TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA

TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA

LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E COMPUTADORES

1. Aquisição e Análise de Dados numa Experiência.

Medir uma grandeza implica, através da interposição entre o observador e o fenómeno fisico em causa de uma metodologia e de instrumentos de medida, atribuir um VALOR NUMÉRICO a essa grandeza, referido a um padrão (UNIDADE). Este valor vem afectado de um ERRO, devido quer às imprecisões dos instrumentos de medida quer às limitações dos métodos utilizados.

Assim, o resultado de uma medição deve ser sempre apresentado na seguinte forma: MEDIDA = [VALOR NUMÉRICO] ± [ERRO] (UNIDADE)

Por exemplo, suponhamos que o resultado de uma experiência para medir a velocidade do som foi: Vs = 340,1 ± 0,5 m/s

Isto significa que o valor da grandeza medida se encontra entre 340,1 – 0,5 m/s e 340,1 + 0,5 m/s , ou seja:

339,6 < Vs < 340,6 m/s

Note que o valor numérico resultante de uma medição não tem significado se não for calculada a respectiva incerteza.

1.1.

Erro de Leitura.

Nas experiências em que se realiza uma única medição, o erro que se comete na leitura de uma medida, devido ao limitado PODER RESOLVENTE da escala (menor intervalo do estímulo ∆X que provoca uma variação na resposta do instrumento), designa-se por ERRO DE LEITURA.

A determinação do erro de leitura depende do tipo de escala do instrumento utilizado.

Erro de leitura duma escala contínua

O erro de leitura de uma ESCALA CONTÍNUA, tal como o de uma régua ou da grelha do monitor de um osciloscópio, é igual a metade da menor divisão dessa escala.

Por exemplo, o erro de medição num osciloscópio com a escala da base de tempo em 5 ms / DIV é de 0,5 ms, dado que a menor divisão da escala corresponde a 1/5 da unidade da base, sendo 1/2 desse valor 1/10 de 5 ms, ou seja, 0,5 ms.

Erro de leitura duma escala discreta

O erro de leitura de uma ESCALA DISCRETA, como a de um multímetro digital ou de um cronómetro, é dado pelo menor valor que é possível ler nessa escala.

Por exemplo, se no mostrador de um multímetro o valor medido para uma dada resistência for 27,31 Ω ,

então o erro de leitura será 0,01 Ω e a medida deverá apresentar-se na forma R = 27,31 ± 0,0l Ω .

Note que não se deve confundir o erro de leitura, associado à precisão do aparelho, com a exactidão da medida. A exactidão (accuracy) é o erro para a medida habitualmente aceite da grandeza em causa. Para termos uma medida exacta necessitamos de um aparelho preciso, mas nem sempre um aparelho preciso devolve uma medida exacta, por exemplo devido a um erro sistemático do aparelho.

1.2.

Erro Absoluto e Erro Relativo.

Nos exemplos anteriores expressámos os erros nas unidades da própria grandeza medida. Neste caso falamos de ERRO ABSOLUTO.

O erro absoluto não é adequado para comparar o rigor na medida de grandezas distintas. Para este efeito utiliza-se o ERRO RELATIVO, correspondente a uma representação adimensional do erro, dado pelo quociente entre o erro absoluto ER de uma grandeza e o valor numérico R da sua medição

R

E

δR

₌

R

.

Retomando o exemplo anterior da medida de uma resistência, teríamos um erro relativo δR = 0,01 / 27,31 = 0,0004 ,

isto é 0.04 %, e a medida passa a representar-se como R = 27,31 Ω ± 0,04 % .

1.3.

Tipos de Erros Experimentais.

Existem dois tipos de erros de natureza distinta: i) Erros sistemáticos

ii) Erros acidentais ou aleatórios.

