AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DE

TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P ´

OS GRADUA ¸

C ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA

OSMAR DO NASCIMENTO SOUZA

ESPA ¸

COS DE HARDY

E

COMPACIDADE COMPENSADA

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DE

TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P ´

OS GRADUA ¸

C ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA

OSMAR DO NASCIMENTO SOUZA

ESPA ¸

COS DE HARDY

E

COMPACIDADE COMPENSADA

Disserta¸c˜ao apresentada ao PPGM da UFSCar como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orienta¸c˜ao: Prof Dr. Gustavo Hoepfner

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

S729eh

Souza, Osmar do Nascimento.

Espaços de Hardy e compacidade compensada / Osmar do Nascimento Souza. -- São Carlos : UFSCar, 2014. 117 f.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2014.

1. Análise harmônica. 2. Hardy, Espaços de. 3. Compacidade compensada. I. Título.

A Deus Pai, Filho e Esp´ırito Santo, por todo seu Amor, pelo dom da vida e por sempre iluminar meu caminho.

Ao professor Dr. Gustavo Hoepfner, pela orienta¸c˜ao, confian¸ca e pelos ensinamentos matem´aticos.

Aos professores da minha gradua¸c˜ao na UEL, Marcos Valle e Luci Fatori, por acredi-tarem em mim.

Aos meus pais e her´ois, Antˆonio e Luiza, que s˜ao minha inspira¸c˜ao e exemplo de vida; aos meus irm˜aos, Ivani, Osvaldo, Hilda, F´atima, Nazar´e e, em especial, ao Jos´e. Enfim, a toda minha fam´ılia pelo apoio, incentivo e, principalmente, pelas ora¸c˜oes; `as minhas queridas sobrinhas, Laura, Verˆonica (afilhada), Nayelle, Maria Luiza e N´adia por sempre perguntarem pelo “Tio Mazim”.

Aos meus amigos da gradua¸c˜ao (e de sempre), Altair Tosti, Giovana Alves e Renata Fernandes.

Aos colegas da p´os-gradua¸c˜ao do PPGM pelo companheirismo, alegria e excelente ambiente de trabalho. Ao Pedro Lopes pela disponibilidade nas corre¸c˜oes e sugest˜oes do texto. Aos “truta” Caio Pena, Carolina Antonio, Danilo Ferreira, Ederson Dutra, Fernanda Gon¸calves, Francisco Caramello, Igor Ferra, Marlon Fonseca, Renan Medrado, Thales Paiva e, de modo especial, ao Alisson Santos pelo seu companheirismo nos estudos (valeu, pi´a!). Agrade¸co tamb´em `a minha vizinha e amiga Tallyta pela sua amizade, alegria e por suportar minhas chatices.

Enfim, agrade¸co a todos aqueles que torceram por mim, a quem trago na mente e no cora¸c˜ao.

`

Esse trabalho est´a dividido em duas partes.

Na primeira, nosso objetivo ´e apresentar os espa¸cos de HardyHp

pRn_q, o qual coincide com os espa¸cos Lp_pRn_{q, quandopą1, est´a estritamente contido emL}p_pRn_{q se p“1, e ´e}

um espa¸co de distribui¸c˜oes quando 0 _ăp _ă 1. Quando 0 _ăp _ď 1, os espa¸cos de Hardy oferecem um melhor tratamento envolvendo an´alise harmˆonica do que os espa¸cosLp_pRn_q.

Entre outros resultados, provamos o teorema da caracteriza¸c˜ao maximal de Hp_{, o qual}

fornece v´arias, por´em equivalentes, formas de caracterizarHp_{, com base em diferentes}

fun-¸c˜oes maximais. Demonstramos o teorema da decomposi¸c˜ao atˆomica paraHp,0_ăp_ď1, que permite decompor qualquer distribui¸c˜ao em Hp _{como soma de H}p_{-´atomos (fun¸c˜oes}

mensur´aveis que satisfazem certas propriedades). Nessa etapa, usamos fortemente a de-composi¸c˜ao de Whitney e a dede-composi¸c˜ao de Calder´on-Zygmund generalizada.

Na segunda parte, como uma aplica¸c˜ao, provamos que quantidades n˜ao-lineares (como o jacobiano, divergente e o rotacional definidos em Rn_{), identificadas pela teoria}

compa-cidade compensada pertencem, em condi¸c˜oes naturais, aos espa¸cos de Hardy. Para tanto, al´em dos resultados visto na primeira parte, usamos outros como os Teoremas de Imers˜oes de Sobolev, a desigualdade de Sobolev-Poincar´e. Usamos ainda, defini¸c˜oes e resultados referentes ao contexto de formas diferenciais.

Palavras-chave: An´alise Harmˆonica, Espa¸cos de HardyHp_{, Caracteriza¸c˜ao Maximal de} Hp, Decomposi¸c˜ao Atˆomica deHp, Compacidade Compensada.

This work is divided into two parts.

In the first part, our goal is to present the theory of Hardy Spaces Hp

pRn_q, which coincides with the Lebesgue space Lp_pRn_{q for p ą 1, is strictly contained in L}p_pRn_{q if} p_“1, and is a space of distributions when 0_ăp_ă1.When 0_ăp_ď1, the Hardy spaces offers a better treatment involving harmonic analysis than the Lp _{spaces. Among other}

results, we prove the maximal characterization theorem of Hp_{, which gives equivalent}

definitions ofHp_{, based on different maximal functions. We will proof the atomic}

decom-position theorem forHp, which allow decompose any distribution inHp to be written as a sum of Hp_{-atoms (measurable functions that satisfy certain properties). In this step,}

we use the strongly the of Whitney decomposition and generalized Calder´on-Zygmund decomposition.

In the second part, as a application, we will prove that nonlinear quantities (such as the Jacobian, divergent and rotational defined in Rn_{) identied by the compensated}

compactness theory belong, under natural conditions, the Hardy spaces. To this end, in addition to the results seen in the first part, will use the results as Sobolev immersions theorems ans the inequality Sobolev-Poincar´e. Furthermore, we will use the tings and results related to the context of differential forms.

Keyworks: Harmonic Analysis, Hardy SpacesHp_{, Maximal Caracterization of H}p_,

Ato-mic Decomposition for Hp, Compensated Compactness.

Introdu¸c˜ao 6

1 Espa¸cos de Hardy no disco unit´ario 8

1.1 Fun¸c˜oes Harmˆonicas . . . 8

1.2 Fun¸c˜oes Subharmˆonicas . . . 13

2 Espa¸cos de Hardy em Rn 16 2.1 Preliminares . . . 16

2.1.1 As fun¸c˜oes teste . . . 16

2.1.5 Distribui¸c˜oes . . . 17

2.1.11 Suporte de distribui¸c˜oes . . . 19

2.1.23 A transformada de Fourier em SpRn_{q . . . 20}

2.1.30 A transformada de Fourier em S1 _{. . . 22}

2.1.36 Alguns resultados cl´assicos . . . 23

2.1.42 Estimativas b´asicas em Lp para Convolu¸c˜ao . . . 28

2.2 Caracteriza¸c˜ao Maximal de Hp _{. . . 31}

2.2.1 N´ucleo de Poisson emRn<sub>`</sub>`1 . . . 31

2.2.4 Fun¸c˜oes Maximais . . . 32

2.2.5 Fun¸c˜ao Maximal de Hardy-Littlewood . . . 33

2.2.29 Prova do Teorema Maximal . . . 48

3 Decomposi¸c˜ao Atˆomica de Hp ₇₂ 3.1 Decomposi¸c˜oes Auxiliares . . . 72

3.1.5 Corre¸c˜ao das fun¸c˜oes bk. . . 80

3.2 O Teorema da Decomposi¸c˜ao Atˆomica de Hp _{. . . 85}

3.2.10 Dualidade dos espa¸cos de Hardy . . . 97

4 Aplica¸c˜ao - Compacidade Compensada 99

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 99 4.2 Demonstra¸c˜ao do Lema 4.1.4 . . . 106

5 Apˆendice 113

O estudo dos espa¸cos de Hardy, o qual se originou durante as d´ecadas de 1910 e 1920, no cen´ario das s´eries de Fourier e an´alise complexa em uma vari´avel, tem se transformado numa teoria rica e aprimorada, ao longo do tempo, proporcionando conhecimentos b´asicos em temas como fun¸c˜oes maximais, integrais singulares e os espa¸cos Lp_{. Os espa¸cos de}

Hardy, definidos em termos de distribui¸c˜oes, conforme veremos, foram introduzidos por E. Stein e G. Weiss em 1960. Aqui enfatizamos alguns aspectos desta teoria:

• Extens˜ao de Lp _{- De forma simples, por´em imprecisa, os elementos de H}p _s˜ao

distribui¸c˜oes (temperadas) tais sua “fun¸c˜ao maximal”pertence a Lp_{. Quando p}

ą1, a pr´opria defini¸c˜ao de Hp _{torna-o equivalente a L}p_{, mas quando 0 ă p ď 1, esses}

espa¸cos s˜ao muito mais favor´aveis, ou seja, nos levam a uma s´erie de perguntas em an´alise harmˆonica do que os espa¸cos Lp_{. Em particular, no caso 0ăp ă1, apesar}

de serem apenas espa¸cos quase-normados, os duais n˜ao se reduzem a _t0_u e s˜ao interessantes. Em muitas situa¸c˜oes que ocorrem em an´alise de Fourier o espa¸co H1

´e considerado um bom substituto do espa¸co L1_{. De fato, existem muitos resultados}

em an´alise de Fourier que s˜ao v´alidos paraLp_{, 1ăpă 8, mas que n˜ao permanecem}

v´alidos para L1_{. No entanto, a substitui¸c˜ao deL}1 _porH1 _{recupera a validade desses}

resultados.

