0 ě 0, e

¯

MS0` ¯MI0 ď }¯k1}L8_{p ¯}_Qq. Similarmente, impomos 0 ď ¯A0 ď }¯k2}L8_{p ¯}_Qq para a população

aquática inicial de mosquitos.

Antes de continuar, mencionaremos que em (MAIDANA; YANG,2008) (o caso unidimensional com coeficientes constantes), os autores analisaram os pontos de equilíbrio e suas estabilidades na situação em que a população de mosquitos atingiu a homogeneidade espacial e, portanto, o modelo é reduzido a um sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares, utilizando ferramentas analíticas e numéricas, analisaram também o caso das soluções de ondas viajantes e, em particular, consideraram o efeito da advecção na disseminação da doença. Além disso, devido a exigências biológicas, como explicamos anteriormente, MS0 ě 0, MI0 ě 0, MS0` MI0ď 1 e 0 ď A0 ď 1.

Ressaltamos que, uma vez que nossos resultados serão expressos em termos do problema (2.1)-(2.6). No próximo capitulo vamos afirmar a condição técnica necessária em termos dos parâmetros que aparecem nele. Tais condições podem ser diretamente traduzidas para os parâmetros originais.

(25)

25

Capítulo 3

Análise Matemática do Modelo

Neste capítulo vamos introduzir a teoria básica relacionada à análise da existên-cia e unicidade da solução do modelo matemático apresentado em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016). Além disso, explicamos um pouco como os autores contornam algu-mas dificuldades apresentadas. A análise segue pela definição de dois problealgu-mas auxiliares. Para mostrar a existência de soluções destes problemas auxiliares, são introduzidos proble-mas adequadamente modificados obtidos tomando os valores absolutos de certas incógnitas em locais específicos, e é utilizado Teorema do Ponto Fixo de Leray-Schauder. Em seguida é provado que as soluções obtidas são de fato não negativas e, portanto, também serão soluções dos problemas auxiliares originais. Finalmente, com a ajuda destes problemas auxiliares, é provada a existência e unicidade da solução do problema original.

3.1 Espaços L

p

pΩq

Nesta seção introduzimos algumas definições e propriedades básicas.

Definição 3.1. Seja Ω um domínio em Rn e p um número real positivo. Denotemos por LppΩq a classe de todas as funções mensuráveis u, definidas em Ω, para as quais

ż

Ω

|upxq|pdx ă 8. (3.1)

Definição 3.2. O funcional } ¨ }p definido por }u}p “

" ż

Ω

|upxq|pdx *1{p

é uma norma sobre LppΩq se 1 ď p ă 8. (Esta não é uma norma se 0 ă p ă 1.) Nos argumentos, onde a confusão de domínios podem ocorrer usaremos } ¨ }p,Ω em lugar de } ¨ }p.

(26)

Capítulo 3. Análise Matemática do Modelo 26

Teorema 3.1. (Desigualdade de Hölder) Se 1 ă p ă 8 e u P LppΩq, v P Lp1pΩq, onde p1 é tal que 1 p ` 1 p1 “ 1 então uv P L 1 pΩq e ż Ω |upxqvpxq|dx ď }u}p}v}p1. (3.2)

Teorema 3.2. (Desigualdade de Minkowski) Se 1 ď p ă 8, então

}u ` v}p ď }u}p` }v}p. (3.3)

Definição 3.3. Uma função mensurável sobre Ω é dita ser essencialmente limitada sobre

Ω se existe uma constante K para a qual |upxq| ď K em quase todos os pontos de Ω. O maior limite inferior de tais constantes K é chamado o supremo essencial de |u| sobre Ω e é denotado por ess sup

xPΩ

|upxq|. Denotamos por L8pΩq o espaço vectorial que consiste de todas as funções u que são essencialmente limitadas sobre Ω, se elas são iguais em quase todos os pontos de Ω. É facilmente verificado que o funcional } ¨ }8 definido por

}u}8 “ ess sup

xPΩ |upxq|

é uma norma sobre L8pΩq. Além disso, a desigualdade de Hölder (3.2) estende-se para os casos p “ 1, p1

“ 8 e p “ 8, p1 “ 1.

Teorema 3.3. LppΩq é um espaço de Banach se 1 ď p ď 8.

