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INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
INTRODUÇÃO
Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes.
Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana.
Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes.
1. Números
Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais.
2. Álgebra Elementar.
Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais.
3. Geometria Analítica.
Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação
x
y
=
1
. Translação de gráficos.4. Funções e gráficos.
Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência.
5. Trigonometria
Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria.
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ESTRATÉGIAS DE ESTUDO
Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I.
(a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer.
(b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos resolvidos no livro.
(c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas.
(d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor.
(e) Resolva todos os exercícios listados a seguir.
A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I.
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LISTA 1
1. Calcule a área do retângulo de dimensões 70 3 e 48 7 . 2. Considere o pentágono ABCDE de lados
20 21 ; 12 ; 6 7 = = = BC CD AB ; 5 27 = = e EA DE .
a) Calcule o perímetro desse pentágono. b) Qual é o menor lado?
3. Dê contra-exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. a) b d c d b c d + =
+ , para quaisquer números reais a, b, c, com c≠0,b≠0 e . b) 0 ≠ + b c b a b
a+ = + , para quaisquer números reais não-negativos a, b. c) a2 =a, para qualquer número real a.
d) x ay x y a x + = + 2 , para qualquer x≠0.
4. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada.
5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, também, represente na reta numérica todos esses valores de x:
a) | x − 3 | = 2 b) | x − 3 | < 2 c) | x − 3 | > 2 6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir:
a) (2x − 3)(4x2 − 9)(x2 + 9) = 0;
b) x3 − 5x2 +6x = 0;
c) (x2 − 4x + 3)2 = 1.
d) x(x − 7)2 = 50x.
7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que
1 1 2 2 3 + + + = + + x C Bx x A x x x , para todo x real.
8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que
1 ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 + + + = + − − x C Bx x A x x x x , para todo x real.
9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 10. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas:
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)?
b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4? c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o exercício 9.
Respostas: 2) b) CD 6) a) 2 3
± b) 0, 2, 3 c) 2, 2± 2 d) 0, 7±5 2 7) A =1, B = -1, C = 2 8) Não tem solução.
4
11. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x − 3 cujas distâncias ao ponto Q = (4, 5) sejam iguais a
2 5 7
.
12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação . Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa?
0 3 6 4 2 2+y − x+ y− = x
13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante.
25
2 2+ y =
x
14. Analise a resolução da equação e diga o que está errado.
Sol. . Cancelando o x obtemos . Daí , o que
nos fornece as raízes
x x x x( 2−3 )=−2 x x x x( 2−3 )=−2 (x2− x3 )=−2 x2− x3 +2=0 2 1 3± = x , isto é, 1 e 2. 15. Simplifique: a) 2 2 2 2 − − − x x x x b) h h) 25 5 ( + 2− c) 16 8 4 3 − − x x 16. Resolva as desigualdades: a) −2x2+10x−12<0 b) −4x + 7 > 0 c) 0 3 2 2 2− − ≤ − x x x d) 0 ) 1 ( 2 . 2 ) 1 ( 2 2 2 2 ≥ − − − x x x x x e)
x
>
x
+
2
f) 2 3 4 1 2 + + ≥ + − x x x x g) 2 1 senx≥ , no intervalo [0, 2π
] h) 2 2 sen 2 1 ≤ ≤ x , no intervalo [0, 2π
]17. Determine o valor de x no triângulo abaixo.
18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2). ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ − = 1 , 1 , 1 ) ( 2 x se x x se x x f 19. Esboce o gráfico de y = |x − 2| + |x + 6|. Respostas: 11) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 12 , 2 15 e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −2, 2 1 12) centro
(
2,− e raio 4. 3)
13) 6. 4 3 + = x y 16) c ) −1<x≤2 e ) x > 2 g ) 6 7 6 π ≤ ≤ π x h) 4 6 π ≤ ≤ π x ou . 6 7 4 3 π ≤ ≤ π x 17) x=14. 18) f( )
0 =1; f( )
1 =0; f( )
2 =4.5
20. Encontre o domínio de cada função a seguir: a) 2 6 ) 3 ( ln ) ( x x x x f − − = b) h(t) = t + 4−t.
21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 20 cm.
22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 16 cm2.
23. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x.
24. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função de r.
25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência
x
2+
y
2=
1
que está mais próximo do pontoP
=
(4 , 3)
.26. Ache o ponto do eixo que é eqüidistante de
y
(5 , 5)
−
e(1,1)
.27. Determine todas as retas que passam pelo ponto
P
=
(2,3)
e que são tangentes a circunferência de equaçãox
2+
y
2=
4
.28. Os pontos
A
=
(2 , 2)
,B
=
(6 ,14)
eC
=
(10 , 6)
são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto?29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices
A
=
(6 , 7)
−
,B
=
(11, 3)
−
eC
=
(2 , 2)
−
.30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7);
b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1.
Respostas: 20) a) b) 3< x<6. 0< t<4. 21) A= 10l
(
−l)
para 0 < l< 10. 22) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = l l P 2 16 para 0 < l < ∞ . 23) V =4x(
10−x)(
6−x)
para 0 < x < 6. 24) l=r 2. 25) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 3 , 5 4 26)(
0,− 27) 4)
6 13 12 5 + = x y e x=2. 28) Sim; C. 29) 2 41 . 30) a) 3 13 3 4 + − = x y b) 4 4 3 + = x y c) 8y= x3 −6
D
C
A
B
31. Na figura ao lado, é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são
(
e os lados e estão contidos, respectivamente, nas retas de equaçõesABCD
6 ,10)
AB
AD
14
2
x
y
= +
e. Determine as coordenadas dos pontos ,
4
−
2
y
=
x
A B
eD
.32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos
A
=
(4 , 0)
e . Determine as coordenadas do vértice sabendo que ele está sobre a reta de equação.
(0 , 6)
B
=
C4
y x
= −
33. O número R de respirações por minuto que uma pessoa executa é uma função do primeiro
grau da pressão P do dióxido de carbono ( CO2 ) contido nos pulmões. Quando a pressão
do CO 2 é de 41 unidades, o número de respirações por minuto é de 13,8; quando a pressão
aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 19,2 por minuto.
a ) Escreva R como função de P.
b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO 2 for de 45
unidades.
34. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: log 72 7 .
2
4
+
log (8
)
22
ax + +bx c=
x+⋅
x − +x35. Suponha que a equação
8
24
3 5 5 8 seja válida para todo número real x, em que , a b e são números reais. Determine o valor dessas constantes , c a b e . c36. Sabendo que x calcule, 1 sen2x 2 < <π − π
. 37. Resolva as equações:
(a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 .
38. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC, sabendo que
AB
=
10
cm
,3
BC
=
c
m
e ABˆ =C 75o. Respostas: 31) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 7 114 , 7 32 A , B=(
8,16)
, C=(
6,10)
, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 7 22 , 7 18 D 32)(
17,13)
33) a) R = 0,6 P - 10,8 b) 16,2. 34) 70. 35) 3 5 = a , 3 5 = b e c=6.36) −cos x. 37) a ) não tem solução real. b ) . 5 ln 2 13 3 ln ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = x 38)
(
3 1)
cm2 4 2 15 . +7
39. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo t=0 a quantidade de matéria radioativa é igual a
M
0, então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será igual a0
t≥ 0
( )
ktM t
=
M e
− , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k, é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre.k
a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão:
k
t
mln 2
mk
t
=
.b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama?
c) Uma amostra de tório reduz-se a
4
3
de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório?
40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão:
, sendo
( )
T t
( )
ktT t
− =
A Ce
−A
a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante t=0e uma constante positiva. ka) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus?
b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus.
Respostas: 39) b) log 10 3,3 2 ln 10 ln 2 ≈ = anos. c ) 80.956,5 3 4 ln 2 ln 600 . 33 ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × anos. 40) a) 15,6min. 2 ln 4 35 ln 5 ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b) 2,24 1 , 14 8 , 14 ln 8 , 14 5 , 16 ln ≈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
horas antes das 23:30 h, ou seja,
8
41. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura.
42. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do rio. Depois, mediu os ângulos e , conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte.
o 105 C Aˆ B = CBˆA=30o Respostas: 41)
( ) ( )
( ) ( )
87,2 1,7 95,7m 23 tg 35 tg 35 tg 23 tg o o o o ≈ + × − . 42) 15 2m.- C´
alculo 1: Lista de exerc´ıcios extra 1
-1. Resolver as inequa¸c˜oes: (a) x(x − 1) > 0 {x ∈ R/x < 0 ou x > 1}; (b) (x − 1)(x + 2) < 0 {x ∈ R/ − 2 < x < 1}; (c) x2 − 2 ≥ x {x ∈ R/x ≤ −1 ou x ≥ 2}; (d) x2(x − 1) ≥ 0 {x ∈ R/x = 0 ou x ≥ 1}; (e) x2 + 2x + 4 > 0 R; (f) x4 < x2 {x ∈ R/ − 1 < x < 1 e x 6= 0}; (g) x3 + 1 < x2+ x {x ∈ R/x < −1}.2. Determine os valores de x para os quais cada uma das express˜oes seguintes s˜ao n´umeros reais: (a) √4 − x2 {x ∈ R/ − 2 ≤ x ≤ 2}; (b) √x2 − 9 {x ∈ R/x ≤ −3 ou x ≥ 3}; (c) √ 1 4−3x {x ∈ R/x < 4/3}; (d) √ 1 x2−x−12 {x ∈ R/x < −3 ou x > 4}.
3. Determine os valores de x para os quais cada uma das express˜oes seguintes ´e positiva:
(a) x x2+4 R∗+; (b) x x2−4 {x ∈ R/ − 2 < x < 0 ou x > 2}; (c) x+1 x−3 {x ∈ R/x < −1 ou x > 3}; (d) x2−1 x2−3x {x ∈ R/x < −1 ou 0 < x < 1 ou x > 3}.
4. Determine os valores de x que satisfazem:
(a) |x| = 5 x = ±5; (b) |x + 4| = 3 x = −1 ou x = −7; (c) |x − 2| = 4 x = −2 ou x = 6; (d) |x + 1| = |x − 2| x = 1/2; (e) |x + 1| = |2x − 2| x = 3 ou x = 1/3; (f) |x − 3| ≤ 5 {x ∈ R/ − 2 ≤ x ≤ 8}. (g) |x + 4| ≥ 1 {x ∈ R/x > −3 ou x < −5}. 1
5. Usando valor absoluto, escreva express˜oes para os seguintes conjuntos:
(a) o conjunto dos pontos cuja distˆancia a 1 ´e menor do que ou igual a 4 |x − 1| ≤ 4;
(b) o conjunto dos pontos cuja distˆancia a -5 ´e menor do que 2 |x + 5| < 2;
(c) o conjunto dos pontos cuja distˆancia a 6 ´e maior do que 3 |x − 6| > 3.
6. Mostre que os dois conjuntos abaixo s˜ao iguais e os escreva na forma de intervalos:
A = {x : x < 4} e B = {x : |x − 2| < |x − 6|}.
B = {x : x2− 4x + 4 < x2− 12x + 36} = {x : 8x < 32} = {x : x < 4} = A A = B = (−∞, 4)
7. Encontre o dom´ınio das seguintes fun¸c˜oes:
(a) 1 x2+4 R; (b) p(x − 1)(x + 2) {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 1}; (c) √3 − 2x − x2 {x ∈ R/ − 3 ≤ x ≤ 1}; (d) q 3x−4 x+2 {x ∈ R/x < −2 ou x ≥ 4/3}. 8. Se f (x) = 4x − 3, mostre que f (2x) = 2f (x) + 3. 9. Quais os dom´ınios de f (x) = 1 x−8 e g(x) = x3? Determine o dom´ınio de h(x) = f (g(x)). D(f ) = R − {8}, D(g) = R e D(h) = R − {2} 10. Se f (x) = 1 − x, mostre que f (f (x)) = x. 11. Se f (x) = ax+b
x−a, mostre que f (f (x)) = x.
12. Se f (x) = ax, mostre que f (x) + f (1 − x) = f (1). Verifique tamb´em que f (x1+ x2) =
f (x1) + f (x2), para todos x1, x2 ∈ R.
