Movimento Circular 2019 a

ELEMENTOS DE

MÁQUINAS

Sistemas de Transmissão

Funcionamento de sistemas de

transmissão em elementos orgânicos

de máquinas

Pedro Colen Neto

Sumário

Relação entre velocidade tangencial e velocidade angular ... 3

Ângulos [3] _{... 3} Frequência (f) e rotação (n) ... 4 Resumindo ... 4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ... 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ... 6 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ... 6

MOVIMENTO CIRCULAR

Antes de iniciar o estudo sobre os sistemas de transmissão, há que se estudar os movimentos curvilíneos. Este estudo fica localizado dentro da Mecânica, área de estudo da Física.

O movimento circular é observado no cotidiano, mas, segundo Isaac Newton a inércia é uma propriedade da matéria.

A inércia – vis inertiae – ou força de inatividade para Newton é “um poder de resistir, através do qual todo o corpo, no que depende dele, mantém seu estado presente, seja ele de repouso ou de movimento uniforme em linha reta.” [1]

A inércia é, portanto, uma propriedade inerente ao corpo, este conceito será fundamental na determinação da força centrípeta, pois esta será um fator inegavelmente necessário nos movimentos circulares.

Para corpos em repouso, a inércia será chamada de resistência; para corpos em movimento, impulso.

Em seu Principia Newton conclui que o movimento circular só é possível se houver “algo que corrija” sua trajetória retilínea.

Se pensarmos em um sistema pedra-corda em que a pedra é amarrada em uma corda e colocado em movimento circular fica claro que a corda exerce uma força para manter ou corrigir sua trajetória retilínea.

Em um sistema carro-estrada, fica claro que o atrito é responsável pela correção do movimento em linha reta. Em ambos os casos não há muito problema em determinar a tendência do corpo de sair pela tangente, ou seja, se a corda arrebentasse ou se a estrada não tivesse o devido atrito que a pedra ou o carro sairiam pela tangente de sua trajetória circular, mas, e os corpo celestes? Quem ou o que os corrige? Newton afirmará que há uma força que aponta para o centro e que ele lhe chama de Centrípeta.

“Uma força centrípeta é aquela pela qual os corpos são dirigidos ou impelidos, ou tendem, de qualquer maneira, para um ponto ou centro”. [1]

Para nosso estudo, não precisamos adentrar na força centrípeta e suas consequências. Precisamos apenas do conceito de inércia para entender o porquê temos uma velocidade tangencial (ligada à inércia) e uma velocidade angular, decorrente do movimento circular.

Introdução

Seja o exemplo clássico da pedra que gira presa na ponta de um corda de raio R.

[2]

Será chamada de velocidade tangencial, periférica ou linear o vetor v⃗ , O tempo gasto para efetuar uma volta será chamado de período, T. Considerando que o movimento é uniforme, ou seja, com velocidade constante, o parâmetro tempo é contínuo.

Do ponto de vista técnico, é mais simples utilizar uma variação do período que pode ser a Frequência ou a Rotação. Conta-se o número de voltas ou rotações no intervalo de tempo. A Frequência será ciclos por segundo (Hertz – Hz), já a Rotação, ciclos por minuto ou RPM (rotações por minuto).

Grandezas e Parâmetros [2]

Velocidade Tangencial (V)

Considerando o movimento uniforme a velocidade será dada por: 𝑉 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 T: período. Velocidade angular [2]

É a relação entre o ângulo descrito e o intervalo de tempo gasto: 𝜔 =∆𝜃

∆𝑡 = 2 ∙ 𝜋

𝑇

Relação entre velocidade tangencial e velocidade angular

𝑉 =2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅

𝑇 = (

2 ∙ 𝜋

𝑇 ) ∙ 𝑅 ∴ 𝑉 = 𝜔 ∙ 𝑅

Ângulos [3]

Entre as unidades de medida de ângulos (graus, gradianos); radianos será utilizado pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). A escolha da unidade se dá por sua naturalidade, sendo adimensional.

A definição de radianos é a razão entre dois comprimentos, o arco e o raio

𝜃 = 𝑠

𝑟 ∴ 𝑠 = 𝜃 ∙ 𝑟 1 𝑟𝑎𝑑 =𝑟

𝑟 Comparação entre graus e radianos

Graus (º)

Radianos

(rad) Lembrar que  é

uma constante. É a razão entre o comprimento de circunferência e seu respectivo diâmetro. O valor de  é 3,141592..., ou seja 𝜋 2= 1,570796 … . Por exemplo, o ângulo de 90º = 1,5707 rad 0 0 15 𝜋⁄₁₂ 30 𝜋⁄ ₆ 45 𝜋⁄ ₄ 57,2958 1 60 𝜋⁄ ₃

Frequência (f) e rotação (n)

São unidades inversamente proporcional ao período. 𝑓 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 ( 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑠 ) (𝐻𝑧) 𝑛 = 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠( 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠) (𝑅𝑃𝑀) Resumindo

Símbolo Grandeza Unidade

V Velocidade tangencial m/s  Velocidade angular rad/s

t Tempo s

T Período s

 Variação do ângulo rad

f Frequência Hz n rotação RPM Desenvolvimento de equações 𝑉 =𝐷 𝑡 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 = 𝜋 ∙ 𝑑 𝑇 = 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 1 𝑇 = 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 V: velocidade (m/s) D: distância (mm) R: raio (mm) t: tempo (s) T: período (s) d: diâmetro (mm) n: rotação (RPM) 𝜔 =∆𝜃 ∆𝑡 = 2 ∙ 𝜋 𝑇 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛 60

: velocidade angular (rad/s) : variação do ângulo (rad) t: variação do tempo (s) Equações finais 𝑉 =𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 60 000 V: velocidade tangencial (m/s) d: diâmetro (mm) n: rotação (RPM) 𝜔 =𝜋 ∙ 𝑛

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Observe o relógio abaixo. O ponteiro das horas tem 20 mm, o dos minutos, 35 mm e dos segundos, 40 mm. Determine as velocidades angulares e tangenciais nas extremidades de cada ponteiro.

