A Quantum Circuit for the Brazilian Decimetric Array (BDA)
Signal Correlation
Renato de O. Violin
José Hiroki Saito
Hanumant Shankar Sawant
Departamento de Computação, Universidade Federal de São Carlos
Centro Universitário Claretiano
Departamento de Computação, Universidade Federal de São Carlos;
Faculdade Campo Limpo Paulista
Divisão de Astrofísica, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
renato_violin@dc.ufscar.br saito@dc.ufscar.br sawant@das.inpe.br
Abstract
Quantum computing is a novel way to perform computation based on quantum physics. Since its beginning, at 1985, it promises a revolution in the data processing. Works that have been done prove that quantum computing, regarding its features provided by quantum physics, offer high data processing power compared with classical computation. The aim of the present work is to develop a quantum circuit to perform the signal correlation of Brazilian Decimetric Array (BDA), a radio interferometer that has been developed by National Institute of Space Research (INPE). It was studied some possible circuits and they were compared with classical ones, with respect to the number of logical operations needed to perform the correlation, over a 100 ms integration period. The results show that the proposed quantum circuit uses less logical operations than the classical circuit. Although we don’t have yet technology to build quantum computers, with the same efficiency of the semiconductors, it may be feasible in the future, so that the proposed implementation makes sense.
1. Introdução
A computação quântica é uma área de pesquisa em que se estuda a possibilidade de implementar computadores utilizando, como princípio, a física quântica. Esse estudo originou-se quando o físico Richard Feynman [1] percebeu que não era possível simular, eficientemente, efeitos quânticos em computadores clássicos. Para Feynman, deveria existir um computador que trabalhasse com objetos quânticos e obedecesse as leis da física quântica.
As propostas de modelos para a computação quântica começaram em 1985 com David Deutsch [2] que descreveu a sua semelhança com a máquina de Turing. Baseado no fato de que a computação quântica promete computadores com maior poder de processamento, este trabalho tenta aplicar a
computação quântica em uma área de pesquisa que é a radioastronomia.
A radioastronomia é o ramo da astronomia que estuda os objetos celestes por meio da captação de radiofrequências por eles emitidas. No Brasil, o INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais), em parceria com outras instituições, está desenvolvendo o Brazilian Decimetric Array (BDA), um radiointerferômetro, que consiste num arranjo de antenas parabólicas, constituindo um radiotelescópio para observação de fenômenos solares e de demais objetos celestes.
Uma das partes do BDA que exige um poder de processamento maior é o circuito correlacionador. No circuito correlacionador é realizada a operação de correlação entre as antenas que participam do arranjo, para a separação dos sinais apropriados dos objetos celestes, em relação aos ruídos simultaneamente captados pelas antenas. No caso do BDA, o circuito de correlação multiplica sinais recebidos de duas antenas, e acumula o resultado, a cada ciclo. Essa operação é realizada continuamente durante um período de integração de 100 ms. Apesar de ser uma operação simples, este processo é repetido durante todo o tempo em que o radiotelescópio está em operação e existem hardwares específicos para essa finalidade.
O presente trabalho consiste em apresentar uma forma alternativa de se realizar o circuito de correlação, usando os princípios da computação quântica, e comparar os resultados, com o circuito clássico, quanto ao número de operações, e verificar a possibilidade de sua aplicação no futuro.
O trabalho está dividido nas seguintes seções, a partir da presente introdução: a seção 2 trata da radioastronomia e do projeto BDA; a seção 3 trata dos fundamentos da computação quântica; a seção 4 apresenta o circuito correlacionador clássico utilizado no BDA e a proposta do circuito quântico; a seção 5 apresenta as comparações e os resultados obtidos; na seção 6 são apresentadas as conclusões, seguidas das referências bibliográficas.
2010 11th Symposium on Computing Systems 2010 11th Symposium on Computing Systems
2. Radioastronomia e o projeto BDA
Radioastronomia é a ciência que estuda os objetos celestes pela coleta e análise das ondas de rádio que os objetos emitem, da mesma forma que um astrônomo obtém imagens dos objetos celestes utilizando telescópios ópticos que captam sinais visíveis do espectro eletromagnético.
