Física IV para a Escola Politécnica (Engenharia Elétrica)
4320293 – TURMA 3
Professor: Dr. Marcos A. G. Alvarez
Departamento de Física Nuclear (DFN) – IFUSP
Edifício Oscar Sala – (sala 246)
Escaninho 22
Escaninho 22
malvarez@if.usp.br
LIVRO: Princípios de Física (Óptica e Física Moderna)
Raymond A. Serway / John W. Jewett Jr.
PROVA P2 – Capítulos 28 e 29 – Serway/Jewett vol. 4
CAPÍTULO 28: Física Quântica
Radiação de corpo negro e a Teoria de Planck
O Efeito Foto-Elétrico
O Efeito Compton
O Efeito Compton
Fótons e Ondas Eletromagnéticas
Propriedades Ondulatórias das Partículas
A Partícula Quântica
CAPÍTULO 28: Física Quântica
O Princípio da Incerteza
Mecânica Quântica
Uma Partícula em uma Caixa
A Equação de Schrödinger
Tunelamento através de uma Barreira de Energia
Potencial
Lista de exercícios sugerida – Capítulo 28:
A partícula quântica
Antes:
modelos corpusculares (partículas com carga e massa)
modelos ondulatórios (ondas)
Depois: Efeito Foto-Elétrico & Compton
Tanto a luz como as partículas têm propriedades corpusculares e ondulatórias
v
m
h
p
h
h
p
=
⇒
λ
=
⇒
λ
=
λ
ondulatórias De BroglieEXEMPLO 28.5 O comprimento de onda de um elétron
Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um elétron deslocando-se com uma velocidade de:
Kg
m
s
m
e
31
7
10
11
.
9
sendo
/
10
1
v
−
×
=
×
=
v
m
h
=
λ
v
e
m
=
λ
EXEMPLO 28.5 O comprimento de onda de um elétron
Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um elétron deslocando-se com uma velocidade de:
Kg
m
s
m
e
31
7
10
11
.
9
sendo
/
10
1
v
−
×
=
×
=
Solução(
) (
)
m
s
m
Kg
s
J
m
h
e 11 7 31 3410
28
.
7
/
10
0
.
1
10
11
.
9
10
63
.
6
v
− − −×
=
×
⋅
×
⋅
×
=
=
λ
Exemplo 3-1 Eisberg & Resnick: Comprimento de onda de uma bola
Qual é o comprimento de onda de “De Broglie” de uma bola de beisebol com uma massa de 1Kg movendo-se a uma velocidade de 10m/s
m
s
m
Kg
s
J
m
h
p
h
34
35
10
6
.
6
10
0
.
1
10
63
.
6
v
−
−
×
=
×
⋅
×
=
=
=
λ
Exemplo 28.7: Uma carga acelerada
Uma partícula de carga “q” e massa “m” é acelerada a partir do repouso por uma diferença de potencial ∆V. Supondo que a partícula desloca-se
com velocidade não relativística, encontre seu comprimento de onda de de Broglie.
v
v
2
1
2
m
p
V
q
m
=
∆
=
Calcule o comprimento de onda de “de Broglie” de um elétron acelerado por uma diferença de potencial de 50V.
v
m
p
=
Kg
m
C
q
p
h
h
p
e
e
31
19
10
11
.
9
10
6
.
1
−
−
×
=
×
=
=
⇒
=
λ
λ
Exemplo 28.7: Uma carga acelerada
Uma partícula de carga “q” e massa “m” é acelerada a partir do repouso por uma diferença de potencial ∆V. Supondo que a partícula com velocidade não relativística, encontre seu comprimento de onda de de Broglie.
mv
p
V
q
mv
=
∆
=
2
1
2
λ
(
q
,
m
,
∆
V
)
V
qm
h
emU
h
V
mq
p
V
q
m
p
V
q
mv
A
∆
⇒
=
∆
=
∆
=
⇒
∆
=
2
2
2
ou
2
2
1
2
2
λ
A
emU
h
2
=
λ
⇒
=
p
h
λ
Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron acelerado por uma diferença de potencial de 50V.
carga
V
Kg
C
s
J
emU
h
A
2
1
.
6
10
9
.
11
10
50
10
63
.
6
2
19
31
34
×
×
×
×
×
⋅
×
=
=
−
−
−
λ
massanm
17
.
0
10
178
.
38
10
63
.
6
10
6
.
1457
10
63
.
6
25
34
50
34
≈
×
×
=
×
×
=
−
−
−
−
λ
ENTIDADES CORPUSCULARESResultados experimentais deveriam mostrar que
elétrons são difratados pelos planos de um cristal de maneira similar aos raios-X, sendo portanto aplicável a condição de Bragg.
O comprimento de onda que devemos associar aos elétrons é previsto pela hipótese de “De Broglie”, segundo a qual:
v
m
h
p
h
=
=
λ
(
1
,
2
,
3
...
)
2
dsen
θ
=
n
λ
n
=
(
1
,
2
,
3
...
)
2
dsen
θ
=
n
λ
n
=
Uma característica essencial de uma partícula é que ela está localizada no espaço.
