Cap´ıtulo 6 A quantiza¸cão via múltiplas fun¸cões geratrizes

(1)

Cap´ıtulo 6

A quantiza¸ c˜ ao via m´ ultiplas fun¸ c˜ oes geratrizes

No cap´ıtulo anterior apresentamos a quantiza¸cão do Mapa Simétrico versão 2 (ver eq. 5.2), escolhido tendo em vista a possibilidade de ser quantizado com o uso da mesma fun¸cão geratriz efetiva (eq. 5.8) usada na versão 1 do Mapa Simétrico. Porém a dinâmica da versão 2 tornou-se muito mais complexa, em fun¸cão do reordenamento de sub-blocos.

Nosso objetivo neste cap´ıtulo é demonstrar que é poss´ıvel proceder a quantiza¸cão de um mapa acoplado semelhante ao da versão 2, sem o reordenamento de sub-blocos. Para tal, “transferimos” toda a complexidade da estrutura de blocos para uma redefini¸cão das fun¸cões geratrizes, que assumem formas diferentes em diferentes regiões do espa¸co de fase.

Para entendermos o método vamos retornar ao Mapa Simétrico, cuja equa¸cão

(2)

(vide eq. 5.2), tem a forma,

qn+1 = 4qn−2Qn+ fun¸c˜ao m´odulo 1

Qn+1 = 4Qn−2qn+ fun¸c˜ao m´odulo 2 (6.1) pn+1 = pn

3 + Pn

6 + fun¸c˜ao m´odulo 3 Pn+1 = pn

6 + Pn

3 + fun¸c˜ao m´odulo 4.

Após a aplica¸cão do mapa, mas antes da a¸cão das fun¸cões módulo, vimos que no planoq×Qo mapa evolui para a região indicada por (a) na figura 6.1 e no plano p×P para a região (b) na mesma figura. Novamente iremos reagrupar os blocos como vimos na versão 2 do Mapa Simétrico. Em (c) e (d) da figura 6.1 apresentamos o resultado final deste reagrupamento.

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0000 00 1111 11

000000 000000 000000 111111 111111 111111

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111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

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2

2 6

Q

0 4 q 000000000000000000 111111 111111 111111

000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111

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00 1111 11

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

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0000 1111 1111

0 q

Q 4

4 0

−2

−2 1/2 p

1/2

(a)

P

(b)

(c) (d)

0 1/2 p

1/2 P

Figura 6.1: Em (a) identificamos os blocos que serão reagrupados no plano q×Q e em (b) os blocos que serão reagrupados no plano p×P. Em (c) e (d) apresentamos os blocos em suas novas posi¸cões.

(3)

A diferen¸ca é que agora iremos duplicar e transladar os blocos em p×P sem reordenar os sub-blocos. A figura 6.2 mostra o resultado, que chamaremos de versão 3 do Mapa Simétrico

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P

0 1 p

1

Figura 6.2: Aqui apresentamos o preenchimento no planop×P para esta nova versão do Mapa Simétrico, versão 3.

Desta forma as equa¸cões que descrevem a dinâmica deste novo mapa clássico resultante são,

qn+1 = 4qn−2Qn−f1

Qn+1 = 4Qn−2qn−f2 (6.2)

pn+1 = pn

3 + Pn

6 − h1

6 +h2

6 − h3

3 +g2

2 Pn+1 = pn

6 + Pn

3 + g1

6 − h1

3 −h2

6 − h3

6 . Onde,

(4)

f1 =











3 , 3≤4qn−2Qn <4 2 , 2≤4qn−2Qn <3 1 , 1≤4qn−2Qn <2 0 , 0≤4qn−2Qn <1

−1 , −1≤4qn−2Qn <0

−2 , −2≤4qn−2Qn <−1.

f2 =











3 , 3≤4Qn−2qn <4 2 , 2≤4Qn−2qn <3 1 , 1≤4Qn−2qn <2 0 , 0≤4Qn−2qn <1

−1 , −1≤4Qn−2qn <0

−2 , −2≤4Qn−2qn <−1.

g1 =











0 , f1 = 0 ef2 = 0 ou 1 1 , f1 = 1 ef2 = 0 ou 1 2 , f1 = 2 ef2 ≥0 2 , f1 =−2

2 , f1 = 0 ef2 <0

3 , f1 =−1 e f2 = 2 ou 3 3 , f1 = 1 ef2 =−1 4 , f1 = 0 ef2 = 2 4 , f1 = 2 ef2 <0 5 , f1 = 1 ef2 ≥2 5 , f1 = 3

5 , f1 =−1 e f2 = 0 ou 1.

