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Divisibilidade
Sumário
1.1 Divisibilidade . . . 2
Unidade 1 Divisibilidade
Como a divisão de um número inteiro por outro nem sempre é possível, expressa-se esta possibilidade através da relação de divisibilidade.
Quando não existir uma relação de divisibilidade entre dois números inteiros, veremos que, ainda assim, será possível efetuar uma divisão com resto pe-queno, chamada de divisão euclidiana. O fato de sempre ser possível efetuar tal divisão é responsável por inúmeras propriedades dos inteiros que exploraremos neste e nos próximos capítulos.
1.1 Divisibilidade
Dados dois números inteiros a e b, diremos que a divide b, escrevendo a|b, quando existir c ∈ Z tal que b = c · a. Neste caso, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a.
Observe que a notação a|b não representa nenhuma operação em Z, nem representa uma fração. Trata-se de uma sentença que diz ser verdade que existe ctal que b = ca. A negação dessa sentença é representada por a 6 | b, sigi cando que não existe nenhum número inteiro c tal que b = ca. Portanto, temos que 0 6 | a, se a 6= 0.
Exemplo 1 1|0, −1|0, 2|0, −2|0; 1|6, −1|6, 1| − 6, −1| − 6, 2|6, −2|6, 2| − 6, −2| − 6, 3|6, −3|6, 3| − 6, −3| − 6, 6|6, −6|6, 6| − 6, −6| − 6; 3 6 | 4; 2 6 | 5.
Suponha que a|b e seja c ∈ Z tal que b = ca. O número inteiro c é chamado de quociente de b por a e denotado por c = b
a. Por exemplo, 0 1 = 0, 0 2 = 0, 6 1 = 6, 6 2 = 3, 6 −3 = −2, 6 3 = 2, 6 6 = 1. Note ainda que, se a|b, então ±a| ± b (veri que).
Unidade 1 Divisibilidade
Proposição 1 Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se que
i) 1|a, a|a e a|0.
ii) se a|b e b|c, então a|c.
Demonstração (i) Isto decorre das igualdades a = a · 1, a = 1 · a e 0 = 0 · a.
(ii) a|b e b|c implica que existem f, g ∈ Z, tais que b = f · a e c = g · b. Substituindo o valor de b da primeira equação na outra, obtemos
c = g · b = g · (f · a) = (g · f ) · a, o que nos mostra que a|c.
O item (i) da proposição acima nos diz que todo número inteiro é divisível por 1 e por si mesmo.
Proposição 2 Se a, b, c, d ∈ Z, então
a|b e c|d =⇒ a · c|b · d.
Demonstração Se a|b e c|d, então ∃ f, g ∈ Z, b = f · a e d = g · c. Portanto,
b · d = (f · g)(a · c), logo, a · c|b · d.
Em particular, se a|b, então a · c|b · c, para todo c ∈ Z.
Proposição 3 Sejam a, b, c ∈ Z, tais que a|(b ± c). Então
a|b ⇐⇒ a|c.
Demonstração Suponhamos que a|(b + c). Logo, existe f ∈ Z tal que b + c = f · a.
Agora, se a|b, temos que existe g ∈ Z tal que b = g · a. Juntando as duas igualdades acima, temos
g · a + c = f · a, donde segue-se que c = (f − g)a, logo a|c.
Unidade 1 Divisibilidade
A prova da implicação contrária é totalmente análoga.
Por outro lado, se a|(b − c) e a|b, pelo caso anterior, temos a| − c, o que implica que a|c.
Proposição 4 Se a, b, c ∈ Z são tais que a|b e a|c, então a|(xb+yc), para todo x, y ∈ Z. Demonstração a|b e a|c implicam que existem f, g ∈ Z tais que b = fa e c = ga.
Logo,
xb + yc = x(f a) + y(ga) = (xf + yg)a, o que prova o resultado.
Uma propriedade caracterítica dos números inteiros é a de ser vazio o con-junto {x ∈ Z; 0 < x < 1}. Isto implica que se c ∈ Z é tal que c > 0, então c > 1.
Da propriedade acima decorre a Propriedade Arquimediana de Z, ou seja, se a, b ∈ Z, com b 6= 0, então existe n ∈ Z tal que nb > a.
De fato, como |b| > 0, temos que |b| > 1, logo (|a| + 1) |b| > |a| + 1 > |a| > a.
O resultado segue se na desigualdade acima tomarmos n = |a| + 1, se b > 0 e n = −(|a| + 1), se b < 0.
Proposição 5 Dados a, b ∈ N, temos que
a|b =⇒ a 6 b.
Demonstração De fato, se a|b, existe c ∈ Z tal que b = ca. Como a, b > 0, segue-se que c ∈ N. Como 1 6 c, segue-se que a 6 ac = b.
Em particular, se a ∈ N e a|1, então 0 < a 6 1 e, portanto, a = 1.
Claramente, a recíproca da Proposição 5 não é válida, pois, por exemplo, 3 > 2; e, no entanto, 2 não divide 3.
Unidade 1 Divisibilidade
Note que a relação de divisibilidade em N é uma relação de ordem, pois i) é re exiva: ∀ a ∈ N, a|a. (Proposição 1(i)),
ii) é transitiva: se a|b e b|c, então a|c. (Proposição 1(ii)),
iii) é anti-simétrica: se a|b e b|a, então a = b. (Segue da Proposição 5). As proposições a seguir serão de grande utilidade.
Proposição 6 Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a − b divide an− bn.
Demonstração Vamos provar isto por indução sobre n.
É óbvio que a a rmação é verdade para n = 1, pois a − b divide a1− b1 =
a − b.
Suponhamos, agora, que a − b|an− bn. Escrevamos
an+1− bn+1 = aan− ban+ ban− bbn= (a − b)an+ b(an− bn).
Como a − b|a − b e, por hipótese, a − b|an− bn, decorre da igualdade acima
e da Proposição 4que a − b|an+1− bn+1. Estabelecendo o resultado para todo
n ∈ N.
Proposição 7 Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b divide a2n+1+ b2n+1.
Demonstração Vamos provar isto também por indução sobre n.
A a rmação é, obviamente, verdade para n = 0, pois a + b divide a1+ b1 =
a + b.
Suponhamos, agora, que a + b|a2n+1+ b2n+1. Escrevamos
a2(n+1)+1+ b2(n+1)+1 = a2a2n+1− b2a2n+1+ b2a2n+1+ b2b2n+1 =
(a2− b2)a2n+1+ b2(a2n+1+ b2n+1).
Como a+b divide a2−b2 = (a+b)(a−b)e, por hipótese, a+b|a2n+1+b2n+1,
decorre das igualdades acima e da Proposição4que a+b|a2(n+1)+1+ b2(n+1)+1.
Unidade 1 Divisibilidade
Proposição 8 Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b divide a2n− b2n.
Demonstração Novamente usaremos indução sobre n.
A a rmação é verdadeira para n = 1, pois claramente a + b divide a2− b2 = (a + b)(a − b).
Suponhamos, agora, que a + b|a2n− b2n. Escrevamos
a2(n+1)− b2(n+1) = a2a2n− b2a2n+ b2a2n− b2b2n =
(a2− b2)a2n+ b2(a2n− b2n).
Como a + b|a2− b2 e, por hipótese, a + b|a2n− b2n, decorre das igualdades
acima e da Proposição 4 que a + b|a2(n+1) + b2(n+1). Estabelecendo, desse
Unidade 1 Divisibilidade
1.2 Problemas
1. Sejam a, b, c ∈ Z e c 6= 0. Mostre que ac|bc ⇐⇒ a|b.
2. (ENC-98)1 A soma de todos os múltiplos positivos de 6 que se escrevem
(no sistema decimal) com dois algarismos é:
(A) 612 (B) 648 (C) 756 (D) 810 (E) 864 3. Com quanto zeros termina o número 100!?
4. (a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível por i!.
(b) Mostre que 6|n(n + 1)(2n + 1), para todo n ∈ N. 5. Mostre, por indução matemática, que, para todo n ∈ N,
(a) 8|32n+ 7
(b) 9|10n+ 3.4n+2+ 5
(c) 9|n4n+1− (n + 1)4n+ 1
(d) 169|33n+3− 26n − 27
6. Mostre que 13|270+ 370.
7. Mostre que, para todo n, (a) 9|10n− 1 (b) 8|32n− 1 (c) 53|74n− 24n (d) 3|10n− 7n (e) 13|92n− 24n (f) 6|52n+1+ 1 (g) 19|32n+1+ 44n+2 (h) 17|102n+1+ 72n+1 (i) 14|34n+2+ 52n+1 8. Sejam a, b ∈ Z.
a) Se a 6= b, mostre que, para todo n ∈ N, n > 2, an− bn
a − b = a
n−1
+ an−2· b + · · · + a · bn−2+ bn−1.
Unidade 1 Problemas
b) Se a + b 6= 0, mostre que, para todo n ∈ N, a2n+1+ b2n+1
a + b = a
2n− a2n−1· b + · · · − a · b2n−1+ b2n.
c) Mostre que, para todo n ∈ N, a2n− b2n
a + b = a
2n−1− a2n−2· b + · · · + a · b2n−2− b2n−1.