Fazendo uso da radioastronomia, cientistas podem visualizar objetos que não são visíveis a olho nu como, por exemplo, sinais de rádio recebidos pelo gás do espaço, poeira e partículas muito energizadas que estão no espaço entre as estrelas. Atualmente, radiotelescópios estão entre as mais poderosas ferramentas disponíveis para o estudo de objetos do universo [3].
Em radioastronomia, as antenas são os elementos responsáveis pela captação dos sinais de rádio. Uma das principais variáveis que define a qualidade da imagem produzida pelo radiotelescópio é a resolução angular R, que representa a menor distância angular na qual duas fontes pontuais podem ser distintas [8]. Em outras palavras, é a capacidade do radiotelescópio distinguir os detalhes dos sinais recebidos do objeto celeste [3]. Portanto, quanto menor a resolução angular, mais detalhes do objeto observado será adquirido, produzindo uma imagem de melhor qualidade, pois os objetos, principalmente os que estão próximos uns dos outros, podem ser facilmente distintos. Este parâmetro depende do comprimento de onda observado e do diâmetro da antena,
R D λ
= (1)
onde R é dado em radianos, λ é o comprimento de onda e D é o diâmetro da antena. Para um dado comprimento de onda, quanto melhor a resolução angular (menor R) maior deve ser o diâmetro da antena.
Comparando a resolução angular de um radiotelescópio e de um telescópio óptico, verificamos que para um radiotelescópio atingir a mesma resolução angular que um telescópio óptico, é preciso que o refletor da antena seja enorme (ordem de quilômetros de diâmetro), pois as ondas de rádio têm comprimento de onda maior que as ondas visíveis [3].
Como construir uma antena com esse diâmetro é uma tarefa muito difícil, são utilizadas várias antenas menores trabalhando como se fosse uma antena maior. A esse conjunto de antenas dá-se o nome de arranjo de radiointerferômetros. A Figura1 ilustra a organização de um radiointerferômetro de duas antenas.
Figura 1. Diagrama de blocos de um radiointerferô-metro de duas antenas [6].
Os sinais recebidos pelas antenas são muito fracos, portanto precisam ser amplificados. No Front end o sinal recebido pelas antenas (RF) é amplificado pela primeira vez. Pelo motivo do sinal ser muito fraco nesta etapa, é importante que o amplificador introduza o mínimo de ruído possível no sinal [7].
Depois de amplificado, o sinal passa por uma etapa, que altera a frequência do sinal de entrada. Este dispositivo possui duas entradas, a primeira entrada é o sinal original que vem do front end, e a segunda entrada é o sinal gerado pelo oscilador local (local oscilator). O sinal gerado é diferente do sinal original, e com frequência menor. Nesta etapa o sinal é conhecido como frequência intermediária (intermediate frequency) (IF). Este processo se faz necessário, pois as antenas receptam os sinais de rádio não apenas na frequência desejada, mas também em outras frequências que estão dentro do intervalo. Para facilitar os processos subsequentes, os sinais são convertidos para um padrão intermediário [7].
Depois dessa conversão, o sinal é mais uma vez amplificado e misturado com frequências próximas de 0 Hz, a baseband [7]. Por fim, o sinal é correlacionado, isto é, os sinais são multiplicados e acumulados.
A correlação dos sinais é feita para produzir uma medida de coerência do plano de onda do objeto celeste observado [8]. Cada par de antenas fornece uma medida de um componente de Fourier da distribuição de brilho da região observada, ou seja, para cada par interferométrico há uma correlação e um ponto amostrado para que se possa gerar a imagem.
Um correlacionador é um dispositivo para multiplicar e acumular os sinais recebidos de cada par de antenas. Em um interferômetro com N antenas, haverá N (N – 1) / 2 correlações.
2.1. O projeto BDA
O projeto BDA está sendo desenvolvido pelo INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) em parceria com outras instituições nacionais (UFSCar, PUC - Minas, UFSM) e internacionais (NCRA / Índia, IIA / Índia, RAL / USA, Universidade Berkeley / USA e NRAO / Japão) [4].
O BDA está sendo construído principalmente para observação de fenômenos solares, para investigar alguns problemas fundamentais da física solar associada aos flares e CMEs (Coronal Mass Ejection).