Ponteiro das horas Ponteiro dos minutos Ponteiro dos segundos

R = 20 mm = 0,020 m T = 12 horas = 43200 s R = 35 mm = 0,035 m T = 1 hora = 3600 s R = 40 mm = 0,040 m T = 1 min = 60 s 𝜔ℎ = 2 ∙ 𝜋 𝑇 𝜔ℎ = 2 ∙ 𝜋 (𝑟𝑎𝑑) 12 (ℎ) 𝜔ℎ = 𝜋 6𝑟𝑎𝑑/ℎ 𝜔𝑚= 2 ∙ 𝜋 𝑇 𝜔𝑚= 2 ∙ 𝜋 (𝑟𝑎𝑑) 1 (ℎ) 𝜔𝑚= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/ℎ 𝜔𝑠 = 2 ∙ 𝜋 𝑇 𝜔𝑠 = 2 ∙ 𝜋 (𝑟𝑎𝑑) 1 (𝑚𝑖𝑛) 𝜔𝑠 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑖𝑛 𝜔ℎ = 2 ∙ 𝜋 𝑇 = 2 ∙ 𝜋 (𝑟𝑎𝑑) 43200 (𝑠) 𝜔ℎ = 1,4544 × 10−4𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔𝑚= 2 ∙ 𝜋 𝑇 = 2 ∙ 𝜋 (𝑟𝑎𝑑) 3600 (𝑠) 𝜔𝑚= 0,0017 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔𝑠 = 2 ∙ 𝜋 𝑇 = 2 ∙ 𝜋 (𝑟𝑎𝑑) 60 (𝑠) 𝜔𝑠 = 0,1047 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑉ℎ= 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 𝑉ℎ= 2 ∙ 𝜋 ∙ 20 × 10−3_𝑚 43200 𝑠 𝑉ℎ= 2,909 × 10−6 𝑚/𝑠 𝑉𝑚= 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 𝑉𝑚= 2 ∙ 𝜋 ∙ 35 × 10−3_𝑚 3600 𝑠 𝑉𝑚= 6,1087 × 10−5 𝑚/𝑠 𝑉𝑠= 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 𝑉𝑠= 2 ∙ 𝜋 ∙ 40 × 10−3_𝑚 60 𝑠 𝑉𝑠= 0,0042 𝑚/𝑠

2. Devido ao movimento de rotação da Terra, uma pessoa sentada sobre a linha do Equador tem qual velocidade escalar, em relação ao centro da Terra? Considere o raio equatorial da Terra = 6 300 km. 𝑉 =2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 𝑇 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 6300(𝑘𝑚) 24(ℎ) 𝑉 = 1 649,3358 𝑘𝑚/ℎ

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Um automóvel se desloca em uma estrada horizontal com velocidade constante de modo tal que os seus pneus rolam sem qualquer deslizamento na pista. Cada pneu tem diâmetro d = 500 mm, e um medidor colocado em um deles registra uma rotação de 840 RPM. Qual o valor da velocidade do automóvel?

2. Uma serra circular possui 30 cm de diâmetro e opera com frequência máxima de 1200 RPM. Determine a velocidade linear de um ponto na extremidade da serra.

3. Uma roda d’água efetua 8 voltas em 25 segundos. Sabendo que o raio da roda d’água é de 0,5 m, determine a velocidade linear da roda em m/s.

4. (UFPR) Um ponto em movimento circular uniforme descreve 15 voltas por segundo em uma circunferência de 8,0 cm de raio. A sua velocidade angular, o seu período e a sua velocidade linear são, respectivamente:

5. (Unicamp) Anemômetros são instrumentos usados para medir a velocidade do vento. A sua construção mais conhecida é a proposta por Robinson em 1846, que consiste em um rotor

com quatro conchas hemisféricas presas por hastes, conforme figura ao lado. Em um anemômetro de Robinson ideal, a velocidade do vento é dada pela velocidade linear das conchas. Um anemômetro em que a distância entre as conchas e o centro de rotação é r = 25 cm, em um dia cuja velocidade do vento é v = 18 km/h, teria uma rotação, em RPM, de?

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

[1] _{NEWTON, ISAAC. Principia: Princípios Matemáticos de Filosofia Natural – Livro I. São Paulo, Editora}

da Universidade de São Paulo, 2002.

[2] _{MÁXIMO, Antônio & ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física – volume 1. São Paulo: Scipione, 2000.} [3] _{YOUNG, HUGH D. & FREEDMAN, ROGER A. Física I: Mecânica. 10ª edição. São Paulo, Addison}