GEOMETRIA COMO CONTEÚDO ESCOLAR: UM OLHAR SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA NO BRASIL

GEOMETRIA COMO CONTEÚDO ESCOLAR: UM OLHAR SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA NO BRASIL

Kássia Anita de Freitas Rodrigues Ferreira (PPGE/UFMT) – kassiaele@gmail.com Adelmo Carvalho da Silva (UFMT) – adelmoufmt@gmail.com

Resumo: O presente trabalho objetiva-se compreender por meio de fatos históricos, a construção dessa cultura geométrica, ou seja, da geometria efetivamente presente em nossas salas de aula. Embora saibamos das várias mudanças que o próprio sistema educacional desde suas primeiras organizações sofreu, é válido a compreensão dessas mudanças e também entender como a organização das disciplinas que deveriam ser abordadas para a formação básica dos alunos. Este texto traz uma visão de como a geometria surge e como esta se consolida como conteúdo escolar, marcada por sua característica utilitarista que no decorrer do tempo se resume a construções geométricas. Traremos também um breve relato da influência do Movimento da Matemática Moderna nas mudanças curriculares do ensino de Geometria

Palavras-chave: Geometria. Disciplina Escolar. História da Geometria.

1 Introdução

A matemática sempre foi considerada uma ciência difícil reservada para poucos, desde o momento em que a matemática torna-se um campo de conhecimento, ela já estava ligada a uma ciência nobre, por se tratar de alguns conceitos que não estavam relacionados a atividades manuais, embora saibamos que a Matemática nasce de uma necessidade humana. Segundo D´Ambrosio (2005) as ideias matemáticas, particularmente comparar, classificar, quantificar, medir, explicar, generalizar, inferir, são formas de pensar presente em toda espécie humana.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN) destacam que o conteúdo de aprendizado deve conter elementos do domínio vivencial dos alunos, a fim de propiciar um espaço de significação dos conceitos estudados no ambiente escolar. No tocante à matemática os PCN afirmam que a disciplina tem valor formativo e também instrumental. No que se refere a esse valor formativo, o documento aponta que a matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes cuja a utilidade transcende a própria matemática enquanto disciplina escolar, formando o aluno apto a resolver problemas, criando situações novas e outras capacidades. Sobre o caráter instrumental, os PCN indicam que aluno veja a matemática no Ensino médio como o conjunto de técnicas e estratégias a serem aplicadas não somente na matemática, mas em todas as áreas de conhecimento, bem como em atividades profissionais. “Não se trata de os alunos

possuírem muitas e sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno.” (BRASIL, 19998, p. 40)

No decorrer do texto os PCN apresentam ainda que para além dessas duas características, a matemática também deve ser vista como ciência, com suas características e estruturas específicas.

É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se junta a idéia de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se aproximado de vários campos do conhecimento matemático e agora estão em condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em todas as suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo, investigação, análise e compreensão de fatos matemáticos e de interpretação da própria realidade. (BRASIL, 1998, p.40-41)

A geometria faz parte dessa matemática, que auxilia no processo de desenvolvimento do pensamento matemático e por isso pode ser capaz de levar o aluno a uma compreensão mais conceituada e estruturada do pensamento matemático. Ensinar geometria é importante, pois ela sempre ocupou e ocupa um lugar de destaque no desenvolvimento do conhecimento matemático. Sabemos que a geometria foi uma das grandes contribuições para o desenvolvimento do pensamento matemático no que diz respeito ao rigor e formalidade, levando a Matemática a desenvolver-se no pensamento algébrico e assim construir e organizar demonstrações e desenvolver o raciocínio lógico dedutivo. O ensino da Geometria no Brasil, desde os primeiros movimentos para a organização escolar no Brasil foi introduzido já como um conteúdo prático. As primeiras noções e o objetivo de aprender geometria na escola estava direcionado a compreender como calcular área, medir e compreender as principais figuras geométricas.

Vale uma pequena reflexão de como a geometria é facilmente relacionada a sua aplicabilidade prática, não que isso seja de tudo ruim, mas cabe-nos questionarmos ou mesmo compreendermos o que mais ela pode nos trazer. Como fala Lorenzato (1995) existem problemas que só podemos resolver com conhecimentos geométricos, aprender geometria capacita o indivíduo a um pensamento matemático capaz de fazer generalizações e deduções que em nenhuma outra área da matemática é possível. “A Geometria desempenha um papel integrador entre as diversas partes da Matemática, além de ser um campo fértil para o exercício de aprender a fazer e aprender a pensar” (Fainguelernt, 1999, p.49-50).

