Viscosidade do sangue

Viscosidade do sangue P.J. Oliveira (UBI, Novembro 2009)

O sangue é uma suspensão de células (eritrócitos, leucócitos e trombócitos) em plasma. As células que existem em maior quantidade são os eritrócitos, ou glóbulos vermelhos, sendo determinantes para definir as propriedades reológicas do sangue. A sua concentração volumétrica, o hematócrito H, varia consoante a temperatura e o estado de saúde da pessoa, mas ronda os H =42 45− % em situação normal. O sangue comporta-se como um fluido não newtoniano, sobretudo para valores baixos da taxa de deformação (

γ

<100 s-1) e quando circula em vasos de pequenas dimensões (d ≤1mm). Neste último caso o cariz bifásico da suspensão, plasma com 45% de glóbulos vermelhos, torna-se notório. Isto acentua-se ainda mais quando o diâmetro dos vasos é da mesma ordem de grandeza das dimensões dos glóbulos vermelhos (d_gv =8

µ

m) como acontece nos capilares.

Reofluidificação

Para se contabilizar o efeito de reofluidificação do sangue, ou seja, a diminuição da viscosidade

η

com o aumento da taxa de deformação

γ

, usam-se modelos não newtonianos inelásticos (sem elasticidade), também designados por modelos GNF (Generalized Newtonian Fluid). Existem vários modelos empíricos deste tipo, e um deles é o modelo de Carreau-Yasuda, definido pela equação:

(

0

)

( )

1 ( ) 1 n a _a

η γ

η

η η

λγ

− ∞ ∞   = + − _ + _

Esta equação tem 5 parâmetros independentes que, para o caso do sangue, tomam os valores:
Viscosidade para taxa de corte nula:

η

₀ =0.056 Pa.s

Viscosidade para taxa de corte infinita:

η

_∞

=

0.00345

Pa.s
Parâmetro Yasuda: a=2
Tempo característico:

λ

=3.313 s
Expoente: n=0.3568 0.01 0.1 η (γ ) ( N s /m 2) .

prevista pelo modelo de Carreau-Yasuda. Para taxas de deformação baixas a viscosidade é constante e igual ao valor de

η

₀. A partir de um certo valor de

γ

, dado aproximadamente pelo inverso do tempo característico 1/

λ

(1/ 3.13=0.301/s), a viscosidade começa a decair segundo uma taxa determinada pelo expoente

n

. Quanto menor for

n

, maior é a inclinação da variação da viscosidade em função de

γ

, a qual é dada por − −(1 n) em representação log-log.

Da definição do coeficiente de viscosidade de corte, obtém-se a tensão de corte:

τ ηγ

=

A sua variação em escala logarítmíca é mostrada na Figura 2. Observa-se que para valores elevados da taxa de corte a tensão vai aumentando linearmente, o que é característico do comportamento newtoniano (

τ µγ

=
,

µ

constante).

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 γ (1/s) 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 τ( γ) ( N /m 2) . .

Fig. 2 Tensão de corte em função da taxa de deformação para modelo Carreau-Yasuda.

A reofluidificação é mostrada de forma mais efectiva num gráfico em escala linear, como o da Figura 3, que dá a tensão de corte do modelo Carreau-Yasuda com os mesmos parâmetros dados acima. A diminuição do aumento da tensão de corte à medida que a taxa de deformação aumenta é agora notória, sobretudo para baixos valores de

γ

. Fica também claro que este modelo não tem tensão de cedência, uma vez que a tensão de corte tende para zero quando

γ

→0 .

0 40 80 120 160 200 γ (1/s) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 τ( γ) ( N /m 2) . .

Fig. 3 Tensão de corte versus taxa de corte em escala linear: modelo Carreau-Yasuda. Reofluidificação.

