(1)Cap´ıtulo 6 Fun¸c˜oes Geratrizes

(1)

Cap´ıtulo 6

Fun¸c˜oes Geratrizes. Produt´orias Complexas.

Algumas Identidades Combinat´orias

Conte´udo

6.1 Fun¸c˜oes Geratrizes . . . 310

6.1.1 Algumas Identidades Combinat´orias . . . 312

6.1.2 N´umeros de Fibonacci . . . 314

6.1.3 N´umeros de Bernoulli . . . 316

6.1.4 N´umeros de Bell . . . 318

6.2 Notas Sobre Convergˆencia de Produt´orias . . . 322

6.2.1 Uma Dedu¸c˜ao Elementar do Produto de Wallis . . . 323

6.3 A Fórmula de Inversão de Möbius. As Fórmulas de Viète . . . 325

6.3.1 As F´ormulas de Vi`ete . . . 327

6.3.1.1 Uma Aplica¸c˜ao. Localizando Zeros de Certos Polinˆomios . . . 328

6.3.1.2 As Desigualdades de Samuelson e Algumas Generaliza¸c˜oes . . . 330

6.3.1.3 As Identidades de Girard-Newton . . . 334

6.4 Exerc´ıcios Adicionais . . . 339

Ocurto cap´ıtulo que ora iniciamos é dedicado a duas classes de objetos matemáticos úteis, as chamadas fun¸cões geratrizes e as produtórias complexas infinitas. Trata-se de dois temas não necessariamente próximos, mas ligados a diversas identidades e rela¸cões úteis. Faremos uso de ambos nos cap´ıtulos que se seguem. Neste cap´ıtulo, como em outros adiante, pressuporemos que o estudante possua no¸cões básicas sobre a teoria das fun¸cões de variável complexa.

Fun¸cões geratrizes, introduzidas na Se¸cão 6.1, página 310, desempenham um elegante papel em Análise Combinatória.

O leitor poderá encontrar na bela referência [148] uma vasta cole¸cão de identidades combinatórias interessantes que podem ser engenhosamente demonstradas com o uso de fun¸cões geratrizes de sequências, assim como outras referências

`

a literatura pertinente. Fun¸cões geratrizes são também relevantes no estudo de certas sequências de fun¸cões e no estudo de propriedades de sequências numéricas. Ilustraremos essa última afirma¸cão estudando através de fun¸cões geratrizes a chamada sequência de Fibonacci e os chamados números de Bernoulli. No Cap´ıtulo 16 faremos uso de fun¸cões geratrizes para estudar e demonstrar algumas propriedades úteis de algumas das solu¸cões especiais que encontramos no Cap´ıtulo 15, como os polinômios de Legendre, de Hermite, de Laguerre, de Tchebychev e as fun¸cões de Bessel.

Produtórias infinitas, assim como séries, são encontradas amiúde no estudo de propriedades de certas fun¸cões de interesse. Faremos uso das mesmas, por exemplo, no Cap´ıtulo 7, dedicado à fun¸cão gama de Euler. Na Se¸cão 6.2, página 322, discutimos a no¸cão de convergência de produtórias infinitas e estudamos alguns exemplos úteis.

6.1 Fun¸c˜oes Geratrizes

•Fun¸c˜oes geratrizes

Seja{an, n∈N₀}uma sequência de números reais ou complexos. Define-se afun¸cão geratrizda sequência{an, n∈ N₀}como sendo a fun¸cão dada por

G_{an}(t) :=

X∞

n=0

antⁿ.

Essa defini¸cão pressupõe que a série de potências emtdo lado direito seja convergente em alguma região aberta do plano complexo, digamos|t|< T, para algumT >0. Isso nem sempre é o caso. Por exemplo, sean=n! a série acima tem raio de convergência nulo.

310

•Fun¸c˜oes geratrizes exponenciais

Afun¸cão geratriz exponencialda sequência{an, n∈N₀}é definida por E_{an}(t) :=

X∞

n=0

an

n!tⁿ.

