Sequências exatas e aplicações: o Lema da Cobra

(1)

Sequˆ

encias exatas e aplica¸

c˜

oes: o

Lema da Cobra

Florian´opolis

(2)

Sequˆ

encias exatas e aplica¸

c˜

oes: o

Lema da Cobra

Trabalho de Conclus˜ao de Curso apresentado

ao Curso de Matem´atica do Departamento

de Matem´atica do Centro de Ciˆencias F´ısicas

e Matem´aticas da Universidade Federal de

Santa Catarina para obten¸c˜ao de grau de

Li-cenciado em Matem´atica.

Orientador:

Virg´ınia Silva Rodrigues

Universidade Federal de Santa Catarina

Florian´opolis

(3)

(4)

Gostaria de agradecer primeiramente `a minha fam´ılia. Presente em todos os momen-tos, sempre demonstrando amor e afeto em cada palavra e em cada gesto. Se eu tivesse que escolher uma fam´ılia novamente, certamente escolheria a nossa. Como diria a Lilo, Ohana quer dizer fam´ılia, fam´ılia quer dizer nunca mais abandonar, ou esquecer.

Também não poderia esquecer da minha querida Lindóia. Vó amada, obrigado por

todos os recados preocupados enviados e por todo o amor emanado. Vocˆe mora no meu

cora¸c˜ao.

`

A minha namorada, obrigado por todo o carinho e paciˆencia dado a mim durante

todos os momentos em que estivemos juntos. `

A professora Virg´ınia que, mesmo sem me conhecer, aceitou me orientar nessa jornada

magn´ıfica. Muito obrigado por todos os conselhos, por todas as corre¸c˜oes, por todos os

chiados e por toda a paciˆencia. Quem dera que todos se dedicassem aos seus trabalhos

como a senhora o faz.

Finalmente, obrigado a todos os meus amigos e amigas que contribu´ıram positiva-mente de alguma forma ao longo desses anos, seja estudando aos finais de semana,

em-prestando modelos de trabalhos e compartilhando resultados de listas de exerc´ıcios ou at´e

(5)

O objetivo principal deste trabalho ´e apresentar e demonstrar alguns resultados b´asicos de

teoria de módulos. Como aplica¸cão de teoria de módulos, estudamos as sequência exatas,

com destaque para o chamado Lema da Cobra.

(6)

1 M´odulos p. 8

1.1 Conceitos b´asicos . . . p. 8

1.2 Homomorfismos de A-m´odulos . . . p. 14

1.3 Propriedade universal do n´ucleo e do con´ucleo . . . p. 17

1.4 Teoremas de isomorfismo para m´odulos . . . p. 20

2 Sequˆencias exatas p. 24

2.1 Defini¸c˜oes e resultados b´asicos . . . p. 24

2.2 Algumas aplica¸c˜oes . . . p. 26

3 O Lema da Cobra p. 32

(7)

Introdu¸

c˜

ao

Para iniciar estudos mais aprofundados em álgebra é necessário que compreendamos

alguns tópicos não contemplados ao longo do curso de gradua¸cão em matemática

licenci-atura. O tema escolhido para o in´ıcio de tais estudos foi a teoria de m´odulos, que inclui

algumas de suas aplica¸c˜oes como, por exemplo, sequˆencias exatas.

Dentre as suas diversas aplica¸c˜oes, os m´odulos constituem um exemplo de uma

ca-tegoria abeliana, visto que para esses objetos e seus homomorfismos s˜ao satisfeitas uma

série de condi¸cões tais como a existência de núcleos e conúcleos. Categorias abelianas têm

bastante importância em álgebra pela existência de vários exemplos “palpáveis” como a

categoria de grupos abelianos, categoria de espa¸cos vetoriais finito e infinito dimensionais, categorias semissimples, etc.

Dessa forma, no primeiro cap´ıtulo abordamos no¸cões básicas de teoria de módulos.

Por interm´edio de exemplos e resultados das defini¸c˜oes dadas, objetivamos aqui fornecer

todas as ferramentas necessárias para a compreensão das sequências exatas, um dos temas

principais desse trabalho. Para a constru¸c˜ao dessa se¸c˜ao utilizamos principalmente a

referência [5]. Porém, quando necessário, usamos [1], [3], [4] e [6].

As sequências exatas possuem aplica¸cões em álgebra homológica como, por exemplo,

topologia alg´ebrica. Al´em disso, em teoria de categorias, o uso de diagramas comutativos

e dos resultados que o permeiam ´e bastante importante. Por exemplo, o Lema da Cobra,

que é o principal resultado desse trabalho, é uma aplica¸cão imediata de sequências exatas

(e de diagramas comutativos) e as categorias abelianas satisfazem tal lema.

Sendo assim, no segundo cap´ıtulo tratamos das sequˆencias exatas. Apresentamos

(8)

Cobra. As referˆencias utilizadas foram [3], [4] e [5].

No terceiro cap´ıtulo, efetivamente provamos o Lema da Cobra. Para tal prova,

utili-zamos [2]. Este resultado ´e extremamente importante devido ao seu car´ater funcional em

sequências exatas, gerando sequências exatas longas. Além disso, damos uma aplica¸cão

deste resultado, retirada de ([1], Lemme 3.7).

A compreens˜ao total do trabalho depende do conhecimento pr´evio sobre teoria de

(9)

Cap´ıtulo 1

M´

odulos

A no¸cão de módulos sobre um anel é uma generaliza¸cão de espa¸cos vetoriais. No

caso de espa¸cos vetoriais, temos um corpo K agindo sobre um conjunto V , que restrito `

a opera¸c˜ao soma ´e um grupo abeliano. Agora, temos um anel A agindo sobre um grupo

abeliano M .

1.1 Conceitos b´

asicos

Defini¸cão 1.1. Seja A um anel. Um grupo aditivo abeliano M é um módulo à esquerda

sobre A, ou simplesmente um A-módulo à esquerda, se está definida uma opera¸cão produto

ou multiplica¸c˜ao que, a cada par (a, m) ∈ A × M , associa um elemento am ∈ M tal que,

para quaisquer a1, a2 ∈ A e m1, m2 ∈ M , s˜ao verificados os seguintes axiomas:

(i) a1(a2m1) = (a1a2)m1;

(ii) a1(m1+ m2) = a1m1+ a1m2;

(iii) (a1+ a2)m1 = a1m1+ a2m1.

Analogamente, é definido um A-módulo à direita, considerando a multiplica¸cão à

di-reita pelos elementos do anel. Por´em, sempre que aqui nos referirmos a um A-m´odulo,

entende-se A-m´odulo `a esquerda.

Se o anel A possui unidade e 1Am = m, ∀m ∈ M , M diz-se um A-m´odulo unital.

Quando nada for dito ao contrário, os anéis considerados nesse trabalho não são

nessari-amente comutativos e possuem unidade. Os módulos sobre tais anéis serão unitais.

(10)

`

a direita e reciprocamente, definido am = ma, para quaisquer a ∈ A e quaisquer m ∈ M . ´

E importante salientar que existem módulos que não são unitais, mesmo que o anel

A possua unidade. Para ilustrar tal situa¸c˜ao, damos um exemplo a seguir.

Exemplo 1.2. O fato do anel A possuir unidade n˜ao garante que um m´odulo M sobre A

seja unital. Consideremos M = Z2 = Z × Z e A = Z. Definimos, para quaisquer z ∈ Z e

(x, y) ∈ Z2, z(x, y) = (zx, 0). A soma ´e a usual, isto ´e, (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2).

Afirmamos que Z2 _´_{e um Z-módulo que não é unital. De fato, para quisquer z}

1, z2 ∈ Z

e para quaisquer (x1, y1), (x2, y2) ∈ Z2, os axiomas (i), (ii) e (iii) s˜ao verificados.

(i) z1(z2(x1, y1)) = z1(z2x1, 0) = (z1(z2x1), 0) = ((z1z2)x1, 0) = z1z2(x1, y1).

(ii) z1((x1, y1) + (x2, y2)) = z1(x1 + x2, y1 + y2) = (z1(x1 + x2), 0) = (z1x1+ z1x2, 0) =

(z1x1, 0) + (z1x2, 0) = z1(x1, y1) + z1(x2, y2).

(iii) (z1 + z2)(x1, y1) = ((z1 + z2)x1, 0) = (z1x1 + z2x1, 0) = (z1x1, 0) + (z2x1, 0) =

z1(x1, y1) + z2(x1, y1).

Notemos que 1A(x, y) = (x, y) n˜ao ocorre para qualquer (x, y) ∈ Z2. Por exemplo,

1(2, 1) = (2, 0) 6= (2, 1).

Exemplo 1.3. Seja n ∈ Z, n ≥ 2. Então Zn é um Z-módulo definindo o produto como

ag = a · g, para todo a ∈ Z e para todo g ∈ Zn.

Exemplo 1.4. Todo grupo abeliano G ´_{e um Z-m´odulo definindo o produto de um inteiro}

n ∈ Z por g ∈ G da seguinte maneira:

ng =            g + · · · + g (n vezes ), se n > 0; (−g) + · · · + (−g) (−n vezes ), se n < 0; 0G, se n = 0.

Exemplo 1.5. Seja I um ideal à esquerda de um anel A. Então I é um A-módulo,

definindo a multiplica¸c˜ao como a multiplica¸c˜ao do anel A. Neste caso, para cada a ∈ A e

cada b ∈ I, temos ab ∈ I.

Os axiomas (i), (ii) e (iii) s˜ao verificados defido `a associatividade e a distributividade,

tanto à esquerda quanto à direita, presentes na defini¸cão de um anel. Além disso, 1Ax =

x1A = x, ∀x ∈ A.

Exemplo 1.6. Seja A um anel. Então A é um A-módulo à direita e à esquerda. Esse

(11)

No exemplo anterior, h´a a necessidade de diferenciar o anel A do m´odulo A. Assim, quando nos referirmos apenas ao anel, utilizaremos o s´ımbolo A e quando nos referirmos

ao A-m´odulo A, utilizaremos o s´ımbolo AA (analogamente, podemos usar o s´ımbolo AA

para definir um A-m´odulo `a direita).

No pr´oximo exemplo, ´e considerado o anel dos endomorfismos de um grupo abeliano

G, End(G) = {f : G → G : f é um endomorfismo}, em que as opera¸cões são dadas da

seguinte forma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀x ∈ G.

Exemplo 1.7. Seja G um grupo abeliano. Então G é um End(G)-módulo à esquerda,

definindo f · x = f (x), para quaisquer f ∈ End(G) e x ∈ G.

De fato, para quaisquer f1, f2 ∈ End(G) e quaisquer x, y ∈ G, s˜ao verificadas:

(i) f1· (f2· x) = f1(f2(x)) = (f1◦ f2)(x) = (f1◦ f2) · x;

(ii) f1· (x + y) = f1(x + y) = f1(x) + f1(y) = f1· x + f1· y;

(iii) (f1+ f2) · x = (f1+ f2)(x) = f1(x) + f2(x) = f1· x + f2· x.

Além disso, IdG· x = IdG(x) = x, em que IdG : G → G é a identidade, ou seja, G é

um End(G)-m´odulo unital.

Agora provamos algumas propriedades b´asicas de um A-m´odulo.

Proposi¸cão 1.8. Seja M um A-módulo. Então, para quaisquer a ∈ A e quaisquer

m ∈ M , s˜ao v´alidas:

(i) 0Am = 0M.