O primeiro passo é mostrar que podemos
construir uma entidade localizada a partir de considerações ondulatórias.
considerações ondulatórias.
Imagine traçar uma onda ao longo do eixo “x” com uma de suas cristas localizadas em “x=0”.
Frequências diferentes e
Logo uma segunda onda de mesma amplitude mas com uma
frequência diferente, porém também com uma de suas cristas em “x=0”.
Frequências diferentes e
Amplitudes que coincidem em x=0
O resultado da superposição dessas duas ondas é um “batimento” pois as ondas estão alternadamente em fase e fora de fase.
Interferência construtiva
Interferência entre ondas está conectada à
(diferença de) fase entre as ondas.
A diferença de fase entre duas ondas pode mudar
λ
Interferência destrutiva
λ
=
Interferência de duas ondas com
mesma amplitude e mesma frequência
Padrão de interferência contínuo no tempo
onda de cor preta é estacionária
Interferências construtivas e destrutivas entre ondas está conectada à
(diferença de) fase entre as ondas.
Duas ondas podem ter distintas frequências (comprimentos de onda).
A diferença de fase entre duas ondas pode mudar.
Considerando duas ondas com distintas frequências e mesma amplitude (A), existe uma amplitude (2A) máxima para a amplitude de uma interferência construtiva.
Interferência de duas ondas com mesma amplitude e
diferentes frequências
Padrão de interferência descontínuo
(a) Uma onda idealizada com uma única frequência exata é a mesma por todo o espaço e em todo instante; (b) se são combinadas duas ondas ideais com frequências ligeiramente diferentes, surgem
(b)batimentos (posições alternadamente em fase e fora de fase)
Padrão de interferência descontínuo
Se adicionamos ondas, de modo que suas cristas coincidam com as demais ondas em x=0, a pequena região de interferência construtiva é denominada pacote de onda.
Interferência máxima em x=0
Esta é uma região localizada do espaço que é diferente de todas as outras.
Aquí, podemos assumir (aproximar) o pacote
O padrão de batimentos da figura da esquerda com uma função envoltória
sobreposta (figura da direita).
Considere duas ondas com amplitudes iguais, mas frequências diferentes f1 e f2. Podemos representar estas ondas matemáticamente
como:
(
)
(
)
(
)
(
)
+
−
=
+
−
+
−
=
+
=
=
=
−
=
−
=
b
a
b
a
b
a
t
k
A
t
x
k
A
y
y
y
k
f
t
k
A
y
t
k
A
y
cos
cos
2
cos
cos
trica
trigonomé
forma
na
cos
cos
ão
Superposiç
de
Princípio
2
e
2
cos
e
cos
.
2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1ω
ω
λ
π
π
ω
ω
ω
a
b
(
) (
)
(
) (
)
+
−
+
∆
−
∆
=
=
−
+
−
−
−
−
=
−
=
−
=
=
+
t
x
k
k
t
x
k
A
t
x
k
t
x
k
t
x
k
t
x
k
A
y
t
k
b
t
x
k
a
b
a
2
2
cos
2
2
cos
2
2
cos
2
cos
2
:
temos
e
sendo
2
cos
2
cos
2
cos
cos
2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
a
b
O segundo fator co-seno representa uma onda com um número de onda e
+
−
+
∆
−
∆
=
A
k
x
t
k
k
x
t
2
2
cos
2
2
cos
2
ω
1 2ω
1ω
2O segundo fator co-seno representa uma onda com um número de onda e
frequência iguais às médias dos valores das ondas individuais.
O fator entre colchetes representa a envoltória da onda, como mostrado Observe que este fator também tem a forma matemática
de uma onda
(
k
t
)
y
A
(
k
t
)
A
y
1=
cos
1−
ω
1e
2
=
cos
2−
ω
2Esta onda descrita pela função envoltória pode deslocar-se no espaço com uma velocidade diferente das ondas indivi-duais.
Como um exemplo extremo dessa possibilidade, imagine combinar duas ondas idênticas deslocando-se em direções opostas.
As duas ondas deslocam-se com a mesma velocidade escalar, mas a envoltória tem uma velocidade nula, pois construímos uma onda
(
)
(
)
(
k
x
t
)
A
(
k
t
)
A
y
y
y
k
f
t
k
A
y
t
k
A
y
2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1cos
cos
ão
Superposiç
de
Princípio
pelo
2
e
2
cos
e
cos
ω
ω
λ
π
π
ω
ω
ω
−
+
−
=
+
=
=
=
−
=
−
=
+
−
+
∆
−
∆
t
x
k
k
t
x
k
A
2
2
cos
2
2
cos
2
ω
1 2ω
1ω
2Para uma onda individual, a velocidade é dada pela equação:
Que é definida como velocidade de fase porque é a taxa de progressão de uma crista em uma única onda, que é um ponto de fase fixa.
k
fase
=
ω
v
k
fase
=
ω
v
k
T
f
=
=
=
λ
π
π
π
ω
2
2
e
2
O subscrito “g” na velocidade indica que ela é usualmente denominada
velocidade de grupo ou a velocidade do pacote de ondas
(o grupo de ondas) que construímos.