Corolário 3.1. Se 1 ď p ď 8, uma sequência de Cauchy em LppΩq tem uma subsequência convergente pontualmente em quase todos os pontos de Ω.

Corolário 3.2. L2pΩq é um espaço de Hilbert com respeito ao produto interno pu, vq “

ż

Ω

upxqvpxqdx.

Observação 3.1. A desigualdade de Hölder para L2pΩq é conhecida como desigualdade de Schwarz

|pu, vq| ď }u}2}v}2.

3.2 Espaços W

k,p

pΩq e Espaços Dependentes do Tempo

Nesta seção desenvolvemos a teoria de espaços de Sobolev, que é utilizada no restante deste capítulo.

3.2.1 Derivadas Fracas

(27)

Notação: C8

c pΩq denota o espaço de funções infinitamente diferenciáveis φ : Ω Ñ R com suporte compacto em Ω. Chamaremos uma função φ pertencente a C8

c pΩq

de função teste.

Agora suponha que nos é dada uma função u P C1pΩq. Então se φ P Cc8pΩq, vemos da integração por partes que

ż Ω uφxidx “ ´ ż Ω uxiφdx pi “ 1, 2, . . . , nq. (3.4)

Não há termos na fronteira, dado que φ tem suporte compacto em U e assim anula-se perto de BΩ. Mais geralmente, se k é um número inteiro positivo, u P CkpΩq e α “ pα1, α2, . . . , αnq

é um multiíndice da ordem |α| “ α1` α2` ¨ ¨ ¨ ` αn “ k, então

ż Ω uDαφdx “ p´1q|α| ż Ω Dαuφdx. (3.5)

Esta igualdade é válida dado que

Dαφ “ B α1 Bxα1 1 Bα2 Bxα2 2 ¨ ¨ ¨ B αn Bxαn n φ e podemos aplicar a fórmula (3.4) |α| vezes.

Definição 3.4. Suponha u, v P L1_locpΩq e α é um multi-índice. Dizemos que v é a α´ésima derivada fraca parcial de u e denotemos

Dαu “ v se satisfaz ż Ω uDαφdx “ p´1q|α| ż Ω vφdx (3.6)

para todas as funções teste φ P C8

c pΩq.

3.2.2 Definições dos Espaços

Fixemos 1 ď p ď 8 e seja k um inteiro não negativo. Definimos agora certo espaço de funções, cujos membros tem derivada fraca de várias ordens que estão no espaço Lp.

Definição 3.5. O espaço de Sobolev

Wk,ppΩq

é composto de todas as funções localmente somáveis u : Ω Ñ R tais que para cada multi-índice α com |α| ď k, Dαu existe no sentido fraco e pertence a LppΩq.

(28)

Observação 3.2. Se p “ 2, denota-se

HkpΩq “ Wk,2pΩq pk “ 0, 1, . . .q

Tem-se que HkpΩq é um espaço de Hilbert @k. Note que H0pΩq “ L2pΩq.

Observação 3.3. O Problema (2.14)-(2.18) será estudado nos espaços funcionais denota-dos por

W_q2,1pQq “ !

f P LqpQq : Dαf P LqpQq, @1 ď |α| ď 2, ftP LqpQq )

e Lpp0, T ; Bq “ tf : p0, T q Ñ B : }f ptq}Lp_{p0,T ;Bq} ă 8u, onde B é um adequado espaço de

Banach e a norma está dada por }f ptq}Lp_{p0,T ;Bq} “ }}f ptq}B}Lp_{pp0,T qq}. Note-se que LppQq “

Lppp0, T q; LppΩqq.

Resultados concernentes a estes espaços podem ser encontrados por exemplo em (LADYSZHENSKAYA; SOLONNIKOV; URALTSEVA, 1968) e (MIKHAYLOV, 1978).

Definição 3.6. Se u P Wk,ppΩq, definimos sua norma por }u}Wk,p_pΩq :“ $ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ % ´ _ÿ |α|ďk ż Ω |Dαu|pdx ¯1{p p1 ď p ă 8q ÿ |α|ďk ess sup Ω |Dαu| pp “ 8q Definição 3.7. Seja tumu8_m“1, u P Wk,ppΩq.

piq Dizemos que um converge a u em Wk,ppΩq, e escrevemos um Ñ u em Wk,ppΩq, se satisfaz lim mÑ8}um´ u}Wk,ppΩq “ 0. piiq Escrevemos um Ñ u em Wlock,ppΩq para dizer um Ñ u em Wk,ppV q para cada V Ă Ω. Definição 3.8. Define-se W₀k,ppΩq o fecho de C8 c pΩq em W k,p

pΩq. Assim, u P W0k,ppΩq se, e somente se, existem funções

um P Cc8pΩq tal que um Ñ u em W k,p

pΩq.

