Técnicas de Amostragem

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Agenda Vantagens Fases AAS AE Alocação AS AC Complexa Regressão com Plano Amostral

Técnicas de Amostragem

Prof. Alan Ricardo da Silva

Departamento de Estatística Universidade de Brasília - UnB IE-Instituto de Ciências Exatas

(2)

Agenda

1 Vantagens do Método de Amostragem; 2 Fases de um Levantamento por Amostragem; 3 Amostragem Aleatória Simples;

4 Amostragem Aleatória Estraticada; 5 Amostragem Sistemática;

6 Amostragem por Conglomerado; 7 Regressão com Plano Amostral.

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Vantagens do Método de Amostragem

Objetivo Principal:

Obter informações sobre o todo, baseando-se no resultado de uma amostra.

Importância

Conveniente no estudo de populações grandes; Indispensável no estudo de populações innitas; Indispensável quando ocorre destruição de material.

Vantagens

Redução de Custo; Maior Velocidade; Maior Escopo; Maior Precisão.

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

2 População a ser amostrada; 3 Dados a serem coletados; 4 Grau de precisão;

5 Métodos de mensuração; 6 Cadastro (frame);

7 Tamanho da amostra/seleção; 8 Pré-teste (não-aleatório);

9 Organização do trabalho de campo; 10 Análise dos resultados;

11 Informação obtida para levantamentos futuros; 12 Relatório nal.

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

2 População a ser amostrada;

3 Dados a serem coletados; 4 Grau de precisão;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

2 População a ser amostrada; 3 Dados a serem coletados;

4 Grau de precisão;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

5 Métodos de mensuração;

6 Cadastro (frame);

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

7 Tamanho da amostra/seleção;

8 Pré-teste (não-aleatório);

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

9 Organização do trabalho de campo;

10 Análise dos resultados;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

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Fases de um Levantamento por Amostragem

1 Objetivos;

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Tipos de Amostragem

O papel da teoria de amostragem é fazer amostragem mais eciente, ou seja, com o menor custo possível produzir estimativas mais precisas.

Tipos de Amostragem

Amostragem Acidental;

Amostragem Típica; Amostragem Proposital; Amostragem por Cotas; Amostragem Probabilística.

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Tipos de Amostragem

Amostragem Acidental; Amostragem Típica;

Amostragem Proposital; Amostragem por Cotas; Amostragem Probabilística.

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Tipos de Amostragem

Amostragem Acidental; Amostragem Típica; Amostragem Proposital;

Amostragem por Cotas; Amostragem Probabilística.

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Tipos de Amostragem

Amostragem Acidental; Amostragem Típica; Amostragem Proposital; Amostragem por Cotas;

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Tipos de Amostragem

Amostragem Acidental; Amostragem Típica; Amostragem Proposital; Amostragem por Cotas; Amostragem Probabilística.

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Vantagens do Método de Amostragem

Exemplo: População com 6 elementos. Amostra de tamanho 2. C6₂ =15

S1= (1, 2), S2 = (1, 3), . . . , S15 = (5, 6).

Sorteia-se um número entre 1 e 15.

Se o número é j, Sj é a amostra selecionada.

Com reposição;

Com probabilidades iguais; Com probabilidades diferentes;

Sem Reposição.

Com probabilidades iguais; Com probabilidades diferentes;

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Amostragem Aleatória Simples (AAS)

AAS é um método de selecionar n unidades de N tal qualquer uma das CN

n amostras distintas tenha mesma chance de ser selecionada.

Exemplo: Pop = {a,b,c,d}. C4 2=6 ab ac ad p= 1₆ = 1 CN n bc bd cd n_.n−1_.n−2_... 1 ₌ n!(N−n)! ₌ 1

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Amostragem Aleatória Simples (AAS)

O Plano é descrito do seguinte modo: Seja o Universo U= {1, 2, . . . , N}

i) Utilizando-se de um processo aleatório, sorteia-se com igual probabilidade um elemento da população U.

ii) Repete-se o processo anterior até que sejam sorteadas n unidades.

iii) Caso seja permitido o sorteio de uma unidade mais de uma vez, tem-se o processo AAS com reposição (AASc). Quando o

elemento sorteado é removido de U antes do sorteio da próxima unidade, tem-se o plano AAS sem reposição (AASs).

(24)

Amostragem Aleatória Simples (AAS)

Do ponto de vista prático, o plano AASsé muito mais interessante,

pois é intuitivo Não se ganha mais informação se uma mesma unidade aparece mais de uma vez na amostra. Por outro lado, o plano AASc introduz vantagens matemáticas e estatísticas, como a

independência entre as unidades sorteadas, o que facilita muito a determinação das propriedades dos estimadores.

