Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz

Supersimetria e quebra da simetria

de Lorentz

A. Yu. Petrov

Sumário

• _{Introdução. Concepção da supersimetria.}

• _{Teoria supersimétrica de campos. Superparceiros.} • _{Super-espaço e supercampo.}

• _{Teorias supersimetricas quânticas. “Cancelamentos milagrosos”.} • _{Supersimetria nas teorias com quebra da simetria de Lorentz.} • _Conclusão.

Introdução. Concepção da supersimetria.

Que é supersimetria (SUSY)? É simetria entre bósons e férmions.

Cada simetria nova melhora a teoria – cancelamento das divergências, expressões mais compactas para as correções quânticas, até a previsão do resultado para as correções quânticas sem os cálculos...

Exemplo: nas teorias de calíbre a ação efetiva é a função dos escalares obtidos através da contração do Fab.

Bósons: agentes das interações fundamentais (γ, W±, Z0, gluons, gravitons).

Férmions: quarks (u, d, s, c, b, t) e léptons.

Assim, supersimetria permite de “misturar” matêria usual e agentes das interações fundamentais.

A forma genérica das transformações da supersimetria:

δB = ǫf (F );

δF = ǫg( ˜B), (1)

onde f e g são algumas funções. No caso mais usado, essas funções

são lineares.

O campo bosônico B e o campo fermiônico F são chamados de superparceiros.

Tipicamente os seus nomes são: fotino – superparceiro de fóton, gravitino - de graviton, também, gluino etc...

Introdução da supersimetria: Yu. A. Golfand, E. S. Lichtman, 1971; D. V. Volkov e V. P. Akulov, 1972, 1973; J. Wess, B. Zumino, 1974

Teoria supersimétrica de campos. Superparceiros.

A teoria supersimétric mais simples – o modelo de Wess-Zumino

(1974), descreve três campos: A, ψα, F (e os campos conjugados) cuja

ação é S = Z d4xh_{A ¯}A − ¯ψα_˙ (σm)αα˙ ∂mψα + F ¯F + + [m(AF + 1 2ψ α_ψ α) + λ 2(Aψ α_ψ α + F A2) + h.c.] i (2) Essa ação é invariante sob as transformações com os parâmetros

fermiónicos chamados de transformações da supersimetria:

δA = −ǫαψα;

δψα = −¯ǫα˙ i(σm)αα˙ ∂mA + ǫαF ; (3)

O conjunto dos campos (A, ψα, F ) chama-se de multipleto quiral.

• _{O campo ψα se chama de superparceiro do campo escalar A. E}

o campo F é o campo auxiliar cuja dinâmica é trivial pois a sua

equação do movimento é meramente algêbrica:

¯

F + mA + λ₂A2 = 0. Mas geralmente o F não é eliminado, para

evitar a não-linearidade das transformações da supersimetria.

• _{Todos os campos desse multipleto possuem a mesma massa. Isso}

é característico para qualquer multipleto supersimétrico.

• _{Duas interações são caracterizados pela mesma constante do}

acoplamento λ. Isso é a propriedade comum das teorias

supersimétricas – o número das constantes do acoplamento independentes é reduzido!

Super-espaço e supercampo

A pergunta mais natural: se existe o formalismo que permite tratar as teorias supersimétricas em maneira mais compacta?

Resposta: SIM!!! É o formalismo dos supercampos.

“Superspace is the greatest invention since the wheel” (”Stuperspace”) A idéia-chave: os campos de multipletos são unidos para o

supercampo. Por exemplo, o multipleto quiral corresponde ao supercampo quiral Φ(x, θ, ¯θ) = A(x) + θαψα(x) − θ2F (x) + i 2θ α_¯ θα˙ (σm)αα_˙ ∂mA(x) + + i 2θ 2_θ¯α˙ _(σm₎ ˙ αα∂mψα(x) + 1 4θ¯ 2_θ2_{A(x). (4)}

Aqui, θα e ¯θα˙ são as coordenadas extras no espaço novo estendido chamado de super-espaço, sendo os números anticomutantes

Agora ações, equações de movimento, transformações da supersimetria e os cálculos quânticos tonam-se muito mais simples.

