MATEMÁTICA - Apostila FGV de Matemática Financeira.pdf

FGV Management

FGV Management

Gestão Empresarial

Gestão Empresarial

Matemática Financeira

Matemática Financeira

 Pro

 Prof. C

f. Carl

arlos A

os Alexa

lexandr

ndre Sá

e Sá

[email protected]  [email protected]  Realização Fundação Realização Fundação Getulio Vargas Getulio Vargas FGV Management FGV Management

odos os direitos reser!ados " Fundação Getulio Vargas odos os direitos reser!ados " Fundação Getulio Vargas

#á$ %arlos &lexandre #á$ %arlos &lexandre Matemática Financeira ' (

Matemática Financeira ' (aa _{Rio de Rio de )aneiro* )aneiro* FGVFGV} Management ' %ursos de

Management ' %ursos de Educação %ontinuada.Educação %ontinuada. +,p.

+,p.

-ibliograia -ibliograia (. M

(. Matemática atemática Financeira Financeira /. /. &dministração &dministração 0. 1tulo0. 1tulo %oordenação Execu

%oordenação Executi!a do FGV Management* 2ro. ti!a do FGV Management* 2ro. Ricardo #pinelli de %ar!al3oRicardo #pinelli de %ar!al3o %oordenador Geral da %entral de 4ualidade* 2ro. %arlos

%oordenador Geral da %entral de 4ualidade* 2ro. %arlos 5ongo5ongo

%oordenadores de 6rea* 2roa. #7l!ia %onstant Vergara. %oordenadores de 6rea* 2roa. #7l!ia %onstant Vergara.

Sumário

Sumário

MAT

MATEMÁEMÁTICTICA A FINFINANCANCEIREIRA A ... 1 1

1.

1. PROPROGRAGRAMA MA DA DA DISCDISCIPLIPLINA INA ... 3 3

1.1 E

1.1 EMENTAMENTA...3...3

1.2 C

1.2 CARGAARGA HORÁRIAHORÁRIA TOTALTOTAL...3...3

1.3 O

1.3 OBJETIVOSBJETIVOS...3...3

1. C

1. CONTE!DOONTE!DO PROGRAMÁTICOPROGRAMÁTICO...3...3

1." M

1." METODOLOGIAETODOLOGIA......

1.# C

1.# CRIT$RIOSRIT$RIOS DEDE AVALIA%&OAVALIA%&O......

1.' B

1.' BIBLIOGRAFIAIBLIOGRAFIA RECOMENDADARECOMENDADA......

C

C(RRIC(L(M(RRIC(L(M RES(MIDORES(MIDO DODO PROFESSOR PROFESSOR ......

2.

2. PRIPRINCINCIPAIPAIS S CONCONCEICEITOS ...TOS ... # #

E

E)ERC*CIOS)ERC*CIOS ... ... + +

3.

3. J(RJ(ROS OS SIMSIMPLEPLES S ... ... , ,

3.1 F

3.1 F-RM(LAS-RM(LAS G GEN$RICASEN$RICAS ... ... , ,

3.2 T

3.2 TA)ASA)AS P PROPORCIONAISROPORCIONAIS ... ... 1 1

3.3 F

3.3 F-RM(LAS-RM(LAS D DERIVADASERIVADAS ... ... 11 11

3. D

3. DESCONTOESCONTODEDE T T*T(LOS*T(LOSEE D D(PLICATAS(PLICATAS ... ... 11 11

3." (

3." (SANDOSANDOAA C CALC(LADORAALC(LADORA F FINANCEIRAINANCEIRA ... ... 13 13

E

E)ERC*CIOS)ERC*CIOS/ .../ ... 1" 1"

.

. J(RJ(ROS OS COMCOMPOSTPOSTOS ...OS ... 1' 1'

.1 F

.1 F-RM(LAS-RM(LAS G GEN$RICASEN$RICAS ... ... 1' 1'

.2 T

.2 TA)ASA)AS E E0(IVALENTES0(IVALENTES ... ... 1+ 1+

.3 F

.3 F-RM(LAS-RM(LAS D DERIVADASERIVADAS ... ... 1, 1,

. (

. (SANDOSANDOAA C CALC(LADORAALC(LADORA F FINANCEIRAINANCEIRA ... ... 2 2

." J

." J(ROS(ROS S SIMPLESIMPLESVSVS. J. J(ROS(ROS C COMPOSTOSOMPOSTOS ... ... 21 21

E

E)ERC*CIOS)ERC*CIOS/ .../ ... 22 22

".

". FL(FL()O )O DE DE CAICAI)A )A ... 2 2

".1 VALOR  AT(AL DE (M FL()O DE CAI)A ... 2

".2 A TA)A INTERNA DE R ETORNO ... 2" ".3 S$RIES (NIFORMES  ... 2'

... 2+

... 2+

". E0(IVALNCIA DE FL()OS DE CAI)A ... 2,

"." (SANDO A CALC(LADORA FINANCEIRA ... 3

... 32 E)ERC*CIOS ... 33 #. SISTEMAS DE AMORTIA%&O ... .... 3" #.1 O SISTEMA PRICE ... 3" ... 3# ... 3'

#.2 SAC  SISTEMA DE AMORTIA%4ES CONSTANTES ... 3'

... 3, #.3 CASOS PARTIC(LARES  ... 3, ...  ... 1 ... 2 E)ERC*CIOS ... 2

'. SOL(%&O DOS E)ERC*CIOS ... 3

CAP*T(LO2 ... 3 CAP*T(LO3 ... 3 CAP*T(LO ... # ... # ... ' ... , ... " CAP*T(LO" ... " ... " /

1. Pro5r6m6 76 7i89i:;i<6

1.1 Em=<>6

)uros #imples. %onceito de 8uros simples. 9esconto de 1tulos e 9uplicatas. Valor de ace e !alor de mercado. )uros compostos. %onceito de 8uros compostos. Valor do din3eiro no tempo. Valor presente e !alor uturo. Valor presente l1:uido e taxa interna de retorno. axa de desconto. Valor e custo. 2roblemas da 0R. E:ui!al;ncia de taxas de 8uros. 2er1odos de capitalização. axas anuais$ mensais e diárias. E:ui!al;ncia de luxas de caixa. 2erpetuidades e anuidades. #istemas de amortização. abela price e #&%.

1.2 C6r56 ?orári6 >o>6;

/, 3oras aula

1.3 O@=>io8

Expor os undamentos da matemática inanceira. Estudar as principais caracter1sticas dos sistemas de 8uros simples e dos 8uros compostos e suas principais aplicaç<es práticas. Focar as aplicaç<es do sistema de 8uros compostos nos luxos de caixa e dos luxos de caixa nos sistemas de amortização. 0ntroduzir o aluno na utilização da calculadora inanceira =2>(/%. 9ar ao aluno base para cursos mais a!ançados.

1. Co<>=7o :ro5r6má>i9o

2rincipais %onceitos )uros #imples  Fórmulas Genéricas Taxas Proporcionais  Fórmulas Derivadas

 Desconto de Títulos e Duplicatas )uros %ompostos

 Fórmulas Genéricas Taxas Equivalentes  Fórmulas Derivadas

 Juros Simples vs Juros !ompostos Fluxo de %aixa

"alor #tual de um Fluxo de !aixa  # Taxa $nterna de %etorno

Séries &ni'ormes

 Equival(ncia de Fluxos de !aixa #istemas de &mortização

) Sistema Price

S#! * Sistema de #morti+a,-es !onstantes

1." M=>o7o;o5i6

&ps um cap1tulo introdutrio onde são expostos os principais conceitos :ue serão desen!ol!idos ao longo do curso$ o programa se di!ide em :uatro tpicos :ue se interligam em ordem crescente de complexidade$ cada um ser!indo de base ao :ue será exposto no cap1tulo seguinte.

#empre :ue poss1!el$ A exposto como os problemas concernentes ao assunto abordado A resol!ido analiticamente e como a calculadora pode ser utilizada para resol!er o mesmo  problema. 4uando a solução anal1tica A muito complexa e en!ol!e problemas complicados de potenciação$ logaritmos ou interpolaç<es$ o aluno A poupado e o programa exp<e apenas a solução por meio da calculadora.

&o longo da exposição$ são resol!idos exemplos para ixar os conceitos expostos. &o inal de cada cap1tulo são enunciados alguns exerc1cios cu8as soluç<es encontram>se no inal da apostila.

1.# Cri>rio8 7= 66;i6o

&o inal do curso$ os alunos serão a!aliados por meio de pro!a indi!idual$ sem consulta.  Besta pro!a$ algumas :uest<es podem exigir a solução anal1ticaC em outras$ será permitido o

uso da calculadora. #omente serão abordados assuntos contidos na apostila.

1.' Bi@;io5r6i6 r=9om=<7676

2D%%0B0$ &belardo ' Matemática Financeira > Editora #arai!a

Curri9u;um r=8umi7o 7o :ro=88or

%arlos &lexandre #á$ Formado em Engen3aria %i!il pela 2D%>R)$ %urso de &dministração de Empresas pela DFER)$ %urso de administração industrial pela Dni!ersidade da =olanda$ 9iretor #uperintendente da Metalab 0ndustria e %omercio$ 9iretor #uperintendente da Reinaria de #al 0ta Grupo Boralage$ 9iretor Financeiro da #5>#istemas de ransportes 5tda. Grupo -ozano #imonsen$ 9iretor Financeiro da =iborn do -rasil produtos 5illo$ 9iretor Financeiro da Montana 2articipaç<es 5tda. subsidiária da estern Energ7 %o.$ ,

2roessor do 0nstituto -rasileiro de Executi!os Financeiros$ 2roessor do 0-ME% > 0nstituto

-rasileiro de Empresas do Mercado de %apitais$ #cio da Cash Flow Solutions

Consultoria.$ 2roessor con!idado da Fundação GetHlio Vargas.

