SOBRE A PRECESSÃO DE PERIÉLIO DEVIDO À AÇÃO DE POTENCIAL PERTURBATIVO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

GRADUAÇÃO EM FÍSICA

DERIC DE ALBUQUERQUE SIMÃO

SOBRE A PRECESSÃO DE PERIÉLIO

DEVIDO À AÇÃO DE POTENCIAL

PERTURBATIVO

FORTALEZA JANEIRO/2016

DERIC DE ALBUQUERQUE SIMÃO

SOBRE A PRECESSÃO DE

PERIÉLIO DEVIDO À AÇÃO DE

POTENCIAL PERTURBATIVO

Monografia submetida ao Departamento de Física da Universidade Federal do Ceará para obtenção do diploma de Bacharel em Física.

Orientador:

Prof. Dr. Raimundo Nogueira da Costa Filho

Fortaleza - CE Janeiro/2016

Monografia com o título “Sobre a precessão de periélio devido à ação de potencial perturbativo” apresentada por Deric de Albuquerque Simão em 3 de Fevereiro de 2016, Fortaleza, Ceará, Brasil, e aprovada pela banca examinadora constituída pelos Professores Doutores:

Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer a minha família, que sempre me deu todo apoio e suporte durante os meus estudos e sempre respeitou minhas escolhas. Agradeço a minha namorada Marina que esteve ao meu lado durante o desenvolvimento desse trabalho, e que me ajudou a cumprir com minhas responsabilidades. Aos meus amigos, que tornaram os estudos muito mais interessantes, e aos professores que me auxiliaram durante minha jornada com aulas engrandecedoras tanto no aspecto profissional como pessoal.

Resumo

Neste trabalho analisamos o movimento de um corpo sob ação de uma força central, resolvendo a equação da trajetória para a força gravitacional. Verificamos as possíveis trajetórias de acordo com as condições de contorno e estudamos os efeitos da precessão de periélio gerado pela adição de um potencial perturbativo ao potencial gravitacional. Baseado no teorema de Bertrand, calculamos uma expressão geral de forma aproximada para o avanço do periélio, e usamos do potencial relativístico para comparar o resultado aproximado com o resultado real.

Abstract

In this paper we analyze the motion of a body under the action of a central force, solving the equation of the trajectory for the gravitational force. We checked the possible paths in accordance with the boundary conditions and study the effects of precession of the perihelion generated by adding a perturbative potential to the

gravitational potential. Based on Bertrand’s theorem, we calculate a general expression in an approximate mode to the advancement of the perihelion, and use the relativistic potential to compare the approximate result with the actual result.

Sumário

1 Introdução………7

2 Estudo das trajetórias……….11

3 Precessão do Periélio………..18

4 Conclusões………...29

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1. Introdução

Desde a antiguidade, é notória a curiosidade do homem a respeito do movimento dos corpos celestes, a história começa com observações dos movimentos das estrelas e planetas até a conclusão de que os planetas giram em torno do Sol, fato redescoberto anos depois por Copérnico. No início do século XV, Tycho Brahe estudou os movimentos dos planetas do sistema Solar por vários anos, coletando muitos dados que foram estudados mais tarde pelo matemático Kepler, que descobriu algumas leis sobre o

movimento planetário. Kepler enunciou que os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol

ocupando a posição de um dos focos. Com o conhecimento da força gravitacional, que se trata de uma força de atração entre massas que foi notada de forma empírica, podemos deduzir as Leis de Kepler e estudar o movimento planetário do nosso sistema Solar.

A força gravitacional é uma força de atração cujo módulo é proporcional ao produto de duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Como o Sol possui massa muito maior do que a de todos os planetas, ele permanece quase estático enquanto os planetas realizam órbitas em torno dele.

Analisando o movimento dos planetas sob ação somente da força gravitacional, podemos ter órbitas fechadas ou abertas de acordo com as condições de contorno. No sistema Solar, as órbitas de todos os planetas são de baixa energia, o que resulta em uma órbita fechada, que se trata da elipse já citada.

Como o sistema Solar possui mais de dois corpos, existe a influência de um planeta sobre o movimento do outro, ainda que muito pequena se comparada com a influência do Sol. Isso faz com que os planetas não descrevam elipses perfeitas, fazendo existir algumas perturbações nas órbitas esperadas. Porém, mesmo considerando essas perturbações, a órbita de Mercúrio não estava de acordo com a previsão teórica quando consideramos a existência apenas da força gravitacional.