• Equivalˆencia de defini¸c˜oes - O tema central que tratado no cap´ıtulo 2 ´e uma variedade de abordagens distintas de Hp, com base em diferentes defini¸c˜oes; todas levam `a mesma concep¸c˜ao de Hp_{. Entre elas est˜ao: as v´arias defini¸c˜oes maximais,}

das quais a mais simples ´e que uma distribui¸c˜ao f pertence a Hp se, para alguma

φ _PS com

ż

Rn

φ _‰0, a fun¸c˜ao Maximal

Mφ_pf_qpx_q“. sup

tą0 |p

f_˚φt_qpx_q|

est´a emLp_{; a decomposi¸c˜ao atˆomica, a qual permite expressar qualquer distribui¸c˜ao}

em Hp como s´erie de elementos relativamente simples (e, reciprocamente, tal soma pertence a Hp_{). Uma das vantagens da caracteriza¸c˜ao atˆomica por meio de ´atomos}

´e que ela facilita a estimativa de muitos operadores (como de convolu¸c˜ao, pseudo-diferenciais e integral singular) sobre os espa¸cosHp_{, pois permite que tal estimativa}

seja realizada apenas sobre os ´atomos.

• Natureza de Hp _{- Em contraste com o caso p ą1, a quest˜ao para determinar se}

uma distribui¸c˜aof pertence oHp0_ăp_ď1, n˜ao ´e apenas uma quest˜ao do tamanho (valor absoluto) def, mas tamb´em envolve propriedades de cancelamento da fun¸c˜ao, conforme veremos no texto. Assim, na defini¸c˜ao do operador maximal dada acima, o operador Mφ n˜ao pode ser substitu´ıdo pelo operador maximal

M_pf_qpx_{q “} sup

rą0

1

|B_px, r_q|

ż

Bpx,rq|

f_py_q|dy

de Hardy-Littlewood (que ser´a definido ao final do Cap´ıtulo 2), pois o ´ultimo envolve apenas o valor absoluto dof. As propriedades de cancelamento tamb´em entram (de uma forma muito direta) na defini¸c˜ao de Hp_{-´atomos apresentados no texto. S˜ao}

estas sutilezas que s˜ao respons´aveis pela natureza ´ardua de alguns dos argumentos nesse texto, por´em as recompensas para o leitor paciente s˜ao as afirma¸c˜oes elegantes e de grande profundidade que se pode provar.

• Aplica¸c˜ao: Compacidade Compensada e Lema tipo div_´rot - Por fim, nos concentramos no espa¸co H1_{, que tamb´em ´e um espa¸co de Banach. Esse espa¸co}

1

Espa¸cos de Hardy no disco unit´

ario

A teoria dos espa¸cos de Hardy Hp _{tem sua origem no estudo dos valores fronteira}

de fun¸c˜oes anal´ıticas no interior do disco unit´ario ∆_{“ t}z _P C;_|z_{| ă} 1_u. Pode-se afirmar que o primeiro resultado nesse sentido ´e devido a Fatou, o qual em 1906 demonstrou que fun¸c˜oes anal´ıticas e limitadas em ∆ possuem limite em quase todo ponto da fronteira de ∆. Os espa¸cos Hp_{, p ą 0, apareceram como espa¸cos de fun¸c˜oes anal´ıticas em ∆, cujas}

restri¸c˜oes a circunferˆencias de raio r possuem normas Lp, 0_ăp_{ă 8} limitadas para todo

r_{P r}0,1_q, isto ´e,

sup

0ďră1 ż2π

0 |

F_preiθ_q|pdθ _{ă 8}.

Iniciamos este cap´ıtulo apresentando defini¸c˜oes e resultados utilizados para definir os espa-¸cos de Hardy no disco unit´ario. Os resultados aqui expostos foram retirados e adapatados do trabalho de Hoepfner, G.,[9].

1.1

Fun¸c˜

oes Harmˆ

onicas

DEFINI ¸C ˜AO 1.1.1 (Fun¸c˜oes Harmˆonicas). _{Seja Ω}Ą Rn _{um dom´ınio. Dizemos uP C}2_{pΩq ´e}

harmˆonica seu satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace ∆u_“0 em Ω, em que

∆_“

n

ÿ

j“1 B2 Bxj2.

Em particular, emR2, temos

B2_u Bx2 `

B2_u By2 “0.

O

bserva¸c˜ao 1.1.2. E bem conhecido que sendo Ω´ _ĂR2 um dom´ınio; ent˜ao ∆u_“0 se, e somente se, u_“Re_pF_q, F holomorfa.

DEFINI ¸C ˜AO 1.1.3 (Propriedade do Valor M´edio). Dizemos que f satisfaz a Propriedade do Valor M´edio (PVM) em Ω_{ô @}x0 PΩ, tem-se

f_px_{0q “} 1

|Sn´1_| ż

Sn|´1

f_px0`rσq|dσ,

@r_ą0 tal que B_px0, rq Ă Ω, em que Sn´1 “ txPRn:|x| “1u e |Sn´1| “ ż

Sn´1 dσ.

O

bserva¸c˜ao 1.1.4. Neste trabalho, _|X_| sempre denotar´a a medida de Lebesgue do con-juntoX.

O teorema seguinte relaciona as fun¸c˜oes harmˆonicas com as que satisfaz a PVM. Para demonstr´a-lo, usamos dois resultados cl´assicos:

|B_p0, r_{q| “} r n

n|BBp0,1q| “ |Bpx0, rq| “ rn

n|S n´1

| (1.1)

ż

Bpx0,rq

f_px_qdx_“

żr

0

tn´1

ż

Sn´1

f_px0`tσqdσdt (1.2)

T

EOREMA 1.1.5. Seja uuma fun¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao u´e harmˆonica se, e somente se, u satisfaz a PVM.

Demonstra¸c˜ao. _pñqSuponha queu´e harmˆonica em Ω, ent˜ao ∆u_“0 em Ω. Dadox0 PΩ,

para 0_ăt_ďr suficientemente pequeno tal que B_rx0, rs ĂΩ, definamos

f_pt_{q “} 1

|Sn´1_| ż

Sn´1

u_px0`tσqdσ.

f1_pt_{q “} 1

|Sn´1_| ż

Sn´1

Bu

Btpx0`tσqdσ

“ 1

|Sn´1_| ż

Sn´1

∇u_px0`tσqσdσ

“ 1

|Sn´1_| ż

Sn´1

∇u_px0`rσq~npσqdσ

“ _tn_|S1n´1_| ż

BBpx0,tq

∇u_px_q~n_pσ_qdσt_px_q

“ _tn 1 |Sn´1_|

ż

Bpx0,tq ∆u_px_qdx

“ 0.

Logo, f ´e constante em _p0, r_s.

A

firma¸c˜ao 1.1.6. lim

tÑ0fptq “ upx0q.

De fato,

|f_pt_{q ´}f_px0q| ď

1

|Sn´1_| ż

Sn|´1

u_px0`tσq ´upx0q|dσ ď sup

σPSn´1|

u_px0`tσq ´upx0q|

tÑ0 ÝÑ0,

(poisu´e uniformemente cont´ınua em Sn´1_).

Al´em disso, de lim

tÑrfptq “fprq, temosfprq “upx0q e, portanto,

u_px_{0q “} 1

|Sn´1_| ż

Sn´1

u_px0`rσqdσ.

pðq Suponha que u satisfaz a PVM. Vamos dividir em dois casos: Caso 1: Suponha que

u_PC2_pΩ_q. Dado x0 P Ω, exister “rpx0qtal que

u_px0q “fptq “

1

|Sn´1_| ż

Sn´1

u_px0`tσqdσ, @tďrpx0q.

