Q1) O diretor de uma escola deseja inscrever quatro alunos num concurso de matemática
que engloba os seguintes assuntos: álgebra, análise, lógica e geometria. Somente um
aluno pode ser inscrito em cada assunto e nenhum aluno pode ser inscrito em mais de um
assunto porque as provas dos concursos ocorrerão simultaneamente. Para isso, ele
seleciona seus quatro melhores alunos, designados por A, B, C e D e lhes aplica os
mesmos exames cobrindo as quatro áreas do concurso. O quadro abaixo indica o número
de pontos obtidos por cada aluno em cada uma das áreas. Como o diretor deve tomar sua
decisão, visando ao melhor rendimento esperado para a escola ?
ÁLGEBRA ANÁLISE LÓGICA GEOMETRIA
A 7 10 6 3
B 8 7 8 1
C 4 9 3 5
D 5 4 6 9
Q2) O administrador de uma empresa de transportes urbano deseja determinar o escalonamento dos motoristas de sua frota de ônibus. Para isso ele organiza um sistema de trabalho dividindo o dia em 8 períodos de 3 horas. A tabela a seguir mostra o número mínimo de ônibus que devem estar rodando em cada horário para atender a demanda de passageiros.
Horário 24 – 3 3 – 6 6 – 9 9 – 12 12 – 15 15 – 18 18 – 21 21 – 24
Motor. 30 20 40 50 60 50 40 40
Cada motorista cumpre um serviço normal de 6 horas, que pode começar apenas no início de um destes períodos. Alguns motoristas podem ser solicitados para estender o serviço por mais 3 horas seguidas. A hora extra custa 50% mais caro. Em cada plantão, não mais que 20% dos motoristas podem estar cumprindo hora extra. Como o administrador deve escalar os motoristas, minimizando o custo.
Q3) Uma fábrica produz tampas de dois tamanhos utilizando uma chapa de dimensões 1,00 m e 0,40 m. Na estamparia existem 3 tipos de matrizes (com as dimensões das chapas) que podem ser utilizadas para o corte das tampas (ver figuras). A fábrica deve produzir pelo menos 400 tampas pequenas e 300 tampas grandes para atender compromissos já contratados. Determinar o esquema de produção que atenda a estes compromissos e que gaste a menor quantidade possível de chapas.
MATRIZ I MATRIZ II MATRIZ III
Q4) Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. Há 5 itens que o excursionista deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de 60 quilos que ele supõe ser capaz de carregar. Para ajudar a si próprio no processo de seleção, ele atribuiu valores, por ordem crescente de importância, a cada um dos itens, segundo a tabela.
Item 1 2 3 4 5
Peso (kg) 52 23 35 15 7
Valor 100 60 70 15 15
Que itens devem ser conduzidos de forma a maximizar o valor total sem exceder as restrições de peso?
Q5) Um estudante, na véspera de seus exames finais, dispõe de 100 horas de estudo para dedicar às disciplinas A, B e C. Cada um destes exames é formado por 100 questões, e ele
(aluno) espera acertar, alternativamente, uma questão em A, duas em B ou três em C, por cada hora de estudo. Suas notas nas provas anteriores foram 6, 7 e 10 respectivamente, e sua aprovação depende de atingir uma média mínima de 5 pontos em cada disciplina. O aluno deseja distribuir seu tempo de forma a ser aprovado com a maior soma total de notas.
Q6) A figura ao lado representa uma rede de comunicação de dados entre computadores. Os números representam a capacidade máxima em Mbytes por segundo que pode ser transmitido de um computador a outro. Admita que a transmissão só é possível no sentido especificado pela seta. Qual o fluxo máximo que pode passar entre A e G através da rede?
