1. INTRODUÇÃO
A região sul do Brasil possui uma grande variação do tempo, onde atuam sistemas sinóticos como a passagem de frentes frias e a ação de anticiclones. Também sofre influências físicas como a proximidade do mar e a altitude que provocam grande influência na variabilidade da precipitação.
As informações relativas ao clima do passado são dados importantes, pois a partir destes, pode-se formular deduções quanto as possíveis variabilidades climáticas, estas informações serão de grande valia na utilização futura de um modelo climático regional, que auxiliará a sociedade a planejar suas atividades e, assim, evitar prejuízos tanto econômicos quanto sociais.
A identificação de periodicidades de eventos na atmosfera é muito usada na previsão do tempo e clima. Utilizando-se os dados de precipitação da cidade de Pelotas-RS pretende-se identificar, através da Transformada Wavelet de Morlet (TWM), os eventos periódicos e intermitentes da atmosfera.
A Transformada Wavelet (TW) é uma técnica de análise de dados no tempo e na freqüência ou periodicidade. A escolha pela TWM foi feita por possuir características similares ao sinal que se deseja estudar, pois é adequada para capturar variações nas periodicidades dos sinais geofísicos.
Outras ferramentas usadas para estudar as freqüências das séries de tempo são a Transformada de Fourier (TF) e a Transformada de Fourier de curta duração (TFCD). A TF extrai a informação global de sinais de ondas equivalentes, e a TFCD extrai informação da janela de curta duração considerada. Se um sinal é alterado em uma pequena vizinhança em um certo
instante de tempo, esses processos não mostram a localização temporal da alteração, e não são adequados para analisar os sinais não estacionários ou sinais fracos que aparecem apenas em curtos intervalos de tempo.
Uma transformada wavelet fornece uma janela de tempo-freqüência flexível que diminui quando localizadas em oscilações de alta freqüência de maneira análoga a um zoom. Portanto, alguns sinais fracos ou sinais não estacionários que são geralmente ignorados por TF podem ser detectados por TW.
Este trabalho foi organizado da seguinte forma: no capítulo 2, são discutidos os sistemas atmosféricos que podem causar variabilidade climática no extremo sul do Brasil e a aplicação da transformada wavelet em diversos estudos sobre fenômenos atmosféricos. No capítulo 3, é realizado um apanhado teórico sobre transformadas. No capítulo 4 é feita uma descrição dos dados utilizados e dos procedimentos empregados para o desenvolvimento deste estudo. No capítulo 5, são apresentados os resultados da aplicação da transformada wavelet em dados simulados para desenvolver a técnica adequada para analisar os dados meteorológicos. No capítulo 6 são mostrados os resultados obtidos com a aplicação da transformada wavelet nos dados das variáveis meteorológicas, com objetivo de encontrar as oscilações que são comuns entre si. No capítulo 7 são feitas as discussões e conclusões sobre este trabalho e as perspectivas futuras. Por fim, o capítulo 8 apresenta as referências bibliográficas.
Nesse trabalho pretende-se encontrar, através da TWM, a periodicidade de eventos de precipitação e após correlacionar esses resultados com as periodicidades de pressão ao nível médio do mar, nebulosidade e umidade relativa, a fim de encontrar os sistemas causadores da variação de precipitação, em Pelotas-RS, para o inverno austral (JJA) de 1995 a 2002.
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. Sistemas meteorológicos atuantes no sul do Brasil no inverno
O Brasil, por ser um país de grande extensão territorial, possui diferenciados regimes de precipitação e temperatura. De norte a sul encontra- se uma grande variedade de climas com distintas características regionais. O sul do Brasil, devido à sua localização latitudinal, sofre maior influência dos sistemas de latitudes médias, onde os sistemas frontais são os principais causadores de chuvas durante o ano.
A distribuição anual das chuvas sobre o sul do Brasil se faz de forma bastante uniforme. Nessa região a média anual da precipitação varia de 1250 a 2000 mm (Climanálise Especial, 1996). Os fenômenos atmosféricos que atuam no inverno nesta região são os sistemas frontais (SF) e os vórtices ciclônicos em altos níveis (VCAN) (Oliveira, 1986; Gan e Rao, 1991). A trajetória desses sistemas está intimamente ligada ao posicionamento e intensidade do jato subtropical da América do Sul e ao jato em baixos níveis (Kousky e Cavalcanti, 1984).
As circulações de grande escala em latitudes médias em conjunto com os sistemas sinóticos e de mesoescala que atuam no sul do Brasil podem influenciar diretamente a variação intrasazonal da precipitação e da temperatura na região (Climanálise Especial, 1996). Obregón (2001) estudou a variabilidade em escalas intrasazonais sobre o Brasil através de dados diários de precipitação de 1979-1993. Ele encontrou o predomínio de oscilações com
período de 20 e 40 dias sobre o sudeste do Brasil na primavera e no verão. No Sul estas oscilações foram observadas no inverno. Ele concluiu que o padrão espacial de oscilação de 20 dias mostra estrutura similar aos das ondas baroclínicas, enquanto que a oscilação de 40 dias parece ter algum tipo de modulação interanual, possivelmente associado com a dinâmica de grande escala.
O conhecimento de sistemas meteorológicos de diferentes escalas de tempo, desde mesoescala a grande escala e suas interações, é de grande valia para o entendimento da dinâmica dos sistemas atmosféricos, bem como para o aperfeiçoamento dos modelos de previsão de tempo e clima, e conseqüentemente da sua capacidade preditiva.
2.1.1 Sistemas de mesoescala
No extremo sul do Brasil destacam-se entre os sistemas de mesoescala as brisas marítimas e terrestres. As brisas marítimas são circulações locais o que constituem um sistema atmosférico característico de regiões litorâneas.
Os eventos de brisas marítimas e terrestres na região sul do Brasil, foram estudados por Saraiva (1996) que utilizou modelagem numérica para avaliar a influência da fisiografia da região sul do Brasil nos sistemas de tempo atuantes nesta região. A autora detectou a influência das circulações locais nos sistemas de tempo, tais como, a ocorrência de brisa lacustre devido à presença da Lagoa dos Patos e a sua interação com a brisa marítima. Também foi observado o deslocamento da precipitação com a frente de brisa, que pode adentrar o continente durante o dia, até a longitude de 54,5º W.