2. Pri<9i:6i8 Co<9=i>o8

#upon3amos :ue duas empresas$ a empresa I&J e a empresa I-J$ ten3am a receber RK (LL cada. & empresa I&J de!e receber seus RK (LL em ?L dias e a empresa I-J$ em ?L dias. #erá :ue os RK (LL da empresa I&J !alem o mesmo :ue os RK (LL da empresa I-JN %laro :ue nãoO Ps RK (LL da empresa I&J !alem mais do :ue os RK (LL da empresa I-J. 0sto por:ue o !alor do din3eiro !aria no tempo. Q o c3amado I!alor temporalJ do din3eiro. & matemática inanceira A a ci;ncia :ue estuda o !alor do din3eiro no tempo.

 Fi.ura / 0 ) valor temporal do din1eiro

Em matemática inanceira$ os seguintes termos possuem os seguintes signiicados*

Pri<9i:6; C6:i>6; I<i9i6; ou V6;or Pr=8=<>=

%3amamos de principal$ capital inicial ou !alor presente " :uantia tomada emprestada ou in!estida e sobre a :ual incidirão 8uros.

Juro8

%3amamos de 8uros " remuneração recebida por :uem aplicou ou paga por :uem tomou din3eiro emprestado. Ps 8uros são$ portanto$ sempre expressos em unidades monetárias. #e$ por exemplo$ uma pessoa aplicou RK (LL em um papel de renda ixa e$ ao inal de um certo tempo$ resgatou este in!estimento por RK ((L$ os 8uros recebidos oram RK (L.

Mo<>6<>= V6;or 7= R=856>= ou V6;or Fu>uro

%3amamos de montante " soma do principal mais 8uros. Bo exemplo acima$ o montante recebido pelo aplicador oi RK ((L$ ou se8a$ a soma do principal de RK (LL com os 8uros de RK (L.



R$100 R$100

30 dias

T66 7= Juro8

%3amamos de taxa de 8uros " relação entre os 8uros recebidos ou pagos em um determinado per1odo de tempo e o principal : eu deu origem a estes 8uros. &ssim$ se um in!estidor aplicou RK (LL em uma aplicação de renda ixa e recebeu 8uros de RK (L ao inal de um ano$ a taxa de 8uros deste in!estimento oi (L ao ano. V;>se assim :ue a taxa de 8uros está sempre relacionada a um per1odo$ se8a ele o dia$ o m;s$ o ano$ etc. & taxa de  8uros pode ser expressa em notação percentual (L ao ano$ por exemplo ou em notação

decimal L$(L ao ano$ por exemplo. Estas duas express<es são$ e!identemente$ e:ui!alentes 8á :ue (LS(LL T L$(L.

Ps 8uros podem ser capitalizados no regime de 8uros simples$ no regime de 8uros cont1nuos ou no regime de 8uros compostos. Bo -rasil$ apenas os regimes de 8uros simples e de 8uros compostos são usados.

Juro8 Sim:;=8

 Bo regime de 8uros simples$ os 8uros incidem exclusi!amente sobre o principal.

Juro8 Com:o8>o8

 Bo regime de 8uros compostos$ ao inal de cada per1odo de capitalização$ os 8uros se incorporam ao principal e passam a render 8uros tambAm.

P=ro7o 7= C6:i>6;iK6o

 %3amamos de per1odo de capitalização ao tempo :ue$ uma !ez decorrido$ az com :ue os  8uros se8am de!idos ou incorporados ao principal e passem$ por sua !ez$ a render 8uros tambAm. & taxa de 8uros A sempre relacionada a um determinado per1odo de capitalização. &ssim$ :uando uma taxa A anual (L a.a.$ por exemplo$ o per1odo de capitalização A o anoC :uando a taxa A mensal ( a.m.$ por exemplo$ o per1odo de capitalização A o m;s$ e assim por diante. 4uando o per1odo a :ue se reere a taxa de 8uros A dierente do per1odo de capitalização$ isto de!e ser mencionado$ tal como na expressão Itaxa de (L ao ano$ capitalizados mensalmenteJ$ e assim por diante.

T66 E=>i6

%3amamos de taxa eeti!a ":uela cu8o per1odo de capitalização A igual " unidade de tempo na :ual está expresso o per1odo da operação. #ão exemplos de taxas eeti!as (/ ao ano capitalizados anualmente$ ? ao m;s capitalizados mensalmente$ e assim por diante.

T66 Nomi<6;

%3amamos de taxa nominal ":uela expressa em uma unidade de tempo dierente da unidade de tempo dos per1odos de capitalização. &s taxas nominais são geralmente ornecidas em termos anuais. #ão exemplos de taxas eeti!as (/ ao ano capitalizados mensalmente$ / ao m;s capitalizados diariamente$ e assim por diante.

T668 Pro:or9io<6i8

9uas ou mais taxas de 8uros são ditas proporcionais :uando ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo de tempo no regime de 8uros simples$  produzem um mesmo montante. V;>se$ portanto$ :ue o conceito de taxas proporcionais está estreitamente ligado ao regime de 8uros simples. #ão exemplos de taxas proporcionais* ( ao m;s e (/ ao ano.

T668 Eui6;=<>=8

9uas ou mais taxas de 8uros são ditas e:ui!alentes :uando ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo de tempo no regime de 8uros compostos$  produzem um mesmo montante. V;>se$ portanto$ :ue o conceito de taxas e:ui!alentes está

estreitamente ligado ao regime de 8uros compostos. #ão exemplos de taxas e:ui!alentes* ( ao m;s e (/ ao ano.

E=r99io8

(. 4ual A a dierença entre IprincipalJ e ImontanteJ N /. 4ual A a dierença entre I8urosJ e Itaxa de 8urosJ N

?. 4ual A a dierença entre Itaxa eeti!aJ e Itaxa nominalJ N

4. 4ual A a dierença entre Iregime de 8uros simplesJ e Iregime de 8uros compostosJ N

5. 4ual A a dierença entre Iper1odo de capitalizaçãoJ e Iprazo da operaçãoJN

. 4ual A a dierença entre Itaxa proporcionalJ e Itaxa e:ui!alenteJ N

3. Juro8 Sim:;=8

3.1 Frmu;68 G=<ri968

& expressão mais elementar de toda a matemática inanceiraC a:uela :ue deu origem a todas as outras express<es$ A a rmula dos 8uros simples. %omo oi dito no cap1tulo anterior$ no regime de 8uros simples$ os 8uros incidem exclusi!amente sobre o principal. & ormula dos  8uros simples A*

J = P x i x n

Pnde* ) T 8uros 2 T principal

i T taxa de 8uros expressa na mesma unidade de tempo do per1odo n T per1odo

%omo corolário desta expressão$ temos a rmula do ImontanteJ. %omo o ImontanteJ A a soma do principal com os 8uros$ temos :ue*

M = P + P x i x n

%olocando I2J em e!id;ncia$ temos*

M = P x [1 + (i x n)]

 Exemplos

/ 2uanto renderia de 3uros %4 /55 aplicados durante /6 meses7 a /8 ao m(s no re.ime de 3uros simples9  %esposta:  J ; 9  P ; %4 /55 i ; /8 ou 575/ ao m(s n ; /6  J ; P x i x n ; /55 x 575/ x /6 ; %4 /6 W

6 2uanto rece<eria um investidor que 1ouvesse aplicado %4 655 durante 6 anos7 a 658 ao ano no re.ime de 3uros simples9

 %esposta:  M ; 9  P ; %4 655 i ; 658 ou 5765 ao ano n ; 6 anos  M ; P x =/ > ?i x n@A ; 655 x =/ > ?576 x 6@A ; %4 6B5

3.2 T668 Pro:or9io<6i8

 Bão apenas as rmulas acima$ mas todas as rmulas em matemática inanceira pressup<em taxas eeti!as de 8uros$ ou se8a$ taxas expressas em uma unidade de tempo igual ao per1odo de capitalização. &ssim$ se o per1odo de capitalização or o m;s$ a taxa de!erá ser expressa em X ao m;s$ se a capitalização or trimestral$ a taxa de!erá ser expressa em X ao trimestre$ e assim por diante. &contece :ue não A isto :ue ocorre na prática. Ba prática$ re:Yentemente$ a taxa de 8uros A expressa em uma unidade de tempo geralmente o m;s ou o ano e o per1odo InJ$ em outro. &ssim temos :ue con!erter a taxa nominal dada$ em uma taxa proporcional$ ou se8a$ uma taxa de 8uros reerida " unidade de tempo do per1odo InJ $ mas :ue produza o mesmo eeito da taxa eeti!a dada.

 Exemplo

2ual seria o montante devido por uma empresa que 1ouvesse tomado emprestado %4 /55555 por dois meses7 para liquida,Co de principal e 3uros no 'inal da opera,Co7 a uma taxa de 3uros de 68 ao ano no re.ime de 3uros simples9

 %esposta

"(0se no enunciado acima que o período n é dois meses e a taxa de 3uros está re'erida ao ano EntCo7 antes de aplicarmos a 'órmula do montante7 temos que calcular a taxa de  3uros para dois meses que se3a proporcional a 68 ao ano $sto é 'eito pela 'órmula:

<imestre  por  8 ou 575 /6  x /55 6  x 6 i _p

=

=

  esta a taxa de 3uros que vai entrar na 'órmula do montante #ssim temos que:  M ; 9  P ; %4 /55555 i ; 575 por <imestre n ; / <imestre  Donde:  M ; P x =/ > ?n x i@A ; /55555 x =/ > ?/ x 575@A ; %4 /5555 (L

 Ba prática$ as taxas nominais de 8uros são$ :uase sempre$ reeridas ao m;s ou ao ano$ e o  per1odo InJ$ em dias. Bestes casos$ para calcular os 8uros no regime de 8uros simples$

usamos as rmulas abaixo :ue 8á con!ertem as taxas eeti!as em taxas proporcionais*

H555 n  x i  x  P 

 J 

 =

_{no caso de taxas mensais expressas na notação percentual ou}

HI555 n  x i  x  P 

 J 

 =

_{no caso de taxas anuais expressas na notação percentual}

3.3 Frmu;68 D=ri6768

& partir da rmula dos 8uros simples$ podemos deduzir as seguintes rmulas deri!adas* 2rincipal

P principal pode ser expresso por duas rmulas

n  x i  J   P 

 =

ou ( i xn) /  M   P 

+

=

axa de )uros

& taxa de 8uros pode ser expressa por duas rmulas

 P  n  x  J  i

 =

ou n  x  P   P  0  M  i

 =

2er1odo

P per1odo de aplicação pode ser expresso por duas rmulas

i  x  P   J  n

 =

_ou i  x  P   P  0  M  n

 =

3. D=89o<>o 7= T>u;o8 = Du:;i96>68

&tualmente no -rasil o regime de 8uros simples A utilizado principalmente em tr;s situaç<es*

 9esconto de t1tulos e duplicatas$

 Pperaç<es em moeda estrangeira

 )uros de mora.