9. Para quais valores de a ∈ N a) a − 2|a3+ 4?
b) a + 3|a3− 3?
c) a + 2|a4+ 2?
d) a + 2|a4+ 2a3 + a2+ 1?
10. Mostre que, para todos a, m, n ∈ Z,
m > n > 0 =⇒ a2n + 1|a2m − 1. 11. Mostre, para todo n ∈ N, que n2|(n + 1)n− 1.
12. Mostre, para todo a ∈ Z, que
a) 2|a2− a b) 3|a3− a c) 5|a5− a d) 7|a7− a
13. Mostre que existem in nitos valores de n em N para os quais 8n2+ 5 é
2
Divisão Euclidiana
Sumário
2.1 Divisão Euclidiana . . . 2
2.2 Problemas . . . 6
Unidade 2 Divisão Euclidiana
Mesmo quando um número inteiro a não divide o número inteiro b, Euclides1,
nos seus Elementos, utiliza, sem enunciá-lo explicitamente, o fato de que é sempre possível efetuar a divisão de b por a, com resto2. Este resultado, cuja
demonstração damos abaixo, não só é um importante instrumento na obra de Euclides, como também é um resultado central da teoria.
2.1 Divisão Euclidiana
Teorema 1
Divisão Euclidiana Sejam a e b dois números inteiros com a 6= 0. Existem dois únicos números
inteiros q e r tais que
b = a · q + r, com 0 6 r < |a|.
Demonstração Considere o conjunto
S = {x = b − ay; y ∈ Z} ∩ (N ∪ {0}).
Existência: Pela Propriedade Arquimediana, existe n ∈ Z tal que n(−a) > −b, logo b − na > 0, o que mostra que S é não vazio. O conjunto S é limitado inferiormente por 0, logo, pelo princípio da boa ordenação, temos que S possui um menor elemento r. Suponhamos então que r = b−aq. Sabemos que r > 0. Vmos mostrar que r < |a|. Suponhamos por absurdo que r > |a|. Portanto, existe s ∈ N ∪ {0} tal que r = |a| + s, logo 0 6 s < r. Mas isto contradiz o fato de r ser o menor elemento de S, pois s = b − (q ± 1)a ∈ S, com s < r. Unicidade: Suponha que b = aq+r = aq0+r0, onde q, q0, r, r0
∈ Z , 0 6 r < |a| e 0 6 r0 < |a|. Assim, temos que −|a| < −r 6 r0−r < |a|. Logo, |r0−r| < |a|.
Por outro lado, a(q − q0) = r0− r, o que implica que
|a||q − q0| = |r0− r| < |a|, o que só é possível se q = q0 e consequentemente, r = r0.
1para saber mais sobre a obra de Euclides, leia a nota histórica no nal deste capítulo. 2Devemos observar que Euclides só tratava números positivos.
Unidade 2 Divisão Euclidiana
Nas condições do teorema acima, os números q e r são chamados, respec-tivamente, de quociente e de resto da divisão de b por a.
Da divisão euclidiana, temos que o resto da divisão de b por a é zero se, e somente se, a divide b.
Exemplo 1 O quociente e o resto da divisão de 19 por 5 são q = 3 e r = 4. O
quociente e o resto da divisão de −19 por 5 são q = −4 e r = 1.
Exemplo 2 Vamos mostrar aqui que o resto da divisão de 10npor 9 é sempre 1, qualquer
que seja o número natural n.
Isto será feito por indução. Para n = 1, temos que 101 = 9 · 1 + 1; portanto,
o resultado vale.
Suponha, agora, o resultado válido para um dado n ∈ N, isto é 10n = 9·q+1.
Considere a igualdade
10n+1= 10·10n= (9+1)10n = 9·10n+10n = 9·10n+9·q+1 = 9(10n+q)+1, provando que o resultado vale para n + 1 e, consequentemente, vale para todo n ∈ N.
Note que este resultado decorre também do Problema 1.1.7(a), pois lá pedia-se para mostrar que 9|10n− 1; portanto, sendo isso verdade, temos que
10n−1 = 9qe, consequentemente, 10n= 9q +1. Uma prova mais simples pode
ser dada com a utilização da Proposição 1.1.6 da Unidade 1, já que 9 = 10 − 1 e 10n− 1 = 10n− 1n.
Corolário 2 Dados dois números naturais a e b com a > 0, existe um número inteiro n
tal que
na 6 b < (n + 1)a.
Demonstração Pela divisão euclidiana, temos que existem q, r ∈ Z com 0 6 r < a,
univocamente determinados, tais que b = a · q + r. Basta agora tomar n = q. A a rmação contida no corolário acima (para b > 0) foi feita, sem de-monstração, por Euclides nos Elementos, que a utilizava para justi car a sua divisão.
Unidade 2 Divisão Euclidiana
Exemplo 3 Dado um número inteiro n ∈ Z qualquer, temos duas possibilidades: i) o resto da divisão de n por 2 é 0, isto é, existe q ∈ N tal que n = 2q; ou ii) o resto da divisão de n por 2 é 1, ou seja, existe q ∈ N tal que n = 2q + 1.
Portanto, os números inteiros se dividem em duas classes, a dos números da forma 2q para algum q ∈ Z, chamados de números pares, e a dos números da forma 2q + 1, chamados de números ímpares. Os naturais são classi cados em pares e ímpares, pelo menos, desde Pitágoras, 500 anos antes de Cristo.
A paridade de um número inteiro é o caráter do número ser par ou ímpar. É fácil determinar a paridade da soma e do produto de dois números a partir da paridade dos mesmos (veja Problema 2.1.3).
Exemplo 4 Mais geralmente, xado um número natural m > 2, pode-se sempre es-crever um número qualquer n, de modo único, na forma n = mk + r, onde k, r ∈ Z e 0 6 r < m.
Por exemplo, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 3k, 3k + 1, ou 3k + 2.
Ou ainda, todo número inteiro n pode ser escrito em uma, e somente uma, das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2, ou 4k + 3.
Exemplo 5 Dados a, n ∈ N, com a > 2 e ímpar, vamos determinar a paridade de (an− 1)/2.
Como a é ímpar, temos que an− 1 é par, e, portanto (an − 1)/2 é um
número natural. Logo, é legítimo querer determinar a sua paridade. Temos, pelo Problema 1.1.8(a), que
an− 1
2 = a − 1
2 (a
n−1+ · · · + a + 1).
Sendo a ímpar, temos que an−1+ · · · + a + 1 é par ou ímpar, segundo n
é par ou ímpar (veja Problema 2.1.3). Portanto, a nossa análise se reduz à procura da paridade de (a − 1)/2.
Sendo a ímpar, ele é da forma 4k + 1 ou 4k + 3. Se a = 4k + 1, então (a − 1)/2 é par, enquanto que, se a = 4k + 3, então (a − 1)/2 é ímpar.
Unidade 2 Divisão Euclidiana
Resumindo, temos que (an− 1)/2é par se, e somente se, n é par ou a é da
forma 4k + 1.
Exemplo 6 Vamos achar os múltiplos de 5 que se encontram entre 1 e 253. Estes são
todos os múltiplos de 5 que cabem em 253. Pelo algoritmo da divisão temos que
253 = 5 · 50 + 3,
ou seja, o maior múltiplo de 5 que cabe em 253 é 5 · 50, onde 50 é o quociente da divisão de 253 por 5. Portanto, os múltiplos de 5 ente 1 e 253 são
1 · 5, 2 · 5, 3 · 5, . . . , 50 · 5, e, consequentemente, são em número de 50.
Mais geralmente, dados a, b ∈ N com a < b, o número de múltiplos não nulos de a menores ou iguais a b é igual ao quociente da divisão de b por a.
Unidade 2 Problemas
2.2 Problemas
1. Ache o quociente e o resto da divisão a) de 27 por 5. b) de 38 por 7.
2. Mostre como, usando uma calculadora que só realiza as quatro operações, pode-se efetuar a divisão euclidiana de dois números naturais em apenas três passos. Aplique o seu método para calcular o quociente e o resto da divisão de 3721056 por 18735.
3. Discuta a paridade
(a) da soma de dois números. (b) da diferença de dois números. (c) do produto de dois números. (d) da potência de um número. (e) da soma de n números ímpares.
4. (a) Mostre que um número natural a é par se, e somente se, an é par,
qualquer que seja n ∈ N.
(b) Mostre que an± am é sempre par, quaisquer que sejam n, m ∈ N.
(c) Mostre que, se a e b são ímpares, então a2+ b2 é divisível por 2 mas
não divisível por 4.
5. Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual (a) à metade do quociente?
(b) ao quociente?
(c) ao dobro do quociente? (d) ao triplo do quociente?
6. Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número de cada terna abaixo é divisível por 3.
Unidade 2 Divisão Euclidiana (a) n, n + 1, n + 2 (b) n, n + 2, n + 4 (c) n, n + 10, n + 23 (d) n, n + 1, 2n + 1 7. Mostre que
(a) se n é ímpar, então n2− 1 é divisível por 8.
(b) se n não é divisível por 2, nem por 3, então n2− 1 é divisível por
24.
(c) ∀n ∈ N, 4 6 |n2+ 2.
8. Sejam dados os números naturais a, m e n tais que 1 < a < m < n. (a) Quantos múltiplos de a existem entre m e n?
(b) Quantos múltiplos de 7 existem entre 123 e 2551? (c) Quantos múltiplos de 7 existem entre 343 e 2551?