“We prove, once and for all, that people who don’t use superspace are really out of it.” (“Stuperspace”)

Nessa formulação as transformações da supersimetria são:

δΦ = i(ǫαQα + ¯ǫα˙ Q¯α˙ )Φ, (5) onde Qα = i(∂α − 1 2i¯θ ˙ α_(σm₎ ˙ αα∂m); Q¯α˙ = i(∂α˙ − 1 2iθ α_(¯σm₎ αα˙ ∂m) (6) são as geradores.

O seu anticomutador:

{Qα, ¯Qα˙ } = i(σm)αα˙ ∂m. (7)

Assim, obtemos extensão não-trivial da algebra de Poincaré (antes, tivemos apenas os comutadores). Os Q, ¯Q geram as translações em

respeito as coordenadas fermiônicas, como ∂m – em respeito as usuais.

As derivadas e integrais sobre as coordenadas Grassmannianas são:

∂θβ ∂θα = δ_βα; Z dθα1 = 0; Z dθαθβ = δ_αβ. (8)

Ainda, temos a mêtrica no espaço das variáveis Grassmannianas – o tensor Cαβ = iǫαβ, assim, θ2 ≡ 1₂Cαβθβθα.

Ainda, é necessário lhe introduzir as derivadas supersimétricas

covariantes Dα, ¯Dα˙ . Todas elas anticomutam com todos os geradores,

{Dα, Qβ} = 0, etc. – para a relação da covariância δDαΦ = DαδΦ

seria mantida. É fácil de ver que

Dα = ∂α + 1 2i¯θ ˙ α (σm)αα˙ ∂m; D¯α˙ = ∂α˙ + 1 2iθ α (¯σm)αα˙ ∂m, (9) e {Dα, ¯D_β˙} = i(σm)_βα˙ ∂m.

E agora, o modelo de Wess-Zumino adquire a forma muito simples!!!

S = Z d8Φ ¯Φ +  Z d6z[m 2 Φ 2 ₊ λ 3!Φ 3_{] + h.c.} ₍₁₀₎

Outra teoria importante é a teoria de super-Yang-Mills: S = 1 2g2 tr Z d6zWαWα, (11) onde Wα = ¯D2(e−gV DαegV ) (12)

Nas componentes, a teoria se reduz a

S = tr Z d4x(− 1 4g2F ab_F ab + i¯λD/λ + D2), (13)

Teorias supersimetricas quânticas. “Cancelamentos

mi-lagrosos”.

Primeiro, consideraremos o modelo muito simplificado

L = −1

2φ( + m

2_{)φ +} λ

4!φ

4 _{+ ¯Ψ(i∂/ − m + hφ)Ψ. (14)}

Existem duas correções á função de dois pontos mais baixas apresentadas pelos diagramas de Feynman:

a b

Cada laço fermiónico carrega o fator (−1).

Assim, as contribuições desses diagramas são

Ia = λ 2 Z d4p (2π)4 φ(−p)φ(p) Z d4k (2π)4 1 k2 − m2 ; (15) I = −h2 Z d4p φ(−p)φ(p)tr Z d4k (k/ + m)(k/ + p/ + m) ,

Ia = λ 2 Z d4p (2π)4φ(−p)φ(p) Z d4k (2π)4 1 k2 − m2; (16) I_b = −4h2 Z d4p (2π)4φ(−p)φ(p) Z d4k (2π)4 (k2 + m2) (k2 − m2)2 ,

É claro que as divergências quadrâticas somem na soma Ia + Ib, se

λ = 8h2.

Na verdade, esse caso ´e muito simplificado, nos omitimos muitos efeitos finos. Mas a supersimetria funciona nessa maneira!