Onde temos uma combinação de frequências (ω) e comprimentos
de onda (λ) variáveis entre diferentes ondas.
k
k
k
T
f
g fase∆
∆
=
=
=
=
=
=
=
ω
ω
λ
π
ω
x"
"
espacial
variável
de
e
coeficient
t"
"
temporal
variável
de
e
coeficient
v
v
e
2
Para uma superposição de um número muito grande ondas para formar um pacote de ondas, temos a razão:
dk
d
g
=
ω
v
Vamos multiplicar o numerador e o denominador por ћ onde ћ=h/2π:
analisando separadamente o
d
d
=
=
(
)
v
h
ω
h
ω
analisando separadamente o numerador e o denominadordp
dE
k
d
d
p
h
h
k
E
f
h
f
h
k
d
d
dk
d
g g=
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
=
)
(
)
(
v
2
2
2
2
)
(
)
(
v
h
h
h
h
h
h
h
h
ω
λ
λ
π
π
π
π
ω
ω
ω
Como estamos explorando a possibilidade de que a envoltória das ondas combinadas represente a partícula,
se consideramos uma partícula livre deslocando-se com uma
velocidade “v” que é pequena comparada com a velocidade da luz. A velocidade “v” que é pequena comparada com a velocidade da luz. A
energia da partícula é sua energia cinética:
diferenciando com relação a “p”
( )
v
v
2
2
1
2
v
2
v
2
1
2
g
2
2
m
p
m
p
p
m
m
p
dp
d
dp
dE
m
p
m
E
=
=
=
=
=
=
=
=
Assim, podemos assumir a analogia entre a velocidade do “pacote de onda” e a velocidade de uma partícula
Os pacotes de onda são construídos como uma superposição
linear de ondas planas de diferentes momentos lineares «p».
( )
p
h
h
p
=
⇒
λ
=
λ
λ
Neste caso, cada componente do pacote de ondas viaja com sua velocidade característica, conhecida como velocidade de fase.
Antes:
modelos corpusculares (partículas com carga e massa)
modelos ondulatórios (ondas)
Depois: Efeito Foto-Elétrico & Compton
Tanto a luz como as partículas têm propriedades corpusculares e ondulatórias
Novamente a Experiência da Dupla Fenda
v
m
h
p
h
h
p
=
⇒
λ
=
⇒
λ
=
λ
ondulatórias De BroglieVamos lançar elétrons contra uma dupla fenda
Considere um feixe paralelo de elétrons mono-energéticos
(mono-cromáticos) incidindo sobre uma dupla fenda.
As larguras das fendas são pequenas comparadas com o
comprimento de onda do elétron…
?
Novamente a Experiência da Dupla Fenda
O detector de elétrons é colocado bem longe das fendas a uma distância “L” muito maior que “d”
(distância de separação entre as fendas).
Se o detector coletar elétrons por um tempo vemos um típico
padrão de interferência de “onda” em
Efeito esperado
Teoria Clássica
padrão de interferência de “onda” em termos do número de elétrons por minuto.
Não se espera tal comportamento se consideramos os elétrons - partículas. Esta é uma evidência de que os elétrons estão interferindo segundo fenômenos ao menos similares aos ondulatórios.
Se o detector coletar elétrons por um tempo vemos um típico
padrão de interferência de “onda” em
Efeito esperado
Teoria Clássica
padrão de interferência de “onda” em termos do número de elétrons por minuto.
Não se espera tal comportamento se consideramos os elétrons - partículas. Esta é uma evidência de que os elétrons estão interferindo segundo fenômenos ao menos similares aos ondulatórios.
Efeito esperado Teoria Clássica
Efeito observado Teoria Quântica
Se imaginarmos elétron(s) no feixe produzindo pequenas ondas em fase quando alcança uma das fendas…
Utilizando a teoria ondulatória do
Capítulo 27, então:
λ
Capítulo 27, então:
representa um mínimo de interferência, e
representa um máximo de interferência
2
λ
θ
=
=
∆
F
dsen
2
λ
θ
=
=
∆
F
dsen
λ
θ
=
=
∆
F
dsen
Como o comprimento de onda do elétron é dado por:
2
λ
θ
=
=
∆
F
dsen
p
h
x
:
temos
pequeno
para
,
=
θ
λ
Como isso se respeita fica mostrada a
natureza dual do elétron.
2
λ
θ
=
=
∆
F
dsen
d
p
h
sen
x
x
2
=
≈
θ
θ
Interferência destrutivaComo o comprimento de onda do elétron é dado por:
λ
θ
=
=
∆
F
dsen
h
p
h
x
=
θ
λ
,
para
pequeno
temos
:
Como isso se respeita fica mostrada a
natureza dual do elétron.
∆
F
=
dsen
θ
=
λ
d
p
h
sen
x
=
≈
θ
θ
Interferência construtivaAssim, os elétrons são detectados como partículas em um certo ponto
em algum instante de tempo.