Notação: Denota-se

(29)

3.3 Imersões Contínuas e Compactas

Nesta seção apresentamos dos resultados da imersão dos espaços de Sobolev. O seguinte resultado é consequência do Teorema 5.4 para o caso particular de n “ 2, página 97 em (ADAMS, 1975):

Lema 3.1. Suponha que Ω Ă R2 satisfaz a propriedade do cone e 1 ď p ă 8. Então as seguintes imersões contínuas são válidas:

piq W2,ppΩq Ñ Wp2´

2

qq,q_pΩq, para todo p ď q ď 2p.

piiq Se kp ă 2, então Wk,ppΩq Ñ LqpΩq, para todo p ď q ď 2p{p2 ´ kpq. piiiq Se kp “ 2, então Wk,ppΩq Ñ LqpΩq, para todo q ă 8.

pivq Se kp ą 2, então Wk,ppΩq Ñ L8pΩq.

Observação 3.4. Nos casos piiiq e pivq ou em piq com p ď q ă 2p, piiq se p ď q ă 2p

2 ´ kp, a imersão é compacta.

Agora nosso próximo resultado algumas vezes é chamado de o Teorema de imersão de Lions-Peetre (ver (LIONS,1983), página 15); este também é um caso particular do Lema 3.3, página 80, em (LADYSZHENSKAYA; SOLONNIKOV; URALTSEVA,1968): (obtido tomando l “ 1, r “ s “ 0 e n “ 2.)

Lema 3.2. Seja Ω um dominio de R2 com fronteira BΩ satisfazendo a propriedade do cone. Então, o espaço funcional W_q2,1pQq está continuamente imerso em LqpQq para q satisfazendo

piq 1 ď q ď 2p

2 ´ p, se p ă 2; piiq 1 ď q ă 8, se p “ 2; piiiq q “ 8, se p ą 2.

Em particular, para cada q e qualquer função u P W_p2,1pQq temos que }u}Lq_pQqď C}u}

Wp2,1pQq,

com a constante C dependendo somente de Ω, T, p e q.

Observação 3.5. Nos casos piiq, piiiq ou em piq quando 1 ď q ă p2p{2 ´ pq, a imersão é

(30)

3.4 Desigualdade de Gronwall

Forma Diferencial Seja ηp¨q uma função não negativa absolutamente contínua

sobre r0, T s, a qual satisfaz para quase todo t a desigualdade diferencial η1

ptq ď φptqηptq ` ψptq, (3.7)

onde φptq e ψptq são funções somávéis não negativas sobre r0, T s. piq Então

ηptq ď eşt0φpsqds ” ηp0q ` żt 0 ψpsqds ı (3.8) para todo 0 ď t ď T. piiq Em particular, se η1 ď φη sobre r0, T s e ηp0q “ 0, então η ” 0 sobre r0, T s. Forma Integral

Seja ξptq uma função não negativa somável sobre r0, T s a qual satisfaz para quase todo t a desigualdade integral

ξptq ď C1

żt

0

ξpsqds ` C2 (3.9)

para constantes C1, C2 ě 0. piq Então

ξptq ď C2p1 ` C1teC1tq (3.10)

para quasi todo 0 ď t ď T. piq Em particular, se

ξptq ď C1

żt

0

ξpsqds para quasi todo 0 ď t ď T, então

ξptq “ 0 q.t.p..

3.5 Teorema de Ponto Fixo de Leray-Schauder

Agora vamos a apresentar o Teorema de Ponto Fixo de Leray-Schauder que é usado para provar que o sistema de equações (2.1)-(2.6) possui solução e além disso é única.

