Exemplo 1 Dimensionamento ELU – Força Cortante
1. Esquema estrutural, geometria, cargas e resistências
O presente exemplo mostra a rotina de dimensionamento à força cortante sem que seja necessário desenhar a treliça resistente a partir da qual o modelo foi desenvolvido. Ver a bibliografia indicada no item 5.
2,25 m 4,50 m 3,00 m qd=35 kN/m Q2d=147 kN Q1d=126 kN A B D C RA,d=162,75 kN RB,d=372,75 kN x x´
Fig. 1: Geometria e cargas aplicadas na face superior da viga.
Os dados do problema são os seguintes: Geometria:
Seção retangular b/h/d/d′=150/850/765/85mm
Placas de apoio em A, B, C e D: a0/b0 =200/150mm
Cobrimento do estribo: c=30mm
Diâmetros do estribo e da armadura longitudinal: φt/φl =6,3/16 Resistências:
Aço CA-50: fyk = fywk =500MPa, fyd = fywd =435MPa
Concreto: MPa f MPa fck cd 18,21 4 , 1 30 85 , 0 85 , 0 , 30 = = = ) ( 16 ) 250 1 ( 85 , 0 1 Tirantes e Escoras das Método no comprimido banzo do a resistênci da cálculo de valor MPa f f f c ck ck cd = − γ = ) ( 2 , 11 7 , 0 1
2 f MPa valordecálculodaresistênciadoconcretodaalma
) ( 38 , 1 ), inf ( 93 , 1 2 , 0 ), ( 9 , 2 3 , 0 inf , 3 / 2 inf , 3 / 2 direta tração à a resistênci da cálculo de valor MPa f f direta tração à a resistênci da erior tico caracterís valor MPa f f direta tração à a resistênci da médio valor MPa f f c ctk ctd ck ctk ck ctm = = = = = = γ
2. Diagramas dos esforços solicitantes
1 2 3 4 121,8 143,9 184,8 147,0 225,75 162,75 106,8 106,8 EF6,3 c/ 25 EF6,3 c/ 30 Ec/ 20F6,3 Ec/ 15F6,3 EF6,3 c/ 20 zcotθ=1,17m 1,17m zcotθ=1,17m Vd (kN) 0,43 m 1,40 m 1,10 m 330,75 330,75 Md (kNm) al=0,5zcotθ 0,5IVdIzcotθ al=0,5zcotθ al=0,5zcotθ -+
Fig. 2: Diagramas dos esforços solicitantes e armadura transversal para força cortante.
3. Dimensionamento à flexão
No exemplo, para facilitar, escolheu-se a geometria e as cargas de modo que
kNm M
Md min d 330,75
max + = − = . O momento relativo, usando as unidades , é igual a:
mm e N
207 , 0 2 , 18 765 150 10 75 , 330 85 , 0 max 2 6 2 × × = × = = cd d d f bd M μ
Taxa mecânica da armadura: 1 1 2 0,234 85 , 0 = − − = = d cd yd s d f f bd A μ ω Área da armadura: 2 1126 435 21 , 18 765 150 234 , 0 mm As = × × = . Adota-se em 3 camadas. 2 1200 16 6φ = mm
Na flexão simples com armadura simples a taxa mecânica é igual à altura relativa do bloco de tensões, i.e., = =0,234
d y d
ω . Portanto, o braço de alavanca das forças internas na seção de momento máximo é igual a:
mm d y d y d z= −0,5 = (1−0,5 )=765(1−0,5×0,234)=765×0,883=675
Este braço é também a altura da seção resistente à força cortante. (A NBR 6118: 2003, no item 17.4 adota implicitamente z=0,9d, com o que os dimensionamentos à força cortante e à flexão ficam desacoplados).
Fl=16 mm ev=25 mm c=30 mm Ft=6,3 mm 44,3 mm 85,3 mm 126,3 mm d´=85,3 mm CGs Seção B (apoio) Seção C (vão interno)
Ganchos dos estribos na região comprimida
Fig. 3: Armadura longitudinal nas seções críticas.
4. Dimensionamento à força cortante
4.1 Escolha do ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas (ou do campo diagonal de compressão):
Escolhe-se θ =30º, donde cotθ =1,732, tanθ =0,577,
m zcotθ =0,675×1,732=1,17 .