Mas a probabilidade de chegada a esse ponto é determinada pela
intensidade de duas ondas que interferem.
Exercício 28.24
É usado um osciloscópio modificado para realizar uma experiência de interferência de elétrons. Elétrons incidem sobre um par de fendas estreitas separadas por 0.0600µm. As bandas brilhantes no padrão de interferência estão separadas por 0,400mm sobre uma tela a 20,0 cm das fendas. Determine a diferença de potencial através da qual os elétrons foram acelerados para formar este padrão.
n
dsen
θ
=
λ
e
v
m
h
p
h
n
dsen
e
=
=
=
λ
λ
θ
V
e
m
K
=
e
v
2
e
=
∆
2
1
É usado um osciloscópio modificado para realizar uma experiência de interferência de elétrons. Elétrons incidem sobre um par de fendas estreitas separadas por 0.0600µm. As bandas brilhantes no padrão de interferência estão separadas por 0,400mm sobre uma tela a 20,0 cm das fendas. Determine a diferença de potencial através da qual os elétrons foram acelerados para formar este padrão.
Considerando a primeira banda brilhante temos:
tg n dsen 002 . 0 200 400 . 0 1 = = ⋅ = =
θ
λ
λ
θ
(
)
(
)
(
)
(
)(
)(
)
V m Kg C s J em h V V e m h m m m K h m m h m sen m n dsen e e e e e 105 10 20 . 1 10 11 . 9 10 6 . 1 2 10 63 . 6 2 2 2 v v 2 1 v v 10 20 . 1 002 . 0 10 0 . 6 1 200 2 10 31 19 2 34 2 2 2 2 2 e 2 2 e e e 10 8 = × × × ⋅ × = = ∆ ∆ = = = = = ⇒ = × = × = ⋅ = = − − − − − −λ
λ
λ
λ
λ
λ
θ
V
C
J
1
1
1
=
⋅
EXERCÍCIO
Se uma fenda é coberta, se observa uma
curva simétrica com seu pico ao redor da fenda aberta – máximo central do padrão de difração de fenda única.
A figura mostra gráficos das
EXERCÍCIO
A figura mostra gráficos das
contagens de elétrons por minuto
(probabilidade de chegada de elétrons)
com a fenda superior (2) ou inferior (1) fechada.
RESUMINDO
Se a fenda 1 está aberta e a fenda 2 fechada por um certo tempo e depois invertemos durante o mesmo intervalo de tempo…
obtemos os padrões em azul É importante observar
Que é completamente diferente do padrão
em que as duas fendas estão abertas em que as duas fendas estão abertas (curva com vários picos).
Não existem mais uma probabilidade
máxima de chegada em θ=0 (curva azul)
Desaparece o padrão de interferência e o resultado acumulado é a soma dos resultados individuais.
COMO PODEMOS IDENTIFICAR POR ONDE O ELÉTRON PASSA QUANDO AS DUAS FENDAS ESTÃO ABERTAS???? DUAS FENDAS ESTÃO ABERTAS????
Quando as duas fendas estão abertas nossa intuição tende a induzir-nos a que o elétron passa pela fenda 1 OU pela fenda 2.
Os resultados experimentais indicados pelo padrão de interferência com muitos picos contradizem isso. PRINCÍPIO DE HUYGENS
Padrão de interferência similar ao de duas ondas monocromáticas coerentes
Portanto, a conclusão de que o elétron é localizado e atravessa apenas uma fenda quando as duas fendas são abertas
está errada.
Conclusão difícil pois vai em contra da
Um elétron interage com as duas fendas simultaneamente.
É impossível determinar por qual fenda passa o elétron.
Se tentarmos determinar experimentalmente qual fenda o elétron atravessou, o simples ato da medida destruirá o padrão de interferência.
O PRINCÍPIO DA INCERTEZA
Sempre que se mede a posição ou a velocidade de uma partícula em um certo instante, incertezas experimentais estão incluídas nas medidas.
De acordo com a mecânica clássica não há um limite para o aumento da precisão (diminuição da incerteza) dos procedimentos experimentais.
O PRINCÍPIO DA INCERTEZA
A Mecânica Quântica prevê que é fundamentalmente impossível medir
simultâneamente a posição (x) e o momento (p=mv) de uma partícula com precisão infinita.
Se são feitas uma medida da posição de uma partícula com uma incerteza (∆x) e uma medida simultânea do seu momento com uma incerteza (∆p) o produto das duas incertezas nunca pode ser menor incerteza (∆p) o produto das duas incertezas nunca pode ser menor que ћ/2:
π
2
2
h
p
x
i
i
=
≥
∆
∆
h
h
Considere uma partícula para a qual conhecemos exatamente o
comprimento de onda λ.
De acordo com as relações de “de Broglie”:
Conheceríamos o momento com precisão infinita.
Existiria por todo o espaço uma onda com o comprimento de onda λ.
Qualquer região ao longo dessa onda significa a mesma coisa que
p
h
=
λ
Qualquer região ao longo dessa onda significa a mesma coisa que qualquer outra região.
