TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS

(1)

TRANSFORMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANOS

Profª. Érica S. Matos

Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

Parte III – Transformações nos Espaços Tridimensionais

(2)

TRANSLAÇÃO

O’ Z Y O X

(3)

TRANSLAÇÃO

Z Y O X Z Y O X Z Y O X Z Y O X O’

(4)

TRANSLAÇÃO

Z Y O X Z’ Y’ X’ O’ T_X T_Y T_Z

X’ = X + T

_X

Y’ = Y + T

_Y

Z’ = Z + T

_Z

(5)

EXERCÍCIO

Uma estação total foi instalada, centrada e calada na posição denominada de P1. A altura de instalação do instrumento foi de 1,437 m. Orientou-se o equipamento em relação à direção norte e, visou dois alvos de interesse (A1 e A2). Após, o processamento dos dados mensurados, obtiveram-se as seguintes informações:

a) Calcular as coordenadas tridimensionais dos alvos, utilizando um sistema

de coordenadas cartesianas tridimensionais cuja origem situa-se no ponto cardã da estação total, o eixo z na direção da vertical, apontando para o zênite, o eixo y na direção do norte e o eixo x completando o terno dextrogiro.

b) Calcular novas coordenadas tridimensionais dos alvos (X’,Y’,Z’),

transladando-se a origem do sistema para o alvo A1 e mantendo o novo sistema paralelo ao sistema anterior.

c) A partir do sistema definido no item anterior (X’,Y’,Z’), calcular novas

coordenadas tridimensionais dos alvos (X’’,Y’’,Z’’), transladando na vertical a origem do sistema para que esta seja coincidente com a coordenada Z do ponto P1 ocupado pela estação total.

Ponto ocupado Ponto visado Az Z di

P1 A1 204° 54’ 33” 85° 49’ 13” 34,771 m

(6)

a) Coordenadas no sistema XYZ

Origem no ponto cardã (𝑋₀ = 𝑌₀ = 𝑍₀ = 0,000 𝑚) 𝑋 = 𝑑𝑖 ∙ sen 𝑍 ∙ sen 𝐴𝑧 𝑌 = 𝑑𝑖 ∙ sen 𝑍 ∙ cos 𝐴𝑧 𝑍 = 𝑑𝑖 ∙ cos 𝑍 ALVO X(m) Y(m) Z(m) A1 -14,606 -31,453 2,534 A2 2,263 -54,753 -12,894 P1 O Z Y≡N X≡E 𝒉𝒊 = 𝟏, 𝟓𝟔𝟕 𝒎 A2

(7)

b) Coordenadas no sistema X’Y’Z’ Origem no ponto A1 𝑋′ = 𝑋 − 𝑋_𝐴1 𝑌′ = 𝑌 − 𝑌_𝐴1 𝑍′ = 𝑍 − 𝑍_𝐴1 ALVO X’(m) Y’(m) Z’(m) A1 0,000 0,000 0,000 A2 16,869 -23,300 -15,428 P1 Z’ Y’≡N X’≡E 𝒉𝒊 = 𝟏, 𝟓𝟔𝟕 𝒎 A2 A1≡O’

(8)

c) Coordenadas no sistema X”Y”Z”

Origem Z no ponto ocupado P1 (𝑍_𝑃1 = 0,000 𝑚) 𝑋" = 𝑋′ 𝑌" = 𝑌′ 𝑍" = 𝑍′ + 𝑍_𝐴1 =𝑍 + ℎ_𝑖 = 𝑍 + ℎ_𝑖 P1 Z’’ Y’’≡N X’’≡E 𝒉𝒊 = 𝟏, 𝟓𝟔𝟕 𝒎

A1 _{Vista em perfil (sem escala)}

𝑍_𝐴1

ALVO X”(m) Y”(m) Z”(m)

A1 0,000 0,000 3,971

(9)

ROTAÇÃO

Z Y O X Z’ Y’ X’

X Y Z  X’Y’Z’

Conjunto de rotações (combinações) Matrizes de rotação

(10)

ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO X

Z

Y O

(11)

ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO X

Z Y O X

θ

𝑅

₁

𝜃 =

1

0 cos 𝜃

0 sen 𝜃

0 0 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Z’ Y’

(12)

ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO Y

Z

Y

O

(13)

ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO Y

Z Y O X

𝑅

₂

𝜃 =

cos 𝜃

0 0 −sen 𝜃

1

0 sen 𝜃 0

cos 𝜃

X’ Z’

θ

(14)

ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO Z

Z

Y O

(15)

ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO Z

Z Y O X Y’ X’

𝑅

₃

𝜃 =

− sen 𝜃 cos 𝜃 0

cos 𝜃

sen 𝜃 0

(16)

REFLEXÃO DO EIXO X

Z

Y O

(17)

REFLEXÃO DO EIXO X

Z Y O X X’

𝑅1 =

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

(18)

REFLEXÃO DO EIXO Y

Z

Y O

(19)

REFLEXÃO DO EIXO Y

Y O X

𝑅2 =

1 0 −1 0

0

1

Y’ Z

(20)

REFLEXÃO DO EIXO Z

Z

Y O

(21)

REFLEXÃO DO EIXO Z

Y O X

𝑅3 =

1 0

0 1

0

0 0 0 −1

Z’ Z

(22)

RESUMO

𝑅

₂

𝜃 =

cos 𝜃

0 0 −sen 𝜃

1

0 sen 𝜃 0

cos 𝜃

𝑅3 =

1 0

0 1

0

0 0 0 −1

𝑅2 =

1 0 −1 0

0

1 𝑅1 =

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

𝑅

₃

𝜃 =

− sen 𝜃 cos 𝜃 0

cos 𝜃

sen 𝜃 0

0

1 𝑅

₁

𝜃 =

1

0 cos 𝜃

0 sen 𝜃

0 0 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Matrizes de reflexão Matrizes de rotação

CONVENÇÃO: (+) positivo  sentido anti-horário  dextrogiro

(23)

Modelo de Transformação BURSA-WOLF

𝑋

_𝑖

𝑌

_𝑖

𝑍

_𝑖

= (1 + 𝛿). 𝑅3 𝜀

𝑧

. 𝑅2(𝜀

𝑦

) . 𝑅1 𝜀

𝑥

.

𝑥

_𝑖

𝑦

_𝑖

𝑧

_𝑖

+

𝑥

₀

𝑦

₀

𝑧

₀

(24)

Modelo de Transformação BURSA-WOLF

𝑋

_𝑖

𝑌

_𝑖

𝑍

_𝑖

= (1 + 𝛿). 𝑅3 𝜀

𝑧

. 𝑅2(𝜀

_𝑅_𝜀𝑦

) . 𝑅1 𝜀

𝑥

.

𝑥

_𝑖

𝑦

_𝑖

𝑧

_𝑖

+

𝑥

₀

𝑦

₀

𝑧

₀

𝑅_𝜀 = _{− sen 𝜀}cos 𝜀𝑧 _𝑧 sen 𝜀_{cos 𝜀}_𝑧𝑧 0₀

0 0 1 cos(𝜀_𝑦) 0 −sen(𝜀_𝑦) 0 1 0 sen (𝜀_𝑦) 0 cos(𝜀_𝑦) 1 0 0 0 cos 𝜀_𝑥 sen 𝜀_𝑥 0 −𝑠𝑒𝑛 𝜀_𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜀_𝑥 OU

(25)

Modelo de Transformação BURSA-WOLF

Quando se tratarem de

pequenas rotações

, a seguinte simplificação

pode ser considerada:

𝐜𝐨𝐬(𝜺

_𝒊

) ≈ 𝟏 e 𝒔𝒆𝒏(𝜺

_𝒊

) ≈ 𝜺

_𝒊

De maneira que a matriz de rotação pode ser reescrita:

𝑹

_𝜺

=

𝟏 𝜺

_𝒛

−𝜺

_𝒚

−𝜺

_𝒛

𝟏 𝜺

_𝒙

𝜺

_𝒚

−𝜺

_𝒙

𝟏 𝑋

_𝑖

𝑌

_𝑖

𝑍

_𝑖

= (1 + 𝛿). 𝑅3 𝜀

𝑧

. 𝑅2(𝜀

_𝑅_𝜀𝑦

) . 𝑅1 𝜀

𝑥

.