Os ERROS SISTEMÁTICOS têm causas possíveis de identificar e, conhecendo com detalhe a física do fenómeno em estudo, podem ser eliminados. A sua denominação decorre do facto da sua presença

se revelar por sistemático acréscimo ou defeito dos valores obtidos, face àqueles que seriam de esperar. Um exemplo de erro sistemático é o que ocorre quando o observador se posiciona sempre de maneira incorrecta perante a leitura de uma escala contínua de um instrumento com mostrador analógico. É fácil imaginar que os valores lidos resultem sempre inferiores ou sempre superiores ao que de facto o aparelho indica. Se nos pesarmos numa comum balança de casa de banho, e inclinarmos sucessivamente a cabeça para a direita e para a esquerda, parecerá que em escassas fracções de segundo ora emagrecemos, ora engordamos uns "gramitas"! Este exemplo particular pertence à categoria dos erros sistemáticos de observação.

Os ERROS ALEATÓRIOS resultam do efeito de um grande número de pequenas perturbações, que se manifestam de forma diferente de experiência para experiência. O resultado conjunto destas perturbações é fazer com que os valores das medições sejam por vezes mais elevados, e por vezes mais baixos, do que seria de esperar. As causas individuais revelam-se dificeis de identificar, tornando-se impossíveis de eliminar, mesmo que se conheça muito bem a física do problema e a montagem experimental utilizada. Este tipo de erros ocorre, por exemplo, devido às simplificações que frequentemente se introduzem no modelo físico escolhido para o estudo de um dado fenómeno, desprezando-se variáveis sobre as quais não se tem controlo durante a realização da experiência. Podem também dever-se a limitações do equipamento, ou mesmo à intervenção subjectiva do observador no processo de medição.

1.4.

Análise Estatística de Erros Aleatórios.

Quando obtemos valores diferentes, ao repetir a medição de uma mesma grandeza, estamos a lidar com erros aleatórios. Sabemos que se realizarmos uma MÉDIA sobre os valores obtidos na medida de uma certa grandeza, estamos a diminuir a incerteza das nossas medições. Como o resultado de cada medida tem um carácter aleatório, será de esperar (da teoria das probabilidades) que se o número de medidas tender para o infinito a média sobre os seus resultados tenderá para um valor constante, próximo do valor exacto da grandeza se apenas existirem erros acidentais.

Cálculo de médias MÉDIA SIMPLES

Suponhamos que temos um conjunto de N medições de uma mesma grandeza. Se as várias medidas tiverem a mesma precisão, podemos calcular uma média simples:

N i i 1 1 X X N = =

∑

A VARIÂNCIA (σ2) e o DESVIO PADRÃO [σ≡(σ2₎1/2_{] controlam a dispersão das medidas individuais}

em torno da média, fornecendo uma indicação sobre a precisão da experiência. A variância define-se como

∑

=

−

−

=

N 1 i 2 i 2

_(X

_X

₎

1

N

1

σ

_.

desvio padrão (o desvio padrão da média):

,

N

σ

σ

,

N

σ

σ

2 / 1 2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

_m m MÉDIAS PONDERADAS

Se as diversas medidas X1, X2, ... XN tiverem diferentes precisões, o seu valor médio deve ser

calculado de forma ponderada, sendo o peso σi da medida Xi tanto maior quanto mais rigoroso for o

seu valor. A média ponderada

X

é calculada através da expressão

∑

∑

= =

=

_N 1 i _i2 N 1 i _i2 i

σ

1

σ

X

X

_,

e o desvio padrão respectivo é dado por

2 / 1 N 1 i

σ

_i2

1

σ

− =

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

∑

_.

Se o número N de medições for pequeno (N ≤ 10) não faz sentido calcular o desvio padrão, usando-se nesse caso uma medida da incerteza para a média ∆X, dada pelo MAIOR DESVIO EM RELAÇÃO À

MÉDIA

{

X

X

}

max

∆X

=

_i

−

,

ou então pelo VALOR MÉDIO DOS DESVIOS EM RELAÇÃO À MÉDIA

∑

−

=

N i

X

X

N

1

∆X

_i

Em qualquer caso, o resultado final é dado por

σ

±

X

ou

∆X

X

±

.

