Revisão:
• Produto vetorial de dois vetores
P Q
V
q
1) A linha de ação de V é perpendicular ao plano que contém os vetores P e Q
2) V = P . Q . senq
3) Sentido de V ( Um homem na extremidade do vetor V verá o giro do vetor P até sua direção coincidir com a do vetor Q, percorrendo o ângulo q, no sentido anti-horário) – Regra da Mão Direita Se q = 00 ou 1800 V = 0 Interpretação geométrica q P Q V=P.Q. senq V= área do paralelogramo V satisfaz à:
Q
P
V
=
Da definição de produto vetorial resulta as propriedades:
Q
P
P
Q
=
2 1 2 1)
(
Q
Q
P
Q
P
Q
P
=
)
(
)
(
P
Q
S
P
Q
S
Produto vetorial em termos das componentes retangulares:
X Y Z i j k Sinais: i j k (+) (-) i j k i x j j x k k x i k x j j x i i x k
k
j
=
i
k
i
j
=
0
=
k
k
i
i
=
0
j
i
=
k
k
i
=
j
k
j
i
=
j
j
=
0
=
k
j
i
j
k
=
i
i
j
k
=
VX = PYQZ - PZQY VY = PZQX - PXQZ VZ = PXQY - PYQX e pode ser calculado desenvolvendo
1. Momento de uma força em relação a um ponto
q
sen
.
.F
r
M
O=
d =distância do ponto O à linha de ação da força F A O MO F r p d q
)
(
)
(
P
i
P
j
P
k
Q
i
Q
j
Q
k
Q
P
V
=
=
X
Y
Z
X
Y
Zk
V
j
V
i
V
V
=
X
Y
Z=
V
Q
k
j
i
Z Y X Z Y XQ
Q
P
P
P
F
r
M
O=
d
F
M
O=
.
M
Omede a tendência da força F em aplicar um giro ao corpo rígido em torno de um eixo perpendicular ao plano p O A F eixo p MO Observe que:
• MO não depende da posição do ponto de aplicação da força F ao longo da sua linha de ação.
• Reciprocamente o momento MO de uma força F não caracteriza o ponto de aplicação da força F
• O momento MO de uma força F de dado módulo, direção e sentido, define completamente a linha de ação da força F
F situa-se em um plano que contém O e é perpendicular a MO
d=MO/F
O sentido de MO caracteriza em qual lado de O encontra-se a força F
2. Teorema de Varignon
O momento em relação a um ponto O, da resultante de um sistema de forças concorrentes é igual à soma dos momentos em relação ao ponto O, das diversas forças que compõem o sistema.
3. Componentes cartesianas do momento de uma força
resulta: MX = y FZ - z FY MY = z FX - x FZ MZ = x FY - yFX
=
=
R
r
(
F
1F
2F
n)
r
nF
r
F
r
F
r
1
2
O X Y Z FX i FY j FZ k Ar
F
r
M
O=
OA
r
=
k
M
j
M
i
M
M
O=
X
Y
Z)
(
)
(
x
i
y
j
z
k
F
i
F
j
F
k
M
O=
X
Y
Z4. Momento de uma força em relação a um ponto
Arbitrário B
i j k x y z FX FY FZ MO =Dx = x
A- x
BDy = y
A- y
BDz = z
A- z
B i j k Dx Dy Dz FX FY FZ MB =MO também é obtido por
O B A X Y Z FX FY FZ
F
r
M
B=
D
BA
r
=
D
k
z
j
y
i
x
r
=
D
D
D
D
Em duas dimensões: Componentes escalares de MB y Z X
yF
zF
M
=
D
D
Z X YzF
xF
M
=
D
D
X Y ZxF
yF
M
=
D
D
A(x,y,0) r O X Y Z FX i FY jE em relação a um ponto arbitrário B
Momento da força F em relação ao ponto O
F
r
M
O
=
i j k x y 0 FX FY 0 MO = = 0 i + 0 j + (xFY - yFX) kk
yF
xF
j
i
M
B=
0
0
(
D
Y
D
X)
Problema 3.1 (página 125)
Uma força de 150 N é aplicada à alavanca de controle
AB, como ilustrado. O comprimento da alavanca é igual
a 0,20m e a = 30º. Determine o momento da força em relação a B decompondo a força:
a) em componentes horizontal e vertical e
b) em uma componente ao longo de AB e em outra perpendicular a AB.
REFERÊNCIA:
BEER, Ferdinand P. & JOHNSTON, E. Russell. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. 5a Edição. São Paulo:
Problema 3.23 (página 92)
O mastro AB, de 6 m, tem uma extremidade fixa A. Um cabo de aço é esticado da ponta livre B até o ponto C de uma parede vertical. Se a tração no cabo é de 2,5 kN, determine o momento em relação a A da força aplicada pelo cabo em B.