9. (ENC-2000) Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo e um quadrado, então ele é da forma 5n, 5n + 1, ou 5n + 4.
10. (ENC-2000)
(a) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a2 deixa
resto 1 na divisão por 3.
(b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide a2+ b2, então a e b são divisíveis por 3.
11. (ENC-2001) Seja N um número natural; prove que a divisão de N2 por
6 nunca deixa resto 2.
12. (ENC-2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de N por 5?
13. Mostre que, se n é ímpar, então a soma de n termos consecutivos de uma PA é sempre divisível por n.
14. Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4.
Unidade 2 Problemas
Problemas Suplementares
15. Mostre, para todo n ∈ N, que (a) 6|n3+ 11n (b) 9|4n+ 15n − 1 (c) 3n+2|103n− 1 (d) 7|23n− 1 (e) 8|32n+ 7 (f) 7|32n+1+ 2n+2 (g) a2−a+1|a2n+1+ (a − 1)n+2, para todo a ∈ N
16. Mostre que, se um inteiro é um quadrado e um cubo, então é da forma 7k ou 7k + 1.
17. (a) Mostre que um quadrado perfeito ímpar é da forma 4n + 1.
(b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, . . . é um quadrado perfeito.
18. (a) Mostre que todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k ± 1. (b) Com que algarismo pode terminar um quadrado perfeito?
(c) Se três inteiros positivos veri cam a2 = b2+ c2, então entre eles há
um múltiplo de 2 e um múltiplo de 5.
(d) A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito.
19. Mostre que, de n inteiros consecutivos, um, e apenas um, deles é divisível por n.
20. Um número é dito livre de quadrados se não for divisível pelo quadrado de nenhum número diferente de 1.
(a) Determine qual é o maior número de números naturais consecutivos livres de quadrados.
(b) De na números livres de cubos e resolva o problema correspondente.
21. Seja m ∈ N. Pode o número m(m + 1) ser a sétima potência de um número natural? (generalize).
22. Dados a, b ∈ N, quantos números naturais divisíveis por b existem na sequência a, 2a, . . . , ba?
Unidade 2 Divisão Euclidiana
23. Sejam a, d ∈ N. Mostre que, na sequência a+0d, a+d, a+2d, a+3d, . . . ou não existe nenhum quadrado ou existem in nitos quadrados.
Unidade 2 A Aritmética na Magna Grécia
2.3 A Aritmética na Magna Grécia
Segundo os historiadores, foi Tales de Mileto (640-546 AC) quem introduziu o estudo da Matemática na Grécia. Tales teria trazido para a Grécia os rudi-mentos da geometria e da aritmética que aprendera com os sacerdotes egípcios, iniciando a intensa atividade matemática que ali se desenvolveu por mais de 5 séculos.
A diferença entre a matemática dos egípcios e a dos gregos era que, para os primeiros, tratava-se de uma arte que os auxiliava em seus trabalhos de engenharia e de agrimensura, enquanto que, com os segundos, assumia um caráter cientí co, dada a atitude losó ca e especulativa que os gregos tinham face à vida.
Em seguida, foram Pitágoras de Samos (580?-500? AC) e sua escola (que durou vários séculos) que se encarregaram de ulteriormente desenvolver e di-fundir a Matemática pela Grécia e suas colônias. A escola pitagórica atribuía aos números um poder místico, adotando a aritmética como fundamento de seu sistema losó co. Quase nada sobrou dos escritos originais dessa fase da matemática grega, chegando até nós apenas referências e comentários feitos por outros matemáticos posteriores.
Os gregos tinham uma forte inclinação para a loso a e a lógica, tendo isto in uenciado fortemente toda a sua cultura e, em particular, o seu modo de fazer matemática. Um importante exemplo disso foi a grande in uência que sobre ela exerceu Platão (429-348 AC), que, apesar de não ser matemático, nela via um indispensável treinamento para o lósofo, ressaltando a metodologia axiomático-dedutiva a ser seguida em todos os campos do conhecimento. O domínio da geometria era uma condição necessária aos aspirantes para o ingresso na sua academia. A preferência de Platão pelos aspectos mais teóricos e concei-tuais o fazia estabelecer uma clara diferenciação entre a ciência dos números, que chamava aritmética, e a arte de calcular, que chamava logística, a qual desprezava por ser infantil e vulgar".
Com toda esta herança cultural, surge por volta de 300 AC, em Alexandria, um tratado que se tornaria um dos marcos mais importantes da Matemática, Os Elementos de Euclides3. Pouco se sabe sobre os dados biográ cos deste
Unidade 2 Divisão Euclidiana
grande matemático, tendo chegado a nós, através de sucessivas edições, este tratado composto por treze livros, onde se encontra sistematizada a maior parte do conhecimento matemático da época.
Aparentemente, Euclides não criou muitos resultados, mas teve o mérito de estabelecer um padrão de apresentação e de rigor na Matemática jamais alcançado anteriormente, tido como o exemplo a ser seguido nos milênios que se sucederam. Dos treze livros de Os Elementos, dez versam sobre geometria e três, sobre aritmética. Nos três livros de aritmética, Livros VII, VIII e IX, Euclides desenvolve a teoria dos números naturais, sempre com uma visão ge-ométrica (para ele, números representam segmentos e números ao quadrado representam áreas). No Livro VII, são de nidos os conceitos de divisibilidade, de número primo, de números perfeitos, de máximo divisor comum e de mínimo múltiplo comum, entre outros. No mesmo livro, além das de nições acima, todas bem postas e até hoje utilizadas, encontra-se enunciada (sem demons-tração) a divisão com resto de um número natural por outro, chamada divisão euclidiana (nosso Teorema 2.1.1). Com o uso iterado desta divisão, Euclides estabelece o algoritmo mais e ciente, até hoje conhecido, para o cálculo do máximo divisor comum de dois inteiros (Proposições 1 e 2 nos Elementos), chamado de Algoritmo de Euclides, que apresentaremos na Unidade 5. No Livro VIII, são estudadas propriedades de sequências de números em progressão geométrica. No Livro IX, Euclides mostra, de modo magistral, que a quantidade de números primos supera qualquer número dado; em outras palavras, existem in nitos números primos (Proposição 20 nos Elementos; nosso Teorema 2.1 da Unidade 12). Euclides também prova que todo número natural se escreve de modo essencialmente único como produto de números primos, resultado hoje chamado de Teorema Fundamental da Aritmética (Proposição 14 nos Elemen-tos; nosso Teorema 1.1 da Unidade 12). É também provado um resultado que dá uma condição necessária para que um número natural seja perfeito (Proposição 35 em Os Elementos; parte de nosso Teorema 1.1, Unidade 16).
Após Euclides, a aritmética estagnou por cerca de 500 anos, ressuscitando com os trabalhos de Diofanto de Alexandria, que viveu por volta de 250 DC. A obra que Diofanto nos legou chama-se Aritmética e foi escrita em treze
João Bosco Pitombeira, Cadernos da RPM, Volume 5, N. 1, 1994; ou ainda, Euclides, a conquista do espaço, por Carlos Tomei, Odysseus, São Paulo, 2003.
Unidade 2 A Aritmética na Magna Grécia
volumes, dos quais apenas sete nos chegaram. Trata-se do primeiro tratado de álgebra hoje conhecido, pois a abordagem de Diofanto era totalmente algébrica, não sendo revestida de nenhuma linguagem ou interpretação geométrica, como o faziam todos os seus predecessores. A maioria dos problemas estudados por Diofanto em Aritmética visava encontrar soluções em números racionais, muitas vezes contentando-se em encontrar apenas uma solução, de equações algébricas com uma ou várias incógnitas.
Um dos problemas tratados por Diofanto era a resolução em números ra-cionais, ou inteiros, da equação pitagórica x2+ y2 = z2, chegando a descrever
todas as suas soluções. Este problema teve o poder de inspirar o matemático francês Pierre Fermat mais de 1300 anos depois, traçando os rumos futuros que a Matemática iria tomar, como veremos mais adiante.
3
Sistemas de Numeração
Sumário
3.1 Representação dos Números Inteiros . . . 2
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
O sistema universalmente utilizado pelas pessoas comuns para representar os números inteiros é o sistema decimal posicional. Este sistema de numeração, que é uma variante do sistema sexagesimal utilizado pelos babilônios 1700 anos antes de Cristo, foi desenvolvido na China e na Índia. Existem documentos do século VI comprovando a utilização desse sistema. Posteriormente, foi se espalhando pelo Oriente Médio, por meio das caravanas, tendo encontrado grande aceitação entre os povos árabes. A introdução do sistema decimal na Europa foi tardia por causa dos preconceitos da Idade Média. Por exemplo, num documento de 1299, os banqueiros de Florença condenavam o seu uso.
O sistema começou a ter maior difusão na Europa a partir de 1202, quando da publicação do livro Liber Abacci, de Fibonacci. Vários séculos se passaram para que, nalmente, esse sistema fosse adotado sem restrições pelos europeus. Há outros sistemas de numeração em uso, notadamente os sistemas binário ou em bases potências de 2, que são correntemente usados em computação. Uma característica comum a esses sistemas de numeração é o fato de serem todos sistemas posicionais com base constante.