Novamente, essa defini¸cão pressupõe que a série de potências emtdo lado direito seja convergente em alguma região aberta do plano complexo, digamos|t|< T. Observe que o lado direito, caso seja convergente, coincide com a série de Taylor centrada em 0 da fun¸cãoE_{an}(t) e, portanto, para cadakvaleak=d^kE_{an}

dt^k (0).

•Fun¸c˜oes geratrizes de Dirichlet

Para certos tipos de sequências é conveniente definir outro tipo de fun¸cão geratriz, substituindo os monômiostⁿpor outras fun¸cões det:P∞

n=0anSn(t). O exemplo mais importante desse tipo de fun¸cão geratriz é aquele no qual se toma Sn(t) = 1/n^t,n≥1. Isso nos conduz à próxima defini¸cão.

Afun¸cão geratriz de Dirichlet¹da sequência{an, n∈N}é definida por D_{an}(t) :=

X∞

n=1

an

n^t,

desde que a série do lado direito convirja com a variáveltem alguma região aberta do plano complexo.

A mais famosa das fun¸cões geratrizes de Dirichlet é afun¸cão zeta de Riemann², que é a fun¸cão geratriz de Dirichlet da sequência constantean= 1,n≥1:

ζ(s) :=

X∞

n=1

1

n^s. (6.1)

Como facilmente se vê, a série do lado direito converge na região do plano complexo definida por Re(s)>1. A fun¸cão zeta de Riemann desempenha um papel de grande importância na teoria das fun¸cões de variável complexa e na teoria de números, pois várias de suas propriedades estão relacionadas a propriedades do conjunto dos números primos. A ela dedicamos o Cap´ıtulo 8, página 383. Vide também [162], [397], [398], [106] e outras referências citadas no Cap´ıtulo 8.

•Fun¸c˜oes geratrizes de Lambert

Afun¸cão geratriz de Lambert³da sequência{an, n∈N}é definida por L_{an}(t) :=

X∞

n=1

an tⁿ 1−tⁿ,

desde que a série do lado direito convirja com a variáveltem alguma região aberta do plano complexo. As fun¸cões geratrizes de Lambert são também denominadasséries de Lambert.

•Algumas propriedades de fun¸c˜oes geratrizes

As fun¸cões geratrizes definidas acima têm várias propriedades algébricas interessantes, como mostrado nos exerc´ıcios que seguem.

E. 6.1Exerc´ıcio. Se{aⁿ}e{bⁿ}são duas sequências cujas fun¸cões geratrizesG{an}(t)eG{bn}(t)têm uma região aberta de convergência comum, mostre que

G{an}(t)G{bn}(t) = G{cn}(t), onde

cn =

n

X

p=0

an−pbp.

6

1Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859).

2Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866).

3Johan Heinrich Lambert (1728–1777).

(2)

E. 6.2Exerc´ıcio. Se{an}e{bn}são duas sequências cujas fun¸cões geratrizes exponenciaisE{an}(t)eE{bn}(t)têm uma região aberta de convergência comum, mostre que

E{an}(t)E{bn}(t) =E{cn}(t), onde

cn =

n

X

p=0

n p

! an−pbp.

6

E. 6.3Exerc´ıcio. Se{an}e{bn}são duas sequências cujas fun¸cões geratrizes de DirichletD{an}(t)eD{bn}(t)têm uma região aberta de convergência comum, mostre que

D{an}(t)D{bn}(t) = D{cn}(t), onde

cn =

n

X

p=1 n/p inteiro

an/pbp.

6

E. 6.4Exerc´ıcio. Se{aⁿ}é uma sequência cuja fun¸cão geratriz de Lambert éL{an}(t), mostre que L{an}(t) = X

m=1

bmt^m =G{bn}(t),

ondeb0:= 0e, param >0,

bm :=

m

X

n=1 m/n inteiro

an.

6

Passemos a discutir algumas aplica¸c˜oes das fun¸c˜oes geratrizes.

6.1.1 Algumas Identidades Combinat´orias

A sequência de exerc´ıcios dirigidos que segue apresenta-nos uma série de identidades combinatórias de interesse (usaremos algumas no Cap´ıtulo 18, página 896). A primeira obtém-se através de uma fun¸cão geratriz.