(25)

Amostragem Aleatória Simples (AAS)

Parâmetros da População TOTAL: T=_∑N_j₌₁Y_j =NY MÉDIA: Y= ∑ N j=1Yj N =µ VARIÂNCIA: σ2 ₌ ∑Nj=1(Yj−Y)2 N S2= ∑N j=1(Yj−Y)2 N−1 Estimadores TOTAL: ˆT=Ny MÉDIA: y= ∑ n j=1yj n VARIÂNCIA: s2₌ ∑nj=1(yj−y)2 n−1

(26)

Amostragem Aleatória Simples com Reposição (AAS

c

)

Exemplo: Seja a variável renda familiar dada por (12, 30, 18), com

T=60, µ=20e σ2₌_168/3₌₅₆_{. Tomada uma amostra de}

n=2, tem-se as seguintes amostras.

(12,12) (12,30) (12,18) (30,12) (30,30) (30,18) (18,12) (18,30) (18,18)

P 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9

y 12 21 15 21 30 24 15 24 18

s2 ₀ ₁₆₂ ₁₈ ₁₆₂ ₀ ₇₂ ₁₈ ₇₂ ₀

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Amostragem Aleatória Simples com Reposição (AAS

c

)

y 12 15 18 21 24 30 P 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 1/9 E(y) = 12+30+18+₉42+48+30 = 180₉ =20=µ Var(y) = σ2 n = 562 =28 s2 ₀ ₁₈ ₇₂ ₁₆₂ P 3/9 2/9 2/9 2/9 E(s2) = 0+36+144₉ +324 = 504₉ =56=σ2 ˆT 24 30 36 42 48 60 P 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 1/9 E(ˆT) = 24+60+36+₉84+96+60 = 360₉ =406=T

(28)

Normalidade Assintótica e Intervalos de Conança

À medida que o tamanho da amostra aumenta, as distribuições de ye ˆT vão se aproximando da distribuição normal de acordo com o Teorema Central do Limite (TCL). Então, para n sucientemente grande, temos que

y−µ √ σ2/n a ∼N(0, 1) ˆT−T N√ 2_/n a ∼N(0, 1)

(29)

Normalidade Assintótica e Intervalos de Conança

Assim, com relação à média populacional P |y−µ| √ σ2/n ≤zα/2 ≈1−α ngrande Py−zα/2 p σ2/n≤µ≤y+zα/2 p σ2/n ≈1−α Na falta de σ2_{, usar s}2_.

(30)

Determinação do Tamanho da Amostra

Determinar o tamanho da amostra n, de tal forma que o estimador obtido tenha um erro máximo de estimação igual a e, com determinado grau de conança γ.

P(|y−µ| ≤e) ≈1−α

n grande P(|y−µ| ≤zα/2

p

(31)

Determinação do Tamanho da Amostra

Exemplo1: Seja o intervalo (18±1, 96√48/10) = (18±4, 29)

para a renda familiar com 95% de conança. Sabendo que σ2 ₌_48,

qual o tamanho da amostra para se ter um erro máximo de√2.

n= 1,962×48

(√2)2 =

3,84×48

2 =3, 84×24≈93

Exemplo2: Deseja-se estimar determinada característica da

população com 95% de conança e erro máximo de 10% da média. Qual o tamanho da amostra sabendo que CV=20%?

n= 1,962×0,22 0,12 = 3,84 ×0,04 0,01 = 0,15360,01 ≈16 P(|y−Y| ≤rY) =1−α ⇒n= _z α/2×σ rY 2 n=zα/2×CV r 2

(32)

Determinação do Tamanho da Amostra

qual o tamanho da amostra para se ter um erro máximo de√2. n= 1,962×48

(√2)2 =

3,84×48

2 =3, 84×24≈93

(33)

Determinação do Tamanho da Amostra

(√2)2 =

3,84×48

2 =3, 84×24≈93

(34)

Determinação do Tamanho da Amostra

(√2)2 =

3,84×48

2 =3, 84×24≈93

(35)

Determinação do Tamanho da Amostra

(√2)2 =

3,84×48

2 =3, 84×24≈93

(36)

Amostragem Aleatória Simples sem Reposição (AAS

s

) - C

Nn

A AASs funciona de modo idêntico à AASc, a não ser pela não

recolocação do elemento sorteado. Portanto, cada elemento da população só pode aparecer uma vez na amostra.

(37)

Estimação do Total e da Média Populacional

Não é dicil mostrar que os estimadores não-viesados para µ e T são: y= _n1∑n_i₌₁yi Var(y) = (1−f)S_n2 = N_N−₋n₁σ2 n, f = Nn ˆT=Ny Var(ˆT) =N2 N_N−₋n₁σ2 n onde N−n

N−1 é chamado de Correção para Populações Finitas (CPF),

(38)

Amostragem Aleatória Simples sem Reposição (AAS

s

)

e c

var(y) = (1−f)s_n2 var_c(ˆT) =N2₍₁₋_f₎s2

n

Exemplo: Considere o mesmo exemplo da renda familiar, com valores(12, 30, 18), e T=60, µ=20 e S2₌_168/2₌₈₄_.

Tomada uma amostra de n=2, tem-se as seguintes amostras.