Neste capítulo nos restringiremos à representação dos números naturais, pois 0 tem seu próprio símbolo e todo número inteiro negativo é representado por um número natural precedido pelo sinal −.
3.1 Representação dos Números Inteiros
No sistema decimal, todo número inteiro é representado por uma sequência formada pelos algarismos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
acrescidos do símbolo 0 (zero), que representa a ausência de algarismo. Por serem dez os algarismos, o sistema é chamado decimal.
O sistema é também chamado posicional, pois cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função da posição que ele ocupa no número. Esse peso, sempre uma potência de dez, varia do seguinte modo:
O algarismo da extrema direita tem peso 1; o seguinte, sempre da direita para a esquerda, tem peso dez; o seguinte tem peso cem; o seguinte tem peso
Unidade 3 Sistemas de Numeração
mil, etc.
Portanto, os números de um a nove são representados pelos algarismos de 1 a 9, correspondentes. O número dez é representado por 10, o número cem por 100, o número mil por 1000.
Por exemplo, o número 12019, na base 10, é a representação de 1 · 104+ 2 · 103+ 0 · 102+ 1 · 10 + 9 = 1 · 104+ 2 · 103+ 1 · 10 + 9. Cada algarismo de um número possui uma ordem contada da direita para a esquerda. Assim, no exemplo acima, o primeiro 1 que aparece1 é de segunda
ordem, enquanto que o último é de quinta ordem. O 9 é de primeira ordem, enquanto que o 2 é de quarta ordem.
Cada terna de ordens, também contadas da direita para a esquerda, forma uma classe. As classes são, às vezes, separadas umas das outras por meio de um ponto.
Damos a seguir os nomes das primeiras classes e ordens: Classe das Unidades
unidades 1a ordem dezenas 2a ordem centenas 3a ordem Classe do Milhar
unidades de milhar 4a ordem
dezenas de milhar 5a ordem
centenas de milhar 6a ordem
Classe do Milhão
unidades de milhão 7a ordem
dezenas de milhão 8a ordem
centenas de milhão 9a ordem
Os sistemas de numeração posicionais baseiam-se no seguinte resultado, que é uma aplicação da divisão euclidiana.
Teorema 1 Dados a, b ∈ N, com b > 1, existem números naturais c0, c1, . . . , cn
menores do que b, univocamente determinados, tais que a = c0+ c1b + c2b2+
· · · + cnbn.
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
Demonstração Vamos demonstrar o teorema usando a segunda forma do Princípio de Indução Matemática sobre a. Se a = 0, ou se a = 1, basta tomar n = 0 e c0 = a.
Supondo o resultado válido para todo natural menor do que a, vamos prová-lo para a. Pela divisão euclidiana, existem q e r únicos tais que
a = bq + r, com r < b.
Como q < a (veri que), pela hipótese de indução, segue-se que existem números naturais n0 e d
0, d1, . . . , dn0, com dj < b, para todo j, tais que
q = d0+ d1b + · · · + dn0bn 0
.
Levando em conta as igualdades acima destacadas, temos que a = bq + r = b(d0+ d1b + · · · + dn0bn
0
) + r,
donde o resultado segue-se pondo c0 = r, n = n0 + 1 e cj = dj−1 para
j = 1, . . . , n.
A unicidade segue-se facilmente das unicidades acima estabelecidas.
A representação dada no teorema acima é chamada de expansão relativa à base b. Quando b = 10, essa expansão é chamada expansão decimal, e quando b = 2, ela toma o nome de expansão binária.
A demonstração do Teorema também nos fornece um algoritmo para deter-minar a expansão de um número qualquer relativamente à base b.
Trata-se de aplicar, sucessivamente, a divisão euclidiana, como segue: a = bq0+ r0, r0 < b,
q0 = bq1 + r1, r1 < b,
q1 = bq2 + r2, r2 < b,
e assim por diante. Como a > q0 > q1 > · · ·, deveremos, em um certo ponto,
ter qn−1 < b e, portanto, de
Unidade 3 Sistemas de Numeração
decorre que qn = 0, o que implica 0 = qn = qn+1 = qn+2 = · · ·, e, portanto,
0 = rn+1 = rn+2= · · ·.
Temos, então, que
a = r0+ r1b + · · · + rnbn.
A expansão numa dada base b nos fornece um método para representar os números naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b símbolos
S = { s0, s1, . . . , sb−1 },
com s0 = 0, para representar os números de 0 a b − 1. Um número natural a
na base b se escreve da forma
xnxn−1. . . x1x0,
com x0, . . . , xn∈ S, e n variando, dependendo de a, representando o número
x0+ x1b + · · · + xnbn.
No sistema decimal, isto é, de base b = 10, usa-se S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Se b 6 10, utilizam-se os símbolos 0, 1, . . . , b − 1. Se b > 10, costuma-se usar os símbolos de 0 a 9, acrescentando novos símbolos para 10, . . . , b − 1.
Exemplo 1 No sistema de base b = 2, temos que
S = { 0, 1},
e todo número natural é representado por uma sequência de 0 e 1. Por exemplo, o número 10 na base 2 representa o número 2 (na base 10). Temos também que
100 = 22, 101 = 1 + 22, 111 = 1 + 2 + 22, 1011 = 1 + 2 + 23. O sistema na base 2 é habitualmente utilizado nos computadores.
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
Exemplo 2 Vamos representar o número 723 na base 5. Por divisão euclidiana sucessiva,
723 = 144 · 5 + 3, 144 = 28 · 5 + 4, 28 = 5 · 5 + 3, 5 = 1 · 5 + 0, 1 = 0 · 5 + 1. Portanto,
723 = 3 + 4 · 5 + 3 · 52+ 0 · 53+ 1 · 54, e, consequentemente, 723 na base 5 se representa por 10343.
Daremos a seguir critérios de divisibilidade por 5, por 10, por 3 e por 9 para números representados na base 10.
Proposição 2 Seja a = rn· · · r1r0 um número representado no sistema decimal. Uma
condição necessária e su ciente para que a seja divisível por 5 (respectivamente por 10) é que r0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0).
Demonstração Sendo a = 10 · (rn· · · r1) + r0, temos que a é divisível por 5 se, e somente
se, r0 é divisível por 5, e, portanto, r0 = 0 ou r0 = 5. Por outro lado, a é
divisível por 10 se, e somente se, r0 é divisível por 10, o que somente ocorre
quando r0 = 0.
Proposição 3 Seja a = rn· · · r1r0 um número representado no sistema decimal. Uma
condição necessária e su ciente para que a seja divisível por 3 ou por 9 é que rn+ · · · + r1+ r0 seja divisível por 3 ou por 9, respectivamente.
Demonstração Temos que
a − (rn+ · · · + r1+ r0) = rn10n+ · · · + r110 + r0 − (rn+ · · · + r1+ r0) =
rn(10n− 1) + · · · + r1(10 − 1).
Como o termo à direita nas igualdades acima é divisível por 9, temos, para algum número q, que
Unidade 3 Sistemas de Numeração
Assim, ca claro que a é divisível por 3 ou por 9 se, e somente se, rn+
· · · + r1+ r0 é divisível por 3 ou por 9.
Exemplo 3 [O Nove Misterioso] . Peça para alguém escolher, em segredo, um número
natural com, pelo menos, três algarismos (no sistema decimal, é claro). Peça, ainda, para que efetue uma permutação qualquer dos seus algarismos, obtendo um novo número, e que subtraia o menor do maior dos dois números. Final-mente, peça ao seu parceiro de jogo para reter um dos algarismos diferente de zero desse novo número e divulgar os restantes. É possível adivinhar o algarismo retido!
Vamos desvendar o mistério. Seja a = rn· · · r1r0 o número secreto e seja
a0 o número obtido pela permutação dos algarismos de a. Pela demonstração da Proposição 3 sabemos que existem q, q0
∈ N tais que
a = (rn+ · · · + r1+ r0) + 9q e a0 = (rn+ · · · + r1+ r0) + 9q0.
Logo, a diferença entre o maior e o menor desses números é divisível por 9. Por-tanto, para adivinhar o algarismo que falta, basta descobrir, dentre os números de 1 a 9, quanto devemos somar à soma dos algarismos divulgados para que o resultado seja divisível por 9.
A exclusão do zero no algarismo retido é para eliminar uma possível ambigu-idade que ocorre quando a soma dos algarismos divulgados seja já múltiplo de 9; neste caso, o algarismo escondido tanto poderia ser o nove quanto o zero.
A representação binária tem peculiaridades interessantes, como veremos a seguir. Inicialmente extraímos um corolário imediato do Teorema 1.
Corolário 4 Todo número natural se escreve de modo único como soma de potências
distintas de 2.
Determinar a expansão binária de um número a é ainda mais fácil do que determinar a sua expansão relativa a um número b 6= 2.
De fato, escreve-se a lista de números começando com a, seguido pelo quociente q0 da divisão de a por 2, seguido pelo quociente q1 da divisão de q0
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
por 2, seguido pelo quociente q2 da divisão de q1 por 2, etc. (Note que a divisão
por 2 é tão fácil que pode ser feita mentalmente.)
