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I

NTRODUC

¸ ˜

AO AO

C ´

ALCULO

S

AMUEL

F

EITOSA

1 Pascal, Arquimedes, o C´alculo de ´

Areas e o conceito de Limite de sequˆencias

1.1 Um preˆambulo alg´ebrico

Fatorac¸˜oes famosas: 1. (x + y)2_{= x}2_{+ 2xy + y}2 2. (x− y)2_{= x}2 − 2xy + y2 3. (x + y)3_{= x}3_{+ 3x}2_y_{+ 3xy}2_{+ y}3 4. (x− y)3 = x3 − 3x2 y+ 3xy2 − y3 5. x2 − y2 = (x − y)(x + y) 6. x2_{+ y}2_{+ z}2_{+ 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)}2 7. xn_{− y}n_{= (x − y)(x}n−1_{+ x}n−2_y_{+ . . . + y}n−2_x_{+ y}n−1₎ 8. x2m+1_{+ y}2m+1_{= (x + y)(x}2m_{− x}2m−1_y_{+ . . . − y}2m−1_x_{+ y}2m₎ 9. x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)3

Problema 1. A soma de dois n úmeros é 4 e seu produto é 1. Encontre a soma dos cubos desses n úmeros.

Problema 2. Seja x um n ´umero real tal que x +1

x= 2, calcule x

2

+ 1 x2.

Problema 3. Qual a forma mais simplificada da express˜ao (−a − b)2

+ (−a + b)2

+ 2(a − b)(b − a)?

Problema 4. Se x = 5 + 3√2, encontre y tal que xy = 1 e determine x + 7y.

Problema 5. Simplifique a express˜ao (√5 +√6 +√7)(√5 +√6 −√7)(√5 −√6 +√7)(−√5 +√6 +√7)

Problema 6. Qual ´e o menor inteior positivo n tal que√n−√n− 1 < 0, 01

1.2 Somas Telesc ´opicas

Você já deve ter ouvido falar do incr´ıvel Gauss. Quando ele tinha apenas 10 anos já sabia calcular a soma dos termos de uma P.A( Progressão Aritmética).

Problema 7. (Lend´ario problema do Gauss) Calcule a soma

1 + 2 + 3 . . . + 100 Soluç ão 1 + 2 + 3 + . . . 98 + 99 + 100 = S 100 + 99 + 98 + . . . + 3 + 2 + 1 = S ⇒ 101 + 101 + 101 + . . . + 101 + 101 | {z } 100vezes = 2S 101 × 100 = 2S ⇒ S = 50 × 101 Você pode provar em geral que

1 + 2 + . . . n = n(n + 1) 2 .

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Uma progressão aritmética, popularmente conhecida como P.A., é uma sequência em que a diferença entre os termos con-secutivos é constante , isto é, uma sequência da forma

a, a+ d, a + 2d, . . . .

A diferença d é chamada de razão. Vamos imitar o métodos de Gauss para calcular a soma dos termos de uma P.A. de temro inicial a e termo final l: S = a + (a + d) + . . . + (l− d) + l

S= l + (l − d) + . . . + (a + d) + a Somando tudo obtemos:

S = n a + l 2

Costumamos usar as letras gregas Σ(Sigma) e Π(Pi) para designar somas e produtos respectivamente. N ós abreviamos a soma x1+ x2+ . . . + xnporPn_i=1xi. Analogamente,Qn_i=1indica o produto x1x2x3. . . xn. A variável i é chamada de ´ındice

e pode ser denotada por qualquer s´ımbolo. Podemos usar o s´ımbolo∞ no lugar de n quando n˜ao existir limite superior. Al´em dessa forma, existem muitas outras maneiras de se abreviar certas somas como por exemplo:

a) X d|10 = 12 + 22 + 52 + 102

. A expres˜ao d|10 ´e usada para significar que d percorre todos os divisores de 10.

b) Y p primo p2 p2_{− 1} = 4 3 · 9 8 · 25 24· 49 48. . .= π2

6 (Um produto infinito!) c) X 3≤i<j≤5 f(i, j) = f (3, 4) + f (3, 5) + f (4, 5) d) (Xxi)2= X x2i + 2( X xixj)

Problema 8. Os habitantes de Jusylândia falam o Juylandidês que usa apenas três letras: P,A,N. Sabendo que cada palavra tem no máximo 100 letras ( os habitantes de Jusylândia não têm f ôlego para palavras maiores), determine o maior n úmero poss´ıvel de palavras que existem no Juylandidês.