E. 6.5Exerc´ıcio dirigido. Paran∈N,m∈N₀, defina-se o conjunto Nⁿm := n

(a1, . . . , an)∈Nⁿ₀, a1+· · ·+an=mo .

Seja|Nⁿm|o número de elementos deNⁿm.|Nⁿm|representa o número de maneiras de colocar exatamentemobjetos indistingu´ıveis em nposi¸cões distintas, eventualmente permitindo sobreposi¸cões (e.g., colocarmbolas indistingu´ıveis emncaixas distintas). Mostre que

|Nⁿm|= n+m−1 m

!

= (n+m−1)!

(n−1)!m! .

Sugestão.Mostre primeiramente que, para cadan, a fun¸cão geratriz da sequência|N^mm|,m= 0,1,2, . . ., é

∞

X

m=0

|Nⁿm|t^m = 1

1−t n

. (6.2)

Para isso, mostre que, para|t|<1, 1

1−t n

=

∞

X

a=0

t^a

!n

=

∞

X

a1, ..., an=0

t^a¹^+···+aⁿ =

∞

X

m=0

|Nⁿm|t^m.

De (6.2), obtenha

|Nⁿm|= 1 m!

d^m dt^m

1 1−t

n t=0

= n· · ·(m+m−1)

m! = (n+m−1)!

(n−1)!m! = n+m−1 m

! .

6

E. 6.6Exerc´ıcio dirigido. Paran∈N,m∈N₀, defina-se o conjunto Mⁿm:= n

(a1, . . . , an)∈Nⁿ₀,0≤a1+· · ·+an≤mo .

Seja|Mⁿm|o número de elementos deMⁿm. |Mⁿm|representa o número de maneiras de colocar de zero a no máximomobjetos indistingu´ıveis emnposi¸cões distintas, eventualmente permitindo sobreposi¸cões (e.g., colocar de0ambolas indistingu´ıveis emncaixas distintas). Mostre que

|Mⁿm| = n+m m

!

= (n+m)!

n!m! . (6.3)

Sugest˜ao.Conven¸ca-se que

|Mⁿm|=

m

X

k=0

|Nⁿk| =

m

X

k=0

n+k−1 k

!

. (6.4)

Usando a bem conhecidaidentidade de Pascal⁴ a b

!

= a−1 b

! + a−1

b−1

!

(6.5)

conclua que

m

X

k=0

n+k k

!

= 1 +

m

X

k=1

n+k k

!

(6.5)

= 1 +

m

X

k=1

n+k−1 k

! +

m

X

k=1

n+k−1 k−1

!

= 1 +

m

X

k=1

n+k−1 k

! +

m

X

l=1

n+l−1 l−1

!

l^′=l−1

= 1 +

m

X

k=1

n+k−1 k

! +

m−1

X

l^′=0

n+l^′ l^′

!

e, assim, conclua que

m

X

k=0

n+k−1 k

!

= 1 +

m

X

k=1

n+k−1 k

!

=

m

X

k=0

n+k k

!

−

m−1

X

l^′=0

n+l^′ l^′

!

= n+m m

! .

Por (6.4), isso prova (6.3). 6

A identidade Xm

k=0

n+k−1 k

= n+m

m

, provada acima, é conhecida comosegunda identidade de Pascalou identidade da soma paralela. Para outras identidades combinatórias úteis, vide [148].

E. 6.7Exerc´ıcio.Seguindo passos an´alogos aos do ´ultimo exerc´ıcio, demonstre aidentidade da soma vertical:

n+ 1 m+ 1

!

=

n

X

j=0

j m

! .

6

E. 6.8Exerc´ıcio. As denomina¸cõesidentidade da soma paralelaeidentidade da soma verticalprovêm da rela¸cão dos coeficientes binomiais â_b

com o triângulo de Pascal. Desenhe um triângulo de Pascal e entenda o significado dessas identidades e a razão de seus

nomes. 6

E. 6.9Exerc´ıcio dirigido.As identidades|Nⁿm|= ^n+m−1_m

e|Mⁿm|= ^n+m_m

podem ser obtidas de uma forma talvez mais direta e simples, dependendo do gosto do leitor. Suponha que se tenhambolas pretas enbolas brancas. Conven¸ca-se que h´a ^n+mm

= ^n+m_n arranjos poss´ıveis dessas bolas (supondo que as bolas pretas são indistingu´ıveis entre si, e que o mesmo valha para as brancas). Uma maneira de fazer esse racioc´ınio é imaginar asn+mbolas enfileiradas e contar de quantas maneiras distintas essas fileiras podem ser formadas. Há(n+m)!permuta¸cões dasn+mbolas, das quais devem ser fatoradasm!permuta¸cões envolvendo apenas bolas pretas

4Blaise Pascal (1623–1662).