De modo an´alogo `a primeira parte (e com a mesma nota¸c˜ao,f_pt_{q “}u_px0q´e constante em r0, r_s), derivando obtemos

0_“f1_pt_{q “} 1 tn_|Sn´1_|

ż

Bpx0,tq

ou ainda,

0“ _tn_n 1 |Sn´1_|

ż

Bpx0,tq

∆u_px_qdx _“ 1

|B_px0, tq| ż

Bpx0,tq

∆u_px_qdx.

Pelo teorema da convergˆencia dominada 1_,

1

|B_px0, tq| ż

Bpx0,tq ∆u_px_qdx

tÑ0

ÝÑ∆u_px0q,

pois ∆u_PC0_pΩ_q. Logo, ∆u_px0q “ 0.

Caso 2: u_RC2_pΩq.

Sejaφ _PCc8tal que

ż

Rn

φ _“1, φ_px_{q “} φ_px1_q se _|x_{| “ |}x1_|, isto ´e,φ´e radial e definamos

φǫ_px_{q “} 1

ǫnφpx{ǫq.

Essas fun¸c˜oes s˜ao chamadas “Identidades Aproximadas”em Rn radial e satisfazem as seguintes propriedades:

(1)

ż

Rn

φǫ_px_qdx_“

ż

Rn

φ_px_qdx_“1;

(2) sup |x|ąδ|

φǫ_px_q|ÝÑǫÑ0 0,_@δ_ą0;

(3) sup

ǫą0 ż

Rn|

φǫ_px_q|dx_{ă 8}.

Vamos mostrar que

uǫ_px_{q“ p}. φǫ_˚u_qpx_q“.

ż

Bp0,ǫq

φǫ_px_´y_qu_py_qdy_“

ż

Bp0,ǫq

φǫ_py_qu_px_´y_qdy

´e harmˆonica em seu dom´ınio e tamb´em que uǫ _” u (localmente). O s´ımbolo “. significa que a igualdade ´e valida por defini¸c˜ao.

Veremos mais adiante queuǫ _“. φǫ_˚u_ÝÑǫÑ0u uniformemente (ou ver Jorge Hounie [12]) e pelo teorema da convergˆencia dominada, uǫ ´eC8.

A

firma¸c˜ao 1.1.7. uǫ satisfaz a PVM em Ωǫ .

“ tx_PΩ :d_px,_BΩq ą ǫ_u“. Dom_puǫ_q.

1

Sex0 P Ωǫ e Brx0, ts ĂΩǫ, temos

1

|Sn´1_| ż

Sn´1

u_px0`tσqdσ “

1

|Sn´1_| ż

Sn´1

„ż

Bp0,ǫq

φǫ_py_qu_px0´y`tσqdy 

dσ

“ 1

|Sn´1_| ż

Sn´1

u_px0`tσqdσ

“ 1

|Sn´1_| ż

Bp0,ǫq φǫ_py_q

„ż

Sn´1

u_px0´y`tσqdσ 

dy

“ 1

|Sn´1_| ż

Bp0,ǫq

φǫ_py_q|Sn´1_|u_px0´yqdy

“ ż

Bp0,ǫq

φǫ_py_qu_px0´yqdy

“ pφǫ_˚u_qpx_0q

“ uǫ_px_0q.

Logo, uǫ_px0qsatisfaz a PVM em Ωǫ. Portanto, uǫpx0q ´e harmˆonica em Ωǫ.

A

firma¸c˜ao 1.1.8. u_“uǫ em Ωǫ.

Para x_PΩǫ, temos

uǫ_px_{q “}

ż

Bp0,ǫq

u_px_´y_qφǫ_py_qdy

“ żǫ

0

rn´1

ż

Sn´1

u_px_´rσ_qφǫ_prσ_qdσdr

“ _ǫ1n

żǫ

0

rn´1

ż

Sn´1

u_px_´rσ_qφ´rσ ǫ

¯

dσdr

“ _ǫ1n

żǫ

0

rn´1

ż

Sn´1

u_px_´rσ_qφ_pr_{ǫ_qdσdr

“ _ǫ1n

żǫ

0

rn´1_|Sn´1_|u_px_qφ_pr_{ǫ_qdr

“ u_px_q

żǫ

0

rn´1

ż

Sn´1

dσφǫ_pr_{ǫ_qdr

“ u_px_q

ż

Bp0,ǫq

φǫ_px_qdx

“ u_px_q.

O

bserva¸c˜ao 1.1.9. Usando as equa¸c˜oes (1.1) e (1.2), podemos mostrar que u satisfaz a PVM se, e somente se,

u_px0q “

1

|B_px0, rq| ż

Bpx0,rq

1.2

Fun¸c˜

oes Subharmˆ

onicas

Os resultados n˜ao demonstrados nesta se¸c˜ao podem ser encontrados no trabalho de Ho-epfner, G.,[9].

DEFINI ¸C ˜AO 1.2.1 (Fun¸c˜oes Subharmˆonicas). Seja Ω um aberto de Rn. Uma fun¸c˜ao u: Ω_ÑR_Yt´8u´e dita subharmˆonica se ela ´e semi-cont´ınua superiormente eusatisfaz:

@ x_P Ω, _Dr_px_{q ą} 0 tal que

u_px_{q ď} 1

|Sn´1_| ż

Sn´1|

u_px_`rσ_q|dσ,_@r _ăr_px_q.

Em particular, quando Ω_ĎR,_@x0 PΩ, tem-se lim

xÑx_0`upxq “upx0q; equivalentemente,

@ c_PR, o conjunto u´1_pp´8, c_qq´e aberto.

O

bserva¸c˜ao 1.2.2. Seu ´e semi-cont´ınua superiormente e K _ĂĂΩ 2_{, ent˜ao u´e limitada}

superiormente em K.

De fato, para j _“ 1,2,_{¨ ¨ ¨} definamos Kj _{“ t}x;u_px_{q ă} j_ucŞ_{K. Notemos que Kj ´e}

compacto emK para cada j _“1,2,_{¨ ¨ ¨}. Al´em disso, K _ĄK1 ĄK2 Ą ¨ ¨ ¨ e

8

č

j“1

Kj _{“ t}x_P

K;u_px_{q “ 8u “ H}. Pelo Teorema de Cantor, existe j0 P N tal que Kj0 “ H. Ent˜ao,

u_px_{q ă} j0 @ xPK, ou seja, uˇˇ

K

ďj0. Portanto, u ´e limitada superiormente emK.

Exemplo 1.2.3.

(1) Seja u: ΩĂC_ÑCanal´ıtica e p_ą0. Ent˜ao|u_pz_q|p _{´e subharmˆonica.}

Com efeito, seja z0 P Ω. Se upz0q “ 0, ent˜ao 0 ď

1

|Sn´1_| ż

Sn´1|

u_pz0 `rσq|pdσ,

claramente. Suponha u_pz0q ‰ 0; ent˜ao existe um ramo de |upzq|p que ´e anal´ıtico

numa vizinhan¸ca de z0. Aplicando a propriedade do valor m´edio para as partes real

e imagin´aria de _|u_pz_q|p, obtemos

|u_px_q|p _“ 1

2π

żπ

´π

ˇ

ˇu_pz0`reiθq ˇ ˇdθ.

(2) Se u´e harmˆonica em Ω_ĂCe p_ě1, ent˜ao _|u_pz_q|p _{subharmˆonica.} 2

De fato, sendo u harmˆonica, vale a PVM, isto ´e,

u_pz_{0q ď} 1

2π

żπ

´π

ˇ

ˇu_pz0`reiθq ˇ ˇdθ.

Se p_“1, o resultado ´e direto. Para p_ą1, temos

|u_pz0q| ď ˆ

1 2π

żπ

´π

ˇ

ˇu_pz0`reiθq ˇ ˇp

dθ

˙1{pˆ

1 2π

żπ

´π

1qdθ

˙1{q

“ ˆ

1 2π

żπ

´π

ˇ

ˇu_pz0`reiθq ˇ ˇp

dθ

˙1{p .

Portanto,

|u_pz_{0q| ď} 1

2π

żπ

´π

ˇ

ˇu_pz0`reiθq ˇ ˇp

dθ.

(3) Se u1,¨ ¨ ¨ , un s˜ao subharmˆonicas, ent˜ao u “ maxtu1, . . . unu ´e subharmˆonica. De

fato, dado x0 P Ω, seja 1 ďj0 ď n satisfazendo upx0q “ vj0px0q. Como uj0 satisfaz

a PVM, temos

u_px_{0q “}uj0_px_{0q ď} 1

|Sn´1_| ż

Sn´1|

uj0_px0`rσq|dσď

1

|Sn´1_| ż

Sn´1|

u_px0`rσq|dσ.

PROPOSI ¸C ˜AO 1.2.4. Uma fun¸c˜ao u ´e semi-cont´ınua superiormente se, e somente se, para todo K _ĂĂ Ω, u´e limite de uma sequˆencia decrescente de fun¸c˜oes cont´ınuas em K.

