Mapeamento Fuzzy de Funções Dinâmicas para Controle de Manipuladores no Espaço Operacional

(1)

Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy - 2010

Mapeamento Fuzzy de Funções Dinâmicas para Controle de

Manipuladores no Espaço Operacional

Victor Barasuol

Douglas Wildgrube Bertol

Edson Roberto De Pieri

Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC

BOX 88040-900, Florianópolis, SC

E-mail: victor@das.ufsc.br; dwbertol@das.ufsc.br; edson@das.ufsc.br;

Resumo

Este trabalho propõe uma ação de controle, para robôs manipuladores, com adição de termos não lineares complementares, baseados em modelo, mapeados através de conjuntos nebulosos. A estratégia é direcionada ao controle no espaço operacional para movimentos ágeis e busca melhores resultados aliado a um algoritmo de baixa carga computacional. A análise de estabilidade é apresentada para rematar sobre a influência dos erros no mapeamento e conseqüentes critérios para garantir o seguimento de trajetória. O estudo é

direcionado a um robô manipulador de pesquisa de configuração SCARA (Selective

Compliance Assembly Robot Ann ).

Palavras-chave: Lógica

Fuzzy,

Manipuladores SCARA, Espaço Operacional.

1. Introdução

Na necessidade de movimentação ágil de manipuladores robóticos, estratégias convencionais

baseadas em ações PD costumam ficarem aquém das expectativas devido às inerentes dinâmicas

não lineares existentes nos mecanismos reais. Frente a estes problemas, a ação de controle deve ser aprimorada a ponto de incorporar algumas características do modelo.

Outra dificuldade emerge quando as características do modelo são utilizadas na ação de controle e a tarefa é especificada no espaço operacional. A ação de controle toma-se ainda mais complexa, pois as transformações entre o espaço de junta e o espaço operacional requerem um número substancial de operações matriciais, implicando em uma carga computacional excessiva (considerando a capacidade média dos núcleos de processamento embarcados em

manipuladores) e as magnitudes das parcelas de erro, decorrente de imprecisões paramétricas,

tornam-se mais expressivas.

A metodologia de controle comumente utilizada para contornar estes problemas utiliza-se de transformações espaciais (cinemática inversa e direta), levando o paradigma de controle para o espaço de juntas, relacionando os torques da ação de controle deste com as forças no espaço operacional através da matriz jacobiana transposta [ 4 ]. Na Figura 1 estão ilustradas as estruturas de controle ideal no espaço operacional (Ib) e de controle no espaço de juntas (la).

X Contrclador Controlador Atuador Manipulador

Direta Transdutor

Cinemática

(a) (b)

Figura 1 - a. controle no espaço de junta e b. controle no espaço operacional.

Conjuntos e sistemas fuzzy têm passado por um desenvolvimento substancial deste a

introdução da teoria fuzzy por Zadeh [1], há quatro décadas. O processo de inferência mais

comumente utilizado foi proposto por Mamdani [2]. Neste trabalho é utilizado o sistema de inferência de Sugeno (3], conhecido também por Takagi-Sugeno-Kang ou ainda T-S fuzzy.

Dentre as características apresentadas por sistemas fuzzy, três são as que justificam a sua utilização neste trabalho, a possibilidade de se identificar sistemas apenas utilizando conjuntos de pares entrada-saída [8], a redução na ordem do problema (implicando na redução da carga

(2)

computacional - objetivo do trabalho) e o aumento da robustez do controlador à variações de parâmetros físicos do manipulador [7].

Para abordar o problema do controle no espaço operacional exibindo movimentação ágil e baixa carga computacional, este trabalho propõe uma ação de controle com a adição de termos não lineares baseados no modelo, porém, mapeados através de um sistema de inferência fuzzy para redução das operações matemáticas e conseqüente redução da carga computacional.

O trabalho está organizado da seguinte forma: a seção 2 apresenta o modelo matemático do manipulador e as relações e transformações necessárias para realizar o controle no espaço operacional. Na terceira seção apresenta-se a proposta de ação de controle e os termos que serão mapeados. Ainda nesta seção, é realizada a análise de estabilidade e apresentada a técnica de

mapeamento empregada. Por fim, os resultados de simulação e a conclusão sobre o trabalho são

apresentados nas seções 4 e 5, respectivamente.

2. Modelo Matemático do Manipulador

O robô utilizado para o estudo de caso (Figura 2) possui configuração SCARA ( Compliance

Assembly Robot Arm ). Este manipulador

é

utilizado especificamente para pesquisa acadêmica, sendo fabricado em Zurique pelo Instituto Federal Suíço de Tecnologia (Eidgenõssische

Technische Hochschule - ETH), e pertence ao Laboratório de Controle e Automação (LCA) do

Departamento de Automação da Universidade Federal de Santa Catarina (DAS-UFSC),.