P desconto A uma modalidade de emprAstimo de curto prazo para capital de giro$ concedido atra!As de adiantamento$ mediante a cobrança de uma taxa de desconto$ eito sobre t1tulos ou notas promissrias de crAdito com recebimento uturo. Ps 8uros são cobrados antecipadamente$ na data de liberação dos recursos$ com base na taxa de 8uros tambAm c3amada de taxa de desconto e no prazo a decorrer de cada t1tulo.

 Bo caso da 9uplicata$ o emitente do t1tulo$ ao negocia>lo A obrigado a endossá>lo transerindo para a instituição inanceira seus direitos credit1cios. &pesar desta transer;ncia de direitos credit1cios$ a empresa emitente continua responsá!el pela li:uidez do t1tulo negociado de tal orma :ue não pagando o sacado$ a instituição inanceira poderá debitar seu !alor na conta corrente do emitente.

P !alor :ue consta no t1tulo$ e pelo :ual ele será li:uidado na data de seu !encimento$ A c3amado de !alor de ace do t1tulo. )á o !alor pelo :ual o t1tulo oi negociado A denominado !alor de mercado. V;>se$ portanto$ :ue o !alor de mercado A igual ao !alor de ace menos os  8uros calculados com base na taxa de desconto.

 Exemplos:

1.  o dia KLHL55 uma empresa descontou uma duplicata de %4 555755 de valor de 'ace7

com vencimento para o dia 5HL5L557 a uma taxa de desconto de H8 ao m(s !alcular o valor líquido rece<ido pela empresa7 sem levar em considera,Co o desconto re'erente ao $)F /_

 %esposta:

 Donde:

 Níquido %ece<ido ; %4 555 * %4 /H ; %4 BI

6 o dia 5OL/5L557 uma empresa descontou com o anco eta uma ota Promissória de  %4 55557 com vencimento em /IL/5L557 a uma taxa de desconto de 68 am 2ual 'oi o  3uro pa.o pela empresa e qual o líquido rece<ido7 sem levar em considera,Co o $)F9  %esposta:

 P ; 5555

i ; H8 ou 55H ao m(s T ; K dias

Níquido %ece<ido ; %4 5555 * %4 H5 ; %4 OI5

3. &ma empresa comprou com um de seus 'ornecedores matérias primas no valor de %4

6555 ) contrato de 'ornecimento previa 3uros de mora de 68 ao m(s em caso de atraso de pa.amento 2ual a taxa de perman(ncia diária ?ou se3a7 quais os 3uros diários@ prevista no contrato9

1 _{Toda operação de crédito feita com uma instituição financeira, com exceção das operações em moeda}

estraneira, est! su"eita ao desconto na fonte, referente ao #%, & uma a'()uota de 0,0041* ao dia, incidente so+re o principa' da operação.

(/ /H755 H555 6K   x H  x 555 H555 dias de  Q   x  Desconto de Taxa  x Título do "alor   Juros

=

=

=

350 3.000 7 x 3 x 50.000 3.000 dias de Nº x Desconto de Taxa x Tít!o do "a!o#  J#os

=

=

=

 %esposta:  P ; 6555 i ; 68 ou 5756 ao m(s t ; / dia /IIK   %4 H555 /  x 6  x 6555 H555 t   x i  x  P  a  Perman(nci de Taxa

=

=

=

"e$a %e& 'e a taxa de desconto  die#ente da taxa eeti*a. ,on-a&os 'e & tít!o co& *a!o# de ace de / 100 e *enci&ento ,a#a 30 dias osse neociado a &a taxa de desconto de 2 a.&.  *a!o# #ece%ido se#ia4 ,o#tanto4 / 6.  taxa eeti*a &8s desta o,e#a9:o se#ia [(100 ;6) < 1] x 100 = 4172 a.&.4 ,o#tanto !iei#a&ente s,e#io#  taxa de desconto >sto ,o#'e4 nas o,e#a9?es de desconto4 os $#os s:o co%#ados anteci,ada&ente (o @na ca%e9aA co&o se diB no $a#:o de &e#cado) e n:o no ina! do ,e#íodo de ca,ita!iBa9:o (*e$a exe#cício n.Z 6).

3." (86<7o 6 C6;9u;67or6 Fi<6<9=ir6

3.5.1 Solucionando Problemas de Juros Simples

 Ba calculadora =2(/%$ as seguintes teclas possuem os seguintes signiicados* n T per1odo

i T taxa de 8uros

2V T IprincipalJ $ Icapital inicialJ ou I!alor presenteJ

FV T ImontanteJ$ I!alor de resgateJ ou I!alor uturoJ/

&lAm disto$ A importante saber :ue a calculadora =2(/% trata os problemas inanceiros como um luxo de caixa. &ssim$ se o !alor presente A uma sa1da como no caso de uma aplicação$ o !alor uturo A uma entrada representada pelo resgate da aplicação e se o !alor  presente A uma entrada como no caso de um emprAstimo$ o !alor uturo A uma sa1da

representada pelo pagamento do emprAstimo. P gráico abaixo ilustra o problema*

 _{-s notações / e %/ m do in's 2resent /a'ue e 2%uture /a'ue.}

(?

P"

C"

Esta explicação A importante para entender por:ue$ na =2(/%$ :uando o 2V A positi!o o FV A negati!o$ e !ice>!ersa.

4uando o !isor da calculadora =2(/% exibe um IcJ$ isto signiica :ue ela está no modo de  8uros compostosC :uando o IcJ não A exibido$ a calculadora está no modo de 8uros simples. 2ara alternar entre o modo de 8uros simples e 8uros compostos$ pressione sucessi!amente as teclas I#PJ e IEEXJ. Bo entanto$ A importante notar$ :ue$ no modo de 8uros simples$ a calculadora pressup<e sempre per1odos singulares$ ou se8a$ menores ou iguais a I(J. &ssim$  para calcularmos a taxa mensal$ por exemplo$ primeiro calculamos a taxa anual e depois

di!idimos por I(/JC para calcularmos a taxa diária$ primeiro calculamos a taxa mensal e depois di!idimos por I?LJ$ e assim por diante.

2ara resol!er$ com o aux1lio da calculadora inanceira$ problemas en!ol!endo 8uros simples ou compostos$ entra>se com tr;s dados e pressiona>se a tecla do dado procuradoC a resposta será exibida no !isor.

3.5. Calculando o n.! de dias entre duas datas

 Ba prática$ ao se resol!er um problema de matemática inanceira$ geralmente$ a primeira coisa :ue se calcula A o per1odo InJ expresso em dias. 2ara ac3ar$ com o aux1lio de uma calculadora inanceira$ o nHmero de dias entre duas datas$ a primeira pro!id;ncia A certiicar> se de :ue a calculadora está a8ustada para trabal3ar com datas na notação :ue usamos no -rasil$ ou se8a$ dd[mm[aa. Ba calculadora =2(/%$ isto A eito pressionando$ em se:Y;ncia$ as teclas IgJ e I,J$ de orma a ati!ar a unção I9.M\J do ingl;s da7[mont3[7ear. P !isor de cristal l1:uido exibirá então$ na parte inerior$ I9.M\J.

Em seguida entra>se com a data mais antiga na orma Idd.mmaaaaJ. Ve8a bem :ue$ entre o dia e o m;s$ existe uma !1rgula. )á entre o m;s e o ano$ não existe :ual:uer elemento separador. &ps entrar com a primeira data$ pressione IEnterJ. Entre então com a data mais recente e pressione$ em se:Y;ncia as teclas IgJ e IEEXJ. & unção J]9\#J será$ então$ ati!ada e o nHmero de dias entre as duas datas$ exibido no !isor.