T

EOREMA 1.2.5 (Princ´ıpio do M´aximo para fun¸c˜oes subharmˆonicas). Seja Ωum dom´ınio e u: Ω_ÑR, ent˜ao u n˜ao atinge m´aximo, a menos que u seja constante.

T

EOREMA 1.2.6. Seja v : Ω_{Ñ r´8},_8q. S˜ao equivalentes: (a) v ´e subharmˆonica em Ω;

(b) Dado G_ĂΩlimitado e u:G_ÑR harmˆonica tal que u_P C0_pG¯_q,G¯ _ĂΩ, v _ďuem

BG, ent˜ao v _ďu em G.

C

orol´ario 1.2.7. Se v subharmˆonica em B_p0, R_q, ent˜ao a fun¸c˜ao

m_pr_q“. 1

|Sn´1|

ż

Sn´1

u_prσ_qdσ

Exemplo 1.2.8. SejaF anal´ıtica emB_p0,1_qe 1_ăp_{ď 8}. Consideremosv_pz_{q “ |}F_pz_q|p. A fun¸c˜ao

Mp_pF, r_q“. 1

2π

ż2π

0 ˇ

ˇF_preiθ_qˇˇpdθ _{“ }}. F_}Lp_pBBp0,rqq

´e crescente para r_{P p}0,1_q.

De fato, para 1 _ă p _{ă 8}, vimos que, se F anal´ıtica, ent˜ao _|F_pz_q|p _{´e subharmˆonica.}

Logo, basta aplicar o corol´ario acima. Sep_{“ 8},M8pF, rq .

“ sup

θPp´π,πq|

F_preiθ_q|, o resultado segue do Princ´ıpio do M´aximo para fun¸c˜oes subharmˆonicas.

Denotemos porH_p∆_qo espa¸co das fun¸c˜oes holomorfas f : ∆ _ÑC, em que ∆ ´e o disco unit´ario emC.

DEFINI ¸C ˜AO 1.2.9(Espa¸cos de HardyHp_{p∆q). Seja0}

ăp_{ď 8}. Dada uma fun¸c˜aoF _PH_p∆_q, dizemos que F _PHp_{p∆q se}

}F_}Hp .

“ sup

0ďră1

Mp_pF, r_{q ă 8}.

Mais precisamente, para 0_ăp_{ď 8}, definimos os espa¸cos de Hardy

Hp_p∆_{q “ t}F _PH_p∆_q;_}F_}Hp .

“ sup

0ďră1

Mp_pF, r_{q ă 8u}.

Claramente, se 0_ăp_ăq _{ă 8}, valem as seguintes inclus˜oesH8 _ĂHq

ĂHp_.

Definindo a m´etricad_pF, G_q“. sup

0ără1r

Mp_pF _´G, r_qsp, o espa¸co _pHp_{p∆q, dq torna-se um}

espa¸co m´etrico completo e Banach sep_“1.

At´e agora vimos a caracteriza¸c˜ao dos espa¸cos de Hardy definidos sobre o disco unit´a-rio e subordinada `a teoria das fun¸c˜oes anal´ıticas. No pr´oximo cap´ıtulo vamos exibir os espa¸cos de Hardy emRn_{. Para tanto, apresentamos algumas defini¸c˜oes e resultados sobre}

2

Espa¸cos de Hardy em

R

n

Na teoria moderna, os espa¸cos de HardyHp s˜ao apresentados sem referˆencia a fun¸c˜oes harmˆonicas ou holomorfas. Isso permite a extens˜ao natural da defini¸c˜ao a v´arias vari´aveis reais, como em Hp, e at´e mesmo a dom´ınios mais gerais. Essencialmente, queremos tornar a teoria dos espa¸cosHp _{independente da teoria das fun¸c˜oes anal´ıticas, de modo que}

seja caracterizado em termos de fun¸c˜oes maximais. Iniciamos esse cap´ıtulo apresentando alguns conceitos preliminares para o desenvolvimento desse trabalho.

2.1

Preliminares

2.1.1 As fun¸c˜oes teste

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.2. Seja Ω um aberto de Rn. As fun¸c˜oes f : Ω_ĎRn _ÑC infinitamente diferenci´aveis, com suporte compacto emΩs˜ao chamadas fun¸c˜oes teste emΩ. O conjunto das fun¸c˜oes teste em Ω ser´a denotado por Cc8pΩq.

Lembremos que o suporte de uma fun¸c˜ao cont´ınua φ : Ω_ÞÑ C ´e o fecho do conjunto

tx_P Ω :φ_px_{q ‰} 0_u. Denotaremos esse conjunto por supp_pφ_q.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.3. Uma seq¨uˆencia pφj_q de fun¸c˜oes deC_c8_pΩ_qconverge a zero em C_c8_pΩ_q se:

(1) Existe um compacto K _ĂΩ tal que supp_pφj_{q Ď}K, j _“1,2, ...;

(2) Para todo inteiro positivo m, as derivadas de ordem m das fun¸c˜oes φj convergem

uniformemente a zero quando j _{Ñ 8}.

O

bserva¸c˜ao 2.1.4. E poss´ıvel dotar´ Cc8pΩq com uma topologia n˜ao metriz´avel de forma

que a convergˆencia nessa topologia coincida com a dada pela defini¸c˜ao acima (ver refe-rˆencia [11]).

2.1.5 Distribui¸c˜oes

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.6. _{Seja Ω}ĎRn _{aberto. Um funcional linear cont´ınuo u:C}8

c pΩq Ñ C´e dito uma distribui¸c˜ao em Ω. O espa¸co das distribui¸c˜oes em Ω se denota por D1_{pΩq. Isto} ´e se u_P D1pΩq e φ1, φ2 PCc8pΩq, λPC e pφjq´e uma seq¨uˆencia em Cc8pΩq, ent˜ao,

u_pφ1`λφ2q “upφ1q `λupφ2q (Linearidade)

φj _Ñ0 em Cc8pΩq ñupφjq Ñ0 (Continuidade).

Em geral, escrevemos _xu, φ_y em vez de u_pφ_q.

As opera¸c˜oes soma de distribui¸c˜oes e multiplica¸c˜ao por escalar por distribui¸c˜ao s˜ao definidas de maneira “standard”. Dados u1, u2 PD1pΩq, φPCc8, λPC, definimos:

xu1`u2, φy “ xu1, φy ` xu2, φy

xλu1, φy “ λxu1, φy

Dado um operador linearL:Cc8pΩq ÝÑCc8pΩq, dizemos queL´e cont´ınuo seLφj Ñ0

em C_c8_pΩq quando φj _Ñ0 em C_c8_pΩq.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.7. Sejam L e L1 operadores lineares cont´ınuos de Cc8pΩq em Cc8pΩq. Dizemos que L ´e o transposto formal de L1 (e denotamos por L1 _“Lt_{) e vice-versa se}

ż

Ωp

Lφ_qψdx_“

ż

Ω

φ_pL1ψ_qdx φ, ψ_P Cc8pΩq. (2.1)

Observemos que na defini¸c˜ao acima, φ, Lφ, ψ, Lψ _PC_c8_pΩ_{q Ď}L1_locpΩ_{q Ă}D1_{pΩq, ent˜ao,} a equa¸c˜ao (2.1) pode ser reescrita na forma _xLφ, ψ_{y “ x}φ, L1_{ψy. Deste modo, ´e intuitivo} estender L a um operador ˜L:D1_{pΩq ÑD}1_{pΩq, definido por:}

xLu, ψ˜ _{y “ x}u, L1_{ψy uPD}1_{pΩq ψ PC}8

Exemplo 2.1.8(Produto por uma fun¸c˜aoC8).Dadof _PC8_pΩ_q, definimosL:Cc8pΩq Ñ C_c8_pΩq,pLφ_qpx_{q “} f_px_{q ¨}φ_px_q. L ´e um operador linear cont´ınuo e, al´em disso,

ż

pLφ_qpx_qψ_px_qdx_“

ż

φ_px_qpLψ_qpx_qdx.

Vemos que o transposto formal de L(L1) ´e L. Deste modo, definimos

xf u, φ_{y “ x}u, f φ_y. (2.3)

Exemplo 2.1.9 (Deriva¸c˜ao). Sejam Ω um aberto de Rn _{e L“} B

Bxj. L ´e um operador

linear cont´ınuo e, al´em disso, seφ, ψ_P C8

c pΩq, pelo teorema de Fubini1 e integra¸c˜ao por

partes: _ż

Ω Bφ

Bxjpxqψpxqdx “ ´

ż

Ω

φBψ

Bxjdx.