Figura 2 - Robô inter.

A dinâmica do manipulador pode ser descrita pelo seguinte modelo matemático [9]:

B(q)ij

+

C(q,

q)q

+

Fq

+

G(q) = í (1)

A equação (1) descreve a dinâmica do manipulador no espaço de juntas onde: B(q)

representa a matriz de inércia do manipulador, C(q, q) a matriz de forças centrífugas e Coriolis,

F a matriz de atrito, G(q) o vetor relacionado às forças de gravidade e í o vetor de torque nas

juntas.

Utilizando a propriedade relacional

x

= j(q)q da matriz jacobiana, a equação (1) pode ser

transformada para descrever a dinâmica do manipulador no espaço operacional da seguinte forma:

1-TB(q)l-1x

+

l-T[c(q,q)l-1 - B(q)1-1j1-1]x

+

l-Tp1-1x

+

1-TG

=

1-T T (2) A equação (2) pode ser reduzida para a equação:

B(q)x

+

C(q,

q)x

+

fix

+

G(q)

=

r

(3)

onde B ( q) corresponde a matriz de inércia no espaço operacional e preserva a propriedade de

(3)

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preserva a propriedade da anti-simetria. As forças de atrito são representadas por

F,

as forças

gravitacionais por G (q) e as forças no espaço operacional pelo vetor y.

Para o presente estudo, utiliza-se o modelo matemãtico reduzido às duas primeiras juntas de rotação do robô SCARA (dois primeiros graus de liberdade), que por terem seus eixos de rotação paralelos ocasiona a redução do espaço da tarefa a um plano cartesiano. Outra

conseqüência desta redução é a inexistência da matriz G,

uma

vez que as duas primeiras juntas

provêm movimentos ortogonais ao vetor de gravidade.

Com isso, para que se possa observar a carga computacional envolvida no estudo do controlador, abaixo estão detalhadas as matrizes e suas respectivas funções elementares, conforme [5]:

• Matriz de inércia B(q)

B(q)

=

[aux1 + 2(m2l1lc2+(m3+114)l2l1) cos(q2) aux2 + (m2l1lc2 + (m3

+

m4)l2l1) cos(q2 )]

aux2 + (m2l1lc2 + (m3 + m4)l2l1) cos(q2) aux2 + hk~

(4) Sendo aux1

=

aux2

+li+

(m2

+

m3

+

m4)lr

+

m11~1

+

Jik~ e aux2

=

12 + 13 +14

+

m21~2

+

(m3

+

m4)l~.

• Matriz de forças centrifugas e de Coriolis C ( q, q)

C( ')

= [

hqz hcii

+

hqz]

q,q -hcii

o

sendo h

=

-(m2lilc2

+

(m3

+

m4)l2l1)

sin(qz).

• Matriz de atrito

(5)

Para efeito de simplificação, a matriz de atrito será considerada formada apenas pelas componentes do atrito viscoso, ou seja:

F

=

[µ1

O] (6)

O

µz • Matrizjacobiana

f(q)

=

[-li sin(q

1) -

l

2

sin(qi

+

q

2)

-1

2

sin(qi

+

q

2)]

l1

cos(qi)

+

l 2

cos(qi

+

q

2) l2

cos(qi

+

q

2) (7)

Os valores paramétricos apresentados acima estão apresentados na Tabela 1.

Tbl 1 p a e a - arametros o mamp A d

. ulad

or. Descrição dos Parâmetros do Robô Seara

Símbolo Descrição Valor [Unidade]

l1 e l2 Comprimento dos elos 1 e 2 0,25 [m]

lei Centro de massa do elo 1 0,118 [m]

lcz Centro de massa do elo 1 0,116[m]

m1 Massa do elo 1 11,4 [kg]

m3 Massa do elo 3 2 [kg]

li

Momento de inércia do elo 1 0,23 [kg.m2]

/2 Momento de inércia do elo 2 0,16 [kg.m2]

fieh

Momento de inércia dos rotores 1 e 2 0.00005 [kg.m2]

µ1 Coeficiente de atrito viscoso da junta 1 3 ,2 [Nms/rad]

µ2 Coeficiente de atrito viscose da junta 2 1,9 [Nms/rad]

(4)

3. Controlador

O objetivo do controlador proposto consiste em realizar tarefas no espaço cartesiano com base em um algoritmo de controle reduzido. Esta redução computacional é alcançada pela

inserção da lógica fuzzy na malha de controle, recebendo a função de substituir as funções

não-lineares das matrizes através de um mapeamento representado por conjuntos nebulosos.

