Álgebra de Números Complexos
Os números complexos são de grande importância em muitos domínios da matemática e são particularmente úteis na análise de sistemas dinâmicos. Estes números, que são uma extensão dos números reais, são constituídos por duas componentes, uma real e outra imaginária, sendo que a unidade imaginária, j, corresponde à raiz quadrada de -1
1 − = j
e, portanto, um qualquer número imaginário pode ser escrito como bj
a z = +
e, consequentemente Re(z) = a , Im(z) = b
Sendo números que são descritos recorrendo a duas componentes, a real e a imaginária, estes números podem ser representados num plano, com dois eixos ortogonais, um correspondente à componente real e o outro correspondente à componente imaginária. Esta representação, utilizando os dois eixos ortogonais, pode designar-se por representação Cartesiana.
Tal como qualquer outro sistema de coordenadas cartesianas, também o correspondente aos números complexos pode ser visto de uma forma polar, representando-se o número pela sua distância à origem dos eixos (o módulo do número) e pelo ângulo que o vector que liga a origem dos eixos ao ponto faz com o eixo dos xx, o ângulo de fase.
Assim, um número imaginário pode ser representado na forma polar da seguinte forma:
(
cos(ϕ) jsen(ϕ))
z z= + , onde z = a2+b2 , e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a b atan ϕO diagrama seguinte mostra o plano complexo, no qual a parte real de z está representada no eixo horizontal. Um número complexo aparece como um vector a partir da origem dos eixos. O diagrama relaciona as formas Cartesiana e polar do número complexo z. O ângulo de fase φ é medido em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a partir do eixo real positivo.
Como representação alternativa pode escrever-se
(
ϕ j ϕ)
zejϕz
z= cos( )+ sen( ) =
que recorre à fórmula de Euler, a qual relaciona a exponencial complexa com as funções trigonométricas e que será demonstrada de forma simples mais adiante (ver secção sobre expansão em série de Taylor):
( )
x j( )
x e±jx =cos ± senAs operações entre números complexos são muito fáceis de definir e derivam directamente das regras convencionais para as operações em números reais.
Assim, a soma de dois números complexos será um número complexo cuja parte real é a soma das partes reais dos dois números e a parte imaginária é, de forma semelhante, a soma das componentes imaginárias:
(
a a) (
b b)
j j b a j b a x x z j b a x j b a x 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 + + + = + + + = + = + = + =O produto de dois números complexos também se pode obter com facilidade:
( 1 2) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + = = = × = = + = = + = i i i i i i i e x x e e x x e x e x x x z e x j b a x e x j b a x
ou, na forma cartesiana
(
a a b b) (
a b a b)
j xx
z = 1× 2= 1× 2− 1× 2 + 1× 2+ 2× 1 onde se teve em conta que
1 2 =− j a φ b real imaginário 2 2 b a +
De notar que o produto de números complexos na sua representação polar é particularmente simples dado que o número resultante tem como amplitude o produto das amplitudes dos argumentos, enquanto que o ângulo de fase é a soma dos ângulos de fase dos argumentos.
Ao número complexo, z*, que se obtém invertendo o sinal da componente imaginária de um dado número z chama-se o complexo conjugado de z:
) (cosϕ ϕ ϕ z jsen e z bj a z= + = j = + ) (cos * * a bj z e ϕ z ϕ jsenϕ z = − = −j = −
Estes dois números complexos conjugados têm o mesmo módulo e, tendo em conta que as componentes imaginárias têm sinais contrários o seu produto é um número real dado por: 2 2 2 2 * * z z a b zz = = = +
Num quociente envolvendo números complexos tanto no numerador como no denominador, multiplicando ambos os termos do quociente pelo conjugado do denominador é possível eliminar a componente imaginária no denominador, obtendo-se então o quociente sob a forma de um único número complexo:
j b a b a b a b a b b a a b a j b a b a b b a a j b a j b a j b a j b a j b a j b a 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ) )( ( ) )( ( + − + + + = + − + + = − + − + = + +
Expansão em Séries de Taylor
Muitas vezes, no manuseamento de funções há vantagens em ter aproximações destas sob a forma de funções polinomiais. Uma das formas de o fazer é utilizar as expansões em série de Taylor
(
)
∑
∞ = = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 ) ( ! 1 ) ( i i x x i i x x dx x f d i x fEstas séries podem ser utilizadas para calcular valores aproximados das funções, a partir de um dado valor conhecido, ou aproximá-las localmente, em torno do ponto em que foi realizada a expansão, por polinómios da ordem desejada. No caso particular do ponto em torno do qual se efectua a expansão ser x0=0 a série designa-se como série de
Maclaurin.