2.1.2 Sistemas de escala sinótica
Os sistemas de escala sinótica têm extensão de 1000 a 10000 km e perduram de dias a semanas. No inverno nesta escala destacam-se as massas de ar, os sistemas frontais, os vórtices ciclônicos, os ciclones extratropicais, os bloqueios atmosféricos, os sistemas associados à instabilidade do jato subtropical. As características de temperatura das massas de ar são representadas pelos termos tropical e polar, correspondendo ao ar quente e
frio, respectivamente, e as características de umidade são representadas pelos termos continental e marítima, correspondendo ao ar seco e úmido, respectivamente (Moran et al., 1994).
As massas de ar frio com maior intensidade são observadas todos os anos em duas regiões preferenciais: a primeira localizada próxima aos Andes entre 20º e 30ºS e a segunda localizada no sul do Brasil. As incursões de ar polar em baixas latitudes tendem a organizar a convecção tropical e a precipitação no verão, enquanto que no inverno produzem resfriamento e instabilidade (Kayano e Kousky,1996). Na atmosfera, as frentes frias representam zonas de forte transição entre massas de ar com características físicas diferentes, associadas às ondas baroclínicas de latitudes médias.
a. Sistemas frontais (SF)
Segundo Palmén e Newton (1969), as frentes são definidas como uma região de transição entre duas massas de ar com propriedades físicas distintas.
As massas de ar são grandes porções horizontais de ar com propriedades termodinâmicas (temperatura e umidade) homogêneas que são adquiridas na região onde se originam.
Os sistemas frontais atuam durante o ano todo sobre o Brasil com freqüências maiores nas latitudes mais altas e menores nas latitudes mais baixas. A interação entre a convecção tropical e sistemas frontais ocorre mais freqüentemente quando os sistemas frontais se encontram na banda entre 20ºS e 35ºS. Durante o período de inverno ocorre maior gradiente de temperatura entre trópicos e extratrópicos, e conseqüentemente maior variação de pressão nas latitudes médias, a qual influencia as condições atmosféricas sobre o sul do Brasil. Este contraste em alguns casos afeta a região central, estendendo-se até o sul da região norte, em um fenômeno chamado de
"Friagem" (Marengo et al., 1996). A passagem de zonas frontais no inverno pelo sul e sudeste do Brasil podem causar geadas nestas regiões.
O deslocamento desses sistemas está associado ao escoamento ondulatório de grande escala. A intensificação ou dissipação dos mesmos está relacionada com as características atmosféricas sobre o continente. Algumas regiões do Brasil, tais como as regiões sul e sudeste são regiões
frontogenéticas, ou seja, as frentes podem se intensificar ou podem se formar (Satyamurty e Mattos, 1989).
A ocorrência de ciclogêneses e frontogêneses sobre o sul e sudeste do Brasil também é um fator preponderante na determinação da climatologia da precipitação e temperatura destas regiões. Estudos estatísticos (Gan e Rao, 1991) mostram que a maior freqüência de ciclogêneses ocorre sobre o Uruguai durante o inverno do hemisfério sul (HS). Em média, ocorrem cerca de 60 ciclogêneses sobre a região sul do Brasil a cada ano.
b. Bloqueios atmosféricos
O fenômeno atmosférico designado por bloqueio corresponde à formação de um anticiclone quase estacionário de grande diâmetro. A circulação atmosférica de latitudes médias em altos níveis é dominada por um escoamento zonal de oeste, que em situações de bloqueio ocorre uma divisão do jato em dois ramos, que ocasiona um rompimento no padrão zonal e o escoamento passa ser mais meridional. Devido ao escoamento mais meridional, os sistemas transientes de oeste, como frentes, ciclones e anticiclones, são desviados de suas trajetórias normais. (Casarin, 1982).
O bloqueio pode causar condições de tempo bom na região onde se forma e de mau tempo em outras áreas por um período de vários dias sobre uma região. Na América do Sul, a estação de maior ocorrência de bloqueios é o outono e estes podem perdurar por até 10 dias (Casarin, 1982).
Os efeitos de um bloqueio atmosférico ocorrido no inverno de 1995 no Rio Grande do Sul, relacionado a precipitações intensas, foi analisado por Oliveira e Saraiva (2000), foi observado que a alta estacionou no norte do estado enquanto que a baixa ficou ao sul do mesmo. Eles verificaram também que as maiores anomalias no campo da precipitação ocorreram no mês de julho, sendo que, nos municípios de Rio Grande e Pelotas, a taxa de precipitação esteve acima da normal em 485,2 mm e 510 mm, respectivamente.
c. Corrente de jato subtropical
A corrente de jato é caracterizada por um escoamento do vento zonal de oeste que atinge valores máximos próximo à tropopausa. O aumento da velocidade é ocasionado pela existência de gradientes meridionais de temperatura, uma vez que esta corrente origina-se entre as massas de ar frio e as massas de ar quente (Palmén e Newton, 1969).
Kousky e Cavalcanti (1984) observaram a influência do jato subtropical nas intensas precipitações sobre a região sul durante o evento de El Niño de 1983. No mês de julho de 1995, a precipitação no extremo sul do Brasil foi acima da média climatológica devido a um bloqueio ocorrido no oceano Pacífico e ao jato subtropical que desviou as frentes frias em direção ao oceano Atlântico, fazendo com que elas só atingissem a região citada (Climanálise, 1995). A corrente de jato subtropical é caminho preferencial para a propagação de sistemas atmosféricos no inverno na América do Sul (Berbery e Vera, 1996).
d. Vórtices ciclônicos em altos níveis (VCAN)
Os vórtices ciclônicos em altos níveis (VCAN) de origem subtropical atuam sobre as regiões sul e sudeste do Brasil por um período de 1 ou 2 dias provocando chuvas e ventos fortes. Um dos primeiros estudos a respeito de VCAN foi feito por Palmer (1951). Os vórtices ciclônicos de ar frio, que se formam na retaguarda de algumas frentes frias estão freqüentemente associados a significativos índices de precipitação (Matsumoto et al., 1982).
Os VCAN são definidos como sistemas fechados de baixa pressão, de escala sinótica, que se formam na alta troposfera (Gan, 1982), também chamados como baixas frias, pois apresentam centro mais frio que a periferia.