13. Caracterize as seguintes fun¸c˜oes como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas:
(a) f : R → R, f (x) = 3x + 5 bijetora;
(b) g : R → R, g(x) = x2− 9 nenhuma delas;
(c) h : A → A, h(x) = x2+ 4, A = {x ∈ R/x ≥ 4} injetora;
(d) ϕ : {x ∈ R/x ≥ 0} → R, ϕ(x) = 5
3x2 injetora.
14. Determine se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao pares, ´ımpares ou nenhuma delas:
(a) f (x) = 2x5+ 3x2 nenhuma delas;
(b) g(x) = 3 − x2 + 2x4 par;
(c) h(x) = 1 − x nenhuma delas;
(d) ϕ(x) = x + x3 ´ımpar.
15. Suponha f (x) uma fun¸c˜ao ´ımpar e g(x) uma fun¸c˜ao par.
(a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q(x) = f (x)g(x) e P (x) = f (x)g(x)?
(b) Sabendo que sen(x) ´e fun¸c˜ao ´ımpar e cos(x) ´e par, o que podemos falar sobre tg(x)?
Resposta: Todas ´Impares.
16. Resolva as seguintes equa¸c˜oes:
Respostas (a) 2x = 16 {4} (b) 4x =¡1 2 ¢x2−x {−1, 0} (c) (3x)x+3 = 9x+6 {3, −4} (d) 2.5x+ 3.5x+1 = 17 {0} (e) 2.6x+ 3.6x−1− 4.6x−1 = 11 {1} (f) 9|x|− 4.3|x|+ 3 = 0 {−1, 0, 1} 17. Resolva as inequa¸c˜oes: Respostas (a) 73x−2< 49 S = {x ∈ R|x < 4 3} (b) 8x3+ 2 3 ≤ 32x−2 S = {x ∈ R|x ≥ 3} (c) ¡5 3 ¢x2+10 ≥¡5 3 ¢7x S = {x ∈ R|x ≤ 2 ou x ≥ 5} (d) √3 2x+1 < 16 S = {x ∈ R|x < 11} 18. Dadas as fun¸c˜oes f (x) = ¡1 3 ¢x2+7 e g(x) = ¡1 3 ¢5x+1
, determine x real de modo que se tenha:
Respostas
(a) f (x) = g(x) x = 2 ou x = 3
(b) f (x) > g(x) 2 < x < 3
19. Resolva o seguinte sistema ½ 8x.4y = 1 4 4x.2−y = 2. Resposta: x = 0, y = −1 20. Dado o sistema ½ 5x−y = 1 125
3x+y = 243. , calcule o valor de (xy)3. Resposta: 64 21. Resolva a equa¸c˜ao ((1024x)x)x = 21,25 Resposta: {1
2}
22. Seja f (x) = 3x−9x
4 uma fun¸c˜ao de vari´avel real. Determine o conjunto que cont´em todos os valores reais de x para os quais f (x) = f (x − 1). Resposta: S = {1}
23. Resolva o seguinte sistema ½
2x+ 3y = 11
2x− 3y = 5. Resposta: x = 3, y = 1
24. Uma popula¸c˜ao de bact´erias no instante t ´e dada pela fun¸c˜ao f (t) = C.4kt, em que t ´e
dado em minutos. Experimentalmente, verifica-se que e a popula¸c˜ao depois de 1 minuto era de 64 bact´erias e depois de 3 minutos, de 256. Determine a popula¸c˜ao inicial (isto ´e, quando t = 0). Resposta: 32
25. Utilize deslocamento para fazer um esbo¸co do gr´afico das seguintes fun¸c˜oes e determine o dom´ınio das mesmas:
a) f (x) = ex−2+ 1 b) f (x) = ln(x − 1) c) f (x) = ex+1− 2 d) f (x) = ln(x+2) − 3
e) f (x) = |lnx − 1| f) f (x) = |lnx| − 1 g) f (x) = |ln(x+2) − 3|
26. Determine o dom´ınio das fun¸c˜oes a) f (x) = log4¡x − 1
2 ¢
b) y = log6−x(x2− 7x + 12)R: a) (1
2, +∞) b) (3, 4)
27. Resolva as seguintes inequa¸c˜oes: a) log3¡x
3 − 12 ¢
≥ −2 b) log4(x + 3) + log4(x − 9) > 3 c) log5x > log25(2x + 35)
R: a) [11
6, +∞) b) (13, +∞) c) (7, +∞)
28. Determine os valores (x, y) que s˜ao solu¸c˜oes do sistema ½
3x+y = 81
log3x + log3y = 1.
R: (1, 3) ou (3, 1)
29. Determine o intervalo em que a fun¸c˜ao f (x) = r log2 ³ log1 2 x ´ est´a definida. R: (0, 1/2)
30. Resolva log10x + 2. logx10 = 3 R: {10, 100}
31. Sejam a e b n´umeros reais positivos, tais que 1
2 log2a − 2 log2b = 2. Determine o valor da raz˜ao √b2a R: 1
32. Determine o conjunto das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao log2(x2− 1) = log
x2−12
R: {x ∈ R/x = ±√3 ou x = ±3/2}
33. E dada a fun¸c˜ao f definida por f (x) = log´ 2x − log4(x − 3)
(a) Determine os valores de x para os quais f (x) ≤ 2 R: ∅
(b) Determine os valores de x para os quais f (x) > 2 R: (3, +∞)
34. Resolva a equa¸c˜ao log3x = 1 + logx9. R: {1/3, 9}
35. Se log2(2 −√2) = a, qual ser´a o valor de log2(2 +√2). (DICA: analise o produto (2 −√2)(2 +√2)) R: 1 − a
36. Resolva a equa¸c˜ao 10loga(x2−3x+2)= 6loga10, em que a = 10. R: {−1, 4}
37. Converta para radianos:
a) 900 b) 3000 c) 1350 d) 2400 e) 2600 R: a) π/2 b) 5π/3 c) 3π/4 d) 4π/3 e) 13π/9
38. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico das seguintes fun¸c˜oes:
a) f (x) = sen(−x) b) f (x) = cos(−x) c) f (x) = cos(x + π) d) f (x) = tg(x − π
2)
39. Determine para quais valores reais de p existe x tal que: a) senx = 7p+35 b) senx = p2−10p+1212 c) senx = 1
1−p d) senx = |p − 1| e) senx = 8−5p
p−3
R: a) [−8/7, 2/7] b) [0, 4] ∪ [6, 10] c) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) d) [0, 2] e) [5/4, 11/6]