(ii) a0M = 0M.

(iii) (−a)m = a(−m) = −(am).

Demonstra¸c˜ao. Sejam a ∈ A e m ∈ M .

(i) Como 0Am = (0A+ 0A)m = 0Am + 0Am e 0Am − 0Am = 0M, segue que 0Am = 0M.

(ii) Como a0M = a(0M+0M) = a0M+a0M e a0M−a0M = 0M, conclu´ımos que a0M = 0M.

(iii) Como am + (−a)m = (a − a)m = 0Am = 0M temos, pela unicidade do sim´etrico, que

(−a)m = −(am). Analogamente, −(am) = a(−m).

O objetivo da próxima proposi¸cão é fornecer uma condi¸cão necessária e suficiente para

que um A-m´odulo seja um A/I-m´odulo, para algum ideal I de A.

Proposi¸c˜ao 1.9. Sejam I um ideal do anel A e M um A-m´odulo. Definimos IM :=

{am : a ∈ I, m ∈ M }. Ent˜ao a multiplica¸c˜ao

A/I × M → M

(12)

está bem definida se, e somente se, IM = {0M}. Neste caso, M é um A/I-módulo.

Demonstra¸cão. Suponhamos que a multiplica¸cão em questão esteja bem definida.

Pre-cisamos mostrar que IM = {0M}. Como 0A ∈ I, temos que 0Am = 0M ∈ IM . Logo,

{0M} ⊂ IM .

Resta-nos mostrar que IM ⊂ {0M}. Seja y ∈ IM . Ent˜ao existem x ∈ I e m ∈ M

tais que y = xm. Como x + I = 0A+ I e a multiplica¸c˜ao est´a bem definida, temos

que y = xm = (x + I)m = (0A + I)m = 0Am = 0M. Portanto, IM ⊂ {0M}. Logo,

IM = {0M}.

Suponhamos agora que IM = {0M}. Precisamos mostrar que a multiplica¸c˜ao em

quest˜ao est´a bem definida. Sejam a + I, b + I ∈ A/I tais que a + I = b + I. Da´ı, a − b ∈ I

e, como IM = {0M}, temos que (a − b)m = 0M, ∀m ∈ M , ou seja, am = bm. Logo,

(a + I)m = am = bm = (b + I)m. Portanto, a multiplica¸c˜ao est´a bem definida.

Finalmente, mostremos que com a opera¸cão assim definida, M é um A/I-módulo.

Sejam a + I, b + I ∈ A/I e m, n ∈ M . Ent˜ao

(i) (a + I)((b + I)m) = (a + I)(bm) = a(bm) = (ab)m = (ab + I)m = ((a + I)(b + I))m. (ii) (a + I)(m + n) = a(m + n) = am + an = (a + I)m + (a + I)n.

(iii) ((a + I) + (b + I))m = ((a + b) + I)m = (a + b)m = am + bm = (a + I)m + (b + I)m.

Al´em disso, (1A+ I)m = 1Am = m, ∀m ∈ M .

Nosso próximo objetivo é escrevermos a defini¸cão de um submódulo. Para isso,

recor-damos a defini¸c˜ao de um subgrupo de um grupo G. Consideramos tal grupo aditivo.

Defini¸c˜ao 1.10. Sejam G um grupo e H um subconjunto de G. Diz-se que H ´e um

subgrupo de G se s˜ao satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:

(i) 0G∈ H;

(ii) Para quaisquer x, y ∈ H, x + y ∈ H; (iii) Para qualquer x ∈ H, −x ∈ H.

Defini¸cão 1.11. Seja M um A-módulo. Um subconjunto N ⊂ M é chamado A-submódulo

de M, ou simplesmente subm´odulo, se

(i) N ´e um subgrupo aditivo de M ;

(ii) N é fechado em rela¸cão à opera¸cão multiplica¸cão, isto é,

∀a ∈ A e ∀n ∈ N , tem-se que an ∈ N .

(13)

Proposi¸cão 1.12. Seja M um A-módulo. Então um subconjunto não vazio N de M é

um submódulo de M se, e somente se, as seguintes condi¸cões são satisfeitas

(i)’ ∀n1, n2 ∈ N , tem-se n1+ n2 ∈ N ;

(ii)’ ∀a ∈ A, ∀n ∈ N , tem-se que an ∈ N .

Demonstra¸cão. Suponhamos que N seja um submódulo de M . Assim, as condi¸cões (i)’ e

(ii)’ acima s˜ao satisfeitas.

Suponhamos agora que (i)’ e (ii)’ s˜ao satisfeitas. Logo, falta mostrar que N ´e um

subgrupo de M . Como N n˜ao ´e vazio, existe n0 ∈ N e, por (ii)’, (−1)n0 _{= −n}0 _{∈ N .}

Assim, n0 + (−n0) = 0M ∈ N , devido a (i)’. Al´em disso, por (ii)’, para todo n ∈ N ,

(−1)n = −n ∈ N . Logo, N ´e um subgrupo aditivo de M .

Exemplo 1.13. Seja A um anel. Os A-submódulos de AA são os seus ideais à esquerda.

Analogamente, os A-submódulos de AA são os seus ideais à direita.

A verifica¸cão é trivial, basta comparar as defini¸cões de ideias à direita e à esquerda

com a defini¸c˜ao de subm´odulo.

Defini¸c˜ao 1.14. Sejam M um A-m´odulo. O conjunto

AnA(m) := {a ∈ A : am = 0M, ∀m ∈ M }

´e chamado anulador em A de m.

Proposi¸cão 1.15. O conjunto definido acima é um submódulo à esquerda de A.

Demonstra¸c˜ao. Notemos que AnA(m) 6= ∅, pois 0Am = 0M, ∀m ∈ M . Sejam x, y ∈

AnA(m). Ent˜ao (x + y)m = xm + xy = 0M e portanto, x + y ∈ AnA(m). Tamb´em,

(ax)m = a(xm) = a0M = 0M, ∀a ∈ A, concluindo que ax ∈ AnA(m). Logo, AnA(m)

é um ideal à esquerda de A e, devido ao Exemplo 1.13, conclu´ımos que AnA(m) é um

subm´odulo de A.

Exemplo 1.16. Se N1 e N2 são submódulos de um A-módulo M , então o conjunto

N1+ N2 = {n1+ n2 : n1 ∈ N1, n2 ∈ N2} também é um submódulo de M .

De fato, 0M ∈ N1 + N2, pois 0M = 0M + 0M ∈ N1 + N2, ou seja, N1 + N2 6= ∅.

Dados x, y ∈ N1 + N2, existem n1, m1 ∈ N1 e n2, m2 ∈ N2, tais que x = n1 + n2

e y = m1 + m2. Como x + y = (n1 + n2) + (m1 + m2) = (n1 + m1) + (n2 + m2),

temos que x + y ∈ N1+ N2, visto que (n1 + m1) ∈ N1 e (n2 + m2) ∈ N2. Al´em disso,

ax = a(n1 + n2) = an1 + an2 ∈ N1 + N2, ∀a ∈ A. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.12,

(14)

Exemplo 1.17. Seja M um A-módulo e {Ni}i∈I uma fam´ılia de submódulos de M . Então

T

i∈INi ´e um subm´odulo de M.

Realmente, T

i∈INi 6= ∅ pois como 0M ∈ Ni, ∀i ∈ I, temos 0M ∈

T

i∈INi. Sejam

x, y ∈ T

i∈INi. Ent˜ao x, y ∈ Ni,∀i ∈ I, ou seja, x + y ∈ Ni, ∀i ∈ I, visto que Ni ´e um

subm´odulo de M , para todo i ∈ I. Portanto, x + y ∈T

i∈INi.

Seja a ∈ A. Como x ∈ Ni, ∀i ∈ i, temos que ax ∈ Ni, ∀i ∈ I. Logo, ax ∈

T

i∈INi.

Assim, T

i∈INi ´e um subm´odulo de M .

Exemplo 1.18. Seja S um subconjunto não vazio de um A-módulo M . Então o conjunto

(S) = {Pn

i=1aisi : 1 ≤ n ∈ N, ai ∈ A, si ∈ S}

´e um subm´odulo de M .

De fato, (S) 6= ∅ visto que S ⊂ (S), pois s = 1As ∈ (S). Al´em disso, como S 6= ∅,

existe s ∈ S e 0As = 0M ∈ (S). Tamb´em, se x, y ∈ (S), existem ai, bj ∈ A e si, pj ∈ S

tais que x =Pn

i=1aisi, para algum 1 ≤ n ∈ N, e y =

Pm

j=1bjpj, para algum 1 ≤ m ∈ N.

Ent˜ao, assumindo sem perda de generalidade que m ≥ n, temos que

x + y =Pn

i=1aisi+

Pm

j=1bjpj = a1s1+ · · · + ansn+ b1p1 + · · · + bmpm.

Chamando, para cada j ∈ {1, 2, 3, · · · , m}, bj = an+j e pj = sn+j, conclu´ımos que

x + y =Pn+m

k=1 aksk.

Portanto, x + y ∈ (S). Finalmente, ∀a ∈ A, temos que

ax = aPn i=1aisi = Pn i=1a(aisi) = Pn i=1(aai)si ∈ (S).

Dessa forma, (S) ´e um subm´odulo de M .

O subm´odulo (S) definido neste exemplo chama-se subm´odulo gerado por S.

Defini¸cão 1.19. Sejam M um A-módulo e S = {m} ⊂ M . Então (S) = {am : a ∈ A} =

Am é chamado submódulo c´ıclico de M . Se M = (S) então M é dito um módulo c´ıclico.

Exemplo 1.20. Seja A um anel. Então A é um A-módulo c´ıclico, visto que A = A1A=

{a1A; a ∈ A}.

Exemplo 1.21. nZ = Zn = {zn : z ∈ Z} é um submódulo c´ıclico do Z-módulo Z, para qualquer n ∈ N.

Defini¸cão 1.22. Um módulo M diz-se simples, se M não é o módulo nulo e seus únicos

subm´odulos s˜ao {0M} e M .

(15)

Demonstra¸cão. Seja M um A-módulo simples. Por defini¸cão, M 6= {0M}. Assim, existe

0 6= m ∈ M e portanto, Am é um submódulo não-nulo de M . Logo, M = Am e M é

c´ıclico.

O pr´oximo resultado define a estrutura quociente para m´odulos.

Proposi¸cão 1.24. Seja M um A-módulo e N um submódulo de M . A opera¸cão

multi-plica¸c˜ao definida por

A × M/N → M/N

(a, m + N ) 7→ a(m + N ) := am + N ,

torna o quociente M/N um A-m´odulo.

De fato, note que a multiplica¸c˜ao dada acima est´a bem definida pois, dados m1 +

N, m2+ N ∈ M/N , tais que m1+ N = m2+ N , temos que m1 − m2 ∈ N . Da´ı, como N

´e um subm´odulo de M , conclu´ımos que a(m1− m2) = am1− am2 ∈ N, ∀a ∈ A, ou seja,

am1+ N = am2+ N .