Normalmente estes vórtices originam-se no Oceano Pacífico e muitas vezes ao cruzarem os Andes provocam alterações no tempo nessas regiões, no Uruguai e norte da Argentina (Cavalcanti, 1985). Quando os VCAN penetram no continente, oriundos do Oceano Pacífico, normalmente ocorre instabilidade e precipitação nos setores leste e nordeste do vórtice. Os vórtices ciclônicos possuem uma vida média que varia consideravelmente, uns duram apenas algumas horas, outros mais de duas semanas. Ocasionalmente, os vórtices
ciclônicos intensificam-se para baixo na vertical e podem refletir no campo de pressão em superfície.
Rao e Bonatti (1987) sugeriram que os processos como a liberação de calor latente de condensação e a variação diurna na intensidade do anticiclone sobre o continente sul-americano são mais importantes que a instabilidade barotrópica na geração dos vórtices ciclônicos. Os VCAN formam-se devido à pré-existência de um cavado frio em altos níveis de latitudes médias, que ao penetrar nos subtrópicos pode ter uma inclinação meridional bem acentuada.
Essa inclinação faz com que a parte do cavado, em baixas latitudes, tenha uma velocidade zonal inferior ao resto do cavado atrasando-se até desprender-se completamente. Desse modo, uma circulação ciclônica fechada forma-se nesta parte desprendida, ou seja, quando massas de ar de altas latitudes associadas com cavados estendidos, tornam-se desprendidas.
Os vórtices confinados na média e alta troposfera possuem pouca nebulosidade e são denominados secos. Esses VCAN estão caracterizados por movimento descendente e seco no seu centro (Frank, 1970). Os vórtices que atingem os níveis mais baixos da troposfera possuem bastante nebulosidade, e são denominados úmidos. A nebulosidade associada varia, ocorrendo muitas vezes intensa nebulosidade e precipitação e outras vezes o céu está quase claro.
Além de causar chuvas fortes, os VCAN também estão muitas vezes associados à ocorrência de geadas. Fortune (1982), estudou a severidade de uma grande geada ocorrida em 1981 e constatou que um VCAN foi o elemento importante para a ocorrência de geadas na região sul do Brasil.
2.1.3 Sistemas de grande escala
Entre os sistemas de grande escala, o sul do Brasil é afetado pelo fenômeno El Niño Oscilação Sul.
El Niño Oscilação Sul
El Niño Oscilação Sul (ENOS) é um fenômeno de interação oceano- atmosfera, associado a alterações dos padrões normais da Temperatura da
Superfície do Mar (TSM) e dos ventos alísios na região do Pacífico Equatorial, entre a Costa Peruana e o Pacífico oeste próximo à Austrália.
Além da temperatura do mar, o fenômeno ENOS pode ser medido pelo Índice de Oscilação Sul (IOS), que é a diferença entre a pressão ao nível do mar do Pacífico Central (Taiti) e o Pacífico Oeste (Darwin/Austrália). Esse índice está relacionado com as mudanças na circulação atmosférica em baixos níveis, conseqüência do aquecimento/resfriamento das águas superficiais da região. Valores negativos e positivos da IOS são indicadores da ocorrência do El Niño e La Niña respectivamente (Oliveira, 2001).
A fase quente do fenômeno El Niño é caracterizada pela elevação da temperatura das águas da região oriental do Oceano Pacífico Tropical acima da média da região, juntamente com a ocorrência de pressões atmosféricas abaixo da normal na região de Taiti e acima da normal em Darwin. Na fase fria (La Niña) o comportamento das componentes oceânica e atmosférica é o inverso.
O fenômeno ENOS afeta a circulação atmosférica, determinando perturbações no padrão de variabilidade da temperatura do ar e, principalmente, da precipitação pluvial em diversas regiões do globo de maneira geral, a fase quente esta associada aos períodos secos nas regiões tropicais e aos períodos quentes e úmidos nos extratrópicos. A fase fria é marcada por eventos contrários: períodos úmidos nos trópicos e secos e frios fora deles (Grants e Richard, 1991).
Embora as causas iniciais da oscilação sejam desconhecidas, uma vez iniciada, a Oscilação Sul segue uma certa seqüência de eventos com efeitos bem definidos na precipitação sobre uma grande parte dos trópicos e subtrópicos. Secas na Austrália, Indonésia, Índia, Oeste da África e Nordeste do Brasil, bem como excessiva precipitação no Pacífico Central e Leste. Peru, Equador e Sul do Brasil são bem relacionadas com a Oscilação Sul.
Os eventos de El Niño também são associados com grandes variações na configuração do escoamento troposférico em ambos os hemisférios. Os jatos subtropicais na troposfera superior são bem fortes, assim como são fortes as variações no regime dos ventos alísios no Pacífico Equatorial em baixos níveis. Durante eventos de El Niño as configurações de bloqueio também são mais freqüentes em certas regiões (Kousky e Cavalcante, 1984).
O Sul da América do Sul (SAS), que compreende o sul do Brasil, Argentina, Chile, Uruguai e Paraguai é uma das regiões extratropicais mais afetadas pelos eventos El Niño (EN) e La Niña (LN). Várias áreas do SAS tem relacionado a presença de forte variabilidade na precipitação interanual associada com esses eventos (Ropelewiski e Halpert, 1987; Grimm, 2000).
Rao et al. (2002) fazendo uma análise das características da precipitação sobre o Hemisfério Sul durante evento de El Niño em 1997-98, encontraram que o transporte de umidade em direção sul proveniente dos trópicos para dentro dos subtrópicos e médias latitudes para o este da Cordilheira dos Andes estava associado com Jatos de Baixos Níveis (JBN).
Estes ventos eram mais fortes em anos de EN do que em anos de LN, e o transporte de umidade em direção aos subtrópicos era maior, resultando em uma maior quantidade de precipitação durante o verão em anos de EN do que em anos de LN.
Segundo Marques e Rao (1999), a ocorrência de altas de bloqueio sobre o sudeste do oceano Pacífico é mais freqüente durante anos de EN do que em anos de LN. Anomalias positivas de precipitação sobre o sul do RS durante o inverno estão associadas com eventos EN e, conseqüentemente, com o bloqueio.