40. Determine a) cos (π
2 − x), sendo que senx = 23 b) sen(π2 − x), sendo que cos x = 15
R: a) 2/3 b) 1/5
41. Determine o dom´ınio de f (x) = tg( − x
3). R: {x ∈ R/x 6= 32(2n + 1)π, n = 0, 1, 2, · · ·}
42. Na fun¸c˜ao f (x) = tg(mx), determine o valor de m tal que o per´ıodo da fun¸c˜ao seja π.
R: m = 1
43. Determine o que se pede em cada caso:
(a) cotgx, sendo senx = −√3
2 e cos = 12; R: −1/ √
3
(b) tgx, sendo cotgx = 3; R: 1/3
(c) secx, sendo cosx = 2
3; R: 3/2
(d) cosx, sendo secx = −5; R: −1/5
(e) secx, sendo cosx = −√5
3 ; R: −3/ √
5
(f) cosx, sendo secx = √7; R: 1/√7
(g) cossecx, sendo senx = −√7
8 ; R: −8/ √
7
(h) senx, sendo cossecx = −10. R: −1/10
44. Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha: a) senx = m+1 3 e cos x = m √ 5 3 R: m = 1, I b) cos x = √7m 2 e senx = −3m2 R: m = ±1/2, II ou IV
45. Verifique as seguintes identidades:
(a)secx + cotgx = (cscx)(cos x + tgx) (b)sec2x + csc2x = sec2x.csc2x (c)sen2(x) = 1−cos(2x)
2 (d) cos2(x) =
1+cos(2x) 2
46. Determine o per´ıodo das seguintes fun¸c˜oes e esboce seus gr´aficos: a) f (x) = sen(7x) b) f (x) = cos(x
4) c) f (x) = tg(πx)
R: a) T = 2π/7 b) T = 8π c) T = 1
47. Verifique as seguintes igualdades:
(a)senx = sen(π − x) (b) cos x = − cos(π − x) (c)tgx = −tg(π − x)
(d)cotgx = −cotg(π − x) (e)secx = −sec(π − x) (f )cossecx = cossec(π − x)
48. Verifique a paridade das seguintes fun¸c˜oes:
a) f (x) = xn em que n ∈ N b) f (x) = tgx c) secx
R: a) par, se n par e ´ımpar se n ´ımpar b) ´ımpar c) par
49. Mostre que tg(2a) = 1−tg2tga2a, com a 6= π4 + kπ.
50. Resolva a equa¸c˜ao sen2x − 7senx = −6. R: x = π
2 ± 2nπ, n = 0, 1, 2, · · ·
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Em cada situação verifique se o limite existe. Caso exista calcule-o.
a)
2 2 lim 2 2 2 − − − → x x x x xb)
3
|
3
|
lim
3−
−
→x
x
xc)
d)
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ≤ − − < − = − → 1 ) 1 ( 1 1 1 2 ) ( que em ), ( lim 2 1 x se x x se x x se x x f x f xx
x
x2
4
lim
0−
+
→2. Calcule
h x f h x f h ) ( ) ( lim o o 0 − +→
em cada caso a seguir:
a) f(x) = x
3b)
f(x) = a x
2+ bx + c
c) f(x) = x
3. Calcule os limites indicados:
a)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → x x x 1 sen lim 0b)
cos 3 10) 1 1 sen ( ) 1 ( lim 3 1 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → x x x xc)
x x x sen lim ∞ →d)
4
3
5
9
4
2
lim
3 2 3−
+
+
−
+
−
−∞ →x
x
x
x
x
xe)
4
3
5
9
4
lim
3 2 4−
+
+
−
+
−∞ →x
x
x
x
x
xf)
4
3
5
9
4
2
lim
4 2 3−
+
+
−
+
−
→∞x
x
x
x
x
xg)
5 7 lim 5+ − → x xh)
lim ln( ) 0 x x − − →i) )
lim
ln(
x
x−
−∞ →j)
5
3
2
1
lim
1+
−
−
→x
x
xk)
t
t
t−
−
→3
9
lim
9l)
0 1 lim x 1 x x → + −m)
6 39
lim
1
xx
x
x
→∞−
+
n)
6 39
lim
1
xx
x
x
→−∞−
+
o)
0 cos( ) lim x x x + →p)
lim (10sen2 cos )1 0 x x e x x + − + →
4. Se existe o
lim ( ), então
= f(5)? Comente sobre sua resposta.
5 x f x→ ) ( lim 5 x f x→5. Determine constantes a, b e L para que a função abaixo seja contínua em IR.
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + = < − + + = 1 4 1 1 1 3 ) ( 2 x para x b x para L x para x ax x x f
.
6. Mostre que a equação
x4 + x−1=0possui pelo menos duas raízes reais.
7. Existe um número
a tal que
2 2 2
3
lim
2
xx
ax
a
x
x
→−3
+
+ +
+ −
exista? Caso afirmativo,
encontre e o valor do limite.
a
8. Encontre todos os valores de a para os quais a função y = f(x) a seguir é contínua
para todos os valores de x:
.
⎩
⎨
⎧
>
≤
+
=
a
x
para
x
a
x
para
x
x
f
21
)
(
9. Determine os valores de e b tais que
a
3
1
3
4
2
lim
2 2 3−
=
+
−
+
+
+
∞ →x
x
x
x
b
x
a
x.
10. A figura abaixo mostra um ponto P sobre a parábola
e o ponto Q dado
pela interseção da mediatriz do segmento OP com o eixo y. À medida que P
tende ao vértice da parábola, o que acontece com o ponto Q ? Ele tem uma
posição limite? Se sim, encontre-a.