Portanto, o transposto formal deL´e _´ B

Bxj e dado uPD

1_{pΩq definimos:}

B Bu

Bxj, φ

F “ ´

B

u, Bφ

Bxj

F

. (2.4)

Exemplo 2.1.10 (Mudan¸ca de vari´avel). Sejam Ω1, Ω2 abertos de Rne Φ : Ω1 ÑΩ2 um

difeomorfismo, isto ´e, uma bije¸c˜ao de Ω1 em Ω2, com Φ e Φ´1 de classe C8. Definemos

Lf _“f_˝Φ,L´e operador linear cont´ınuo de C8

c pΩ2qem Cc8pΩ1q. Dada uma fun¸c˜ao teste

f em Ω2,x pertence ao complementar de Spf˝Φqse, e somente se, existir Vx vizinhan¸ca

de aberta de x , em que f _˝Φ ´e nula. Mas como Φ ´e difeomorfismo, isto equivale a dizer que existe uma vizinhan¸ca de Φ_px_q, a saber, Φ_pVx_q, em que f ´e nula. Deste modo,

S_pf _˝Φ_{q “} Φ´1_{psupppfqq, j´a que supppfq ´e compacto e Φ ´e difeomorfismo f ˝Φ possui}

suporte compacto. Assim, se Lf _“ f _˝Φ, Lf ´e fun¸c˜ao teste em Ω1, o que mostra a

boa defini¸c˜ao do operador L. Dada ψ fun¸c˜ao teste em Ω2, pelo teorema de mudan¸ca de

vari´aveis obtemos

ż

Ω2

f_pΦ_px_qqψ_py_qdy _“

ż

Ω1

f_px_qψ_pΦ´1_px_qq|J_pΦ´1_q|px_q, 1

em que_|J_pΦ´1_{q|representa o valor absoluto do determinante da jacobiana de Φ}´1_{, assim}

L1ψ _{“ |}J_pΦ´1_{q| ¨ψ˝Φ}´1_.

Portanto, definimos

xu_˝Φ, φ_{y “ x}u,_pφ_˝Φ´1_q|J_pΦ´1_q|y. (2.5)

2.1.11 Suporte de distribui¸c˜oes

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.12. Dados u₁, u₂ P D1pΩq dizemos que u₁ e u₂ s˜ao iguais (u₁ “ u₂) se

para todo fun¸c˜ao teste φ em Ω temos _xu1, φy “ xu2, φy.

Abaixo ser´a dada uma condi¸c˜ao necess´aria para igualdade de distribui¸c˜oes.

T

EOREMA 2.1.13. Sejam u1, u2 P D1pΩq tais que para todo x P Ω existe vizinhan¸ca

aberta Vx em que u1 “u2. Ent˜ao, u1 “u2 em Ω

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.14. Dado u_P D1_{pΩq, definimos o suporte de u como sendo a interse¸c˜ao} de todos os fechados deΩfora dos quaisu´e nulo. Denotamos o suporte de upor supp_pu_q.

O

bserva¸c˜ao 2.1.15. As defini¸c˜oes de suporte de distribui¸c˜oes e de fun¸c˜oes coincidem, para fun¸c˜oes que s˜ao cont´ınuas (ver referˆencia [11]).

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.16. Uma distribui¸c˜ao u_PD1_{pΩq ´e dita ser C}8 _{em um aberto U ĂΩ, se} existef _PC8_pU_q tal que

xu, φ_{y “}

ż

f_px_qφ_px_qdx; φ _PCc8pUq.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.17. Se Ω ´e aberto de Rn_{, denotamos o espa¸co das distribui¸c˜oes em Ω} com suporte compacto por E1_pΩq.

T

EOREMA 2.1.18. Seja u _P E1_{pΩq. Existe um ´unico funcional linear ur : C}8_{pΩq Ñ C} tal que,

(1) u_rpφ_{q “}u_pφ_{q @} φ_P C_c8_pΩ_q;

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.19. Uma seq¨uˆencia pφj_q de fun¸c˜oes C8_pΩ_q converge a zero em C8_pΩ_q quando para todo compactoK e qualquerαem Nn_{, a seq¨uˆencia de fun¸c˜oespB}α_φjqconverge

uniformemente a zero em K.

O

bserva¸c˜ao 2.1.20. Se_pφj_q ´e uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes convergindo a zero em C_c8_pΩ_q, ent˜ao, _pφj_q converge a zero em C8_pΩq.

Usamos a seguinte nota¸c˜ao, dadoα_{“ p}α1, ..., αnq PNn,i“?´1 ex“ px1, ..., xnq PRn

denotamos:

|α_{| “} n

ÿ

j“1

αj, Dj _“ 1 i

B Bxj, D

α

“Dα1_{1 ¨ ¨ ¨}Dαn n

xα _“ xα1_{1 ¨ ¨ ¨}xαn

n , α!“α1!¨ ¨ ¨αn!

T

EOREMA 2.1.21. SejamΩum aberto deRn_{euum funcional linear emC}8_{pΩq. Ent˜ao} u´e cont´ınuo ´e se, e somente se, existem K _ĂΩ compacto, C _ą0 e m_PZ` tais que

|xu, φ_{y| ď}C ÿ |α|ďm

sup

xPK|

Dαφ_|, φ_PC8_pΩ_q

T

EOREMA 2.1.22. Sejam Ω um aberto de Rn _{e u um funcional linear em C}8

c pΩq. u´e cont´ınuo se, e somente se, para todo compacto K _ĂΩ existem C_ą0 e m _PZ` _{tais que}

|xu, φ_{y| ď}C ÿ |α|ďm

sup_|Dαφ_|, φ_P Cc8pΩq, supppφq ĂK. (2.6)

Sejam Ω aberto de Rn _{e u P D}1_{pΩq. Se, para todo compacto K, a condi¸c˜ao (2.6) ´e} satisfeita para algum valormfixado dizemos queu´e de ordem menor que ou igual am. O conjunto das distribui¸c˜oes em Ω de ordem menor que ou igual am´e denotado porD1mpΩq.

2.1.23 A transformada de Fourier em

S

_p

R

n

_q

Sef _P L1_pRn_q, definimos a transformada de Fourier def por

F_rf_spξ_{q “}fp_pξ_q“.

ż

Rn

e´ixξf_px_qdx, ξ _PRn (2.7)

em que i_“?_´1,x _{“ p}x1, ..., xnq, ξ “ pξ1, ..., ξnq e xξ “x1ξ1` ¨ ¨ ¨ `xnξn. Pelo teorema

Como j´a foi visto, ´e poss´ıvel estender a D1 _{um operador cont´ınuo definido em C}8 c , o

que n˜ao ´e aplic´avel neste caso, j´a que seφ _PC_c8_pRn_{q, ent˜ao φ}p_{n˜ao tem suporte compacto}

a menos que φ seja a fun¸c˜ao nula 2_{. Por isso definimos um espa¸co que cont´em C}8 c e ´e

invariante por transformada de Fourier.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.24. Denotamos por S (ou SpRn_q) o subespa¸co das fun¸c˜oes φ _P C8_pRn_q tais que supxPRn|xαDβφpxq| ă 8, para todo α, β PNn.

Intuitivamente,o espa¸co de Schwartz, S_pRn_q, ´e o conjunto das fun¸c˜oes suaves φ defi-nidas em Rn_{, cujas derivadas decrescem rapidamente no infinito (permanecem limitadas}

quando multiplicadas por polinˆomios arbitr´arios), isto ´e,

|Bα_φ

px_{q| ď}C_p1_{` |}x_|q´N,

para todoα_PNn eN _PN, em que C depende apenas de α, N.

A topologia de S_pRn_{q´e dada pela cole¸c˜ao enumer´avel de semi-normas}

}φ_{}α,β “}. sup

xPRn|

xα_Bxβφ_px_q|,

sendo xα _“ xα1_{1 ¨ ¨ ¨}xαn

2 , Bxβ “

Bβ1

Bxβ1

1 ¨ ¨ ¨ Bβn

Bxβn n

. Se f _P S1pRn_{q e φ P SpR}n_{q, a convolu¸c˜ao} f_˚φ est´a bem definida e ´e suave.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.25. Dizemos que uma seq¨uˆencia tφj_u8_{j“1 Ă} S converge a zero em S se para todoα, β _P Nn temos xαDβφj_px_{q Ñ} 0 uniformemente.

S ´e invariante por multiplica¸c˜ao por polinˆomio e deriva¸c˜ao, e ainda S_pRn_{q ĂL}1_pRn_q.

T

EOREMA 2.1.26. A transformada de Fourier ´e um operador cont´ınuo de S em S e valem as propriedades:

z

Dα_{φpξq “ ξ}α_φp

pξ_q

F_pxαφ_px_{qq p}ξ_{q “ p´}1_q|α|Dαφp_pξ_q. 2

T

EOREMA 2.1.27. A transformada de Fourier ´e continuamente invers´ıvel de S_pRn_qem SpRn_{q e}

F´1_rφ_spx_{q “} 1

p2π_qn

ż

eixξφ_pξ_qdξ, φ _PS_pRn_q.