(12,30) (12,18) (30,18)

P 1/3 1/3 1/3

y 21 15 24

(39)

Amostragem Aleatória Simples sem Reposição (AAS

s

)

y 15 21 24 P 1/3 1/3 1/3 E(y) = 15+21₃+24 = 60₃ =20=µ Var(y) = (1−f)S_n2 = 1− 2 3 ₈₄ 2 =14 s2 18 72 162 P 1/3 1/3 1/3 E(s2) = 18+72₃+162 = 252₃ =84=S2 ˆT 30 42 48 P 1/3 1/3 1/3 E(ˆT) = 30+42₃+48 = 120₃ =406=T

(40)

Normalidade Assintótica e Intervalos de Conança

Verique que a Variância de y é menor do que na AASc.

y−µ p (1−f)S2_/n a ∼N(0, 1) ˆT−T Np(1−f)S2_/n a ∼N(0, 1) P p |y−µ| (1−f)S2_/n ≤zα/2 ! ≈1−α _q _q

(41)

Normalidade Assintótica e Intervalos de Conança

Exemplo: Seja y=1, 296, s2 =2, 397, n=1000e N =36000.

Estime o intervalo para µ com 95% de conança.

IC(µ; 0, 95) = 1, 296±1, 96 q 1− 1000 36000 _2,397 1000 IC(µ; 0, 95) = 1, 296±1, 96 q 35 362,3971000 IC(µ; 0, 95) = (1, 296±1, 96×0, 048) = (1, 296±0, 094) IC(µ; 0, 95) = (1, 20; 1, 39)

(42)

Normalidade Assintótica e Intervalos de Conança

Estime o intervalo para µ com 95% de conança. IC(µ; 0, 95) = 1, 296±1, 96 q 1− ₃₆₀₀₀1000_2,397 1000 IC(µ; 0, 95) = 1, 296±1, 96 q 35 362,3971000 IC(µ; 0, 95) = (1, 296±1, 96×0, 048) = (1, 296±0, 094) IC(µ; 0, 95) = (1, 20; 1, 39)

(43)

Normalidade Assintótica e Intervalos de Conança

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Normalidade Assintótica e Intervalos de Conança

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Determinação do Tamanho da Amostra

Determinar o tamanho da amostra n, de tal forma que o estimador obtido tenha um erro máximo de estimação igual a e, com determinado grau de conança γ.

Var(y) = (1−f)S_n2 = Sn2 (1−f) = S_n20, onde n0 = ₁₋n_f e=zα/2 √ S2_/n0 _⇒ _n0 ₌ z2α/2S2 e2 Note que n0 ₌ n 1−n N ⇒ n= n 0 1+n_N0

(46)

Determinação do Tamanho da Amostra

Exemplo: Considere o exemplo anterior. Qual o tamanho da amostra com 95% de conança para se ter um erro de 0, 05.

n0 = 1, 96 2_×_{2, 397} (0, 05)2 = 3, 84×2, 397 0, 0025 =3683, 8 n= 3683, 8 1+3683,8₃₆₀₀₀ = 3683, 8 1, 10 ≈3342

(47)

Determinação do Tamanho da Amostra

n0 = 1, 96 2_×_{2, 397} (0, 05)2 = 3, 84×2, 397 0, 0025 =3683, 8 n= 3683, 8 1+3683,8₃₆₀₀₀ = 3683, 8 1, 10 ≈3342

(48)

Determinação do Tamanho da Amostra

n0 = 1, 96 2_×_{2, 397} (0, 05)2 = 3, 84×2, 397 0, 0025 =3683, 8 n= 3683, 8 1+3683,8₃₆₀₀₀ = 3683, 8 1, 10 ≈3342

(49)

Comparação entre AAS

c

e AAS

s

Quando existem 2 planos amostrais é importante saber qual é o melhor. Um conceito importante, chamado de Efeito do

Planejamento (EPA) ou do inglês Design Eect (De), compara a variância de um plano amostral qualquer com relação a um plano considerado padrão. A estatística y é em ambos os planos um estimador não-viesado de µ. Assim,

Deff =EPA= Var(AASs(y))

Var(AASc(y)) = (1−f)S2/n σ2/n = N−n N−1σ2/n σ2/n = N−n N−1

Quando Deff >1, tem-se que o plano do numerador é menos

eciente que o padrão e quando Deff <1, tem-se a situação

contrária. Da expressão acima verica-se que N−n

(50)

Comparação entre AAS

c

e AAS

s

ou seja, o plano AASs é sempre melhor do que o plano AASc.

Note que esse resultado conrma a intuição popular de que amostras sem reposição são melhores do aquelas com elementos repetidos.

(51)

Amostragem para Proporções e Porcentagens

Algumas vezes desejamos estimar o número total, a proporção ou a porcentagem de unidades na população que possuem alguma característica ou atributo.

Exemplos: Número de pessoas desempregadas; a porcentagem da população que é nativa; porcentagem de votos de determinado candidato.

A classicação pode ser introduzida diretamente no questionário com questões do tipo Sim ou Não.