Dada a extensão do seu território, verificam-se conseqüências opostas dos fenômenos El Nino e La Niña no Brasil. No Sul, a fase quente, em geral, determina excesso de precipitação e a fase fria está associada à ocorrência de precipitação abaixo da normal. No nordeste brasileiro, verifica-se o inverso (Rao e Hada, 1990; Studzinski, 1995).
2.2. Oscilações intrasazonais
Vários estudos mostram que a atmosfera tropical é modulada pelas oscilações intrasazonais associadas com a oscilação de Madden e Julian (Madden e Julian, 1971,1972; Lau e Chan, 1983) e pelas oscilações interanuais associadas com o El Niño Oscilação Sul (Rasmusson e Arkin, 1985). Oscilação de Madden e Julian (OMJ) são distúrbios atmosféricos que se propagam sobre o oceano Pacífico Oeste numa escala de tempo de 30-60 dias. Segundo Krishnan e Kasture (1996), as mudanças no escoamento de larga escala,
causadas pelas anomalias do ENOS, afetam a propagação das oscilações de 30-60 dias. Essas oscilações influenciam os padrões de anomalias da circulação atmosférica que estão relacionados com as variações na precipitação de muitas regiões dos trópicos e subtrópicos.
Kayano e Kousky (1996) já haviam detectado o sinal intrasazonal de pressão ao nível do mar de periodicidades de 25 a 87 dias, no inverno sobre a América do Sul, e associaram com os sistemas frontais. Obregón (2001) estudou a variabilidade em escalas intrasazonais sobre o Brasil através de dados de precipitação diária de 1979-1993. Ele encontrou o predomínio de oscilações com período de 20 e 40 dias sobre o Sul no inverno. Ele concluiu que o padrão espacial de oscilação de 20 dias mostra estrutura similar aos das ondas baroclínicas, enquanto que a de 40 dias parece ter algum tipo de modulação interanual, possivelmente associado com a dinâmica de grande escala.
2.3. Estudos geofísicos utilizando a transformada wavelet
O conceito da transformada wavelet foi introduzido pelo físico Alfred Haar em 1910, o qual se dá por um sistema completo de funções ortogonais, porém, formalizado pela primeira vez na década de 80 através de uma série de artigos escritos por Morlet (1981).
A partir da segunda metade da década de 80 que foram definidos com rigor os conceitos que permitem compreender de uma forma clara a natureza deste tipo de funções, estabelecendo as suas propriedades e permitindo as construção e geração de outras famílias de wavelets. Envolvidos neste trabalho pioneiro estiveram vários pesquisadores, destacando-se, entre outros, Meyer (1989), Mallat (1989) e Daubechies (1992). Após décadas de formalismo matemático, finalmente a transformada wavelet foi utilizada de forma pioneira na análise de sinais geofísicos mais diversos (Kumar e Foufoula, 1994).
Morettin (1999) mostra uma abordagem mais teórica das wavelets e apresenta a sua potencialidade de aplicações em várias áreas. Verificou que as wavelets são funções matemáticas que separam um sinal em suas componentes de diferentes freqüências para cada escala. Este método possui vantagens sobre a Transformada de Fourier na análise de situações físicas onde o sinal contém descontinuidades e pulsos.
Astaf'eva (1996) aplicou a transformada wavelet na análise de processos não estacionários envolvendo um grande número de escalas e verificou que a TW é uma ferramenta adequada e bem adaptada para os sinais não estacionários. O potencial do método é ilustrado pela análise de vários modelos de séries, tais como: harmônicos, fractal e as mesmas séries contaminadas com vários tipos de singularidades.
Torrence e Webster (1999) aplicaram as transformada wavelet de Morlet e de Chapéu Mexicano a dados de TSM na região do Niño3 (1871-1996) e do Índice de Oscilação Sul (IOS), obtido da pressão ao nível do mar (1871- 1994) entre o Pacífico leste e oeste. Os resultados mostraram que a variância do ENOS mais intensa ocorre nas escalas de tempo interdecadal de 1880-1920 e 1960-1990, com um período de baixa variância entre 1920 a 1960. Estes períodos estiveram relacionados com maior variância nas escalas de tempo de 2 a 8 anos.
Chapa et al. (1998), aplicaram a transformada wavelet de Morlet aos índices de nuvens frias (CCI) para detectar periodicidades em atividades convectivas na América do sul e detectaram que mais ao sul nos extratrópicos, os eventos periódicos de 10-20 dias referentes a onda baroclínica são mais proeminentes no outono e inverno austral e as oscilações de 1-5 dias são vistas no verão, talvez devido a nebulosidade convectiva.
Vitorino (2002) aplicou a transformada wavelet em dados de pressão ao nível médio do mar (PNM) e de radiação de onda longa emergente (ROLE) sobre a América do Sul e oceanos adjacentes para o período de 1979 a 1996.
Observou que no Sul do Brasil, devido à intensa atuação de sistemas transientes de latitudes médias, a banda dominante de ROLE e de PNM é a de alta freqüência (2-10 dias) que aparece durante quase o ano todo. Por outro lado, a banda de 30-90 dias, surge tanto no sinal da ROLE, quanto no de PNM, mas o sinal da ROLE é fraco e ocorre no verão e a PNM é intenso no inverno do HS.
Reboita e Krusche (2003) aplicaram a transformada de wavelet às séries de temperatura do ar e precipitação, do período de 1º de janeiro de 1991 a 31 de dezembro de 2000, medidas no município de Rio Grande. As autoras associaram as oscilações observadas nos escalogramas de energia de wavelet
e nos espectros de wavelet global com a formação de sistemas frontais, incursões de ar frio, bloqueios atmosféricos e fenômeno El Niño Oscilação Sul.
3. ASPECTOS TEÓRICOS
3.1. Análise no tempo e na freqüência
A motivação original para a criação da teoria de wavelet foi o desenvolvimento de um método de aquisição, transformação e armazenagem de uma função de uma variável no domínio do tempo e que também satisfizesse as seguintes propriedades:
i) A contribuição de cada uma das diferentes bandas de freqüência deve ser separada no domínio da freqüência.
ii) Esta separação deve ser alcançada sem a perda excessiva de resolução na variável tempo.
iii) A reconstrução da função original a partir de sua representação ou transformada deve ser obtida por um método que seja capaz de oferecer uma alta precisão e que ao mesmo tempo seja robusto, ou seja, que o mesmo seja estável perante as pequenas perturbações.