Com a multiplica¸cão bem definida, mostremos que M/N é um A-módulo. Sejam

n1+ N, n2+ N ∈ M/N e a1, a2 ∈ A. Assim, se verificam os seguintes axiomas:

(i) a1(a2(n1+ N )) = a1(a2n1+ N ) = a1(a2n1) + N = (a1a2)n1+ N = (a1a2)(n1+ N );

(ii) a1((n1+ N ) + (n2+ N )) = a1((n1+ n2) + N ) = a1(n1+ n2) + N = (a1n1+ a1n2) + N =

(a1n1+ N ) + (a1n2+ N ) = a1(n1+ N ) + a1(n2+ N );

(iii) (a1+ a2)(n1+ N ) = (a1+ a2)n1+ N = (a1n1+ a2n1) + N = (a1n1+ N ) + (a2n1+ N ) =

a1(n1+ N ) + a2(n1+ N ).

Além disso, como 1A(n1+ N ) = 1An1 + N = n1+ N , o A-módulo M/N é unital.

Defini¸cão 1.25. O A-módulo M/N definido na proposi¸cão anterior é chamado módulo

quociente do m´odulo M pelo subm´odulo N .

Exemplo 1.26. Sejam M um A-módulo e N, P submódulos de M tais que N ⊂ P . Então

P/N ´e um subm´odulo de M/N .

De fato, ´e claro que P/N ⊂ M/N e que 0M+N ∈ P/N , ou seja, P/N ´e um subconjunto

n˜ao vazio de M/N . Al´em disso, para quaisquer p1 + N, p2 + N ∈ P/N , temos que

(p1+ N ) + (p2+ N ) = (p1+ p2) + N ∈ P/N e a(p1+ N ) = ap1+ N ∈ P/N , ∀a ∈ A.

1.2 Homomorfismos de A-m´

odulos

Estamos interessados em estudar fun¸c˜oes entre A-m´odulos, particularmente aquelas

(16)

Defini¸cão 1.27. Sejam M e N A-módulos. Uma fun¸cão f : M → N é chamada

homo-morfismo de A-m´odulos, ou apenas A-homomorfismo se, para quaisquer m1, m2 ∈ M e

a ∈ A, s˜ao verificadas as seguintes condi¸c˜oes:

(i) f (m1+ m2) = f (m1) + f (m2);

(ii) f (am1) = af (m1).

Agora provamos algumas propriedades b´asicas de A-homomorfismos.

Proposi¸cão 1.28. Seja f : M → N um A-homomorfismos. Então são válidas as

seguin-tes propriedades:

(i) f (0M) = 0N.

(ii) f (−m) = −f (m), ∀m ∈ M .

(iii) Seja g : N → P um A-homomorfismo. Ent˜ao g ◦f : M → P ´e um A-homomorfismo.

(iv) Se B é um submódulo de M , então f : B → N é um A-homomorfismo, isto é, f |B

´

e um A-homomorfismo.

Demonstra¸c˜ao. (i) Como f (0M) = f (0M + 0M) = f (0M) + f (0M), segue que f (0M) −

f (0M) = f (0M) + f (0M) − f (0M), ou seja, 0N = f (0M) + 0N. Logo, 0N = f (0M).

(ii) Seja m ∈ M . Ent˜ao f (m) + f (−m) = f (m + (−m)) = f (0M) = 0N. Portanto,

f (−m) = −f (m).

(iii) Sejam m, n ∈ M e a ∈ A. Ent˜ao

(g ◦ f )(m + n) = g(f (m + n)) = g(f (m) + f (n)) = g(f (m)) + g(f (n)) = (g ◦ f )(m) + (g ◦ f )(n).

Tamb´em, (g ◦ f )(am) = g(f (am)) = g(a(f (m)) = ag(f (m)) = a(g ◦ f )(m).

(iv) Sejam m, n ∈ B ⊂ M . Ent˜ao = f (m + n) = f (m) + f (n) e af (m) = f (am),

∀a ∈ A.

Exemplo 1.29. A fun¸c˜ao f : M → N definida por f (m) = 0N, ∀m ∈ M , ´e um

A-homomorfismo chamado A-homomorfismo nulo.

Exemplo 1.30. Seja N um submódulo de um A-módulo M . Então a fun¸cão inclusão

canˆonica, definida por

ı : N ,→ M

x 7→ x

(17)

Observa¸cão 1.31. Notemos que a fun¸cão identidade IdM : M → M é um caso particular

do exemplo anterior. Sendo assim, ´e um A-homomorfismo.

Exemplo 1.32. Seja N um submódulo de um A-módulo M . Então a fun¸cão proje¸cão

canˆonica, definida por

π : M → M/N

m 7→ m + N

´e um A-homomorfismo.

Para cada A-homomorfismo f : M → N , existem subm´odulos importantes de M e

N , chamadados de n´ucleo de f e imagem de f , respectivamente.

Defini¸c˜ao 1.33. Seja f : M → N um A-homomorfismo. Chama-se Imagem de f e

N´ucleo de f , respectivamente, os conjuntos

Im(f ) = {f (m) : m ∈ M } e Ker(f ) = {m ∈ M : f (m) = 0N}.

A nota¸cão Ker(f ) utilizada acima vem do inglês kernel de f , que significa núcleo.

Proposi¸cão 1.34. Seja f : M → N um A-homomorfismo. Então Im(f ) e Ker(f ) são

subm´odulos de N e M , respectivamente.

Demonstra¸c˜ao. Notemos que Im(f ) 6= ∅ pois 0N = f (0M) ∈ Im(f ). Sejam n1, n2 ∈

Im(f ). Ent˜ao, existem m1, m2 ∈ M tais que f (m1) = n1 e f (m2) = n2. Portanto,

n1 + n2 = f (m1) + f (m2) = f (m1+ m2) ∈ Im(f ). Al´em disso, para todo a ∈ A temos

an1 = af (m1) = f (am1) ∈ Im(f ). Portanto, Im(f ) ´e um subm´odulo de N .

Agora mostremos que Ker(f ) ´e um subm´odulo de M . Notemos que Ker(f ) 6= ∅ pois

0M ∈ Ker(f ), uma vez que f (0M) = 0N. Sejam m1, m1 ∈ Ker(f ). Assim, f (m1+ m2) =

f (m1) + f (m2) = 0M + 0M = 0M e portanto, m1 + m2 ∈ Ker(f ). Tamb´em, como para

todo a ∈ A, f (am1) = af (m1) = a0N = 0N, temos que am1 ∈ Ker(f ). Portanto, Ker(f )

´e um subm´odulo de M .

Defini¸c˜ao 1.35. Um A-homomorfismo f : M → N injetor diz-se um A-monomorfismo.

Exemplo 1.36. O inclusão canônica definida no Exemplo 1.30 é um A-monomorfismo.

Proposi¸c˜ao 1.37. f : M → N ´e um A-monomorfismo se, e somente se, Ker(f ) = {0M}.

Demonstra¸c˜ao. Sejam f : M → N um A-monomorfismo e a ∈ Ker(f ). Ent˜ao, como

f (a) = 0N = f (0M) e como f ´e injetora, temos que a = 0M e portanto, Ker(f ) = {0M}.

Seja f : M → N um A-homomorfismo tal que Ker(f ) = {0M}. Assim, dados

m, n ∈ M , tais que f (m) = f (n), temos que f (m) − f (n) = 0N e portanto f (m − n) = 0N.

Da´ı, m − n ∈ Ker(f ). Logo, m − n = 0M, ou seja, m = n. Portanto, f ´e um

(18)

Defini¸c˜ao 1.38. Um A-homomorfismo f : M → N sobrejetor diz-se um A-epimorfismo.

Exemplo 1.39. A proje¸cão canônica definida no Exemplo 1.32 é um A-epimorfismo.

Destacamos tamb´em que, neste caso, Ker(π) = N .

Defini¸c˜ao 1.40. Um A-homomorfismo f : M → N diz-se um A-isomorfismo se f ´e,

simultaneamente, um A-monomorfismo e um A-epimorfismo.

Quando existe um A-isomorfismo f : M → N , M ´e dito isomorfo a N e escrevemos

M ∼= N .

Exemplo 1.41. A fun¸c˜ao identidade IdM : M → M ´e um A-isomorfismo.

Proposi¸c˜ao 1.42. Sejam M um A-m´odulo simples e f : M → N um A-isomorfismo.

Ent˜ao N ´e simples.

Demonstra¸cão. Notemos que Ker(f ) = {0M} pois, caso contrário, como M é simples,

Ker(f ) = M , ou seja, f seria o A-homomorfismo nulo e N = {0N} e da´ı j´a n˜ao seria

simples.

Seja N0 um submódulo de N . Então não é dif´ıcil ver que f−1(N0) = {m ∈ M :

f (m) ∈ N0} é um submódulo de M . Como M é simples, segue que f−1(N0) = {0M}

ou f−1(N0) = M . Da´ı, como f ´e um A-epimorfismo, segue que f (f−1(N0)) = {0N} ou

f (f−1(N0)) = N , ou seja, N0 = {0N} ou N0 = N . Logo, N ´e simples.

1.3 Propriedade universal do n´

ucleo e do con´

ucleo

Sejam f : M → N um A-homomorfismo e ı : Ker(f ) → M a inclus˜ao canˆonica.

Claramente, f ◦ ı = 0, visto que ∀x ∈ Ker(f ), (f ◦ ı)(x) = f (ı(x)) = f (x) = 0.

A proposi¸cão a seguir é conhecida como a propriedade universal do núcleo.

Proposi¸cão 1.43. Com a nota¸cão acima, sejam M0 um A-módulo e k : M0 → M um

A-homomorfismo tal que f ◦ k = 0. Ent˜ao existe um ´unico A-homomorfismo k0 : M0 →

Ker(f ) tal que ı ◦ k0 = k.

Demonstra¸c˜ao. O diagrama abaixo ilustra essa situa¸c˜ao

Ker(f ) ı //M f //N M0. k OO k0 dd

(19)

Definimos k0 : M0 → Ker(f ) tal que k0_{(m) = k(m), ∀m ∈ M}0_{. Claramente, k(m) ∈}

Ker(f ), pois f (k(m)) = (f ◦ k)(m) = 0. Al´em disso, k0 ´e um A-homomorfismo, pois k o

´e.

Por outro lado, devido `a defini¸c˜ao de k0, ı ◦ k0 = k, visto que (ı ◦ k0)(m) = ı(k0(m)) =

ı(k(m)) = k(m), ∀m ∈ M0.

Finalmente, mostremos que k0 ´e ´unica. Suponhamos que exista um A-homomorfismo

h : M0 → Ker(f ) tal que ı ◦ h = k. Neste caso ter´ıamos que ı ◦ k0 _{= ı ◦ h e portanto,}

k0 = h, pois k0(m) = ı(k0(m)) = ı(k(m)) = h(m), ∀m ∈ M0.

Como consequˆencia desta propriedade, mostramos abaixo que o n´ucleo de um

A-homomorfismo ´e ´unico, salvo isomorfismos. Seja f : M → N um A-homomorfismo.