(52)

Variância da Estimativa Amostral

AAS(n) A= {e1, e2, . . . , en}

Dena: yi =1, se ei possui A; e yi =0, caso contrário.

y= _n1∑n_i₌₁yi =p é um estimador não-viesado de P.

s2= _n₋1₁∑n_i₌₁(yi−y)2= n−n1pq

Var(p) =Var(y) = N_N−nS_n2 = N_Nn−nNPQ_N₋₁ = N_N−₋n₁PQ_n

d

(53)

Total com o Atributo A

ˆ NA=Np d Var(NˆA) =N2Vard(p) =N2 N_N−n pq n−1 = N(N−n)pq n−1

Exemplo: De uma lista de 3042 nomes e endereços, uma AAS de 200 nomes mostrou 38 endereços errados. Estime o número total de endereços que precisam de correção na lista e encontre o erro padrão dessa estimativa.

N=3042, n=200, nA=38, p=38/200=0, 19 ˆ NA=Np=3042×0, 19=578 EP(NˆA) =N q 3042(3042−200) 200−1 ×0, 19×0, 81= √ 6686=81, 8

(54)

Total com o Atributo A

(55)

Total com o Atributo A

(56)

Total com o Atributo A

N=3042, n=200, nA=38, p=38/200=0, 19

ˆ

NA=Np=3042×0, 19=578

(57)

Intervalo de Conança para P

y≈N(Y, Var(y)) P y−zα/2 q d Var(y) ≤Y≤y+zα/2 q d Var(y) ≈1−α IC(P; γ) =p±zα/2 p (1−f)pq/(n−1)

(58)

Tamanho de Amostra para Proporções

P(|p−P| ≥d) =α pé normalmente distribuído σ_p2 =Var(p) = N_N−₋n₁PQ_n d=z_α_/2 q N−n N−1 PQ n ⇒ n= z2_α_/2PQ d2 1+1 N " z2 α/2PQ d2 ! −1 # n0= z2 α/2PQ d2 n= n0 1+n0_N Se N↑ ⇒ n≈ z2α/2PQ d2 P=0, 5 ⇒ PQ=0, 25 n= ₄_×22_d2 = _d12

(59)

Tamanho de Amostra para Proporções

Exemplo: d=0, 05 ⇒ n= _0,0512 = _0,00251 =400

Se N=3200 ⇒ n=356

Fazendo o tamanho mínimo temos:

α=0, 05 d=0, 05 ⇒ n= 1,96 2_×_0,25

0,052 =385

Considerando um erro de 2%:

(60)

Tamanho de Amostra para Proporções

Exemplo: d=0, 05 ⇒ n= _0,0512 = _0,00251 =400

Se N=3200 ⇒ n=356 Fazendo o tamanho mínimo temos:

α=0, 05 d=0, 05 ⇒ n= 1,96 2_×_0,25

0,052 =385

(61)

Tamanho de Amostra para Proporções

Exemplo: d=0, 05 ⇒ n= _0,0512 = _0,00251 =400

Se N=3200 ⇒ n=356 Fazendo o tamanho mínimo temos:

α=0, 05 d=0, 05 ⇒ n= 1,96 2_×_0,25

0,052 =385

(62)

Amostragem Estraticada

Na amostragem estraticada a população de N unidades é primeiro dividida em subpopulações de N1, N2, . . . , NL unidades. Essas

subpopulações, que são chamadas de estratos, não se sobrepõem e juntas compreendem toda a população, tal que

N1+N2+. . .+NL=N.

Para obter o benefício total da estraticação, os valores de Nh

precisam ser conhecidos. Os tamanhos das amostras dentro de cada estrato são denotados por n1, n2, . . . , nL, respectivamente.

(63)

Amostragem Estraticada

Na amostragem estraticada a população de N unidades é primeiro dividida em subpopulações de N1, N2, . . . , NL unidades. Essas

subpopulações, que são chamadas de estratos, não se sobrepõem e juntas compreendem toda a população, tal que

N1+N2+. . .+NL=N.

Para obter o benefício total da estraticação, os valores de Nh

precisam ser conhecidos. Os tamanhos das amostras dentro de cada estrato são denotados por n1, n2, . . . , nL, respectivamente.

(64)

Amostragem Estraticada

A estraticação é usada principalmente para resolver alguns problemas como:

1 A melhoria da precisão das estimativas;

2 Produzir estimativas para toda a população e subpopulações; 3 Garantir que elementos de cada subpopulação estejam na

amostra.

Vamos abordar muito mais o primeiro problema. Considere que seja possível dividir uma população heterogênea em subpopulações ou estratos internamente homogêneos. Se cada estrato é homogêneo, em que as medições variam pouco de uma unidade para outra, uma estimativa precisa da média de qualquer estrato pode ser obtida de uma amostra menor desses estratos. Essa estimativas podem então ser combinadas dentro de uma estimativa precisa para toda a população.

(65)

Amostragem Estraticada

A estraticação é usada principalmente para resolver alguns problemas como:

1 A melhoria da precisão das estimativas;

2 Produzir estimativas para toda a população e subpopulações; 3 Garantir que elementos de cada subpopulação estejam na

amostra.