Se nos perguntamos, onde está a partícula representada por esta onda?
Nenhuma localização especial no espaço ao longo da onda poderia ser identificada com a partícula, pois todos os pontos ao longo da onda são idênticos.
…
Assim temos uma incerteza infinita na posição da partícula.
Um conhecimento perfeito do momento custa toda a informação quanto à posição.
…
cte
h
p
λ
=
Em comparação, considere agora uma partícula com alguma incerteza no momento, de tal forma que seja possível um intervalo de momentos
∆p o que implica um intervalo de comprimentos de onda ∆λ.
Assim a partícula não é representada por um único comprimento de onda,
λ
λ
p
h
p
h
=
⇔
=
Assim a partícula não é representada por um único comprimento de onda, mas por uma combinação de comprimentos de onda neste intervalo.
Para determinar a posição da partícula, podemos dizer que ela está em algum ponto na região definida pelo pacote de onda, pois exite uma nítida diferença entre esta região e o restante do espaço.
Assim ao perder parte da informação quanto ao momento da partícula,
Exemplo 28.8 Localizando um elétron
É medida a velocidade de um elétron como sendo: Dentro de quais limites pode-se determinar a
posição desse elétron ao longo da direção de seu vetor velocidade?
s
m
v
s
m
v
e e)
15
.
0
00
,
5000
(
%)
003
.
0
10
0
.
5
(
3±
=
±
×
=
(
Kg
)
m
m
p
e
e
e
31
10
11
.
9
v
−
×
=
=
=
(
)
e
p
x
x
p
∆
≥
∆
⇒
≥
∆
∆
2
2
h
h
Exemplo 28.8 Localizando um elétron
É medida a velocidade de um elétron como sendo: Dentro de quais limites pode-se determinar a
posição desse elétron ao longo da direção de seu vetor velocidade?
Solução: O momento do elétron é:
Assumindo a incerteza do momento, como sendo igual à incerteza da velocidade
s
m
v
s
m
v
e e)
15
.
0
00
,
5000
(
%)
003
.
0
10
0
.
5
(
3±
=
±
×
=
(
)
(
)
s
m
Kg
s
m
Kg
v
m
p
e e⋅
×
=
×
⋅
×
=
=
− − 27 3 3110
56
.
4
10
5
10
11
.
9
Assumindo a incerteza do momento, como sendo igual à incerteza da velocidade Temos:
Pode-se agora calcular a incerteza mínima na posição usando-se o valor de ∆p na
equação:
s
m
Kg
p
p
=
=
×
⋅
∆
−3110
37
.
1
00003
.
0
mm
m
s
m
kg
s
J
p
x
x
p
384
.
0
10
384
.
0
10
37
.
1
2
10
05
.
1
2
2
3 31 34=
×
=
⋅
×
⋅
×
=
∆
≥
∆
≥
∆
∆
− − −h
h
Exercício 27: Um elétron e um projétil têm, cada um, uma velocidade de
magnitude 500m/s exata com aproximação de 0.0100%. Dentro de quais limites poderíamos determinar a posição dos corpos ao longo da direção da velocidade? Conhecendo os valores das respectivas massas:
v
0200
.
0
10
11
.
9
31m
p
Kg
m
Kg
m
p e=
=
×
=
−π
2
2
p
x
h
=
=
∆
∆
h
h
Exercício 27: Um elétron e um projétil têm, cada um, uma velocidade de
magnitude 500m/s exata com aproximação de 0.0100%. Dentro de quais limites poderíamos determinar a posição dos corpos ao longo da direção da velocidade? Conhecendo os valores das respectivas massas:
Para o elétron:
Kg
m
Kg
m
p e0200
.
0
10
11
.
9
31=
×
=
−(
)
(
)
(
)
(
J s)
h s m Kg m p s m Kg m p e e 10 63 . 6 10 56 . 4 v 10 00 . 1 / 500 10 9.11 v 34 32 4 31 -⋅ × × = ∆ = ∆ = × × = ∆ = ∆ − − − Para o projétil:(
)
mm s m Kg s J p h x 1.16 10 56 . 4 4 10 63 . 6 4 32 34 = ⋅ × ⋅ × = ∆ = ∆ − −π
π
(
)(
)
(
)
(
)
m s m Kg s J p h x s m Kg m p s m Kg m p e e 32 3 34 3 4 10 8 . 5 10 0 . 1 4 10 63 . 6 4 10 0 . 1 v 10 00 . 1 / 500 0.0200 v − − − − − × = ⋅ × ⋅ × = ∆ = ∆ × = ∆ = ∆ = × = ∆ = ∆π
π
A forma matemática do princípio da incerteza afirma que o produto das incertezas na posição e no momento sempre será maior que um valor mínimo.
Pode ser gerada uma outra forma do princípio da incerteza reconsiderando a figura com o tempo
no eixo “x” no lugar da posição.
Podemos considerar os mesmos argumentos, utilizados para o comprimento de onda (momento) e a posição, no domínio temporal. (momento) e a posição, no domínio temporal. As variáveis correspondentes seriam a frequência e o tempo.