4.2 Verificação da segurança do concreto da alma contra esmagamento
A máxima tensão de compressão nas diagonais pode, a favor da segurança, ser calculada pelo máximo valor da força cortante que ocorre na viga. Ver a observação (c) do item 4.7. À esquerda do apoio B, tem-se:
MPa f MPa f z b V cd cwd cd w d cwd 2 , 11 1 , 5 ) 732 , 1 577 , 0 ( 675 150 10 75 , 225 ) cot (tan 2 3 2 = ≤ = + × × = ≤ + = σ θ θ σ (1)
Além disso, para calcular o máximo espaçamento dos estribos verticais, compara-se s cwd σ com fcd 7,5MPa 3 2 2 = . Como MPa f MPa cd cwd 7,5 3 2 1 , 5 < 2 = = σ então mm mm mm d s 300 300 459 765 6 , 0 6 , 0 min max = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = × = = (2)
4.3 Armadura transversal mínima (estribos verticais, sinα =1)
m mm mm mm b f f s A w ywk ctm sw 2 2 min 150 0,174 174 500 9 , 2 20 , 0 2 , 0 ) ( = = × × = =
Usando estribos φt =6,3 de 2 ramos, tem-se a área de um estribo igual a . Logo, o espaçamento correspondente à armadura transversal mínima é igual a:
2 63 5 , 31 2 mm Asw= × = m s 0,36 17463 = =
Mas o máximo valor permitido é . Portanto, mantendo o diâmetro do
estribo, a armadura mínima efetiva vale: m 30 , 0 mm mm s A ef sw 2 min, 0,21 300 63 ) ( = =
A força cortante correspondente é:
kN f z s A V ef ywd sw Rd ( ) ( cot ) 0,21 1169 435 10 106,8 3 min, min , = × × = × × × = − θ (3)
Este valor está indicado na Figura 2 no gráfico da força cortante , o que possibilita saber onde será usada a armadura mínima.
d V
4.4 Cálculo da armadura transversal superior à mínima
Do gráfico de mostrado na Figura 2, observa-se que há 3 segmentos da viga com armadura acima da mínima. Cada um dos 3 segmentos é subdividido em trechos de extensão
d V
m
zcotθ =1,17 . Como a carga é aplicada na face superior da viga, toma-se em cada trecho o menor valor da força cortante, para obter a armadura correspondente. Ver o cálculo na Tabela 1 seguinte. P.ex., para o trecho 3, tem-se
m mm s Asw 3 2 363 435 17 , 1 10 8 , 184 = × × = .
Tabela 1: Cálculo da armadura transversal.
Trecho Vd (kN) ( ) cot 2 m mm f z V s A ywd d sw θ
= estribo de 2 ramos Espaçamento do 3 , 6 = t φ 1 121,8 239,5 25cm 2 143,9 idem4 20cm 3 184,8 363 15cm 4 147 289 20cm
4.5 Força a ancorar no apoio A (onde Md =0):
A força no banzo tracionado, para α =90º, é dada pela seguinte expressão:
θ cot 5 , 0 d d sd V z M R = + (4)
No apoio A, sendo nulo o momento fletor, resulta a força a ancorar:
kN Rsd,A =0+0,5×162,75×1,732=141
Um valor mais preciso desta força leva em consideração a largura do apoio, cf. mostra a Figura 4. O ângulo
mm a0 =200
a
θ da diagonal do apoio (resultante de compressão do leque) é dado por:
1 ) 675 1169 200 ( 2 1 cot 2 1 cot = 0+ = + = z z a a θ θ º 45 = a θ (5)
Consequentemente, a força a ancorar no apoio A é igual à própria reação, ou seja, Rsd,apoio =RA,d =162,75kN. ao cot 2 cot θ z ao 2 qd a θ 2 cotθ cot z θ z rswd z θ θ z sd,apoio R Ad R cw R A kN Rsd,apoio=162,75 kN RAd =162,75 kN Rcw=162,75 2=230,2 º 45 = a θ
Fig. 4: (a) Forças no leque, (b) Equilíbrio do nó A.
A máxima tensão de compressão na diagonal que representa o leque ocorre junto à placa de apoio, e resulta dividindo-se a força pela área da placa projetada na ortogonal à direção dessa força, ou seja:
cw R MPa f MPa a b R cd a cw cwd 10,9 11,2 º 45 sin 200 150 10 2 , 230 sin 2 3 0 0 = ≤ = × × × = = θ σ (6)
Nesta expressão foi desconsiderada, a favor da segurança, a altura do banzo tracionado.
Fig. 5: Forças nos leques do apoio B. y a0 a0´ a0´´ RBd=372,75 kN VBd,esq=225,75 kN VBd,dir=147 kN esq a, θ V=0 Rcw,esq esq cwd , σ
No apoio B, tem-se a reação RBd =372,75kN e leques correspondentes às forças cortantes à esquerda e à direita desse apoio. Ver a Figura 5.
A parcela da largura da placa correspondente à força cortante à esquerda de B vale 0 a mm a a a 0,606 121,2 75 , 372 75 , 225 0 0 0 = = = ′ . Portanto, 956 , 0 ) 675 1169 200 606 , 0 ( 2 1 ) cot 606 , 0 ( 2 1 cot 0 , = + × = + = z z a esq a θ θ ou θa,esq =46,3º.