Para as órbitas elípticas do sistema Solar, nós chamamos o ponto de maior proximidade de Sol de periélio, e o ponto mais afastado do Sol de afélio. Uma perturbação na órbita de algum planeta do sistema Solar pode fazer com que exista um

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movimento de rotação do semieixo maior da elipse, o que faz com que o periélio se movimente, esse movimento é chamado de precessão de periélio.

O movimento de precessão do periélio é justificado através do teorema de Bertrand. Esse teorema afirma que na mecânica clássica, só existem dois tipos de potenciais centrais que podem descrever uma órbita fechada estável. São eles o potencial do oscilador harmônico ( ) e o potencial de interação eletrostática ou gravitacional ( ) , onde representa uma constante positiva arbitrária.

Muitos potenciais centrais podem ser capazes de gerar uma órbita circular, porém, essa órbita circular pode ser um ponto de equilíbrio estável ou instável. Se for instável, ao perturbarmos o corpo em órbita ele se afastará de sua posição de equilíbrio. Se for estável, ao perturbarmos o corpo em órbita ele irá tender a voltar para sua posição de equilíbrio, mas isso não indica que a órbita é fechada. Isso ocorre porque esse conceito de órbita fechada ou aberta está ligado com a periodicidade das mesmas, e da capacidade de gerar uma curva fechada. Uma órbita fechada é aquela que possui periodicidade e que forma uma curva fechada ao final de cada revolução, e esse tipo de órbita só é gerada através dos potenciais citados anteriormente, qualquer outro tipo de potencial fará com que a órbita seja aberta quando perturbada.

Notamos que teoricamente, sob ação apenas do potencial gravitacional, a órbita de Mercúrio não deveria estar sujeita a precessão de periélio, uma vez que este potencial gera órbitas fechadas. Mas como esse movimento era observado, isso sugeria que havia outro potencial em adição ao potencial gravitacional, mas um potencial muito pequeno (perturbativo) se comparado ao gravitacional, o que justificava o movimento de precessão de periélio, mas não causava outros efeitos visíveis em sua órbita.

Einstein calculou teoricamente essa discrepância entre o valor clássico e o valor observado na precessão do periélio de Mercúrio usando a relatividade geral. Isso foi uma das comprovações observacionais de que sua teoria estava correta, junto com a deflexão de um feixe de luz em um campo gravitacional, e com o desvio de frequência de um feixe de luz na presença de um campo gravitacional.

Para calcular teoricamente esse avanço no periélio de Mercúrio, o que faria com que sua órbita fosse aberta, Einstein sugeriu a presença de um potencial relativístico muito menor do que o potencial gravitacional, que teria caráter perturbativo, e que

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estaria presente na órbita de todos os planetas, mas seria notado apenas na órbita de Mercúrio, pois todos os planetas do sistema Solar possuem órbitas de baixa excentricidade e são órbitas de baixa energia, sendo Mercúrio o planeta com órbita de maior excentricidade. E como o potencial relativístico é um potencial central, sua presença seria notada em planetas mais próximos do Sol. Esse potencial, de acordo com a equação de Einstein para a relatividade geral, é dado por:

( )

Onde é a massa do Sol, é o momento angular do corpo em órbita, a massa do corpo em órbita e a velocidade da luz. Note que esse potencial tem um alcance muito menor do que o potencial gravitacional e possui módulo muito menor também.

Pode ser extremamente complicado estudar a equação da trajetória de um corpo com a ação do potencial relativístico em adição ao potencial gravitacional, mas é possível calcular o efeito da precessão do periélio com alta precisão. O efeito observado era um avanço de segundos de arco por século, Einstein calculou pela primeira vez esse avanço chegando a um resultado de quase segundos de arco por século.

Nosso objetivo com esse trabalho é descrever as trajetórias dos planetas do nosso sistema Solar sob ação do potencial gravitacional, e estudar os possíveis tipos de órbita de acordo com as condições de contorno, mostrando que temos órbitas elípticas como já enunciado por Kepler. Com a presença do potencial relativístico, iremos calcular o efeito de precessão de periélio gerado por este. Esse cálculo será feito de forma aproximada, porém nos permitindo chegar a um resultado bem próximo do previsto.

De acordo com o teorema de Bertrand, sabemos que a órbita dos planetas sob ação do potencial gravitacional e do potencial relativístico são órbitas abertas, o que gera o movimento de precessão de periélio. Dessa forma, faremos uma interpretação desse movimento como sendo uma perturbação na órbita circular de equilíbrio estável, nos permitindo desenvolver uma fórmula geral para o movimento de precessão de periélio quando temos um potencial perturbativo, e de caráter central, adicionado ao potencial gravitacional.