As duas primeiras condições caracterizam essencialmente a propriedade conhecida como localização no tempo e na freqüência.
3.2. Transformada de Fourier
Existe uma grande quantidade de ferramentas disponíveis para a análise de sinal, talvez a mais conhecida de todas elas seja a transformada de
Fourier, que separa o sinal em suas componentes (co-senos e senos) de diferentes freqüências. Outra maneira de se pensar na transformada de Fourier seria como uma técnica matemática para transformar o sinal observado no domínio do tempo (ou do espaço, sem perda alguma de generalidade) para o domínio da freqüência/periodicidade (número de onda, no caso espacial).
Para muitos sinais, a transformada de Fourier é extremamente útil, pois o conteúdo de freqüência é de extrema importância. Por que, então, se faz necessário o uso de outras técnicas de análise, tal como a transformada wavelet?
A transformada de Fourier possui uma peculiaridade indesejável. Na transformação do sinal do domínio do tempo para o domínio da freqüência, perde-se totalmente a informação sobre a localização temporal (ou espacial).
Quando olhamos para a transformada de Fourier de um sinal, é impossível dizer onde um evento em particular está localizado, pois o que é obtido são apenas as freqüências que compõem o sinal.
Se um sinal não se altera no tempo, ou seja, se é um sinal estacionário, esta peculiaridade não tem importância alguma. Entretanto, a maioria dos sinais contém numerosas características não estacionárias ou transitórias, tais como: tendências, mudanças abruptas e os eventos intermitentes. Estas características são geralmente as partes mais importantes de um sinal e a transformada de Fourier é incapaz de detectar tais processos.
Formalmente, a transformada de Fourier de uma função f(t), é definida em Kumar e Foufolla (1994) como:
f f t e dt
t
Ff( ) () () it
^
(3.1)
e fornece informações sobre o conteúdo de freqüência de um processo ou sinal, mas não fornece informações sobre a localização destas freqüências no domínio do tempo.
Variações de freqüências dependentes do tempo são comuns na música, na voz humana, em sinais geofísicos não estacionários, entre outras.
Para estudar tais sinais, deve-se efetuar uma transformada capaz de obter o conteúdo de freqüência de um sinal localmente no tempo (ou no espaço), foram desenvolvidas a TFCD e a TW.
3.3. Transformada de Fourier de curta duração (TFCD)
Na tentativa de analisar séries não-estacionárias foi utilizada a transformada de Fourier de curta duração (TFCD) ou transformada de Gabor.
Para um dado sinal f(t), aplicamos uma janela g(t) a f(t):
) ( ) ( ) ,
(t t0 f t g t t0
fg (3.2)
Essa janela é real, tem duração finita e é centrada em t0. A transformada de Fourier de curta duração (TFCD) é, então, definida por:
f t g t t e dt t
Gf(, 0) ( ) ( 0) it (3.3)
Essa transformada é calculada para todos os valores de t0e fornece uma representação em tempo-freqüência de f(t). Gabor (1946) foi o primeiro a introduzir tal procedimento e usou uma janela tipo gaussiana. Contudo a TFCD trabalha com uma janela fixa no domínio tempo-freqüência, o que torna difícil capturar as componentes de alta e baixa freqüência de um sinal simultaneamente, ou seja, uma transformada de Fourier de curta duração, não conta com uma flexibilidade de uma janela que aumenta para baixas freqüências e diminua para altas freqüências (Morettin, 1999).
A TFCD é mais recomendada para a análise de processos onde todas suas freqüências possuam aproximadamente a mesma freqüência. Quando as freqüências variam, a aplicação da transformada wavelet, o que tem a característica de flexibilidade de janela, é apropriada.
3.4. Transformada wavelet
O termo wavelet refere-se a um conjunto de pequenas ondas formadas por dilatações (t)(t.a) e translações (t)(tb) de uma única função
)
(t , que está enquadrada na cadeia real tempo e espaço [L2(R)]. A função )
(t é as vezes chamada de “wavelet mother ou wavelet mãe”, enquanto que as “wavelets ou wavelet filhas” são funções construídas por dilatações e translações derivadas da wavelet mãe que tem energia definida.
A transformada wavelet, de uma função f(t), com energia finita é definida como uma transformada integral:
f t t dt b
a
Wf( , ) ()a,b() (3.4)
O núcleo desta transformada é a família de funções, chamadas wavelets,
a b a t
b t
a
, ( ) 0.5 (3.5)
onde, a é um parâmetro de escala e é positivo, b é o parâmetro de localização.
Mudando-se o valor de a tem-se um efeito de dilatação (a > 1) ou de contração (a < 1), enquanto que, mudança no parâmetro b tem o efeito de analisar a função f(t) em torno deste ponto.
Para mostrar as vantagens da transformada wavelet sobre a transformada de Fourier e a transformada de Fourier de curta duração, será feita a aplicação destas técnicas em uma série senoidal, com freqüências 3, 10,15 e 25, no capítulo 5.
Na análise de Fourier o campo é assumido como homogêneo e é dada a informação da freqüência/periodicidade média do sinal em todo o domínio de tempo. Enquanto que na análise de wavelet os coeficientes são mostrados na freqüência e tempo. A localização temporal dos coeficientes de wavelet mostrados em tempo-freqüência é uma vantagem adicional da transformada wavelet sobre as outras transformadas. Desta forma, os pequenos fenômenos meteorológicos como as oscilações intrasazonais são localizadas no tempo. A transformada wavelet é confiável para estudar estes fenômenos.
3.5. Transformada wavelet (TW) contínua
Para as séries de tempo geofísico, de valor real, é conveniente escolher uma TW contínua com valores complexos de wavelets. Um valor complexo de wavelet fornece importantes informações, como: o módulo que dá a densidade de energia; a fase que detecta singularidades e medidas instantâneas de freqüência e as partes reais e imaginárias dos coeficientes de wavelet que representam a intensidade e a fase de variação do sinal em escalas particulares e localização no domínio de wavelet (o domínio de tempo- freqüência).