Efeitos de hematócrito e temperatura

Quando as taxas de deformação são elevadas, o sangue pode considerar-se como uma suspensão de “partículas” num fluido newtoniano. Einstein deduziu uma equação que dá a viscosidade da suspensão quando as partículas são esféricas e a sua concentração volumétrica

φ

é pequena (

φ

≤0.05) e que, quando aplicada ao sangue, se escreve:

1 1 P

η η

αφ

  = _{ } −  

Aqui

η

é a viscosidade do sangue,

η

_P é a viscosidade do plasma (

η

_P ≈(1.2 1.8)−

η

_agua; 3

1.24 10

P

η

_{≅ ×} − _{Pa.s a 37ºC) e}

_α

_{é um parâmetro que depende da forma geométrica das} partículas, sendo

α

=2.5 para esferas como na lei de Einstein. Para valores mais elevados de concentração

φ

, ou seja do hematócrito H =100

φ

no caso do sangue, este parâmetro varia não só com a própria concentração mas também com a temperatura. A seguinte correlação empírica permite obter

α

numa gama limitada de concentrações:

1.69 1107 0.076 exp 2.49 ( )e T K φ

α

₌ 

φ

₊ −      para 0.05≤ ≤

φ

0.6.

A Figura 4 mostra a variação de viscosidade do sangue prevista com este modelo, onde se usou para viscosidade do plasma o valor acima indicado (0.00124 Pa.s) e para temperatura o valor normal do corpo humano, 37ºC, ou seja T =310 K. Verifica-se que a viscosidade aumenta exponencialmente com o aumento do hematócrito, até valores de H =60% (

φ

=0.60) que

0 20 40 60 Hematócrito _(%) 0.001 0.002 0.003 0.004 v is c o s id a d e ( N s /m 2) . .

Fig. 4 Variação da viscosidade do sangue em função do hematócrito (concentração volumétrica dos glóbulos vermelhos), para temperatura de 37ºC.

Tensão de Cedência

Quando o sangue está em repouso, existe tendência para os glóbulos vermelhos se aglomerarem formando estruturas. Estas estruturas opõem-se ao movimento quando uma tensão relativamente pequena é aplicada. Por isso o sangue é um fluido que apresenta tensão de cedência, isto é, uma tensão abaixo da qual o sangue não se deforma. Um modelo GNF incorporando tensão de cedência e que tem sido muito utilizado para descrever a viscosidade do sangue é o modelo de Casson, definido pelas equações:

0

τ

=

τ

+

η γ

∞
se

τ τ

≥ 0

0

γ

= se

τ τ

≤ ₀

A tensão de cedência

τ

₀ depende do hematócrito, assim como o coeficiente de viscosidade da Casson

η

_∞. Usando os valores

τ

₀ =0.0108 Pa e

η

_∞

=

0.00276

Pa.s fornecidos na literatura, obtém-se a variação da viscosidade apresentada na Figura 5, comparada com a do modelo Carreau-Yasuda dado acima. Observa-se que para

γ

≥0.3s-1, quando a reofluificação do sangue começa a ser mais acentuada, os valores de viscosidade dados pelos dois modelos são muito próximos. Para valores mais baixos da taxa de corte a viscosidade prevista pelo modelo de Casson continua a aumentar enquanto a prevista pelo modelo de Carreau tende para um patamar definido pela viscosidade a taxa de deformação nula

η

₀.

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 γ (1/s) 0.001 0.01 0.1 1 10 η (γ ) ( N s /m 2) Carreau-Yasuda Casson . .

Fig. 5 Modelo de Casson, variação da viscosidade.

Nessa altura a tensão é próxima da tensão de cedência e o valor da viscosidade deixa de ter relevância uma vez que, para essa gama de deformações, se tem aproximadamente

γ

=0. Isto torna-se claro no gráfico da variação da tensão com a taxa de deformação da Figura 6. Para

0.1

γ

≤ s-1 tem-se

τ

≅0.01Pa≈

τ

₀ e o modelo de Casson implica comportamento de sólido indeformável. 0.01 0.1 1 10 100 γ (1/s) 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 τ( γ) ( N /m 2) Carreau Casson . .