Deste ângulo resulta a força na diagonal esquerda, a saber,
kN V R esq a esq Bd esq cw 312,3 sin , ,
, = θ = . Por outro lado, a largura da diagonal,
considerando-se a altura y=0,234×765=179mm do bloco de tensões obtida no
dimensionamento à flexão, é igual a
mm y
a′0sinθa,esq + cosθa,esq =121,2sin46,3º+179cos46,3º=211 . Logo, a tensão na diagonal comprimida do leque esquerdo é:
MPa f MPa y a b R cd esq a esq a esq cw esq cwd 9,9 16 211 150 10 3 , 312 ) cos sin ( 1 3 , , 0 0 , , = ≤ = × × = + ′ = θ θ σ (6)
Neste caso, o limite de tensão ( , ao invés de ) é maior porque no nó que se forma na base da viga em B só chegam forças de compressão. (Há aqui uma pequena incoerência, embora com pouca influência nos resultados, porque no dimensionamento à flexão foi usada a resistência ao invés de ). 1 cd f fcd2 cd f 85 , 0 1 cd f
4.6 Força nos banzos tracionados
A força nos banzos tracionados (são dois no exemplo) depende tanto do momento fletor quanto da força cortante. Para considerar isto, há duas alternativas, cf. consta no item 17.4.2.2c da NBR 6118: 2003, descritas a seguir.
1ª. Alternativa: Considera-se o diagrama da força no banzo tracionado, dada pela Equação 4, onde o momento deve entrar com seu sinal. Mas a força cortante é tomada em módulo, pois sempre produz tração nos dois banzos.
d M θ cot 5 , 0 d d sd V z M R = + onde z=0,675m e cotθ =1,732.
No exemplo, para facilitar a obtenção de , pode-se equacionar os esforços solicitantes como segue, em unidades :
Sd R
m e kN
x V x x M d d 35 75 , 162 5 , 17 75 , 162 2 − = − = para 0≤x≤3m (7) x V x x M d d 35 75 , 36 5 , 17 75 , 36 378 2 − = − + = para 3≤x≤5m (8) 147 147 = ′ − = d d V x M para 0≤x′≤2,25m (9)
2ª. Alternativa: Usa-se o próprio diagrama de momento fletor, deslocando-o a partir dos momentos extremos para ambos os lados da viga de uma quantia igual a: l a θ cot 5 , 0 z al = (10)
Esta expressão é válida para o caso de estribos verticais (α =90º,cotα =0). A segunda alternativa é a mais comumente usada no Brasil, e é equivalente à primeira se a força cortante for constante. Ver a Figura 2.
A NBR 6118 usa a denominação decalagem do diagrama de , para levar em consideração o aumento da força do banzo tracionado por influência da
força cortante.
d M
4.7 Observações adicionais
Procura-se esclarecer alguns pontos da teoria usada, para mostrar a coerência com expressões do item 17.4 da NBR 6118: 2003.
(a) A segurança do concreto da alma da viga contra esmagamento é verificada indiretamente na NBR 6118 através da comparação da força cortante solicitante com a máxima força cortante resistente . Esta é obtida a partir da máxima resistência do concreto da alma como segue. A tensão principal de compressão da diagonal inclinada, em caso de estribos verticais, é dada pela Equação 1:
Sd V VRd2 2 cd f 2 ) cot (tan cd w d cwd f z b V ≤ + = θ θ σ
Pondo z=0,9d, e fcd2 =0,6αvfcd, onde 250 1 ck v f − = α , com em , a
máxima força cortante resistente resulta explorando-se da resistência do concreto da alma. Esta força cortante resistente, indicada por , decorre da expressão anterior.
ck f MPa % 100 2 cd f VRd2 θ α θ θ α θ θ α θ θ α θ θ 2 sin 27 , 0 cos sin 54 , 0 cot ) (sin 54 , 0 cot tan 9 , 0 6 , 0 cot tan ) 9 , 0 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 d b f d b f V d b f d b f d b f V w cd v w cd v Rd w cd v w cd v w cd Rd = = = + × = + = (11)
Esta expressão aparece no item 17.4.2.3, para o modelo II de dimensionamento. No item 17.4.2.2, para o modelo I de dimensionamento, onde se desconta da força cortante solicitante a parcela transmitida por atrito na fissura inclinada, a inclinação da diagonal comprimida é tomada igual a c V º 45 = θ , donde sin2θ =1.
Em qualquer caso, cf. a NBR 6118, a condição de segurança do concreto é:
2
Rd
Sd V
V ≤ (12)
onde os subscritos e S R significam respectivamente solicitante e resistente.