Proposi¸c˜ao 1.44. Seja σ : L → M um A-homomorfismo tal que f ◦ σ = 0. Se existe,

para quaisquer A-m´odulo M0 e A-homomorfismo k : M0 → M tal que f ◦ k = 0, um ´unico

A-homomorfismo k00 : M0 → L tal que k = σ ◦ k00_{, ent˜}_{ao L ´}_{e isomorfo a Ker(f ).}

Demonstra¸cão. A situa¸cão acima é ilustrada pelo diagrama

L σ //M f //N M0. k OO k00 aa

Por hipótese, existe um único A-homomorfismo g : Ker(f ) → L e, pela Proposi¸cão

1.43, existe um ´unico A-homomorfismo g0 : L → Ker(f ) tais que ı = σ ◦ g e σ = ı ◦ g0,

respectivamente. Podemos ilustrar tal situa¸c˜ao com os seguintes diagramas:

L σ //M f //N e Ker(f ) ı //M f //N Ker(f ) ı OO g bb L. σ OO g0 cc

Temos que σ = σ ◦ (g ◦ g0) e ı = ı ◦ (g0 ◦ g) e portanto g ◦ g0 _{e g}0 _{◦ g satisfazem os}

diagramas. L σ //M f //N e Ker(f ) ı //M f //N L σ OO g◦g0 ^^ Ker(f ) ı OO g0◦g ee

Naturalmente, IdL e IdKer(f ) tamb´em satisfazem σ = σ ◦ IdL e ı = ı ◦ IdKer(f ). Logo,

como por hipóse g ◦ g0 : L → L é único e, pela Preoposi¸cão 1.43, g ◦ g0 = IdL também é

´

(20)

Seja f : M → N um A-homomorfismo. Chamamos de con´ucleo de f e notamos

por Coker(f ) = N/Im(f ). Seja π : N → Coker(f ) a proje¸c˜ao canˆonica. Claramente,

π ◦ f = 0, visto que ∀m ∈ M temos (π ◦ f )(m) = π(f (m)) = f (m) + Im(f ) = 0 + Im(f ).

A proposi¸cão a seguir é chamada propriedade universal do conúcleo.

Proposi¸c˜ao 1.45. Com a nota¸cao acima, sejam N0 um A-m´odulo e g : N → N0 um

A-homomorfismo tal que g◦f = 0. Ent˜ao existe um ´unico A-homomorfismo g0 : Coker(f ) →

N0 tal que g0 ◦ π = g.

Demonstra¸c˜ao. O diagrama abaixo ilustra esta situa¸c˜ao:

M f //N π // g Coker(f ) g0 yy N0.

Definimos g0 : Coker(f ) → N0 por g0(n + Im(f )) = g(n). Mostremos que g0 est´a bem

definida. Sejam n1 + Im(f ), n2+ Im(f ) ∈ Coker(f ) tais que n1+ Im(f ) = n2+ Im(f ).

Ent˜ao, como n1 − n2 ∈ Im(f ), existe m ∈ M tal que f (m) = n1 − n2. Assim, 0 =

(g ◦ f )(m) = g(f (m)) = g(n1 − n2) = g(n1) − g(n2), ou seja, g(n1) = g(n2). Portanto,

g(n1+ Im(f )) = g(n2+ Im(f )).

Mostremos que g0 ´e um A-homomorfismo. Sejam n1+ Im(f ), n2+ Im(f ) ∈ Coker(f )

e a ∈ A. Ent˜ao ag0(n1+Im(f )) = ag(n1) = g(an1) = g0(an1+Im(f )) = g0(a(n1+Im(f )))

e g0((n1+ Im(f )) + (n2+ Im(f ))) = g0((n1+ n2) + Im(f )) = g(n1+ n2) = g(n1) + g(n2) =

g0(n1+ Im(f )) + g0(n2+ Im(f )).

Notemos que, de fato, para todo n ∈ N , (g0◦π)(n) = g0_{(π(n)) = g}0_{(n+Im(f )) = g(n),}

ou seja, g0◦ π = g.

Finalmente, mostremos que g0 ´e ´unica. Suponhamos que exista um A-homomorfismo

h : Coker(f ) → N0 tal que h ◦ π = g. Neste caso, ter´ıamos que g0◦ π = h ◦ π e portanto,

g0 = h, pois g0(n+Im(f )) = g0(π(n)) = (g0◦π)(n) = (h◦π)(n) = h(π(n)) = h(n+Im(f )),

∀n ∈ N .

A seguir, mostraremos que o conúcleo de um A-homomorfismo é único, salvo

isomor-fismos. Seja f : M → N um A-homomorfismo.

Proposi¸c˜ao 1.46. Seja λ : N → P um A-homomorfismo tal que λ ◦ f = 0. Se, para

quaisquer A-m´odulo N0 e A-homomorfismo g : N → N0 tal que g ◦ f = 0, existe um ´unico

(21)

Demonstra¸c˜ao. O diagrama abaixo expressa a situa¸c˜ao acima: M f //N λ // g P g00 }} N0.

Por hipótese, existe um único A-homomorfismo h0 : P → Coker(f ) e, pela Proposi¸cão

1.45, exite um ´unico A-homomorfismo h : Coker(f ) → P tais que h0◦ λ = j e h ◦ π = λ.

Podemos ilustrar tal situa¸c˜ao com os diagramas abaixo:

M f //N λ // π P h0 zz e M f //N π // λ Coker(f ) h zz Coker(f ) P.

Temos λ = (h ◦ h0) ◦ λ e π = (h0 ◦ h) ◦ π e portanto, h ◦ h0 _{e h}0 _{◦ h satisfazem os}

diagramas. M f //N λ // λ P h◦h0 e M f //N π // π Coker(f ) h0◦h ww P Coker(f ).

Naturalmente, IdP e IdCoker(f ) tamb´em satisfazem λ = IdP ◦ λ e π = IdCoker(f )◦ π.

Logo, como por hipótese h◦h0 : P → P é único e, pela Proposi¸cão 1.45, h0◦h : Coker(f ) →

Coker(f ) também é único, segue que h ◦ h0 = IdP e h0 ◦ h = IdCoker(f ). Portanto, P é

isomorfo a Coker(f ).

1.4 Teoremas de isomorfismo para m´

odulos

O objetivo desta se¸cão é provar os teoremas clássicos de isomorfismos para módulos.

Demonstra¸cões similares são feitas em teoria de anéis e grupos.

Teorema 1.47 (Primeiro Teorema do Isomorfismo ou Teorema do Homomorfismo).

Se-jam M e N A-m´odulos e f : M → N um A-homomorfismo. Ent˜ao M/Ker(f ) ∼= Im(f ).

Demonstra¸cão. Sejam ı : Im(f ) → N a inclusão canônica e π : M → M/Ker(f ) a

(22)

esbo¸cada pelo enuncionado: M f // π N_OO ı M/Ker(f ) f ∗ //_{Im(f ).}

Observemos que, ∀m ∈ M , temos

(ı ◦ f∗◦ π)(m) = ı(f∗(π(m)))

= ı(f∗(m + Ker(f ))

= f∗(m + Ker(f )).

Agora, se f∗(m + Ker(f )) := f (m), podemos definir f∗ como

f∗ : M/Ker(f ) → Im(f )

m + Ker(f ) 7→ f (m).

Vejamos que f∗ est´a bem definida. De fato, sejam m1 + Ker(f ), m2 + Ker(f ) ∈

M/Ker(f ) tais que m1 + Ker(f ) = m2+ Ker(f ). Ent˜ao, m1 − m2 ∈ Ker(f ). Assim,

f (m1− m2) = f (m1) − f (m2) = 0N, isto ´e, f (m1) = f (m2).

Mostremos que f∗´e um A-homomorfismo. Sejam m1+Im(f ), m2+Im(f ) ∈ M/Ker(f ).

Ent˜ao f∗((m1+ Ker(f )) + (m2+ Ker(f ))) = f∗((m1+ m2) + Ker(f )) = f (m1+ m2) =

f (m1) + f (m2) = f∗(m1+ Ker(f )) + f∗(m2+ Ker(f )). Al´em disso, f∗(a(m1+ Ker(f ))) =

f∗(am1+ Ker(f )) = f (am1) = af (m1) = af∗(m1+ Ker(f )), ∀a ∈ A.

Finalmente, precisamos mostrar que f∗ ´e um A-isomorfismo.

Seja n ∈ Im(f ). Ent˜ao existe m ∈ M tal que f (m) = n. Da´ı, n = f (m) =

f (m + Ker(f )). Logo f∗ ´e um A-epimorfismo.

Sejam m1+ Ker(f ), m2+ Ker(f ) ∈ M/Ker(f ) tais que f∗(m1+ Ker(f )) = f∗(m2+

Ker(f )). Assim, f (m1) = f (m2) e portanto m1− m2 ∈ Ker(f ), ou seja, m1+ Ker(f ) =

m2+ Ker(f ). Logo, f∗ ´e um A-monomorfismo.

Corolário 1.48. Se f : M → N é um A-epimorfismo, então M/Ker(f ) ∼= N .

Demonstra¸c˜ao. Como f : M → N ´e um A-epimorfismo, Im(f ) = N e, pelo teorema

acima, temos que M/Ker(f ) ∼= N .

Corolário 1.49. Todo A-módulo simples é isomorfo a um quociente de A por um ideal

`

a esquerda maximal de A.

Demonstra¸cão. Seja M um A-módulo simples. Como M é simples, pela Proposi¸cão 1.23,

(23)

f : A → M

a 7→ am.

assim definida ´e um A-homomorfismo.

Sejam a, b ∈ A. Ent˜ao f (a + b) = (a + b)m = am + bm = f (a) + f (b). Al´em disso,

f (ab) = (ab)m = a(bm) = af (b). Logo f ´e um A-homomorfismo. Notemos tamb´em que

f n˜ao ´e o A-homomorfismo nulo, pois como f (1A) = m 6= 0, temos que Ker(f ) 6= A.

Como M ´e gerado por m, temos que f ser´a um A-epimorfismo e portanto, devido ao

corol´ario anterior, M ∼= A/Ker(f ).

Como Ker(f ) é um submódulo de A, pelo Exemplo 1.13, segue que Ker(f ) é um

ideal `a esquerda de A. Al´em disso, Ker(f ) = AnA(m). Para terminarmos, precisamos

mostrar que Ker(f ) ´e maximal em A.

Seja J um ideal `a esqueda de A tal que Ker(f ) ⊂ J ⊂ A. Pelo Exemplo 1.26,

J/Ker(f ) é um submódulo de A/Ker(f ). Porém, como M ∼= A/Ker(f ) e M é simples,

pela Proposi¸cão 1.42, temos que A/Ker(f ) também é simples. Logo, J/Ker(f ) = {0 +

Ker(f )} ou J/Ker(f ) = A/Ker(f ), isto ´e, J = Ker(f ) ou J = A. Logo, Ker(f ) ´e um

ideal `a esquerda maximal.

Teorema 1.50 (Segundo Teorema do Isomorfismo). Sejam N e P dois subm´odulos de

um A-m´odulo M . Ent˜ao _{N ∩P}N ∼= N +P_P .

Demonstra¸c˜ao. Definimos

f : N → N +P

P

n 7→ n + P.

Facilmente conseguimos ver que f est´a bem definida. Al´em disso, para quaisquer

n, n0 ∈ N e a ∈ A, temos que f (n + n0_{) = (n + n}0_{) + P = (n + P ) + (n}0_{+ P ) = f (n) + f (n}0₎

e f (an) = an + P = a(n + P ) = af (n). Logo, f ´e um A-homomorfismo.

Provemos que f ´e sobrejetora. Sejam (n+p)+P ∈ (N + P )/P , em que n ∈ N e p ∈ P .

Ent˜ao, (n + p) + P = (n + P ) + (p + P ) = n + P e portanto, f (n) = n + P = (n + p) + P .

Agora, mostremos que Ker(f ) = N ∩ P . Notemos que: Ker(f ) = {n ∈ N : f (n) = 0 + P }

= {n ∈ N : n + P = 0 + P } = {n ∈ N : n ∈ P } = N ∩ P.