A frequência está relacionada com a energia por:
2
:
é
forma
nesta
incerteza
de
princípio
o
e
h
≥
⋅
=
∆E∆t
f
h
E
Se combinamos um grande número de ondas a probabilidade de um valor positivo na função de onda em qualquer ponto “x” é a mesma que a probabilidade de um valor negativo.
Se cada onda nova é adicionada de modo que
Interferência máxima em x=0
Se cada onda nova é adicionada de modo que sua crista coincida com as demais ondas em x=0, a pequena região de interferência construtiva é denominada pacote de onda. Esta é uma região localizada do espaço que é diferente de todas as outras.
Aquí, podemos assumir o pacote de ondas como uma partícula.
CAPÍTULO 28: Física Quântica
O Princípio da Incerteza
Interpretação da Mecânica Quântica
Uma partícula livre e em uma caixa
Função de Onda e Valor Esperado
Função de Onda e Valor Esperado
A Equação de Schrödinger
Tunelamento através de uma Barreira de Energia
Potencial
Lista de exercícios sugerida – Capítulo 28:
UMA INTERPRETAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA
Analogias permitem tratar radiação eletromagnética como corpúsculo… Vimos que o número de elétrons (portador de carga) por unidade de tempo é proporcional à intensidade de corrente elétrica.
tempo)
o
com
carga
de
variação
de
taxa
-(derivada
dt
dQ
I
=
Definição de carga está normalmente relacionada com elétrons, prótons, íons.
Definição de corrente: fluxo de carga por unidade de tempo.
Definição de corrente: fluxo de carga por unidade de tempo.
Suponhamos que a carga “q” se move através de uma seção transversal A de um arame (fio), em um tempo t, então a intensidade de corrente “I” através do arame é dada por:
elétrons
de
número
10
24
.
6
1
1
1
)
(
18 −×
=
∆
=
e
C
s
C
t
NQ
A
I
UMA INTERPRETAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA
Analogamente, considerando o fóton como portador de radiação
eletromagnética, o número de fótons (NF) por unidade de área (A-2D) volume (V-3D) é proporcional à intensidade da radiação:
V
ade
probabilid
V
NF
I
α
α
−×
=
∆
=
e
C
s
C
t
NQ
A
I
1810
24
.
6
1
1
1
)
(
Dito de outra maneira,
a probabilidade de encontrar um fóton por unidade de volume, em uma certa região do espaço, em um certo instante de tempo é
proporcional ao número de fótons por unidade de volume
Recordando que a intensidade da radiação eletromagnética é proporcional ao quadrado do campo elétrico:
V
ade
probabilid
α
E
I
α
2
×
=
e
C
6
.
24
10
1
Ondas eletromagnéticas transportam energia e a taxa de fluxo de energia atravessando uma unidade de área “A” é descrita pelo vetor de pointing “S”
B
E
S
r
r
r
×
=
=
01
µ
2 2 0:
formular
podemos
também
sendo
,
:
caso
neste
assim
,
sí
entre
lares
perpendicu
são
e
plana.
ética
eletromagn
onda
uma
para
Calculando
µ
cB
E
c
E
B
EB
S
EB
B
E
B
E
S
=
=
=
×
⇒
r
r
r
r
r
(
)
0 2 max 0 2 max 0 max max 2 0 2 0 22
2
2
:
é
onda
da
e
intensidad
a
ou
de
médio
valor
o
forma,
Desta
.
2
1
a
igual
é
que
cos
de
temporal
média
a
involve
Isso
e.
intensidad
a
é
ciclos
mais
ou
um
por
de
temporal
média
A
tempo.
de
instante
a
aplicam
se
que
para
equações
µ
µ
µ
ω
µ
µ
cB
c
E
B
E
S
I
S
t
kx
S
S
cB
c
E
S
=
=
⋅
=
=
−
∀
=
=
A probabilidade por unidade de volume de localizar uma “partícula” associada com essa radiação (o fóton) pode ser assumida como proporcional ao quadrado de uma amplitude da onda.
V
ade
probabilid
α
E
I
α
2
( )
(
)
( )
x
t
E
(
kx
t
)
E
I
t
kx
E
t
x
E
ω
α
ω
−
=
−
=
cos
,
cos
,
2 2 2r
r
0 1Assumindo a dualidade onda-partícula, a probabilidade de encontrar uma partícula, por unidade de volume, pode ser assumida proporcional ao quadrado da amplitude da onda representando a partícula.
( )
t
x
k
t
kx
t
x
E
ω
λ
π
λ
π
ω
=
⇒
=
=
⇒
2
2
,
2 max 12
h
≥
∆
∆
p
x
2
(
)
(
x
y
z
t
)
z
y
x
x
,
,
,
E
p,
v,
,
,
ψ
ψ
≈
≈
2
2
A
ade
probabilid
α
E
I
α
α
Na verdade, a amplitude da onda associada a uma partícula não é uma
grandeza física e portanto não é mensurável como é o campo elétrico
para uma onda eletromagnética.