O

bserva¸c˜ao 2.1.28. A transformada de Fourier F :S_pRn_{q ÑSpR}n_{q ´e um isomorfismo.}

T

EOREMA 2.1.29. Se φ, ψ_PS, ent˜ao,

ż p

φψdx _“

ż

φψdxp

ż

φψdx _{“ p}2π_q´n

ż p

φψdxp

z

φ_˚ψ _“ φp_¨ψp

x

φψ _{“ p}2π_q´nφp_˚ψ.p

2.1.30 A transformada de Fourier em

S

1

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.31. Uma distribui¸c˜ao temperada ´e um funcional linear e cont´ınuo emS.

O espa¸co das distribui¸c˜oes temperadas ser´a denotado por S1_.

Observemos que seu´e distribui¸c˜ao temperada, ent˜ao a restri¸c˜ao de ua fun¸c˜oes testes ´e uma distribui¸c˜ao e, al´em disso, C8

c pRnq ´e denso em SpRnq. A seguir ser´a dada uma

caracteriza¸c˜ao para continuidade emS1_.

T

EOREMA 2.1.32. Seja u um funcional linear em S. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equi-valentes:

(1) u ´e cont´ınua;

(2) Existem inteiros positivos M, m tais que

|xu, φ_{y| ď} ÿ |α|ďm

sup

x |p

1_{` |}x_|2_qmDαφ_px_q|, φ_P S.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.33. Dado tuju8_j“1 ĂS1 e uPS1 dizemos que uj Ñuem S1 quando, para

todo φ_PS, _xuj, φ_{y Ñ x}u, φ_y, quando j _{Ñ 8}.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.34. Seja u_PS1_{, a transformada de Fourier de u ´e definida por}

xpu, φ_{y “ x}u,φp_y, φ _PS.

T

EOREMA 2.1.35. (i) Se f _P L1_pRn

q, a transformada de Fourier de f como distri-bui¸c˜ao temperada coincide com a transformada de f dada por (2.7).

(ii) Se f _PL2_pRn

q, ent˜ao fp_PL2_pRn

q e

}f_}2_{2 “ p}2π_q´n_}fp_}2₂ (Identidade de Plancherel).

(iii) Se u_PE1_pRn

q, ent˜ao pu ´e uma fun¸c˜ao C8 _{dada por}

p

u_pξ_{q “ x}ux, e´ixξ_y.

(iv) Se u_PS1_{, ent˜ao}

z

Dα_u“ξα_{pu, x}yα_{u“ p´1q}|α|_Dα_pu.

2.1.36 Alguns resultados cl´assicos

Inicialmente, recordemos que dado Ω _Ă Rn _{um conjunto mensur´avel e 1 ď p ă 8,}

definimos o espa¸co Lp como sendo o espa¸co das (classes de equivalˆencia de) fun¸c˜oes p-integr´aveis no sentido de Lebesgue, isto ´e,

Lp_pΩ_{q “}

#

u:Rn_ÑC;

ˆż

Ω|

u_px_q|pdx

˙1{p

ă 8 +

,

dotado da norma

}u_}Lp “

ˆż

|u_px_q|pdx

˙1{p

se u _P Lp_pRn_{q, 1 ď p ă 8; e o espa¸co L}8_{pΩq como sendo o espa¸co das (classes de} equivalˆencia de) fun¸c˜oes mensur´aveis limitadas, isto ´e,

L8_pΩ_{q “}

"

u:Rn _ÑC; sup

xPΩ|

u_px_{q| ă 8}

*

,

munido da norma

}u_}L8 “sup

xPΩ|

Observe que nesse caso sup

Ω |

u_{| “}inf_tc_ą0;_|u_{| ď}c q.t.p._u

Para todo 1ďp_{ď 8}, Lp_{pΩq´e um espa¸co de Banach.}

• Teorema da Convergˆencia Mon´otona

Seja _pfn_q uma sequˆencia de fun¸c˜oes em L1_pΩ_q que satisfaz

pa_qf1 ďf2¨ ¨ ¨ ď fn ďfn`1 ď ¨ ¨ ¨ qtpem Ω; pb_qsup

n

ż

fn _{ă 8}.

Ent˜ao fn_px_q converge q.t.p. em Ω para um limite finito, que denotamos porf_px_q; a fun¸c˜ao f est´a emL1 e _}fn_´f_}L1 Ñ0.

• Lema de Fatou

Seja _pfn_q uma sequˆencia de fun¸c˜oes que satisfazem

pa_q@n, fn _ě0 q.t.p.;

pb_qsup

n

ż

fn _{ă 8}.

Ent˜ao _@x_PΩ com f_px_{q “} lim

nÑ8inffnpxq ă 8, tem-se f PL

1 _e ż

f _ď lim

nÑ8inf

ż

fn.

• Teorema da Convergˆencia Dominada

Seja pfn_q uma sequˆencia de fun¸c˜oes em L1_pΩq que satisfaz

pa_qfn_px_{q Ñ} f_px_q q.t.p. em Ω;

pb_qexiste uma fun¸c˜ao g _PL1_pΩqtal que @n,_|fn_px_{q| ď} g_px_q q.t.p. em Ω. Ent˜ao f _P L1 e_}fn_´f_}L1 Ñ0.

• Densidade

O espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas com suporte compacto, Cc0pRnq,´e denso emLppRnq,

@1_ďp_{ă 8}, isto ´e,

@f _P Lp_pRn_q, _@ǫ _{ą D}g _P Cc0pR n

q tal que _}f _´g_}Lp ďǫ.

• O espa¸cos das sequˆencias lp

p-som´aveis, isto ´e,

lp _“

$ &

%x:NÑR; ˜₈

ÿ

i“1 |xi_|p

¸1{p

ă 8 , . -,

dotado da norma

}x_{}p “}

˜₈ ÿ

i“1 |xi_|p

¸1{p ,

e o espa¸co l8 como sendo o espa¸co das sequˆencias reais limitadas, isto ´e,

l8 _“

"

x:N_ÑR; sup

iPN |

xi_{| ă 8}

*

,

munido da norma

|x_|8 “sup iPN |

xi_|.

´

E bem conhecido que, para todo 1ďp_{ď 8} ,lp _{´e um espa¸co de Banach.}

SejampΩ1,M1, µ1q,pΩ2,M2, µ2qespa¸cos de medidaσ-finita. Podemos definir

de uma forma padr˜ao a estrutura do espa¸co medida sobre o produto cartesiano Ω“Ω1 ˆΩ2.

• Teormea de Tonelli

Seja F_px, y_q: Ω1ˆΩ2 ÑR uma fun¸c˜ao mensur´avel que satisfaz pa_q

ż

Ω2

|F_px, y_q|dµ2 ă 8 q.t.p. xP Ω1;

pb_q

ż

Ω1 µ1

ż

Ω2

|F_px, y_q|dµ2 ă 8.

Ent˜ao F _PL1_pΩ

1 ˆΩ2q.

• Teorema de Fubini

Seja F _PL1_pΩ

1ˆΩ2q.

q.t.p. x _P Ω1, temosFpx, yq PL1ypΩ2q e

ż

Ω2

Analogamente, q.t.p. y _PΩ2, temosFpx, yq PL1xpΩ1q e ż

Ω1

|F_px, y_q|dµ1 PL1ypΩ2q.

Al´em disso, ż Ω1 µ1 ż Ω2

|F_px, y_q|dµ2 “ ż

Ω2 µ2

ż

Ω1

|F_px, y_q|dµ1 “ ż ż

Ω1ˆΩ2

|F_px, y_q|dµ1dµ2.

• Desigualdade de H¨older

Sejam 1_ďp, q _{ď 8} tais que 1

p`

1

q “1.

Se f _P Lp_{pΩq e g PL}q_{pΩq, ent˜ao f g PL}1_{pΩq e} ż

Ω|

f g_|dx_ď

ˆż

Ω|

f_|pdx

˙pˆż

Ω|

g_|qdx

˙q .

• Desigualdade de Minkowski

Sejam f, g_PLp_{pΩq,1ďpď 8, ent˜ao f`g PL}p_{pΩq e}

ˆż

Ω|

f_`g_|pdx

˙1 p

ď ˆż

Ω|

f_|pdx

˙1 p

` ˆż

Ω|

g_|pdx

˙1 p .

• Desigualdade de Minkowski para integrais

Seja F mensur´avel em Ω1ˆΩ2 e 1ďpă 8. Ent˜ao „ż ˆż

|F_px, y_q|dy

˙p dx 1 p ď ż ˆż

|F_px, y_q|pdx

˙1 p

dy.