𝑥

_𝑖

𝑦

_𝑖

𝑧

_𝑖

+

𝑥

₀

𝑦

₀

𝑧

₀

𝑅_𝜀 = _{− sen 𝜀}cos 𝜀𝑧 _𝑧 sen 𝜀_{cos 𝜀}_𝑧𝑧 0₀

0 0 1 cos(𝜀_𝑦) 0 −sen(𝜀_𝑦) 0 1 0 sen (𝜀_𝑦) 0 cos(𝜀_𝑦) 1 0 0 0 cos 𝜀_𝑥 sen 𝜀_𝑥 0 −𝑠𝑒𝑛 𝜀_𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜀_𝑥

(26)

EXEMPLO

Parâmetros de transformação entre ITFS e WGS84

(

http://itrf.ensg.ign.fr/

):

𝑹

_𝜺

=

𝟏 𝜺

_𝒛

−𝜺

_𝒚

−𝜺

_𝒛

𝟏 𝜺

_𝒙

𝜺

_𝒚

−𝜺

_𝒙

𝟏

translações rotações escala

(27)

TRANSFORMAÇÕES ENTRE SISTEMAS CARTESIANOS 3D

EXEMPLO

Monitoramento do prédio do ponto de vista estrutural

Crédito : PIMENTA, V. M. Disciplina de Prototipagem I - Maquete Virtual do Prédio da CT. Bacharelado em Expressão Gráfica, UFPR, 2015.

(28)

A4

A1

A2

A3

Determinação das coordenadas dos pontos dos alvos (𝐴𝑖) no sistema

XYZ, com origem no ponto cardã da Estação Total

Z

X O

(29)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’ X’ O’ Y’ A2 Z X O Y

(30)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’

X’ O’

Y’

A2

O sistema X’Y’Z’ é dextrogiro ou levogiro? Dextrogiro  sem reflexão

Z

X O

(31)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’

X’ O’

Y’

A2

Quantas translações e rotações serão necessárias para transformar o sistema XYZ no sistema X’Y’Z’?

Z

X O

(32)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’ X’ O’ Y’ A2

+𝑇

Z X O Y

Translação (Tx,Ty,Tz) da origem do sistema para a posição do ponto A1

(33)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’

X’ O’

Y’

A2

Translação (Tx,Ty,Tz) da origem do sistema para a posição do ponto A1

+𝑇

Z

X Y

(34)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’ X’ O’ Y’ A2 Rotação de 180° em torno do eixo Y

𝑅

₂

(180°)

Z X Y

(35)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’≡Z X’ O’ Y’ A2 Rotação de 180° em torno do eixo Y X

𝑅

₂

(180°)

Y

(36)

A4

A1

A3

Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no

sistema de coordenadas X’Y’Z’

Z’≡Z X’ O’ Y’ A2 Rotação de 𝜽 em torno do eixo Z X

𝑅

₃

(𝜃)

Y

θ

(37)

A4

A1

A3

RESULTADO  modelo de transformação entre os sistemas

X Y Z  X’Y’Z’

Z’ X’ O’ Y’ A2 𝑿′ 𝒀′ 𝒁′ = 𝑹_𝟑 𝜽 𝑹_𝟐 𝟏𝟖𝟎° 𝑿𝒀 𝒁 + 𝑻_𝑿 𝑻_𝒀 𝑻_𝒁 Z X O Y

Equação matemática

sentido da transformação

(38)