Os flares são liberações de energia do Sol que podem durar horas ou até mesmo dias, emitindo radiação por todo espectro eletromagnético, desde raios-γ até ondas de rádio. Eles também liberam partículas (elétrons, prótons, núcleos atômicos) em velocidades de 70% da velocidade da luz, que atingem a Terra em aproximadamente 15 minutos. A energia liberada pode ser de até 1027 joules [4]. Essa energia liberada é a causadora de efeitos catastróficos nos satélites artificiais espalhados na atmosfera terrestre. Os CMEs são a expulsão em larga escala de matéria da corona do Sol em velocidades de 10 – 1000 Km/s. Essa matéria tem o peso de aproximadamente 1013 kg [8].
Algumas investigações mostraram que a liberação de energia durante os flares ocorre próxima às regiões onde a emissão decimétrica é gerada [4], mostrando a importância dos estudos da emissão solar na faixa decimétrica e, portanto, justificando a criação do projeto BDA.
Para atingir o objetivo de observação, o BDA está sendo desenvolvido para operar nas faixas de 1.4-1.7, 2.8 e 5.6 GHz, que correspondem a ondas decimétricas. As investigações do BDA irão complementar as observações realizadas por outros radiointerferômetros em operação no mundo.
O projeto está constituído por três fases, e atualmente, está na segunda fase. Na fase final, o BDA irá possuir um total de 38 antenas, formando uma letra T. Na fase atual estão concentradas 26 antenas formando a parte central do arranjo (Figura 2) com uma distância máxima entre as antenas de 252 metros. Na fase final a máxima linha base passará para 2268 metros na direção leste-oeste e 1170 metros na direção sul, aumentando a resolução espacial do arranjo, que será de ≈ 4.5 arcsec na frequência de 5.6 GHz. A Figura 3 mostra uma foto de instalação de 5 antenas iniciais do projeto BDA no sítio de Cachoeira Paulista-SP.
Figura 2. Figura artística do BDA quando for concluída a segunda fase [4].
Figura 3. Cinco antenas instaladas na primeira fase do BDA em Cachoeira Paulista – SP [5].
O sistema de correlação utilizado no BDA foi construído usando chips projetados para o Nobeyama Radioheligraph, Japão. Cada chip correlacionador (Figura 4) é composto por 4 unidades de correlação complexa. Como exemplo, consideremos a correlação de duas antenas 1 e 2. A saída do correlacionador será C1 ⊕ C2 + S1 ⊕ S2 para a parte real (cosseno) e C1 ⊕ S2
+ S1 (o) C2 para a parte imaginária (seno), onde C e S
correspondem ao cosseno e seno respectivamente, ⊕ corresponde à operação XOR e (o) corresponde à operação not-XOR.
O período de integração usado no BDA é de ≈ 100 ms. Ao final desse período, os dados são armazenados em uma das duas unidades de memória existentes posteriormente ao correlacionador. O processo de leitura e gravação dos dados dessa memória leva um tempo de 256 ciclos de integração e, nesse período, um computador conectado ao sistema correlacionador faz a leitura desses dados.
3. Computação quântica
A computação quântica faz uso dos princípios da mecânica quântica para o processamento. Em computação quântica, a menor unidade de informação é o quantum bit (qubit ou q-bit). O qubit é o análogo ao bit em computação clássica com uma diferença: o qubit pode estar nos dois possíveis estados da base computacional (0 e 1) ao mesmo tempo, diferente do bit, que pode estar em apenas um dos possíveis estados.
Portanto, um computador quântico com 4 qubits pode representar 24 = 16 valores simultâneos, enquanto um computador clássico com 4 bits pode representar apenas 1 dentre os 16 valores possíveis. Essa possibilidade de representar todos os possíveis valores simultaneamente deve-se ao fenômeno da superposição de estados.
A Equação 2 mostra a representação matemática de um qubit.
0 1
ψ = α +β (2)
onde ψ é a representação de um estado arbitrário. Os componentes α e β são números complexos, no qual o quadrado da norma diz qual a probabilidade de obter 0 ou 1 quando uma medida é feita, obedecendo à restrição α2 +β2 = . Assim, se uma medida é 1 feita, tem-se a probabilidade α de obter 2 0 e a probabilidade β de obter 2 1 .