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Queremos comparar os resultados encontrados através das aproximações feitas e verificar a validez dessa aproximação, pois esse método nos permite calcular o efeito de precessão de periélio sem resolver a equação orbital, que pode ser extremamente complicada.

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2. Estudo das Trajetórias

Para uma partícula ou esfera de massa , movendo-se no espaço sob ação de uma força central ⃗( ) ( ) ̂, tomando como origem do sistema de referência o centro da força, podemos restringir o movimento em três dimensões para um plano, por conta da conservação do momento angular ⃗⃗ em relação a origem do referencial, pois o torque realizado pela força central é nulo.

⃗ ⃗ ( ) ̂ ⃗⃗ (1) O plano da trajetória pode ser definido da seguinte forma:

⃗ ⃗⃗ (2) E uma vez que restringimos o movimento a um plano, podemos escrever as equações do movimento em coordenadas polares, que são mais convenientes devido à dependência da força de . Considerando o ângulo de rotação do vetor posição no plano da trajetória, temos que:

( ) ( ̈ ̇ ) (3) ( ) ( ̇ ̇ ̈) (4) Da equação (4), temos novamente o resultado de que o momento angular do corpo é constante, e seu módulo é dado por ̇. Esse resultado nos permite restringir nossas equações do movimento, tornando-as uma equação diferencial com dependência apenas de . Dessa forma, a equação (3) fica:

( ) ̈ (5) A solução da equação (5) para uma determinada função ( ) resulta na função horária do módulo do vetor posição ( ). Para acharmos a equação da trajetória ( ), devemos reescrever a equação utilizando das seguintes transformações:

̇ ̇ (6) ̈ ̇ ̇ ( _{) (7)}

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Substituindo (7) em (5),

( ) ( _{) (8)}

Para resolvermos a equação (8), é necessário fazer a seguinte substituição de variável: (9) (10) ( _{) (11)}

Substituindo (9), (10) e (11) em (8), ficamos com:

_{( ) (12)}

A equação (12) tem como solução a equação da trajetória ( ) _{( )} para uma determinada função ( ). De forma geral, pode ser extremamente trabalhoso chegar à solução da equação (12), mas para determinados tipos de forças, podemos chegar a uma equação diferencial já conhecida.

Vamos estudar a solução da equação (12) para a força gravitacional. Considere um sistema binário composto por dois corpos de massas e se movimentando exclusivamente sob ação da força gravitacional. Utilizando-se da aproximação , podemos afirmar que o corpo central está parado, enquanto o corpo de menor massa orbita em torno dele. Como a maioria dos corpos celestes possui formato aproximadamente esférico, podemos usar da equação (12), chamada equação orbital, para descrever o movimento desses corpos. Tomando a origem do nosso referencial no centro de massa do corpo de maior massa, vamos estudar o movimento da massa , na qual a força resultante pode ser escrita como:

⃗( ) ̂ (13) Utilizando-se da equação (9), temos:

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Substituindo (14) em (12),

(15)

A equação (15) apresenta uma solução já conhecida, pois se trata da equação de um oscilador harmônico com a posição de equilíbrio deslocada da origem. A solução geral para ( ) nesse caso é a soma da solução homogênea com a particular, o que nos leva a:

( ) ( ) (16) Onde e são constantes que podem ser determinadas através das condições de contorno, como a equação diferencial é de segunda ordem, é necessário o conhecimento de duas condições de contorno para descrever a equação da trajetória perfeitamente. Utilizando da equação (9), temos nossa solução para o módulo do vetor posição.

( )

( ) (17)

A equação (17), podendo ser escrita como ( )

( ), representa a equação

geral das cônicas em coordenadas polares, que é dada por:

( ) (18) Na equação (18), é a excentricidade da cônica, e a fase é o ângulo de rotação da cônica em relação ao eixo X. Sem perder generalidade, podemos escolher no instante em a massa menor está passando no ponto mais próximo do corpo central, dessa forma, comparando as equações (17) e (18), temos:

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(19) Como as condições de contorno são a posição inicial e a velocidade inicial da massa em movimento, é conveniente escrever as constantes em termos do momento angular e da energia mecânica da mesma. Como toda força central é conservativa, já que ⃗⃗⃗ ⃗( ) , podemos utilizar do potencial central ( ) tal que ⃗⃗⃗ ( ) ⃗( ). Para a força gravitacional, temos ( ) , o que nos da para a energia mecânica:

( ̇ ̇ ) (20) Usando o momento angular, podemos escrever a energia mecânica como função apenas de :

̇ (21) O que nos leva a definir o potencial efetivo da energia do corpo como:

(22)

Para determinarmos a condição de contorno da equação (19) em função da energia mecânica, usaremos o ponto da trajetória no qual a distância entre as massas é mínima. Como nesse ponto não temos velocidade radial, podemos afirmar que ̇ , o que corresponde a na equação das cônicas. Daí, a equação (21) fica:

(23) Que tem como raiz de menor valor:

√

(24)

Igualando a equação (24) com a equação (17) no instante em que ( ) , que nos da

, chegamos ao valor da excentricidade .

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Considerando que, para temos , podemos escrever de forma geral a equação das possíveis trajetórias de , tendo em vista a equação (25) que depende das condições de contorno do movimento.

( )

(26)

Analisando as equações (25) e (26), podemos ver que para cada valor de excentricidade temos a equação de uma cônica como órbita. Para a órbita descrita é circular, que possui raio constante dado por , e energia mecânica dada por . Para a órbita descrita é elíptica, na qual temos a propriedade que , onde é o semieixo maior da elipse. Usando a

soma das raízes na equação (23), ficamos com , o que resulta na energia mecânica da órbita elíptica , note que a condição para a existência dessa órbita é . De forma geral, temos órbitas fechadas para energias mecânicas negativas. Para a órbita descrita é parabólica, que tem como condição de existência . Essa órbita é muito difícil de acontecer, assim como a circular, pois ambas possuem apenas um valor para a energia, e qualquer perturbação faria com que esses movimentos não ocorressem. Para a órbita descrita é hiperbólica, que tem como condição de existência Essa órbita acontece com corpos de alta energia que são capazes de escapar da atração do corpo central, sofrendo apenas um desvio em sua trajetória.

Essas órbitas podem ser descritas através do potencial efetivo da partícula, da equação (22), considerando um gráfico de ( ) contra :

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No gráfico, as linhas pontilhadas representam a energia mecânica associada a cada tipo de órbita, e a interseção dessas linhas com a curva do potencial efetivo representam os pontos de retorno de cada órbita. Podemos ver que a órbita circular é a mais estável, e para uma órbita circular de raio , sabendo que a força gravitacional é a força resultante que sempre aponta para o centro da trajetória, temos que ⃗ ⃗ , então

, que nos da o seguinte valor para a frequência angular:

√ (27) Note que a posição do corpo na órbita circular é uma posição de equilíbrio estável, pois ( ) , então se uma perturbação for dada ao corpo, ele irá tender a voltar para a posição de equilíbrio, oscilando em torno da mesma. É possível calcular a frequência de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, para isso usaremos a série de Taylor.

( ) ∑ ( ) ( )( ) (28) A série de Taylor nos permite expandir qualquer função como uma soma de funções polinomiais, a equação (28) nos mostra como se da essa expansão em torno do ponto . Para o caso do potencial efetivo, iremos aplicar a série de Taylor em torno do ponto , que representa a posição de equilíbrio estável da massa (órbita circular). Dessa forma, podemos escrever a equação (22) como:

( ) ( ) ( )( )

_{( )( )}

(29) Note que, como o ponto é um ponto de equilíbrio, podemos afirmar que

( ) , e como o referencial para o cálculo do potencial pode ser escolhido em

qualquer ponto, podemos fazer com que ( ) . Como os demais termos da série

são da ordem de ( ) ou superior, podemos despreza-los para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, dessa forma podemos aproximar nosso potencial efetivo para:

( )

_{( )( )}

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Definindo uma nova variável medida a partir do ponto de tal forma que , temos que ̇ ̇, de tal forma que a energia mecânica do corpo pode ser aproximada para:

̇ ( )

(31) A equação (31) se trata da energia mecânica de um oscilador harmônico, cuja frequência angular é dada por:

√ ( )

(32)

Aplicando a equação (32) para o potencial efetivo (22), temos:

( ) (33)

Usando que o momento angular para uma órbita circular é dado por , onde pode ser tirado da equação (27), a equação (33) fica:

( ) (34)

Podemos então calcular a frequência angular de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, substituindo a equação (34) na (32), ficamos com:

√ (35) Note que a frequência angular de pequenas oscilações é a mesma que a frequência angular do movimento circular, isso implica que, enquanto o corpo realiza uma volta completa, ele também deve realizar uma oscilação completa em torno do ponto , o que resulta em uma órbita da seguinte forma:

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Na figura, temos a linha tracejada que representa a órbita circular inicial da massa em torno de , se uma perturbação for dada à massa ela começará a oscilar em torno de , com representando a função de um oscilador harmônico, ou seja:

( ) (36) Sendo o módulo da amplitude do movimento, que é representando na figura por

quando ( ) e quando ( ) . E

representa a fase inicial do movimento, que depende de como for dada a perturbação. Na figura a linha escura representa a órbita após a perturbação, que se trata da superposição do movimento circular com o movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio. Note que esse movimento resulta em uma trajetória similar a de uma elipse, o que já era esperado, pois qualquer perturbação fará com que a energia mecânica do corpo seja maior que , o que caracteriza uma órbita elíptica com o corpo central em um dos focos, e as distâncias mínima e máxima da massa ao corpo central seriam e . Portanto, já era esperado o resultado de que a equação (27) seria igual à equação (35) .

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3. Precessão do Periélio

Mostramos que a maioria das órbitas fechadas é elíptica, pois órbitas circulares possuem apenas um valor de energia mecânica, que pode ser alterado com qualquer perturbação. Porém, existem diversos astros que realizam órbitas elípticas de baixa energia, o que resulta em uma excentricidade próxima de zero, nos permitindo tratar essas órbitas como circulares. Temos como exemplo o sistema solar, onde a órbita realizada pelos planetas em torno do Sol possui excentricidade muito baixa. O ponto onde a distância entre os planetas e o corpo central é mínima, chamado de periastro, é denominado periélio para o sistema solar, já o ponto onde a distância é máxima, é chamado de afélio. Para o sistema solar, temos as seguintes excentricidades de órbita para os planetas: Planeta Excentricidade Mercúrio 0,2056 Vênus 0,0068 Terra 0,0167 Marte 0,093 Júpiter 0,048 Saturno 0,056 Urano 0,046 Netuno 0,0097

Note que todos os planetas possuem excentricidades muito baixas, com exceção de Mercúrio, cuja órbita apresenta as maiores diferenças entre as distâncias nos pontos de periélio e afélio.

Se uma força perturbativa muito menor do que a força gravitacional agir sobre determinado planeta, pode gerar um movimento chamado precessão de periélio, onde o

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semieixo maior da órbita elíptica deixa de ficar fixo, e começa a girar em torno do corpo central. Iremos estudar a frequência angular de precessão de periélio através de um método aproximativo, e comparar o resultado com o encontrado quando resolvemos a equação orbital (12). A aproximação se baseia na superposição do movimento de órbita circular com o movimento harmônico simples gerado quando perturbamos essa órbita. Para aplicarmos esse método, é necessário que a órbita tenha excentricidade baixa, para que possamos compará-la com uma órbita circular, dessa forma usaremos o sistema solar como exemplo. A precessão do periélio gerada por uma força perturbativa pode ser explicada da seguinte forma:

Uma órbita elíptica de baixa excentricidade pode ser comparada com a superposição de uma órbita circular com um movimento harmônico simples de mesma frequência angular como já foi mostrado. Porém, se houver uma força perturbativa agindo sobre o corpo em movimento, isso irá alterar seu potencial efetivo. Tomaremos como exemplo uma força perturbativa central para os cálculos seguintes. Se o potencial efetivo diferir ligeiramente do potencial efetivo gerado apenas pela força gravitacional, a frequência angular de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio também irá diferir da frequência angular do movimento circular. Essa diferença, considerada muito pequena, irá fazer com que o planeta em órbita não volte para o mesmo ponto quando terminar uma oscilação em torno da posição de equilíbrio, ele estará um pouco à frente ou um pouco atrás, dependendo de como for o comportamento do potencial perturbativo. Esse movimento resultará em uma elipse cujo semieixo maior está girando. Considere as figuras representando a superposição dos movimentos gerados pela força gravitacional e por uma força perturbativa central.

A figura mostra que, ao final de uma oscilação completa, o planeta estava um pouco antes da posição de quando havia alcançado a amplitude do movimento, o que nos permite dizer que a elipse formada teve seu semieixo girado. Após algumas oscilações,

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podemos dizer que a órbita descrita será aproximadamente como o seguinte esboço, que representa a rotação do periélio.