𝑅

₂

𝜃 =

cos 𝜃

0 0 −sen 𝜃

1

0 sen 𝜃 0

cos 𝜃

𝑅3 =

1 0

0 1

0

0 0 0 −1

𝑅2 =

1 0 −1 0

0

1 𝑅1 =

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

𝑅

₃

𝜃 =

− sen 𝜃 cos 𝜃 0

cos 𝜃

sen 𝜃 0

0

1 𝑅

₁

𝜃 =

1

0 cos 𝜃

0 sen 𝜃

0 0 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Matrizes de reflexão Matrizes de rotação

CONVENÇÃO: (+) positivo  sentido anti-horário  dextrogiro

EXERCÍCIO

Escreva a equação matemática para transformar os sistemas XYZ em X’Y’Z’

(39)

EXERCÍCIO

a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema XYZ em X’Y’Z’

O’ X’ Z’ 57° Z Y O X Y’ -15 m +47 m -81 m

(40)

EXERCÍCIO

O≡O’ X’ Z’ Z Y O X Y≡Y’ -15 m +47 m -81 m

Translação de O para O’

𝑻 = +𝟒𝟕 𝒎−𝟖𝟏 𝒎 −𝟏𝟓 𝒎

Z

X

(41)

EXERCÍCIO

O≡O’ X≡ X’ Z≡ Z’ 57° Z Y O X Y≡Y’ -15 m +47 m -81 m

Rotação em torno do eixo Y

𝑹_𝟐(−𝟓𝟕°)

(-) sentido horário, dextrogiro Z

(42)

EXERCÍCIO

O’ X’ Z’ 57° Z Y O X Y’ -15 m +47 m -81 m

𝑿′

𝒀′

𝒁′

= 𝑹

_𝟐

−𝟓𝟕°

𝑿

𝒀

𝒁

+

+𝟒𝟕 𝒎

−𝟖𝟏 𝒎

−𝟏𝟓 𝒎

(43)

EXERCÍCIO

b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema XYZ em X’Y’Z’

64° Z Y O X + 12m -67m Z’ X’ O’ Y’ + 43m

(44)

EXERCÍCIO

64° Z Y O X Z’ X’ Y’

Translação de O para O’

𝑻 = −𝟔𝟕 𝒎+𝟒𝟑 𝒎 +𝟏𝟐 𝒎 Z Y X O≡O’ + 12m -67m + 43m

(45)

EXERCÍCIO

64° Z Y O X Z’ X≡ X’ Y≡ Y’ Z Y X O≡O’ + 12m -67m + 43m

Rotação em torno do eixo Z

𝑹_𝟑(+𝟔𝟒°)

(46)

EXERCÍCIO

64° Z Y O X Z ≡ Z’ X≡ X’ Y≡ Y’ Z Y X O≡O’ + 12m -67m + 43m Reflexão do eixo Z 𝑹𝟑

(47)

EXERCÍCIO

64° Z Y O X + 12m -67m Z’ X’ O’ Y’ + 43m

𝑿′

𝒀′

𝒁′

= 𝑹𝟑. 𝑹

_𝟑

+𝟔𝟒°

𝑿

𝒀

𝒁

+

−𝟔𝟕 𝒎

+𝟒𝟑 𝒎

+𝟏𝟐 𝒎

(48)

Treine em casa:

Determine as equações matemáticas

dos exemplos apresentados na aula de

hoje, no sentido inverso, ou seja,

transformar os sistemas

(49)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

REVISÃO

3 3 3 3 3 3 internos iguais compatibilidade externos dimensão da resultante

(50)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=1x9+2x6+3x3

REVISÃO

(51)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=4x9+5x6+6x3

REVISÃO

(52)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=7x9+8x6+9x3

REVISÃO

(53)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=1x8+2x5+3x2

REVISÃO

(54)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=4x8+5x5+6x2

REVISÃO

(55)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=7x8+8x5+9x2

REVISÃO

(56)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=1x7+2x4+3x1

REVISÃO

(57)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=4x7+5x4+6x1

REVISÃO

(58)

Multiplicação de matrizes

𝑀 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

30

84

24

69

18

54 138 114 90

=7x7+8x4+3x1

REVISÃO

(59)