P. S. Howe, K. S. Stelle, P. K. Townsend, “Miraculous Cancellations in Supersymmetry Made Manifest”, Nucl. Phys. B236, 125 (1984) – o artigo com discussões detalhadas.

No modelo de Wess-Zumino, em um laço temos o único supergráfico divergente

− −

¯

D2 D2

Usando o propagador dos supercampos

< Φ(z₁) ¯Φ(z₂) >= D_162D¯2 δ8(z₁ − z₂), fazemos as transformações

algébricas simples, e temos

Σ = λ 2 2 Z d4θ Z d4p (2π)4Φ(−p, θ)Φ(p, θ) ׯ × Z d4k (2π)4 1 (k2 − m2)[(k + p)2 − m2], (17)

Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz.

A idéia-chave da quebra da simetria de Lorentz é presença do vetor ou tensor constante na ação, como por exemplo R d4xǫabcdkaAb∂cAd –

termo de Carroll-Field-Jackiw (CFJ). Tal tensor destaca a direção preferencial.

Isso não é a única maneira de quebrar a simetria de Lorentz. Outro exemplo importante é os termos tipo éter

Lesc = 1 2φ( + m 2_{)φ + u}µ_uν_∂ µφ∂νφ; Lvect = − 1 4FµνF µν ₊ 1 2u µ_uν_F µαF_ν α; Lspin = ψ(iγ¯ µ∂µ − m − uµuνγµ∂ν)ψ. (18)

O teorema: tensores constantes de posto impar, além d quebra da

simetria de Lorentz, quebram também simetria de CPT, de posto par – não quebram a simetria CPT.

Três caminhos para quebrar a simetria de Lorentz na teoria de supercampos:

1. Deixamos os supercampos e os geradores a serem mesmos, adicionaremos os novos termos para ação. Exemplo:

Ssc =

Z

d8z(Φ ¯Φ + kab∂aΦ∂bΦ) + (¯

Z

d6zV (Φ) + h.c.) (19) Nesse caso, temos altas derivadas: a expressão em componentes é

Ssc =

Z

d4_{x(φ ¯}φ + kab∂aφ∂bφ + . . .).¯ (20)

Portanto, temos os termos tipo Horava-Lifshitz (arXiv: 0901.3775)

Z

2. Introduzimos o supercampo novo envolvendo o vetor (tensor) constante (hep-th/0304166).

Adicionamos á ação da super-QED

S = − 1 16 Z d8zV DαD¯2DαV (21) o termo novo δS = Z d8z(WαDαV Σ + h.c.), (22) onde Wα = −1₄D¯2DαV , e ¯Dα˙ Σ = 0.

E, como V = ¯θσmθAm + . . . , Σ = s + θαψα + θ2F + . . . , (23) obtemos em componentes δS = Z d4z i 2∂a(s − s ∗ )ǫabcdFbcAd + . . . , (24)

i.e. o termo de CFJ: para s = ikaxa, temos ₂i ∂a(s − s∗) = ka, i.e.

δS = Z

3. Vamos modificar os geradores de SUSY! (Kostelecky, Berger, hep-th/0112243) Qα = i(∂α − 1 2i¯θ ˙ α_(σm₎ ˙ αα(∂m + kmn∂n)); ¯ Qα_˙ = i(∂α˙ − 1 2iθ α_(¯σm₎ αα˙ (∂m + kmn∂n)). (26) O seu anticomutador: {Qα, ¯Qα˙ } = i(σm)αα˙ (∂m + kmn∂n). (27)

Em mesma maneira, modificamos as derivadas supercovariantes.

Como a consequencia, podemos construir a teoria de supercampos com quebra da simetria de Lorentz. A diferença será em troca

∂m → ∂m + kmn∂n = ∇m (arXiv: 1206.4508). Escolhemos

Assim, ações em termos dos supercampos permanecem ser mesmos, mas em componentes se modificam!