Para estudar a precessão do periélio, tomaremos como força perturbativa a força gerada pela contribuição relativística do campo gravitacional. Essa força possui uma influência maior na órbita de mercúrio, que se trata do planeta mais próximo do Sol, e com maior excentricidade, sua contribuição para demais planetas do sistema solar é desprezível. Considere a força relativística dada por:

⃗ ( ) ̂ (37) A contribuição dessa força é muito pequena quando comparada com a força gravitacional, de modo geral vale a aproximação , de tal forma que podemos

considerá-la perturbativa.

Como se trata de uma força central, sabendo que ela é conservativa, já que ⃗⃗⃗ ⃗ ( ) , o que nos permitir definir o potencial relativístico tal que

⃗⃗⃗ ( ) ⃗ ( ). Seu potencial é então dado por:

( ) (38)

Primeiramente, vamos resolver a equação orbital com a adição da força relativística, tal que a força resultante sobre o corpo em órbita será dada por:

⃗ ( ) ̂ ̂ (39) E usando da transformação da equação (9), ficamos com:

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( ) (40) Portanto, substituindo a equação (40) na equação (12), a equação orbital fica:

(41) Iremos resolver a equação (41) de forma aproximada, procurando uma correção para a solução que não envolve o termo relativístico. Dessa forma, podemos dizer que a solução geral será a solução da equação (15) acrescentada de uma correção de primeira ordem. Denominando a equação (16) por , que representa a solução da equação (15), a solução geral fica:

(42) Onde representa a correção devido ao termo relativístico, e sabemos que é solução tal que

. Então, substituindo a equação (42) na equação (41),

ficamos com:

( )

(43) Usando o fato de que , a equação (43) fica:

₍₄₄₎

Substituindo em (44) o valor de já encontrado na equação (16), temos:

( ( )

) ₍₄₅₎

Como já fizemos , desenvolvemos a equação (45):

_{( ( ) ( )) (46)}

Usando a equação (19) para substituir na equação (46), temos:

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Como estamos trabalhando com órbitas de baixa excentricidade, e estamos interessados apenas na precessão de periélio, e não nas correções das dimensões da órbita, podemos escrever a equação (47) como:

( ) (48)

Para achar a solução da equação (48), fazemos , onde é uma constante que deve ser encontrada para tornar solução. Derivando a solução proposta, ficamos com:

;

( );

_{( ) (49)}

Substituindo (49) em (48), encontramos o valor de .

(50) Portanto, a solução de correção fica:

(51)

O que faz a solução geral da equação (42) tomar a seguinte forma:

( ) (52) Que pode ser escrita como:

( ) (53)

Note que, como o termo da equação (53) é muito pequeno, podemos defini-lo como um ângulo tal que:

(54) Dessa forma, podemos usar as aproximações em que e , fazendo com que a equação (53) fique da seguinte forma:

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( ( )) (55) Simplificando a equação (55), temos:

( ( )) (56) Assim, a cada revolução da órbita, que implica em , o periélio da órbita avança uma quantidade corresponde a que é dada por:

(57) Da equação (25), podemos tirar o valor momento angular da órbita em termos de quantidades já conhecidas, usando a energia mecânica de uma órbita elíptica que é dada por , isolando o momento angular, ficamos com:

( ) (58) Da equação (58) na equação (57), temos:

_{( )} (59) A equação (59) representa o avanço do periélio da órbita durante uma revolução, onde é a massa do corpo central, que é o Sol para o sistema solar, é a excentricidade da órbita e é o semieixo maior da órbita. Para o planeta Mercúrio, usamos os seguintes dados de sua órbita e os seguintes valores para as constantes conhecidas: ; ; ; _{; . Os valores mostrados acima resultam em um}

avanço do periélio da órbita de mercúrio dado por _.

Apesar de termos usados diversas aproximações para resolver a equação orbital, o valor calculado do avanço do periélio é bastante próximo do valor medido, que já é conhecido e foi uma das comprovações dos efeitos da relatividade geral. Portanto esse primeiro método para calcular esse avanço será considerado como exato para compararmos com outra aproximação. Note que, mesmo com muitas aproximações, resolver a equação orbital para outros tipos de potenciais pode ser muito complicado, portanto resolveremos agora esse problema através do método das pequenas oscilações

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em torno da posição de equilíbrio, como já citado. Esse método apresenta aproximações mais grosseiras, porém possui uma fórmula geral que pode estimar a precessão de periélio para qualquer potencial perturbativo. Encontraremos um resultado que nos da à ordem de grandeza desse avanço, e que pode ser comparado diretamente com o resultado exato já calculado.