Soluç ãoA quantidade de palavras com k letras é claramente 3k_{. Assim procuramos saber quanto vale:}

30+ 31+ 32+ . . . + 3100.

M´etodo 1:Seja S = 30_{+ 3}1_{+ 3}2_{+ . . . + 3}k_{. Ent˜ao S = 1 + 3(S}_{− 3}k_{) ⇒ 3}k+1_{− 1 = S(3 − 1) ⇒ S =} 3k+1− 1

3 − 1

Método 2:Vamos usar uma fatoração da primeira seção:

(3 − 1)(30 + 31 + 32 + . . . + 3k) = 3k+1− 1k+1⇒ S =3 k+1_{− 1} 3 − 1 Podemos provar usando as mesmas id´eias que se q6= 1 ent˜ao:

q0+ q1

+ . . . + qk= q

k+1_{− 1}

q− 1

Uma progressão geométrica, popularmente conhecida como P.G., é uma sequência em que a razão entre os termos consecu-tivos é constante, isto é, uma sequência da forma

a, ar, ar2, ar3, . . .

O valor constante r é chamado de razão da P.G. Vamos imitar o exemplo anterior para calcular a soma ds n primeiros ele-mentos de uma P.G. com temro inicial a e razão r.

S= a + ar + ar2_{+ . . . + ar}n−1

rS= ar + ar2_{+ ar}3_{+ . . . + ar}n

Subtraindo uma da outra obtemos:

S_{− rS = a − ar + ar − ar}2_{+ ar}2 − ar3_{+ . . . + ar}n−1_{− ar}n S_{− rS = a − ar}n S= a− ar n 1 − r

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Problema 9. (Soma telesc ópica) O pagamento de um certo pintor aumenta de acordo com o dias em que ele trabalha. No primeiro dia ele recebeu 1 real. no segundo dia ele recebeu o que tinha ganho no primeiro dia mais 2 reais. No terceiro dia ele recebeu o que tinha recebido no segundo dia mais 3 reais. Desse modo, quanto o marceneiro irá receber no centésimo dia?

Soluç ãoSeja Lno valor pago no n-ésimo dia. O problema no diz que Ln+1= Ln+ (n + 1). Vamos escrever várias equações

seguidas: Ln+1 = Ln+ (n + 1) Ln = Ln−1+ n Ln−1 = Ln−2+ (n − 1) . . . L2 = L1+ 2

Somando tudo obtemos um cancelamento de vários termos, sobrando: Ln+1= (n + 1) + n + (n − 1) + . . . + 2 + 1 = (n + 1)(n + 2) 2 Problema 10. Escreva 1 1 · 2+ 1 2 · 3+ 1 3 · 4. . . 1 99 · 100 como uma fração irredut´ıvel.

Soluc¸ ˜aoNote que cada termo pode ser escrito como 1 k(k + 1)=

1 k−

1

k+ 1 A soma inteira ´e

Problema 11. (Produto Telesc ´opico) No ano 1, Papai Noel viajou sozinho para entregar seus presentes na noite de Natal. No ano seguinte ele percebeu que precisava de um ajundante e contratou um Matesito (tipo habitante do polo norte). A cada ano ele sempre precisava dobrar a quantidade de Matesitose ainda contratava mais um Matesito para guiar as renas. Quantos Matesitos Papai Noel vai precisar contratar no ano de 2006?

Soluç ãoSeja Lno n úmero de Matesitos em cada ano. O problema no diz que Ln+1= 2Ln+ 1. Somando 1 aos dois lados

obtemos Ln+1+ 1 = 2(Ln+ 1). Vamos escrever várias equações seguidas:

Ln+1+ 1 = 2(Ln+ 1)

Ln+ 1 = 2(Ln−1+ 1)

Ln−1+ 1 = 2(Ln−2+ 1)

. . .