3.6. Funções wavelets
A função (t) deve satisfazer as seguintes propriedades:
i) Suporte Compacto - (t)0 rapidamente quando t0. Esta propriedade garante boa localização espacial.
ii) Admissibilidade - a (t) deve possuir média nula, ou seja,
(t)dt 0. Esta propriedade garante que a função (t) tenha caráter ondulatório, ou seja, comporte-se tal qual uma onda.iii) Energia finita – esta propriedade implica que,
(t)2dt o que torna-a importante na reconstrução do sinal, devido a conservação de energia.Para a escolha da função wavelet (t), existe uma série de critérios que devem ser considerados (Torrence e Compo, 1998) e que são listados na seqüência:
Ortogonais ou não ortogonais – “Na transformada wavelet utilizando-se famílias de wavelets ortogonais, o número de convoluções em cada escala é proporcional à janela da função wavelet escolhida nesta escala. Isto produz um espectro wavelet que contém “blocos” discretos de energia wavelet e é útil no processamento de sinais, pois fornece uma representação mais compacta do mesmo. Infelizmente para analisar séries temporais, um deslocamento não periódico na série produz um espectro wavelet diferente. Reciprocamente, a transformada wavelet obtida utilizando-se famílias de wavelets não-ortogonais é altamente redundante em escalas maiores, onde o espectro wavelet em tempos adjacentes é altamente correlacionado. A transformada wavelet não- ortogonal é útil na análise de séries temporais (válido também para séries espaciais) onde atenuações e variações contínuas na amplitude wavelet são esperadas”.
Complexa ou real – “Uma função wavelet complexa irá fornecer informação da amplitude e da fase e é mais bem adaptada para capturar comportamentos oscilatórios de séries temporais. Uma função wavelet real fornece apenas informação sobre uma componente e pode ser utilizada apenas para localizar picos e descontinuidades”.
Suporte – “A resolução de uma função wavelet é determinada pelo balanço entre seu suporte no espaço real e o seu suporte no espaço na freqüência. Uma função com um suporte mais compacto (mais estreita), vai ter uma boa resolução no domínio do tempo e uma resolução mais pobre no domínio da freqüência, enquanto uma função com suporte mais amplo (mais larga) terá uma resolução mais pobre no domínio do tempo e uma boa resolução no domínio da freqüência”.
Formato – “A função wavelet escolhida deve refletir o tipo de características presentes na série temporal. Para séries com picos ou descontinuidades, uma boa escolha seria a wavelet de Haar, enquanto que para identificação de oscilações na série deve se escolher uma função como a wavelet de Morlet. Se o interesse principal é a obtenção do espectro de energia wavelet, então a escolha da função wavelet não é crítica e qualquer uma delas irá fornecer o mesmo resultado qualitativo”.
3.7. Exemplos de wavelets unidimensionais
Devido a flexibilidade de escolha das wavelets, muitas funções tem sido utilizadas como wavelets. Abaixo pode-se ter um resumo das wavelets mais empregadas na literatura.
a. Wavelet de Haar - A wavelet de Haar é a mais simples de todas as wavelets e pertence a família das wavelets ortogonais com suporte compacto e é definida (Kumar e Foufola, 1988) como:
se,0t1
se,1 t 0 (3.6) caso-contrário
Em um sinal unidimensional discretamente amostrado esta wavelet pode ser vista atuando como um operador de diferenciação, ou seja, fornecendo diferenças das médias não sobrepostas da observação. A forma de wavelet de Haar é mostrada na Figura 1(a).
b. Wavelet Gaussiana - Esta wavelet é a derivada primeira da função gaussiana f(t)et2/2, e é definida como (Percival e Walden, 2000):
0
2 1
2 1 )
(t
4 / 1 2 / 3
2
/ 2
2
) 2
(
t
t te
(3.7)
A forma de wavelet Gaussiana para um valor de desvio padrão = 0,44311, e o que satisfaz a condição 2 1 (energia unitária) é mostrada na Figura 1(b).
c. Wavelet Chapéu Mexicano - Esta wavelet é a derivada segunda da função gaussiana f(t)et2/2 , pertence a família de wavelets não ortogonais e é definida como (Percival e Walden, 2000):
3 1
2 )
( 1/4
2 / 2
2 2
t2
t e t
(3.8)
Para um valor de desvio padrão = 0,63628 escolhido, e que satisfaz a condição 2 1 a wavelet Chapéu Mexicano é mostrada na Figura 1(c).
Esta wavelet é muito utilizada na literatura principalmente na detecção de bordas.
d. Wavelet de Morlet - O conceito de wavelet na atual forma teórica foi pela primeira vez proposto por Jean Morlet. A wavelet de Morlet pertence à família de wavelets não-ortogonais e é definida como:
2 / 4
/
1 2
)
(t eitet
(3.9)
que é uma onda plana com vetor de onda , modulado por uma unidade de largura no envelope Gaussiano (et2/2). A Figura 2 mostra a parte real da wavelet Morlet complexa para = 5.4 e as dilatações e translações provocadas pela mudança nos coeficientes a e b na equação (3.9).
2 4 /
/ 1 2 / 1 ,
2
)
(
a
b t a
b i t
b
a t a e e
(3.10)
onde a1/2é o termo normalizador de energia de cada wavelet.
A Figura 2(a) mostra a wavelet Morlet mãe, pois a = 1 e b = 0 e as dilatações e translações das wavelet filhas são mostradas na Figura 2(b - f).
Haar
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
-3 -1 1 3
t
Gauss
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
-3 -2 -1 0 1 2 3
t
Chapeu Mexicano
-1,5 -0,5 0,5 1,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
t
FIGURA 1. Formas de wavelet. (a) Haar, (b) Gaussiana, para 0,44311e (c) Chapéu Mexicano, para 0,63628.
(a)
(c) (b)
Gaussiana
Chapéu Mexicano
FIGURA 2. Dilatações e translações de wavelet de Morlet para 5.4.
Fonte: Weng e Lau, 1994.
4. MATERIAIS E MÉTODOS
4.1. Materiais
Para este trabalho, foram utilizados dados diários de precipitação (PPT), pressão ao nível médio do mar (PNMM), nebulosidade (NEB), umidade relativa (UR), durante o período de 1994 a 2003 da cidade de Pelotas-RS (Latitude: 31º52’S; Longitude: 52º21’W; Altitude: 13m). Estes dados foram obtidos na Estação Agroclimatológica de Pelotas – Convênio Embrapa/UFPel, fornecidos ao INMET (Instituto Nacional de Meteorologia).