(24)

Teorema 1.51 (Terceiro Teorema do Isomorfismo). Sejam M um A-m´odulo e P e N

subm´odulos de M tais que P ⊂ N . Ent˜ao M/N ∼= M/P_N/P.

Demonstra¸c˜ao. Definimos

f : M/P → M/N

m + P 7→ m + N.

Observemos que, dados m1 + P, m2 + P ∈ M/P tais que m1+ P = m2+ P , temos

que m1− m2 ∈ P ⊂ N . Logo, m1+ N = m2+ N . Portanto, f est´a bem definida.

Mostremos que f ´e um A-homomorfismo. Sejam m1 + P, m2 + P ∈ M/P . Ent˜ao,

f ((m1+ P ) + (m2+ P )) = f ((m1+ m2) + P ) = (m1+ m2) + N = (m1+ N ) + (m2+ N ) =

f (m1+P )+f (m2+P ). Al´em disso, f (a(m1+P )) = f (am1+P ) = am1+N = a(m1+N ) =

af (m1+ P ), ∀a ∈ A.

Provemos que f ´e sobrejetora. De fato, para todo m+N ∈ M/N existe m+P ∈ M/P

tal que f (m + P ) = m + N .

Agora, mostremos que Ker(f ) = N/P . Notemos que

Ker(f ) = {m + P ∈ M/P : f (m + P ) = 0 + N } = {m + P ∈ M/P : m + N = 0 + N } = {m + P ∈ M/P : m ∈ N } = N/P.

(25)

Cap´ıtulo 2

Sequˆ

encias exatas

Uma sequência exata é uma forma de representar uma rela¸cão entre homomorfismos

de A-m´odulos por meio de diagramas. Este cap´ıtulo tem por objetivo estabelecer algumas

defini¸cões e resultados importantes para a compreensão do próximo cap´ıtulo. Além disso,

estudamos a no¸c˜ao de diagramas comutativos cuja aplicabilidade ´e muito importante em

´

algebra homol´ogica e teoria de categorias, por exemplo. Para mais detalhes, veja [3], [4]

e [5].

2.1 Defini¸

c˜

oes e resultados b´

asicos

Defini¸cão 2.1. Sejam M, N e P A-módulos. A sequência de A-homomorfismos

M f //N g //P

é dita exata se é exata em N , isto é, Im(f ) = Ker(g).

A defini¸cão dada acima pode ser generalizada conforme a próxima defini¸cão.

Defini¸c˜ao 2.2. Seja {· · · , Mi−1, Mi, Mi+1, · · · } uma fam´ılia, eventualmente infinita, de

A-m´odulos e {· · · , fi : Mi → Mi+1, · · · } uma fam´ılia de A-homomorfismos. Diz-se que a

sequˆencia · · · //Mi−1 fi−1 _// Mi fi // Mi+1 fi+1 _// · · ·

é exata, se é exata em Mi, ∀i ∈ Z, isto é, se Im(fi−1) = Ker(fi), ∀i ∈ Z.

Se {M0, M1, · · · , Mn} é uma fam´ılia finita de A-módulos, então a sequência finita de

(26)

M0 f1 // M1 f2 // · · · fn−1//Mn−1 fn // Mn

é exata, se é exata em cada Mi, para i = 1, 2, · · · , n − 1, isto é, Im(fi) = Ker(fi+1), para

i = 1, 2, · · · , n − 1.

Proposi¸cão 2.3. A sequência 0 −→ Mg −→ N ´f e exata, se e somente se, f é um

A-monomorfismo.1

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a sequˆencia 0 −→ Mg −→ N seja exata. Seja x ∈f

Ker(f ). Ent˜ao x ∈ Im(g) = {0M}. Logo, x = 0. Da´ı, f ´e um A-monomorfismo.

Suponhamos que f seja um A-monomorfismo. Como g ´e o A-homomorfismo nulo,

segue que Im(g) = {0M} = Ker(f ). Portanto, a sequˆencia 0

g

−→ M −→ N ´e exata.f

Proposi¸cão 2.4. A sequência M −→ Nf −→ 0 ´g e exata, se e somente se, f é um

A-epimorfismo.

Demonstra¸cão. Suponhamos que a sequência M −→ Nf −→ 0 seja exata. Como g é o A-g

homomorfismo nulo, segue que Im(f ) = Ker(g) = N . Portanto, f ´e um A-epimorfismo.

Suponhamos que f seja um A-epimorfismo. Como g(x) = 0, ∀x ∈ N , segue que

Ker(g) = N = Im(f ). Portanto, a sequˆencia M −→ Nf −→ 0 ´e exata.g

Proposi¸cão 2.5. A sequência 0 −→ M −→ N −→ 0 ´f e exata se, e somente se, f é um

A-isomorfismo.

Demonstra¸cão. Pelas proposi¸cões acima, f é um A-monomorfismo e um A-epimorfismo.

Logo, f ´e um A-isomorfismo.

Defini¸c˜ao 2.6. Uma sequˆencia exata da forma

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 diz-se exata curta.

Exemplo 2.7. Se N é um submódulo de um A-módulo M , ı : N → M é a inclusão

canônica e π : M → M/N é a proje¸cão canônica, então a sequência

0 −→ N −→ Mı −→ M/N −→ 0π

´e exata curta.

De fato, sabemos que ı ´e um A-monomorfismo e π ´e um A-epimorfismo. Por outro

lado, Im(ı) = N . Al´em disso, seja x ∈ Ker(π). Ent˜ao π(x) = x + N = 0 + N . Da´ı,

x ∈ N , ou seja, Ker(π) ⊂ N . ´E claro que N ⊂ Ker(π). Logo, Ker(π) = N e assim,

Im(ı) = Ker(π).

(27)

Casos particulares da sequˆencia exata curta como no exemplo acima s˜ao dados abaixo.

Exemplo 2.8. A sequˆ_{encia 0 −→ nZ} _{−→ Z}ı _{−→ Z/nZ −→ 0, em que ı : nZ → Z ´e a}π

inclusão canˆ_{onica e π : Z → Z/nZ é a proje¸cão canônica, é exata.}

Defini¸c˜ao 2.9. Seja f : M → N um A-homomorfismo. Define-se a coimagem de f como

o A-m´odulo Coim(f ) = M/Ker(f ).

Exemplo 2.10. Sejam f : M → N um A-homomorfismo, ı a inclus˜ao canˆonica e π a

proje¸cão canônica. Então as sequências abaixo são exatas.

(i) 0 −→ Ker(f )−→ Mı −→ Coim(f ) −→ 0.π

(ii) 0 −→ Im(f )−→ Nı −→ Coker(f ) −→ 0.π

De fato, os itens (i) e (ii) s˜ao casos an´alogos ao apresentado no Exemplo 2.7, visto

que Coim(f ) = M/Ker(f ) e Coker(f ) = N/Im(f ).

Proposi¸cão 2.11. Sejam M, N e P A-módulos. Então, uma sequência exata curta do

tipo (1) 0 −→ N −→ Mf −→ P −→ 0, pode ser vista como uma sequˆg encia exata curta do

tipo (2) 0 −→ N −→ Mı −→ M/N −→ 0 e reciprocamente.π

Demonstra¸cão. Obviamente uma sequência do tipo (2) é uma sequência do tipo (1), basta

considerar f = ı e g = π.

Vejamos o contrário. Seja ı : N → Im(f ) a inclusão canônica. Assim, N é isomorfo à

Im(f ), pois f ´e um A-monomorfismo. Como (1) ´e exata, Im(f ) = Ker(g) e, por ser g um

A-epimorfismo, M/Im(f ) ´e isomorfo a P , pelo Teorema 1.47. Assim, temos que (1) pode

ser vista como uma sequˆencia do tipo (2), uma vez que N ∼= Im(f ) e M/Im(f ) ∼= P , ou

seja 0 //N f // ∼= M g // = P // ∼= 0 0 //Im(f ) ı //M π //M/Im(f ) //0.

2.2 Algumas aplica¸

c˜

oes

O objetivo principal dessa se¸cão é apresentar exemplos, que são aplica¸cões de sequências

exatas. No entanto, ser´a necess´ario definirmos diagrama comutativo.

Defini¸cão 2.12. Um diagrama é dito comutativo se, para quaisquer par de A-módulos

(28)

Exemplo 2.13. Sejam M1 g f _// M2 e N1 f2 f1 // N2 g1 M3 h == N3 g2 //N4

diagramas comutativos. Neste caso, f = h ◦ g e g2◦ f2 = g1◦ f1.

Exemplo 2.14. Notemos que uma sequˆencia exata curta ´e um diagrama comutativo,

pois f = g = 0, veja o diagrama abaixo

0 // g 88 // f && N //M //P //0.

Sabemos do Cap´ıtulo 1 que somas e interse¸cões de submódulos de um dado módulo

M são novamente submódulos de M . No próximo exemplo, vamos considerar sequências

exatas cujos módulos são quocientes, quocientes de interse¸cões e quocientes de somas.

Exemplo 2.15. Sejam S e T subm´odulos de um A-m´odulo M .

0 0 0 0 //S ∩ T //_S //_{S/(S ∩ T )} //₀ 0 //T //_M //_M/T //₀ 0 //T /(S ∩ T ) //_M/S //_{M/(S + T )} //₀ 0 0 0

Definindo adequadamente os A-homomorfismos, o diagrama dado acima ´e comutativo e

todas suas filas e colunas s˜ao sequˆencias exatas.

De fato, a exatid˜ao das duas primeiras linhas e das duas primeiras colunas ´e facilmente

conclu´ıda devido ao Exemplo 2.7, definindo as fun¸c˜oes ali apresentadas como inclus˜oes e

proje¸c˜oes.

Definimos agora os A-homomorfismos que tornar˜ao a sequˆencia 0 → T /(S ∩ T ) −→

M/S −→ M/(S + T ) → 0 exata.

(29)

Mostremos que f est´a, de fato, bem definida. Sejam x + (S ∩ T ), y + (S ∩ T ) ∈ T /(S ∩ T )

tais que x + (S ∩ T ) = y + (S ∩ T ). Ent˜ao x − y ∈ S ∩ T e portanto, x − y ∈ S. Logo,

x + S = y + S, isto ´e, f (x + (S ∩ T )) = f (y + (S ∩ T )).

Verifiquemos que f ´e um A-monomorfismo. De fato, seja a ∈ A. Ent˜ao f (ax + (S ∩

T )) = ax + S = a(x + S) = af (x + (S ∩ T )) e f ((x + y) + (S ∩ T )) = (x + y) + S

= (x + S) + (y + S)

= f (x + (S ∩ T )) + f (y + (S ∩ T )).

Seja x + (S ∩ T ) ∈ Ker(f ). Ent˜ao f (x + (S ∩ T )) = 0 + S, ou seja, x + S = 0 + S.

Mas x ∈ T e assim, x ∈ S ∩ T . Logo, Ker(f ) = {0 + (S ∩ T )}.

Seja g : M/S → M/(S + T ) definida por g(m + S) = m + (S + T ), para todo m ∈ M .

Mostremos que g est´a, de fato, bem definida. Sejam m + S, n + S ∈ M/S tais que

m + S = n + S. Ent˜ao m − n ∈ S ⊂ S + T e portanto, m + (S + T ) = n + (S + T ), isto

é, g(m) = g(n). Provemos que g é um A-epimorfismo. Seja a ∈ A. Então g(am + S) =

am + (S + T ) = a(m + (S + T )) = ag(m + S) e

g((m + n) + S) = (m + n) + (S + T )

= (m + (S + T )) + (n + (S + T )) = g(m + S) + g(n + S).