Vamos abordar muito mais o primeiro problema. Considere que seja possível dividir uma população heterogênea em subpopulações ou estratos internamente homogêneos. Se cada estrato é homogêneo, em que as medições variam pouco de uma unidade para outra, uma estimativa precisa da média de qualquer estrato pode ser obtida de uma amostra menor desses estratos. Essa estimativas podem então ser combinadas dentro de uma estimativa precisa para toda a população.

(66)

Amostragem Estraticada

Exemplo: Considere uma pesquisa feita em uma população com N=8 domicílios, onde são conhecidas as variáveis Renda Domiciliar (Y) e o Local do Domicílio (W), com os códigos A para Região de Alta Renda e B para Região de Baixa Renda. Tem-se então

Y 13 17 6 5 10 12 19 6

W B A B B B A A B

µ= 13+17+6+5+₈10+12+19+6 = 88₈ =11 2 2 2 2 2 2 2 2

(67)

Amostragem Estraticada

Retirando uma AASc de tamanho n=4, sabe-se que

Var(y) = σ2

n = 244 =6

Usando W para estraticar a população em 2 estratos, constrói-se as seguintes subpopulações:

YA 17 12 19 µA=16 σ_A2 =8, 7

YB 13 6 5 10 6 µB=8 σ_B2=9, 2

Sorteando-se em cada estrato uma AASc de tamanho n=2

(68)

Amostragem Estraticada

Com base em y_A e y_B pode-se construir um estimador para µ y_es= 3yA+5yB 3+5 = 3y_A+5y_B 8 Var(y_es) = 3₈2 Var(y_A) + 5₈2 Var(y_B) = ₆₄94, 35+25₆₄4, 60 Var(y_es) =2, 40 Deff = Var(yes) Var(y) = 2,40 6 =0, 40

Ou seja, como o mesmo tamanho de amostra, diminuiu-se a variância do estimador em mais da metade. O resultado será mais ecaz quanto mais homogêneos forem os estratos. Mas a simples

(69)

Amostragem Estraticada

Exemplo: Considere que os estratos do exemplo anterior sejam: YA 13 17 6 5 µA=10, 25 σ_A2 =24, 69

YB 10 12 19 6 µA=11, 75 σ_A2 =22, 19

Sorteando-se em cada estrato uma AASc de tamanho n=2

Var(y_A) = 24,69₂ =12, 34 Var(y_B) = 22,19₂ =11, 09 Var(y_es) = 16₆₄12, 34+ 16₆₄11, 09=5, 86

Deff = 5,86₆ =0, 98

(70)

Amostragem Estraticada

A execução de um plano de amostragem estraticada (AE) possui os seguintes passos:

1 Divisão da população em subpopulações bem denidas

(estratos);

2 De cada estrato retira-se uma amostra, geralmente

independente;

3 Em cada estrato usam-se estimadores convenientes para os

parâmetros do estrato;

4 Monta-se para a população um estimador combinando os

estimadores de cada estrato e determinam-se suas propriedades.

(71)

Amostragem Estraticada

(estratos);

independente;

(72)

Amostragem Estraticada

(estratos);

independente;

(73)

Amostragem Estraticada

(estratos);

independente;

(74)

Amostragem Estraticada

A estimativa usada para a média na amostragem estraticada é y_es= y_st(es de estraticada e st de stratied).

y_st= H

∑

h=1 Nhyh N = H

∑

h=1 Why_h onde N=N1+N2+. . .+NH.

ycoincidirá com y_stse para todo estrato

nh n = Nh N ou nh Nh = n N ou fh =f

(75)

Amostragem Estraticada

Com a alocação proporcional, temos que nh =Whn= N_Nhn.

Substituindo na fórmula dadVar(y_st), d

Var(y_st) = (1−_nf)_{∑ W}_hs2 h

(76)

Alocação Ótima

Em AE, o problema está em selecionar os valores de nh. Eles

podem ser selecionados para minimizar a Var(y_st)para um custo

especicado de tomar a amostra ou para minimizar o custo para um valor especicado da Var(y_st). A função de custo mais simples

é da forma:

C=Co+∑Hh=1Chnh

onde: C= custo total da amostragem;

C0= custo xo da amostragem (conhecido);

(77)

Alocação Ótima

Dentro de qualquer estrato o custo é proporcional ao tamanho da amostra, mas o custo por unidade Ch pode variar de estrato para

estrato. Se os custos de viagem entre unidades são substanciais, estudos matemáticos e empíricos sugerem que os custos são melhores representados pela expressão ∑ th

√

nh.