4.2. Método
A idéia central da análise em wavelets consiste em decompor um sinal a diferentes níveis de resolução, processo conhecido como multiresolução. A representação de multiresolução fornece uma moldura hierárquica simples para interpretação de informação do sinal. As diferentes resoluções, os detalhes de um sinal geralmente caracterizam diferentes estruturas físicas do mesmo. Para uma resolução mais grosseira, estes detalhes geralmente caracterizam as grandes estruturas que fornecem o contexto. Com o aumento da resolução, obtem-se detalhes mais finos.
É importante lembrar que quando utilizamos a análise de Fourier as bases utilizadas são localizadas na freqüência, enquanto que na análise em
wavelet as bases são localizadas no tempo e na freqüência e isto faz com que a transformada wavelet seja ideal para análise de séries não-estacionárias. TW mede o grau de similaridade entre a wavelet a,b e a função f(t).
Uma wavelet que é adequada para capturar variações nas periodicidades dos sinais geofísicos é a wavelet de Morlet, pois esta, possui um grande número de oscilações (Weng e Lau, 1994).
Portanto para este trabalho foi usada a transformada wavelet de Morlet, ou seja:
dt t t f b
a f
W ( , )
()a,b( ) (4.1)onde f(t) é a função que constitui a série de dados e a,b é a wavelet de Morlet, com translações e dilatações, dada por:
2 4 /
/ 1 2 / 1 ,
2
) (
a
b t a
b i t
b
a t a e e
(4.2)
A wavelet de Morlet é essencialmente uma exponencial complexa e sua freqüência é dada por:
2
f (4.3)
onde é um vetor de onda que define a freqüência da wavelet.
A fase do sinal também pode ser definida através da expressão:
)]
, ( [
)]
, ( ) Im[
,
( RWf a b
b a arctg Wf
b
a (4.4)
onde Im[Wf(a,b)] é a parte imaginária e R[Wf(a,b)]é a parte real de wavelet.
Para localizar os fenômenos nos domínios de tempo e freqüência pode- se representar graficamente a parte real, o módulo ou ainda a energia dos coeficientes de wavelet, neste estudo será usado apenas o gráfico da componente real.
Para execução computacional da transformada de wavelet, utilizou-se o mesmo algoritmo apresentado por Chapa et al. (1998). Como o cálculo da transformada wavelet é baseado na transformada de Fourier, é necessário que as séries temporais tenham duração correspondente a uma potência de base 2 para um melhor desempenho computacional da transformada.
Para identificar as variáveis que mais influenciam a precipitação, será usado o cálculo das correlações. O coeficiente de correlação entre duas variáveis é dado expressão (Willes, 1995):
y x n
i i iy x r n
1 ' '
1 (4.5)
onde
n
i i
x x
1 '2
e
n
i i
y y
1 '2
(4.6)
i i
i x x
x' , yi' yi yi (4.7)
n é o número de observações, xi e yidados observados, xi e yi médias, xi' e
'
yi desvios das médias e x e y desvios padrão das respectivas variáveis Para os resultados das correlações foi aplicado o teste de significância.
Neste estudo o teste de significância t-Student foi aplicado para a correlação entre os dados de precipitação e os dados das demais variáveis meteorológicas.
O teste de significância t-Student é calculado da seguinte forma (Willes, 1995):
1 2
2 r n t r
(4.8)
onde
r representa o coeficiente de correlação e n-2 é o número de graus de liberdade.
Se o valor calculado for maior que o valor tabelado (Tabela 1), para N = n – 2 e p= 0,05, admite-se significância de 95%.
As correlações foram calculadas para os dados diários de observações das variáveis PPT, PNMM, NEB e UR durante o período de JJA, então N = 90, como estamos admitindo significância de 95% o valor de significância tabelado é de 1,99, portanto todos os valores calculados por t-Student maiores que 1,99 possuem correlações lineares significativas.
TABELA 1. Valores de t para os níveis de probabilidade de 0,05; 0,01 e 0,001 e para N de 1 a 100.
95% 99% 99,90% 95% 99% 99,90%
N P = 0.05 P = 0.01 P = 0.001 N P = 0,05 P = 0,01 P = 0,001
1 12.71 63.66 636.61 51 2.01 2.68 3.49
2 4.30 9.92 31.60 52 2.01 2.67 3.49
3 3.18 5.84 12.92 53 2.01 2.67 3.48
4 2.78 4.60 8.61 54 2.00 2.67 3.48
5 2.57 4.03 6.87 55 2.00 2.67 3.48
6 2.45 3.71 5.96 56 2.00 2.67 3.47
7 2.36 3.50 5.41 57 2.00 2.66 3.47
8 2.31 3.36 5.04 58 2.00 2.66 3.47
9 2.26 3.25 4.78 59 2.00 2.66 3.46
10 2.23 3.17 4.59 60 2.00 2.66 3.46
11 2.20 3.11 4.44 61 2.00 2.66 3.46
12 2.18 3.05 4.32 62 2.00 2.66 3.46
13 2.16 3.01 4.22 63 2.00 2.66 3.45
14 2.14 2.98 4.14 64 2.00 2.65 3.45
15 2.13 2.95 4.07 65 2.00 2.65 3.45
16 2.12 2.92 4.02 66 2.00 2.65 3.44
17 2.11 2.90 3.97 67 2.00 2.65 3.44
18 2.10 2.88 3.92 68 2.00 2.65 3.44
19 2.09 2.86 3.88 69 2.00 2.65 3.44
20 2.09 2.85 3.85 70 1.99 2.65 3.44
21 2.08 2.83 3.82 71 1.99 2.65 3.43
22 2.07 2.82 3.79 72 1.99 2.65 3.43
23 2.07 2.81 3.77 73 1.99 2.64 3.43
24 2.06 2.80 3.75 74 1.99 2.64 3.43
25 2.06 2.79 3.73 75 1.99 2.64 3.43
26 2.06 2.78 3.71 76 1.99 2.64 3.42
27 2.05 2.77 3.69 77 1.99 2.64 3.42
28 2.05 2.76 3.67 78 1.99 2.64 3.42
29 2.05 2.76 3.66 79 1.99 2.64 3.42
30 2.04 2.75 3.65 80 1.99 2.64 3.42
31 2.04 2.74 3.63 81 1.99 2.64 3.42
32 2.04 2.74 3.62 82 1.99 2.64 3.41
33 2.03 2.73 3.61 83 1.99 2.64 3.41
34 2.03 2.73 3.60 84 1.99 2.64 3.41
35 2.03 2.72 3.59 85 1.99 2.63 3.41
36 2.03 2.72 3.58 86 1.99 2.63 3.41
37 2.03 2.72 3.57 87 1.99 2.63 3.41
38 2.02 2.71 3.57 88 1.99 2.63 3.41
39 2.02 2.71 3.56 89 1.99 2.63 3.40
40 2.02 2.70 3.55 90 1.99 2.63 3.40
41 2.02 2.70 3.54 91 1.99 2.63 3.40
42 2.02 2.70 3.54 92 1.99 2.63 3.40
43 2.02 2.70 3.53 93 1.99 2.63 3.40
44 2.02 2.69 3.53 94 1.99 2.63 3.40
45 2.01 2.69 3.52 95 1.99 2.63 3.40
46 2.01 2.69 3.52 96 1.99 2.63 3.40
47 2.01 2.68 3.51 97 1.98 2.63 3.39
48 2.01 2.68 3.51 98 1.98 2.63 3.39
49 2.01 2.68 3.50 99 1.98 2.63 3.39
50 2.01 2.68 3.50 100 1.98 2.63 3.39
5. APLICAÇÃO DA TWM EM SINAIS SIMULADOS
Neste capítulo serão mostradas as aplicações da transformada wavelet de Morlet em sinais simulados. Serão discutidas algumas vantagens da transformada de wavelet sobre as transformadas de Fourier e de Gabor, nas análises das periodicidades dos sinais. E a importância da variação dos parâmetros de wavelet na identificação das periodicidades dos sinais, também será discutida.