Na divisão euclidiana sucessiva, temos que, se a é ímpar, então r0 = 1; caso
contrário, r0 = 0; temos r1 = 1 se q0 é ímpar, e r1 = 0, caso contrário. Em
geral, ri+1 = 1 se qi é ímpar, e ri+1 = 0, caso contrário. Até encontrarmos
qn−1 = 1, quando colocamos rn= 1. Segue-se, portanto, que
a = r0 + r1· 2 + · · · + rn· 2n.
Exemplo 4 O método acima, para determinar expansões binárias, permite desenvolver um algoritmo utilizado pelos antigos egípcios para calcular o produto de dois números usando apenas multiplicações e divisões por 2, além de adições. Este método tem a vantagem de apenas necessitar do conhecimento da tabuada do 2.
De fato, para efetuar a multiplicação de a por b, escreve-se a como soma de potências de 2:
a = r0+ r12 + · · · + rn2n,
com cada ri zero ou um. Logo,
a · b = r0· b + r1· 2b + · · · rn· 2nb.
Escrevem-se duas colunas de números, uma ao lado da outra, onde, na coluna da esquerda, colocam-se, um em cada linha, os números a, q0, q1, . . .,
qn−1 (= 1)(como descritos acima) e, na coluna da direita, também um em cada
linha, os números b, 2b, 4b, . . ., 2nb. Como a paridade do elemento da coluna
da esquerda na linha i − 1 determina se ri = 0 ou ri = 1, quando somarmos
os elementos da coluna da direita que correspondem a elementos ímpares da coluna da esquerda, obteremos a · b.
Vejamos um exemplo. Vamos multiplicar 523 por 37. 37 523 + 18 1046 9 2092 + 4 4184 2 8368 1 16736 +
Unidade 3 Sistemas de Numeração
Portanto,
37 · 523 = 523 + 2092 + 16736 = 19351
Exemplo 5 [O Problema da Moeda Falsa]
Têm-se 2n moedas, sendo uma delas falsa, com peso menor do que as
demais. Dispõe-se de uma balança de dois pratos, mas sem nenhum peso. Vamos mostrar, por indução sobre n, que é possível achar a moeda falsa com n pesagens.
Para n = 1, isto é fácil de ver, pois, dadas as duas moedas, basta pôr uma moeda em cada prato da balança e descobre-se imediatamente qual é a moeda falsa.
Suponha, agora, que o resultado seja válido para algum valor de n e que se tenha que achar a moeda falsa dentre 2n+1 moedas dadas. Separemos as 2n+1
moedas em 2 grupos de 2nmoedas cada. Coloca-se um grupo de 2nmoedas em
cada prato da balança. Assim, poderemos decobrir em que grupo de 2nmoedas
encontra-se a moeda falsa. Agora, pela hipótese de indução, descobre-se a moeda falsa com n pesagens, que, junto com a pesagem já efetuada, perfazem o total de n + 1 pesagens.
Vamos agora generalizar a solução do problema para um número arbitrário de moedas.
Seja m o número total de moedas, das quais uma é falsa. Escrevamos a expansão binária de m:
m = 2n1 + 2n2 + · · · + 2nr.
Vamos mostrar que n1pesagens são su cientes para descobrir a moeda falsa.
A demonstraçao será feita usando a segunda forma do Princípio de Indução sobre n1.
Suponha n1 = 1, ou seja, temos, no máximo, três moedas. Pondo uma
moeda em cada prato da balança, descobre-se imediatamente a moeda falsa e, portanto, o resultado é trivialmente veri cado. Suponha o resultado verdadeiro para todo n0
< n1.
Sejam agora 2n1+ 2n2+ · · · + 2nr moedas, das quais uma é falsa. Separemos
Unidade 3 Representação dos Números Inteiros
um. Começamos analisando o primeiro lote com 2n1 moedas. Se a moeda
falsa está neste lote, com o método discutido no início, sabemos que podemos descobrir a moeda falsa com, no máximo, n1 pesagens. Se este lote não contém
a moeda falsa, descobrimos isto com apenas uma pesagem (põe-se metade das moedas do lote em cada prato; se a balança se equilibrar, a moeda falsa não se encontra aí) e descartamos o lote todo. Sobram, então, 2n2+· · ·+2nr moedas a
serem analisadas. Pela hipótese de indução, bastam n2 pesagens para descobrir
a moeda falsa, que, juntamente com a pesagem já realizada, perfazem um total de n2+ 1 pesagens que certamente é menor ou igual do que n1.
Unidade 3 Sistemas de Numeração
3.2 Problemas
1. Mostre que, na base 10, o algarismo das unidades de um quadrado perfeito só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
2. Um certo número de três algarismos na base 10 aumenta de 36 se permu-tarmos os dois algarismos da direita, e diminui de 270 se permupermu-tarmos os dois algarismos da esquerda. O que acontece ao número se permutarmos os dois algarismos extremos?
3. (Critério de divisibilidade por uma potência de 2) Seja dado um número a, representado na base 10 por a = anan−1. . . a0 . Usando o fato de que
2k|10k, mostre que 2k divide a se, e somente se, o número a
k−1. . . a1a0
é divisível por 2k. Em particular, a é divisível por 2 se, e somente se, a 0
é 0, 2, 4, 6 ou 8; também, a é divisível por 4 se, e somente se, a1a0 é
divisível por 4.
4. Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal, de modo que os algarismos das centenas a e o das unidades c di ram de, pelo menos, duas unidades. Considere os números abc e cba e subtraia o menor do maior, obtendo o número xyz. A soma de xyz com zyx vale 1089. Justi que este fato.
5. Seja dado o número 4783 na base 10; escreva-o nas seguintes bases: 2, 3, 4, 7, 12 e 15.
6. O número 3416 está na base 7; escreva-o nas bases 5 e 12.
7. Um número na base 10 escreve-se 37; em que base escrever-se-á 52?
8. Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243?
9. Escreva a tabuada na base 5. Use-a para calcular 132 + 413 e 23 · 342.
5
Máximo Divisor Comum
Sumário
5.1 Algoritmo de Euclides . . . 2
Unidade 5 Algoritmo de Euclides
Os conceitos e resultados contidos neste capítulo encontram-se, em sua maioria, no Livro VII dos Elementos de Euclides. É notável a sua atualidade, apesar dos quase dois milênios e meio que nos separam de sua criação.
5.1 Algoritmo de Euclides
Dados dois números inteiros a e b, não simultaneamente nulos, diremos que o número inteiro d ∈ Z é um divisor comum de a e b se d|a e d|b.
Por exemplo, os números ±1, ±2, ±3 e ±6 são os divisores comuns de 12 e 18.
A de nição a seguir é essencialmente a de nição dada por Euclides nos Elementos e se constitui em um dos pilares da sua aritmética.
Diremos que um número natural d é um máximo divisor comum (mdc) de a e b, não simultaneamente nulos, se possuir as seguintes propriedades:
i) d é um divisor comum de a e de b, e
ii) d é divisível por todo divisor comum de a e b.
A condição (ii) acima pode ser reenunciada como segue: ii0) Se c é um divisor comum de a e b, então c|d.
Portanto, se d é um mdc de a e b e c é um divisor comum desses números, então |c| divide d e, portanto, c 6 |c| 6 d. Isto nos mostra que o máximo divisor comum de dois números é efetivamente o maior dentre todos os divisores comuns desses números.
Em particular, isto nos mostra que, se d e d0 são dois mdc de um mesmo
par de números, então d 6 d0 e d0
6 d, e, consequentemente, d = d0. Ou seja, o mdc de dois números, quando existe, é único.
O mdc de a e b, quando existe (veremos mais adiante que sempre existe o mdc de dois números inteiros não simultaneamente nulos), será denotado por (a, b). Como o mdc de a e b não depende da ordem em que a e b são tomados, temos que
(a, b) = (b, a).
Em alguns casos particulares, é facil veri car a existência do mdc. Por exemplo, se a é um número inteiro não nulo, tem-se claramente que (0, a) = |a|,
Unidade 5 Máximo Divisor Comum
(1, a) = 1 e que (a, a) = |a|. Mais ainda, para todo b ∈ Z, temos que
a|b ⇐⇒ (a, b) = |a|. (5.1) De fato, se a|b, temos que |a| é um divisor comum de a e b, e, se c é um divisor comum de a e b, então c divide |a|, o que mostra que |a| = (a, b).
Reciprocamente, se (a, b) = |a|, segue-se que |a| divide b, logo a|b.
A demonstração da existência do mdc de qualquer par de números inteiros, não ambos nulos, é bem mais sutil. Poder-se-ia, como se faz usualmente no Ensino Fundamental, de nir o máximo divisor comum de dois números a e b como sendo o maior elemento do conjunto de todos os divisores comuns desses números, o que de imediato garantiria a sua existência. De qualquer modo, seria necessário provar a propriedade (ii) da de nição de mdc, pois é ela que possibilita provar os resultados subsequentes, e não o fato do mdc ser o maior dos divisores comuns.
Observe que dados a, b ∈ Z não ambos nulos, se existir o mdc (a, b) de a e b, então
(a, b) = (−a, b) = (a, −b) = (−a, −b).
Assim, para efeito do cálculo do mdc de dois números, podemos supô-los não negativos.
Para provar a existência do máximo divisor comum de dois inteiros não negativos, Euclides utiliza, essencialmente, o resultado abaixo, que chamaremos de Lema de Euclides.