Seja m + (S + T ) ∈ M/(S + T ). Ent˜ao m ∈ M e da´ı, m + S ∈ M/S. Portanto,

g(m + S) = m + (S + T ). Logo, Im(g) = M/(S + T ).

Mostremos agora que a sequˆencia ´e exata. Basta provarmos que Im(f ) = Ker(g),

pois j´a conclu´ımos a injetividade de f e a sobrejetividade de g. Seja m + S ∈ Im(f ).

Ent˜ao existe t + (S ∩ T ) ∈ T /(S ∩ T ) tal que f (t + (S ∩ T )) = m + S. Assim, g(m + S) =

g(f (t + (S ∩ T ))) = g(t + S) = t + (S + T ) = 0 + (S + T ), pois t ∈ T e portanto, m + S ∈ Ker(g). Logo Im(g) ⊂ Ker(g).

Seja m+S ∈ Ker(g). Ent˜ao g(m+S) = m+(S +T ) = 0+(S +T ), isto ´e, m ∈ (S +T ).

Assim, existem s0 ∈ S e t0 ∈ T tal que m = s0+ t0 e portanto, m + S = (s0 + t0) + S =

(s0+ S) + (t0+ S) = t0+ S = f (t0+ (S ∩ T )). Logo, Ker(g) ⊂ Im(f ) e da´ı conclu´ımos

que a sequência em questão é exata.

De forma análoga, mostramos que a última coluna do diagrama em questão é também

(30)

de maneira an´aloga. Assim, temos o diagrama 0 0 0 0 //S ∩ T ı ı _// S ı π _// S/(S ∩ T ) f0 //₀ 0 //T π ı _// M π π _// M/T g0 //₀ 0 //T /(S ∩ T ) f _// M/S g _// M/(S + T ) //_0. 0 0 0

Finalmente, mostremos que o diagrama ´e comutativo. A comutatividade do primeiro

quadrante do diagrama é trivial, visto que se trata apenas de inclusões canônicas. Para o

segundo quadrante, notemos que dado s ∈ S, temos que f0(π(s)) = f0(s+(S ∩T )) = s+T

e π(ı(s)) = π(s) = s + T e da´ı conclu´ımos que f0◦ π = π ◦ i.

Para terceiro quadrante, para qualquer t ∈ T , temos que π(ı(t)) = π(t) = t + S e f (π(t)) = f (t + (S ∩ T )) = t + S e portanto, π ◦ ı = f ◦ π.

Para o quarto quadrante, dado m ∈ M , segue que g0(π(m)) = g0(m+T ) = m+(S +T )

e g(π(m)) = g(m + S) = m + (S + T ). Logo, g0◦ π = g ◦ π.

Dentre os diversos resultados em ´algebra homol´ogica, o lema a seguir, o conhecido

“Lema dos Cinco”, se destaca. Tal lema possui um corol´ario, o “Lema dos Trˆes”, que

tem uma aplica¸cão notável na teoria de módulos noetherianos e artinianos, quando

ne-cessitamos provar que um módulo é noetheriano (artiniano) se, e somente se, submódulos

e módulos quociente de tal módulo são noetherianos (artinianos).

Lema 2.16. Seja M1 f1 // h1 M2 f2 // h2 M3 f3 // h3 M4 f4 // h4 M5 h5 N1 g1 // N2 g2 // N3 g3 // N4 g4 // N5

um diagrama comutativo em que as linhas são sequências exatas. Então são válidas as

afirma¸c˜oes abaixo.

(31)

(ii) Se h2 é um A-epimorfismo e h5 é um A-monomorfismo, então g3−1(Im(h4)) =

Im(h3).

(iii) (Lema dos Cinco) Se h1 ´e um A-epimorfismo, h5 ´e um A-monomorfismo e h2 e h4

são A-isomorfismos, então h3 é um A-isomorfismo.

Demonstra¸c˜ao. (i) Primeiramente mostremos que f2(Ker(h2)) ⊂ Ker(h3). Seja m ∈

Ker(h2). Ent˜ao h2(m) = 0. Como o diagrama ´e comutativo, temos que 0 = g2(h2(m)) =

h3(f2(m)), ou seja, f2(m) ∈ Ker(h3), ∀m ∈ Ker(h2).

Agora mostremos que Ker(h3) ⊂ f2(Ker(h2)). Seja x ∈ Ker(h3). Ent˜ao h3(x) = 0.

Como o diagrama ´e comutativo, temos que 0 = g3(h3(x)) = h4(f3(x)) e isso implica que

f3(x) ∈ Ker(h4).

Como h4 ´e um A-monomorfismo, temos que Ker(h4) = {0M4}. Portanto, f3(x) = 0 e

então x ∈ Ker(f3) = Im(f2), pois as linhas são sequências exatas. Logo, existe y ∈ M2

tal que f2(y) = x. Assim, pela comutatividade do diagrama, temos que g2(h2(y)) =

h3(f2(y)) = h3(x) = 0 e portanto, h2(y) ∈ Ker(g2) = Im(g1). Logo, existe z ∈ N1, tal

que g1(z) = h2(y).

Como h1 ´e um A-epimorfismo, existe w ∈ M1 tal que h1(w) = z. Por ser o diagrama

comutativo, segue que h2(f1(w)) = g1(h1(w)) = g1(z) = h2(y), ou seja, h2(y − f1(w)) = 0

e isso nos diz que y − f1(w) ∈ Ker(h2).

Escrevemos y1 − f1(w) = m2 ∈ Ker(h2). Da´ı, f2(m2) = f2(y − f1(w)) = f2(y) −

f2(f1(w)) = x − 0 = x, ou seja, x = f2(m2) ∈ f2(Ker(h2)).

(ii) Primeiramente mostremos que Im(h3) ⊂ g3−1(Im(h4)). Seja n ∈ Im(h3). Assim,

existe m ∈ M3 tal que h3(m) = n. Como o diagrama comuta, temos que h4(f3(m)) =

g3(h3(m)) = g3(n) e isso implica que g3(n) ∈ Im(h4). Logo, n ∈ g−13 (Im(h4)).

Agora, provemos que g−1₃ (Im(h4)) ⊂ Im(h3). Seja x ∈ g3−1(Im(h4)). Logo, g3(x) ∈

Im(h4) e portanto, existe y ∈ M4 tal que h4(y) = g3(x). Da comutatividade do diagrama,

temos que h5(f4(y)) = g4(g3(x)) = 0, pois g3(x) ∈ Im(g3) = Ker(g4). Portanto, f4(y) ∈

Ker(h5).

Sendo h5 um A-monomorfismo, ent˜ao f4(y) = 0 e assim, y ∈ Ker(f4) = Im(f3).

Dessa forma, existe z ∈ M3 tal que f3(z) = y. Como o diagrama ´e comutativo, segue

que g3(h3(z)) = h4(f3(z)) = h4(y) = g3(x), ou seja, g3(x − h3(z)) = 0 e isso implica que

x − h3(z) ∈ Ker(g3) = Im(g2).

Logo, existe w ∈ N2 tal que g2(w) = x − h3(z). Por hip´otese, h2 ´e um A-epimorfismo

e da´ı, existe m0 ∈ M2 tal que h2(m0) = w. Como o diagrama ´e comutativo, temos

(32)

h3(f2(m0) + z). Logo, x ∈ Im(h3).

(iii) Como, por hipótese, h1 é um A-epimorfismo, h5 é um A-monomorfismo e h2, h4

s˜ao A-isomorfismos segue, por (i) e (ii), respectivamente, que Ker(h3) = f2(Ker(h2)) =

f2(0) = 0 e que N3 = g−13 (N4) = g3−1(Im(h4)) = Im(h3). Logo, h3 ´e um A-monomorfismo

e um A-epimorfismo, ou seja, h3 ´e um A-isomorfismo.

Corol´ario 2.17. Seja

M2 h2 f2 // M3 h3 f3 // M4 h4 f4 // 0 = M5 N1 = 0 g1 // N2 g2 // N3 g3 // N4

um diagrama comutativo em que as linhas são sequências exatas. Então são válidas as

afirma¸c˜oes.

(i) Se h4 ´e um A-monomorfismo ent˜ao Ker(h3) = f2(Ker(h2)).

(ii) Se h2 ´e um A-epimorfismo ent˜ao g−13 (Im(h4)) = Im(h3).

(iii) (Lema dos Três) Se h2 e h4 são A-isomorfismos então h3 é um A-isomorfismo.

Demonstra¸cão. (i) A inclusão f2(Ker(h2)) ⊂ Ker(h3) é igual à feita no lema. Agora,

vejamos a outra inclus˜ao. Seja x ∈ Ker(h3). Ent˜ao h3(x) = 0. Pelo mesmo racioc´ınio feito

na prova do lema, chegamos que existe y ∈ M2 tal que f2(y) = x. Pela comutatividade

do diagrama, g2(h2(y)) = h3(f2(y)) = h3(x) = 0. Portanto, h2(y) ∈ Ker(g2) = {0N2} e

assim, h2(y) = 0. Logo, y ∈ Ker(h2) e segue a inclus˜ao.

(ii) A inclusão Im(h3) ⊂ g3−1(Im(h4)) é a mesma feita no lema. Para a outra inclusão,

seja x ∈ g₃−1(Im(h4)). Ent˜ao g3(x) ∈ Im(h4) e portanto, existe y ∈ M4 tal que h4(y) =

g3(x), até então isso é o mesmo feito na prova do lema. Como f3 é sobrejetor, existe

z ∈ M3 tal que y = f3(z). Pela comutatividade do diagrama, segue que g3(h3(z)) =

h4(f3(z)) = h4(y) = g3(x). Da´ı, g3(h3(z) − x) = 0 e da´ı, x − h3(z) ∈ Ker(g3) = Im(g2).

O restante, ´e exatamente a prova do lema que garante que x ∈ Im(h3).

(iii) Como h2 e h4 s˜ao A-isomorfismos segue, por (i) e (ii), respectivamente, que

Ker(h3) = f2(Ker(h2)) = {0} e que N3 = g3−1(N4) = g−13 (Im(h4)) = Im(h3). Logo, h3 ´e

(33)

Cap´ıtulo 3

O Lema da Cobra

Uma das aplica¸cões mais importantes no que diz respeito a sequências exatas é o Lema

da Cobra, cuja finalidade é obter sequências exatas longas. Provar tal lema é o objetivo

principal desse trabalho. Como o leitor poderá observar não é uma prova direta, além ser

bem extensa. Achamos conveniente, portanto, fazer um cap´ıtulo dedicado a esse lema. Teorema 3.1. (Lema da Cobra) Seja

0 //M1 g1 // f1 M2 g2 // f2 M3 // f3 0 0 //N1 h1 // N2 h2 // N3 //0

um diagrama comutativo de A-módulos cujas linhas são sequências exatas. Então existe

um A-homomorfismo δ : Ker(f3) → Coker(f1) e uma sequˆencia exata longa

0 → Ker(f1) → Ker(f2) → Ker(f3)

δ

−→ Coker(f1) → Coker(f2) → Coker(f3) → 0.

A demonstra¸cão do lema é feita em três etapas.