Por exemplo, a ação do modelo de Wess-Zumino torna-se

S = Z d4xhφ ˜_{ ¯}φ + ψαiσ_αm_α˙ ∇mψ¯α˙ + F ¯F + + m(ψαψα + φF ) + λ(φψαψα + 1 2φ 2_{F ) + h.c.}i_{, (28)}

onde ˜_{ = ∇m}∇m _{=  + 2k}mn∂m∂n + . . .. Os propagadores são

< Φ(z₁) ¯Φ(z₂) > = 1 ˜  − m2 δ(z1 − z2); (29) < Φ(z₁)Φ(z₂) > = mD 2 4 ˜_{( ˜ − m}2)δ(z1 − z2). (30)

As relações da dispersão: E2 = p2 + m2 + (2α + α2)(~u · ~p)2 para

umum = 1 (tipo espaço) e E2(1 − α)2 = ~p2 + m2 para umum = −1

(tipo tempo). A grau da divergência é ω = 2 − E − C. A função de dois pontos:

− − D2 D¯2 A sua contribuição é Γ₂ = i∆λ 2 2 Z d4θ Z d4p (2π)4 Φ(−p, θ)Φ(p, θ) ׯ × ( 1 16π2ǫ + Z 1 0 dx ln m 2 _{+ ˜p}2_{x(1 − x)} µ2 ). (31) onde p˜2 = (pm + kmnpn)(pm + kmlpl), e ∆ = det −₁ (δ_nm + k_nm) é o

O potencial efetivo de um laço é K(1) = −1 2 ∞ X n=1 Z d8z[Ψ ¯ΨD 2_D¯₂ 16 ˜_2 ]δ 8_{(z − z}′ )|_z=z′ (32)

isso é a soma dos super-gráficos (com Ψ = m + λΦ):

✧✦ ★✥ ✧✦ ★✥ ✧✦ ★✥ ❅❅ ❅ ❅ . . . Somando, temos K(1) = −1 2 Z d4θ Z d4q (2π)4 ¯ ΨΨ (qm + kmnqn)2 ln(1 − ΨΨ¯ (qm + kmnqn)2 ). (33)

Mudança dos variáveis qm + kmnqn → ˜qm: K(1) = −1 2∆ Z d4θ Z d4q˜ (2π)4ΨΨ¯ 1 ˜ q2 ln(1 − ¯ ΨΨ ˜ q2 ), (34)

o ∆ é o Jacobiano. Integrando, temos K(1) = − 1

32π2∆Ψ ¯Ψ ln

Ψ ¯Ψ

Interpretação geomêtrica.

Nesse caso, em um laço temos a seguinte correção quântica:

ΓK = c∆ Z d8zΦ ¯Φ ≃ (36) ≃ −c∆ Z d4x[ηmn(∂m + kmn∂n)φ(∂n + knl∂l)φ] + . . . , onde ∆ = det(∂q m ∂q˜n ) = det −₁ (δ_nm + k_nm).

Interpretação natural: a métrica nova gmn = ηab(δ_am + k_am)(δ_bn + k_bn),

com gmn inversa, e ∆ = p|g|, with g = det gab. Assim,

ΓK = −

Z

d4xp|g|gab∂aφ∂bφ, (37)

e a ação no espaço “curvo”, portanto, a correção quântica gera a geometria nova! (arXiv: 1305.1812)

Conclusão.

Assim, com a supersimetria, temos os resultados seguintes:

1. Supersimetria mistura bósons e fermions e prevé as partículas novas. 2. O formalismo dos supercampos é o instrumento poderoso.

3. Cancelamento das divergências parcial, ou até total.

4. A extensão supersimétrica é construida para as teorias não comutativas e as teorias com quebra da simetria de Lorentz. 5. Geração da geometria.

Mesmo assim, temos a grande lista dos problemas para o estudo futuro. 1. Outras maneiras de implementar a quebra de Lorentz nas teorias

supersimétricas.

2. Estudo detalhado das teorias de calíbre supersimétricas (AdS/CFT etc.) e supergravitação.