A estrutura de controle proposta é baseada no controle de rigidez apresentado em [6], que utiliza o conceito de erro auxiliar para alcançar maiores taxas de convergências para o erro. A ação de controle consiste em uma ação proporcional-derivativa (PD), para convergência dos erros, e um termo mapeado do modelo que interage com as forças inerciais.

Urna vez que o foco deste trabalho é obter melhores resultados em tarefas realizadas no espaço operacional, juntamente com um custo computacional menor, após alguns estudos optou-se por negligenciar, no controlador, as parcelas de torques provenientes das forças centrifugas e de Coriolis.

A idéia fundamental da ação de controle parte de um controlador PD com a adição de um

termo que interage com as forças inerciais. Além disso, o termo relacionado às acelerações

baseia-se na propriedade da matriz de inércia (positiva definida), onde sua utilização como uma matriz de ganhos variáveis permite trabalhar apenas com a aceleração desejada, evitando problemas práticos na obtenção da aceleração real. Com isso, a ação de controle fundamental é

dada por:

u

= T = JT(Kp(Xd -

x)

+

Kd(xd - x)

+

Bxd)

u

=

1r(Kpx

+

Kdi

+

lixd)

(8)

onde x representa a posição do efetuador final no espaço operacional e xd a posição desejada. O

ganho proporcional é representado por Kp e o ganho derivativo por Kd.

A ação de controle (8) já apresenta melhora considerável nos níveis de erro devido à inserção

da parcela B xd. No entanto, a taxa de convergência do erro pode ser aumentada pela utilização

do conceito de velocidade de referência proposto em [6]. Logo, a ação de controle é modificada para agregar tais propriedades de convergência, sendo assim:

(9)

onde

u

=

i

+

Kp

x

é uma variável de erro e

X,.

= xd

+

Kp

x

representa a velocidade de

referência.

Nesta etapa o sistema de inferência fuzzy é empregado para substituir funções não lineares por aproximações mapeadas. Estas funções mapeadas são melhores compreendidas pela

expansão da matriz

B

na equação (9):

u

= ]T(Kdu

+

]-TBJ-1X,.) = ]TKdu

+

BJ-1x₇ (10)

O mapeamento é então realizado sobre a matriz ]T, representado por lf, e sobre a matriz

B]-1, representado por Bj-1, fornecendo a seguinte expressão para a lei de controle:

(11) Para concluir o estudo matemático do controlador, no próximo item a estabilidade do sistema em malha fechada é analisada.

3.1 Análise de Estabilidade

De modo a simplificar a análise de estabilidade, considere os termos mapeados reescritos da seguinte maneira:

(5)

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onde e1 e e2 são matrizes que contêm funções de erro relacionadas ao mapeamento e variam

com a postura do manipulador.

Substituindo as equações (12) e (13) em (11), pode-se reescrever a dinâmica do sistema em malha fechada como:

(14) A partir da equação (14) é possível concluir que o sistema será estável desde que

11•

1

li,11•

2

li

<

1. Critério que pode ser verificado na etapa de mapeamento.

Nota-se também que o sistema não alcança erro nulo quando em movimento, pois a perturbação está diretamente relacionada com a velocidade e a aceleração do manipulador no espaço operacional.

Esta observação pode ser melhor verificada quando expandida a variável

u

de modo a reescrever a equação (14) em termos dos erros:

(l

+

•1)B(i

+

Kpi)

+

(l

+

•2)Kd(i

+

Kpx) = (t

+

F)(-i

+

xd) - B•1(-i

+

xd) a1i

+

a2i

+

a3x = (C

+

_{F)x - Bo1xd}

onde a1 = B, a2 = (l

+

•1)BKp

+

(l

+

•2)Kd e a3 = (l

+

•2)KdKp.

(15)

Assim, identifica-se a relação direta das perturbações com as velocidades (termo

(C

+

F)x)

e as acelerações desejadas (termo Bo₁xd)·

Além disso, na ausência de velocidades e acelerações desejadas, ou seja, em casos de regulação, a equação (15) fornece que o erro de posicionamento tende à zero a medida que o tempo tende ao infinito.