Uma das expansões em série mais relevantes para os estudos de dinâmica de sistemas é a da série de Maclaurin para a função exponencial:
... 2 1 ! ! 1 2 0 + + + ≈ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =
∑
∑
= x x i x x dx e d i e i i i i x i x i xQue foi obtida tendo em conta que
x i x i e dx e d =
Também relevantes são as expansões em série de Maclaurin das funções trignométricas sen x e cos x: )! 1 2 ( ) 1 ( ... ! 5 ! 3 ! 1 3 5 2 1 0 + − + + + − ≈ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + =
∑
x x x x xi dx senx d i senx i i i i x i i )! 2 ( ) 1 ( ... ! 4 ! 2 1 cos ! 1 cos 2 4 2 0 i x x x x dx x d i x i i i i x i i − + + + − ≈ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =∑
=No caso da exponencial complexa ejx, a expansão em série em torno do ponto x=0, permite deduzir uma relação entre a função exponencial complexa e as funções trignométricas:
... ! 5 ! 4 ! 3 2 1 5 4 3 2 + + + − − + ≈ jx x j x x jx ejx ...) ! 5 ! 3 ( ...) ! 4 2 1 ( − 2 + 4 + + − 3 + 5 + ≈ x x j x x x
Comparando a expressão anterior com as expressões anteriormente obtidas para o desenvolvimento em série de Taylor das funções sen (x) e cos (x), expandida em torno do ponto x=0, pode concluir-se que:
x j x ejx =cos + sen Do mesmo modo: x j x e−jx=cos − sen
Desta forma demonstrámos a fórmula de Euler, que se mencionou na secção sobre álgebra de complexos.
Partindo destas duas expressões obtém-se facilmente as seguintes expressões para as funções trignométricas: 2 cosx ejx e jx − + = j e e x jx jx 2 sen − − =
Para funções com mais de uma variável f(x1,...,xn):
(
) (
)
∑ ∑
∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − − ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 1 0 10 1 ,..., 1 ..., , 1 2 1 0 10 1 ... ... ) ,..., ( ! !... 1 ) ,..., ( ) ,..., ( 1 1 0 10 1 1 m kn n n k m k k k x x x x k n k n m n n x x x x dx dx x x f d k k x x f x x f j j n n n nO que, fazendo uma aproximação de primeira ordem fica
(
0)
..., , 0 10 1 0 10 1 ,...) , ( ) ,..., ( ) ,..., ( i i i x x x x i n n x x dx y x df x x f x x f n n − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≅∑
= =Por exemplo, para o caso da função f (CA,F) = CA.F que representa o produto de uma
concentração por um caudal, a expansão em série de Taylor expandida em torno do ponto (CA0,F0) truncada como aproximação nos termos da primeira derivada é a
seguinte: ) ( ) ( . . 0 0 0 0 0 0 F F C C C F F C F CA ≈ A + A − A + A −
Transformadas de Laplace
As transformadas de Laplace são uma ferramenta de grande utilidade para a análise de sistemas descritos por equações diferenciais, por motivos que veremos a seguir.
Esta transformada integral, corresponde a uma substituição de variável, a variável tempo, por uma nova variável, a variável s, cujas propriedades facilitam muito a resolução de equações diferenciais.