1.5.

Propagação de Erros.

Na maior parte das experiências, para medir uma certa grandeza é necessário medir várias quantidades independentes. Por exemplo, numa experiência de determinação da velocidade da luz no ar, é necessário medir o percurso LAR dum feixe luminoso, entre duas posições em que o campo

electromagnético se encontra desfasado de π, e o período T desse sinal. Supondo que LAR = 300 ± 5 cm = 3,00 ± 0,05 m e T = (20 ± 0.5) 10-9 s

a velocidade da luz vem dada por cAR = LAR / (T/2) = 3,00 108 m/s .

As incertezas parciais que afectam cada uma das quantidades medidas vão contribuir para a incerteza final com que se determina a grandeza. Ao cálculo dessa incerteza chama-se PROPAGAÇÃO DOS

ERROS PARCIAIS.

Método simplificado para o cálculo da propagacão de erros

Voltemos ao exemplo anterior. Para calcular o erro de cAR procede-se da forma seguinte.

Começa-se por maximizar e minimizar a grandeza cAR, face às suas variáveis LAR e T

cARmax = (LAR + ELAR) / (T/2 - ET/2) = 3,13 108 m/s

e

cARmin= (L-EL) /(T/2+ET/2) = 2,88 108 m/s .

O erro final da velocidade da luz no ar será dado pela semi-diferença dos extremos EcAR = (cARmax – cARmin) / 2

ou, alternativamente, pelo maior desvio em relação ao valor numérico de cAR calculado anteriomente

EcAR = max{ (cARmax – cAR) ; (cAR – cARmin) } .

Não existem receitas para o cálculo dos erros. Para cada situação há que estabelecer um compromisso entre o bom senso, as potencialidades do equipamento, o tempo disponível e o objectivo da medição!

Método geral para o cálculo da propagacão de erros

A propagação do erro, no cálculo de grandezas definidas através de expressões matemáticas complexas, pode ser realizada recorrendo à definição de derivada. Um erro é normalmente um pequeno desvio em torno dum valor médio; ora a derivada duma função permite precisamente calcular o efeito nas ordenadas de pequenas variações nas abcissas, através da linearização da função em torno do valor medido.

várias medidas xi, o erro de f(xi) é dado por ( ) ( ( )) ( ) i i i i i i i x x f x f x x x ε ε = ∂ = ∂

∑

Exemplo:

Considere-se a determinação da altura de uma mesa através da medida do tempo da queda de um grave. É sabido que a expressão que permite calcular a altura da mesa é h = 1/2gt2_{. Ora, se}

conhecermos a aceleração da gravidade, g=9,81 ms-2_{, com uma exactidão de 0,01ms}-2_{, e}

determinarmos estatisticamente um desvio padrão da média de 0,02s para o tempo t=0,4s, o erro na altura h vem dado por

2 9.81 , , 0.4 ( , ) ( , ) ( ( , )) ( ) ( ) 0.01 0.02 0.0792 0.08 2 g t t g g t t g g t h g t h g t t h g t g t gt m g t ε ε ε ₌ = = = = = ∂ ∂ = + = + = ∂ ∂ =

1.6.

Algarismos significativos.

O resultado da medição de uma grandeza, quer seja determinado directamente ou através de cálculos sobre quantidades medidas, deve expressar a imprecisão inerente à medição, ou seja, conter apenas algarismos significativos.

Definem-se ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (a.s.) como aqueles cujos valores são exactos, mais o primeiro coberto pelo erro.

Regras para contar o número de algarismos significativos

• A contagem é feita da esquerda para a direita, começando no primeiro algarismo não nulo e terminando no primeiro algarismo afectado pelo erro.

• Se o primeiro algarismo à esquerda for 5 ou maior que 5, vale por dois a.s. .