 Exemplo

!alcule o nRmero de dias que existe entre os dias /L/L6555 e /L/5L6555 Solu,Co

 Pressione as teclas da calculadora P/6! na se.uinte seq(ncia:

Digitando Mostra Comentário

(,

nter 

1.01000 1.01000

15.10000 _{ }  ste é o n.o de dias

?.+.? #olucionando 2roblemas de )uros #imples

2ara resol!er$ com o aux1lio da calculadora inanceira$ problemas en!ol!endo 8uros simples$ certii:ue>se$ antes de tudo$ de :ue a má:uina está no modo de 8uros simples. 9epois entre com tr;s dados e pressione a tecla do dado procuradoC a resposta será exibida no !isor.  Exemplo:

2ual a taxa de 3uros mensal que trans'orma7 em um ano7 um principal de %4 /55 em um montante de %4 /659  %esposta n ; /6 meses i ; 9  P" ; 0%4 /55  F" ; %4 /65

 # seq(ncia de teclas a ser pressionadas é:

Digitando Visor Comentário

E=r99io8/

1. 4ual o montante acumulado em (/ meses$ a uma taxa de L$L/ ao m;s$ no regime de

 8uros simples$ a partir de um principal de RK (L.LLLN

. 4ual o principal necessário para se ter um montante de RK (L.LLL em /, meses a uma

taxa de , ao trimestreN

?. Em :uanto tempo um capital dobra a 8uros simples de / ao m;sN

4. Dm cliente ad:uiriu de uma empresa mercadorias no !alor de RK /.+LL para

 pagamento em L?[L/[LL. P contrato de ornecimento pre!ia 8uros de mora de ? ao (+ 1,00 7100,00 / 89: n er(odo sinu'ar  rincipa' %/ 10,00 ;ontante

i 0,00 Taxa de "uros anua'

m;s em caso de atraso de pagamentos. 4uanto o cliente pagaria de encargos moratrios caso pagasse as mercadorias ad:uiridas em /([L/[LLN

+. 4uanto receberia em seis meses um aplicador :ue 3ou!esse in!estido RK (LL.LLL a (/ ao ano no regime de 8uros simplesN

6. 4ual a taxa eeti!a m;s$ sem le!ar em consideração a incid;ncia do 0PF$ de uma taxa

de desconto de , ao m;sN

<. 4ual a taxa eeti!a m;s de uma taxa de desconto de , ao m;s$ le!ando em

consideração a incid;ncia do 0PF de L$LL,( ao diaN

. 4uanto estaria cobrando de taxa mensal de 8uros de mora um ornecedor :ue

 propusesse uma taxa de perman;ncia de RK /$+L por dia de atraso em uma compra de RK /.+LLN

. Juro8 Com:o8>o8

.1 Frmu;68 G=<ri968

%omo 8á !imos no primeiro cap1tulo$ no regime de 8uros compostos$ ao inal de cada per1odo de capitalização$ os 8uros se incorporam ao principal e passam a render 8uros tambAm. #upon3amos :ue um principal I2J se8a aplicado a uma taxa IiJ$ no regime de 8uros

compostos$ ao longo de tr;s per1odos de capitalização. &o inal do (o _{per1odo$ o montante}

recebido seria M T 2 x ( ^ i$ 8á :ue InJ$ ou se8a$ o nHmero de per1odos$ seria I(J.

 Bo primeiro per1odo a taxa de 8uros incidiu apenas sobre o principal I2J. )á no segundo  per1odo$ como os 8uros do primeiro per1odo se incorporaram ao principal e passaram a render  8uros$ o no!o principal passou a ser 2 x ( ^ i e$ conse:Yentemente$ o no!o montante$ _2 x ( ^ i` ^ _2 x (^ i` x i. %olocando a expressão 2 x ( ^ i em e!id;ncia$ teremos 2 x ( ^ i

x ( ^ i$ ou se8a$ 2 x ( ^ i /_{. Repetindo o mesmo racioc1nio teremos :ue o montante no}

terceiro per1odo seria 2 x ( ^ i ?_{$ e assim sucessi!amente. &ssim ter1amos :ue*}

(o _{2er1odo M T 2 x ( ^ i}

/o _{2er1odo M T _2 x ( ^ i` ^ _2 x (^ i` x i T 2 x ( ^ i} /

?o _{2er1odo M T _2 x ( ^ i} / _{` ^ _2 x ( ^ i</sub> /<sub>` x i T 2 x ( ^ i} ?

...

nZ 2er1odo M T 2 x (^in

%aso a taxa de 8uros esti!esse expressa na notação percentual$ a rmula acima ad:uiriria a seguinte orma* n













 

 

 



 

 

+

=

100 i 1 x P M  Exemplo

2uanto res.ataria um investidor que tivesse aplicado %4 /55 por /6 meses a uma taxa de /8 am a 3uros compostos9

 %esposta  M ; 9  P ; %4 /55 i ; 575/ am n ; /6 meses (U

 M ; P x ?/ > $@n _{; /55 x ?/>575/@}/6 _{; %4 //67IB}

%omo corolário da rmula do montante$ temos :ue a rmula para se ac3ar o principal$ uma !ez con3ecidos o montante$ a taxa de 8uros e o per1odo A*

( )n i 1 M P

+

=

 Exemplo

2ual o principal seria necessário investir em uma aplica,Co que rendesse 68 ama 3uros compostos7 para que ao 'inal de I meses se pudesse res.atar %4 659

 %esposta  P ; 9  M ; %4 65 i ; 5756 am n ; I meses ( ) ( 1 0,02 ) R$222  250  i  1 M  P 

≅

+

=

+

=

_n 

.2 T668 Eui6;=<>=8

ambAm no regime de 8uros compostos as rmulas pressup<em taxas eeti!as de 8uros$ ou se8a$ taxas expressas em uma unidade de tempo igual ao per1odo de capitalização. Ba prática$ o :ue acontece :uase sempre A a taxa de 8uros ser expressa em meses ou anos e o per1odo InJ$ em dias. &ssim temos :ue con!erter a taxa nominal dada$ em uma taxa e:ui!alente$ ou se8a$ uma taxa de 8uros reerida " unidade de tempo do per1odo InJ $ mas :ue produza o mesmo eeito da taxa eeti!a dada.

 Exemplo

2ual seria o montante devido por uma empresa que 1ouvesse tomado emprestado %4 /55555 por dois meses7 para liquida,Co de principal e 3uros no 'inal da opera,Co7 a uma taxa de 3uros de 68 ao ano no re.ime de 3uros compostos9

 %esposta

"(0se no enunciado acima que o período n é dois meses e a taxa de 3uros está re'erida ao ano EntCo7 para trans'ormarmos a taxa nominal em uma taxa equivalente7 temos que elevar a expressCo ?/> i@ por um período n que represente o resultado da divisCo de dois meses por um ano ?6 U/6 ; 57/IIK@7 ou se3a7 o inverso do nRmero de ve+es que o período de dois meses está contido no período de um ano $sto é 'eito pela 'órmula:

 M ; P x ?/ > i@n _{; /55555 x ?/ > 576@}57/IIK_{; %4 /5HI576H}

 Decompondo a expressCo ?/ > 576@ 6 L /6 _{7 o<servamos que esta expressCo é a 'orma sintética}

da expressCo =?/ > 576@ / L /6 _A 6 _{7 ou se3a7 primeiro a expressCo 'oi elevada a /L/67 e7 em}

 se.uida7 elevada a 6 a prática7 isto quer di+er que7 primeiro encontramos a taxa equivalente m(s da taxa nominal de 68 ao anoV em se.uida encontramos a taxa equivalente <imestral

%omo 8á dissemos$ na prática$ as taxas nominais de 8uros são$ :uase sempre$ reeridas ao m;s ou ao ano$ e o per1odo InJ$ em dias. Bestes casos$ para calcular as taxas e:ui!alentes$ usamos as rmulas abaixo :ue 8á con!ertem as taxas eeti!as em taxas e:ui!alentes$ e onde o per1odo InJ A expresso em dias*

_( ^ n n [ ?L _{' (` no caso de taxas mensais expressas na notação decimal ou}

_( ^ n n [ ?L _{' (` no caso de taxas anuais expressas na notação decimal ou}

_( ^ n n [ ?L _{' (` x (LL no caso de taxas mensais expressas na notação percentual ou}

_( ^ n n [ ?L _{' (` x (LL no caso de taxas anuais expressas na notação percentual}

 Exemplo

/ 2ual a taxa equivalente para / dias W taxa e'etiva de 68 ao ano9  %esposta

=?/ > 576@/ L HI5 _{* / A ; 5755O ou} =?/ > 576@/ L HI5 _{* / A x /55 ; 57O 8}

6 2ual a taxa equivalente para K dias W taxa e'etiva de 8 ao m(s9  %esposta

=?/ > 575@ K L H5 _{* / A ; 5755O6 ou} =?/ > 575@ K L H5 _{* / A x /55 ; 57O6 8}

.3 Frmu;68 D=ri6768

& partir da rmula dos 8uros compostos$ podemos deduzir as seguintes rmulas deri!adas*

Pri<9i:6;

P principal pode ser expresso pela rmula n i) (1 M P

+

=

T66 7= Juro8

& taxa de 8uros pode ser expressa pela rmula

1  n 2 M i

 =

(W

P=ro7o

P per1odo de aplicação pode ser expresso pela rmula

i) (1 !o P !o  M !o

+

=

n

%omo se pode !er$ algumas rmulas deri!adas são de di1cil aplicação por en!ol!erem complexas operaç<es de potenciação. &ntigamente$ estas rmulas eram resol!idas com o aux1lio de tabelas inanceiras. =o8e$ com o ad!ento das calculadoras inanceiras$ estas tabelas icaram completamente obsoletas e anacrnicas.

. (86<7o 6 C6;9u;67or6 Fi<6<9=ir6

".".1 Solucionando Problemas de Juros Compostos

2ara resol!er$ com o aux1lio da calculadora inanceira$ problemas en!ol!endo 8uros simples ou compostos$ entra>se com tr;s dados e pressiona>se a tecla do dado procuradoC a resposta será exibida no !isor.

 Exemplo

2ual a taxa de 3uros mensal que trans'orma7 em um ano7 um principal de %4 /55 em um montante de %4 /659  %esposta n ; /6 meses i ; 9  P" ; 0%4 /55  F" ; %4 /65

 # seq(ncia de teclas a ser pressionadas é:

Digitando Visor Comentário

 # taxa procurada é /7H/8 ao m(s /L 1 7100 / 89: n er(odo rincipa' %/ 10 ;ontante

." Juro8 Sim:;=8 8. Juro8 Com:o8>o8

 Bo regime de 8uros simples$ o montante e!olui conorme uma progressão aritmAtica cu8a razão se8a IiJ. #ua e!olução A$ portanto$ linear.

Figura 2 - Juros Simples

)á no regime de 8uros compostos$ o montante e!olui conorme uma progressão geomAtrica cu8a razão se8a I( ^ iJ. #ua e!olução A$ portanto$ exponencial.