Os estados 0 e 1 formam uma base computacional no espaço vetorial complexo de Hilbert, significando os valores binários 0 e 1 respectivamente. Esses estados têm a seguinte representação matricial:
1 0 0 = e 1 0 1 = (3)
A portas quânticas, correspondentes às portas lógicas em computação clássica, são representadas por matrizes unitárias. Qualquer matriz unitária pode ser considerada uma porta quântica. Uma matriz é unitária se: 1 † U− =U . (4) ou † † UU =U U =I . (5)
Matrizes unitárias sempre preservam a norma do vetor e são inversíveis. Em computação quântica todas as operações, exceto as operações de medida, devem ser unitárias e inversíveis. As portas quânticas mais comuns em computação quântica são as matrizes de Pauli X, Y, Z, a porta de Hadamard H e as portas de rotação R. 0 1 1 0 X = 0 0 i Y i − = 1 0 0 1 Z = − 2 2 1 0 1 1 1 1 1 2 0 k i k H R e π = = − (6)
4. O circuito correlacionador clássico e
quântico
Como visto na Figura 5, o circuito correlacionador é composto de operações XOR, not-XOR, soma e acumulação, sendo dividido em duas partes: correlação real e correlação imaginária. A seguir serão apresentadas a implementação clássica e a proposta quântica do circuito correlacionador, até o circuito acumulador (contador de 22 bits), da Figura 4.
4.1 Implementação clássica do correlacionador
A Figura 5 apresenta o esquema do circuito clássico para a correlação da parte real. Como a parte imaginária é semelhante, trataremos aqui apenas da parte real, que pode ser facilmente estendida para a parte imaginária.
Figura 5. Circuito de correlação de 1 bit com acumulador de 22 bits.
Para a operação de correlação são utilizadas duas portas XOR. Para o circuito de soma é utilizada uma porta XOR e uma porta AND
A Figura 6 mostra o circuito acumulador de 22 bits, que acumula o resultado da correlação, a cada ciclo de clock. Do lado esquerdo do diagrama da Figura 6(b) vemos 22 somadores completos e do lado direito, 22 latches que acumulam os resultados.
(a) diagrama de bloco (b) circuito detalhado
Figura 6. Circuito acumulador de 22 bits.
Cada somador completo utiliza 5 portas lógicas. Somando todas as operações acima, obtêm-se o número de portas lógicas para implementar um ciclo de correlação, conforme Tabela 1.
Tabela 1. Número de operações para cada ciclo de correlação da parte real do circuito clássico.
Operação Número de portas
Correlação 2 portas
Soma 1 bit 2 portas
Somador 22 bits 110 portas
Latches 44 portas
Total 158 portas
4.2. Implementação do correlacionador quântico
A operação XOR é representada em computação quântica pela porta quântica CNOT:
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 XOR CNOT = = (7)
A operação not-XOR, ou Ex-NOR, é obtida pela junção das portas NOT e XOR. Essa junção é obtida, matematicamente pela multiplicação das portas quânticas NOT e XOR:
NOT XOR = Ex-NOR
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 . 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ⋅ = (8)
Para implementar a operação de soma são utilizados circuitos mais complexos. Na literatura foram encontrados diferentes circuitos quânticos para efetuar a soma. O circuito mais eficiente é o circuito proposto por Draper [9], que utiliza como base a transformada quântica de Fourier. A Figura 7 a exemplifica este circuito.
A ideia básica do somador quântico Draper é utilizar a QFT (detalhes podem ser encontrados em Nielsen [11]). Considerando a soma de dois valores a e b, primeiro é computado F(a), que é a QFT de a e, em seguida, usa o valor b para produzir o resultado F(a+b). Por fim, aplica-se a QFT inversa para obter o resultado de a + b.
As operações 1, 2, n-1, n... representam as portas quânticas de rotação condicional, dado pela Equação 9:
(9) onde k é o ângulo a ser rotacionado. Esta é a mesma porta utilizada pelo circuito QFT.
Este somador toma como entrada dois estados quânticos de n qubits cada. O estado
1 2 1 , , ,...,
n n n
b b b b b
− −
= entra no circuito sem
nenhuma transformação. Já o estado
1 2 1
, , ,...,
n n n
a a a a a
− −
= passa primeiro pela
transformação QFT. Após a QFT o estado transformado 1 2 1 ( ), ( ), ( ),..., ( ) n n n a a a a a φ = φ φ− φ− φ entra no circuito somador.
Para realizar essas operações são necessários 2n qubits e um total de n n
(
+1 / 2)
portas quânticas,onde n é o número de qubits na entrada.