Por isso entender que o ensino de geometria vai além de simplesmente calcular área e volume, mas nos dá capacidade de pensar de forma lógica e abstrair conceitos mais complexos. No decorrer do texto veremos a evolução do que chamados da geometria como conteúdo escolar, como se originou e como o Movimento da Matemática Moderna (MMM) influenciou diretamente no ensino de geometria, principalmente no Brasil.

2 A Geometria como disciplina escolar

O ensino de geometria no Brasil desde o início do movimento para organização da escola brasileira foi marcado com peculiaridades em sua abordagem e principalmente o enfoque ao qual foi inserida na escola como conteúdo escolar. Nestes primeiros anos de estruturação de um sistema de ensino no Brasil, a geometria apresenta-se como uma

geometria prática. Vejamos sua construção enquanto disciplina escolar.

De acordo com Silva e Valente (2014) o ensino de geometria no curso primário remete-se às primeiras décadas do século XIX. Segundo esses autores e de acordo com pesquisas da historiadora Circe Bittencourt, háevidências que os primeiros debates sobre a educação nacional é basicamente a tradução da obra de Condecert, para este autor é nos estudos do segundo ano do curso primário que devem ser ensinadas as primeiras noções de geometria, que deverá se encaminhar para os estudos de agrimensura, ou seja, o ensino de geometria no curso primário brasileiro é voltado para um ensino prático, uma geometria prática.

Desde Condorcet, em sua versão adaptada por Martim Francisco, a primeira referência a constituir parâmetro para a organização da escola de primeiras letras no Brasil indica que o ensino de geometria deveria ter caráter prático; um ensino que pudesse dar condições para certo exercício profissional, para a medida de terrenos, para a agrimensura. Assim, a geometria para os que iniciam a escola constitui saber específico, técnico, instrumental. [...] (VALENTE e SILVA, 2014, p.23)

Percebemos que desde o início do ensino no Brasil, a noção utilitarista da geometria faz-se presente. Após seguir as orientações dos escritos de Condorcet, surge uma obra de Francouer1, tal obra releva certas singularidades a começar pelo título que inclui o termo “prática”; Princípios do desenho linear compreendendo os de geometria prática pelo método

do ensino mútuo. Nesta obra surgem algumas atividades propostas em quatro níveis, como;

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Louis-Benjamin Francoeur (1773-1849) francês, matemático, seguiu carreira militar e acadêmica. Foi pioneiro em sintetizar os conteúdos de desenho para as escolas de ensino mútuo.

[...] dividir um segmento em seis partes iguais; por um ponto fora de uma reta, construir uma perpendicular à reta; construir um triângulo equilátero; dividir um ângulo em dez partes iguais [...] construir trapézio, sendo dadas as bases e altura; construir um paralelepípedo. [...] construir uma circunferência, sendo dados o centro e o raio; circunscrever um quadrado num círculo dado; inscrever um octógono regular num círculo[...] construir um transferidor, construir uma elipse etc.” (VALENTE, SILVA,2014, p. 27-28)

Percebe-se aqui uma mudança na compreensão do ensino de geometria, àquela geometria prática, voltada a sistemas de agrimensura passa então à construção geométrica. Vale ressaltar como aponta Silva e Valente (2014) que tais atividades não eram propostas para utilizar as ferramentas de desenho como régua, compasso, esquadro entre outros instrumentos. As atividades deveriam ser realizadas pelo desenho em si, ou seja, os alunos eram levados a desenhar à mão livre e com precisão. Percebemos que no livro proposto por Holanda Cavalcanti a geometria somente se tornaria prática se os alunos desenvolvessem essas habilidades à mão livre, nota-se ainda que àquela geometria prática ligada a atividades de medidas e agrimensura começa a ser deixada de lado, levando à transformação do significado de geometria prática. Daí surge, segundo Valente e Silva (2014), uma geometria escolar. A partir daí começa a surgir livros didáticos que direcionam essa “geometria escolar”, ou seja, focalizada nos desenhos e formas geométricas.