Agora, suponha que _|F_px, ._{q| P}Lq _{e ponha Gpxq “}.

ˆż

|F_px, y_q|qdy

˙1 q

. Se G _P Lp_,

aplicamos a desigualdade de Minkowski para integrais e obtemos

«ż ˆż

|F_px, y_q|qdy

˙p q dx ff1 p ď «ż ˆż

|F_px, y_q|pdx

˙q p dy ff1 q .

Em particular, para q _“1,ψ_px, y_q“. f_px_qg_py_{q P}Lp

}ψ_}Lp_pΩ

xˆΩyqď

ż

Ωy

„ˆż

Ωx

|f_px_q|pdx

˙1 p

|g_py_q|dy.

• Desigualdade de Young

Se f _P Lp _{eg PL}q_{, ent˜ao f ˚g PL}r_{, com} 1 r “

1

p `

1

q e

}f_˚g_{}rď }}f_}p}g_}q.

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.37(Aproxima¸c˜ao da Identidade).Dizemos que uma fam´ılia de fun¸c˜oestφt_utą0

´e uma Aproxima¸c˜ao da Identidade se

(1) sup

tą0 ż

Rn|

φt_px_q|dx_{ă 8};

(2)

ż

Rn

φt_px_qdx_“1;

(3) lim

tÑ0 ż

δď|x||

φt_px_q|dx_“0_@ δ _ą0.

A seguir, apresentamos um exemplo cl´assico de aproxima¸c˜ao da identidade, a qual usamos com grande frequˆencia em todo o texto.

Exemplo 2.1.38. Fixemos uma fun¸c˜ao integr´avel φ em Rn, com

ż

Rn

φ_px_qdx_“1. Para

t_ą0, as fun¸c˜oes φt_px_q“. t´nφ_px_{t_q formam uma aproxima¸c˜ao da identidade.

A proposi¸c˜ao seguinte justifica, de fato, tal nomenclatura para a fam´ılia_tφt;t_ą0_u.

PROPOSI ¸C ˜AO 2.1.39. Se tφt;t _ą0_u ´e uma aproxima¸c˜ao da identidade, ent˜ao para toda g _PS_pRn_q, temos lim

tÑ0pφt˚gq “ g em S.

Demonstra¸c˜ao. Ver referˆencia [12] .

O pr´oximo resultado nos mostra que a convergˆencia de φt_˚f pode ser dada na norma em Lp_.

T

EOREMA 2.1.40. Seja _tφt;t _ą0_u uma aproxima¸c˜ao da identidade. Ent˜aolim

tÑ0}φt˚f´f}Lp“0se f PL

p_{, 1ďpă8, e uniformemente se f PC}8

0 pRnq, p“ 8.

O

bserva¸c˜ao 2.1.41. Neste trabalho, sempre supomos que cada elemento da fam´ılia de uma aproxima¸c˜ao da identidade ´e de classeC8 e tem suporte compacto.

Na se¸c˜ao seguinte, apresentamos alguns resultados ´uteis sobre convolu¸c˜ao, os quais se-r˜ao fortemente utilizados para demonstrar o principal teorema sobre Compacidade Com-pensada no ´ultimo cap´ıtulo. A demonstra¸c˜ao de cada resultado pode ser encontrada no livro do H¨ormander [11], cap´ıtulo 4, se¸c˜ao 5.

2.1.42 Estimativas b´asicas em

L

p

para Convolu¸c˜ao

A convolu¸c˜aou_˚φ de uma distribui¸c˜aou _PD1_pRn

q e uma fun¸c˜ao φ _P Cc8pRnq´e definida

por _pu_˚φ_qpx_{q “} u_pφ_px_{´ ¨qq}, em que o lado direito denota u agindo em φ_px_´y_q como uma fun¸c˜ao dey.

Para evitar quest˜oes de convergˆencia, geralmente assumimos que u_PCc. O resultado a seguir ´e, essencialmente, a desigualdade de H¨older, a qual ´e, de fato, o caso especial

k_“2.

T

EOREMA 2.1.43. Sejamu1. . . uk PCc. Se

1

p1 `

. . ._` 1

pk “k´1 e 1ďpj ď 8, ent˜ao

|u1˚u2˚. . .˚ukp0q| ď }u1}Lp1 . . .}uk}Lpk.

C

orol´ario 2.1.44. Se 1_ďpj _{ď 8}, j _“1, . . . , k, e 1 p1 `

. . ._` 1

pk “k´1`

1

q,1ďqď 8, ent˜ao

}u1˚u2˚. . .˚uk}Lq ď }u1}Lp₁ . . .}uk}_Lpk. (2.8)

T

EOREMA 2.1.45. Se 1_ă a_{ă 8}, 1 _ăp _ăq _{ă 8} e 1

p `

1

a “1`

1

q, definindo ka por ka_px_{q “ |}x_|´na, uPRn, temos 3

}ka_˚u_}Lq ďCp,a}u}_Lp , uPC_c0. (2.9)

DEFINI ¸C ˜AO 2.1.46. _Seja P um operador diferencial parcial linear com coeficientes cons-tantes, isto ´e,

P _“P_pD_{q “} ÿ |α|ďm

aαDα, aα _PC.

Ent˜ao 3

1. P u_{“ p}P δ_{q ˚}u;

2. P_pu1˚u2q “ pP u1q ˚u2 “u1˚ pP u2q, u1, u2 PD1.

Dizemos que uma distribui¸c˜aoE _PD1_{´e uma solu¸c˜ao fundamentaldeP se P E“δ,}

em que δ ´e a distribui¸c˜ao delta de Dirac.

Observemos que se E ´e solu¸c˜ao fundamental de P, ent˜ao

E_˚P u_“P E_˚u_“δ_˚u_“u, _@ u_PE1.

e

P_pE_˚f_{q “} P E_˚f _“δ_˚f _“f, f _PE1.

Agora considere a EDP

P u_“f, f _PE1.

Suponha que E ´e uma solu¸c˜ao fundamental de P. Pela observa¸c˜ao acima, se u _“E_˚f, ent˜ao P u_“f. Reciprocamente, se u´e solu¸c˜ao de P u_“f, ent˜ao u_“E_˚P u_“E_˚f.

Em particular, se P _“∆ ´e o operador de Laplace (ou Laplaciano) em Rn_{, isto ´e,}

∆_“

n

ÿ

j“1 B2

Bxj “∇¨∇“divp∇q,

vale o seguinte resultado:

T

EOREMA 2.1.47. Seja E solu¸c˜ao fundamental do operador de Laplace, isto ´e,

E_px_{q “}

$ & %

1

p2´nqCn|x|

2´n _{n ě3}

1

2πlog|x|, n “2. em que Cn ´e a ´area da esfera unit´aria em Rn_{. Ent˜ao}

BE

Bxj “ xj

Cn_|x_|n P L

1

locpRn_q e ∆E “δ.

O pr´oximo resultado fornece uma forma local do Teorema de Imers˜ao de Sobolev.

T

EOREMA 2.1.48. Seja u_PD1_{pΩq, com ΩĂR}n_{, e suponha que}

j _“1, . . . n,1_ăp_ăn. Ent˜ao u_P Lq_locpΩ_q se 1

p “

1

q `

1

n. (2.10)

O resultado a seguir d´a uma vers˜ao global do teorema acima.

T

EOREMA 2.1.49. Seja u_PD1_pRn

qe suponha que_Bju_P Lp_pRn_q, j _“1, . . . n,1_ăp_ăn. Ent˜ao existe uma constante C tal que u_´C _PLq_pRn_{q, com}

1

p “

1

q `

1

n.

T

EOREMA 2.1.50. Suponha que k _P C1_pRn_{\t0uq ´e homogˆeneo de grau ´n{a. Seja}

1_ďp_{ď 8} e suponha 0_ăγ _“n_p1_´1_{a_´1_{p_{q ă} 1. Ent˜ao temos

sup

x‰y

|k_˚u_px_{q ´}k_˚u_py_q|

|x_´y_|γ ďC}u}Lp, uPLppRnq XE1pRnq.

T

EOREMA 2.1.51. Seja u _P D1_pRn

q e suponha que _Bju P LppRnq, j “ 1, . . . n, p ą n. Ent˜aou_P Λγ_pRn_{q, isto ´e, u ´e uma fun¸c˜ao H¨older cont´ınua, com γ “1´}n

p e vale:

sup

x‰y

|u_px_{q ´}u_py_q|

|x_´y_|γ ďC n

ÿ

j“1

}Bju}_Lp_pRn_q. (2.11)

C

orol´ario 2.1.52. Se u_P D1_{pΩq´e tal que B}

juPLnpΩq, ent˜ao uP Lq_locpΩq, @1ăq ă 8.