Fig. 6 Modelo de Casson, variação da tensão de corte.

pode variar entre H =₀ 1.3 6.5− . Nota 1 din/cm2=0.1Pa (Pa=N/m2.). Para H =45 e 0 5

H = , esta expressão dá uma tensão de cedência de

τ

₀ =

(

0.008 40×

)

3 =0.033

din/cm2=0.0033.

Pa=3.3mPa. Para um valor normal de hematócrito, H =45, a gama de variação da constante A da correlação conduz a uma variação da tensão de cedência entre

0 0.001

τ

= Pa e

τ

₀ =0.0064 Pa (1 e 6 mPa). A correlação acima pode escrever-se em MKS:

(

)

3

0 51.2 0

τ

=

φ φ

− mPa

com

φ

₀ =0.05. Existem expressões semelhantes a esta na literatura, mas sem utilizar o valor mínimo do hematócrito abaixo do qual não ocorre tensão de cedência. Por exemplo (Picart et al., J. Rheol. 42 (1998) 1-12):

( )

3 0 26.87

τ

=

φ

mPa

Para

φ

=0.45 esta expressão dá

τ

₀ =2.4 mPa.

Outra expressão encontrada na literatura (Das et al., Biorheology 37 (2000) 239-258) é:

( )

/ 2 1/ 2 0

1

1

1

α

τ

β

φ



_

_



=



_

_

−



−













din/cm2

com:

α

=2.0 e

β

=0.3315 para sangue humano; e

α

=1.621 e

β

=0.627 para sangue de gato. No caso de sangue humano, para um hematócrito de H =45,

φ

=H/100=0.45, vem

0 0.0074

ANEXOS

1. Programa para calcular a viscosidade de corte dos modelos de Carreau-Yasuda e Casson program GNFVIS

C

C PREPARE SHEAR VISCOSITY FOR CARREAU AND CASSON MODELS C in simple shear

C

OPEN(10,FILE='gnfvis.dat') C Dados partida para modelo Carreau,

C vis=visinf+(vis0-visinf)*(1+(al*gam)**a)**((n-1)/a) AL=3.313

VISINF=0.00345 VIS0=0.056 A=2.0

C Dados partida modelo Casson tau**1/2=tauy**1/2+(Kc*gam)**1/2 TAUY=0.0108

AKC=0.00276 print *,' AN ?' read(*,*) AN AN1=AN-1.

C Gama de texas de corte ... GAM1=1.E-2 GAM2=1.E4 NGAM=200 gl1=alog10(gam1) gl2=alog10(gam2) DGAM=(gl2-gl1)/float(ngam) GLAM=GL1 DO 10 I=1,NGAM GAM=10.**(GLAM)

C Modelo Carreau viscosidade e tensao corte

VIS=VISINF+(VIS0-VISINF)*(1.+(AL*GAM)**A)**(AN1/A) TXY=VIS*GAM

C Modelo Casson: tensao corte e viscosidade TAUC=(SQRT(TAUY)+SQRT(AKC*GAM))**2 VISC=TAUC/GAM

C Escrever no ficheiro gnfvis.dat

WRITE(10,100) GAM,VIS,TXY,VISC,TAUC GLAM=GLAM+DGAM 10 CONTINUE 100 FORMAT(20(1PE10.3,3X)) STOP END

2. Programa para calcular a viscosidade em função do hematócrito program GNFVIS2

C

C PREPARE SHEAR VISCOSITY FOR BLOOD

C in simple shear, FUNCTION OF HEMATOCRIT C OPEN(10,FILE='gnfvis2.dat') T=310.0 VIS0=1.24E-3 C RANGE OF H ... H1=0.0 H2=0.6 NGAM=200 DH=(H2-H1)/float(ngam) H=H1 DO 10 I=1,NGAM+1