2 x y=
Respostas: 1 ) a )
3 2. b ) não existe; mas os limites laterais são:1, quando
e -1
quando
. c ) não existe; mas os limites laterais são:-1, quando
e 3
quando
. d )
+ → 3 x − → 3 x x→ 1− + − − → 1 x 4 1.
2 ) a )
2. b )
. c )
o 3x 2axo +b o 2 1 x.
3 ) a ) 0. b ) 0. c ) 0. d ) -2. e )
−∞. f ) 0. g )
∞. h )
−∞. i )
∞. j )
2 5. k ) 6.
l )
2 1. m ) 3. n ) -3. o )
∞. p ) 0.
5 )
a=−4;b=−6;L=−2.7 )
a=15;o limite é igual a -1.
8 )
. 2 5 1± = a9 )
a= b0; =−3.10 )
. 2 1 , 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → QUm breve resumo das aulas encontra-se em
www.mat.ufmg.br/calculoI
,
no link Turmas Especiais de CálculoI, no Cronograma.
- C´
alculo 1 Limites
-1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:(a) lim x→1(x 3− 3); (h) lim x→3 2 √ 8t3− 27 4t2− 9; (b) lim x→2 √ x4− 8; (i) lim x→3 2x3− 5x2− 2x − 3 4x3− 13x2+ 4x− 3; (c) lim x→2 √ x3+ 2x + 3 x2+ 5 ; (j) limy→−3 √ y2− 9 2y2+ 7y + 3; (d) lim x→−3 x2− 9 x + 3; (k) limh→5 h √ 5 + h−√5; (e) lim x→1 3 3x2− x 3x− 1 ; (l) limh→0 √ 3 + 3h−√3 h ; (f ) lim x→3 x3− 27 x− 3 ; (m) limx→2 x4− 16 x− 2 ; (g) lim x→0 √ x + 3−√3 x ; (n) limx→1 x− 1 x2− 1.
2. Fa¸ca o esbo¸co do gr´afico de f (x) = |x| se x < 4 6 se x = 4 −4x + 20 se x > 4
e observe no gr´afico o valor de lim
x→4f (x). H´a alguma diferen¸ca entre lim
x→4f (x) e f (4)?
3. Seja f a fun¸c˜ao definida por f (x) = {
2x− 1 se x ̸= 2
1 se x = 2
(a) Encontre lim
x→2f (x) e verifique que limx→2f (x)̸= f(2). (b) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f .
4. Seja f a fun¸c˜ao definida por f (x) = {
x2− 9 se x ̸= −3 4 se x =−3
(a) Encontre lim
x→−3f (x) e verifique que limx→−3f (x)̸= f(3) (b) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f .
5. Determine o valor de lim h→0
f (x + h)− f(x)
h quando
a) f (x) = x b) f (x) = x2 c) f (x) = x3.
6. Nos ´ıtens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista dˆe seu valor. (a) f (x) = |x|x, lim x→0+f (x), limx→0−f (x), limx→0f (x). (b) f (x) = 2 se x < 1 −1 se x = 1 −3 se x > 1 ; lim x→1+f (x), limx→1−f (x), limx→1f (x) (c) f (r) = 2r + 3 se r < 1 2 se r = 1 7− 2r se r > 1 ; lim r→1+f (r), limr→1−f (r), limr→1f (r) (d) g(x) = 2 + x2 se x <−2 0 se x =−2 11− x2 se x >−2 ; lim x→−2+f (x),x→−2lim−f (x), limx→−2f (x)
7. Dada f (x) =|x|+xx . Existe lim x→0f (x)?
8. Dada f (x) =|x2x+x|. Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores: a) lim
Gabarito
-1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:(a) lim x→1(x 3− 3) = −2; (h) lim x→3 2 √ 8t3− 27 4t2− 9 = √ 9 2; (b) lim x→2 √ x4− 8 = 2√2; (i) lim x→3 2x3− 5x2− 2x − 3 4x3− 13x2+ 4x− 3 = 11 17; (c) lim x→2 √ x3+ 2x + 3 x2+ 5 = √ 5 3; (j) limy→−3 √ y2− 9 2y2+ 7y + 3 = √ 6 5; (d) lim x→−3 x2− 9 x + 3 =−6; (k) limh→5 h √ 5 + h−√5 = √ 10 +√5; (e) lim x→1 3 3x2− x 3x− 1 = 1 3; (l) limh→0 √ 3 + 3h−√3 h = √ 3 2 ; (f ) lim x→3 x3− 27 x− 3 = 27; (m) limx→2 x4− 16 x− 2 = 32; (g) lim x→0 √ x + 3−√3 x = √ 3 6 ; (n) limx→1 x− 1 x2− 1 = 1 2. 2. f (x) = |x| se x < 4 6 se x = 4 −4x + 20 se x > 4 lim x→4f (x) = 4̸= f(4) = 6 3. f (x) = { 2x− 1 se x ̸= 2 1 se x = 2 xlim→2f (x) = 3̸= f(2) = 1. 4. f (x) = { x2− 9 se x ̸= −3 4 se x =−3 xlim→−3f (x) = 0̸= f(−3) = 4.
(a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.4
5. a) 1 b) 2x c) 3x2. 6. (a) lim x→0+f (x) = 1, limx→0−f (x) =−1, @ limx→0f (x). (b) lim x→1+f (x) =−3, limx→1−f (x) = 2,@ limx→1f (x) (c) lim r→1+f (r) = limr→1−f (r) = 5, limr→1f (r) = 5 (d) lim x→−2+f (x) = 5,x→−2lim−f (x) = 6,@ limx→−2f (x) 7. @ lim
x→0f (x), pois limx→0+f (x) = 2 e limx→0−f (x) = 0.