3.2 Mapeamento por Lógica Fuzzy

Este item trata do mapeamento das funções descritas anteriormente, ]T e Bj-1 , para o

manipulador de configuração SCARA exibido na Figura 2. Na Figura 3 são ilustradas as superficies correspondentes aos termos destas matrizes, que variam com a postura do manipulador, para o primeiro quadrante do plano operacional. Salienta-se que para o manipulador em questão não é possível obter valores próximos a origem do sistema de coordenas em função das limitações tisicas de cada junta.

O ajuste dos conjuntos nebulosos não constitui uma tarefa trivial e devido a este detalhe o presente estudo não foca na qualidade do mapeamento, mas na sua validação. Trabalhos futuros serão direcionados a pesquisa de técnicas de busca ótima, levando em consideração carga computacional e maguitude do erro de mapeamento. Logo, a metodologia de mapeamento empregada não possui critérios além dos necessários para o cumprimento das condições de estabilidade.

Para a tarefa de mapeamento optou-se pela utilização da ferramenta Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System Editor (ANFIS} que é parte integrante do toolbox de lógica fuzzy do programa Matlab®. Esta ferramenta utiliza o algoritmo de backpropagation em combinação com o método dos mínimos quadrados para identificar sistemas através do treinamento com pares conjugados de entrada/saída.

A área de mapeamento se restringe ao primeiro quadrante do plano trigonométrico (ângulo entre O e rr /2 rad) e o raio compreendido entre 0.495m e 0.295m, devido a restrições na área de operação do manipulador e para evitar singularidades durante a execução da tarefa.

Na Tabela 2 encontram-se os dados utilizados no ANFIS para mapeamento de cada elemento

das matrizes, contendo as variáveis de entrada utilizadas, o número de membership fanctions (MF) para cada entrada, o tipo de MF utilizadas e os erros máximos obtidos no mapeamento.

Nas Figuras 3 e 4 encontram-se a representação gráfica dos mapeamentos executados das matrizes

F

e Bj-1, respectivamente, sendo que 3a e 4a representa o grupo de treinamento com pares entrada/saída e 3b e 4b representam os resultados dos mapeamentos.

(6)

Ta e a b l 2 C f i - on 1<n1racões e maoeamento o d d ANFS 1 .

Elemento Variáveis de Número de MFs TipodeMF

entrada

n1-

1,, Ângulo e Raio [3 3]

n1-

1,. Ângulo e Raio [3 3] BJ-1n Ângulo e Raio [3 3] BJ-1,, Ângulo e Raio [3 3]

p·,,

Ângulo 3 JT1? Ângulo 3

Pn

Ângulo 3 jT,, Ângulo 3 J,, o~----~ 0.5~----=

r

~

111111111111111111' '' ,. .

r

~

·""'11111111111111111

-0.50 o.5 1 1.5 °o o.5 1

Ãngulo [rad] Ãngulo [rad]

0.5 1 Ã19llo [radJ 1.5 o 0.5 1 Ã19ilo [radJ 1.5 gbellmf gbellmf gbellmf gbellmf trimf trimf trimf trimf - -0.1

-,-~ -0.2

1

-0.3 w -0.4 -0.5 o~-0.5--1 --1~.5 Ãngub (rad] ~-O.OS

1

-0.1 .!! -0.16 w -0.2 J~ 0.5 1 Ãngulo (rad] 1.5 (a) (b) Erro 0,154 0.278 0,132 0,110 0,040 0,040 0,024 0,046 0.5~----~ N OA -~-0.3

1

0.2 w 0.1 0.5 1 Ãngub[rad] 'k 1.5 o.•---~ .._fj 0.1

i

iii -0.1 -0.2 ~----~ 0.5 1 Ãngulo (rad] 1.5

Figura 3 - a. Elementos da matriz ]T e b. identificação pelo sistenia de inferência fuzzy.

BJ,, BJ12

""

i

N 30

i

N" 20 ;i" 20 ;;f

1

o

i

20 10

i

o

i

20 10 ~o ili o w ~o w o 0.5

..

0.5 0.5 1 1 1 1

ÃrvJb[rad] Ângulo [rad] Ãngi*J(rad] Raio[m] 0.3 o Ângulo [rad]

"•

"'n

_""

"n

(a) (b)

Figura 4 - a. Elementos da matriz B]-1 e b. identificação pelo sistema de inferência fuzzy.