No período intitulado República Velha, datado de 1890 a 1930 a consolidação e a organização do ensino primário é iminente nessa época. Surge em São Paulo os grupos escolares, na fase que São Paulo sofre expansão econômica cultural, a escola também sofre modificações e progressos. Assim, como a geometria, os livros produzidos nessa época sofrem algumas modificações, mas ainda trazem desenhos e formas geométricas, conceitos e definições dos objetos geométricos, como é o caso do livro; Desenho linear ou Elementos de

geometria prática popular de Abílio Cesar Borges.

O livro de Abílio Borges insere-se na continuidade de etapa anterior de inclusão dos conhecimentos geométricos nos anos iniciais escolares. [...] Assim é considerado o desenho como antecedente da geometria, leva em conta o que estava assento como desenho linear, desenho à mão livre, rumo à organização do saber geométrico. Esse tipo de organização, ao que tudo indica, iluminou novas propostas republicanas para o tratamento da geometria. Esse saber deveria ser ensinado, precedido do desenho. (VALENTE; SILVA, p. 51-52, 2014)

No ano de 1894 a Livraria Francisco Alves publica a primeira obra didática para o ensino primário de geometria em tempos republicanos, intitulado; Primeiras noções de

geometria prática, com autoria de Olavo Freire, essa obra será referência para o ensino de

Em síntese, a geometria proposta no livro de Freire pode ser interpretada como uma

geometria prática, na medida em que os conceitos estudados são relacionados com

objetos da cotidiana, porém a presença de construções geométricas de maneira contínua e crescente representa um novo enfoque para o caráter prático da geometria, ou seja, a praticidade na ação de construir objetos geométricos com régua e compasso [...] (VALENTE; SILVA, p. 56, 2014).

A geometria considerada prática, limitou-se na construção de desenhos geométricos utilizando régua e compasso, pelo menos no tange o ensino dos anos iniciais, corroborando assim para a consolidação dessa geometria escolar que se caracteriza principalmente nessa geometria prática.

Nas primeiras décadas do século XX, a geometria sofre alterações nas reformas educativas que se sucedeu, uma dessas alterações é a forma de iniciar o conteúdo de geometria, que anteriormente se configurava do plano para o espaço, e na primeira reforma de 1905 há uma inversão nesse início do espaço para o plano. Com abordagem do método analítico, cartilhas começam a circular nos grupos escolares, partindo do todo para as partes, daí a problemática no ensino de geometria, como ir do “espaço” para o “plano” se as construções geométricas são feitas no plano? Permanece posteriormente a proposta do livro de Freire, a construção geométrica permanece, como que uma forma de necessidade para mostrar que o ensino da geometria deva ser prático, e para esses praticar geometria está ligado a utilização de instrumentos para a construção de figuras. Essa percepção começa a mudar a partir do Movimento da Matemática Moderna (MMM) onde o início do ensino de geometria, não passará mais pelas construções geométricas, mas tomará então novos rumos. O tópico a seguir irá ajudar na compreensão desta mudança no ensino da matemática, com o foco na geometria.

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No ensino de Matemática, o movimento derivado da corrente estruturalista que considera a análise das relações entre parte e todo, ficou conhecido como Movimento da Matemática Moderna (MMM), que elegeu três estruturas matemáticas centrais: as estruturas topológicas, algébricas e de ordem. Esse movimento vigorou em meados da década de 60, teve influências da psicologia, nas ideias de Jean Piaget, na matemática o MMM sofreu influências de um grupo de matemáticos franceses com o pseudônimo de Nicholas Bourbaki, preocupados em estruturar o ensino da matemática da época. Esse grupo atuou com forte influência na revolução do currículo de matemática.

Lorenzato (1995) aponta que a mais prejudicada por esse movimento, foi à geometria, pois o grupo Bourbaki propunha um estudo puramente topológico para o ensino desta, e consideravam a geometria euclidiana (muito presente nos currículos escolares) um dos conteúdos da “matemática clássica” definida por Jean Dieudonné, um dos membros do grupo Bourbaki, como conceitos anteriores a ano de 1800. O grupo procurava uma forma de modernizar a matemática, inserindo conteúdos que até então não se faziam presente nos currículos tanto de nível básico como superior.