Figura 3 - Juros Compostos

& primeira !ista ica a impressão :ue$ se a taxa de 8uros e o prazo orem os mesmos$ o montante produzido pelo regime de 8uros compostos A sempre maior do :ue o montante  produzido pelo regime de 8uros simples. Bo entanto$ nem sempre A isto o :ue acontece.  Exemplo

 Dois investidores aplicaram %4 /55555 cada7 para res.atar em I meses #m<os aplicaram a uma taxa de 3uros de /58 ao ano ) primeiro investidor aplicou no re.ime de 3uros  simplesV o se.undo7 no re.ime de 3uros compostos Em sua opiniCo7 qual das duas

aplica,-es rendeu mais no período9  %esposta /Q investidor   M ; P x =/ >? i x n@A ; /55555 x =/ > ?57/5 x 57@A ; %4 /5555 /( Tempo    M  o   n    t  a  n    t  e Tempo    M  o   n    t  a  n    t  e

6Q investidor 

 M ; P x ?/ > i@n _{; /55555 x ?/ > 57/5@}57

≈   %4 /5BB5

) a<aixo ilustra o que aconteceu

Figura 4 - Juros Simples vs. Juros Compostos

Se o pra+o de res.ate das duas aplica,-es 'osse um ano7 am<as teriam rendido o mesmo7 ou se3a7 teriam rendido 3uros de %4 /5555 Se o pra+o de res.ate 'osse  superior a um ano7 o investidor que 1ouvesse aplicado a 3uros compostos teria lucrado mais !omo o pra+o de res.ate 'oi in'erior ao período de capitali+a,Co ?um ano@7 o investidor que aplicou a 3uros simples .an1ou mais

Co<9;u8o

odas as !ezes :ue o prazo de resgate or inerior ao per1odo de capitalização$ o regime de  8uros simples produz um montante superior ao montante produzido pelo regime de 8uros

compostos.

E=r99io8

/

1. 4ual o montante acumulado em (/ meses$ a uma taxa de / ao m;s$ no regime de 8uros

compostos$ a partir de um principal de RK (L.LLLN

. 4ual o principal necessário para se ter um montante de RK (L.LLL em /, meses a uma

taxa de , ao trimestre$ capitalizados pelo sistema de 8uros compostosN ?. Em :uanto tempo um capital dobra a 8uros compostos de / ao m;sN

,. 4uanto receberia em seis meses um aplicador :ue 3ou!esse in!estido RK (LL.LLL a (/ ao ano no regime de 8uros compostosN

// Tempo    M  o   n    t  a  n    t  e R$ 105.000 R$ 104.0 6 meses 1 ano Juros Simples Juros Compostos

5. 4ual a taxa de 8uros mensal :ue transormaria um principal de RK (L.LLL em um

montante de RK (/.LLL em (/ meses$ no sistema de 8uros compostosN . 4ual a taxa e:ui!alente m;s$ no regime de 8uros compostos a +L a.a.N

". F;uo 7= C6i6

Em matemática inanceira$ c3amamos de luxo de caixa a uma se:Y;ncia de entradas e sa1das de din3eiro em dierentes momentos do tempo. 2ara mel3or !isualização dos  problemas en!ol!endo luxo de caixa$ este A representado por um gráico conorme a igura abaixo. Beste gráico$ o eixo 3orizontal representa a escala do tempo$ as setas para cima$ as entradas$ e as setas para baixo$ os desembolsos.

%iura 5 7 %'uxo de 8aixa

Em um luxo de caixa$ as entradas e sa1das podem ser iguais ou não. 9a mesma orma$ os inter!alos de tempo entre as entradas e as sa1das podem ser regulares ou não. Q importante notar :ue$ nas rmulas en!ol!endo luxos de caixa$ as entradas possuem$ sempre$ sinal  positi!o e as sa1das$ sinal negati!o.

P estudo do luxo de caixa A especialmente importante por:ue$ baseados nestes luxos A :ue são eitos os planos de amortização de pagamentos. ambAm usamos os luxos de caixa para a!aliar uma empresa$ um pro8eto ou mesmo decidir entre !árias opç<es de in!estimento$ :ual a mais interessante do ponto de !ista inanceiro.

".1 V6;or A>u6; 7= um F;uo 7= C6i6

P !alor atual de um luxo de caixa A igual " soma algAbrica dos !alores atuais de suas entradas e sa1das. & taxa de 8uros usada para trazer a !alor presente estas entradas e estas sa1das A c3amada de taxa de desconto. Em um mesmo luxo de caixa$ a taxa de desconto A sempre a mesma para todas as parcelas$ se8am elas entradas ou sa1das.

 Exemplo

/,

2ual o valor atual do 'luxo de caixa representado no .rá'ico a<aixo7 considerando uma taxa de desconto de 68 ao m(s7 capitali+ados pelo re.ime de 3uros compostos9

Solução: 1.922,34 -0,02) (1 2.000  -i) (1 M  P  1 _{n 2}  1

=

+

=

+

=

4.528,65  0,02) (1 5.000  i) (1 M  P  2  _{n 5}  2 

=

+

=

+

=

2.461,04 -0,02) (1 3.000  -i) (1 M  P  3 _{n 10}  3

=

+

=

+

=

 Donde

"P ; P / > P 6 > P H ; 0 /O667H > 6B7I * 6I/75 ; /76K 

".2 A T66 I<>=r<6 7= R=>or<o

0maginemos um luxo de caixa conorme o mostrado na igura abaixo$ no :ual tanto o !alor das prestaç<es$ :uanto o inter!alo das sa1das$ A constante.

/+

2.000 

5.000 

3.000 

2 meses 3 meses 5 meses

10.000

Vamos calcular :ual o !alor presente deste luxo de caixa para taxas de desconto de ? a.m. e U a.m. n Prestação 3% 7% 0 10.000 10.000 10.000 1 =.310> =.4,<> =.15,>  =.310> =.1<<,40> =.01<,64> 3 =.310> =.113,?> =1.5,65> 4 =.310> =.05,41> =1.<6,?> 5 =.310> =1.??,63> =1.64<,00> Total =1.550> =5<?,14> 5,54

Pbser!a>se :ue$ neste caso$ o !alor presente do luxo de caixa passou de um !alor negati!o menos +UW$(, para um !alor positi!o mais +/$+, :uando a taxa de desconto passou de ? a.m. para U a.m. 0sto :uer dizer :ue$ neste caso$ a medida em :ue a taxa de desconto !ai aumentando$ o !alor negati!o do luxo de caixa !ai se reduzindo$ !ira IzeroJ e$ a partir deste ponto$ passa a ser positi!o e passa a crescer com a taxa de desconto. P gráico abaixo ilustra a e!olução do !alor presente do luxo de caixa acima em unção da !ariação da taxa de desconto. / =,.000> =1.500> =1.000> =500> 0 500 1.000 1.500

Taxa de Des conto

   V  a    l  o  r    P  r   e   s   e   n    t  e  1* 3* 5* ?* <*

Figura 6 - Valor Presente vs. a!a "e #es$onto

Veriica>se no gráico acima$ :ue neste caso$ existe uma taxa de desconto$ em torno de + a.m.$ :ue IzeraJ o !alor presente do luxo de caixa. & esta taxa de desconto :ue IzeraJ o !alor presente do luxo de caixa$ c3amamos de axa 0nterna de Retorno ou 0R.

 ".3 Sri=8 (<iorm=8

%3amamos de sAries uniormes de pagamentos ou de recebimentos a um luxo de caixa cu8as sa1das ou entradas possuam !alores constantes e ocorram em inter!alos regulares de tempo$ conorme o gráico abaixo*

Figura % - S&ries 'ni(ormes

&s sAries uniormes são a orma mais simples de luxo de caixa. 2ara resol!er problemas en!ol!endo sAries uniormes$ utilizamos as mesmas teclas InJ$ IiJ$ I2VJ e IFVJ$ usadas no cálculo de 8uros compostos$ e mais a tecla I2MJ para dar entrada ou calcular o !alor das sa1das ou entradas peridicas.

 Exemplo /:

2ual o valor atual de uma série uni'orme composta de  saídas anuais no valor de %4 B57 cu3a taxa de desconto 'osse B89

Solu,Co n ;  i ; B8 aa  PMT ; B5755 /U 0 1  3 4 5 tempo 0 1  3 4 tempo /@ A R$ 0,00

 P" ; 9

Digitando Visor  

Exe!lo 2:

"u#l # #x# ine%n# &e %eo%no &e u# '%ie unio%e *o!o'# &e 4 '#+&#' #nu#i' no #lo% &e R$ 80, e *uo #lo% !%e'ene o''e R$ 300

Solu)*o n + 4 i + , P + 0/00  PV + 300/00  Digitando Visor   Comentário / i 89: n / ;T   4,00   ,00 0 1  3 4 tempo R$ 300 R$ 0,00 89: n / ;T   4,00 i ,63 ,63 * a.a.

". Eui6;<9i6 7= F;uo8 7= C6i6

9ois ou mais luxos de caixa são ditos e:ui!alentes :uando$ se descontados a uma mesma taxa$ produzem um mesmo !alor presente.

 Exemplo:

!alcular o valor presente dos 'luxos de caixa a<aixo7 para uma taxa de desconto de B8 aa

Solu,Co: 1.000,00  1,08  1.080,00  1,08  80,00  1,08  80,00  1,08  80,00  /P ₁

=

+

₂ 

+

₃

+

₄

=

1.000,00  1,08  301,92  1,08  301,92  1,08  301,92  1,08  301,92  /P ₂ 

=

+

₂ 

+

₃

+

₄

=

%omo os !alores presentes dos dois luxos$ :uando descontados a uma taxa de  a.a.$ são iguais a RK (.LLL$ estes luxos são ditos Ie:ui!alentesJ$ a uma taxa de  a.a. Q importante$ no caso de luxos e:ui!alentes$ especiicar a taxa de desconto :ue os az e:ui!alentes. 0sto  por:ue dois ou mais luxos s são e:ui!alentes a uma determinada taxa de descontoO Bo

exemplo acima$ :uando descontado a uma taxa de L a.a.$ o primeiro luxo produz um !alor  presente de RK RK (./,L$LL$ en:uanto :ue o segundo$ RK (./LU$.

Dma propriedade importante dos luxos e:ui!alentes A :ue os montantes destes luxos$ em :ual:uer data$ obtidos " mesma taxa :ue os az e:ui!alentes$ são iguais.