Definição
( )
( )
=∞∫
( )
− = 0 ) (s L f t f t e dt F stA Transformada de Laplace é definida por um integral impróprio, do produto da função a transformar pela função e-st, em que s é o parâmetro de Laplace. Este definição
implica que, para que exista transformada de Laplace de uma dada função f(t), o integral impróprio que define a transformada tem de existir e ser convergente. Este facto não é limitativo para a generalidade das aplicações que se irão fazer na cadeira de Dinâmica de Sistemas, mas implica, de qualquer forma, algum cuidado na sua utilização.
Note-se que a Transformada de Laplace, ao ser definida como o integral entre 0 e ∞ não depende dos valores que a função f(t) possa tomar para tempo menor que zero. Este facto não é uma limitação importante no contexto em que pretendemos utilizar esta ferramenta, dado que podemos sempre considerar o início do tempos de forma conveniente, como se verá na abordagem dos sistemas dinâmicos.
Propriedades
É fácil ver, pela definição, que o operador Transformada de Laplace é um operador linear.
( )
(
)
( )
( )
(
( ))
0 0 t f aL dt e t f a dt e t af t af L =∫
st =∫
st = ∞ − ∞ −( )
(
( ))
(
( )
( ))
( ) ( )(
( )) (
( ))
0 0 0 t g L t f L dt e t g dt e t f dt e t g t f t g t f L + =∫
+ st =∫
st +∫
st = + ∞ − ∞ − ∞ −Transformadas de funções representativas
Vamos começar por calcular, através da definição, as funções transformadas de algumas funções representativas. Delta de Dirac ) ( ) (t a t f = δ a dt e t a s F =
∫
st = ∞ − 0 ) ( ) ( δ Constante ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 se 0 se 0 ) ( t t a t f s a e s a dt e a dt ae s F = st = st = ⎢⎣⎡− −st⎥⎦⎤∞ = ∞ − ∞ −∫
∫
0 0 0 1 ) ( Rampa 0 se 0 se 0 ) ( ≥ < ⎩ ⎨ ⎧ = t t at t f 2 0 0 0 0 0 1 0 1 1 ) ( s a dt e s a dt e s e s t a dt te a dt ate s F st st st st st ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− = = =∫
∫
∫
∫
∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − Exponencial at e t f()= − s a e s a dt e dt e e s F at st a st a st + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − = = = − + ∞ ∞ + − ∞ − −∫
∫
1 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0Esta relação aplica-se também para os casos em que a é um número imaginário.
Coseno
Para calcularmos a Transformada de Laplace do coseno, podemos utilizar a sua relação com a função exponencial de argumentos imaginários
2 ) cos( ) (t t ej t e j t f ω ω ω = + − =
( ) ( )
2 2 1 1 2 1 2 ) ( ω ω ω ω ω + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − = + = − s s j s j s e L e L s F j t j t SenoDe forma semelhante podemos obter a transformada da função seno.
j e e t t f t j t j 2 ) ( sen ) ( ω ω ω = − − =
Utilizando a relação deduzida antes,
( ) ( )
2 2 1 1 2 1 2 ) ( ω ω ω ω ω ω + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − = − = − s j s j s j j e L e L s F j t j tNote-se que a generalidade destas transformadas existe para qualquer valor de s positivo, mas alguns dos integrais não são convergentes para s=0. Este é o caso, por exemplo, das transformadas do degrau e da rampa e, portanto, a transformada de Laplace não se encontra definida para estas funções para s=0, se bem que, regra geral, se possa calcular o limite de F(s) quando s→0.
Um caso em que é necessária particular atenção é o caso da função exponencial. No caso que vimos acima o integral existe e é convergente para qualquer valor de a positivo. No entanto se considerarmos agora a exponencial eat, o integral que define a transformada de Laplace não é convergente senão quando s>a, o que quer dizer que a função transformada de Laplace não está definida para valores de s menores ou iguais a a, não estando, portanto, definida para s=0, não se podendo sequer calcular o respectivo limite uma vez que se encontra fora do domínio da função.
Relações entre operações no tempo e no espaço de Laplace
Das transformadas podemos já observar um certo padrão de relação entre as funções no tempo e das suas correspondentes transformadas no espaço de Laplace.
f(t) F(s) ) (t aδ a a s a at 2 s a
A função constante, que se entende como constante somente para tempo maior que zero e cujo valor anterior a t=0 pode ser tomado como zero, é uma primitiva da função
) (t
aδ . Por outro lado, a função rampa é uma primitiva da função constante.