Existe também uma versão deste somador que utiliza um número reduzido de portas quânticas, denominado somador aproximado [9] que deriva da QFT aproximada [10]. Com a utilização dessa técnica, o número de portas é reduzido para nlog2n
operações. Basicamente esta técnica estipula um limite para o número de rotações k, pois à medida que k aumenta o fator de rotação diminui.
Com o circuito somador definido é possível construir o circuito quântico, conforme a Figura 8.
O circuito acumulador é um somador quântico de 24 qubits (2+22), onde os 2 qubits são os novos valores a serem acumulados e os 22 qubits são os valores já acumulados. De acordo com a técnica de aproximação da QFT, pode-se escrever o circuito somador com um
número reduzido de rotações condicionais. Calculando o índice k de rotações obtêm-se:
2 2 log log 24 4.5850 5 k n k k k > > > = (10)
O número de portas quânticas para implementar o circuito somador Draper já foi apresentado como
2 log
n n para somar números com n qubits. No somador proposto neste trabalho serão utilizadas apenas nove portas devido ao fato de que este somador realiza uma soma de 2 qubits num valor já acumulado. Se considerar o circuito somador Draper como proposto, seriam necessários 22 qubits para o valor acumulado e mais 22 qubits para o valor a ser acumulado, lembrando que este valor pode ser no máximo 2 (dois), ou seja, 10 em binário. Assim os dois qubits menos significativos seriam utilizados para armazenar o valor enquanto os demais 20 qubits seriam inicializados com 0. Esse número extra de qubits implicaria numa quantidade de 99 portas quânticas de rotação.
Ao implementar o circuito do acumulador, nota-se que a soma pode ser feita utilizando apenas os 2 qubits necessários, para um dos operandos, descartando 20 qubits extras e portanto reduzindo o número de portas quânticas sem perder a precisão dos resultados, uma vez que a etapa anterior da correlação, soma de duas operações XOR, resulta num valor máximo de 2. Todos os resultados experimentais realizados utilizando o simulador QCAD [12] mostram que os resultados da soma são obtidos com probabilidade maior que 0,9 lembrando que a probabilidade máxima 1 é obtida somente utilizando o somador completo sem a técnica de aproximação.
Reduzindo o número de qubits a expressão, que representa o custo computacional, nlog2n pode ser considerada melhorada. A nova expressão
considerando o número de qubits do estado b menor que do estado a é:
( *k nb)−1 (11)
onde k é o índice de rotações condicionais calculado na Equação 10 e nb é o número de qubits do estado de
entrada b que representa o valor a ser acumulado e que no caso do projeto BDA é de 2 qubits.
Utilizando a Equação 11, chega-se a:
(5 * 2) 1 9 portas
−
= (12)
onde 9 é o número de portas utilizadas a cada ciclo no acumulador (somador 2+22 qubits). Assim chega-se ao número de operações para um ciclo de correlação, ou seja, para uma amostra de entrada, mostrado na Tabela 2.
Tabela 2. Número total de operações para 1 ciclo de correlação.
Operação Número de portas quânticas
Correlação (parte real) 2
QFT 2 qubits 3 Somador 2 qubits 2 IQFT 2 qubits 3 QFT 22 qubits 99 Somador 2+22 qubits 9 IQFT 22 qubits 99 Total 217
5. Comparação entre o circuito clássico e
quântico
Para o cálculo do número de operações necessárias para cada implementação, será considerado um período de integração de 100 ms, a uma taxa de amostragem de 2 MHz, resultando em t = 200.000 operações de correlação por período de integração, onde cada operação corresponde a um ciclo de execução dos circuitos.