T

EOREMA 2.1.53. Seja u _P D1_{pΩq e suponha que Bju P L}p

locpΩq, j “ 1, . . . n, p ą n. Ent˜aou ´e H¨older cont´ınua de ordem γ _“1_´n_{p, isto ´e,

sup

x‰y;x , yPK

|u_px_{q ´}u_py_q|

|x_´y_|γ ă 8, K ĂĂΩ. (2.12)

T

EOREMA 2.1.54 (Imers˜ao de Sobolev). Seja u _P D1_{pΩq e suponha que B}α_u

P Lp_locpΩ_q, quando _|α_{| “}m, com m_PZ`,1ăpă 8. Se β ăm, ent˜ao

(1) _Bβ_uPLq

locpΩq desde que qă 8 e

1

p ď

1

q `

pm_{´ |}β_|q

n ;

(2) Bβ_{u ´e H¨older cont´ınua de ordem γ se 0ăγ ă1 e} 1 p ď

pm_{´ |}β_{| ´}γ_q

2.2

Caracteriza¸c˜

ao Maximal de

H

p

A partir de agora, nossa principal referˆencia de inspira¸c˜ao s˜ao os livros do Stein, [16] e [17]. As defini¸c˜oes de fun¸c˜oes maximais, por exemplo, assim como os teoremas da Carac-teriza¸c˜ao Maximal e da Decomposi¸c˜ao Atˆomica deHp, e outros resultados relacionados a esse contexto e aqui expostos foram adpatados das referˆencias acima.

Os espa¸cosHp 4 s˜ao conjuntos de distribui¸c˜oes definidas emRn que podem ser carac-terizados de muitas formas, todas implicando na mesma concep¸c˜ao.

2.2.1 N´

ucleo de Poisson em

R

n<sub>`</sub>`1

A conex˜ao dos espa¸cos de Hardy Hp_pRn_{q com as fun¸c˜oes harmˆonicas definida no}

semi-plano superior Rn<sub>`</sub>`1 _{“ tp}x, t_q : x _P Rn_{, t}

ą 0_u pode ser feita considerando o produto de convolu¸c˜ao f _˚Pt, em que Pt_px_{q “}t´nP ´x

t

¯

, t_ą 0 e P ´e o n´ucleo de Poisson em Rn<sub>`</sub>`1, definido por

P_px_{q “} cn

p1<sub>` |</sub>x<sub>|</sub>2<sub>q</sub>pn`1q{2,

sendocn uma constante tal que

ż

P_px_qdx _“1.

A convolu¸c˜ao f _˚Pt n˜ao est´a bem definida para qualquer distribui¸c˜ao 5_{, visto que P}

n˜ao est´a em S_pRn_q. Ent˜ao os espa¸cos Hp_pRn_q exigem uma restri¸c˜ao em sua classe de distribui¸c˜oes. Por isso, torna-se necess´ario trabalhar na classe das distribui¸c˜oes limitadas, as quais definimos a seguir.

DEFINI ¸C ˜AO 2.2.2 (Distribui¸c˜ao LimitadaS1

L). Uma distribui¸c˜ao uP S1 ´e limitada se u˚ϕ P

L8_{, @ϕ P S, em que u˚ϕpxq “ x}. _{u, ϕpx´ ¨qy. Denotaremos o espa¸co das distribui¸c˜oes}

limitadas por S1 L.

Notemos que valem as seguintes inclus˜oes L8 _{Ă S}1

L Ă S1. Ainda, se u ´e uma

dis-tribui¸c˜ao limitada e h _P L1_pRn_{q, ent˜ao a convolu¸c˜ao u˚h pode ser definida como uma}

distribui¸c˜ao. De fato, sejaφ_P S_pRn

q. Podemos definir

xu_˚h, φ_{y “}@u_˚φ,ˇ ˇhD _“

ż

Rnp

u_˚φˇ_qpx_qˇh_px_qdx, 4

De agora em diante, n˜ao faremos distin¸c˜ao entre as nota¸c˜oesHp_eHp_pRn_{q, a menos que seja}

especi-ficado.

5

em que ˇφ_px_{q “}φ_p´x_q.

Al´em disso, u_˚h ´e tamb´em uma distribui¸c˜ao limitada e u_{˚ p}h1 ˚h2q “ pu˚h1q ˚h2

sehi _PL1_pRn_q, i_“1,2. Portanto, como P _P L1_pRn_q, segue u_˚Pt est´a bem definido para toda distribui¸c˜ao limitada.

O

bserva¸c˜ao 2.2.3. Podemos mostrar que, para todot_ą0 fixo,u_˚Pt´e uma fun¸c˜ao suave e limitada, isto ´e,u_˚Pt_P L8ŞC8, se u_P SL1.

Agora, nosso pr´oximo objetivo ´e enunciar o Teorema da Caracteriza¸c˜ao Maximal, por´em, antes precisamos definir as chamadas fun¸c˜oes maximais.

2.2.4 Fun¸c˜oes Maximais

Em muitas situa¸c˜oes, o estudo de uma fun¸c˜ao f definida em Rn pode estar intimamente ligado `as propriedades de uma fun¸c˜ao correspondenteF, definida no semi-plano superior Rn<sub>`</sub>`1 _{“ tp}x, t_q : x _P Rn, t _ą 0_u. Por exemplo, F constru´ıda a partir de f usando aproxima¸c˜ao da identidade, a qual descrevemos anteriormente.

No entanto, o ponto principal aqui ´e que lim

tÑ0pf˚φtq pxq “ fpxq, q.t.p. x, sempre que

f _P Lp_pRn_{q para algum 1 ďp ď 8, em que φ satisfaz |φpxq| ď} A

p1`|x|qn`ǫ, A, ǫ constantes positivas (ver referˆencia [16]). Agora, para cadaφ_PS_pRn_qe qualquer distribui¸c˜aof _P S1_, definimos a Fun¸c˜ao Maximal def,

Mφ_pf_qpx_{q “} sup

tą0 |p

f _˚φt_qpx_q|.

Vamos considerar a fun¸c˜ao maximal associada n˜ao apenas a uma aproxima¸c˜ao iden-tidade φt, mas a uma fam´ılia limitada de fun¸c˜oes testes, chamada grande fun¸c˜ao maxi-mal definida a seguir. Consideremos a cole¸c˜ao finita de semi-normas em S, Pα,βpψq

.

“ ›

›xα_Bβψ››_L8 , ψ _P S e o conjunto F _{“ t}. ψ _P S;Pα,βpψq ď 1,|α|,|β| ď Nu (bola unit´aria

com respeito `as semi-normasPα,β) e N <sub>P</sub>Z` fixo, a ser escolhido.

Definimos a grande fun¸c˜ao maximal de f _PS1 _{associada `a fam´ılia F por}

MFpfqpxq “ sup

ψPF

Mψ_pf_qpx_q.

Finalmente, se f _P S1

L, seja upx, tq .

Seja

u˚_px_q“. sup |x´y|ďt|

u_py, t_q|

a fun¸c˜ao maximal n˜ao-tangencial deu e

uK_px_q“. sup

tą0 |

u_px, t_q|

a fun¸c˜ao maximal radial de u.

Agora, apresentamos mais uma “fun¸c˜ao maximal”: a Fun¸c˜ao Maximal de Hardy-Littlewood. Devido `a sua grande importˆancia, destacamos uma se¸c˜ao para ela.

2.2.5 Fun¸c˜ao Maximal de Hardy-Littlewood

Nesta se¸c˜ao, vamos provar que o operador maximal de Hardy-LittlewoodM´e limitado em certos espa¸cos. Como consequˆencia, provaremos o Teorema da Diferencia¸c˜ao de Lebesgue.

DEFINI ¸C ˜AO 2.2.6. Sejaf _PL1_locpRn_{q. Definimos o Operador Maximal de Hardy-Littlewood} por

Mf_px_q“. sup

rą0

1

|B_px, r_q|

ż

Bpx,rq|

f_py_q|dy. (2.13)

O

bserva¸c˜ao 2.2.7. Aqui estamos considerando f _ÞÑ Mf como operador e

x _ÞÑ Mf_px_q como fun¸c˜ao. Uma quest˜ao plaus´ıvel de discuss˜ao ´e determinar quando Mf _P Lp, se f _P Lp, ou ainda, analisar em que espa¸cos o operador M´e limitado. Uma conta simples, nos mostra quef _“χ_{Bp0;1q P}L1, masMf _RL1. Mais adiante mostraremos que existef _PL1_pRn_q, f _ı0 tal que

Mf_px_{q ě} C}f}L1

|x_|n ,

quando_|x_{| Ñ 8}, o que nos diz que Mf _R L1_pRn

q.

Apesar disso, mostraremos queMf deixa de estar emL1_pRn_{qpor pouco, considerando}