(5)

g2 =











0 , f2 =−2 1 , f2 =−1 0 , f2 = 0 1 , f2 = 1 0 , f2 = 2 1 , f2 = 3.

h1 =







1 , ^pⁿ^+2P₆ ⁿ ≥ ¹₃ 0 , ^pⁿ^+2P₆ ⁿ < ¹₃.

h2 =







1 , ¹₆ ≤ ^pⁿ^+2P₆ ⁿ < ¹₃ e ^2pⁿ₆^+Pⁿ < ¹₃ 0 , outro caso.

h3 =







1 , ¹₆ ≤ ^pⁿ^+2P₆ ⁿ < ¹₃ e ^2pⁿ₆^+Pⁿ ≥ ¹₃ 0 , outro caso.

A questão agora é escrever uma fun¸cão geratriz efetiva que apresente uma proje¸cão no plano p×P correspondente à figura 6.2, para assim podermos quantizar o mapa.

A fun¸cão geratriz efetiva do Mapa Simétrico (eq. 5.8), que a partir de agora identificaremos como FM S, é

FM S = (4qn−2Qn)p_n+1 + (4Qn−2qn)P_n+1−f₁p_n+1 + −f₂P_n+1 (6.3)

−g2qn−g1Qn.

Comparando-se sua proje¸cão no plano p×P, com a estrutura de blocos que o novo mapa (versão 3) apresenta (ver fig. 6.3), percebe-se que ambas são idênticas, nas regiões indicadas na figura 6.3. Ou seja, 1/3 do espa¸co de fase pode ser representado por FM S. Os 2/3 restantes podem ser representados por fun¸cões geratrizes, F_{M S}^′ e

(6)

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1

1 p 0

P

000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111

(b)

(a) P

0 1 p

1

Figura 6.3: Em (a) temos a representa¸cão esquemática da periodicidade de FM S e comparamos duas regiões com a estrutura de blocos em p×P da versão 3 do Mapa Simétrico (b). Observe que a cor de preenchimento não é relevante, mas sim as fronteiras.

F_{M S}^′′ . Sendo,

F_{M S}^′ = (4qn−2Qn)pn+1 + (4Qn−2qn)Pn+1−f1pn+1 − f2Pn+1

−g2qn−g1Qn + qn

3 − 2Qn

3 (6.4)

F_{M S}^′′ = (4qn−2Qn)pn+1 + (4Qn−2qn)Pn+1−f1pn+1 − f2Pn+1

−g2qn−g1Qn + 2qn

3 − 4Qn

3 ,

cujas proje¸c˜oes no plano p×P apresentem deslocamentos de 1/6 e 1/3 respectiva- mente, ao longo do eixo P, como mostra a figura 6.4.

(7)

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00000000 00000000 00000000 00000000 0000

11111111 11111111 11111111 11111111 1111 00000

00000 00000 11111 11111 11111

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

1 p 1

P

0

p 1

P

0 1 p

1

P

0 1 p

1

0 1

F ´_MS

F_MS´´

(a)

(b)

Figura 6.4: Em (a), à esquerda, temos a representa¸cão esquemática da periodicidade de F_{M S}^′ e comparamos duas regiões com a estrutura de blocos em p ×P da versão 3 do Mapa Simétrico à direita. Em (b), à esquerda, temos a representa¸cão esquemática da periodicidade de F_{M S}^′′ e comparamos duas regiões com a estrutura de blocos em p×P da versão 3 do Mapa Simétrico à direita. Novamente observe que a cor de preenchimento não

´e relevante, mas sim as fronteiras.

(8)

Assim para chegarmos a matriz do propagador desta versão do mapa, seguire- mos exatamente o mesmo procedimento adotado para a versão 2 do Mapa Simétrico, exceto que agora quando a fun¸cãog1 for ativada (é ela que desloca os blocos a dire¸cão P), usaremos a fun¸cão geratriz correspondente conforme exposto abaixo (por isso a referência à múltiplas fun¸cões geratrizes) :

Se,g1 = 0 ou 4, ent˜ao FM S

g1 = 1 ou 5, ent˜ao F_{M S}^′ g1 = 2 ou 6, ent˜ao F_{M S}^′′ .