Olhando agora para a coluna correspondente às respectivas transformadas de Laplace, verificamos que a transformada do delta de Dirac é uma constante, enquanto que a transformada da primitiva do delta de Dirac (a função constante) é a constante dividida por s e a transformada da primitiva da constante (a função rampa) é essa mesma constante dividida por s ao quadrado.
Assim, enquanto no tempo passamos da função delta de Dirac para a constante, e depois para a rampa através de operações de primitivação, no espaço de Laplace passamos da transformada do delta de Dirac para a transformada da constante e depois da rampa dividindo pelo parâmetro de Laplace, s.
O reverso pode ser observado na ordem inversa, quando, no tempo, passamos da rampa para a sua derivada, a constante, e desta para a sua derivada, o delta de Dirac, nas correspondentes funções no espaço de Laplace passamos da Transformada de Laplace para as outras transformadas multiplicando por s.
Esta é a propriedade que confere às Transformadas de Laplace a sua importância: enquanto no tempo temos operações integro-diferenciais, no espaço de Laplace as correspondentes operações envolvem multiplicações e divisões por s.
Vamos verificar formalmente esta relação.
Transformada de uma Derivada
Vamos calcular a relação entre a Transformada de Laplace de uma função derivada e a Transformada de Laplace da correspondente função original.
[
]
) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 f s sF dt e t f s f dt se t f e t f dt e dt t df s G st st st st − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = =∫
∫
∫
∞ − ∞ − ∞ − ∞ −Assim, a Transformada de Laplace de uma derivada é a Transformada de Laplace da função inicial, multiplicada por s, a menos de uma constante, que é o valor da função inicial para t=0.
Teoremas de Valor Inicial e Final
Por vezes temos interesse em, sabendo a função Transformada de Laplace de uma certa função, saber alguns pontos característicos dessa função temporal sem ter que realizar a operação de Transformada Inversa.
Existem dois teoremas úteis para esta finalidade.
Teorema do Valor Inicial
Para obter o valor de uma função no tempo t=0 podemos utilizar a relação deduzida para a Transformada de uma derivada.
) 0 ( ) ( ) ( 0 f s sF dt e dt t df st = −
∫
∞ −Consideremos que s tende para infinito. Neste caso, o termo exponencial no integral no lado esquerdo da equação tende para zero e, assumindo que a função f(t) é contínua, todo o integral tende para zero. Assim,
) ( lim ) 0 ( ) ( lim 0 f t f s sF t s→∞ = = →
Ou seja, o valor inicial de f(t) é o limite, quando s tende para infinito, do produto da sua Transformada de Laplace por s.
Teorema do Valor Final
De forma semelhante podemos obter uma forma de calcular o valor de f(t) quando t tende para infinito.
) 0 ( ) ( ) ( 0 f s sF dt e dt t df st = −
∫
∞ −Consideremos agora que s tende para zero. Neste caso, o termo exponencial no integral no lado esquerdo da equação tende para um e, assumindo que a função f(t) é contínua, temos ) ( lim ) ( lim ) 0 ( ) ( lim ) 0 ( ) ( 0 0sF s f f t sF s f f s t s→ − ⇒ →∞ = → = − ∞
Ou seja, o valor de f(t) quando o tempo tende para infinito pode ser obtido através do produto de s pela sua Transformada de Laplace quando s tende para zero.
Transformada de uma Função Deslocada no Tempo
Um outro caso importante é o de calcular a transformada de Laplace de uma função deslocada no tempo. Este caso é relevante em muitas situações, práticas, nomeadamente
quando existem situações de atraso de transporte, por exemplo quando uma corrente de fluido atravessa uma tubagem. Vamos, e então, considerar que temos uma função g(t) que é definida como sendo igual a uma outra, f(t), mas deslocada no tempo:
) ( )
(t f t tp
g = −
Como se pode ver na figura seguinte
f(t) g(t) tp
Podemos agora calcular a transformada de Laplace da função g(t), relacionando-a com a da função f(t).