(31)

Teorema 3.4. Teorema de Ponto Fixo de Leray-Schauder. Seja Tλ : B Ñ B uma família de operadores em um espaço de Banach B definidos para λ P r0, 1s. Suponha que as seguintes hipóteses sejam satisfeitas:

piq O operador Tλ : B Ñ B está bem definido para todo λ P r0, 1s.

piiq Para cada λ P r0, 1s fixo, o operador Tλ : B Ñ B é contínuo e compacto.

piiiq Dado A Ă B limitado, para cada φ P A o operador Tp¨qφ : r0, 1s Ñ B é contínuo,

uniformemente respeito a A.

pivq O operador T0 : B Ñ B possui um único ponto fixo.

pvq Existe uma constante M ą 0 tal que para qualquer λ P r0, 1s e qualquer possível ponto fixo φ P B de Tλ, isto é Tλpφq “ φ, tem-se que

}φ}B ď M.

Então T1 possui um único ponto fixo φ P B.

3.6 Existência e Unicidade de Solução

Nesta seção apresentamos as hipóteses técnicas e o resultado de existência e unicidade de solução para o sistema de equações (2.1)-(2.6) usadas em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA,2016).

Agora, tomamos Ω Ă R2 um domínio com fronteira BΩ, 0 ď T ă 8. Em seguida, afirmamos algumas hipóteses técnicas supondo que serão usadas ao longo deste trabalho.

Hipóteses técnicas

piq Ω Ă R2 é um domínio limitado de classe C2. piiq 0 ă T ă 8 e Q “ Ω ˆ p0, T q.

piiiq ω1, ω2 Ă Ω.

pivq As funções v, ω ą 0, k ě k0 ą 0, k1 ě k10 ą 0, k2 ě k20 ą 0, µ1 ą 0, µ2 ą 0,

µH ą 0, β1 ą 0, β2 ą 0 e σ ą 0 estão em L8pQq.

pvq h1 ě 0, h2 ě 0 satisfaz h1 P L2pω1ˆ p0, T qq e h2 P L1pω2ˆ p0, T qq.

pviq MS0, MI0 P H1pΩq são funções não negativas tais que M0 “ MS0` MI0 ď 1.

(32)

Existência e Unicidade de Solução

Teorema 3.5. Suponha que a hipóteses técnicas são válidas; então existe uma única

solução pA, MS, MI, H, Iq P L8pQq ˆ W22,1pQq ˆ W 2,1

2 pQq ˆ L8pQq ˆ L8pQq do problema

(2.14)-(2.24). Além disso, A, MS, MI, H e I são funções não negativas satisfazendo M “ MS` MI ď 1, A ď 1 e }MS}_W2,1 2 pQq` }MI}W 2,1 2 pQq` }H}L 8_pQq` }I}L8_pQq ď C

onde C é uma constante dependente somente de Ω, T, }µ1}L8_pQq, }h₁}L2_pω

1ˆp0,T qq, β,

}v}L8_pQq, }µ_H}L8_pQq, }β₁}L8_pQq, }β₂}L8_pQq, }MS0}H1_pΩq, }MI0}H1_pΩq, }H₀}L8_pΩq, }I₀}L8_pΩq.

Para a prova deste teorema será necessária a definição de dois problemas auxiliares.

3.6.1 Problemas Auxiliares

Através da adição de equações (2.15) e (2.16) obtemos o seguinte sistema independente das equações envolvendo as populações humanas, correspondente a nosso primeiro problema auxiliar.

BA Bt “ rk ˆ 1 ´ A k2 ˙ M ´ µ2A ´ γA ´ h2A1ω2 em Q (3.11) BM Bt “ D∆M ´ v ¨ ∇M ´ pµ1` h11ω1qM ` γ kA ˆ 1 ´ M k1 ˙ em Q (3.12) BM Bη “ 0 em BΩ (3.13) Apx, 0q “ A0pxq e M px, 0q “ M0pxq em Ω (3.14)

onde M “ MS` MI. Para este problema, temos o seguinte resultado de existência:

Proposição 3.1. Assumindo que as hipóteses técnicas são válidas, existe pelo menos uma

solução não negativa pA, M q P L8pQq ˆ W22,1pQq do problema (3.11)-(3.14). Além disso,

0 ď M ď 1, 0 ď A ď 1 q.t.p. em Q e

}M }_W2,1

2 pQqď C,

onde C é uma constante positiva dependente somente de Ω, T, }µ1}L8_pQq, }h₁}L2_pω

1ˆp0,T qq,

}M }_W2,1

2 pQq, D, }v}L

8_pQq, }γ}_L8_pQq, k₀, k₁₀ e }M₀}H1_pΩq.