Além disso a estrutura de blocos na matriz do propagador é exatamente a mesma da usada na versão 2 do Mapa Simétrico (ver eq. 5.8), e os valores poss´ıveis de N também permanecem os mesmos, ou seja,N deve ser um múltiplo de 6.

No próximo cap´ıtulo mostraremos como este método pode ser aplicado na quantiza¸cão de uma grande gama de mapas.

Resultados

Observamos nas figuras 6.5 à 6.7 as evolu¸cões dos POG comparadas com as evolu¸cões clássicas.

Na figura 6.8 apresentamos o gráfico da intensidade das potências de| hqQ|U^t|qQi | comparadas com as órbitas periódicas obtidas numericamente para o mapa clássico em rela¸cão ao plano q×Q.

Por fim, na figura 6.9, apresentamos o resultado das estat´ısticas P(s) e ¯∆₃(l).

Nesta versão o mapa clássico também não apresenta a simetria R, tampouco é invariante na troca q ↔ Q, p ↔ P. Assim sendo, novamente não há simetrias a serem separadas. Nesta versão, à semelhan¸ca do que ocorre na versão 2 do Mapa Simétrico, as estat´ısticas P(s) e ¯∆3(l) sempre apresentam resultados compat´ıveis com GUE, como esperado, em vista deste mapa não ser invariante em rela¸cão a reversão temporal.

(9)

Q q Quantico

Q q Classico´

P p Quantico

Classico´ P p

Figura 6.5: Comparativo entre a evolu¸cão de um pacote de onda gaussiano POG, e um conjunto de pontos clássicos, ambos partindo do ponto de coordenadasq= 1/2,Q= 1/2, p= 1/2,P = 1/2. No topo evolu¸cão vista no planoq×Qprimeiro quântica e logo abaixo a clássica. Nas duas linhas de baixo, primeiro evolu¸cão quântica vista no plano p×P e abaixo a clássica. Foi usado N = 60 e fase = 0.

(10)

Q q Classico´

P p Quantico

Classico´ P p

Figura 6.6: Mesmo que figura anterior mas agora partindo do ponto de coordenadas q = 0,8,Q= 0,2,p= 0,1,P = 0,5 , N = 60, fase = 0.

(11)

Q q Quantico

Q q Classico´

P p Quantico

Classico´ P p

Figura 6.7: Mesmo que figura anterior mas agora partindo do ponto de coordenadas q = 0,3,Q= 0,2,p= 0,4,P = 0,4 , N = 60, fase = 0.

(12)

Figura 6.8: Gráfico da intensidade das potências de | hqQ|B|qQi |(linhas 1 e 3), levando em conta os 30% de pontos mais intensos, N = 36, fase = 0, comparadas com as órbitas periódicas clássicas (linhas 2 e 4) de per´ıodo 1 a 6 no planoq×Q.

(13)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2

0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20 25 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Figura 6.9: Estat´ısticasP(s)×s(à esquerda) e ¯∆₃(l)×l(à direita), obtidas para diversos valores de N e calculadas sobre todos os autoângulos. De cima a baixo na ordem,N = 30 e fase = 0, N = 30 e fase = 1/2,N = 36 e fase =0, eN = 36 e fase = 1/2. Linha cont´ınua - GOE, tracejada - Poisson e tra¸co e ponto - GUE.

(14)

Cap´ıtulo 7

Discuss˜ ao dos M´ etodos

Nosso objetivo neste cap´ıtulo é discutir as condi¸cões gerais, em termos dos parâmetros de acoplamentoA e B (ver cap´ıtulo 3), que tornam mapas acoplados do padeiro quantizáveis. Para tal, generalizaremos os procedimentos expostos ao longo da tese.

Primeiramente, vamos analisar em separado as condi¸cões para mapas com acoplamento assimétrico e mapas com acoplamento simétrico, e na sequência discutire- mos o método das múltiplas fun¸cões geratrizes, aplicando-o a uma modifica¸cão do Mapa do Padeiro que chamamos de Mapa do Padeiro Fracionário.

7.1 Condi¸ c˜ oes Gerais

Mapas Assim´etricos

Inicialmente é importante frisar que para procedermos as quantiza¸cões expostas até aqui, sempre levamos em conta o fato de e^{2πiN F} ser uma fun¸cão periódica. Na verdade isto é indispensável para obtermos o efeito de “divisão” de blocos exposto na figura 7.1. Como mostrado esquematicamente na figura 7.2, caso a parte excedente

(15)

(indicada na figura) não se encaixe exatamente na região inferior do plano p×P, então o nosso procedimento, a princ´ıpio, não pode ser aplicado.