As primeiras aproximações que iremos fazer para calcular através desse método, são: órbitas de baixa excentricidade, como as órbitas do sistema solar; o potencial deve ser perturbativo, de tal forma que sua contribuição para a órbita seja muito menor do que a da força gravitacional, e podemos dizer que o potencial perturbativo é muito menor que o potencial gravitacional, e esse potencial perturbativo deve ser central, de tal forma que dependa apenas de constante conhecidas e da distância do corpo em órbita ao corpo central. Note que o potencial relativístico agindo sobre a órbita de Mercúrio obedece a essas aproximações, que já foram feitas para calcularmos o valor exato da precessão.

Para um potencial perturbativo qualquer ( ), podemos escrever o potencial efetivo da órbita como:

( ) (60)

Como o potencial é perturbativo, podemos dizer que este não irá afetar a posição de equilíbrio da órbita, que é dada por . Essa posição corresponde à órbita circular, que é aproximadamente o formato das órbitas de baixa excentricidade. Dessa forma, para calcularmos a frequência angular de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, usaremos a equação (32) com o potencial efetivo da equação (60), e dessa forma, temos:

( ) ( ) (61)

A equação (61) representa o a equação (33) com o acréscimo do termo perturbativo, usando então o resultado da equação (34), ficamos com:

( ) ( ) (62)

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( ( ) ) (63) Note que a frequência angular do movimento circular é dada pela equação (27), e dessa forma podemos escrever a equação (63) como:

( ( ) ) (64) Como o termo

_{( )}

da equação (64) é muito menor do que 1, podemos usar da

seguinte aproximação:

( ) (65) Quando .

Usando a aproximação (65) na equação (64), temos:

( ( ) ) (66) Para calcularmos o avanço do periélio, usaremos a equação (66) para calcular o tempo necessário para que haja uma oscilação completa em torno da posição de equilíbrio. Para uma oscilação completa, temos:

(67) Durante o tempo da equação (67) o corpo em órbita realizou um avanço angular que pode ser escrito como:

(68) Calcularemos o valor da razão da equação (66).

( ( ) ) ₍₆₉₎

Usando novamente a aproximação da equação (65) na equação (69), a razão será dada por:

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Substituindo a equação (70) na equação (68), o avanço angular do corpo durante uma revolução é:

( ) (71) O avanço angular calculado na equação (71) representa em radianos o ângulo percorrido pelo corpo em sua órbita, note que esse ângulo é correspondente a uma oscilação com o acréscimo de um termo que representa o deslocamento angular do periélio do planeta em radianos por revolução. Dessa forma, através desse método temos a seguinte fórmula geral para o ângulo do avanço do periélio:

( ) (72) Como sabemos que as órbitas não são circulares, podemos refinar nosso resultado usando o momento angular da órbita circular que é dado por e o momento angular da equação (58), o que nos leva a trocar o valor de por ( ) . Dessa forma a equação (72) fica:

( ( ) )( ) (73) Aplicando a equação (73) para o potencial relativístico da equação (38), fazendo

( ) ( ), temos:

( ) (74)

Substituindo a equação (74) na equação (73):

_{( )} (75) Usando o momento angular da equação (58), substituindo na equação (75) chegamos ao nosso resultado final:

_{( )} (76) Note que o sinal positivo na equação (76) implica no avanço o periélio, indicando que ele se desloca no mesmo sentido que o da órbita. Comparando o resultado da equação (76) com o da equação (59) mostramos que . O resultado encontrado através

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do método das pequenas oscilações foi o dobro do resultado exato, isso ocorre principalmente porque nesse método nós atribuímos toda a contribuição do potencial perturbativo ao movimento da precessão do periélio, porém mesmo com essa discrepância, é possível encontrar um valor na mesma ordem de grandeza do valor real através de uma fórmula geral que foi dada na equação (73).

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4. Conclusões

Neste trabalho estudamos a equação do movimento de um corpo sujeito a uma força central. Desenvolvemos a equação orbital em coordenadas polares para esse tipo de movimento que está sujeito ao vínculo de que seu momento angular é constante.

Aplicamos a força gravitacional, que é do tipo ⃗( ) ̂, na equação orbital. Chegando ao resultado da equação das cônicas como possíveis trajetórias do corpo sujeito somente a esta força. Notamos que as possíveis trajetórias estavam ligadas com as condições de contorno do movimento, e estudamos essa dependência como função do momento angular da trajetória, e da energia mecânica, que são constantes do movimento uma vez que toda força central é conservativa e possui um potencial associado.