8. a) lim
- C´
alculo 1 - Limites - Lista 2
1. Determine, caso existam, os seguintes limites:a) lim x→0+(3− √ x) b) lim x→2+ √ x2− 4 c) lim x→−5 x− 5 |x − 5| d) limx→5 x− 5 |x − 5| e) lim x→2− 1 √ 2− x f ) limx→−2 1 √ 2− x g) limx→−2 2− x √ x− 2 h) limx→3 √ x−√3 x− 3 i) lim x→9 √ x− 3 √ x2− 9x j) limx→5 1 y− 1 5 y− 5 k) limx→0+ ( 1 x− 1 x2 ) l) lim x→+∞(x 3− x2− x + 1) m) lim x→−∞(x 3− x2− x + 1) n) lim x→−∞(−2x 6− x3− 12x2+ 1) o) lim x→+∞ 2x2+ x + 1 x3+ 2x2− 25 p) limx→+∞ x7+ 2x + 1 5x3− 2x2− 900 q) lim x→+∞ 1 1− x r) limx→+∞ 2x2+ x− 21 x3− 2x2+ 9 s) limx→−∞ √ x2+ 4 x + 4 t) limx→−∞( √ x2+ 1− x) u) lim x→+∞( √ x2+ x− x) v) lim x→+∞ x4− 24 2− x w) limx→2+ ( 1 x− 2− 3 x2− 4 ) x) lim x→0+ √ 3 + x2 x y) lim x→0 |x| x2 z) limx→+∞ √ x2+ 4 x + 4 α) limx→−∞ √ x2+ 9 x + 6 β) limx→−∞( √ x2+ x− x4) γ) lim x→5 x + 2 x− 4 δ) limx→2 2x2− 5x + 2 5x2− 7x − 6 ϵ) limt→0 √ a2+ bt− a t ε) limx→2 z− 4 z2− 2z − 8 ζ) lim x→0 2 |x| η) limx→−∞ √ 2x2− 7 x + 3 θ) limx→5 1 x− 1 5 x− 5 ϑ) limx→−∞ 5x2+ 8x− 3 7x3− 4x − 17 2. Sejam f (x) = { x2+ 3 se x≤ 1 x + 1 se x > 1. e g(x) = { x2 se x≤ 1 2 se x > 1.
(a) Existe lim x→1f (x)?
(b) Encontre uma express˜ao para f (x).g(x) e mostre que existe lim x→1 (
f (x).g(x))
3. Considere a fun¸c˜ao definida por: f (x) = 2x + 2 , x < 0 x2 , 0≤ x < 2 1 , x≥ 2
a) Fa¸ca o gr´afico da fun¸c˜ao f . b) Determine: lim
x→0−f (x) xlim→0+f (x) xlim→0f (x) xlim→2−f (x) xlim→2−f (x) xlim→2f (x) 4. Calcule lim
h→0
f (x + h)− f(x)
h , quando: a) f (x) = senx b) f (x) = cosx c) f (x) =
1 x. 5. Sabendo-se que lim
x→0
senx
x = 1 e que cosx = 1− sen
2(x 2), calcule: a) limx→0 sen(2x) 5x b) limx→0 1− cosx x .
6. Sabendo-se que as desigualdades 1− x 2 6 <
xsen(x)
2− 2cos(x) < 1 valem para todos os valores de x pr´oximos de zero, calcule lim
x→0
xsen(x)
2− 2cos(x).
7. Mostre que se|f(x)| ≤ M e lim
x→ag(x) = 0 ent˜ao limx→a (
f (x).g(x))= 0 8. Use o item anterior para mostrar que lim
x→+∞
senx x = 0.
9. Encontre as ass´ıntotas verticais e/ou horizontais das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = x x2−9; (b) g(x) = 1 x−1; (c) h(x) = x+3 x+2; (d) ψ(x) = x4x+12 ; (e) ϕ(x) = x2−x+1 x−1 ; (f) φ(x) = x 3+3 x. 10. Observando o gr´afico das fun¸c˜oes exponenciais conclua que
lim x→+∞a x= { +∞, se a > 1 0, se 0 < a < 1 e x→−∞lim a x= { 0, se a > 1 +∞, se 0 < a < 1
11. Calcule os seguintes limites: (a) lim x→+∞ ( 3 2 )x (b) lim x→+∞ ( 1 2 )x (c) lim x→+∞(2 x− 2−x) (d) lim x→−∞(2 x− 2−x) (e) lim x→+∞(2 x− 3x). 12. Seja f (x) = −x − 1 se x≤ −1 x2− 1 se − 1 < x ≤ 1 2 se x > 1 f ´e cont´ınua em x = 1? Em x =−1? Em x = 2? Em x = −3? 13. Seja f (x) = { 2x + 3 se x≤ 4 7 +16x se x > 4 f ´e cont´ınua em x = 4? 14. Seja f (x) = { 3 x−1 se x̸= 1 3 se x = 1 f ´e cont´ınua em x = 1?
15. Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f ´e descont´ınua e dˆe as raz˜oes para esta poss´ıvel descontinuidade: (a) f (x) = √3x− 8;
(b) f (x) = x+2 x2−4; (c) f (x) = 1x+xx2−1−1 (d) f (x) = x|x|+32+9
16. Verifique se as fun¸c˜oes a seguir s˜ao cont´ınuas nos pontos indicados. Caso n˜ao sejam, determine as raz˜oes da descontinuidade. (a) f (x) =|x + 1| − 3 em x = −1; (b) f (x) = x2x−1 em x =−2 e em x = 1; (c) f (x) = { −x − 2 se x̸= 3 −5 se x = 3 em x = 3.
17. Encontre um valor para a constante k, se poss´ıvel, para que a fun¸c˜ao seja cont´ınua para todo x∈ R. (a) f (x) = { 7x− 2 se x≤ 1 kx2 se x > 1 (b) f (x) = { kx2 se x≤ 2 2x + k se x > 2
18. Encontre os valores das constantes k e m, se poss´ıvel, que para que seja cont´ınua para todo x∈ R a fun¸c˜ao
f (x) = x2+ 5, se x > 2, m(x + 1) + k, se − 1 < x ≤ 2, 2x3+ x + 7, se x≤ −1.
19. Dˆe exemplo de duas fun¸c˜oes f e g descont´ınuas em um certo ponto x = c tal que f + g seja cont´ınua neste ponto.
20. ´E verdade que uma fun¸c˜ao cont´ınua que nunca ´e zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua resposta.
21. Utilize o Teorema do Valor Intermedi´ario para mostrar que a equa¸c˜ao x3+ x2− 2x + 1 = 0 possui pelo menos uma solu¸c˜ao no intervalo [−1, 1].