Abaixo agora nós apresentamos a estrutura da demonstração da Proposição 3.1 feita em (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016).

(33)

Primeiramente os autores consideram o seguinte problema modificado: B ˆA Bt “ rk ˜ 1 ´ Ap k2 ¸ | xM |´ µ2A ´ γ pp A ´ h₂A1p _ω₂ em Q (3.15) x Mt “ D∆ xM ´ v.∇ xM ` γ kAp ˜ 1 ´ Mx k1 ¸ ´ pµ1` h11ω1q xM em Q (3.16) B ˆM Bη “ 0 sobre BΩ ˆ p0, T q (3.17) p Apx, 0q “ A0pxq e M px, 0q “ Mx ₀pxq sobre Ω (3.18) Agora observamos que, a equação para pA neste sistema é, para cada x P Ω, uma equação diferencial ordinária que é linear em pA, e assim podemos encontrar uma expressão explícita para ela em termos de | xM |. Para usar esta observação, Primeiramente é introduzida a seguinte notação: para uma dada função adequada φp¨q definida em Q, seja

Apφqpx, tq “ A0Bpφqpx, t, 0q ` żt 0 rpx, sqkpx, sq|φpx, sq|Bpφqpx, t, sqds, (3.19) onde Bpφqpx, t, sq “ χrs,T sptq exp ˆ ´ żt s rpx, sqkpx, ξq k2px, ξq |φpx, ξq|dξ ˙ ˆ exp ˆ ´ żt s rµ2px, ξq ` γpx, ξq ` h2px, ξq1ω2s dξ ˙ (3.20)

onde χrs,T s denota a função característica no intervalo rs, T s. Assim, p pA, xM q é a solução

do sistema (3.15)-(3.18) se e somente se pA “ Ap xM q e xM satisfaz o seguinte sistema integro-diferencial x Mt“ γ k ˜ 1 ´ Mx k1 ¸ Ap xM q` D∆ xM ´ v.∇ xM ´ pµ1` h11ω1q xM em Q (3.21) B xM Bη “ 0 sobre BΩ ˆ p0, T q (3.22) x M px, 0q “ M0pxq sobre Ω. (3.23)

Além disso, observe que é suficiente provar que a solução xM do problema (3.21)-(3.23) é não negativa para garantir que pA, M q, com M “ xM e pA “ Ap xM q, é também uma solução do sistema (3.11)-(3.14).

Para não sobrecarregar a notação, nesta subseção denotamos por M uma solução genérica das equações que seguem. Para obter uma solução do Problema (3.21 )-(3.23), aplicaremos o Teorema do Ponto Fixo de Leray-Schauder ao operador L definido

(34)

Capítulo 3. Análise Matemática do Modelo 34 da seguinte forma: L : r0, 1s ˆ L8 pQq Ñ L8pQq pλ, φq Ñ M “ Lpλ, φq, onde M é a solução de Mt“ D∆M ´ v.∇M ` λ γ k ˆ 1 ´ φ k1 ˙ Apφq ´ pµ1 ` h11ω1qM em Q (3.24) BM Bη “ 0 sobre BΩ ˆ p0, T q (3.25) M px, 0q “ M0pxq sobre Ω (3.26)

onde Apφq está dada por (3.19).

Para garantir que podemos aplicar o Teorema de Ponto Fixo de Leray-Schauder, é necessário que o operador L satisfaça as hipóteses expostas no Teorema3.4. Para verificar que L satisfaça as hipóteses ver (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016).

Então, por o Teorema de Ponto Fixo de Leray-Schauder existe pA “ Ap xM q e x

M P W22,1pQq que satisfaz (3.21)-(3.23). Logo, o par p pA, xM q é solução da proposição3.1.

Multiplicando a equação (3.21) pela parte negativa de xM , que denotamos xM´,

integrando em Ω, usando as desigualdades de Hölder e Young, os fatos que µ1 ą 0, h1 ě 0

e a desigualdade de Gronwall, obtemos que } xM´}L2_pQq “ 0. Então, xM ě 0 em q.t.p em Q.