1 Quais são os valores de n1, n2, . . . , nH tal que Var(y_st) seja

mínima?(custo xo)

2 Quais são os valores de n1, n2, . . . , nH tal que C seja

mínimo?(variância xa)

Teorema: Em amostragem aleatória estraticada com uma função de custo linear, a variância da média estimada y_st é mínima para um cuto xo C, e o custo é mínimo para uma variância xa V, quando nh é proporcional a WhSh/

√

(78)

Alocação Ótima

Dentro de qualquer estrato o custo é proporcional ao tamanho da amostra, mas o custo por unidade Ch pode variar de estrato para

estrato. Se os custos de viagem entre unidades são substanciais, estudos matemáticos e empíricos sugerem que os custos são melhores representados pela expressão ∑ th

√

nh.

1 Quais são os valores de n1, n2, . . . , nH tal que Var(y_st) seja

mínima?(custo xo)

2 Quais são os valores de n1, n2, . . . , nH tal que C seja

mínimo?(variância xa)

Teorema: Em amostragem aleatória estraticada com uma função de custo linear, a variância da média estimada y é mínima para

(79)

Alocação Ótima

Se Ch =C, isto é, se o custo por unidade é o mesmo em todos os

estratos, a função de custo se torna C=C0+Cn, e a alocação

ótima para um custo xo se reduz para uma alocação ótima para um tamanho de amostra xo.

Teorema: Em AE, a Var(y_st)é minimizada para um tamanho de

amostra total n xa se

nh=n_{∑ W}WhS_h_Sh_h =n_{∑ N}NhS_h_Sh_h

Essa alocação é denominada Alocação Ótima de Neyman (Neyman(1934) provou o resultado).

(80)

Efeito do Planejamento

Se inteligentemente usada, a estraticação quase sempre resulta em uma menor variância para a média ou total estimado do que a dada por uma AAS comparável. Não é verdade, entretanto, que qualquer AE fornece uma variância menor do que a AAS.

Se os valores de nh estão longe do ótimo, a AE pode ter uma

variância maior. Por isso, vamos comparar a AAS com a AE com alocação proporcional e ótima. Essa comparação mostra como o ganho devido à estraticação é alcançado.

(81)

Efeito do Planejamento

Assim, sempre que os estratos tiverem médias distintas (σ2 e

grande), deve-se usar alocação proporcional ou ótima. Se além disso, os desvios padrões de cada estrato diferirem muito entre si (σ2

dp grande), recomenda-se a alocação ótima. Daí

Deff(AEpr) = _VV_AAScpr = σ 2 d σ2 =1− σe2 σ2 Deff(AEot) = _VVot AASc = σ2_d−σ_dp2 σ2 =1− σe2 σ2 − σ_dp2 σ2

(82)

Efeito do Planejamento

Exemplo: Exemplo dos habitantes de 64 cidades americanas.

Cálculo da Alocação Ótima

Estrato Nh Sh NhSh nh

1 16 232,04 3712,64 12,21 2 48 74,71 3586,08 11,79 Total 64 306,75 7298,72 24,00

Quando a estraticação produz ganhos substanciais?

1 A população é composta de unidades variando amplamente no

tamanho;

2 As principais variáveis a serem medidas estão fortemente

relacionadas ao tamanho das instituições;

3 Uma boa medida de tamanho está disponível para separar os

(83)

Efeito do Planejamento

1 16 232,04 3712,64 12,21 2 48 74,71 3586,08 11,79 Total 64 306,75 7298,72 24,00 Quando a estraticação produz ganhos substanciais?

tamanho;

2 As principais variáveis a serem medidas estão fortemente

relacionadas ao tamanho das instituições;

3 Uma boa medida de tamanho está disponível para separar os

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Efeito do Planejamento

1 16 232,04 3712,64 12,21 2 48 74,71 3586,08 11,79 Total 64 306,75 7298,72 24,00 Quando a estraticação produz ganhos substanciais?

tamanho;

(85)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

Idealização

Vamos supor que uma população de N elementos está ordenada. Suponha ainda que N=nk, onde k é um inteiro. Deseja-se retirar

uma amostra de tamanho n. Considere a seguinte estratégia:

1)Selecionar aleatoriamente um número entre 1 e k, onde k=N/n. Seja x esse número.

2)Tome como elementos da amostra os seguintes: x, x+k, x+2k, . . . , x+ (n−1)k

AAS(n) ⇒ CN_n (Número de amostras)

AS(n)⇒ k amostras (mutuamente excludentes) P(E_i∈ A) = 1_k

(86)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

Idealização

AAS(n) ⇒ CN_n (Número de amostras)

AS(n)⇒ k amostras (mutuamente excludentes) P(E_i∈ A) = 1_k

(87)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

Idealização

AAS(n)⇒ CN_n (Número de amostras)

AS(n)⇒ k amostras (mutuamente excludentes) P(E_i∈A) = 1_k

(88)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

Se N não é um número múltiplo de k, as diferentes amostras variam de tamanho de uma para outra.

N=23 n=5 k= 23₅ ≈5 N6=nk Possíveis Amostras I II III IV V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 n=5 n=5 n=5 n=4 n=4

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Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

Se N não é um número múltiplo de k, as diferentes amostras variam de tamanho de uma para outra.