L2+ 1 = 2(L1+ 1)

Multiplicando tudo obtemos um cancelamento de v´arios termos, sobrando: Ln+1+ 1 = 2 × ×2 . . . × 2

| {z }

n+1vezes

= 2n+1⇒ Ln+1= 2n=1− 1

Problema 12. Calcule a soma

1 − 2 + 3 − 4 + . . . − 98 + 99 − 100

Problema 13. Se n ´e um inteiro maior que 2, calcule o valor de 1 (1 −1 2) · 1 (1 − 1 3) · . . . 1 (1 − 1 n) .

Problema 14. Prove que

1 √ 1 +√2 + 1 √ 2 +√3 + . . . + 1 √ 99 +√100 ´e um n ´umero inteiro.

Problema 15. Calcule a soma 1 1 · 2+

1

2 · 3+ . . . + 1 n· (n + 1)

Problema 16. Encontre a soma 1 1 · 4+

1

4 · 7+ . . . + 1 2998 · 3001

Problema 17. Calcule a soma

n

X

k=1

1

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Problema 18. Prove que N Y n=2 1 − 1 n2 = N+ 1 2N .

Problema 19. A sequˆencia ´e definida por a1= 2 e an= 3an−1+ 1. Encontre a soma de a1+ a2+ . . . + an

Problema 20. Calcule a soma 1 + 22 + 333 + . . . + n(11 . . . 1). Calcule as somas: a) 1 2!+ 2 3!+ 3 4!+ . . . + n_{− 1} n! b) 1× 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + . . . n × n! c) 2 1 × 2 × 3+ 4 2 × 3 × 4+ 6 3 × 4 × 5+ . . . + 2n n_{× n + 1 × n + 2}

Problema 21. Seja Fna sequˆencia de fibonacci. Mostre que:

a) F1+ F2+ . . . + Fn= Fn+2− 1 b) F1+ F3+ . . . + F2n−1= F2n c) F2 1 + F 2 2 + . . . + F 2 n = FnFn+1

Problema 22. Resolva as seguintes recorrências usando os métodos dos dois últimos exemplos a) x0= 0, xn= 2xn−1+ 1 para n > 0

b) x0= 0, nxn= (n + 2)xn−1+ 1 para n > 0

c) x0= 1, x1= 1, x2= 2, xn+3= xn+ 3 para n ≥ 0

Problema 23. Seja a1, a2, . . . , anuma progressão aritmética infinita de razão d. Calcule n

X

k=1

1 akak+1

Problema 24. Calcule a soma r 1 + 1 12 + 1 22 + r 1 + 1 22 + 1 32 + . . . + r 1 + 1 19992 + 1 20002

Problema 25. Prove a desigualdade: √ 1 1 +√3 + 1 √ 5 +√7 + . . . + 1 √ 9997 +√9999 >24

1.3 Estimando a ´area abaixo do gr´afico de x

k

Proposic¸ ˜ao 1. Para todo o natural n, vale que: 1. 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ . . . + n}2₌ n(n + 1)(2n + 1)

6 2. 13_{+ 2}3_{+ 3}3_{+ . . . + n}3₌ n(n + 1)

2 2

Proposic¸ ˜ao 2. Para todos os naturais n e k, vale que:

1k+ 2k+ . . . + (n − 1)k< n

k+1

k+ 1 <1

k_{+ 2}k_{+ . . . n}k_.

2 Limites de sequˆencias

Proposic¸ ˜ao 3. Se 0 <|a| < 1, limn→∞an = 0.

Proposic¸ ˜ao 4. Se a > 1, limn→∞an= +∞

Proposic¸ ˜ao 5. Calcule lim

n→∞

2n − 3 n+ 1 .

Problema 26. Calcule lim

n→∞

2n + 3 n+ 1 .

n→∞

1 + 5n

2 + 3n.

n→∞

n2_{+ 2}

2n3_{+ n − 1}.