Ao escrever a equação satisfeita por xM ´ 1, multiplicando pela parte positiva de xM ´ 1, que denotamos p xM ´ 1q`, integrando em Ω, usando as desigualdades de

Hölder e Young, os fatos que µ1 ą 0, h1 ě 0 y a desigualdade de Gronwall, obtemos que

}p xM ´ 1q`}L2_pQq “ 0. Então, xM ď 1 em q.t.p em Q. De forma similar prova-se que pA ď 1

para q.t.p em Q. pA ě 0 segue das expressões (3.19) e (3.20).

Agora, usando a desigualdade exposta no Teorema 3.4 para L, } xM }L8_pQq ď C,

0 ď xM ď 1, 0 ď pA ď 1, para q.t.p em Q e resultado de regularidade parabólica obtemos: } xM }_W2,1

2 pQqď C.

Assim, conclui-se a prova da Proposição 3.1.

Agora, seja pA, M q a solução do problema (3.11)-(3.14) dada obtida pela proposição anterior e consideremos

BMI

Bt “ D∆MI´ v ¨ ∇MI´ pµ1` h11ω1qMI` β1pM ´ MIqI em Q (3.27) BH

(35)

Capítulo 3. Análise Matemática do Modelo 35 BI Bt “ β2HMI´ σI ´ µHI em Q (3.29) BMI Bη “ 0 em BΩ ˆ p0, T q (3.30) MIpx, 0q “ MI0pxq em Ω (3.31) Hpx, 0q “ H0pxq em Ω (3.32) Ipx, 0q “ I0pxq em Ω. (3.33)

Note que na primeira equação MS foi substituída por M ´ MI. Este problema antes descrito o chamaremos de Segundo Problema Auxiliar.

Agora vamos escrever um resultado que garante a existência de uma solução para o nosso segundo problema auxiliar.

Proposição 3.2. Suponha que as hipóteses técnicas são válidas, então existe uma solução

não negativa pMI, H, Iq P W22,1pQq ˆ L8pQq ˆ L8pQq do problema (3.27)-(3.33). Além

disso

}MI}_W2,1

2 pQq` }H}L

8_pQq` }I}L8_pQq ď C,

onde C é uma constante positiva dependendo de Ω, T, }µ1}L8_pQq, }h₁}L2_pω

1ˆp0,T qq, β,

D, }v}L8_pQq, }γ}_L8_pQq, k₀, k₁₀, }µ_H}L8_pQq, }β₁}L8_pQq, }β₂}L8_pQq, }MI0}W1

2pΩq, }H0}L8pΩq,

e }I0}L8_pΩq.

A prova da Proposição 3.2 é análoga à demonstração da Proposição3.1. Para ver mais detalhes da prova anterior e da prova da Proposição 3.2, consulte (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA,2016).

Agora, da Proposição3.1, tem-se que existe uma solução não negativa pA, M q P L8

ˆ W22,1pQq do Problema (3.13)-(3.14) enquanto que da Proposição 3.2 existe uma

solução não-negativa pMI, H, Iq P W22,1pQq ˆ L8pQq ˆ L8pQq do Problema (3.27)-(3.33).

Assim, ao definir MS “ M ´ MI, obtemos pA, MS, MI, H, Iq P L8pQq ˆ W₂2,1pQqˆW22,1pQqˆL8pQqˆL8pQq que é a solução do Problema (2.14)-(2.24) satisfazendo

as condições de nosso Teorema 3.6. A unicidade da solução do sistema de equações (2.14 )-(2.24) é obtida de forma padrão (ver (ARAUJO; BOLDRINI; CALSAVARA, 2016)).

(36)

36

Capítulo 4

Modelagem Numérica

Neste capítulo desenvolvemos uma abordagem numérica flexível, capaz de obter soluções para diferentes modelos de propagação de dengue, tais como os discutidos no Capítulo 2. Inicialmente, introduzimos uma forma geral de apresentar tais modelos, baseada na definição de uma equação capaz de contemplar a existência de diferentes termos de interação entre as variáveis envolvidas e de controle, bem como a existência de termos de advecção e difusão. Em seguida, discutimos aspectos importantes da discretização do problema utilizando o Método das Diferenças Finitas (LEVEQUE, 2007) e apresentamos um esquema implícito para sua resolução.