N=23 n=5 k= 23₅ ≈5 N6=nk Possíveis Amostras I II III IV V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 n=5 n=5 n=5 n=4 n=4

(90)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

Isso introduz uma pertubação na teoria de amostragem sistemática. Se n>50 isso será ignorado, por simplicidade.

Outro método de seleção das amostras foi sugerido por Lahiri(1952);

1)Seja k o inteiro mais próximo de N n;

2)Suponha que os números estejam organizados como um círculo;

3)Selecione aleatoriamente um número entre 1 e N. Seja x esse número;

4)Selecione a amostra a partir desse número de k em k posições. x, x+k, x+2k, . . . ,retorno ao início.

Exemplo: k= 23₅ ≈5

x=19 ⇒ 19, 1, 6, 11, 16 Todas as unidades tem igual x=22 ⇒ 22, 4, 9, 14, 19 probabilidade de seleção.

(91)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

(92)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

(93)

Amostragem Sistemática (todo k-ésimo)

(94)

Populações em Ordem Aleatória

A AS é algumas vezes usada, por sua conveniência, em populações em que a numeração das unidades é efetivamente aleatória. Isso acontece em amostras de um arquivo organizado alfabeticamente por nomes, se o item que está sendo medido não tem relação com o nome do indivíduo.

Nessas situações esperamos que a AS seja equivalente à AAS, e tenha a mesma variância. Para qualquer população nita, dado n e k, isso não é exatamente verdade, principalmente quando n e k são pequenos.

Teorema: Considere todas as N! populações nitas que são

formadas pelas N! permutações de qualquer série nita de números y1, y2, . . . , yN. Então, em média sobre essas populações nitas

E(Var(y_s)) =Var(y)

(95)

Populações em Ordem Aleatória

E(Var(y_s)) =Var(y)

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Populações em Ordem Aleatória

formadas pelas N! permutações de qualquer série nita de números y , y , . . . , y . Então, em média sobre essas populações nitas

(97)

Populações em Ordem Aleatória

E(Var(y_s)) =Var(y)

(98)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

Os planos amostrais vistos até agora sorteavam unidades

elementares diretamente da população ou de estratos desta mesma população. Quando os sistemas de referências (cadastros ou frames) não são adequados e o custo de atualizá-los é muito elevado, ou ainda quando a movimentação para identicar as unidades elementares no campo é cara e consome muito tempo, a tarefa amostral pode ser facilitada se forem selecionados grupos de unidades elementares, os chamados conglomerados ou clusters.

(99)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

Pop= {E1, E2, . . . , EN}

Elemento: pessoa adulta que mora no Plano Piloto.

1)Em algumas situações não existe um cadastro dos elementos da população. Existe um cadastro das residências.

Pop= { R1 |{z} M1 , R2 |{z} M2 , . . . , RN |{z} MN }

Mi= número de pessoas adultas na Ri.

Cada residência é um Conglomerado de pessoas.

Conglomerado: é um conjunto de elementos da população.

(100)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

Pop= {E1, E2, . . . , EN}

Elemento: pessoa adulta que mora no Plano Piloto.

1)Em algumas situações não existe um cadastro dos elementos da população. Existe um cadastro das residências.

Pop= { R1 |{z} M1 , R2 |{z} M2 , . . . , RN |{z} MN }

Mi= número de pessoas adultas na Ri.

Cada residência é um Conglomerado de pessoas.

(101)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

2)Em algumas situações, mesmo existindo um cadastro, é mais econômico a amostragem por conglomerados. Por exemplo, uma AAS de 600 casas cobre mais uniformemente uma cidade do que 20 blocos contendo uma média de 30 casas cada um.

Mas grandes custos são envolvidos em localizar as 600 casas e na viagem entre elas do que em localizar 20 blocos e visitar todas as casas desses blocos. Quando custo é balanceado contra precisão, a unidade maior pode se mostrar superior.

Um dos inconvenientes do uso da amostragem por conglomerados (AC) é que as unidades, dentro de um mesmo conglomerado, tendem a ter valores parecidos, e isto torna esses planos menos ecientes.

(102)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

(103)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

(104)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

A AC tende a:

i)Ter um menor custo por elemento;

ii)Ter maior variância; e

(105)

Amostragem por Conglomerados (Cluster)

A AC tende a:

i)Ter um menor custo por elemento;

ii)Ter maior variância; e

(106)

Estimativas em Conglomerados

Se cada unidade contém o mesmo número m de elementos, seja p_i = ai

m a proporção de elementos na i-ésima unidade que cai na

classe C. A proporção caindo em C na amostra é p= ∑ni=1ai

nm = 1n∑nj=1pj

ou seja, p é uma média não ponderada das quantidades pi.

Consequentemente, se yi é substituído por pi, as fórmulas para a

média podem ser aplicadas diretamente para fornecer a verdadeira e estimada variância de p.