Q7) Uma firma estabelece um contrato com um cliente para fornecer 500 unidades do
produto A e 700 unidades do produto B ao final de 2 meses. Os custos de produção
(R$/unid) variam de acordo com o mês, conforme a tabele abaixo:
Meses
Produto 1 2
A 52 23
B 100 60
A entrega ao cliente será realizada de uma única vez no final do segundo mês. Os itens
fabricados no primeiro mês serão estocados até a entrega. Os custos unitários de
armazenamento são respectivamente R$ 0.10 e R$ 0.20 para os produtos A e B. Além
disso, a matéria-prima deixada de um mês para o outro custa R$ 0.01 por Kg para ser
estocada. Considere que a matéria-prima que sobre ao final do segundo mês já está
computada no custo de fabricação e que a mão-de-obra excedente pode ser aproveitada
em outras atividades. O consumo de matéria-prima e mão-de-obra por unidade de
produto fabricado bem como as disponibilidades da firma são mostrados na tabela abaixo:
Produtos Disp/mês
A B 1 2
Mão-de-Obra (h) 0.5 0.8 350 500
Matéria-Prima (Kg) 10 7 6000 4000
Planeje o processo produtivo da empresa para cumprir o contrato a custo total mínimo.
Q8) Um avião de carga tem três compartimentos para armazenamento: dianteiro, central e traseiro.
Estes compartimentos têm um limite de capacidade, tanto em peso como em espaço. Os dados se resumem em seguida.
Capacidade Capacidade Compartimento em Peso de Espaço (toneladas) (pés cub.) Dianteiro 12 7000 Central 18 9000 Traseiro 10 5000
Para manter o avião balanceado, os pesos nos respectivos compartimentos devem ser proporcionais a sua capacidade. Têm-se as seguintes ofertas de envios para um próximo vôo: Peso Volume Lucro
Carga
(toneladas) (pés cub./ton) ($/ton) 1 20 500 320 2 16 700 400 3 25 600 360
4
7
5
2
2
2
4
3
3
1
7
6
C
D
F
G
E
B
A
4 13 400 290
Pode-se aceitar qualquer fração destas cargas. O objetivo é determinar que quantidade de cada carga deve se aceitar e como distribuí-la nos compartimentos para maximizar o lucro do vôo. Formule um modelo de programação linear para este problema.
Q9) Um fazendeiro dispõe de 800 litros de leite por dia para fazer doce de leite e queijo. Cada quilo de queijo requer 9 litros de leite e cada quilo de doce exige 7 litros de leite. Algumas exigências de mercado são impostas:
a) a quantidade máxima de queijo que pode ser feita por dia é 90 quilos;
b) a quantidade de queijo deve ser no máximo igual a 1,5 vezes a quantidade de doce de leite.
A fazenda dispõe de 2 empregados que trabalham, cada um, 7 horas por dia. Cada quilo de queijo requer 30 minutos de mão-de-obra e cada quilo de doce, 6 minutos. Sabendo-se que o quilo de queijo dá uma receita de R$12,00 e cada quilo de doce dá R$8,00, qual a produção diária que maximiza a receita? Monte um modelo de programação linear.
Q10) Um navio tem três compartimentos de carga: proa, centro e popa. As capacidades limites são:
Compartimento Peso (ton) Volume (m3) Proa 2.000 30.000 Centro 3.000 40.000 Popa 1.500 20.000
A empresa de navegação, proprietária do navio pode aceitar toda ou parte das seguintes cargas: Carga Quant (ton) Vol. (m3/ton) Lucro/ton
A 6.000 60 6.000 B 4.000 50 8.000 C 2.000 25 5.000
Para preservar o equilíbrio do navio, o peso em cada compartimento deve ser proporcional a sua capacidade em toneladas. Formule um modelo para determinar como carregar o navio de modo a maximizar o lucro?
Q11) Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente de quatro de seus produtos, designados por I, II, III e IV. Para fabricar essas produtos, ela utiliza dois tipos de máquinas (M1 e M2) e dois tipos de mão-de-obra (MO1 e MO2) que têm as seguintes disponibilidades: Máquinas Disponibilidades (maq-hora/mês) Mãos-de-Obra Disponibilidades (homem-hora/mês) M1 80 MO1 60 M2 20 MO2 40
O setor técnico da empresa fornece os seguintes coeficientes, que especificam o total de horas de máquina e horas de mão-de-obra necessárias para a produção de uma unidade de cada produto.
Máquinas I ProdutosII III IV Mãos-de-obra I ProdutosII III IV
M1 5 4 8 9 MO1 2 4 2 8
M2 2 6 - 8 MO2 7 3 - 7
O setor comercial da empresa fornece as seguintes informações:
Produtos Potencial de vendas
(unid/mês)
Lucro unitário (R$/unid)
I 70 10,00
III 40 9,00
IV 20 7,00
Deseja-se planejar a produção mensal da empresa que maximize o lucro.