5.1. Comparação das transformadas de Fourier, de Gabor e Wavelet
A transformada de Fourier (TF) separa o sinal em suas componentes (em co-senos e senos) de diferentes freqüências. TF é uma técnica matemática para transformar o sinal observado no domínio do tempo para o domínio da freqüência. Essa transformação extrai a informação global de sinais de ondas equivalentes, mas perde totalmente a informação sobre a localização temporal.
Entretanto, se um sinal é alterado em uma pequena vizinhança em um certo instante de tempo o espectro inteiro pode ser afetado. Uma informação local é então rompida dentro de um grande número de bases globais. Sinais não-estacionários que aparecem apenas em curto intervalo de tempo podem não ser detectados pela análise de Fourier. Portanto, em análises não- estacionárias e ou sinais fracos, a TF não é adequada.
No exemplo mostrado na Figura 3(a) tem-se um sinal consistindo de quatro sinais senoidais de diferentes periodicidades, situados em série, e na Figura 4(a) tem-se um sinal consistindo dos mesmos sinais senoidais, mas agora sobrepostos. Os sinais foram simulados através da função:
p sin t t
f 2
)
( (5.1)
onde t é a série de dados e p é a periodicidade.
Para os sinais em série: t = 1...300 e p = 3, t = 301...600 e p = 10, t = 601...900 e p = 15 e t = 901...1200 e p = 25. Para os sinais sobrepostos: t = 1...1200 e p = 3, 10, 15 e 25.
Os periodogramas da transformada de Fourier dos sinais em série e sobrepostos são mostrados nas Figuras 3(b) e 4(b), respectivamente. Ambas as figuras mostram a mesma informação de periodicidade dos sinais senoidais, mas não informam a localização desses sinais.
Para obter o conteúdo de periodicidade de um sinal localmente no tempo, existem essencialmente dois métodos: A transformada de Fourier de curta duração (TFCD) e a transformada wavelet (TW). As Figuras 3(c-e) e 4(c- e) mostram os periodogramas da TFCD em janelas de observações de 1-400, 401-800 e 801-1200 pontos, respectivamente. As periodicidades observadas nessas figuras não informam a localização dos sinais, sabe-se apenas que os sinais encontram-se dentro das janelas pré-determinadas. Nas Figuras 4(c-e) existem todos os quatro sinais em cada janela, mas não há, nos periodogramas, a informação da localização desses sinais. Isso significa que na TFCD a localização dos sinais é limitada pelo tamanho das janelas utilizadas, mas não informa a localização dentro das janelas.
A limitação da TFCD é a dificuldade em escolher um tamanho ideal para a janela que irá percorrer o sinal, pois esta janela continua a mesma para todas as periodicidades. Entretanto, grande parte dos sinais precisa de uma abordagem mais flexível para localizar um determinado evento tanto no tempo quanto na periodicidade.
A Figura 3(f) mostra as periodicidades dos quatro eventos senoidais que estão em série, assim o sinal com periodicidade 3 localiza-se somente no intervalo de tempo de 1 a 300, as periodicidades de 10, 15 e 20 localizam-se nos intervalos de tempo de 301 a 600, 601 a 900 e 901 a 1200,
-1 -0,5 0 0,5 1
1 301 601 901
Número de observações
Amplitude
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 301 601 901
Numero de observações
Amplitude
Fourier
0 5 10 15 20 25 30 35 40
30,0 15,0 10,0 7,5 6,0 5,0 4,3 3,8 3,3 3,0 2,7 2,5 2,3 2,1 2,0
Periodicidade
Densidade espectral
Fourier
0 50 100 150 200 250 300
30,0 15,0 10,0 7,5 6,0 5,0 4,3 3,8 3,3 3,0 2,7 2,5 2,3 2,1 2,0
Periodicidade
Densidade espectral
Janela 0-400
0 20 40 60 80 100 120 140
26,7 13,3 8,9 6,7 5,3 4,4 3,8 3,3 3,0 2,7 2,4 2,2 2,1
Periodicidade
Densidade espectral
Janela 0-400
0 30 60 90 120 150 180
26,7 13,3 8,9 6,7 5,3 4,4 3,8 3,3 3,0 2,7 2,4 2,2 2,1
Periodicidade
Densidade espectral
Janela 1-400 Janela 1-400
FIGURA 3. (a) Séries de tempo com diferentes freqüências em blocos consecutivos, (b) Transformada de Fourier, (c) TFCD janela de (1 a 400).
FIGURA 4. (a) Séries de tempo com diferentes freqüências sobrepostas, (b) Transformada de Fourier, (c) TFCD janela de (1 a 400).
a) a)
b) b)
c) c)