 Exemplo:

Ano Fluxo 1 Fluxo 2

0 1 E0400 3014F F E0400 3014F 3 E0400 3014F  1.0E0400 3014F Total  1.F0400 1.F0746 /W

)<ter o montante dos dois 'luxos do exemplo acima7 no 'inal do X ano7 a uma taxa de B8 aa

Solu,Co:

 F" / ; ?B5 x /75B H @ > ?B5 x /75B6 @ > ?B5 x /75B@ > /5B5 ; /HI57O

 F" 6 ; ?H5/7O6 x /75B H @ > ?H5/7O6 x /75B 6 @ > ?H5/7O6 x /75B@ > H5/7O6 ; /HI57O

"." (86<7o 6 C6;9u;67or6 Fi<6<9=ir6

 Ba calculadora =2(/%$ as seguintes teclas são usadas na solução de problemas relacionados ao luxo de caixa*

2ara dar entrada na taxa de desconto$ utiliza>se a prpria tecla .

 Exemplo /:

2ual é o valor presente descontado7 a uma taxa de B8 aa7 do 'luxo de caixa a<aixo9 2ual  sua taxa interna de retorno9

Ano Fluxo 0 (17.000400) 1 (3.000400) F 6.000400 3 7.000400  E.000400 5 (5.000400) 6 15.000400 Total 10.000,00  ?L

;T "a!o# P#esnte Descontado de & !xo de caixa #RR Taxa >nte#na de eto#no

8%₀ Gnt#ada o aída no &o&ento @0A 8% _" Gnt#ada o aída no &o&ento @$A.

B" NH de *eBes 'e &a &es&a ent#ada4 o saída4 se #e,ete de o#&a

scessi*a

Solução:

Digitando Visor  

Comentário

 Exemplo 6:

2ual é o valor presente descontado7 a uma taxa de B8 aa7 do 'luxo de caixa a<aixo9 2ual  sua taxa interna de retorno9

Ano Fluxo 0 (17.000400) 1 (3.000400) F 6.000400 3 6.000400  6.000400 5 6.000400 6 15.000400 ?( 89:  8%₀ 7 1<.000,00 89:  8%" 7 3.000,00  8%"  8%"  8%" 89:  8%"  8%"   6.000,00  <.000,00   .000,00 7 5.000,00  15.000,00 i f B/   .5,?5 f #RR   11,?0 C!xo inicia! C!xos s%se'Ientes E400 2 a.a. "a!o# P#esente 1140 2 a.a.

Tota! 10.000 Solução: Digitando Visor   Comentário ?/ 89:  8%₀ 7 1<.000,00 89:  8%" 7 3.000,00 C!xo inicia!  8%"  B"  8%"   6.000,00   4,00 15.000,00 i f B/   .0<5,4< f #RR   1<,53 E400 2 a.a. "a!o# P#esente 17453 2 a.a. NH de !xos iais e consecti*os

E=r99io8

(. 4ual a taxa interna de retorno do luxo de caixa representado no gráico abaixo N

/. 4ual o !alor presente do luxo de caixa abaixo descontado a uma taxa de + a.m.

n Prestação 0 10.000 1 =.310>  =.310> 3 =.310> 4 =.310> 5 =.310> Total =1.550>

?. 4ual a taxa interna de retorno de uma sArie uniorme composta de  prestaç<es iguais mensais e sucessi!as de RK (L+$ e RK +LL de !alor presenteN

4. Dma empresa solicitou a um banco um emprAstimo de RK +L.LLL para pagamento em

(/ meses. P banco props o plano de amortização abaixo. 4ual a taxa de 8uros embutida no plano de amortização proposto pelo bancoN

n Prestação 1 4.000 ?? 2.000  5.000  3.000 

 4.000 3 4.000 4 4.000 5 5.000 6 5.000 < 5.000  5.000 ? 6.000 10 6.000 11 6.000 1 6.000

5.  Bo dia /L[L([/.LLL uma empresa ez um emprAstimo de RK (LL.LLL. P plano de

 pagamento do emprAstimo pre!ia amortização de +L do principal e 8uros no dia /([L/[/.LLL e li:uidação do saldo de!edor e 8uros no dia /L[L?[/.LLL. & taxa de 8uros cobrada pelo banco oi de /, a.a. 4ual o !alor total das prestaç<es pagas nas duas datasN

6. 4uais seriam os !alores das prestaç<es do emprAstimo acima se a empresa pagasse

apenas 8uros no dia /L[L/[/.LLL e amortizasse integralmente o principal da operação no inal do contratoN

<. Dma empresa tomou emprestado RK (LL.LLL. P plano de amortização pre!isto pelo

 banco pre!ia uma comissão lat de ? pagos Ina cabeçaJ e (/ prestaç<es iguais mensais e sucessi!as no !alor de RK W.,++$W. P banco alega :ue a taxa do emprAstimo A / ao m;s. Voc; concordaria com istoN

. %aso a empresa pudesse optar$ o :ue sairia mais barato para ela em termos de taxa de

 8uro$ o es:uema de pagamento proposto acima ou (/ pagamentos mensais$ iguais e sucessi!os de RK W.U,$U($ sem a comissão IlatJN

#. Si8>=m68 7= Amor>iK6o

%3amamos de amortização a :ual:uer pagamento eito para li:uidar$ total ou parcialmente$ o  principal de um emprAstimo ou de um inanciamento. )á uma prestação A a soma de uma amortização com os 8uros de!idos sobre o saldo de!edor. 9epreende>se da1 :ue$ em matemática inanceira$ o conceito de amortização está ligado a " idAia de emprAstimo ou inanciamento ou se8a$ não se liquida um in!estimentoC um in!estimento res.ata0se e b " idAia de li:uidação$ ainda :ue parcial$ do principal.

Ps dois modelos sistemas de amortização mais usados$ no -rasil são* (. #istema I2riceJ$ tambAm con3ecido como Iabela 2riceJC

/. #&% ' #istema de &mortizaç<es %onstantes.

#.1 O Si8>=m6 Pri9=

P sistema I2riceJ A um sistema de amortização em :ue as prestaç<es possuem !alor constante e ocorrem em inter!alos regulares de tempo. Bo sistema I2riceJ$ normalmente as taxas de 8uros são deinidas em termos anuais e as prestaç<es são mensais. %omo as  prestaç<es possuem !alor constante$ e como estas prestaç<es englobam IamortizaçãoJ e I8urosJ$ conclu1mos :ue$ a cada prestação$ os 8uros decrescem 8á :ue o saldo de!edor se reduz a cada :ue a parcela de amortização cresce. & tabela abaixo$ representando a amortização$ pelo sistema I2riceJ$ de uma obrigação de RK (L.LLL em + parcelas$ a 8uros de /$,, a.a.$ ilustra o problema*

Pbser!a>se :ue$ na medida em :ue a d1!ida !ai sendo amortizada e :ue$ portanto$ o Isaldo de!edorJ !ai sendo reduzido$ os 8uros !ão decrescendo e a parcela da prestação reerente " amortização !ai crescendo de orma :ue o !alor total da prestação não se altere.

?+

Mês Amortização !ros Prestação "aldo

0 10.000,00 1 1.?,5< 1?<,43 .10,00 .0<<,43  1.?60,53 15?,4< .10,00 6.116,?0 3 1.???,4 10,<6 .10,00 4.11<,66 4 .03,<1 1,? .10,00 .0<,?6 5 .0<,?6 41,04 .10,00 0,00

Figura  - Sistema "e mortia)*o Pri$e 

Exe!lo 1:

"u#no !##%i# &e !%e'#ção u# !e''o# ue *o!%#''e u l#!-o! no #lo% &e R$ 3.300, e uine !%e'#çe' en'#i', iu#i' e 'u*e''i#', # u# #x# &e u%o' &e 65 7 #o #no

Solução: n  15 e'e' i  65 7 #.#. P  3.300  PM   Digitando Visor   Comentário  Exemplo 6:

2uanto estaria pa.ando de 3uros uma pessoa que comprasse um lap0top no valor de %4 HH557 em quin+e presta,-es mensais7 i.uais e sucessivas de %4 6O mais um sinal de %4 6O9 Solu,Co: ? 1.00 1.50 1.?00 1.?50 ,.000 ,.050 ,.100 ,.150 1 , 3 4 5  -mortiCação Duros nter  /   3.300,00 7 30,6 1E x P#esta9:o P#inci,a! ;T Fx

7 x i Taxa e'i*a!ente &ensa!

n ; / meses i ; 9  P" ; HH55 * 6O ; H55  PMT ; 6O Digitando Visor   Comentário

#.2 SAC  Si8>=m6 7= Amor>iK6=8 Co<8>6<>=8

P #&% A um sistema de amortização em :ue as parcelas reerentes " amortização são sempre constantes e ocorrem em inter!alos regulares de tempo. %omo as amortizaç<es possuem !alor constante$ a cada prestação os 8uros decrescem 8á :ue o saldo de!edor se reduz a cada amortização en:uanto :ue o !alor total da prestação cresce. & tabela abaixo$ representando a amortização$ pelo sistema I#&%J$ de uma obrigação de RK (L.LLL em + parcelas$ a 8uros de /$,, a.a.$ ilustra o problema*

?U /   3.005,00 7 ?5,00 _P#esta9:o P#inci,a! 89: 3.300 ?5 15 x ?5 n NH de ,#esta9?es ;T i 54FE2 a.&.

Pbser!a>se :ue$ na medida em :ue a d1!ida !ai sendo amortizada e :ue$ portanto$ o Isaldo de!edorJ !ai sendo reduzido os 8uros !ão decrescendo e$ como o !alor da amortização A constante$ o !alor da prestação diminui.