Q12) Um comerciante pretende obter uma quantidade não superior a 5 toneladas de certo produto que pode ser encomendada a duas fábricas A e B. A fábrica A garante um lucro de R$400,00 por tonelada, mas não pode fornecer mais de 3 toneladas. A fábrica B garante um lucro de R$350,00 contos por tonelada, e pode fornecer qualquer quantidade. Admitindo que o comerciante pretende obter um lucro máximo, formule o problema de programação matemática.
Q13) Um investidor tem a oportunidade de realizar as atividades A e B ao princípio de cada ano, nos próximos cinco anos (denominados de 1 a 5). Cada real investido em A ao princípio de cada ano retribui R$1.40 (um lucro de R$0.40), 2 anos depois, a tempo de reinvestir imediatamente. Cada real investido em B ao princípio de qualquer ano retribui R$1.70, três anos depois. Além disso, as atividades C e D estarão disponíveis para investimento somente uma vez no futuro. Cada real investido em C, ao princípio do ano 2, resulta em R$1.90 ao final do ano 5. Cada real investido em D no princípio do ano 5 resulta em R$1.30 no final deste ano. O investidor tem R$60.000 para iniciar, e deseja saber qual o plano de investimento maximiza a quantidade de dinheiro acumulada ao princípio do 6o. ano. Formule o modelo de programação linear para este problema.
Q14) Uma companhia produz dois tipos de camisas: manga longa e manga curta. Na companhia, o único ponto crítico é a mão-de-obra disponível. A camisa de manga longa consome 50% a mais de mão-de-obra do que a de manga curta. Sabe-se também que se toda a produção fosse concentrada na disponibilização de camisas de manga curta a companhia poderia entregar 400 camisas de manga curta por dia. O mercado limita a produção diária das camisas em 150 mangas longas e 300 mangas curtas. O lucro bruto por camisa de manga longa é de 5,00 u.m. e por camisa de manga curta, 3,5 u.m. Formular o problema de modo a permitir a determinação das quantidades de camisas a produzir de modo a otimizar o lucro.
Q15) Uma fábrica produz dois tipos de tecido usando 3 cores diferentes de lã. Para cada metro de tecido, são necessárias as seguintes quantidades de lã (em gramas):
Lã Tecido A Tecido B
amarela 400 500
verde 500 200
preta 300 800
A fábrica dispõe apenas de 100 kg de lã amarela, 100 kg de lã verde e 120 kg de lã preta. O gestor desta fábrica pretende determinar como estabelecer a produção, supondo que lucra R$ 500,00/m no tecido A e R$200,00/m no tecido B. Formule um PPL.
Q16) Uma fábrica de aços tem que decidir como utilizar o tempo da semana seguinte num moinho. O moinho utiliza restos de aço, podendo produzir fitas ou bobinas. As fitas podem ser produzidas à razão de 200 toneladas por hora, e as bobinas à razão de 140 toneladas por hora. Os lucros obtidos são de R$ 250 por tonelada com as fitas e de R$ 300 por tonelada com as bobinas. Atendendo à carteira de encomendas, a produção máxima na semana seguinte é de 6000 toneladas para fitas e de 4000 toneladas para bobinas.
Se nessa semana se dispuser de 40 horas de produção, quantas toneladas de cada um dos produtos deverão ser produzidas de forma a maximizar o lucro?
Q17) Considere o problema de dieta de forma a satisfazer certas exigências nutricionais. Os pratos disponíveis são os seguintes, com preços indicados em R$ na tabela 1. Este pratos fornecem as seguintes percentagens (por prato) dos mínimos diários necessários em vitaminas A, C, B1, e B2, conforme tabela 2:
Tabela 1: Preços do Pratos Tabela 2: Percentual de Nutrientes
Prato Preço 1 Bife 3,19 2 Frango 2,59 3 Peixe 2,29 4 Hamburger 2,89 5 Macarrão 1,89 6 Empada 1,99 7 Espaguete 1,99 8 Peru 2,49
O problema é encontrar a combinação de pratos que satisfaça as exigências alimentares de uma semana (700% do mínimo diário) com o custo mínimo.