(i) Na primeira etapa, mostramos que ao definirmos convenientes A-homomorfismos α1, α2, β1

e β2, as sequˆencias 0 //Ker(f1) α1 // Ker(f2) α2 // Ker(f3) e Coker(f1) β1 // Coker(f2) β2 // Coker(f3) //0 s˜ao exatas.

(ii) Na segunda etapa, definimos o A-homomorfismo conex˜ao δ : Ker(f3) → Coker(f1),

representado no diagrama abaixo pela linha tracejada. Devido ao tra¸cado dado por este homomorfismo originou-se o nome de Lema da Cobra.

(34)

0 //Ker(f1) α1 // Ker(f2) α2 // Ker(f3) δ // 0 //M1 f1 g1 // M2 f2 g2 // M3 f3 //₀ 0 //N1 h1 // N2 h2 // N3 //₀ Coker(f1) β1 // Coker(f2) β2 // Coker(f3) //0

(iii) Finalmente, na terceira etapa mostremos que a sequˆencia dada no lema ´e exata.

Demonstra¸c˜ao. (i) Primeiramente mostremos que a sequˆencia

0 //Ker(f1)

α1 //

Ker(f2)

α2 //

Ker(f3)

´e exata. Definimos α1 e α2 restringindo g1e g2, respectivamente, ao Ker(f1) e ao Ker(f2),

ou seja, αi = gi|Ker(fi), para i = 1, 2.

Notemos que αi(x) ∈ Ker(fi+1), ∀x ∈ Ker(fi), em que i = 1, 2. De fato, seja

x ∈ Ker(f1). Ent˜ao α1(x) = g1(x) e devido `a comutatividade do diagrama, segue que

f2(α1(x)) = f2(g1(x)) = h1(f1(x)) = 0, ou seja, α1(x) ∈ Ker(f2). Analogamente,

mostra-se que α2(x) ∈ Ker(f3), para todo x ∈ Ker(f2).

´

E claro que αi, para i = 1, 2, é A-homomorfismo, pois cada um deles é restri¸cão de

um A-homomorfismo.

Mostremos que α1 : Ker(f1) → Ker(f2) ´e um A-monomorfismo. Seja x ∈ Ker(α1).

Assim, 0 = α1(x) = g1(x), ou seja x ∈ Ker(g1). Por´em, como g1 ´e um A-monomorfismo,

segue que x = 0 e portanto, α1 ´e um A-monomorfismo.

Mostremos agora que Im(α1) = Ker(α2).

Seja y ∈ Im(α1). Ent˜ao existe x ∈ Ker(f1) tal que y = α1(x) = g1(x). Como

Im(g1) = Ker(g2), segue que α2(α1(x)) = α2(g1(x)) = g2(g1(x)) = 0, ou seja,

y ∈ Ker(α2)). Portanto, Im(α1) ⊂ Ker(α2).

Seja y ∈ Ker(α2). Ent˜ao 0 = α2(y) = g2(y), ou seja, y ∈ Ker(g2) = Im(g1). Assim,

existe m1 ∈ M1 tal que g1(m1) = y. Devido `a comutatividade do diagrama e ao

fato de que Ker(α2) ⊂ Ker(f2), temos 0 = f2(y) = f2(g1(m1)) = h1(f1(m1)). Logo,

f1(m1) ∈ Ker(h1) = {0}, visto que h1 ´e um A-monomorfismo. Da´ı, f1(m1) = 0 e

isso implica que m1 ∈ Ker(f1), ou seja, y = g1(m1) = α1(m1). Logo, y ∈ Im(α1) e

(35)

Provemos agora que a sequˆencia Coker(f1) β1 _// Coker(f2) β2 _// Coker(f3) //0 ´e exata. Definimos

β1 : Coker(f1) = N1/Im(f1) → Coker(f2) = N2/Im(f2)

n1+ Im(f1) 7→ h1(n1) + Im(f2).

Mostremos que β1 est´a bem definido. Sejam n1+ Im(f1), n2 + Im(f1) ∈ Coker(f1) tais

que n1+ Im(f1) = n2+ Im(f1) e assim, n1− n2 ∈ Im(f1). Logo, existe m1 ∈ M1 tal que

f1(m1) = n1− n2. Como o diagrama comuta, temos que

f2(g1(m1)) = h1(f1(m1)) = h1(n1− n2) = h1(n1) − h1(n2),

ou seja, h1(n1) − h1(n2) ∈ Im(f2), isto ´e, h1(n1) + Im(f2) = h1(n2) + Im(f2).

De maneira an´aloga, definimos

β2 : Coker(f2) = N2/Im(f2) → Coker(f3) = N3/Im(f3)

n2+ Im(f2) 7→ h2(n2) + Im(f3)

e mostramos que β2 est´a bem definido.

Pelo fato de h1 e h2 serem A-homomorfismos segue facilmente que β1 e β2 s˜ao,

res-pectivamente, A-homomorfismos.

Mostremos agora que β2 ´e um A-epimorfismo. Seja n3+ Im(f3) ∈ Coker(f3). Como

h2 ´e um A-epimorfismo, existe n2 ∈ N2 tal que h2(n2) = n3. Logo, β2(n2+ Im(f2)) =

h2(n2) + Im(f3) = n3+ Im(f3), ou seja, β2 tamb´em ´e um A-epimorfismo.

Provemos que Im(β1) = Ker(β2).

Seja y+Im(f2) ∈ Im(β1), y ∈ N2. Assim, existe x ∈ N1 tal que y +Im(f2) = β1(x+

Im(f1)) = h1(x) + Im(f2). Como Im(h1) = Ker(h2), temos que β2(y + Im(f2)) =

β2(h1(x)+Im(f2)) = h2(h1(x))+Im(f3) = 0+Im(f3). Logo, y +Im(f2) ∈ Ker(β2).

Portanto, Im(β1) ⊂ Ker(β2).

Seja n2+Im(f2) ∈ Ker(β2). Ent˜ao β2(n2+Im(f2)) = h2(n2)+Im(f3) = 0+Im(f3),

ou seja, h2(n2) ∈ Im(f3). Assim, existe m3 ∈ M3 tal que f3(m3) = h2(n2). Como

g2 ´e um A-epimorfismo, existe m2 ∈ M2 de modo que g2(m2) = m3. Sendo o

diagrama comutativo, segue que h2(f2(m2)) = f3(g2(m2)) = f3(m3) = h2(n2), ou

seja, h2(n2 − f2(m2)) = 0. Portanto, n2 − f2(m2) ∈ Ker(h2) = Im(h1) e assim,

(36)

β1(n1+ Im(f1)) = h1(n1) + Im(f2)

= (n2− f2(m2)) + Im(f2)

= (n2+ Im(f2)) − (f2(m2) + Im(f2))

= n2+ Im(f2),

ou seja, n2+ Im(f2) ∈ Im(β1). Portanto, Ker(β2) ⊂ Im(β1).

(ii) Para construirmos o A-homomorfismo conex˜ao δ : Ker(f3) → Coker(f1),

combi-namos as duas sequˆencias apresentadas na etapa anterior.

Seja m3 ∈ Ker(f3) ⊂ M3. Como g2 ´e um A-epimorfismo, existe m2 ∈ M2 tal

que g2(m2) = m3. Devido `a comutatividade do diagrama, temos que h2(f2(m2)) =

f3(g2(m2)) = f3(m3) = 0, ou seja, f2(m2) ∈ Ker(h2) = Im(h1). Sendo h1 um

A-monomorfismo, existe um ´unico n1 ∈ N1 tal que h1(n1) = f2(m2).

Assim, podemos definir

δ: Ker(f3) → Coker(f1)

m3 7→ n1+ Im(f1),

em que h1(n1) = f2(m2) e g2(m2) = m3.

Mostremos que δ est´a bem definida, ou seja, suponhamos que exista outro m0₂ ∈ M2

tal que g2(m02) = m3 e mostremos que n1+ Im(f1) = n01+ Im(f1).

De fato, supondo m0₂ como acima, isto ´e, g2(m02) = m3 ∈ Ker(f3) temos, pela

comu-tatividade do diagrama, que h2(f2(m02)) = 0, ou seja, f2(m02) ∈ Ker(h2) = Im(h1). Da´ı,

existe um ´unico n0₁ ∈ N1 tal que h1(n01) = f2(m02). Assim, h1(n1−n01) = f2(m2)−f2(m02) =

f2(m2 − m02).

Por outro lado, como g2(m2) = m3 = g2(m02), segue que g2(m2 − m02) = 0, ou seja,

m2 − m02 ∈ Ker(g2) = Im(g1). Logo, existe m1 ∈ M1 tal que g1(m1) = m2 − m02. Pela

comutatividade do diagrama, temos que h1(n1 − n01) = f2(m2 − m02) = f2(g1(m1)) =

h1(f1(m1)), ou seja, h1(n1 − n01 − f1(m1)) = 0. Sendo h1 um A-monomorfismo, temos

que n1− n01− f1(m1) = 0 e da´ı, f1(m1) = n1− n01. Portanto, n1− n01 ∈ Im(f1) e assim,

n1+ Im(f1) = n01+ Im(f1). Dessa forma, δ est´a bem definida.

Provemos que δ ´e um A-homomorfismo.

Sejam m3, m03 ∈ Ker(f3). Ent˜ao δ(m3) = n1+ Im(f1) e δ(m03) = n01+ Im(f1), em

que h1(n1) = f2(m2), g2(m2) = m3, h1(n01) = f2(m02) e g2(m02) = m

0

3. Assim,

0 = f3(m3+ m03) = f3(g2(m2+ m02)) = h2(f2(m2+ m02)),

(37)

h1(n) = f2(m2+ m02) e da´ı, h1(n) = f2(m2) + f2(m02) = h1(n1) + h1(n10) = h1(n1+ n01)

e portanto, n = n1+ n01. Logo,

δ(m3+ m03) = n + Im(f1) = (n1+ n01) + Im(f1)

= (n1+ Im(f1)) + (n01+ Im(f1)) = δ(m3) + δ(m03).

Sejam m3 ∈ Ker(f3) e a ∈ A. Ent˜ao δ(m3) = n1 + Im(f1) e δ(am3) = n0 +

Im(f1), em que g2(m2) = m3, h1(n1) = f2(m2), am3 = g2(m02) e h1(n0) = f2(m02).

Assim, g2(m02) = am3 = ag2(m2) = g2(am2) e portanto, g2(am2 − m02) = 0. Logo,

am2− m02 ∈ Ker(g2) = Im(g1) e isso implica que existe m1 ∈ M1 tal que g1(m1) =

am2− m02. Ent˜ao

h1(an1− n0) = ah1(n1) − h1(n0) = af2(m2) − f2(m02)

= f2(am2− m02) = f2(g1(m1)) = h1(f1(m1)).

Portanto, h1(an1− n0) = h1(f1(m1)) e, por ser h1 um A-monomorfismo, an1− n0 =

f1(m1) ∈ Im(f1) e isso nos diz que an1+ Im(f1) = n0+ Im(f1). Logo,

aδ(m3) = a(n1+ Im(f1)) = an1+ Im(f1) = n0 + Im(f1) = δ(am3).

(iii) Finalmente, mostremos que a sequˆencia

0 → Ker(f1) α1 → Ker(f2) α2 → Ker(f3) δ −→ Coker(f1) β1 → Coker(f2) β2 → Coker(f3) → 0

´e exata. Basta mostrarmos que Im(α2) = Ker(δ) e que Im(δ) = Ker(β1).