Pouco a pouco, desenha-se uma ideia geral que será precisada no século XX, a de estrutura na base de uma teoria matemática; é a consequência da constatação de que aquilo que desempenha o papel primordial numa teoria são as relações entre os objetos matemáticos que aí figuram, antes da natureza desses objetos, e que, em duas teorias diferentes, pode acontecer que haja relações que se exprimem da mesma maneira nas duas teorias; o sistema destas relações e as suas é uma estrutura às duas teorias. (Dieudonné (1990, p. 118) apud Pires (2006, p.114))

O grupo Bourbaki, numa redefinição de objetos e métodos, reduz a geometria Euclidiana (ou a geometria elementar) a apenas um capítulo de álgebra linear. A posição contrária à geometria euclidiana assumida pelo grupo se fundamenta na falta de atualização de visão dessa geometria, essa oposição à geometria euclidiana é bem corrente em grupos de matemáticos.

Esse movimento iniciou com bastante força primeiramente na Europa, tomando por base os estudos de psicologia de Jean Piaget. Na teoria de Piaget os processos de pensamento organizam-se de forma estruturada, parecidas com as noções matemáticas e a organização feita por Bourbaki. Sobre esse prisma começa a surgir alguns livros didáticos que entrarão com muita ênfase nas escolas de muitos países e no Brasil não foi diferente.

Segundo Valente e Silva (2014) a obra de Zoltam Paul Dienes que desenvolve uma sistematização teórica sobre como crianças aprendem um conceito matemático, baseados em Piaget e Bourbaki tem grande influência nos livros didáticos que surgiram nesta época.

A geometria é a exploração do espaço. Uma criança, desde seu nascimento, explora o espaço. Primeiramente o olha, depois o sonda com seus braços e pernas visando a descoberta, e enfim se desloca nele. É preciso um tempo bastante longo para desenvolver as ideias de perspectiva, de distância, de profundidade; noções como a de dentro e fora, diante e atrás e depois, e assim por diante. (...) As primeiras noções de geometria não tem nada a ver com a medida. Uma criança preocupa-se muito pouco com a distância exata dos objetos, de seus movimentos ou do ângulo sob o qual as coisas são vistas. ( DIENES; GOLDING 1977, p.1 apud VALENTE; SILVA, 2014, p. 72)

Entre os anos de 1966 à 1967, é lançado uma coleção intitulada Curso moderno de

matemática para escola elementar, das autoras Manhúcia Perelber Liberman, Anna Franchi e

Lucília Bechara, ambas com formação em licenciatura em matemática. Essa coleção didática marca o ensino de geometria logo nas primeiras séries, com uma abordagem da geometria de uma nova vertente, a coleção traz em sua estrutura esse novo jeito de organização matemática que o MMM apresentava. No primeiro volume as autoras não abordam a geometria, iniciam os estudos com classificação de objetos de acordo com as propriedades destes, como forma, tamanho, cor e outros. Segundo Silva e Valente (2014) às primeiras atividades decorrem no estabelecimento de correspondências entre as propriedades destes objetos pelos alunos. Essas relações entre as formas e as propriedades do objeto já é um prenúncio do método intuitivo, que tem por premissa um ensino, uma educação pelos sentidos. Vimos então neste manual uma nova abordagem do ensino de matemática que trás para as crianças esse primeiro contato com a matemática moderna.

Uma análise mais acurada mostra, no entanto, que o emprego da cor e da forma não é feito simplesmente por serem propriedades de fácil observação para as crianças. Note-se: a atividade pede que os alunos estabeleçam relações entre as propriedades no sentido de construir a noção de correspondência um a um entre os conjuntos e comparar o número de elementos entre dois conjuntos. Esta é a proposta central: preparar o aluno para o conceito de número como um invariante de dois conjuntos. Assim, as figuras geométricas não são empregadas com o fim de inicar o estudo de geometria.[...] (SILVA; VALENTE, 2014, p.75)

Notamos que a intenção das autoras se direciona para uma abordagem das figuras geométricas que não visa o estudo destas, ou sua construção, mas as utilizam como objeto levando o leitor a fazer relações com propriedades que lhes são visíveis, sensíveis.