Q18) Há três fábricas localizadas junto ao rio Ceará (1, 2 e 3), cada uma das quais emitindo dois tipos de poluentes (1 e 2) para o rio. Se houver um processamento dos resíduos emitidos, a poluição no rio poderá ser reduzida. O processamento dos resíduos da fábrica 1 custa R$150,00 por tonelada, e cada tonelada processada reduz a quantidade de poluente 1 em 0.1 toneladas, e a quantidade de poluente 2 em 0.45 toneladas. Quanto ao processamento dos resíduos da fábrica 2, o seu custo é de R$100,00 por tonelada, e cada tonelada processada reduz a quantidade de poluente 1 em 0.2 toneladas, e a quantidade de poluente 2 em 0.25 toneladas. Para a fábrica 3, o processamento dos resíduos custa R$200,00 por tonelada, e a cada tonelada processada corresponde uma redução da quantidade de poluente 1 de 0.4 toneladas, e da quantidade de poluente 2 de 0.3 toneladas. O estado pretende reduzir a quantidade de poluente 1 no rio em pelo menos 30 toneladas, e a quantidade de poluente 2 em pelo menos 40 toneladas.
Formule um problema de programação linear que permite minimizar o custo de reduzir a poluição nos montantes desejados. Indique se as hipóteses da programação linear se verificam neste caso. Q19) Um agricultor deve determinar quantos ha de milho e quantos ha de trigo deverá semear. Um ha de trigo rende 2,5 t / ano e requer 10 horas de trabalho por semana. Um ha de milho rende 1,0 t / ano e requer 4 horas de trabalho por semana. Toda a produção poderá ser vendida, o trigo a R$ 40 por t, e o milho a R$ 30 por t. Estão disponíveis 70 ha de terra e 40 horas de trabalho por semana. Por imposição governamental, dever-se-á produzir pelo menos 30 t de milho durante o ano corrente. A C B1 B2 Bife 60 20 10 15 Frango 8 0 20 20 Peixe 8 10 15 10 Hamburger 40 40 35 10 Macarrão 15 35 15 15 Empada 70 30 15 15 Espaguete 25 50 25 15 Peru 60 20 15 10
Utilizando como variáveis de decisão o número de ha de milho (X1) e de trigo (X2) semeados, formule o problema de programação linear cuja solução dará a receita máxima a este agricultor.
Utilizando como variáveis de decisão o número de t de milho (X1) e de trigo (X2)
produzidos, reformular o problema.
Q20) O prefeito de determinado município foi notificado pela Secretaria Estadual de Meio Ambiente de que o rio que cruza a cidade apresenta os seguintes índices de poluição fora dos limites toleráveis:
Índice Valor Observado (g/m3) Limite Tolerado (g/m3)
A 26 20
B 72 13
C 54 10
D 8 25
O prefeito determinou a abertura de concorrência para a construção de tratamento com capacidade para 100 m3/h. A firma Krause Ltda resolveu participar da concorrência. Seu responsável técnico concluiu que poderia utilizar até cinco processos em combinação, cujas
quantidades de água tratada são dadas por Xj m3/h conforme figura abaixo.
Observação: X6 é a quantidade de água que não recebe tratamento nenhum. A quantidade de
água obtida nos diversos processos é a seguintes (em g/m3):
Índice Processos 1 2 3 4 5 A 10 8 19 21 20 B 16 6 14 13 45 C 12 15 7 9 16 D 29 20 26 24 30 Custo do tratamento (R$/m3) 5,5 6,1 7,9 7,01 4,82 Formule um PPL para especificar os processos a serem utilizados na estação de tratamento de modo a que água fique dentro dos padrões a custo mínimo.
Q21) Suponha que existem n fontes de rejeitos e m locais para disposição destes rejeitos. A
quantidade de rejeito gerada pela fonte i é ai e a capacidade do local j é bj. Antes de serem
dispostos, os rejeitos devem passar por estações de tratamento. Existem K estações em potencial, cada uma com uma capacidade qk e custo operacional pk por tonelada de rejeitos
100 m3/h de água poluída X1 m3/h X2 m3/h X3 m3/h X4 m3/h X5 m3/h X6 m3/h 100 m3/h de água tratada
tratada. Sejam respectivamente cik , dkj os custos unitários de transporte da fonte i para a estação k e da estação k para o local j. Formule o PPL para seleção das estações de tratamento e distribuição dos rejeitos, de forma a minimizar o custo total.