4.1 A Equação Geral

Nesta seção apresentamos uma forma genérica de representar cada uma das equações envolvidas nos modelos expostos no Capitulo 2. Dado que estes modelos estudam a mesma doença de diversas formas e com fatores diferentes, é possível observar que cada uma das equações relacionadas a eles pode ser escrita numa forma geral. De maneira genérica, a i´ésima linha da equação geral terá a forma:

Bui Bt “ ˆhi` κ i_∆u i` vi¨ ∇ui` ns ÿ i“1 γ_jiuj` ns ÿ k“1 uk ns ÿ j“1 β_kji uj (4.1) onde:

• ns: número de equações do sistema; • ui : i´ésima incógnita;

• vi _{: velocidade de advecção da i´ésima incógnita;} • κi _{: coeficiente de difusão da i´ésima incógnita;} • γi

(37)

Capítulo 4. Modelagem Numérica 37

• βi

kj : influência da k´ésima incógnita sobre a j´ésima incógnita na i´ésima equação; • ˆhi : funções de controle da i´ésima incógnita.

É importante observar que não há uma análise de existência e unicidade de soluções para sistemas composto pelas equações gerais na forma (4.1), mas que tal sistema geral é capaz de representar sistemas mais simples, cuja análise de existência e unicidade de solução já tenha sido estabelecida.

No desenvolvimento de nosso trabalho consideraremos inicialmente vi “ 0 para i “ 1, . . . , ns. O sistema de equações diferenciais parciais fica então escrito como

Bu

Bt “ f puq (4.2)

onde u e f são vetores de Rns_.

4.2 Descrição do Modelo Segundo a Equação Geral

Nesta seção escrevemos a representação cada uma das equações de nosso sistema (2.1)-(2.6) por meio da equação geral, identificando as variáveis em estudo da seguinte

maneira:

¯

A “ u1, M¯S “ u2, M¯I “ u3, H “ u¯ 4, I “ u¯ 5, R “ u¯ 6.

Além disso, identificamos os valores dos parâmetros ˆhi, κi, γji, β i kj. • Primeira equação: Bu1 Bt “ r¯ ´ 1 ´ u_¯1 k2 ¯ pu2` u3q ´ ¯µ2u1´ ¯γu1 ´ ¯h21ω2u1 “ ´p¯µ2` ¯γqu1` ¯ru2` ¯ru3´ ¯ r ¯ k2 u1u2´ ¯ r ¯ k2 u1u3´ ¯h21ω2u1 onde ˆh1 “ 0, κ1 “ 0, h1 “ ´¯h21ω2 γ 1 1 “ ´¯γ ´ ¯µ2, γ21 “ ¯r, γ 1 3 “ ¯r, β 1 12 “ ´ ¯ r ¯ k2 , β₁₃1 “ ´_¯¯r k2 , todos os outros γ_j1 “ 0, βkj1 “ 0. • Segunda equação: Bu2 Bt “ ¯ D∆u2` ¯γu1´ ¯µ1u2´ ¯ r ¯ k1 u1u2´ ¯ r ¯ k1 u1u3´ ¯β1u2u5´ ¯h11w1u2 onde ˆh2 “ ´¯h11w1, κ 2 “ ¯D, γ₁2 “ ¯γ, γ₂2 “ ´¯µ1, β122 “ ´ ¯ γ ¯ k1 , β₁₃2 “ ´_¯γ¯ k1 , β₂₅2 “ ´ ¯β1, todos os outros γ_j2 “ 0, βkj2 “ 0. • Terceira equação: Bu3 Bt “ ¯ D∆u3´ ¯µ1u3` ¯β1u2u5´ ¯h11w1u3 onde ˆh3 “ ´¯h11w1, κ 3 “ ¯D, γ₃3 “ ´¯µ1, β253 “ ¯β1, todos os outros γj3 “ 0, β 3 kj “ 0.

(38)

• Quarta equação:

Bu4

Bt “ µ¯Hu5` ¯µHu6´ ¯β2u3u4

onde ˆh4 “ 0, κ4 “ 0, γ54 “ ¯µH, γ64 “ ¯µH, β434 “ ´ ¯β2 todos os outros γj4 “ 0, β

4 kj “ 0. • Quinta equação: Bu5 Bt “ ¯ β2u3u4´ p¯σ ` ¯µqu5

onde ˆh5 “ 0, κ5 “ 0, γ55 “ ´p¯σ ` ¯µHq, β435 “ ¯β2, todos os outros γj5 “ 0, β

5 kj “ 0. • Sexta equação: Bu6 Bt “ ¯σu5´ ¯µHu6 onde ˆh6 “ 0, κ6 “ 0, γ56 “ ¯σ, γ 6 6 “ ´¯µH, todos os outros γj6 “ 0, β 6 kj “ 0.