Lema 1
Lema de Euclides
Sejam a, b, n ∈ Z. Se existe (a, b − na), então (a, b) existe e (a, b) = (a, b − na).
Demonstração Seja d = (a, b − na). Como d|a e d|(b − na), segue que d divide b =
b − na + na. Logo, d é um divisor comum de a e b. Suponha agora que c seja um divisor comum de a e b. Logo, c é um divisor comum de a e b − na e, portanto, c|d. Isso prova que d = (a, b).
Unidade 5 Algoritmo de Euclides
O Lema de Euclides é efetivo para calcular mdc, conforme veremos nos exemplos a seguir, e será fundamental para estabelecermos o algoritmo de Eu-clides, que permitirá, com muita e ciência, calcular o mdc de dois números naturais quaisquer.
Exemplo 1 Dados a, m ∈ N com a > 1, temos que am− 1
a − 1 , a − 1
= (a − 1, m).
A igualdade acima é trivialmente veri cada se m = 1. Suponhamos que m > 2. Chamando de d o primeiro membro da igualdade, temos, do Problema 8 da Unidade 1, que
d = (am−1+ am−2+ · · · + a + 1, a − 1) = (am−1− 1) + (am−2− 1) + · · · + (a − 1) + m, a − 1 .
Como, pela Proposição 6 da Unidade 1, temos que
a − 1|(am−1− 1) + (am−2− 1) + · · · + (a − 1),
segue-se que (am−1− 1) + (am−2− 1) + · · · + (a − 1) = n(a − 1)para algum
n ∈ N, e, portanto, pelo Lema1, tem-se que
d = (n(a − 1) + m, a − 1) = (a − 1, n(a − 1) + m) = (a − 1, m).
Exemplo 2 Vamos, neste exemplo, determinar os valores de a não negativos e n ∈ N para os quais a + 1 divide a2n+ 1.
Note inicialmente que
a + 1|a2n+ 1 ⇐⇒ (a + 1, a2n+ 1) = a + 1.
Como a2n+ 1 = (a2n−1)+2, e a+1|a2n−1 (veja Proposição 8 da Unidade
1), segue-se, pelo Lema 1, que para todo n,
(a + 1, a2n+ 1) = (a + 1, (a2n− 1) + 2) = (a + 1, 2).
Portanto, a + 1|a2n+ 1, para algum n ∈ N, se, e somente se, a + 1 =
Unidade 5 Máximo Divisor Comum
Exemplo 3 Vamos, neste exemplo, determinar os valores de a não negativos e n ∈ N
para os quais a + 1 divide a2n+1− 1.
Note que
(a + 1, a2n+1− 1) = (a + 1, a(a2n− 1) + a − 1) = (a + 1, a − 1).
Portanto, a + 1|a2n+1− 1, para algum n ∈ N, se, e somente se,
a + 1 = (a + 1, a2n+1− 1) = (a + 1, a − 1), o que ocorre se, e somente se, a = 0 ou a = 1.
Algoritmo de Euclides
A seguir, apresentaremos a prova construtiva da existência do mdc dada por Euclides (Os Elementos, Livro VII, Proposição 2). O método, chamado de Algoritmo de Euclides, é um primor do ponto de vista computacional e pouco conseguiu-se aperfeiçoá-lo em mais de dois milênios.
Dados a, b ∈ N, podemos supor a 6 b. Se a = 1 ou a = b, ou ainda a|b, já vimos que (a, b) = a. Suponhamos, então, que 1 < a < b e que a 6 | b. Logo, pela divisão euclidiana, podemos escrever
b = aq1+ r1, com 0 < r1 < a.
Temos duas possibilidades:
a) r1|a, e, em tal caso, por (5.1) e pelo Lema 1,
r1 = (a, r1) = (a, b − q1a) = (a, b),
e termina o algoritmo, ou
b) r1 6 | a, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de a por r1, obtendo
a = r1q2+ r2, com 0 < r2 < r1.
Novamente, temos duas possibilidades: a0) r
2|r1, e, em tal caso, novamente, por (5.1) e pelo Lema 1,
Unidade 5 Algoritmo de Euclides
e paramos, pois termina o algoritmo, ou b0) r
2 6 | r1, e, em tal caso, podemos efetuar a divisão de r1 por r2, obtendo
r1 = r2q3+ r3, com 0 < r3 < r2.
Este procedimento não pode continuar inde nidamente, pois teríamos uma sequência de números naturais a > r1 > r2 > · · · que não possui menor
elemento, o que não é possível pela Propriedade da Boa Ordenação. Logo, para algum n, temos que rn|rn−1, o que implica que (a, b) = rn.
O algoritmo acima pode ser sintetizado e realizado na prática, como mostramos a seguir.
Inicialmente, efetuamos a divisão b = aq1 + r1 e colocamos os números
envolvidos no seguinte diagrama:
q1
b a r1
A seguir, continuamos efetuando a divisão a = r1q2 + r2 e colocamos os
números envolvidos no diagrama
q1 q2
b a r1
r1 r2
Prosseguindo, enquanto for possível, teremos
q1 q2 q3 · · · qn−1 qn qn+1 b a r1 r2 · · · rn−2 rn−1 rn= (a, b) r1 r2 r3 r4 · · · rn Exemplo 5.1.4. Calculemos o mdc de 372 e 162: 2 3 2 1 2 372 162 48 18 12 6 48 18 12 6
Observe que, no exemplo acima, o Algoritmo de Euclides nos fornece: 6 = 18 − 1 · 12
Unidade 5 Máximo Divisor Comum
12 = 48 − 2 · 18 18 = 162 − 3 · 48 48 = 372 − 2 · 162
Donde se segue que
6 = 18 − 1 · 12 = 18 − 1 · (48 − 2 · 18) = 3 · 18 − 48 = 3 · (162 − 3 · 48) − 48 = 3 · 162 − 10 · 48 =
3 · 162 − 10 · (372 − 2 · 162) = 23 · 162 − 10 · 372. Temos, então, que
(372, 162) = 6 = 23 · 162 + (−10) · 372.
Note que conseguimos, através do uso do Algoritmo de Euclides de trás para frente, escrever 6 = (372, 162) como múltiplo de 162 mais um múltiplo de 372. O Algoritmo de Euclides nos fornece, portanto, um meio prático de escrever o mdc de dois números como soma de dois múltiplos dos números em questão. Esta é uma propriedade geral do mdc que redemonstraremos com todo rigor na próxima seção. Quando utilizarmos o Algoritmo de Euclides para expressar (a, b) na forma ma + nb, com m, n ∈ Z, nos referiremos a ele comoAlgoritmo de Euclides Estendido.
Unidade 5 Problemas
5.2 Problemas
1. Para cada par de números naturais a e b dados abaixo, ache (a, b) e determine números inteiros m e n tais que (a, b) = na + mb.
(a) 637 e 3887 (b) 648 e 1218 (c) 551 e 874 (d) 7325 e 8485
(e) 987654321 e 123456789 2. Seja n ∈ N. Mostre que
(a) (n, 2n + 1) = 1
(b) (n + 1, n2+ n + 1) = 1
(c) (2n + 1, 9n + 4) = 1 (d) (n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1
3. Mostre que (a, a2+ na + b)|b, quaisquer que sejam a, b, n ∈ N.
4. Dados a, m ∈ N, mostre que (a) a2ma + 1− 1, a + 1 = (a + 1, 2m) (b) a2m+1+ 1 a + 1 , a + 1 = (a + 1, 2m + 1) 5. Calcule (a) 240+ 1 28+ 1, 2 8+ 1 (b) 250+ 1 210+ 1, 2 10+ 1
6. Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus e a outra com 700 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares tem o prédio.
6
Propriedades do mdc
Sumário
6.1 Propriedades do Máximo Divisor Comum . . . 2
Unidade 6 Propriedades do Máximo Divisor Comum
Estudaremos nesta unidade as propriedades básicas do Máximo Divisor Co-mum.
6.1 Propriedades do Máximo Divisor Comum
Sejam a, b ∈ Z. De nimos o conjunto
I(a, b) = {xa + yb; x, y ∈ Z}.
Note que se a e b não são simultaneamente nulos, então I(a, b) ∩ N 6= ∅. De fato, temos que a2+ b2
= a · a + b · b ∈ I(a, b) ∩ N.
Teorema 1 Sejam a, b ∈ Z não ambos nulos. Se d = min I(a, b) ∩ N, então i) d é o mdc de a e b; e
ii) I(a, b) = dZ (= {ld; l ∈ Z}).
Demonstração (i) Suponha que c divida a e b, logo c divide todos os números naturais da forma xa + yb. Portanto, c divide todos os elementos de I(a, b), e, conse-quentemente, c|d.
Vamos agora mostrar que d divide todos os elementos de I(a, b). Seja z ∈ I(a, b) e suponha, por absurdo, que d 6 |z. Logo, pela Divisão Euclidiana,
z = dq + r, com 0 < r < d. (6.1) Como z = xa + vb e d = na + mb, para alguns x, y, n, m ∈ Z, segue-se de (6.1) que
r = (x − qn)a + (y − qm)b ∈ I(a, b) ∩ N,
o que é um absurdo, pois d = min I(a, b) ∩ N e r < d. Em particular, d|a e d|b.