4. Resultados de Simulações

Para que se possa avaliar a qualidade do controle fuzzy por funções mapeadas, será utilizada uma trajetória que percorre boa parte da área de trabalho do manipulador SCARA em estudo. Esta trajetória pode ser vista em detalhes a partir das Figuras 5a e 5b. Na Figura 5b apresenta-se a trajetória com suas componentes cartesianas descritas em função do tempo, enquanto na

(7)

Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy - 2010

Figura 5a a trajetória pode manipulador.

ser visualizada em comparação com o plano operacional do

ºo O.O!i 0.1 0.1!1 0.2 0.2!5 0.3 x(m] 0.3!1 0.4 OMI D.!I O.!I OA 'E 0.3

'~~

o 1 2 3 4 5 8 7 8 g 10 Tempo[•]

·~~

0 o 1 2 s 4 !I a 7 a e 10 Tempo [8] (a) (b)

Figura

5 -

Trajetória desejada, a. visualização no plano operacional e b. em função do tempo.

Para avaliação das vantagens na estratégia pela utilização dos termos mapeados (JT e B

1-

1 ),

nesta seção será tornada como base a comparação entre um controlador PD e a estratégia proposta.

Os ganhos utilizados no controlador PD, para comparação, e seus equivalentes para o

controle proposto são: para o controlador PD, Kp = 4000 e Kd = 40, e para o controlador

proposto, Kp = 100 e Kd = 40.

A partir das simulações, observa-se que o controlador proposto apresenta resultados consideravelmente melhores que o controlador apenas com ações proporcionais e derivativas.

Pelo gráfico da Figura 7 é possível notar urna redução nos erros em uma ordem de até 1 O vezes.

Outra característica importante a ser mencionada é a diferença na ação de controle,

apresentada na Figura 6. Devido à utilização do termo originado do modelo, a amplitude do sinal de controle é reduzida em função do nível de convergência.

~ ~ ~6 ~ ~ ~ ~

,.,,

M ~ ~

:l ..

:~

o 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10

~':~

_{J_,}

₀

_{FL~~----~-:~~~--~---:~~~~----~:~~~--~}_{-:-~~·1'~..-~----:~~~} o 1 2 3 4 5 8 7 8 9 10

;":~

-2000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

~~'~'

Tempo [9]

Figura 6 - a. Trajetória executada e b. ação de controle.

l~~.<

_-

••.••••••••..••••••••.•••••• •

..••••••••.••••••••.•••••••••.••••••••••.••••

l~~

~O 1 2 3 4 6 8 7 8 9 10 D 1 2 3 4 6 8 7 8 9 10

,;~

1

lfffiff1

-40 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 -0.0SO 1 2 3 4 6 8 7 8 9 10

Ta~ [9] llimpo [8]

(8)

5. Conclusão

Neste trabalho propôs-se uma ação de controle para robôs manipuladores, baseada no controle de rigidez proposto em [6], quando a tarefa e o controle devem ser realizados no espaço operacional. A estratégia apresenta ganhos relevantes uma vez que, sendo uma estratégia de ação PD com a inserção de um termo mapeado baseado no modelo, possui carga computacional pouco maior que um controlador PD porém com níveis de erro muito menores. A estratégia também apresenta vantagens com relação a danos por movimentos bruscos por não utilizar a cinemãtica inversa e as funções relacionadas ao jacobiano não possuírem singularidades em função de sua aproximação por mapeamento. A continuação do estudo prevê a implementação do algoritmo no robô SCARA em questão, avaliando seu desempenho com relação aos ganhos de programação e carga computacional, bem como a verificação do ganho de desempenho com relação aos níveis de erro de seguimento.

Referências

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processes," IEEE Trans. Syst., Man, Cyber., vol. SMC-3, no. 1, pp. 28-44, Jan. 1973.

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Elect. Eng., vol. 121, pp. 1585-1588, 1974.

[3] TAKAGI, T.; SUGENO, M. "Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to

Modeling and Control," IEEE Trans. Syst. Man. Cyber., Vol. 15, pp. 116_132, (1985).

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[5] V ARGAS, F. J. T. "Anãlise e Síntese de Controladores de Força-Posição de Robôs Manipuladores: Aspectos Teóricos e Experimentais". Tese de Doutorado. Universidade Federal de Santa Catarina, (2005).

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Intemational Joumal ofRobotics Research, Vol. 6, No. 3, pp. 49-59, (1987).

[7] TANAKA, K.; W ANO, H. O. "Fuzzy Control Systems Design and Analisis". John Wiley &

Sons, Inc. (2001). ISBN 0-471-22459-6.

[8] ZHANG, H.; LIU, D. "Fuzzy Modeling and Fuzzy Control'', Birkhãuser. (2006). ISBN-10 0-8176-4539-7.

[9] SICILIANO, B.; KHATIB, O. "Springer Handbook ofRobotics", Springer. (2008). ISBN-978-3-540-30301-5.