A única conexão é a analogia dada pela equação:
A
V
α
E
I
α
α
Como resutado disso, chamamos simplesmente a amplitude da onda associada à partícula de
A função de onda é a descrição matemática mais completa possível para um sistema regido pela mecânica quântica.
Na mecânica clássica a descrição completa de um sistema consistia em determinar a posição e a velocidade de todas as
partículas e, com esta descrição, ser possível prever todos os movimentos futuros e passados do sistema.
Na mecânica quântica não se pode determinar todas as
grandezas desejadas com a mesma certeza (Princípio da Incerteza).
De acordo com a mecânica quântica, a descrição do sistema termina ao nível da função de onda, com a idéia de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição.
A função de onda
é uma ferramenta matemática criada a partir de Leis da Física
que contém (gera) informação espacial da partícula.
Uma função de onda mais completa deve depender também do tempo,
representada por uma expressão do tipo:
Já vimos que, a equação de “de Broglie” relaciona o momento de uma
(
x
,
y
,
z
)
ψ
(
x
,
y
,
z
,
t
)
ψ
(
x
y
z
)
r
r
,
,
V d rJá vimos que, a equação de “de Broglie” relaciona o momento de uma partícula com seu comprimento de onda.
Se uma partícula livre ideal tem um momento “p” conhecido com precisão sua função de onda é uma onda senoidal com comprimento de onda:
e a partícula tem uma probabilidade igual de estar em qualquer ponto do espaço
λ
h
p
=
p
h
=
λ
∞
−
+
∞
A função de onda para tal partícula livre deslocando-se ao longo do eixo “x” pode ser escrita na forma:
Embora não podemos medir “ψ”, podemos medir uma densidade de
probabilidade que é a probabilidade relativa por unidade de volume de
encontrar a partícula em qualquer ponto de volume.
Substituindo dV por dx e r por x temos:
( )
d
V
r
r
2r
Ψ
V d r( )
x
Asen
x
=
Asen
( )
kx
=
λ
π
ψ
2
Substituindo dV por dx e r por x temos:
Como a partícula tem que estar em algum lugar do espaço
Ao longo do eixo “x” a soma das probabilidades sobre todos os valores de “x” é
Qualquer função de onda que satisfaça esta condição é dita normalizada
(
x
y
z
)
r
r
,
,
V d%
100
1
2=
≡
∫
+∞ ∞ −dx
ψ
( )
x
dx
dx
P
=
ψ
2
∞
−
+
∞
A função de onda para tal partícula livre deslocando-se ao longo do eixo “x” pode ser escrita na forma dependente do tempo como:
Embora não podemos medir “ψ”, podemos medir a densidade de
probabilidade que é a probabilidade relativa por unidade de volume de
encontrar a partícula em qualquer ponto de volume.
Substituindo dV por dx e r por x temos:
( )
d
V
r
r
2r
Ψ
V d r( )
x
t
Asen
x
π
ft
Asen
(
kx
ω
t
)
λ
π
ψ
=
−
−
=
2
2
,
Substituindo dV por dx e r por x temos:
Como a partícula tem que estar em algum lugar do espaço
Ao longo do eixo “x” a soma das probabilidades sobre todos os valores de “x” é
Qualquer função de onda que satisfaça esta condição é dita normalizada
(
x
y
z
)
r
r
,
,
V d1
2=
∫
∞ + ∞ −dx
ψ
( )
x
dx
dx
P
=
ψ
2
2
ψ
∫
=
a
b
ab
dx
P
ψ
2
Embora não seja possível especificar a posição de uma partícula com certeza absoluta, é possível, através de especificar a probabilidade de
observá-la em uma pequena região ao redor de um certo ponto.
A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo a – b (a<x<b) é:
2
ψ
Esta probabilidade é a área sobre a curva de em função de “x” entre os pontos x=a e x=b.
Experimentalmente esta probabilidade é finita. O valor desta probabilidade tem que estar entre 0 e 1 (conjunto dos números reais positivos).
Exercício 33 - Seção 28.9: Uma interpretação da Mecânica Quântica
Um elétron livre tem uma função de onda: Onde “x” está em metros.
Encontre:
(a) o comprimento de onda de De Broglie (b) o momento linear
(c) a energia cinética em elétron-Volt
( )
x
=
Asen
(
5
.
00
×
10
10
x
)
ψ
( )
h
p
x
Asen
x
2
=
=
λ
π
ψ
eV
J
m
p
K
Kg
s
J
h
h
p
18
2
31
-34
10
24
.
6
1
2
10
9.11
m
10
63
.
6
×
⇒
=
×
=
⋅
×
=
=
−
λ
Exercício 33 - Seção 28.9: Uma interpretação da Mecânica Quântica
Um elétron livre tem uma função de onda: Onde “x” está em metros.