(b) A decalagem do diagrama do momento fletor é dada no item 17.4.2.2c da NBR 6118 pela seguinte expressão:
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = (1 cotα) cotα ) ( 2 ,max max , c Sd Sd l V V V d a (13)
Para estribos verticais, cot90º=0.
É possível mostrar (cf. o trabalho anexo) que entre os ângulos de inclinação das diagonais comprimidas (ou do campo de compressão) e das fissuras da alma existe a seguinte relação:
c Sd Sd cr V V V − = θ θ cot cot (14)
onde na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção, cf. o item 17.4.2.2 da NBR 6118.
d b f Vc =0,6 ctd w
Como, na flexão simples, a inclinação das fissuras da alma é aproximadamente º
40 =
cr
θ , resulta, após substituir (14) em (13):
θ θ θ cot 2 1 cot ) 84 , 0 ( 2 1 0 ) 0 1 ( º 40 cot 2 cot z d d al ⎥⎦= ≅ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − = (15)
(c) A verificação da segurança do concreto, a rigor, deve ser feita tanto no leque de apoio, quanto no primeiro paralelogramo. No leque é obrigatório atender duas condições:
(1) Ancoragem adequada da armadura longitudinal necessária no apoio.
(2) A máxima tensão de compressão no leque (junto à placa de apoio) deve ser inferior a fcd2.
Com isto, no primeiro paralelogramo (anexo ao leque), a força cortante deve descontar a carga situada no segmento zcotθ . No exemplo, no primeiro paralelogramo próximo ao apoio A, tem-se:
kN z
q R
Vd = Ad − d cotθ =162,75−35×1,17=121,8 Analogamente, à esquerda do apoio B resulta:
kN z
q V
Vd = Bd,esq − d cotθ =225,75−35×1,17=184,8
Estes valores são os mesmos usados na Tabela 1 para o dimensionamento da armadura transversal.
(d) O ângulo θ de inclinação do campo de compressão pode ser escolhido livremente entre 45º e 18,4º, correspondendo a cotθ =1 e cotθ =3. Para as peças em concreto armado, sem força normal de compressão, é recomendável escolher cotθ entre 1 e , correspondente à faixa de a . Ângulos menores que este último podem ser adotados nas peças protendidas, ou naquelas com força normal de compressão, e que sejam dimensionadas para
não fissurar em serviço.
2 45º 26,6º
(e) É possível escolher o ângulo θ de modo a obter uma proximidade com o dimensionamento do método I da NBR 6118: 2003 (o mesmo da antiga NB1-78), através da equação (pondo θcr =1):
Sd c c Sd Sd cr V V V V V − = − = 1 1 cot cotθ θ (16)
Nesta equação, cf. o item (b), Vc =0,6fctdbwd, tomando-se para , a favor da
segurança, a força cortante de maior módulo no segmento considerado (ou na viga toda). Se a força cortante for constante na viga, resulta a mesma armadura transversal que a dada pelo método I.
Sd V
Como exemplo, considere-se o segmento em balanço da viga do exemplo, em que . Usando para a altura útil o valor do qual decorre a simplificação implícita na NBR, a saber,
kN VSd =147 m z d = /0,9=0,675/0,9=0,75 , obtém-se:
kN Vc 0,6 1,38 150 750 10 93,15 3 = × × × × = − Logo: 73 , 2 147 15 , 93 1 1 cot = − = θ ou θ =20,1º
Portanto, a armadura transversal calculada pela teoria usada no exemplo é:
m mm f z V s A ywd d sw 2 3 183 435 73 , 2 675 , 0 10 147 cot × × = × = = θ
Pelo método I da NBR 6118, desconta-se da força cortante a parcela , e dimensiona-se a armadura para
kN Vd =147 kN Vc =93,15 θ =45º, donde: m mm f z V V s A ywd c d sw 2 3 183 435 1 675 , 0 10 ) 15 , 93 147 ( º 45 cot × × = × − = − =
Como se vê, o resultado é o mesmo. Esta conclusão é válida se a força cortante for constante. Do contrário, o método apresentado leva a uma armadura pouco superior à obtida pelo método I. Entretanto, o ganho em clareza e simplicidade da teoria (igualmente aplicada na torção, no dimensionamento de chapas de concreto armado e protendido em geral, e no Método das Escoras e Tirantes) é grande. Além disso, a tensão no estribo em serviço, em presença de fissuras inclinadas, é menor.
5. Bibliografia
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de
estruturas de concreto - Procedimento: NBR 6118: 2003. Rio de Janeiro,
2003.
BUCHAIM, R. Estado Limite Último – Força Cortante. CTU - Departamento de Estruturas. UEL, Londrina, 2005. Disponível em:
