MAT0206/MAP0216 - An´alise Real - IME - 2007 Prof. Gl´aucio Terra
5a Lista de Exerc´ıcios
Para entregar: exerc´ıcios 2, 4, 12, 13, 21 e 22.
Obs.: Regras para ganhar a nota extra referente aos exerc´ıcios marcados com “bˆonus”: (1) a resolu¸c˜ao deve redigida de forma clara e sem erros, e n˜ao h´a notas intermedi´arias; (2) a nota m´axima a ser dada como bˆonus ´e 1,0 ponto na m´edia do semestre; (3) os exerc´ıcios devem ser entregues no prazo para entrega da lista.
1-) Exerc´ıcios dos cap´ıtulos 8 e 9 do Elonzinho.
2-) Sejaf :I →Rcont´ınua no intervaloI ⊂R. Se, para cadax∈I(exceto, possivelmente, na extremidade superior deI, caso a mesma esteja em I), existirf+0 (x) e for >0, ent˜ao f ´e estritamente crescente.
3-) Sejaf :X ⊂ R→R deriv´avel no ponto a∈X∩X0. Se (xn)n∈N e (yn)n∈N s˜ao seq¨uˆencias emX tais que¡
∀n∈N¢
xn< a < yn,xn→ae yn→a, ent˜ao f(yn)−f(xn)
yn−xn →f0(a).
4-) Sejaf :I ⊂R→Rderiv´avel no intervalo I. Dadoa∈I, s˜ao equivalentes:
(a)f0 ´e cont´ınua em a;
(b) ∀(xn)n∈N, (yn)n∈N seq¨uˆencias em I tais que ¡
∀n ∈ N¢
xn 6= yn, xn → a e yn → a, tem-se f(yn)−f(xn)
yn−xn →f0(a).
5-) Sejaf :I →Rderiv´avel no intervalo abertoI ⊂R. Um n´umero realc∈I diz-se umponto cr´ıtico de f sef0(c) = 0. Se c∈I for um ponto cr´ıtico def, diz-se que o mesmo ´en˜ao-degenerado sef ´e duas vezes deriv´avel emce f00(c)6= 0. Mostre que:
(a) Sef ´e de classeC1, o conjunto dos pontos cr´ıticos def ´e fechado em I (vide defini¸c˜ao na lista 4 caso n˜ao se recorde);
(b) Os pontos de m´aximos e m´ınimos locais def s˜ao cr´ıticos. Um ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado deve ser de m´aximo local ou de m´ınimo local.
(c) Se c ∈I ´e um ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado de f, ent˜ao existe δ > 0 tal que f n˜ao tem outros pontos cr´ıticos no intervalo (c−δ, c+δ). Ou seja, todo ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado ´e um ponto cr´ıtico isolado.
(d) Se todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-degenerados, ent˜ao o conjunto dos pontos cr´ıticos def
´e enumer´avel, e em qualquer intervalo [a, b]⊂I h´a apenas um n´umero finito de tais pontos.
6-) Sef : [0,+∞)→R´e deriv´avel e limx→+∞f0(x) =L, ent˜ao, para cadac >0, limx→+∞[f(x+c)−f(x)] = c·Le limx→+∞f(x)x =L.
7-) Seja f : [0,+∞) → R duas vezes deriv´avel. Se f00 ´e limitada e existe limx→+∞f(x), mostre que limx→+∞f0(x) = 0. Bˆonus: vale 0,25 pontos na m´edia do semestre.
1
8-) (Teorema de Cauchy) Sejam f, g: [a, b]→Rcont´ınuas e deriv´aveis em (a, b). Ent˜ao existec∈(a, b) tal quef0(c)[g(b)−g(a)] =g0(c)[f(b)−f(a)].
9-) (1a. Regra de L’Hˆopital) SejamI ⊂R um intervalo, a∈I,f, g :I \ {a} →R fun¸c˜oes deriv´aveis tais que existem e s˜ao nulos os limites limx→af(x) e limx→ag(x). Suponha queg0 n˜ao se anule emI\ {a}
e que lim
x→a
f0(x)
g0(x) =L, ondeL∈Rou L=±∞. Ent˜ao gn˜ao se anula em I\ {a}e lim
x→a
f(x) g(x) =L.
Sugest˜ao: Use a quest˜ao anterior.
10-) (2a. Regra de L’Hˆopital) SejamI ⊂R um intervalo, a∈I,f, g :I \ {a} →R fun¸c˜oes deriv´aveis tais que limx→a|f(x)| = +∞ e limx→a|g(x)| = +∞. Suponha que g0 n˜ao se anule em I \ {a} e que
x→alim f0(x)
g0(x) =L, ondeL∈Rou L=±∞. Ent˜ao lim
x→a
f(x) g(x) =L.
Sugest˜ao: Use a quest˜ao8-).