Seja m3 ∈ Im(α2). Ent˜ao existe m2 ∈ Ker(f2) tal que α2(m2) = m3. Por

de-fini¸c˜ao de α2, temos que m3 = α2(m2) = g2(m2). Como h2(f2(m2)) = h2(0) = 0

e obviamente f2(m2) = 0 ∈ Ker(h2) = Im(h1). Logo, existe um ´unico n1 ∈ N1

tal que h1(n1) = f2(m2) = 0 e, pela injetividade de h1, segue que n1 = 0. Assim,

δ(m3) = n1 + Im(f1) = 0 + Im(f1) e isso nos diz que m3 ∈ Ker(δ). Portanto,

Im(α2) ⊂ Ker(δ).

Seja m3 ∈ Ker(δ). Ent˜ao δ(m3) = n1+ Im(f1) = 0 + Im(f1), em que g2(m2) = m3

e h1(n1) = f2(m2). Como n1 + Im(f1) = 0 + Im(f1), temos que n1 ∈ Im(f1), ou

seja, existe m1 ∈ M1 tal que f1(m1) = n1. Sendo o diagrama comutativo, segue

que f2(m2) = h1(n1) = h1(f1(m1)) = f2(g1(m1)), isto ´e, f2(m2 − g1(m1)) = 0.

Logo, m2 − g1(m1) ∈ Ker(f2) e podemos aplicar α2, ou seja, α2(m2 − g1(m1))

(∗)

=

g2(m2 − g1(m1)) = g2(m2) − g2(g1(m1)) = m3 e assim, m3 ∈ Im(α2), a igualdade

(∗) segue da defini¸c˜ao de α2. Portanto, Ker(δ) ⊂ Im(α2).

(38)

Seja n1+ Im(f1) ∈ Im(δ). Ent˜ao existe m3 ∈ Ker(f3) tal que δ(m3) = n1+ Im(f1),

em que h1(n1) = f2(m2) e g2(m2) = m3. Como h1(n1) ∈ Im(f2), temos que

β1(n1+ Im(f1)) = h1(n1) + Im(f2) = 0 + Im(f2), ou seja, n1+ Im(f1) ∈ Ker(β1).

Portanto, Im(δ) ⊂ Ker(β1).

Seja n1+Im(f1) ∈ Ker(β1). Ent˜ao β1(n1+Im(f1)) = h1(n1)+Im(f2) = 0+Im(f2),

ou seja, h1(n1) ∈ Im(f2). Assim, existe m2 ∈ M2 tal que f2(m2) = h1(n1). Devido

`

a comutatividade do diagrama e ao fato de que Im(h1) = Ker(h2), segue que

f3(g2(m2)) = h2(f2(m2)) = h2(h1(n1)) = 0, ou seja, g2(m2) ∈ Ker(f3). Chamando

g2(m2) = m3, temos que δ(m3) = n1 + Im(f1), ou seja, n1 + Im(f1) ∈ Im(δ).

Portanto, Ker(β1) ⊂ Im(δ).

Aplicamos o Lema da Cobra para provarmos o chamado Lema 3 × 3.

Corol´ario 3.2. (Lema 3 × 3) Seja

0 0 0 0 //M1 f1 g1 // M2 f2 g2 // M3 f3 //₀ 0 //N1 β1 h1 // N2 β2 h2 // N3 β3 //₀ 0 //P1 γ1 // P2 γ2 // P3 //₀ 0 0 0

um diagrama comutativo de A-m´odulos cujas colunas e a segunda linha sejam sequˆencias

exatas. Então a primeira linha do diagrama é exata se, e somente se, a terceira também

o for.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a primeira linha do diagrama seja uma sequˆencia exata.

Pelo Lema da Cobra, a primeira e a segunda linhas geram uma sequˆencia exata do tipo

0 → Ker(f1) φ1 → Ker(f2) φ2 → Ker(f3) δ −→ Coker(f1) ψ1 → Coker(f2) ψ2 → Coker(f3) → 0.

Como as colunas do diagrama são sequências exatas, temos que f1, f2 e f3 são

A-monomorfismos. Assim, Ker(fi) = {0}, para i = 1, 2, 3 e isso implica que φ1, φ2 e δ s˜ao

(39)

Pela exatidão da sequência acima e pelo fato de que δ : {0} → Coker(f1) é nulo, segue

que ψ1´e um A-monomorfismo. Novamente, pela mesma exatid˜ao e pelo Primeiro Teorema

do Isomorfismo, temos que Coker(f1) = N1/Im(f1) = N1/Ker(β1) ∼= P1. Analogamente,

Coker(f2) ∼= P2 e Coker(f3) ∼= P3.

Chamamos θi : Coker(fi) → Pi, para i = 1, 2, 3, aos tais isomorfismos e, para i =

1, 2, definimos γi : Pi → Pi+1 por γi = θi+1◦ ψi ◦ θ−1i . Como observamos acima, ψ1 ´e

um A-monomorfismo e portanto, γ1 ´e um A-monomorfismo, uma vez que ´e a composta

de A-monomorfismos. Sendo ψ2 um A-epimorfismo, a composta γ2 ´e tamb´em um

A-epimorfismo. Assim, para concluirmos que a sequˆencia

0 → P1

γ1

−→ P2

γ2

−→ P3 → 0

seja exata, basta mostrarmos que Im(γ1) = Ker(γ2).

Seja y ∈ Im(γ1). Ent˜ao existe x ∈ P1 tal que y = γ1(x). Da´ı,

γ2(y) = γ2(γ1(x))

= (θ3◦ ψ2◦ θ2−1)((θ2◦ ψ1◦ θ1−1)(y))

= (θ3◦ ψ2◦ θ2−1◦ θ2◦ ψ1◦ θ−11 )(y)

= (θ3◦ ψ2◦ ψ1◦ θ−11 )(y)

= (θ3◦ 0 ◦ θ−11 )(y) = 0.

A penúltima igualdade segue da exatidão da sequência acima dada pelo Lema da

Cobra. Logo, y ∈ Ker(γ2) e portanto, Im(γ1) ⊂ Ker(γ2).

Seja y ∈ Ker(γ2). Ent˜ao γ2(y) = 0 e portanto, (θ3 ◦ ψ2 ◦ θ2−1)(y) = 0. Da´ı, (ψ2 ◦

θ−1₂ )(y) = 0, pois θ3 ´e um A-isomorfismo. Logo, ψ2(θ2−1(y)) = 0 e isso nos diz que

θ−1₂ (y) ∈ Ker(ψ2) = Im(ψ1). Assim, existe x0 ∈ Coker(f1) tal que θ2−1(y)

(∗)

= ψ1(x0). Mas

tamb´em, por ser θ−1₁ um A-isomorfismo, existe x ∈ P1 tal que x0 = θ1−1(x).

Da igualdade (∗), temos que

y = θ2(ψ1(x0)) = θ2(ψ1(θ−11 (x))) = (θ2◦ ψ1◦ θ−11 )(x) = γ1(x),

ou seja, y ∈ Im(γ1). Logo, Ker(γ2) ⊂ Im(γ1).

Agora suponhamos que terceira linha do diagrama seja exata. Pelo Lema da Cobra,

a segunda e a terceira linhas geram uma sequˆencia exata do tipo

0 → Ker(β1) φ1 → Ker(β2) φ2 → Ker(β3) δ −→ Coker(β1) ψ1 → Coker(β2) ψ2 → Coker(β3) → 0.

Como as colunas do diagrama do diagrama s˜ao sequˆencias exatas, temos que β1, β2 e

β3 s˜ao A-epimorfismos. Assim, Coker(βi) = Pi/Im(βi) = Pi/Pi = {0}, para i = 1, 2, 3 e

(40)

Pela exatidão da sequência acima e pelo fato de que δ : Ker(β3) → {0} é nulo, segue

que φ2 ´e um A-epimorfismo. Novamente, pela mesma exatid˜ao e pelo Primeiro Teorema

do Isomorfismo, temos que M1/Ker(f1) ∼= M1 ∼= Im(f1) = Ker(β1). Analogamente,

M2 ∼= Ker(β2) e M3 ∼= Ker(β3).

Chamando ∆i : Mi → Ker(βi) para i = 1, 2, 3, aos tais isomorfismos e, para i =

1, 2, definimos gi : Mi → Mi+1 por gi = ∆−1i+1 ◦ φi ◦ ∆i. Como observamos acima, φ2

é um A-epimorfismo e portanto, g2 é um A-epimorfismo, uma vez que é a composta

de A-epimorfismos. Sendo φ1 um A-monomorfismo, a composta g1 ´e tamb´em um

A-monomorfismo. Assim, para concluirmos que a sequˆencia

0 → M1

g1

−→ M2

g2

−→ M3 → 0

seja exata, basta mostrarmos que Im(g1) = Ker(g2).

Para mostrarmos que Im(g1) ⊂ Ker(g2), procedemos de maneira an´aloga ao que

fizemos para a outra sequˆencia procedente do Lema da Cobra, observando agora que

φ2◦ φ1 = 0.

A outra inclusão é também análoga ao que fizemos anteriormente. Porém, para a

comodidade do leitor, vamos escrevˆe-la.

Seja y ∈ Ker(g2). Ent˜ao g2(y) = 0 e portanto, (∆−13 ◦ φ2 ◦ ∆2)(y) = 0. Da´ı,

(φ2◦ ∆2)(y) = 0, pois ∆−13 ´e um A-isomorfismo. Logo, φ2(∆2(y)) = 0 e isso nos diz que

∆2(y) ∈ Ker(φ2) = Im(φ1). Assim, existe x0 ∈ Ker(β1) tal que ∆2(y)

(∗)

= φ1(x0). Mas

tamb´em, por ser ∆1 um A-isomorfismo, existe x ∈ M1 tal que x0 = ∆1(x).

Da igualdade (∗), temos que

y = ∆−1₂ (φ1(x0)) = ∆−12 (φ1(∆1(x))) = (∆−12 ◦ φ1◦ ∆1)(x) = g1(x),

(41)

Conclus˜

ao

Com base nos estudos feitos at´e agora, nos perguntamos: Quais os pr´oximos assuntos

que poder´ıamos estudar `a partir da fundamenta¸c˜ao aqui apresentada?

Uma continua¸c˜ao natural seria o estudo da soma e do produto direto de m´odulos (ver

[4] e [5]) ou seguir para o produto tensorial (ver [1], [3],[4]).

Também é poss´ıvel continuar estudando os módulos injetivos, projetivos e livres (ver

[1], [3], [4] e [5]) ou iniciar os estudos dos an´eis artinianos e noetherianos (ver [4]).

Pode-se tamb´em seguir o estudo na teoria de categorias, de encontro as categorias

abelianas, chegando `as categorias semissimples, equivariantiza¸c˜ao de categorias abelianas,

(42)

Referˆ

encias

[1] ASSEM, Ibrahim. Alg`ebres et Modules: Cours et exercices. Ottawa: Masson,

1997.

[2] EVENOR, Izhak Zachi. Homological Algebra: Five and Snake Lemma. 2014.

Dis-pon´ıvel em: _{<https://www.tau.ac.il/~itzhakevenor/homological-algebra.}

pdf>. Acesso em: 23 nov. 2017.

[3] HUNGERFORD, Thomas W.. Algebra. Nova Iorque: Springer, 2000. [4] LANG, Serge. Algebra. 3. ed. New Haven: Springer, 2002.

[5] POLCINO, Francisco Cesar. Anéis e Módulos. São Paulo: IME-USP, 1972.