Var(p) = 1−f ∑_iN₌₁ (pi−P)2 −

(107)

Estimativas em Conglomerados

Se o tamanho do conglomerado não é constante, seja mi o número

de elementos no i-ésimo conglomerado e seja pi = _mai_i. A proporção

de unidades caindo na classe C na amostra é p= ∑ n_a i ∑n_m i ← aleatório ← aleatório

Estruturalmente, isso é uma típica estimativa de razão. Ela é levemente viesada, embora o viés raramente tenha importância prática.

(108)

Estimativas em Conglomerados

Se trocarmos yi por ai e xi por mi

Var(Rˆ) = 1−f nX2 1 N−1∑ N i=1(Yi−RXi)2 R= _XY Rˆ = yx P= ∑Ni=1Ai ∑N i=1Mi p = ∑ni=1ai ∑n i=1mi A variância aproximada de p é Var(p) = 1−f nM2 1 N−1∑ N i=1(Ai−PMi)2 M= ∑ N i=1mi N d Var(p) = 1−f nm2 1 n−1∑ni=1(ai−pmi)2 m= ∑ n i=1mi n

(109)

Estimativas em Conglomerados

Exemplo: Uma AAS de 30 domicílios foi retirada de uma população de 15.000 domicílios e foi vericada a proporção de pessoas que consultaram um médico no último ano.

Domicílio No. pessoas Masc Fem Visitou o Médico Sim Não 1 5 1 4 5 0 2 6 3 3 0 6 ... ... ... ... ... ... 30 4 2 2 1 3 Total 104 53 51 30 74

(110)

Estimativas em Conglomerados

binomial: n=104 p= ₁₀₄30 =0, 2885 d Var(p) = _npq₋₁ = 0,2885₁₀₄×₋0,7115₁ = 0,20526775₁₀₃ =0, 00199 correto: n=30 p= ∑ ai ∑ mi = 10430 =0, 2885(como antes) m= 104₃₀ =3, 4667 ∑ a2_i =86 ∑ m2_i =404 ∑ aimi =113 d Var(p) = 86−2×0,2885₃₀_×₂₉×113_×_3,4667+0,28852 2×404 =0, 00520

Estimando a proporção de homens na população binomial: Var(p) =0, 00240

(111)

Amostragem Complexa

O termo Amostragem Complexa é utilizada quando a amostra é coletada utilizando conglomerados, estraticação e probabilidade de seleção desigual (Chambers e Skinner,2003).

Geralmente em pesquisas com grandes conjuntos de dados, a amostra é coletada a partir de uma combinação dessas técnicas, como por exemplo, uma pesquisa pode utilizar estraticação com diversos estágios de conglomerados e utilizar estimadores tipo razão e regressão para a estimação dos parâmetros (Lohr, 1999).As fórmulas para estimação dos erros padrão se tornam horrendas, especialmente se existem diversos estágios de aglomeração sem reposição.

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Amostragem Complexa

Geralmente em pesquisas com grandes conjuntos de dados, a amostra é coletada a partir de uma combinação dessas técnicas, como por exemplo, uma pesquisa pode utilizar estraticação com diversos estágios de conglomerados e utilizar estimadores tipo razão e regressão para a estimação dos parâmetros (Lohr, 1999).

As fórmulas para estimação dos erros padrão se tornam horrendas, especialmente se existem diversos estágios de aglomeração sem reposição.

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Amostragem Complexa

Geralmente em pesquisas com grandes conjuntos de dados, a amostra é coletada a partir de uma combinação dessas técnicas, como por exemplo, uma pesquisa pode utilizar estraticação com diversos estágios de conglomerados e utilizar estimadores tipo razão e regressão para a estimação dos parâmetros (Lohr, 1999).As fórmulas para estimação dos erros padrão se tornam horrendas, especialmente se existem diversos estágios de aglomeração sem reposição.

(114)

Amostragem Complexa

Aplicar métodos estatísticos clássicos para analisar tais dados leva a inferências erradas. Em particular, ignorar o desenho amostral pode levar a uma séria subestimação do erro padrão das estimativas e consequentemente uma baixa cobertura dos intervalos de conança e uma superestimação dos níveis dos testes (Chambers e

Skinner,2003).

Considere o exemplo a seguir sobre a estimação do total de mosquiteiros em Gambia, na África, a m de reduzir os casos de Malária (Lohr, 1999):

Em 1991 um pesquisa nacional foi feita para estimar a prevalência de mosquiteiros nas casas em áreas rurais. A amostra e os

(115)

Amostragem Complexa

Aplicar métodos estatísticos clássicos para analisar tais dados leva a inferências erradas. Em particular, ignorar o desenho amostral pode levar a uma séria subestimação do erro padrão das estimativas e consequentemente uma baixa cobertura dos intervalos de conança e uma superestimação dos níveis dos testes (Chambers e

Skinner,2003).

Considere o exemplo a seguir sobre a estimação do total de mosquiteiros em Gambia, na África, a m de reduzir os casos de Malária (Lohr, 1999):

Em 1991 um pesquisa nacional foi feita para estimar a prevalência de mosquiteiros nas casas em áreas rurais. A amostra e os

Técnicas de Amostragem