11-) ¡Dado c > 0, uma fun¸c˜ao deriv´avel f : I → R no intervalo I ⊂ R satisfaz a condi¸c˜ao de Lipschitz
∀x, y∈I¢
|f(x)−f(y)|6c|x−y|se, e somente se, ¡
∀x∈I¢
|f0(x)|6c.
12-) Seja f : I → R deriv´avel no intervalo fechado I ⊂ R (limitado ou n˜ao). Dado c ∈ [0,1), suponha que ¡
∀x ∈ I¢
|f0(x)| 6 c, e que f(I) ⊂ I. Mostre que f tem um ´unico ponto fixo a em I (i.e. existe um ´unico a ∈ I tal que f(a) = a) e que, para todo x1 ∈ I, a seq¨uˆencia definida indutivamente por
¡∀n∈N¢
xn+1=f(xn) ´e tal quexn→a.
Sugest˜ao: Use a quest˜ao anterior e a quest˜ao 10 lista 2.
13-) Sejam p∈N e c∈[0,1). Dada f :I →R deriv´avel no intervalo fechadoI ⊂R, suponha que f(I) ⊂I e que g =. fp =. f◦f◦ pfatores· · · ◦f satisfa¸ca ¡
∀x ∈I¢
|g0(x)|6c. Prove que f tem um ´unico ponto fixo a∈I e que, para todo x∈I, limn→∞fn(x) =a.
Exemplo: A fun¸c˜ao cosseno ainda ser´a definida formalmente no curso. Neste exemplo, assume-se que a mesma j´a tenha sido definida num curso de C´alculo. A fun¸c˜aof = cos : [−π, π]. → R n˜ao cumpre a condi¸c˜ao¡
∀x∈[−π, π]¢
|f0(x)|6c <1, mas f2 =f ◦f cumpre.
14-) Dada f :R→R deriv´avel, com derivada limitada, prove que existec∈Rtal que a fun¸c˜ao φ:R→ R definida porφ(x) =x+c·f(x) ´e um difeomorfismo (i.e. uma bije¸c˜ao deriv´avel com inversa deriv´avel).
15-) Sejam a∈R,δ >0,c∈[0,1) ef : [a−δ, a+δ]→ Rderiv´avel, com¡
∀x¢
|f0(x)|6c. Se |f(a)−a|6 (1−c)δ, ent˜aof tem um ´unico ponto fixo em [a−δ, a+δ].
16-) Sejaf : [a, b]→ Rcont´ınua e deriv´avel em (a, b). Se limx→a+f0(x) = +∞, ent˜ao lim
x→a+
f(x)−f(a)
x−a =
+∞.
17-) (a) Sef, g:I →Rs˜ao de classe Cnno intervaloI ⊂R, ent˜aof·g ´e de classeCn.
(b) Sejam I, J ⊂Rintervalos, f :I →R e g:J →R de classe Cn tais que f(I)⊂J. Ent˜ao g◦f ´e de classeCn.
(c) (d) Se f : I → R ´e de classe Cn no intervalo I ⊂ R e f0 n˜ao se anula em I, ent˜ao a inversa g:J =. f(I)→Rde f ´e de classe Cn.
2
18-) Sejam I ⊂Rum intervalo ef :I →Rduas vezes deriv´avel ema∈I◦. Mostre que:
f00(a) = lim
h→0
f(a+h)−2f(a) +f(a−h)
h2 .
19-) Sejam I ⊂Rum intervalo ef :I →Rduas vezes deriv´avel ema∈I◦. Mostre que:
f00(a) = lim
h→0
f(a+ 2h)−2f(a+h) +f(a)
h2 .
20-) Sejaf :R→Rde classeC∞. Sef se anula, juntamente com todas as suas derivadas, num pontoa∈R, ent˜ao, para cadak∈N, podemos escreverf(x) = (x−a)kφ(x), onde φ´e de classe C∞.
21-) Sejamf eganal´ıticas num intervalo abertoI ⊂R. Se existe a∈I tal quef eg coincidem, juntamente com todas as suas derivadas, no ponto a, ent˜ao ¡
∀x ∈ I¢
f(x) = g(x). Mostre que isto seria falso se supus´essemos apenasf e g de classeC∞.
22-) Dadasf eganal´ıticas no intervalo abertoI, sejaX⊂I um conjunto que possui um ponto de acumula¸c˜ao emI. Se¡
∀x∈X¢
f(x) =g(x), ent˜aof coincide comgemI. Em particular, sef se anula emX, ent˜ao f se anula em I.
23-) SejaI = (a−δ, a+δ). Dadaf :I → R de classeC∞, suponha que exista uma seq¨uˆencia (an)n>0 de n´umeros reais tal que¡
∀x∈I¢
f(x) =P∞
n=0an(x−a)n. Prove queP
an(x−a)n´e a s´erie de Taylor de f centrada ema, i.e. ¡
∀n¢
an= f(n)n!(a).
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