No caso do circuito clássico, todo o circuito deve ser repetido a cada ciclo. Assim, considerando-se as 158 portas (Tabela 1), chega-se a um total de operação de:
t * 158 operações. (13)
Já no circuito quântico é importante observar que a operação QFT e IQFT de 22 qubits, as quais utilizam o maior número de portas quânticas dentre todas as operações do correlacionador, não precisam ser repetidas junto com as demais operações. Isso deve-se ao fato de que o somador Draper, diferentemente dos demais somadores quânticos apresentados, realiza a soma de um valor transformado φ
( )
a com um valor em seu estado original b . Assim, a saída do Somador 22, que está num estado transformado, pode ser reaproveitada como entrada para o próximo ciclo de integração, não sendo necessário repetir t vezes as operações de QFT e IQFT 22.Assim, o número de operações do circuito quântico aqui proposto é dado pela seguinte equação:
[(2 3 2 3) * log 2 {[( * b) 1] * } log 2 ] * 2 t n n k n t n n + + + + + − + [10 *t 2 * ( log 2 )n n [( *k nb) 1] * ] * 2t = + + − (14) onde k e nb originam da Equação 11, n é o número de qubits (22), t é o número de repetições e o último fator 2 refere-se à correlação da parte real e imaginária. Note que as operações de QFT e IQFT 22, com custo computacional de nlog 2n , não são repetidas t vezes.
O gráfico da Figura 9 ilustra essa diferença no número de operações para t = 200.000 operações. O número de operações para cada um dos circuitos, quando t = 200.000, é dado pela Tabela 3.
Tabela 3. Número total de operações em 100 ms.
Circuito Número de operações
Clássico 31.600.000
Quântico 3.800.200
6. Conclusão
Foi descrita uma implementação alternativa do correlacionador de um radiointerferômetro, o Brazilian Decimetric Array-BDA, usando os conceitos de computação quântica. Para um período de integração muito pequeno o circuito quântico não apresenta vantagem em relação ao circuito clássico, pois as duas transformadas QFT 22 e IQFT 22 consomem juntas 198 portas quânticas, o que já representa um número superior de operações que o circuito clássico. Entretanto, para um período de integração grande, como é o caso da maioria dos radiointerferômetros, como o BDA, o circuito quântico apresenta enorme
vantagem sobre o seu correspondente clássico, pois as operações QFT 22 e IQFT 22 serão aplicadas apenas uma vez durante o período de integração. As operações que serão repetidas para cada ciclo somam um total de 19 portas, um valor bem abaixo do total de 158 portas utilizadas em cada ciclo para o circuito clássico.
Como trabalho futuro, está sendo avaliado junto à D-Wave Systems [13], a possibilidade de executar este algoritmo no computador quântico desenvolvido por eles.
7. Referências
[1] Feynman, R. Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics, pp 467-488, 1982.
[2] Deutsch, D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer. Proceedings of the Royal Society of London A 400, pp 97-117, 1985.
[3] Nrao. Radio astronomy, http://www.nrao.edu/ index.php/learn/radioastronomy. Acesso em: 15 jan. 2009.
[4] Faria, C. Uma nova estratégia de otimização de arranjos interferométricos aplicada ao Brazilian Decimetric Array. Tese de doutorado, INPE, São José dos Campos, 2006.
[5] Sawant, H.S.; Ramesh, R.; Cecatto, J.R.; Fernandes, F.C.R.; Rosa, R.R.; Saito, J.H.; Moron, C.E.; Mascarenhas, N.D.; Subramanian, K.R.- Brazilian Decimetric Array (Phase-I). Solar Physics, v.242, p. 213-220, 2007.
[6] Napier, P. Antennas in radio astronomy, http://www.aoc.nrao.edu/events/synthesis/2006/ lectures/TuesdayJune13/Napier.ppt. Acesso em: 15 jan. 2009.
[7] Chengalur, J. N.; Gupta, Y.; Dwarakanath, K. S.GMRT. Low frequency radio astronomy. Pune, 2003. [8] Ridpath, I. Dictionary of astronomy. Oxford University
Press, Kent, 1997.
[9] Draper, T. G. Addition on a quantum computer. ArXive <quant-ph/0008033v1>, 2000.
[10] Barenco, A.; Ekert, A.; Suominen, K.; Torma, P. Approximate Quantum Fourier Transform and Decoherence. ArXive <quant-ph/9601018v1>, 2008. [11] Nielsen, M. A.; Chuang, I. L. Quantum computation
and Quantum information. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
[12] WATANABE, H.; SUZUKI, M.; YAMAZAKI, J. QCAD. Disponível em: <http://apollon.cc.u-tokyo.ac.jp/~watanabe/qcad/>.
[13] D-WAVE. Quantum computing at D-Wave: an introduction to Orion. Disponível em: <http://www.dwavesys.com/>.
Figura 9. Comparação do número de operações necessárias entre o circuito correlacionador clássico e quântico.