Assim, provamos que d é o mdc de a e b.
(ii) Dado que todo elemento de I(a, b) é divisível por d, temos que I(a, b) ⊂ dZ. Por outro lado, para todo ld ∈ dZ, temos que ld = l(na + mb) =
Unidade 6 Propriedades do mdc
(ln)a + (lm)b ∈ I(a, b) e, portanto, dZ ⊂ I(a, b). Em conclusão, temos que I(a, b) = dZ.
O Teorema acima nos dá uma outra demonstração da existência do mdc de dois números. Note que essa demonstração, ao contrário da prova de Euclides, não é construtiva, no sentido de que não nos fornece um meio prático para achar o mdc dos dois números.
Corolário 2 Quaisquer que sejam a, b ∈ Z, não ambos nulos e n ∈ N, (na, nb) =
n(a, b).
Demonstração Note inicialmente que
I(na, nb) = nI(a, b) (= {nz; z ∈ I(a, b)}). Agora, o resultado segue do teorema e do fato que
min nI(a, b) = n min I(a, b).
Corolário 3 Dados a, b ∈ Z, não ambos nulos, tem-se que
a (a, b), b (a, b) = 1. Demonstração Pelo Corolário 1, temos que
(a, b) a (a, b), b (a, b) = (a, b) a (a, b), (a, b) b (a, b) = (a, b),
o que prova o resultado.
Dois números inteiros a e b serão ditos primos entre si, ou coprimos, se (a, b) = 1; ou seja, se o único divisor comum positivo de ambos é 1.
Unidade 6 Propriedades do Máximo Divisor Comum
Proposição 4 Dois números inteiros a e b são primos entre si se, e somente se, existem números inteiros n e m tais que na + mb = 1.
Demonstração Suponha que a e b são primos entre si. Logo, (a, b) = 1. Como, pelo Teorema 1, temos que existem números inteiros n e m tais que na + mb = (a, b) (= 1), segue a primeira parte da proposição.
Reciprocamente, suponha que existam números inteiros n e m tais que na + mb = 1. Se d = (a, b), temos que d|(na + mb), o que mostra que d|1, e, portanto, d = 1.
A Proposição 4estabelece uma relação crucial entre as estruturas aditiva e multiplicativa dos números naturais, o que permitirá provar, entre vários outros resultados, o importante teorema a seguir.
Teorema 5 Sejam a, b e c números inteiros. Se a|b · c e (a, b) = 1, então a|c. Demonstração Se a|b · c, então existe e ∈ Z tal que bc = ae.
Se (a, b) = 1, então, pela Proposição 4, temos que existem m, n ∈ Z tais que
na + mb = 1.
Multiplicando por c ambos os lados da igualdade acima, temos que c = nac + mbc.
Substituindo bc por ae nesta última igualdade, temos que c = nac + mae = a(nc + me) e, portanto, a|c.
Corolário 6 Dados a, b, c ∈ Z, com b e c não ambos nulos, temos que b|a e c|a ⇐⇒ bc
Unidade 6 Propriedades do mdc
Demonstração De fato, temos que a = nb = mc para alguns n, m ∈ Z. Logo,
n b (b, c) = m c (b, c). Como b (b, c), c (b, c) = 1, segue-se que b
(b, c)|m, o que implica que c b
(b, c)|cm. Como cm = a, o resultado segue.
A noção de mdc pode ser generalizada como a seguir.
Um número natural d será dito mdc de dados números inteiros a1, . . . , an,
não todos nulos, se possuir as seguintes propriedades: i) d é um divisor comum de a1, . . . , an.
ii) Se c é um divisor comum de a1, . . . , an, então c|d.
O mdc, quando existe, é certamente único e será representado por (a1, . . . , an).
Proposição 7 Dados números inteiros a1, . . . , an, não todos nulos, existe o seu mdc e
(a1, . . . , an) = (a1, . . . , (an−1, an)).
Demonstração Vamos provar a proposição por indução sobre n (> 2). Para n = 2,
sabemos que o resultado é válido. Suponha que o resultado vale para n. Para provar que o resultado é válido para n + 1, basta mostrar que
(a1, . . . , an, an+1) = (a1, . . . , (an, an+1)),
pois isso provará também a existência.
Seja d = (a1, . . . , (an, an+1)). Logo, d|a1, . . . , d|an−1 e d|(an, an+1)).
Por-tanto, d|a1, . . . , d|an−1, d|an e d|an+1.
Por outro lado, seja c um divisor comum de a1, . . . , an, an+1; logo, c é um
divisor comum de a1, . . . , an−1 e (an, an+1); e, portanto, c|d.
Para calcular o número (a1, . . . , an), pode-se usar recursivamente o
Unidade 6 Problemas
6.2 Problemas
1. Mostre que, se (a, b) = 1, a|c e b|c, então a · b|c.
2. (a) Mostre que, se (a, b) = 1, então (a · c, b) = (c, b).
(b) Mostre que (a · c, b) = 1 se, e somente se, (a, b) = (c, b) = 1.
3. Suponha que (a, b) = (a, d) = (c, b) = (c, d) = 1. (a) Mostre que (a · c, b · d) = 1.
(b) Mostre que (an, bm) = 1, ∀n, m ∈ N.
(c) Mostre que, se n ∈ N, então (a + b, bn) = (a − b, bn) = 1.
4. (a) Mostre que, se n é ímpar, então n(n2− 1) é divisível por 24.
(b) Mostre que 24 divide n(n2− 1)(3n + 2)para todo n ∈ N.
5. (a) Mostre que n5− n é divisível por 30.
(b) Mostre que n5 e n possuem o mesmo algarismo das unidades.
6. Mostre que a|bc se, e somente se, a (a, b)|c.
7. Sejam a e b dois números inteiros com (a, b) = 1. (a) Mostre que (b + a, b − a) é 1 ou 2.
(b) Mostre que (a + b, a2+ b2) é 1 ou 2.
8. Sejam a, b ∈ Z com (a, b) = 1 e m ∈ N. (a) Se a 6= b, mostre que a − b,a
m− bm
a − b
= (a − b, m).
(b) Se a+b 6= 0 e m é ímpar, mostre quea + b,a
m+ bm
a + b
= (a+b, m).
9. Mostre que, se a, b, x, y ∈ Z, com ax + by = (a, b), então (x, y) = 1.
Unidade 6 Propriedades do mdc
11. Três números inteiros são ditos primos entre si se (a, b, c) = 1. Mostre que três números inteiros, dois a dois primos entre si, são primos entre si. Mostre que não vale a recíproca; isto é, ache três números inteiros primos entre si e que não dois a dois primos entre si.
12. Mostre que, para todo n ∈ N, tem-se que n + 1 divide 2n
n
7
Mínimo Múltiplo Comum
Sumário
7.1 Mínimo Múltiplo Comum . . . 2
Unidade 7 Mínimo Múltiplo Comum
7.1 Mínimo Múltiplo Comum
Diremos que um número inteiro é um múltiplo comum de dois números naturais dados se ele é simultaneamente múltiplo de ambos os números.
Em qualquer caso, os números ab e 0 são sempre múltiplos comuns de a e b.
Diremos que um número natural m é um mínimo múltiplo comum (mmc) dos números inteiros a e b, ambos não nulos, se possuir as seguintes propriedades:
(i) m é um múltiplo comum de a e b, e
(ii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m|c.
Por exemplo, 12 é um múltiplo comum de 2 e 3, mas não é um mmc destes números. O número 6 é um mmc de 2 e 3.
Se m e m0 são dois mínimos múltiplos comuns de a e b, então, do item
(ii) da de nição acima, temos que m|m0 e m0|m. Como m e m0 são números
naturais, temos que m = m0, o que mostra que o mínimo múltiplo comum, se
existe, é único. Por outro lado, se m é o mmc de a e b e c é um múltiplo comum de a e b, então m|c. Portanto, se c é positivo, temos que m 6 c, mostrando que m é o menor dos múltiplos comuns positivos de a e b.
O mínimo múltiplo comum de a e b, se existe, é denotado por [a, b]. Caso exista [a, b] é fácil mostrar que
[−a, b] = [a, −b] = [−a, −b] = [a, b].
Proposição 1 Dados dois números inteiros a e b, ambos não nulos, temos que [a, b] existe e
[a, b](a, b) = |ab|. Demonstração
Podemos, sem perda de generalidade, supor a, b ∈ N. Ponhamos m = ab (a, b). Como m = a b (a, b) = b a (a, b),
Unidade 7 Mínimo Múltiplo Comum
temos que a|m e b|m.
Seja c um múltiplo comum de a e b; logo, c = na = n0b. Segue daí que
n a
(a, b) = n
0 b
(a, b). Como, pelo Corolário 2 do Teorema 6.1.1, a
(a, b) e b
(a, b) são primos entre si, segue-se, do Teorema 6.1.2, que a
(a, b) divide n
0, e, portanto, m = a
(a, b)b divide n0b que é igual a c.
Em virtude da proposição acima, o mínimo múltiplo comum de dois inteiros pode ser encontrado por meio do Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc, pois basta dividir o módulo do produto dos dois números pelo seu mdc.
Corolário 2 Se a e b são números inteiros primos entre si, então [a, b] = |ab|.
Exemplo 1 Sejam b e m dois números naturais. Vamos mostrar que, na sequência de
números
b, 2b, 3b, . . . , mb,
existem exatamente (b, m) números divisíveis por m. De fato, os números da sequência divisíveis por m são múltiplos de b e m; logo, múltiplos de [b, m]. Esses são:
[b, m], 2[b, m], 3[b, m], . . . , (b, m)[b, m] (= mb) Portanto, tem-se (b, m) números divisíveis por m na sequência.
Podemos estender a noção de mmc para vários números, como faremos a seguir.
Diremos que um número natural m é um mmc dos inteiros não nulos a1, . . . , an, se m é um múltiplo comum de a1, . . . , an, e, se para todo múltiplo
comum m0 desses números, tem-se que m|m0. É facil ver que o mmc, se existe,
Unidade 7 Mínimo Múltiplo Comum
Proposição 3 Sejam a1, . . . , an números inteiros não nulos. Então existe o número
[a1, . . . , an] e
[a1, . . . , an−1, an] = [a1, . . . , [an−1, an]] .
Demonstração Basta provar que, se existe [a1, . . . , [an−1, an]], vale a igualdade acima. A
existência do mdc segue facilmente disso, por indução.
Seja m = [a1, . . . , [an−1, an]]. Logo, a1, . . . an−2 e [an−1, an] dividem m.
Como an−1|[an−1, an] e an|[an−1, an], segue que m é um múltiplo comum de
a1, . . . , an.
Por outro lado, suponha que m0 seja um múltiplo comum de a
1, . . . , an.
Logo, a1|m0, . . . , an−2|m0 e [an−1, an]|m0; daí segue que m0 é múltiplo de
m = [a1, . . . , [an−1, an]].
Exemplo 2 Temos que
Unidade 7 Mínimo Múltiplo Comum
7.2 Problemas
1. Calcule o mmc dos pares de números do Problema 3.1.1.
2. (a) Se m é um múltiplo comum não nulo de a e b, mostre que m = [a, b] ⇐⇒ m a, m b = 1. (b) Se r e s não são nulos e ra = sb > 0, mostre que
ra (r, s) =
sb
(r, s) = [a, b].
3. Sejam a, b, c três números naturais não nulos. Mostre que abc = [a, b, c](ab, ac, bc).
4. Sejam a, b ∈ Z não nulos e seja n ∈ N; mostre que [na, nb] = n[a, b]. 5. Seja n ∈ N; calcule [n2+ 1, n + 1].
6. Sejam a, b ∈ N. Mostre que (a, b) = [a, b] ⇐⇒ a = b. 7. Sejam a, b ∈ Z ambos não nulos. Considere o conjunto
M (a, b) = aZ ∩ bZ = {x ∈ Z; ∃n, m ∈ Z tais que x = na e x = mb}. (a) Mostre que [a, b] = min (M(a, b) ∩ N).
(b) Mostre que M(a, b) = [a, b]Z.
8. Sejam d, m ∈ N. Mostre que uma condição necessária e su ciente para que existam a, b ∈ Z tais que (a, b) = d e [a, b] = m é que d|m.
9. Sejam a1, . . . , an ∈ Z. Mostre que
(ai, aj) = 1, i 6= j ⇐⇒ [a1, . . . , an] = |a1· · · an|.
10. Sejam a, b, c ∈ Z não nulos. Mostre que (a) (a, [b, c]) = [(a, b), (a, c)];
8
Equações Diofantinas
Lineares
Sumário
8.1 Equações Diofantinas Lineares . . . 2
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
8.1 Equações Diofantinas Lineares
A resolução de vários problemas de aritmética recai na resolução, em números inteiros, de equações do tipo
aX + bY = c, com a, b, c ∈ Z.
Tais equações são chamadas equações diofantinas lineares em homenagem a Diofanto de Alexandria (aprox. 300 DC).
Nem sempre estas equações possuem solução. Por exemplo, a equação 4X + 6Y = 3
não possui nenhuma solução x0, y0 em números inteiros pois, caso contrário,
teríamos 4x0+ 6y0 par e, portanto, nunca igual a 3.
É, então, natural perguntar-se em que condições tal equação possui soluções e, caso as tenha, como determiná-las?
As respostas para estas perguntas são relativamente fáceis e serão dadas nas duas proposições a seguir.
Proposição 1 Sejam a, b ∈ Z \ {0} e c ∈ Z. A equação aX + bY = c admite solução em números inteiros se, e somente se, (a, b)|c.
Demonstração Pelo Teorema 1 da Unidade 6, temos que
I(a, b) = {na + mb; n, m ∈ Z} = (a, b)Z.
É claro que a equação aX + bY = c possui solução se, e somente se, c ∈ I(a, b), o que é equivalente a c ∈ (a, b)Z, que, por sua vez, é equivalente a (a, b)|c.
É imediato veri car que a equação aX + bY = c é equivalente à equação a1X + b1Y = c1, onde a1 = a (a, b), b1 = b (a, b) e c1 = c (a, b).
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
Note que (a1, b1) = 1 e, portanto, podemos nos retringir às equações do
tipo
aX + bY = c, com (a, b) = 1, que sempre têm soluções.
Mostraremos a seguir como as soluções de uma equação diofantina como acima podem ser determinadas a partir da uma solução particular qualquer x0, y0.
Proposição 2 Seja x0, y0 uma solução da equação aX + bY = c, onde (a, b) = 1. Então,
as soluções x, y em Z da equação são
x = x0+ tb, y = y0− ta; t ∈ Z.
Demonstração Seja x, y uma solução de aX + bY = c, logo,
ax0+ by0 = ax + by = c.
Consequentemente,
a(x − x0) = b(y0− y). (8.1)
Como (a, b) = 1, segue-se que b|(x − x0). Logo,
x − x0 = tb, t ∈ Z.
Substituindo a expressão de x − x0 acima em (8.1), segue-se que
y0− y = ta,
o que prova que as soluções são do tipo exibido.
Por outro lado, x, y, como no enunciado, é solução, pois ax + by = a(x0+ tb) + b(y0 − ta) = ax0+ by0 = c.
Segue-se da proposição acima que a equação diofantina aX + bY = c, com (a, b) = 1, admite in nitas soluções em Z.
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
A seguir, descreveremos um método para encontrar uma solução particular de uma equação do tipo aX + bY = c, quando (a, b) = 1.
Se |a|, |b| e |c| são números pequenos, uma solução pode ser encontrada por inspeção. Mais geralmente, o método descrito abaixo sempre permitirá achar uma solução particular da equação.
Usando o algoritmo euclidiano estendido, é possível determinar n, m ∈ Z tais que
na + mb = (a, b) = 1.
Multiplicando ambos os membros da igualdade acima por c, obtemos c = cna + cmb.
Logo, x0 = cne y0 = cm é uma solução particular da equação.
Exemplo 1 Resolvamos a equação 24X + 14Y = 18.
A equação tem solução, pois (24, 14)|18. Dividindo ambos os membros da equação por 2 = (24, 14), obtemos a equação equivalente 12X + 7Y = 9.
Vamos, em seguida, achar uma solução particular x0, y0desta última equação.
Pelo algoritmo euclidiano, temos 12 = 7 · 1 + 5
7 = 5 · 1 + 2 5 = 2 · 2 + 1
Substituindo as equações acima umas nas outras, obtemos 1 = 12 · 3 − 7 · 5,
portanto,
9 = 12 · 27 + 7 · (−45).
Logo, x0 = 27 e y0 = −45 é solução particular da equação e,
consequente-mente, as soluções são
Unidade 8 Equações Diofantinas Lineares
Algumas vezes é necessário resolver em N ∪ {0} equações diofantinas da forma aX + bY = c, onde a, b, c ∈ N. Para responder às mesmas perguntas formuladas acima para essas equações, vamos precisar do resultado a seguir.
Proposição 3 Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Todo número natural c pode ser escrito
de modo único da seguinte forma:
c = na + mb, com 0 6 n < b e m ∈ Z.
Demonstração Existência: Sabemos que existem u, v ∈ Z tais que ua+vb = (a, b) = 1.
Multiplicando ambos os lados desta última igualdade por c, temos que auc + bvc = c.
Pela divisão euclidiana, temos que existem q, n ∈ Z com 0 6 n < b tais que uc = qb + n. Substituindo esse valor de uc na igualdade acima, obtemos
c = na + mb, com 0 6 n < b e m = qa + vc ∈ Z. Unicidade: Suponhamos que
na + mb = n0a + m0b, com 0 6 n, n0 < b. Podemos supor sem perda de generalidade que n > n0. Logo,
na + mb = n0a + m0b ⇒ (n − n0)a = (m0− m)b.
Portanto, b|(n − n0) já que (a, b) = 1. Mas, sendo 0 6 n − n0 < b, isto só é
possível se n = n0, daí decorrendo que m = m0.
Sejam a, b ∈ N. De nimos o conjunto
S(a, b) = {xa + yb; x, y ∈ N ∪ {0}}.
É claro que aX + bY = c, com (a, b) = 1, tem solução em N ∪ {0} se, e somente se, c ∈ S(a, b). Portanto, é de fundamental importância caracterizar os elementos do conjunto S(a, b).