A grande mudança no ensino de geometria aparece forte no terceiro volume que traz conteúdos de noções geométricas. Há neste volume a introdução de estudos de conceitos topológicos (como dentro, fora, aberto e fechado), tratam de curvas abertas e fechadas, interior das curvas fechadas simples, e por fim expõe os lados retos, polígonos, triângulos e quadriláteros. Para Silva e Valente (2014), uma das características fortes do MMM é a linguagem de conjuntos que permeia todos os níveis de ensino, que trouxe uma forma diferenciada de abordar as relações geométricas. As autoras contemplam em seus livros essa linguagem mais apurada. Para bem exemplificar trouxemos aqui um trecho do livro que exemplifica bem o uso dessa linguagem de conjunto, bastante evidente; “Tradicionalmente dizíamos que é igual a , mas desde que segmento de reta é um conjunto de pontos, não

que .” (Silva; Valente 2014, apud Liberman, Bechara Sanchez e Franchi 1975, v.2, p.27) Vale ressaltar que essa foi uma das contribuições do MMM para o ensino de matemática, a linguagem de conjuntos.

O que se pôde perceber nesta mudança de abordagem foram que os estudos de novos conceitos de topologia introduzidos, aparecem de forma introdutória, não são explorados em estudos posteriores ou retomados. “A visão mais evidenciada da geometria estudada se verifica na linguagem e não propriamente nos conceitos topológicos em si.” (SILVA; VALENTE, 2014, p. 78)

Mesmo em meio a esse contexto revolucionário característico do MMM, que trouxe ao cotidiano escolar novos conceitos, nota-se no decorrer desse caminhar que a escola não se desprendeu da geometria escolarizada, pois mesmo que as páginas dos livros trouxessem algo de topologia, logo surgia também a geometria “antiga”, a geometria euclidiana, que de acordo com Silva e Valente (2014) não há em obra didática alguma uma linha contínua entre os elementos topológicos, projetivos e euclidianos, pelo contrário, apresentava-se alguns elementos topológicos e seguia para a geometria euclidiana.

Notamos que o MMM retoma o caminho inverso daquele explícito por Piaget em seu livro Psicogênese e história das ciências, diante daquele caminho histórico, mas além disso, quem se prejudicou foi a cultura escolar já estabelecida, que após as investidas dessas propostas ditas modernas, retoma a geometria euclidiana como forma elementar de introduzir e ensinar geometria, visto que foi esta geometria (a euclidiana) que se criou e tornou-se a “geometria escolar” adotada por essa cultura. Como fala Lorenzato (1995, p.4) “A proposta da Matemática Moderna de algebrizar a geometria não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar o modelo anterior, criando assim uma lacuna nas nossas práticas pedagógicas, que perdura até hoje. ”

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente texto os fez compreender por meio de fatos históricos, a construção da cultura geométrica, ou seja, como essa geometria difundida nas escolas tornou-se conteúdo escolar. Embora saibamos das várias mudanças que o próprio sistema educacional desde suas primeiras organizações sofreu, é válido a compreensão dessas mudanças e também entender como a organização das disciplinas que deveriam ser abordadas para a formação básica dos alunos. Este texto trouxe-nos uma visão de como a geometria surge e como esta se consolida

como conteúdo escolar, marcada por sua característica utilitarista que no decorrer do tempo se resume a construções geométricas.

Podemos perceber também como o Movimento da Matemática Moderna trouxe algumas significativas mudanças para o ensino de geometria, seja nos currículos seja na prática de alguns professores, mas podemos identificar que apesar das várias mudanças pela qual passou o pensamento geométrico como conteúdo escolar, sabemos o quão importante é aprender geometria, para o desenvolvimento do próprio raciocínio matemático dos alunos.

Referências

BRASIL. Secretaria de ensino fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: SEF/MEC, 1998.

D´AMBRÓSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2 ed. Belo Horizonte: Autentica. 2005.

FAINGUELERNT, E. K. Educação Matemática: representação e construção em geometria. Porto Alegre: Artes Médicas. 1999.

LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Educação em Revista –Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBM, ano 3, n. 4, p. 4 –13, 1o sem. 1995.

PIRES, R. C. A presença de Nicolas Bourbaki na Universidade de São Paulo. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2006.

PINTO, N.B; VALENTE, W.R. Quando a geometria tornou-se moderna: Tempos do MMM. In: SILVA, M.C.L. VALENTE, W.R. A geometria nos primeiros anos escolares: História e perspectivas atuais. Campinas : Papirus editora, 2014.