Encontre:
(a) o comprimento de onda de De Broglie (b) O momento linear
(c) A energia cinética em elétron-Volt
( ) ( )
x Asen x Asen(
x)
2 10 00 . 5 2 a 1 10 10 × = × = = − − − π λ π ψ( )
( )
(
)
eV eV J J J Kg s m Kg m p K Kg c s m kg m s J h p m m 5 . 95 10 602 . 1 10 52 . 1 10 52 . 1 10 11 . 9 2 10 27 . 5 2 10 9.11 m 10 27 . 5 10 26 . 1 10 63 . 6 b 10 26 . 1 10 00 . 5 2 10 00 . 5 2 então, 19 17 17 31 24 2 31 -24 10 34 10 10 1 10 = × × = × = × × ⋅ × = = × = × = × ⋅ × = = × = × = × = − − − − − − − − − − − − λ π λ λπExercício 32 - Seção 28.9: Uma interpretação da Mecânica Quântica
A função de onda para uma partícula livre é:
Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada em algum lugar entre x = -a e x = +a
( )
+∞
<
<
∞
>
+
=
x
e
0
a
para
)
(
x
2a
2a
x
π
ψ
Sabendo que:∫
=
+
a
x
arctg
a
x
a
dx
1
2
2
Exercício 32 - Seção 28.9: Uma Interpretação da Mecânica Quântica
A função de onda para uma partícula livre é:
Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada em algum lugar entre x = -a e x = +a
( )
+∞
<
<
∞
>
+
=
x
e
0
a
para
)
(
x
2a
2a
x
π
ψ
( )
(
)
( )
[
]
1
2
4
4
1
1
tan
1
tan
1
tan
1
x
1
1
1
2
2
2
=
−
−
=
−
−
=
=
+
=
=
−
−
+
−
−
+
−
−
∫
∫
π
π
π
π
π
π
ψ
P
a
x
a
a
dx
a
a
x
P
a
a
a
a
a
a
UMA PARTÍCULA EM UMA CAIXA
(a) Uma partícula de massa “m” e velocidade “v”, sendo refletida para a frente e para tras entre duas paredes impenetráveis.
UMA PARTÍCULA EM UMA CAIXA
Uma partícula de massa “m”, velocidade “v” e momento p=mv sendo refletida para a frente e para trás entre duas paredes impenetráveis, onde
a função energia de potencial é representada por um poço de potencial de zero a infinito.
UMA PARTÍCULA
EM UMA CAIXA
, a qual
tem que satisfazer as condições de contorno nas paredes
π
n
( )
(
)
( )
=
=
⇔
=
⇒
=
=
=
=
=
L
L
L
L
x
x
Asen
x
π
λ
π
π
π
ψ
ψ
λ
π
ψ
2
2
2
2
0
0
2
( )
( )
=
=
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
⇔
=
=
L
x
n
Asen
n
L
x
Asen
x
Asen
x
L
n
L
n
L
n
n
L
n
L
n
L
L
Asen
L
π
π
λ
π
ψ
λ
λ
λ
π
π
λ
π
λ
π
λ
π
ψ
2
2
2
3
2
3
;
2
;
2
1
2
2
2
2
0
UMA PARTÍCULA EM UMA CAIXA
2
2
2
=
=
=
=
L
nh
L
h
h
p
n
L
λ
λ
1,2,3...)
(n
8
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
n
mL
h
L
nh
m
m
p
mv
E
L
n
L
p
n
λ
Quantização de energia
EXEMPLO 28.9: Um elétron ligado.
Um elétron esta confinado entre duas paredes impenetráveis separados por 0.2nm. Determine as energias permitidas da partícula para os estados quânticos descritos por n=1,2,3.
Kg
m
e
31
10
11
.
9
×
−
=
−2
2
=
=
=
L
nh
n
L
h
h
p
λ
1,2,3...)
(n
8
2
2
1
2
v
2
1
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
n
mL
h
L
nh
m
m
p
m
E
L
n
n
λ
EXEMPLO 28.9: Um elétron ligado.
Um elétron esta confinado entre duas paredes impenetráveis separados por 0.2nm. Determine as energias permitidas da partícula para os estados quânticos descritos por n=1,2,3.
1,2,3...)
(n
1
1
2
2
2 2 2 2 2=
=
=
=
=
=
=
=
n
h
nh
p
mv
E
L
nh
n
L
h
h
p
nλ
(
)
(
) (
)
9.42eV
J
10
1.51
10
2
10
9.11
8
10
6.63
1
8
:
temos
1,
n
para
10
11
.
9
1,2,3...)
(n
8
2
2
2
2
18 -2 10 31 -2 34 -2 2 2 1 31 2=
×
=
×
⋅
×
⋅
⋅
×
=
=
=
×
=
=
=
=
=
=
− = − −m
Kg
s
J
mL
h
E
Kg
m
n
mL
L
m
m
mv
E
n e nEXERCÍCIO 35, seções 28.10 e 28.11, A partícula quântica em uma caixa sob condições de contorno
Um elétron está contido em uma caixa unidimensional com largura de 0.100nm.
(a) Trace um diagrama dos níveis de energia para o elétron com níveis até n=4.
(b) Encontre os comprimentos de onda de todos os fótons que podem ser emitidos pelo elétron ao realizar transições espontâneas que poderiam levá-lo, eventualmente, do estado n=4 para o estado n=1