• O zero à direita do ponto decimal conta como algarismo significativo ao contrário do que acontece com os zeros à esquerda.

Exemplos: 45 – 2 a.s. 54 – 3 a.s. 54,0 – 4 a.s. 0,540 – 4 a.s. 0,00601 – 4 a.s.

Número de algarismos significativos do resultado de operações algébricas SOMA e SUBTRAÇÃO

Exemplo:

1,025

62

+ 0,0006

63,0256

O resultado final tem três a.s., tal como a parcela 62.

MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO

O resultado final tem um número de a.s. igual ou inferior ao menor de entre todos os factores Exemplo:

2,002 x 1,15x10-2 _{= 2,3023x10}-2 _2,30x10-2

63

OUTRAS OPERAÇÕES

Para operações do tipo raiz quadrada, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas, etc., o número de a.s. é igual ao dos dados de partida.

Regras de arredondamento

O arredondamento é feito de forma a escolher o número que menos se distancia do inicial. Se os dois números mais próximos estiverem a igual distância do número inicial deve escolher-se o de maior valor absoluto.

Quando o primeiro algarismo a eliminar é 5, arredonda-se o anterior para algarismo par. Exemplos

7,5 8 8,5 8 7,32 7,3

2. Dimensão de uma grandeza física.

A tabela abaixo apresenta as dimensões e as unidades de base do Sistema Internacional (S.I.).

Nome da Grandeza de Base Dimensão de Base Unidade de Base

Comprimento (L) L Metro (m)

Massa (m) M Quilograma (Kg)

Tempo (t) T Segundo (s)

Intensidade de corrente eléctrica (I) I Ampere (A)

Temperatura (T) Θ Kelvin (K)

É possível expressar qualquer grandeza Y em função das dimensões de base do S.I. (M, T, L, I, ... ), designando-se esta representação por EQUAÇÃO DIMENSIONAL

DIM Y ≡ [Y] = Aα _Bβ _Cγ _...

onde A, B e C, ... representam as dimensões de base e α, β, γ, ... são os chamados expoentes dimensionais, que indicam o número de vezes que cada grandeza de base intervém na expressão de Y. A dimensão de Y representa-se por [Y] (entre parênteses rectos).

Numa equação que relaciona várias grandezas fisicas deve verificar-se a HOMOGENEIDADE

DIMENSIONAL, isto é, o membro da esquerda deve ser dimensionalmente igual ao membro da

direita. Esta homogeneidade pode ajudar na atribuição de dimensões a constantes, e na identificação de relações matemáticas entre várias grandezas.

Exemplo

Uma partícula carregada de massa m e carga q é sujeita a um campo eléctrico E, adquirindo uma aceleração a.

A força eléctrica F = qE deverá igualar-se à força mecânica F = ma. Provemos que as duas equações são dimensionalmente idênticas.

[F] = [m] [a] = M L T-2

[F] = [q] [E] (a)

A carga q pode-se expressar em termos das grandezas de base Corrente e Tempo, já que I = dq/dt ,

donde vem [q] = I T

O campo eléctrico E pode expressar-se em termos do potencial eléctrico, já que E = -dV/dx ,

pelo que

[E] = [V] L-1

Por sua vez, o potencial é igual ao trabalho W sobre a carga q. Temos, assim, finalmente [F] = I T L-1 [W/q] = I T L-1 M L2 T-2 I-1 T-1 = M L T-2 (b)

3. Tratamento de Dados.

Quando estamos na presença de um certo fenómeno, pode haver uma dependência entre grandezas medidas e estarmos interessados em descobrir a expressão matemática que a traduz.

3.1. Regressão

linear.

Consideremos, para simplificar, um fenómeno que é descrito por apenas duas grandezas. Se estas forem dependentes, a relação mais simples que pode existir entre elas é uma RELAÇÃO LINEAR. Se chamarmos a essas grandezas X e Y isso significa que a expressão que as relaciona é do tipo:

Y=A+BX

em que A e B são constantes.