Largura = 1 A

000 000 000 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111

000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111

000 000 000 111 111 111 000 000 000 111 111 111 000 000 000 111 111 111

0

0 0,5

1 P

p 0,5

Excedente

0 0,5

0 0,5 1 P

p

Figura 7.1: Situa¸c˜ao quantiz´avel.

Excedente

Nao se encaixa~

000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 111 111 111 0000 0000 0000 1111 1111 1111

0

0 0,5

1

p 0,5

P

Figura 7.2: Situa¸cão, a princ´ıpio, não quantizável.

Para simplificarmos nossa an´alise, sem perda de generalidade, estudaremos primeiro os casos onde B =−2 na equa¸c˜ao 5.2.

Nesta situa¸cão as equa¸cões que descrevem o mapa acoplado passam a ser rees- critas como (omitindo as fun¸cões módulo),

qn+1 = (2 +A)qn+ 2Qn

Qn+1 = −Aqn (7.1)

pn+1 = Pn

2

Pn+1 = (2 +A)Pn

2A − 2pn

2A .

(16)

Se lembrarmos que (Apˆendice B),B =−αA,A /∈[−2,0] eα <0, e levando em conta que B =−2, temos A <−2.

Assim os blocos no planop×P sempre terão largura 1/2 na dire¸cãop, e largura igual a 1/A na dire¸cão P (fig. 7.1). Consequentemente a periodicidade da exponencial complexa permitirá a quantiza¸cão somente quando Afor um inteiro (ver fig.

7.3). De outra forma o excedente n˜ao ´e transladado naturalmente pela periodicidade da exponencial complexa como mostra a figura 7.4.

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A = −5

0 1 P

1 p

Figura 7.3: Mapa assimétrico com A = −5 e B = −2, observe que as regiões além de P = 1 e abaixo deP = 0 se “encaixarão” nas posi¸cões indicadas pelas setas.

Mapas Sim´etricos

Algo muito semelhante ocorre quando temos mapas com acoplamento sim´etrico.

(17)

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1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

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0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

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A = −2,5

0 p 1 P

1

Figura 7.4: Mapa assimétrico com A=−2,5 eB =−2, note que aqui o bloco excedente teria que ser fracionado para preencher todo o intervalo [0,1)×[0,1), o que não é poss´ıvel se levarmos em conta apenas a periodicidade da fun¸cão geratriz.

As equa¸cões que descrevem estes mapas (eq. 3.4), são (omitindo as fun¸cões módulo) qn+1 = (2 +A)qn−AQn

Qn+1 = (2 +A)Qn−Aqn (7.2)

pn+1 = 2 +A

K Pn + A Kpn

Pn+1 = 2 +A

K pn + A KPn.

Onde K = 4 + 4A.

A figura 7.5 mostra como o plano p×P é preenchido pelos blocos, ou seja, a parte que ultrapassa a linha P = 1 é transladada para a posi¸cão logo acima de P = 0, mantendo-se o mesmo valor de p. Quando os blocos ultrapassam a linha p= 1 ocorre um processo equivalente.

A figura 7.6 mostra uma situa¸cão genérica para mapas com acoplamento simétrico.

Nela observamos que a inclina¸cão dos losângulos que preenchem o plano p× P é

(18)

000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111

000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111

000 000 000 000 111 111 111 111

p 0

0,5

0,5 1

1 P

Figura 7.5: Representa¸c˜ao para um mapa sim´etrico, indicando como os blocos que ultrapassam a linhaP = 1 se reencaixam.

A/(2 +A), e a largura dos blocos na dire¸cãopé 1/(2 +A). Logo, conforme a figura deixa claro, só poderemos contar com o efeito da periodicidade quando A/(2 +A) for um múltiplo inteiro de 1/(2 +A), ou seja, quando A for um inteiro.

A K 2+A

K

1

2+A 1

}

2+A

1 2+A

X = A 2 + A 1/2

1

inclinaçao da reta = 2 + A A

X X

Espaço entre as faixas

p

1/2 1

P

Largura do bloco

Figura 7.6: Análise para mapas com acoplamento simétrico. Observe que se o espa¸co entre as faixas não for um múltiplo inteiro da largura do bloco, não será poss´ıvel reconstruir o espa¸co de fase apenas em fun¸cão da periodicidade da fun¸cão geratriz.

(19)

Retornando aos mapas com acoplamento assimétrico, a figura 7.7, à semelhan¸ca da figura 7.6, mostra que no caso geral para mapas com acoplamento assimétrico, a quantiza¸cão também só será viável quando A for inteiro (respeitando as condi¸cões do Apêndice B). A generaliza¸cão quanto ao parâmetro B é direta, visto que apenas passar´ıamos a analisar sobre o eixoP, ao invés de analisarmos sobre o eixop, como fizemos nas figuras 7.6 e 7.7. Desta forma vemos queB também deve ser um inteiro, para a viabiliza¸cão da quantiza¸cão pelo método ora discutido.

2+A K

}

1 2+A

X = A 2 + A 1/2

1/2

1 1

P

p inclinaçao da reta = 2 + A

A

Largura do bloco

X K

2+B

Figura 7.7: Análise para o caso geral de mapas com acoplamento assimétrico. Observe que tanto a largura do bloco, quanto a distância entre o fim do primeiro bloco e o ponto onde se iniciaria uma nova faixa ao longo do eixop, são idênticos aos de mapas com acoplamento simétrico (fig. 7.6).

De fato isto n˜ao deve nos surpreender, j´a que se generalizarmos o mapa do padeiro (de forma diferente da proposta em [54]), escrevendo:

qn+1 = J qn−[J qn] (7.3)

pn+1 = pn

J + [J qn] J .

(20)

Este só será quantizável pelo método padrão quando temos J = 2, 3, 4, ... . Na sequência no entanto, mostraremos como é poss´ıvel quantizar um mapa do padeiro seguindo esta generaliza¸cão e usando umJ fracionário com o uso do método das múltiplas fun¸cões geratrizes.

7.2 O Padeiro Fracion´ ario

O Mapa do Padeiro usual ´e dado por,

qn+1 = 2qn−[2qn] (7.4)

pn+1 = pn

2 +[2qn] 2 . Na figura 7.8 revisamos sua descri¸c˜ao geom´etrica.

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00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

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0 0

0.5 1 1

1 1 2

p p

q q 0 1 q

1

0.5

(b)

p

(c)

(a)

Figura 7.8: Em (a) temos o espa¸co de fase q×p preenchendo o intervalo [0,1)×[0,1).

Em (b) expomos a região para onde a região anterior evolui, antes das a¸cões das fun¸cões módulo. Em (c) temos o espa¸co de fase devolvido ao intervalo [0,1)×[0,1), devido a a¸cão do termo [2qn].

Podemos generalizar o Mapa do Padeiro de forma a termos a equa¸cão 7.3, e, desde queJ seja um inteiro maior ou igual a 2, a prescri¸cão geométrica (ver fig. 7.9), bem como a quantiza¸cão via propagador semiclássico, se dão analogamente ao caso usual do Mapa do Padeiro.

(21)

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

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0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111

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000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000

111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111

00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111

000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111

0 p 1

1

(d)

0 1 p

q 1 2 3 4 ^q 0

(f)

1 q 1

p

Padeiro 4 (e) Padeiro 3

0 1 0

1 p

2 3 q

(b)

1

q 0

p (c)

1

q 1

p (a)

1

1/3

2/3 1/3

1/4

3/4 1/2 1/4

Figura 7.9: Em (a) temos o espa¸co de fase q×p preenchendo o intervalo [0,1)×[0,1).

Em (b) expomos a região para onde a região anterior evolui, antes das a¸cões das fun¸cões módulo. Em (c) temos o espa¸co de fase devolvido ao intervalo [0,1)×[0,1), devido a a¸cão do termo [Jqn].

Agora apresentaremos um mapa do padeiro, que chamaremos de Padeiro Fra- cionário, ondeJ = 2,5 na equa¸cão 7.3. Assim se segu´ıssemos o procedimento padrão, as equa¸cões do mapa seriam,

qn+1 = 2,5qn−[2,5qn] (7.5) pn+1 = pn

2,5+ [2,5qn] 2,5 .

A figura 7.10 apresenta a representa¸c˜ao geom´etrica deste mapa.

Fica claro na figura 7.10, que seguindo a prescri¸c˜ao usual do Mapa do Padeiro n˜ao conseguimos recompor o espa¸co de fase ao intervalo [0,1)×[0,1).

Aparentemente poder´ıamos simplesmente fazer o que a figura 7.11 sugere. Mas isto geraria um mapa que vai contra a filosofia do Mapa do Padeiro, j´a que em tal