( )
( )
=∫
∞( )
− =∞∫
(
−)
− =∞∫
(
−)
− p t st p st p stdt f t t e dt f t t e dt e t g t g L 0 0onde, no último passo, o extremo inferior de integração foi alterado uma vez que a função integranda é zero para t<tp.
Fazendo agora uma substituição de variáveis, tal que t*=t-tp, temos que
( )
( )
g t f(
t t)
e dt f( )
t e ( )dt e f( )
t e dt e L(
f( )
t)
L p p p p st st st t t s t st p − ∞ − − ∞ + − ∞ − = = = − =∫
∫
∫
0 * 0 * * * * *ou seja, a transformada de Laplace de uma função deslocada no tempo é igual à transformada de Laplace da função original, multiplicada por e−stp.
( )
( )
g t e L(
f( )
t)
L = −stp
Resolução de Equações Diferenciais
O facto de as operações integro-diferenciais se converterem em operações algébricas quando se aplica a Transformada de Laplace permite que esta seja utilizada para facilitar a resolução de equações diferenciais.
Consideremos, por exemplo, a seguinte equação diferencial 1 ) 0 ( 2 2 +y= y = dt dy
Se aplicarmos Transformadas de Laplace a ambos os lados da equação, obtemos
s s Y s sY( ) 1) ( ) 2 ( 2 − + =
Que pode ser resolvida para obter Y(s)
) 1 2 ( 2 2 ) ( + + = s s s s Y
Y(s) é, portanto, a Transformada de Laplace da função que é solução do problema descrito. Esta função, no espaço de Laplace, pode ser utilizada para obter informação sobre a função temporal, por exemplo através do teorema do valor final
2 ) ( lim ) ( lim 0 = = → ∞ → y t s sY s t
Se aplicarmos a Transformada de Laplace Inversa podemos obter a função y(s).
Transformada Inversa
A Transformada de Laplace Inversa não tem uma forma simples de cálculo, ao contrário da Transformada de Laplace, mas pode ser obtida através da comparação da função no espaço de Laplace com funções conhecidas e tabeladas.
Note-se que, dada a definição do operador Transformada de Laplace, a função obtida é indefinida para t<0, uma vez que a transformada de Laplace não contém qualquer informação sobre os valores da função no tempo para valores de tempo menor que zero. É frequente que as funções para as quais se pretendem calcular as Transformadas de Laplace Inversas sejam funções racionais, correspondendo ao quociente entre polinómios, tal como na caso anterior.
Neste caso podemos utilizar a técnica de expansão em fracções simples, por forma a permitir um cálculo mais rápido da Transformada Inversa.
Por exemplo, no caso acima, a expansão em fracções simples corresponderá à obtenção dos parâmetros α e β na equação abaixo.
1 2 ) 1 2 ( 2 2 ) ( + + = + + = s s s s s s Y α β
Para obter estes parâmetros podemos utilizar o método dos coeficientes indeterminados ou a técnica de expansão de Heaviside, a qual vamos exemplificar para obtenção do parâmetro β.
O termo correspondente ao parâmetro β tem um denominador que é um polinómio de primeira ordem em s com um zero igual a -0.5.
Para calcular β vamos começar por multiplicar ambos os termos da equação pelo denominador do termo contendo o β.
1 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 2 ) 1 2 ( + + + + = + + + s s s s s s s s α β β α + + = + s s s s ) 1 2 ( 2 2
Se tomarmos agora o valor de s como sendo o valor que anula o denominador do termo contendo β, o termo correspondente ao parâmetro α, ou, no caso geral, todos os termos contendo denominadores diferentes, anula-se, pelo se obtém
2 2 2 5 . 0 − = = ⎥⎦ ⎤ + − = β s s s
De forma geral, esta técnica pode ser utilizada para todos os termos, excepto para os que correspondem a raízes múltiplas, caso em que só pode ser utilizado para o termo de ordem superior, tendo os outros que ser obtidos por outro método, nomeadamente pelo método dos coeficientes indeterminados.