1.?00 1.?50 ,.000 ,.050 ,.100 ,.150 ,.,00 ,.,50 1 , 3 4 5

 -mo rtiCa çã o Du ros

Figura  - Sistema "e mortia)es Constantes

E!identemente$ os luxos de caixa decorrentes de uma mesma d1!ida sendo amortizada a uma mesma taxa de 8uros e com um mesmo nHmero de prestaç<es$ dierindo um do outro apenas pelo ato de um ser amortizado no sistema IpriceJ e o outro no sistema I#&%J$ são e:ui!alentes para esta mesma taxa de 8uros.

 Exemplo /:

!alcular o valor das presta,-es de uma compra de %4 /5557 sa<endo0se que o contrato  prev( a amorti+a,Co em tr(s parcelas i.uais7 mensais e sucessivas de %4 5557 acrescidos

de 3uros de 68 am Solu,Co:

 PMT /;555 > P / x =?/>5756@ * /A ; 555 > /555 x 5756 ; %4 H55  PMT 6 ; 555 > P 6 x =?/>5756@ * /A ; 555 > /5555 x 5756 ; %4 655  PMT H; 555 > P H x =?/ > 5756@ * /A ; 555 > 555 x 5756 ; %4 /55

Mês Amortização Juros Prestação Saldo

0 15.000

1 5.000 300 5.300 10.000 F 5.000 F00 5.F00 5.000 3 5.000 100 5.100

?

M ês Amortização !ros Prestação "aldo

0 10.000,00 1 .000,00 1?<,4 .1?<,4 .000,00  .000,00 15<,?4 .15<,?4 6.000,00 3 .000,00 11,45 .11,45 4.000,00 4 .000,00 <,?< .0<,?< .000,00 5 .000,00 3?,4 .03?,4 0,00

 Exemplo 6:

2ual a taxa de 3uro anual de um 'inanciamento de %4 /5557 amorti+ado pelo sistema S#!7 em tr(s parcelas mensais e sucessivas no valor de %4 HH/7K7 %4 66/75 e %4 //576 respectivamente9

Solu,Co:

Digitando Visor  

Comentário

#.3 C68o8 P6r>i9u;6r=8

#.3.1 Amorti$a%&o com Car'ncia

0ndependente de o sistema de amortização ser do tipo I2rice ou I#&%J $ algumas !ezes A  pre!isto um per1odo de car;ncia antes :ue as prestaç<es passem a ser de!idas$ conorme

mostra o es:uema abaixo*

?W  8%₀ 15.000,00 7 5.331,5< 7 5.1,04 7 5.110,5 C!xo inicia! 89:  8%" 89:  8%" 89:  8%" f / ,1 1a _,#esta9:o Fa _,#esta9:o 3a _,#esta9:o Taxa &ensa! Fx

7 x Taxa e'i*a!ente ana! G

÷

Figura 10 - mortia)*o $om Carên$ia

Nestes casos4 ,a#a ca!c!a#&os os e!e&entos deste !xo de caixa (*a!o# das ,#esta9?es4 taxa de #eto#no4 etc)4 t#aBe&os o !xo inicia! at a data ina! do ,e#íodo de ca#8ncia ,e!a taxa de desconto4 e a ,a#ti# daí4 t#ata&os o ,#o%!e&a co&o & !xo a inte#*a!os #e!a#es.

Exe!lo:

"u#l &ee%i# 'e% o #lo% &#' !%e'#çe' &e u in#n*i#eno &e R$ 12.000, #o%i#&o !elo 'i'e# %#n*', ue !%ee# u# *#%n*i# &e 6 e'e' #!;' # u#l en*e%-'e-ão 6 !%e'#çe' iu#i' en'#i' e 'u*e''i#', *#l*ul#&#' # u# #x# &e 27 #..

Solução:

 < 'olução *on'i'e e %#n'!o%#% o luxo ini*i#l &e R$ 12.000 # o !e%+o&o 6, # u# #x# &e 27 #.. ='o !o&e 'e% eio !el# ;%ul#:

M  P x (1 > =) n _{ 12..000 x 1,02} 6  _{ 13.513,95} 

 < !#%i% &e'e !ono, %##o' o !%o?le# *oo u luxo &e *#ix# # ine%#lo' %eul#%e', *ono%e o #?#ixo:

Digitando Visor  

Comentário

#.3. Amorti$a%&o com Presta%(es )ntermediárias

&lgumas !ezes$ como acontece no caso de compra de im!eis$ por exemplo o plano de amortização pre!;$ alAm das prestaç<es regulares$ prestaç<es intermediárias.

,L 13.513,?5 _/ 13.513,?5 7 .41,5? _{"a!o# da ,#esta9:o} P#inci,a! n NH de ,#esta9?es ;T i Taxa de $#o

 Ba !erdade$ tudo se passa como se ossem dois luxos de caixa undidos em um sC e na !erdade$ muitas !ezes são$ como no caso da compra de im!eis$ onde as prestaç<es regulares representam o luxo de pagamentos da construção e as parcelas intermediárias$ o luxo de  pagamentos da c3amada Icota de terrenoJ.

4uando não se con3ece o principal dos dois luxos$ para :ue se possa deinir o !alor das  parcelas normais$ A preciso :ue se con3eça antes o !alor das parcelas intermediárias$ e !ice>

!ersa.  Exemplo:

&ma imo<iliária dese3a vender um terreno por %4 /55555 'inanciado em 6 presta,-es mensais7 i.uais e sucessivas mais  parcelas semestrais7 i.uais e sucessivas 2ual deve ser o valor das presta,-es intermediárias caso a imo<iliária 1a3a decidido que o valor das  presta,-es normais nCo possa exceder a %4 5557 considerando uma taxa de 3uros de 68

am9 Solu,Co:

/ * !álculo do valor presente das parcelas normais

Digitando Visor   Comentário ,( 100.000 4.000 4.000 ;T @ A /   4.000,00  <5.665,<0 _{"a!o# P#esente} P#esta9?es n NH de ,#esta9?es 89: i Taxa de $#o ;T

2 @ ABl*ulo &o #lo% &#' !#%*el#' ine%e&iB%i#'

 <' !#%*el#' ine%e&iB%i#' &ee%ão #o%i#% o '#l&o &e R$ 100.000 @ R$ C5.665,C0  R$ 24.344,30.  < #x# &e u%o' eui#lene no 'ee'%e # 27 #.. :

='ee'%e  D(1 > ien'#l  ) 6  @ 1 x 100  (1,02 6  @ 1) x 100  12,627

Enão, eo' ue:

Digitando Visor  

Comentário

 a verdade7 a parcela a ser pa.a semestralmente será a soma da presta,Co normal mais a  parcela intermediária7 ou se3a7 %4 /6//O76

E=r99io8

1. Dm emprAstimo de RK (LL.LLL oi amortizado em , prestaç<es mensais$ iguais e

sucessi!as de RK /.+($,L cada. 4ual o !alor da amortização do principal e dos 8uros  pagos em cada uma das :uatro prestaç<esN

/. Bo exemplo acima$ :ual seria o !alor de cada prestação caso o emprAstimo osse pelo sistema de amortização constanteN

3. Dm cliente :uer comprar um apartamento :ue custa$ a !ista$ RK (+L.LLL$LL. &

imobiliária está disposta a inanciar o apartamento em + anos$ a 8uros de ($+ ao m;s. %aso o cliente se dispon3a a pagar L prestaç<es de RK /.LLL$LL$ :ual de!eria ser o !alor das prestaç<es intermediárias a serem pagas semestralmenteN

,. Dma lo8a de eletrodomAsticos está azendo uma promoção de Batal pela :ual :uem comprar uma geladeira atA o dia ?([(/ s começa a pagar em maio. Dm cliente :uer comprar uma geladeira :ue custa RK (.LLL$LL para pagar em oito prestaç<es iguais$ mensais e sucessi!as$ !encendo>se a primeira em maio. 4ual de!eria ser o !alor das  prestaç<es caso a lo8a cobre uma taxa de 8uros de /$+ a.m.N

,/ 4.344,30 _/ 7 4.344,30 .11?,4 _{"a!o# da ,#esta9:o} P#inci,a! n NH de ,#esta9?es 89: i Taxa de $#o ;T

'. So;uo 7o8 E=r99io8

C6:>u;o 2

( P principal A a :uantia aplicada ou captada e sobre a :ual incidirão 8uros. P montante A igual ao principal mais os 8uros.

> )uro A a remuneração$ recebida ou paga$ por :uem aplicou ou captou recursosC A

 portanto$ sempre expresso em unidades monetárias. axa de )uros A a relação entre os  8uros$ pagos ou recebidos$ e o principal$ em um determinado per1odo. & taxa de 8uros  pode ser expressa em notação decimal ou percentual.

3> axa eeti!a A a:uela expressa em uma unidade de tempo igual " do per1odo de

capitalização. Exemplo* / ao m;s$ capitalizados mensalmente. )á a taxa eeti!a A a:uela expressa em uma unidade de tempo dierente " do per1odo de capitalização. Exemplo* /L ao ano$ capitalizados mensalmente.

4>  Bo regime de 8uros simples$ os 8uros incidem somente sobre o capital. )á no regime de

 8uros compostos$ ao inal de cada per1odo de capitalização$ os 8uros produzidos incorporam>se ao principal e passam a render 8uros tambAm.

+ 2er1odo de capitalização A o per1odo decorrido o :ual os 8uros passam a ser de!idos ou incorporam>se ao principal. 2razo da operação A o per1odo decorrido o :ual o principal e os 8uros tornam>se integralmente de!idos.

6> 9uas taxas são proporcionais :uando$ aplicadas sobre um mesmo principal por um

mesmo per1odo de tempo$ no regime de 8uros simples$ produzem o mesmo montante. 9uas taxas são e:ui!alentes :uando$ aplicadas sobre um mesmo principal por um mesmo per1odo de tempo$ no regime de 8uros compostos$ produzem o mesmo montante. 2ortanto$ o :ue diere o conceito de taxas proporcionais do conceito de taxas e:ui!alentes A o regime de capitalização.

C6:>u;o 3

( M T N 2 T RK (L.LLL i T L$L/ ao m;s$ ou / ao m;s n T (/ meses ,?

