Capítulo 3 Series

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Capítulo 3 Series

3.1 Introducción

Para introducir el concepto de series debemos empezar por hablar de sucesiones. Hasta ahora hemos estado trabajando con funciones de variable real, pero no siempre cuando queremos traducir un problema en términos matemáticos la variable real es la mas apropiada. Incluso hablando de una misma idea como puede ser el “tiempo” podemos modelar pensando en el tiempo como una variable real o en otros casos como una variable natural. Por ejemplo si queremos ver la evolución del dólar a lo largo de un año, es razonable pensar en una tabla donde tengamos el valor del dólar el día 1, el 2, el 3 y así sucesivamente. Es claro que en este caso no estamos pensando el tiempo como algo “continuo” sino que va pegando “saltos” y toma solo valores naturales ( 1, 2 , 3, …..). Cuando en lugar de trabajar con una función de variable real lo hacemos con una de variable natural decimos que esa función es una sucesión.

Definición Llamamos sucesión de números reales a toda función de dominio los números naturales y codomino los reales es decir f : 

Ejemplo 3.1

 

1 n f n n 



Para diferenciar de las funciones de variable real utilizaremos la n como

variable para reafirmar y recordar que esta solo tomara valores naturales. Es decir que debemos leer está sucesión como una función que cumple que f

 

0 0 de ahí “saltamos” a

 

1 1

2

f  luego a

 

2 2 3

f  y así sucesivamente. Es importante observar que la que toma valores naturales 0, 1, 2,…. es la n los resultados no tienen porqué ser números naturales en este caso son 0 , ,1 2

2 3 ….que como se ve salvo el 0 el resto no son números naturales. En cuanto a la notación en lugar de escribir

 

1 n f n n   se suele escribir 1 n n f n   Ejemplo 3.2 Si consideramos 1 1 n a n 



es claro que está expresión no tiene sentido para n1 por

lo que su dominio no es todo pero como a partir del 2 existe para todos los naturales nos tomaremos la libertad de analizarla como la sucesión de números

2 3 4 5

1 1 1

1 , , , , . . . .

2 3 4

2

Una de las cosas que nos van a interesar hacer con las sucesiones es analizar que ocurre con ellas a medida que nuestra variable n va tomando valores cada vez más grandes es decir cunado “tiende” a . Para esto debemos definir el concepto de limites de sucesiones que si bien se parece al de limites de funciones no es exactamente igual. Definición lima_n L    0 existe n tal que si₀ nn₀a_nE_L,

Podemos observar que una de las diferencias con limites de funciones es que no es necesario especificar a que tiende nuestra variable n ya que la única posibilidad con variable natural es tender a por lo que cuando escribimos lima_n se sobre entiende que es lim _n

na

Esta definición es para limite finito es decir que el resultado es un número real veamos ahora la definición de limite infinito:

Definición lima_n    K 0 existe n tal que si₀ nn₀a_nK Definición lima_n    K 0 existe n tal que si₀ nn₀a_n K Ejemplo 3.3 Dada la sucesión 1 1 n a n 

 queremos calcular su limite es decir queremos hacer

1 lim

1

n Recordemos que siempre nuestra variable tiende a  por lo que la situación

que tenemos es la de un cociente cuyo numerador es 1 y el denominador tiende a y como ya sabemos ( de limites de funciones) el resultado de está situación es 0 es decir que lim 1 0

1

n 

Como se puede observar en este ejemplo nuestros conocimiento previos de limites de funciones de variable real, en general, podremos utilizarlos para limites de sucesiones. Ejemplo 3.4

Queremos calcular lim 2n observemos que a₀ 1,a₁ 2 ,a₂ 4 ,a₃ 8 , . . .

claramente a medida que n va creciendo los resultados son cada vez más grandes lo que nos lleva a concluir que lim 2n  

3 Ejemplo 3.5

Veamos ahora lim 1 2

n

   

  Podemos hacer un análisis similar al anterior observando que

0 1 2 3

1 1 1

1 , , , , . . .