De acordo com as condições de contorno, vimos que as trajetórias podem ser fechadas, como circunferência e elipse, ou abertas, como parabólica e hiperbólica. A trajetória circular sendo dessas a mais estável é também a mais difícil de ocorrer, o que nos levou a confirmar a Lei de Kepler para o sistema Solar, notando que as órbitas são elípticas.

Como a órbita circular se trata de um ponto de equilíbrio estável, calculamos a frequência de pequenas oscilações em torno desse ponto, verificando que esta frequência é a mesma frequência do movimento circular, fazendo com que uma perturbação na órbita circular seja semelhante, de fato, a uma elipse. Isso nos permite interpretar as órbitas elípticas de baixa energia como órbitas circulares perturbadas da sua posição de equilíbrio.

Usamos os resultados da trajetória gerada pela força gravitacional para estudar o movimento de precessão de periélio que já era observado na órbita de Mercúrio. O teorema de Bertrand diz que um corpo sujeito ao potencial gravitacional segue em órbita fechada quando o perturbamos de sua posição de equilíbrio, o que foi verificado já que sua órbita perturbada é uma elipse. Então na presença de um potencial perturbativo em adição ao potencial gravitacional, uma perturbação na órbita circular resulta em uma órbita aberta, cujo movimento é descrito como precessão de periélio, e está presente na órbita de Mercúrio de forma mais visível dentre os planetas que compõe o sistema Solar.

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Com o potencial relativístico proposto por Einstein, resolvemos a equação orbital para verificar que mudanças seriam causadas na órbita elíptica. Usamos das aproximações de que o potencial relativístico é um potencial perturbativo em relação ao potencial gravitacional, pois possui um alcance muito menor, ele se trata de um potencial central, e as órbitas estudadas são órbitas de baixa excentricidade. Isso nos permitiu resolver a equação orbital de forma aproximada, mas nos levando a um resultado muito próximo do observado.

Como o sistema Solar é composto por planetas com órbitas de baixa energia e de baixa excentricidade, interpretamos a precessão de periélio como uma variação na frequência angular de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio. Essa variação justificaria esse movimento, pois o potencial presente não é mais apenas o gravitacional, o que faz com que a órbita seja aberta. Dessa forma, vimos que a frequência do movimento circular diferia ligeiramente da frequência de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, e essa diferença nos permitiu calcular uma fórmula geral para a frequência da precessão de periélio.

Essa fórmula geral, dada por

_{( ( ) )( )}

, representa o

deslocamento do periélio durante uma revolução. O resultado sendo negativo, teremos um deslocamento do periélio do sentido contrário ao da órbita do planeta, e um sinal positivo corresponde a um avanço do periélio. Mesmo que de forma aproximada, chegamos a uma fórmula geral que é válida para descrever esse movimento quando temos qualquer potencial perturbativo em adição ao potencial gravitacional, e podemos descrever sem resolver a equação orbital.

Por fim, comparamos o resultado obtido através do método perturbativo com o resultado já encontrado para a precessão do periélio de Mercúrio. Aplicamos o potencial relativístico na fórmula geral e chegamos a um resultado da precessão de periélio que é o dobro do resultado observado.

Concluímos que, como estamos trabalhando com números muito pequenos, essa fórmula é válida para verificar a ordem de grandeza na qual ocorrerá um movimento de precessão de periélio, e dentro das aproximações utilizadas, justificamos essa diferença com o fato de que esse método atribui toda a contribuição do potencial perturbativo para o movimento da precessão do periélio. Então dentro das aproximações utilizadas,

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podemos estimar com uma precisão satisfatória o deslocamento angular do semieixo da trajetória elíptica, e chegar a um resultado analítico utilizando apenas do potencial perturbativo.

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5. Referências

(1) H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 1, 4ª edição, Editora Edgard Blücher (2002).

(2) E. Butkov, Física Matemática, 1ª edição, Editora LTC (1988).

(3) H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1951).

(4) SARAIVA, A. Correção da precessão do periélio de Mercúrio. The General Science Journal, 2009. Disponível em: http://www.wbabin.net/saraiva/saraiva11p.pdf Acesso em 6 de janeiro de 2016.

(5) Sociedade Astronômica. Disponível em: http://www.sociedadeastronomica.com.br/

Acesso em 22 de dezembro de 2015.