REFERÊNCIA:
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; MAZUREK, David F. & EISENBERG, Elliot R. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. 9a Edição. São Paulo: McGraw-Hill,
Problema 3.18 (página 129)
Um bote está pendurado em dois suportes, um dos quais é mostrado na figura. A tração na linha ABAD é de 182 N. Determine o momento em relação a C da força resultante RA exercida pela linha em A.
REFERÊNCIA:
BEER, Ferdinand P. & JOHNSTON, E. Russell. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. 5a Edição. São Paulo:
Pearson Makron Books, 1994.
0,73 m
1,89 m
5. Momento de uma força em relação a um eixo
OLM
OC
=
)
(
r
F
M
M
OL O OL OL=
=
=
OLM
Z Y X Z Y XF
F
F
z
y
x
L O F MO X Y Z r C Asendo
X, Y e Z os cossenos diretores do eixo OL
x, y e z as coordenadas do ponto de aplicação da força F FX, FY e FZ as componentes da força F
Considere-se uma força F atuante em um corpo e o momento desta força em relação ao ponto O, MO
O momento MOL da força F em relação a um eixo OL é dado pela projeção de MO sobre o eixo OL
Problema 3.42 (página 148)
O suporte ACD está articulado em A e D e é sustentado por um cabo que passa através do anel em B e que está preso nos ganchos em G e H. Sabendo que a tração no cabo é de 450 N, determine o momento, em relação à diagonal AD, da força aplicada no suporte pelo segmento BH do cabo.
REFERÊNCIA:
BEER, Ferdinand P. & JOHNSTON, E. Russell. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. 5a Edição. São Paulo:
6. Binário
d
-F
F
Duas forças de mesmo módulo, de linhas de ação paralelas e de sentidos opostos constituem um Binário.
F
r
r
F
r
F
r
B A B A
=
)
(
)
(
r
r
r
A
B=
F
r
M
=
Momento do binário independe da posição da origem dos eixos X, Y, Zponto de aplicação qualquer
d
F
F
r
M
=
.
.
sen
q
=
.
A B -F F O X Y Z rB rA r qM
( vetor livre)
Soma dos momentos das forças F e -F em relação ao ponto O
M
d
F
-F
M
Momento do binário
• F1d1 = F2d2•Se situarem em planos paralelos ou no mesmo plano
• Se tiverem o mesmo sentido
Binários de mesmo Momento são binários equivalentes? Dois binários constituídos por forças diferentes (F1 e -F1) e (F2 e -F2) produzirão momentos iguais se:
Sejam dois binários, M1 (atuante em um plano P1) e M2 ( atuante em um plano P2)
Pode-se admitir os binários aplicados conforme figura ao lado
=
=
=
r
R
r
(
F
1F
2)
M
2 1 2 1r
F
M
M
F
r
=
=
soma vetorial
P1 P2 F1 -F1 F2 -F2 A BR
r
R
8. Adição de Binários
Binários são representados por vetores e por sua vez podem ser combinados empregando-se a lei do
9. Decomposição de uma Força dada em uma Força e
um Binário (Sistema Força-binário)
10. Redução de um Sistema de Forças a uma Força e
um Binário
12. Casos Particulares de Redução de um Sistema de
Forças
1) Forças concorrentes: já sei fazer 2) Forças coplanares:
3) Forças paralelas:
Problema 3.86 (página 119)
Três cabos presos a um disco exercem sobre o disco as forças mostradas. Substitua as três forças por um sistema força-binário equivalente em A.
140 N 45º 45º 140 N 30º 45º 110 N 20º B A C D 20cm REFERÊNCIA:
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell & EISENBERG, Elliot R. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. 7a
Exemplo 4.16 (página 121)
O membro estrutural está sujeito a um momento de binário M e às forças F1 e F2. Substitua esse sistema por um sistema de força e momento de binário resultante equivalente agindo em sua base, o ponto O.
REFERÊNCIA:
HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12a Edição. São Paulo: Pearson Prentice-Hall, 2011.
Problema 3.123 (página 142)
Três crianças estão em pé sobre uma balsa de 4,5 x 4,5 m. Sabendo que os pesos das crianças nos pontos A, B e C são de 382,5 N, 270 N e 405 N, respectivamente, determine a intensidade e o ponto de aplicação da resultante dos três pesos.
REFERÊNCIA:
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell & EISENBERG, Elliot R. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. 7a