4.3 Formulação Semi-Discreta

Em geral, os problemas que envolvem EDPs, tais como o estudado neste trabalho necessitam de uma variedade de ferramentas matemáticas e computacionais para sua resolução. Além de métodos analíticos, diversos métodos numéricos podem ser utilizados para obtenção aproximada da solução de uma equação diferencial parcial. Os principais métodos numéricos utilizados para resolução dessas equações são: método das diferenças finitas, método dos elementos finitos, método dos elementos de contorno e método dos volumes finitos (LEVEQUE, 2002; HUGHES, 1987). A idéia básica dos métodos numéricos é o processo de discretização, que reduz o problema contínuo, em dimensão infinita, em um problema discreto com um número finito de variáveis, podendo ser resolvido computacionalmente (CORREA; BORGES, 2013; FRANCO, 2006). Assim, a primeira etapa para resolução de qualquer método numérico envolvendo as equações diferenciais parciais é discretizar a região onde se procura a solução. Para a discretização define-se uma malha, formada por um conjunto finito de pontos pertencentes ao domínio, chamados nós, que por sua vez definem uma serie de elementos, ou células, delimitados por arestas. Para tal discretização consideraremos um domínio retangular 0 ď x ď Lx, 0 ď y ď Ly, onde Lx e Ly são as dimensões do domínio nas direções x e y, respectivamente. Usaremos uma malha cartesiana uniforme em cada direção, consistindo de células centradas nos pontos pxi, yjq, onde xi “ i∆x ´

∆x 2 , yj “ j∆y ´ ∆y 2 com ∆x “ Lx nx , ∆y “ Ly ny , nx é o número de células na direção x, ny é o número de células na direção y e nel representa o número total de células em que se subdivide a malha. Uma seção de tal malha é mostrada na Figura 1. A metodologia padrão para a construção de esquemas de diferenças finitas é baseada na substituição de cada operador diferencial do modelo matemático pela a sua

(39)

x

i

x

_i´1

x

_i`1

y

j

y

_j´1

y

_j`1

x

_i´1 2

x

i` 1 2

y

_j´1 2

y

_j`1 2 ´4 1 1 1 1

Figura 1 – Porção da malha computacional utilizada para a resolução de um problema diferencial em duas dimensões. O estêncil de 5 pontos para o Laplaciano sobre o ponto pxi, yjq também é indicado.

respectiva equação de diferenças. Tais equações de diferenças são normalmente obtidas a partir da expansão na série de Taylor da função incógnita na vizinhança do ponto analisado. Por exemplo, a clássica discretização do operador laplaciano, utilizando uma fórmula de 5 nós, centrada nó pxi, yjq como mostra a Figura 1, é dada por:

∆upxi, yjq « 1 p∆xq2

´

ui´1,j ´ 2ui,j` ui`1,j

¯

` 1

p∆yq2 ´

ui,j´1´ 2ui,j` ui,j`1

¯

. (4.3) No caso quando ∆x “ ∆y “ h temos

∆upxi, yjq « 1 h2

´

ui´1,j ` ui,j´1´ 4ui,j` ui,j`1` ui`1,j

¯

. (4.4)

Agora, usando esta última discretização e a equação (4.2) escrita em termos da equação geral (4.1) obtemos um sistema de EDOs da forma seguinte

BU

Bt “ F pU q (4.5)

onde U e F são vetores de Rpnsˆnelq _{e n}

el é o número de elementos da malha. Esta equação consiste na formulação semi-discreta, discreta no espaço e contínua no tempo, do problema modelo.

4.4 Esquemas Totalmente Discretos

Nesta seção apresentamos algumas generalidades de alguns esquemas discretos por diferenças finitas para resolver (4.5). Temos que a equação (4.5) mais uma condição inicial define um Problema de Valor Inicial (PVI). Essa abordagem é conhecida como Método das linhas (MOL, do inglês Method of Lines, ver (LEVEQUE, 2007) Seção 9.2).