Problema 29. Sabe-se que a sequˆencia√2,p2 +√2, q

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3 O Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita

Problema 30. Prove por induc¸˜ao que:

1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 .

Soluc¸ ˜aoPrimeiro devemos provar para o caso inicial n = 1: 1 = 1(1 + 1)

2 .

Vamos fazer nossa hit ótese de indução: Suponha que nossa afirmação seja verdadeira para n = k, ou seja, 1 + 2 + . . . + k = k(k + 1)

2 Provemos que ela também é válida para n = k + 1:

1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = k(k + 1)

2 + (k + 1) =

(k + 1)(k + 2) 2

Para obtermos a última igualdade usamos nossa hip ótese de indução. Assim como a propriedade é válida para k + 1, segue por indução que a propriedade é válida para todo natural n.

Problema 31. Prove que

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

.

Soluc¸ ˜aoPrimeiro devemos provar para o caso inicial n = 1: 1 = 12

Vamos fazer nossa hit ótese de indução: Suponha que nossa afirmação seja verdadeira para n = k, ou seja, 1 + 3 + . . . + (2k − 1) = k2

Provemos que ela também é válida para n = k + 1: Pela hip ótese de indução temos:

1 + 3 + . . . + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2

+ (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2

Assim como a propriedade é válida para k + 1, segue por indução que a propriedade é válida para todo natural n.

Problema 32. Mostre que

n X i=1 i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6

Problema 33. Mostre que o n ´umero de subconjuntos de{1, 2, . . . , n} ´e 2n_.

Problema 34. Prove que o n ´umero de diagonais de um pol´ıgono de n lados ´e n(n − 3)

2 .

1 1 · 2+ 1 2 · 3+ . . . + 1 (n − 1) · n = n− 1 n

1 · 2 + 2 · 3 + . . . + (n − 1) · n =(n − 1)n(n + 1)₃

Problema 37. Mostre que, para qualquer natural n, 2n_{> n}

Problema 38. Encontre todos os naturais n tais que: (a) 2n_>_{2n + 1.}

(b) 2n_{> n}2

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Problema 39. Prove que removendo a casa do canto de um tabuleiro 2n× 2n_{podemos cobrir o resto do tabuleiro com}

pec¸as do formato abaixo

Problema 40. Prove que, para cada natural n, 20

+ 21

+ . . . + 2n = 2n+1− 1.

Problema 41. Prove que a soma dos n primeiros cubos perfeitos ´e n(n + 1) 2

2

.

3.1 Induc¸ ˜ao Forte e Exerc´ıcios de Aprofundamento

Problema 42. (Leningrado 1990) Forme todos os subconjuntos de {1, 2, . . . , n} que não contém n úmeros consecutivos. Calcule o produto dos n úmeros em cada subconjunto. Prove que a soma dos quadrados destes produtos é igual a (n+1)!−1.

Problema 43. Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como soma de potˆencias de 2 com expoentes distintos.

Problema 44. Se x + 1

x ´e inteiro, mostre que x

n₊ 1

xn ´e tamb´em inteiro para todo natural n.

Problema 45. A sequência a1, a2, . . . , an, . . .de n úmeros é tal que a1 = 3, a2 = 5, e an+1= 3an− 2an−1para n > 2. Prove

que an= 2n+ 1 para todos os naturais n.

Problema 46. A sequˆencia de Fibonacci ´e definida por: F1= F2= 1 e Fn+1= Fn+ Fn−1se n≥ 2. Prove que:

a) Qualquer n úmero natural pode ser representado como soma de n úmeros de Fibonacci com ´ındices não consecutivos e maiores que 1.

b) 3|Fn⇔ 4|n.

c) Fm+n= Fm−1Fn+ FmFn+1

d) Dado um inteiro positivo m existe um natural n tal que m|Fn

e) Se α = 1 + √ 5 2 ent˜ao α n_{= F} nα+ Fn−1 f) Mostre que Fn = n2⇔ n = 1 ou n = 12. g) Fn <2n

Problema 47. Em quantas partes n retas podem dividir o plano se n˜ao existem duas retas paralelas nem trˆes concorrentes.