2 4 8

a  a  a  a  es decir que en este caso observamos que a medida que n va creciendo los resultados son cada vez más chicos tendiendo a 0 es decir que

1 lim 0 2 n       

Otra forma de analizar este mismo limite es la siguiente

1 1 1

lim lim lim

2 2 2

n _n

n n

   

 

  pero el denominador es la sucesión del ejemplo anterior

que tendía a  luego lim 1 0 2 n        Ejemplo 3.6

 

lim 1 n

Observemos que está sucesión solo toma valores 1 y -1 efectivamente

0 1, 1 1, 2 1, 3 1, . . .

a  a   a  a   es decir el correspondiente de todos los naturales pares es 1 y el de los impares es -1 por lo que concluimos que lim

 

1 n no existe. De los tres últimos ejemplos debemos concluir que dado un x real fijo el resultado del limite de la sucesión xn depende del valor de x . Observe que el ejemplo 3.4

corresponde a x2y el resultado dio , el ejemplo 3.5 corresponde a 1 2

x y el resultado dio 0 y el ejemplo 3.6 corresponde a x 1 y en este caso el limite no existe. En general el resultado es el siguiente:

() 1 1 1 lim 0 1 1 1 n si x si x x si x si x     _    _{  }     

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Ejemplo 3. 7 Queremos analizar si el resultado de la siguiente suma es finito o no es

finito 1 1 1₂ 1₃ ... 1 ... 2 2 2 2n

     

La dificultad del problema es que la cantidad de sumandos es infinita lo que nos puede dar la sensación de que el resultado debería ser infinito pero veremos que esto no tiene porque ser así.

Empecemos por observar que los sumandos son los términos de la sucesión 1 2

n n

a  es

decir que la suma que estamos analizando corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión a _n 1 1 1₂ 1₃ ... 1 ... _{0 1 2 3} ... ...

2 2 2 2n a a a a an

            

Para resolver el problema definimos otra sucesión que llamaremos S de forma que _n

0 0

S a , S₁ a₀ a₁ , S₂ a₀ a₁ a₂ , . . . . , S_n a₀  a₁ a₂ ...a_n Por lo que en nuestro ejercicio está nueva sucesión es 1 1 1₂ ... 1

2 2 2

n n

S     

El límite de S (recordemos que n_n  ) es el que nos dará la respuesta a nuestro problema. Pero este límite no será fácil de hacer mientras la única expresión que tengamos de S sea _n 1 1 1₂ ... 1

2 2 2

n n

S      por lo que veamos como lograr otra.

Por un lado tenemos la igualdad (1) 1 1 1₂ ... 1

2 2 2

n n

S      y si multiplicamos

ambos miembros de dicha igualdad por 1

2 obtenemos la igualdad

2 1

1 1 1 1

(2) ...

2Sn  2 2  2n luego restamos las dos igualdades y nos queda

1

1 1

(1) (2) 1 2Sn 2n

   por ultimo despejando S llegamos a que _n

1 2 1 2 2 2 2 n n n S   _  

Está ultima forma de expresar S nos permite calcular su límite en forma sencilla _n

recordemos que ya vimos que lim 1 0

2n  por lo que 1 lim lim 2 2 2 n n S    esto nos está diciendo que nuestra suma de infinitos sumando da 2 es decir que

2 3

1 1 1 1

1 ... ... 2 2 2 2 2n

       lo que también se puede escribir utilizando el símbolo de sumatoria como 0 1 2 2n  



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Veamos ahora como generalizar este procedimiento desarrollado en este ejemplo Definición Dada una sucesión a llamaremos serie generada por _n a a la sucesión _n

0 1 ...

n n

S a  a a

Es importante destacar de está definición que la serie es otra sucesión por lo que el límite de la serie no requiere de otra definición ya que es el límite de una sucesión. Por lo que no encontraremos con tres posibles resultados:

1) Si limS_nL (limite finito) diremos que la serie converge ( notaremos



a_n C) y que 0 n a L  



Por lo que decir que la serie converge significa que esa suma de infinitos sumandos que estamos analizando da un número

2) Si limSn   ( no importa si es   o ) diremos que la serie diverge ( notaremos n

a D



)

3) Si limS no existe diremos que la serie oscila n

Series Geométricas

Llamaremos serie geométrica a la serie generada por n n

a x donde x es un real fijo. Es decir que queremos analizar que ocurre con la suma 2

0 1 ... .... n n x x x x       



Observemos que el ejemplo 3.7 corresponde a un caso particular de este problema donde el valor de x es 1

2 por lo que parece razonable seguir la misma estrategia que utilizamos en dicho ejemplo.

Comencemos entonces por observar que la serie es

 

1 S_n   1 x x2 ... xn y que si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por x obtenemos la igualdad

 

2 3 1

2 x S. _n  x x   x ... xn luego restando ambas igualdades llegamos a que

    



1 2  1 1x S. _n  1 xn . Es decir que si 1 1 1 1 n n x x S x      

El caso particular que corresponde a x1 resulta sencillo de ver que como todos los sumandos van a valer 1 y son n1 sumandos resulta que Sn       10 11 12 ... 1n n 1 De esta forma conseguimos tanto para x1 como para x1 expresiones de S donde _n es relativamente fácil hacer el límite.

6 Empecemos con el caso x1 en el cual

1 1 1 n n x S x   

 Para poder hacer el límite

utilizaremos los resultados vistos sobre el limx (ver (n ) ) y nos quedan los siguientes resultados: 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 n n si x x x S si x x si x   _{  }       _   _     

En el caso x1 nos queda que limS_n lim n  1

Es decir que ya resolvimos que ocurre con la serie geométrica para todo valor de x Resumiendo tenemos tres situaciones:

1) Si 0 1 1 1 1 n n x x converge y x x       





2) Si x1 



xn Diverge 3) Si x 1 



xn Oscila Ejemplo 3.8

Queremos clasificar y si corresponde calcular la siguiente serie

1

2 3n





Primero observemos que 2 2.1 2. 1

3 3 3

n

n n

 

 _{  }

  luego ese factor 2 se repite en todos los

sumandos lo que nos permite plantear que

1 1 2 1 2. 3 3 n n   _{ }  _{ }  





Ahora si podemos observar que

1 1 3 n  _{ }    



se trata de una serie geométrica donde 1 3

x por lo que estamos en el caso 1) es decir que Converge. Pero para calcular el valor tenemos otro problema y es que el resultado que nosotros tenemos es

0 1 1 n x x   



que empieza en 0 y la de nuestro ejemplo empieza en 1.

Esto es fácil de solucionar si observamos que 0

0 1 1 1 n n n x x x x       







de donde despejando nos queda que

1 1 1 1 1 n x x x x      



luego sustituyendo por 1

3

x nos queda que

1 1 1 ₃ 1 1 3 ₁ 2 3 n          _



luego 1 1 2 1 1 2. 2. 1 3 3 2 n n   _{ }  _{ }    





7

Lista de ejercicios 5

1) Calcule los siguientes limites: a) lim 3 2n b) 1 1 3 lim 2 n n   c) 2 2 lim 2 4 n n n    d) 2 lim 2n n e)

 

lim n L n

2) Clasifique y si corresponde calcule las siguientes series: i) 0 3 2n 



ii) ₁ 1 3 2n  



iii) ₁ 0 3 2 n n  



iv) 0 2 .6 3 n n 



v) ₂ 0 3 2 n n 



vi) 1 1 1 3 2 4 n n n    



3) Halle x sabiendo que

0

3xn 6







4) Halle x sabiendo que

1 2 2 n x  