Para encontrar esta expressão tira-se um conjunto tão elevado quanto possível de pares de medidas (Xi, Yi) e marcam-se num gráfico XY esses pontos. Ao processo de encontrar a linha que melhor

representa a relação entre X e Y chama-se ajuste ou fit, e no caso de estarmos perante uma relação linear, falamos de REGRESSÃO LINEAR. O método mais conhecido para determinar os parâmetros A e B (ordenada na origem e declive da recta, respectivamente) que melhor se adaptam aos resultados experimentais é o MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS.

Segundo este método, o valor esperado (ou o valor mais credível) para a grandeza Y, dados os pontos (Xi, Yi ), é aquele que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre Y e Yi

∑

=

−

=

N 1 i 2 i

)

Y

(Y

D

∑

=

−

+

=

N 1 i 2 i i

Y

)

BX

(A

D

_.

Portanto, A e B determinam-se igualando a zero as derivadas de D em ordem a A e a B, e resolvendo o sistema daí resultante

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∂

∂

=

∂

∂

0

B

D

0

A

D

, onde

A

D

∂

∂

é a derivada parcial de D em ordem a A, calculada considerando que todos os parâmetros que intervêm na expressão de D se mantêm constantes, à excepção de A.

Da resolução do sistema anterior obtém-se

(

)

(

)

2 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i

X

Y

X

X

A

N

X

X

N

X Y

X

Y

B

N

X

X

−

=

−

−

=

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

Y

3.2. Traçado de gráficos a partir de valores experimentais.

Quando temos uma tabela de valores experimentais (Xi, Yi) pode-se, mediante a escolha de uma

escala conveniente que tome em consideração os limites entre os quais ambas as grandezas variam, representar esses pares de valores sob a forma de um gráfico.

Quando essas medidas apresentam erros, estes também devem ser apresentados no gráfico sob a forma de BARRAS DE ERRO pois irão contribuir para estimar o erro do ajuste escolhido para esses valores experimentais. No caso de escolhermos uma regressão linear, essas barras de erro contribuem para calcular os erros no declive B e na ordenada na origem A.

Vejamos como se pode fazer "manualmente" a escolha da recta de melhor ajuste e o respectivo cálculo de erros.

• Escolhe-se a recta que minimiza as distâncias entre cada ponto (Xi ,Yi ) e a sua projecção

sobre ela, utilizando o método dos mínimos quadrados. Determina-se o declive B e a ordenada na origem A como acima indicado. A recta de melhor ajuste será:

Y = A + BX

• Para calcular os erros de A e de B traçam-se as rectas de:

Maior declive - unindo as extremidades das barras de erro que mais se afastam da recta de

regressão, para baixo dessa recta na metade inicial e para cima na metade final.

Menor declive - unindo as extremidades das barras de erro que mais se afastam da recta de

• A partir do declive e da ordenada na origem das rectas de inclinação máxima e mínima pode-se calcular aproximadamente o erro dos parâmetros A e B

2

min max

A

A

E

_A

=

−

e

2

min max

B

B

E

B

−

=

, ou ainda

{

(A

A

)

;

(

A

A

)

}

máx

E

_A

=

_max

−

−

_min e

{

(B

B

)

;

(

B

B

)

}

máx

E

_B

=

_max

−

−

_min .

A precisão do ajuste duma função a um conjunto de dados experimentais mede-se através do chamado COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR r, definido como

(

)

(

)

[

₂ 2

]

[

₂

(

)

2

]

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

−

−

−

=

i i i i i i i i

Y

Y

N

X

X

N

Y

X

Y

X

N

r

Na prática, este coeficiente mede a distância dos dados à recta de ajuste. Se houver um ajuste perfeito, ou seja se todos os pontos se situarem sobre a recta, então r = 1; se os dados estiverem dispersos, então r→0.