Multiplicação de matrizes

𝑀 = 1 2

4 5

9

6 = 21

66 REVISÃO

2 2 2 1 2 1 internos iguais compatibilidade externos dimensão da resultante

(60)

Multiplicação de matrizes

𝑀 = 1 2

4 5

9

6 = 21

66 REVISÃO

(61)

Multiplicação de matrizes

𝑀 = 1 2

4 5

9

6 = 21

66 REVISÃO

(62)

EXERCÍCIO

Sejam os dos pontos A e B, cujas coordenadas XYZ são:

Calcule as coordenadas X’Y’Z’ no novo sistema considerando as seguintes transformações :

a)

𝑋′

𝑌′

𝑍′

= 𝑅

₂

−57°00

′

00"

𝑋

𝑌

𝑍

+

+47,000 𝑚

−81,000 𝑚

−15,000 𝑚

b)

𝑋′′

𝑌′′

𝑍′′

= 𝑅3. 𝑅

₃

+64°00

′

00"

𝑋

𝑌

𝑍

+

−67,000 𝑚

+43,000 𝑚

+12,000 𝑚

PONTO X (m) Y (m) Z (m) A 315,449 754,132 180,691 B 96,562 -87,003 -3,544

(63)

𝑋′ 𝑌′ 𝑍′ = 𝑅₂ −57°00′_00" 𝑋_𝑌 𝑍 + +47,000 𝑚 −81,000 𝑚 −15,000 𝑚 𝑋′ 𝑌′ 𝑍′ = cos −57° 0 −sen −57° 0 1 0 sen −57° 0 cos −57° 𝑋 𝑌 𝑍 + +47,000 𝑚 −81,000 𝑚 −15,000 𝑚 𝑋′ 𝑌′ 𝑍′ = cos −57° 𝑋 −sen −57° 𝑍 𝑌 sen −57° 𝑋 + cos −57° 𝑍 + +47,000 𝑚 −81,000 𝑚 −15,000 𝑚 𝑋′ = cos −57°00′00" 𝑋 −sen −57°00′00" 𝑍 + 47,000 𝑚 𝑌′ = 𝑌 − 81,000 𝑚 𝑍′ = sen −57°00′00" 𝑋 + cos −57°00′00" 𝑍 − 15,000 𝑚 SOLUÇÃO PONTO X’ (m) Y’ (m) Z’ (m) A 370,346 673,132 -181,146 B 96,619 -168,003 -97,914

(64)

𝑋′′ 𝑌′′ 𝑍′′ = 𝑅3. 𝑅₃ +64°00′_00" 𝑋_𝑌 𝑍 + −67,000 𝑚 +43,000 𝑚 +12,000 𝑚 𝑋′′ 𝑌′′ 𝑍′′ = 1 00 1 00 0 0 −1 cos 64° sen 64° 0 − sen 64° cos 64° 0 0 0 1 𝑋 𝑌 𝑍 + −67,000 𝑚 +43,000 𝑚 +12,000 𝑚 𝑋′′ 𝑌′′ 𝑍′′ = 1 00 1 00 0 0 −1 cos 64° 𝑋 +sen 64° 𝑌 −sen 64° 𝑋 + cos 64° 𝑌 𝑍 + −67,000 𝑚+43,000 𝑚 +12,000 𝑚 𝑋′′ 𝑌′′ 𝑍′′

= _{−sen 64° 𝑋 + cos 64° 𝑌}cos 64° 𝑋 +sen 64° 𝑌 −𝑍 + −67,000 𝑚 +43,000 𝑚 +12,000 𝑚 𝑋′′ = cos 64°00′00" 𝑋 +sen 64°00′00" 𝑌 − 67,000 𝑚 𝑌′ = − sen 64°00′00" 𝑋 + cos 64°00′00" 𝑌 + 43,000𝑚 𝑍′′ = −𝑍 + 12,000 𝑚 PONTO X’’ (m) Y’’ (m) Z’’ (m) A 749,093 90,066 -168,691 B -102,868 -81,929 15,544