22. Mostre que, se p(x) ´e um polinˆomio de grau ´ımpar, ent˜ao e equa¸c˜ao p(x) = 0 possui pelo menos uma solu¸c˜ao real.
23. (Contra¸c˜ao de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em rela¸c˜ao a esse observador. Se ele medir o comprimento L0do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecer´a ser L = L0
√
1−vc22, sendo
c a velocidade da luz no v´acuo. O que acontece com L `a medida que v aumenta? Calcule lim v→c−
L. Por que ´e necess´ario tomar o limite lateral `a esquerda?
- C´
alculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2
1. a) 3 b) 0 c)-1 d)@ e) +∞ f) 12 g) @ h) √63 i) 0 j)−251 k)−∞ l) +∞ m) −∞ n) −∞o) 0+ p)+∞ q) 0− r) 0+ s)-1 t) +∞ u) 12 v)−∞ w) +∞ x) +∞ y) +∞ z) 1
α)− 1 β) −∞ γ) 7 δ) 133 ϵ) |a|+ab ε) 41 ζ) 7 η)−√2 θ)−251 ϑ) 0−
2. (a) N˜ao, pois lim x→1− f (x) = 4 e lim x→1+f (x) = 2. (b) f (x)g(x) = { x4+ 3x2 se x≤ 1 2x + 2 se x > 1. xlim→1 ( f (x).g(x))= 4 3. a) b) lim x→0− f (x) = 2 lim x→0+f (x) = 0 @ limx→0f (x) xlim→2− f (x) = 4 lim x→2+f (x) = 1 @ limx→2f (x). 4. a) cosx b)−senx c) f (x) =−1 x2. 5. a) 2/5 b) 0. 6. lim x→0 xsen(x) 2− 2cos(x) = 1. 7. −Mg(x) ≤ f(x).g(x) ≤ Mg(x) ⇒ lim
x→0−Mg(x) ≤ limx→0f (x).g(x) ≤ limx→0M g(x) ⇒ −M limx→0g(x) ≤ limx→0f (x).g(x) ≤
M lim x→0g(x)⇒ 0 ≤ limx→0f (x).g(x)≤ 0 ⇒ limx→0f (x).g(x) = 0. 8. |senx| ≤ 1 e lim x→+∞ 1 x= 0⇒ limx→+∞ senx x = 0 .
9. (a) Ass´ıntotas verticais: x = 3 e x =−3, Ass´ıntota horizontal: y = 0; (b) Ass´ıntota vertical: x = 1, Ass´ıntota horizontal: y = 0;
(c) Ass´ıntota vertical: x =−2, Ass´ıntota horizontal: y = 1; (d) Ass´ıntota vertical: x = 0;
(e) Ass´ıntota vertical: x = 1; (f) Ass´ıntota vertical: x = 0. 10. lim x→+∞a x= { +∞, se a > 1 0, se 0 < a < 1 e x→−∞lim a x= { 0, se a > 1 +∞, se 0 < a < 1 11. (a) +∞ (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e)−∞
12. f n˜ao ´e cont´ınua em x = 1, pois lim
x→1+f (x) = 2 e limx→1−f (x) = 0, logo@ limx→1f (x). Em x =−1, x = 2 e x = −3 ela ´e cont´ınua, j´a que lim
x→−1f (x) = f (−1) = 0, limx→2f (2) = 2, limx→−3f (x) = f (−3) = 2. 13. Sim, pois lim
x→4f (x) = f (4) = 11. 14. N˜ao, pois@ lim
x→1f (x).
15. (a) Cont´ınua em R; (b) Descont´ınua em x = ±2, pois @f(2) e f(−2); (c) Descont´ınua em x = 0 e x = ±1, pois @f(0),
f (−1) e f(1); (d) Cont´ınua em R.
16. (a) Cont´ınua em x =−1; (b) Cont´ınua em x = −2 e descont´ınua em x = 1 pois @f(1); (c) Cont´ınua em x = 3. 17. (a) 5 (b) 4/3 18. k = 4 e m = 5/3. 19. f (x) = { 0 se x < 0 1 se x≥ 0. e g(x) = { 1 se x≤ 0 0 se x > 0.
20. Sim, pois, pelo teorema do valor intermedi´ario, se ela mudasse de sinal ent˜ao o zero deveria ser tamb´em imagem da fun¸c˜ao. 21. f (x) = x3− x2− 2x + 1 = 0 ⇒ f(1) = −1 e f(−1) = 1, logo, pelo Teorema do Valor Intermedi´ario, existe x
0∈ [−1, 1] tal que
f (x0) = 0.
22. Se p(x) ´e um polinˆomio de grau ´ımpar, ent˜ao vai sempre existir um x0 ∈ R para o qual p(x0) e p(−x0) tˆem sinais opostos. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedi´ario, existe c∈ [−x0, x0] tal que p(c) = 0.
23. `A medida que v aumenta L diminui. lim
v→c−L = 0. O limite lateral `a esquerda ´e necess´ario j´a que a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida para v > c.
As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços:
www.mat.ufmg.br/calculoI ou na pasta J18, no xerox (sala1036)
TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Derive: a) y = 3x6 + 9x – 3 b) y = 9 5 − x c)
x
x
y
=
10
7 6−
9
d)x
x
x
x
y
4 7 2+
5
=
2. Calcule(
)
h h h 6 6 0 9 9 lim + − → . 3. Calcule o h h h cos 1 lim 0 − → . 4. Calcule3
3
lim
2000 2000 3−
−
→x
x
x . Como esse limite se relaciona com uma derivada?
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
y
=
x
3−
x
5, no ponto de abscissa x = 64.
6. Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = x2 + 3x + 1 e que é paralela à reta de equação y = 4x + 7.
7. Determine as tangentes horizontais ao gráfico de
6
5
2
5
3
2 3+
+
−
=
x
x
x
y
.8. Mostre que a reta de equação y = −x é tangente à curva de equação y = x3 − 6x2 + 8x.
Encontre o ponto de tangência.
Respostas: 1) a) = x18 5 +9. dx dy b) . 9 5 9 14 x dx dy −= c) . 2 9 7 60 3 7 x x dx dy = + d) . 2 45 7 9 11 7 2 x x dx dy − = 2) 6×95. 3) 0.