3.3. Exemplo de Tratamento dos Resultados de uma

Experiência.

Um dos testes realizados durante a fabricação de circuitos integrados consiste na medição da resistência eléctrica de pistas de alumínio (Al), com uma dada espessura e comprimento, mas com larguras variáveis. Na tabela abaixo podem encontrar-se os resultados obtidos num destes testes, para as resistências R de pistas com espessura e = 400 nm e comprimento L = 330µm, e com larguras h entre 1,0 e 5,0µm (lµm = l0-6m; lnm = 10-9m). R (Ω) h ± E h (µm) 26,3 1,0 ± 0,12 23,9 1,2 ± 0,12 22,5 1,3 ± 0,12 20,0 1,4 ± 0,12 14,9 1,8 ± 0,12 15,5 2,0 ± 0,12 10,0 3,0 ± 0,12 7,5 5,0 ± 0,12

A resistência R medida para cada uma das pistas de Al, com largura h, é dada por

h

1

C

R

2

R

=

_V

+

, (1) onde

e

L

ρ

C

=

. (2)

Nas expressões anteriores RV é a resistência de contacto, em cada uma das extremidades das pistas, e

ρ é a resistividade do Al.

A partir da equação (1) e dos dados da tabela podem determinar-se graficamente RV e ρ. Note-se que

a equação (1) tem a forma da equação de uma recta em função de l/h, com declive C e ordenada na origem 2RV.

Comecemos por refazer a tabela anterior para l/h e respectivos erros.

R (Ω) h ± E h (µm) 1/h (µm-1) (1/h)max (µm-1) (1/h)min (µm-1) E1/h (µm-1) 26,3 1,0 ± 0,12 1,0 1,14 0,89 0,14 23,9 1,2 ± 0,12 0,83 0,93 0,78 0,10 22,5 1,3 ± 0,12 0,77 0,85 0,70 0,08 20,0 1,4 ± 0,12 0,71 0,78 0,66 0,07 14,9 1,8 ± 0,12 0,56 0,60 0,52 0,04 15,5 2,0 ± 0,12 0,50 0,53 0,47 0,03 10,0 3,0 ± 0,12 0,33 0,35 0,32 0,02 7,5 5,0 ± 0,12 0,20 0,20 0,19 0,01

Nesta tabela, os valores de (1/h)max e (1/h)min foram calculados, respectivamente, como 1/(h-Eh) e

1/(h+Eh). O erro de 1/h (E1/h) é o majorante de ( (1/h)max-1/h ; 1/h-(1/h)min ), ou seja, o maior dos

desvios possíveis em cada caso.

Pode agora fazer-se o gráfico de R em função de l/h, com as respectivas barras de erro, após o que se pode realizar uma regressão linear (recta que melhor se ajusta aos pontos experimentais), tendo em conta as barras de erro. Podem ainda traçar-se as duas rectas de "pior caso", com declive máximo e minimo, que permitirão uma aproximação ao erro experimental.

O declive da recta de ajuste é dado por (ver gráfico) C = ∆y /∆x = 25,00Ω / 0,99µm-1 = 25,25 Ω µm e a sua ordenada na origem é

2RV = 2,0 Ω .

Os valores máximo e mínimo de C e 2RV são, respectivamente,

Cmin = 23,00Ω / 0,99µm-1 = 23,23 Ω µm , 2RVmax = 2,5 Ω e Cmax = 26,55Ω / 0,99µm-1 = 26,77 Ω µm , 2RVmin = 1,3 Ω . Finalmente, C ± EC = 25,25 ± 2,02 Ω µm (2,02=25,25-23,23) e 2RV ± E2Rv = 2,0 ± 0,7 Ω (0,7=2,0-1,3) , donde ρ = C e / L = 0,0306 ± 0,0024 Ω µm = 3,06 ± 0,24 µΩ cm e RV = 1,0 ± 0,35 Ω .