Problema 48. Considere todos os subconjuntos não vazios do conjunto{1, 2, ..., n}, dos n primeiros n úmeros naturais. Para cada um desses subconjuntos calculamos o produto de seus elementos. Encontre a soma de todos os produtos obtidos. (Obs: Se um subconjunto tem um único elemento, esse elemento é o produto).

Problema 49. Teorema: Para todo n, num conjunto de n bolas todas elas possuem a mesma cor. Corolário: Todas as bolas do mundo têm a mesma cor Demonstração do Teorema: A demonstração do teorema será feita usando o Princ´ıpio da Indução Finita. O resultado é válido para n = 1 pois, num conjunto com uma bola, todas elas têm a mesma cor! Suponha que o teorema é válido para todo conjunto com i bolas. Considere um conjunto com i + 1 bolas. Retirando uma delas, o conjunto restante possui i bolas e pela hip ótese indutiva todas possuem a mesma cor, digamos amarela. Retire uma das bolas amarela desse conjunto e retorne a bola de cor desconhecida, anteriormente retirada. Obtemos novamente um conjunto com i bolas e pelo o que foi discutido anteriormente possui i− 1 bolas amarelas e pela hipótese indutiva possui todas as bolas de mesma cor. Segue que a bola de cor desconhecida também é amarela. Assim todas as i + 1 bolas são amarelas. Como você sabe existem bolas de várias cores. Descubra o que está errado na demonstração do teorema.

Problema 50. Encontre o n úmero de subconjuntos não-vazios de Sn = {1, 2, . . . , n} tais que não existem dois n úmeros

consecutivos em um memsmo conjunto.

Problema 51. Geislan desenhou algumas diagonais de um pol´ıgono de modo que que o pol´ıgono ficou dividido em triângulos. Mostre que Davi pode pintar os vértices do pol´ıgono de três cores de modo que não existam dois vértices de um triângulo da mesma cor.

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Problema 52. O n ´umero 3 pode ser expresso como uma soma ordenada de uma ou mais inteiros positivos de 4 maneiras dife-rentes:

3, 1 + 2, 2 + 1, 1 + 1 + 1. Mostre que todo inteiro n pode ser expresso de 2n−1maneiras

Problema 53. No Ceará existem n cidades e 2n− 1 estradas de mão única. Cada estrada une duas cidades sendo poss´ıvel ir de uma cidade para qualquer outra através dessas estradas. Demonstre que uma estrada pode ser destruida de modo que ainda seja poss´ıvel ir de uma cidade para qualquer outra.

Problema 54. Suponha que n quadrados de um tabuleiro infinito são coloridos de cinza, e que o os quadrados restantes são coloridos de branco. Em cada passo, um novo tabuleiro de quadrados é obtido baseado no anterior, como segue: Para cada posição no tabuleiro, examine o quadrado da posição, o quadrado imediatamente acima e o quadrado imediatamente à direita. Se existem dois ou três quadrados com a cor cinza entre eles, então no novo tabuleiro essa posição terá a cor cinza, caso contrário ela terá a cor branca. Mostre que ap ós no máximo n passos todos os quadrados terão a cor branca. Apresentamos um exemplo com n = 4:

−→

O primeiro tabuleiro mostra a configuração inicial e o segundo mostra a configuração ap ós um passo.

4 O Teorema Fundamental do C´alculo

Problema 55. Calcule Z (1 − cos 4x)dx. Problema 56. Calcule Z 5e7xdx.

Problema 57. Calcule a ´area do conjunto A em cada um dos seguintes casos: 1. A ´e o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0≤ y ≤ 4 − x2

. 2. A ´e o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2

+ 1 ≤ y ≤ x + 1. Problema 58. Calcule Z 1 0 1 (x + 1)5dx. Problema 59. Calcule Z π −π sin x x4_{+ x}2_{+ 1}dx. Problema 60. Calcule Z π/2 π/3 sin x(1 − cos 2 x)dx. Problema 61. Calcule Z π/2 0 cos2 xdx. https://sites.google.com/site/matufba/ Grupo no Facebook: C´alculo A - UFBA