4) Esse limite é igual a 1999 3 2000 3 2000× = = x dx dx . 5) 3 2060 48 1277 − = x y . 6) . 4 3 4 + = x y 7) 3 29 = y em x=2 e 2 19 = y em x=3. 8)
(
3,−3)
.9. Considere a função dada por .
a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em x = 1. b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em x = 1.
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + + = < − = 1 1 2 1 3 ) ( 2 bx c se x x x se x se ax x f 10. Derive: a) y = e–2x+5 b) y = x cos 1 .
c) y=sen(ln(−x)). Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y’? d)
y
=
(
−
5
x
4+
3
x
−
9
)
7 e) e3 4 2 ( 3 1 2 7) + + − = + x x x y x f) g) h) y = ln(−x) i) j) k ) y = ln(cosx) 9 5 4 23
1
)
(
4
2
3
)
(
−
+
+
+
=
x
x
x
x
y
y
=
xe
−x ( ) ( x y=etglnsen ) y=elnx11. Mostre que h(t) = | t − 3| não é derivável em t = 3.
12. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ) 2 3 cos( ) 2 ( sen x x y= π + π no ponto de abscissa x = 1. 13. Seja 3 2
(
)
2
)
(
x
x
h
x
x
f
=
+
. Se h é derivável, h(1) = −2 e h’(1) = 10, calcule f’(1). 14. Suponha que h(x) seja uma função derivável e que f(x) = h(x5). Determine f’(x).15. Em cada caso, verifique se a derivada existe. Em caso afirmativo escreva a expressão de f’(x). a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 1 sen ) ( x se x se x x x f b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 1 sen ) ( 2 x se x se x x x f Respostas: 9) a ) a=1; b+c=1. b ) a=1;b=−3;c=4. 10) a) =−2e−2x+5. dx dy b ) x x x x dx dy tg sec cos sen 2 = = . c)
(
( )
)
x x dx dy − =cosln , para x<0. d) =7(
−5x4 +3x−9) (
6 −20x3 +3. dx dy)
e) e3 4 2 12 6 9 2 24 4 84 3 2 12 . ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + = + x x x x x dx dy x f) =4(
2x−3)(
x2 −3x+1) (
3 4x5 +2x+3) (
9 +920x4 +2)(
4x5 +2x+3) (
8 x2 −3x+1)
4. dx dy g)(
1 x)
e x. dx dy= − − h) 1. x dx dy = i ) g( )
x(
(
x)
)
( ( x)) dxdy=cot sec2 lnsen etglnsen
j) =1. dx dy k) tg x. dx dy −= 12) 2 2 3 2 3π − π− = x y . 13) 6. 14) f’(x) = 5x4h’(x5). 15) a )
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ x x x xf sen 1 1cos 1 se x ≠0. A derivada não existe em x=0.
b )
( )
2 sen 1 cos 1⎟ ≠0 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ se x x x x x f e f′( )
0 =0.16. Um avião, à velocidade constante de 500 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de 2.000 metros e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4.000 metros da estação.
17. Uma luz situa-se no topo de um poste de 15 m. Um homem com 1,80 m de altura afasta-se desse poste com uma velocidade de 3 m/s. Quando o homem estiver a 40 m do poste, determine:
a) a taxa de variação do comprimento de sua sombra. b) a velocidade do topo de sua sombra.
18. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida?
19. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto sua área cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa estará variando a base desse triângulo quando sua altura for
10 cm e sua área 100 cm2 ?
20. Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 35 km/h, e o navio B está indo para o norte a 25 km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles às 4 horas da tarde?
21. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estará
variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm?
22. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função f x( )= x. Quando a partícula passa pelo ponto (4 , 2), sua coordenada está crescendo a taxa de 3 cm/s. Quão rápido está variando a distância dessa partícula à origem, nesse instante?
x
23. Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 3 metros por segundo. A que taxa estará decrescendo o ângulo entre a linha e a
horizontal depois de terem sido soltos 200 metros de linha?
24. Dois lados de um triângulo medem 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a uma taxa de 0,06 radianos por segundo.
a) Encontre a taxa segundo a qual estará variando o comprimento do terceiro lado desse triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for
π
/ 3
.b) Encontre a taxa segundo a qual a área desse triângulo estará crescendo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for
π
/ 3
.25. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próximo P em uma praia reta no continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1 km do ponto P? Respostas: 16) 250 3 km/h. 17) a ) 22 9 m/s; b ) 22 75 m/s. 18) 65 km/h. 19) -1,6 cm/min. 20) 13 720 km/h. 21) 15 1 cm2/s. 22) 5 4 27 cm/s. 23) R ) 400 3 − rad/s. 24) a ) 7 6 , 0 m/s; b ) 0,3 m2/s. 25) π 3 80 km/min.
26. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100 m, a uma velocidade constante de 7 m/s. Seu amigo está em pé a uma distância de 200 m do centro da pista. Quão rápido estará variando a distância entre eles quando a distância entre eles for de 200 m?
27. Encontre os pontos P e Q, sobre a parábola
y
= −
1
x
2, de forma que o triângulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero.
28. A figura mostra um círculo de raio 1 inscrito na parábola de equação . Determine as coordenadas do centro desse círculo.
2
y x
=
Respostas: 26) 4 15 7 − m/s. 27) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 4 1 , 2 3 P e ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 1 , 2 3 Q . 28) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 5 , 0 .29. A figura mostra uma roda giratória de 40 cm de raio e uma barra de conexão AP de
comprimento fixo 1,2 m. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eixo x à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto. Encontre uma expressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na figura.
30. Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada à sua proa e que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está 1 m mais alto do que a proa desse bote. Se a corda for puxada a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o bote aproxima-se do ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele?
31. A curva seguinte é a representação geométrica da equação y2 =x3 +2x2.
-2 -1 1 2 -2 -1 1 2
Ache a equação da reta tangente a essa curva no ponto
(
−1,1)
.Respostas: 29) 8 cos sen 8 cos cos 288 2 2 + θ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ+ θ+ − = dt dx m/s. 30) 8 65 m/s. 31) . 2 1 2+ − = x y