M T 2 x _( ^ i x n` T (L.LLL x _( ^ L.L/ x (/` T RK (/.,LL / M T RK (L.LLL

2 T N

i T L$L, ou , ao trimestre n T /, meses

%alculo da taxa proporcional

&eses F e& 3F2 o 043F 3 F x 040 i_,

=

=

%álculo do principal 7.575476 / 1)] x (043F [1 10.000 n)] x (i [1 M P

=

+

=

+

=

Dma solução mais simples e mais elegante consiste em utiliza a rmula do IprincipalJ azendo IiJ igual " taxa eeti!a e InJ igual ao nHmero de trimestres contidos no per1odo de /, meses /, S? T $ donde nT. &ssim ter1amos :ue*

7.575476 / E)] x (040 [1 10.000 n)] x (i [1 M P

=

+

=

+

=

? M T /2 2 T 2 i T L$L/ ou / a.m. n T N &eses 50 040F 1 040F x P P  FP i x P P  M

=

=

=

=

n

Dma solução mais simples e mais elegante consiste em utilizar a rmula da taxa  proporcional. Beste caso$ a taxa proporcional a / a.m. :ue dobra o principal A (LL. 9i!idindo as duas taxas proporcionais$ encontramos o per1odo. &ssim temos :ue (LL S/ T +L meses.

, 2 T /.+LL i T L$L? ou ? a.m.. n T ( dias ) T N 5 / 1E x 0403 x F.500 30 1E x i x P n x i x P J

=

=

=

=

?L + M T N 2 T RK (LL.LLL i T L$(/ ou (/ a.a. n T  meses M T 2 x _( ^ i x n` T (LL.LLL x _( ^ L$(/ x L$+` T RK (L.LLL

 4uem descontasse um t1tulo com !encimento em ?L dias a uma taxa de desconto de , a.m. receberia W do !alor de ace deste t1tulo. &ssim$ temos :ue*

M T ($LL 2 T L$W i T L$L, ou , a.m. n T ( m;s a.&. 4172 o 04017 1 x 046 046  1400 n x P P  M

=

=

=

i

Dma solução mais simples e mais elegante$ no caso de o per1odo de capitalização ser igual ao prazo da operação$ consiste em utilizar a rmula*

a.&. 4172 o 04017 1  046 1400 1  P M i

=

=

=

,+

U a.&. 4302 o 04030 1  04001F3  046 1400 1  040012) x (30  P M i

=

=

=

?

C6:>u;o 

(

Digitando Visor Comentário

> 2rimeiro$ !amos calcular o !alor presente das prestaç<es para$ depois$ subtra1>lo do luxo

inicial.

&ssim$ temos :ue*

3 _{- taxa efetia é maior do )ue a taxa de desconto por)ue, no caso de desconto, os "uros são}

co+rados 2na ca+eça.

, 89:  8%₀ 7 .000 89:  8%" 7 0,0443 0 _{ 8%"}  _{ B"}  8%"   ,00 3.000,00 4,00 f #RR 7 5.000 C!xo inicia! NH de !xos iais e consecti*os 0 _{ 8%"} 4 _{ B"} 0 1 _{ B"} 1,00

Digitando Visor Comentário

P !alor presente deste luxo de caixa A praticamente zero. ? Digitando Visor   Comentário Resposta* U$L? , Digitando Visor   Comentário ,U 89: ;T 7 .310,00 5,00 5 n 5,00 5 _i / 10.001,10 105 _{89: ;T} 105,00 6,00 6 _n / 500,00 500 i <,03 89:  8%₀ 4.000 _{ 8%"} 4 _{ B"}  8%" C!xo inicia! NH de !xos iais e consecti*os 4.000,00

+ Valor da primeira prestação*

n.° de dias entre /L[L([LL e /([L/[LL T ?/

) T (LL.LLL x _( ^ L$/, ?/ [ ?L _{' (` T RK (.W?L$+L}

2M( T RK +L.LLL$LL ^ RK (.W?L$+L T RK +(.W?L$+L

"a!o# da senda ,#esta9:o

n.° de dias ent#e F10F00 e F00300 = FE J = 50.000 x [(1 + 04F) (FE  360) _{< 1] = / E345E}

PMTF = / 50.000400 + / E345E = / 50.E345E

 %aixo4 &ost#a&os a ,!ani!-a desta o,e#a9:oK

Data Juros Prini!al Prestação Saldo

F00100 100.000400 F10F00 1.30450 50.000400 51.30450 50.000400 F00300 E345E 50.000400 50.E345E

 Valor da primeira prestação*

n.° de dias entre /L[L([LL e /([L/[LL T ?/

2M( T (LL.LLL x _( ^ L$/, ?/ [ ?L ' (` T RK (.W?L$+L

Valor da segunda prestação

n.° de dias entre /([L/[LL e /L[L?[LL T /

) T (LL.LLL x _( ^ L$/, / [ ?L _{' (` T RK (.U$(}

2M/ T RK (LL.LLL$LL ^ RK (.U$( T RK (L(.U$(

&baixo$ mostramos a planil3a desta operação*

, 7 50.000 ,66   4,00 5.000,00   6.000 4,00 f #RR 6.000 _{ 8%"} 4 _{ B"} 4 _{ B"} 4,00 ,66 * ao ms

Data Juros Prini!al Prestação Saldo F00100 100.000400 F10F00 1.30450 1.30450 100.000400 F00300 1.6E7416 100.00040 101.6E7416  <> Digitando Visor   Comentário

V;>se portanto :ue a taxa eeti!a de 8uros não A / ao m;s$ como airma o banco$ mas sim /$+ ao m;s. E) Digitando Visor   Comentário ,W 100.000 3.000 1 x ?.455,?6 89:  8%₀ ?.455,?6 _{ 8%"} 1 _{ B"} f #RR C!xo inicia! NH de !xos iais e consecti*os ?.455,?6 1,00 ,50 ,50 5 a.m. restação 89:  8%₀ 100.000,00 C!xo inicia!

%se#*ase ,o#tanto 'e4 do ,onto de *ista de taxa de $#os4 os dois ,!anos de a&o#tiBa9:o se e'i*a!e&.

C6:>u;o "

( Vamos calcular$ inicialmente$ a taxa de 8uros desta operação. 2or se tratar de uma sArie uniorme$ podemos utilizar as seguintes teclas da calculadora

Digitando Visor  

Comentário

&gora$ temos :ue* (a _{prestação} )uros T (LL.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T /.+LL$LL &mortização T /.+($,L ' /.+LL$LL T /,.L($,L /a <sub>prestação</sub> )uros T (LL.LLL ' /,.L($,L x _( ^ L$L/+ ' (` T (.WU$WU &mortização T /.+($,L ' (.WU$WU T /,.?$,, ?a _{prestação} )uros T (LL.LLL ' /,.L($,L ' /,.?$,, x _( ^ L$L/+ ' (` T (./L$ +L ?.<4,<1 _{ 8%"} 1 _{ B"} f #RR NH de !xos iais e consecti*os ?.<4,<1 1,00 ,50 ,50 a.m. restação / 6.51,40 4 _n i C!xo inicia! NH de !xos iais e consecti*os 6.51,40 4,00 ,50 ,50 a.m. restação 100.000,00 89: ;T

&mortização T /.+($,L ' (./L$ T /+.?LL$+/ ,a _{prestação}

)uros T (LL.LLL ' /,.L($,L ' /,.?$,, ' /+.?LL$+/ x _( ^ L$L/+ ' (` T ,$?U &mortização T /.+($,L ' ,$?U T /+.W??$L?

& planil3a e o gráico abaixo ilustram o plano de amortizaçãoC

"o _{Juros Amortização Prestação Saldo}

100.000400 1 F.500400 F.0E140 F6.5E140 75.1E460 F 1.E747 F.6E34 F6.5E140 51.F35416 3 1.FE04EE F5.30045F F6.5E140 F5.33403  6E437 F5.33403 F6.5E140

Total 6.363,22 100.000,00 106.363,22 

#ota$ e)uenas diferenças o+seradas na ta+e'a acima são deidas a arredon7 damentos na terceira casa decima' & direita da (ru'a.

,,.500 ,3.000 ,3.500 ,4.000 ,4.500 ,5.000 ,5.500 ,6.000 ,6.500 ,<.000 1 , 3 4 / (a _{prestação} )uros T (LL.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T /.+LL$LL &mortização T /+.LLL$LL ^ /.+LL$LL T /U.+LL$LL /a <sub>prestação</sub> )uros T (LL.LLL ' /+.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T(.U+$LL &mortização T /+.LLL ^ (.U+$LL T /.U+$LL

?a _{prestação}

)uros T (LL.LLL ' +L.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T(./+L$LL

&mortização T /+.LLL ^ (./+L$LL T /./+L$LL ,a _{prestação}

)uros T (LL.LLL ' U+.LLL x _( ^ L$L/+ ' (` T /+$LL &mortização T /+.LLL ^ /+$LL T /+./+$LL

& planil3a e o gráico abaixo ilustram o plano de amortização*

"o _{Juros Amortização Prestação Saldo}

100.000400 1 F.500400 F5.000400 F7.500400 75.000400 F 1.E75400 F5.000400 F6.E75400 50.000400 3 1.F50400 F5.000400 F6.F50400 F5.000400  6F5400 F5.000400 F5.6F5400 Total 6.250,00 100.000,00 106.250,00  ,3.500 ,4.000 ,4.500 ,5.000 ,5.500 ,6.000 ,6.500 ,<.000 ,<.500 ,.000 1 , 3 4 ?

%álculo do !alor presente das L prestaç<es de RK /.LLL$LL*

Digitando Visor Comentário

P saldo de!edor a ser coberto pelas prestaç<es intermediárias A$ portanto$ RK (LL.LLL$LL menos RK U.UL$+,$ ou se8a$ RK /(./?W$,.

+/ 60,00 7 .000,00 ;T 89: n Bo de per(odos .000 restação / <.<60,54 /a'or resente i 1,5 Taxa de "uros