(3)

en!permuta¸c˜oes envolvendo apenas bolas brancas, fornecendo assim ^n+mm

arranjos. Conven¸ca-se também que, pela defini¸cão, esse número de arranjos é igual a|Mⁿm|. Isso provou que|Mⁿm|= ^n+m_m

. Conven¸ca-se que, pela defini¸c˜ao,|Nⁿm|=|Mⁿm| − |Mⁿm−1|.

Tem-se, ent˜ao|Nⁿm|= ^n+m_m

− ^n+m−1m−1

= ^n+m−1_m

, onde a ´ultima igualdade segue da identidade de Pascal (6.5). 6

6.1.2 N´umeros de Fibonacci

Sejaan,n= 0,1,2,3,4 . . ., a sequˆencia definida recursivamente da seguinte forma:

a0 = 1, a1 = 1, an+2 = an+1+an, ∀n≥0.

Essa sequência é denominadasequência de Fibonacci⁵. Cada elemento da sequência de Fibonacci é a soma de seus dois antecessores. Os primeiros elementos da sequência de Fibonacci são

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657, . . . . Fibonacci introduziu a sequência que leva seu nome em um problema de seu livroLiber abbaci, de 1202 (livro esse que introduziu o sistema decimal arábico na Europa, em substitui¸cão ao sistema de algarismos romanos, usado até então):

“Um certo homem coloca um casal de coelhos em um local cercado de muros por todos os lados. Quantos pares de coelhos podem ser produzidos a partir daquele casal em um ano se for suposto que a cada mês cada casal gera um novo casal, o qual se torna fértil em um mês”. A resposta (supondo que nenhum coelho morre) é que, apósnmeses, tem-seanpares de coelhos, sendoandado acima. Trata-se provavelmente do primeiro modelo de evolu¸cão de popula¸cões. A sequência de Fibonacci é surpreendentemente rica em propriedades, sendo possivelmente uma das mais pesquisadas, existindo até mesmo uma publica¸cão periódica (“Fibonacci Quarterly”) dedicada a seu estudo.

Um fato que confere aos números de Fibonacci um sabor especial é que os mesmos aparecem frequentemente na Natureza. Há, por exemplo, uma forte probabilidade de os números de pétalas em flores de determinadas espécies de plantas serem números de Fibonacci. O mesmo se dá com o número de voltas espirais na casca de abacaxis e de pinhas, com o número de ramos de plantas e árvores, com o número de padrões de um determinado tipo nas conchas de caramujos etc⁶. A razão do surgimento de números de Fibonacci em contextos biológicos está relacionado à forma¸cão e reprodu¸cão de padrões, mas é apenas parcialmente entendida atualmente.

No intuito de ilustrar a utilidade de fun¸cões geratrizes de sequências, vamos demonstrar a seguinte identidade para os elementos da sequência de Fibonacci:

an = 1

√5



 1 +√ 5 2

!n+1

− 1−√ 5 2

!n+1

, (6.6)

válida para todon≥0. Essa expressão permite obter cadaandiretamente em termos dene é denominadafórmula de Binet⁷, tendo sido obtida por esse autor (usando métodos matriciais) em 1843. Essa fórmula, porém, foi obtida pela primeira vez por de Moivre⁸cerca de cem anos antes e foi encontrada também por Euler⁹e por Daniel Bernoulli¹⁰. A constante¹⁺₂^√⁵(≈1,6180339887. . .) é a célebrerazão áurea, muitas vezes denotada pelo s´ımboloϕ, e cujas propriedades são estudadas desde a Antiguidade. Note-se que¹⁻₂^√⁵= 1−ϕ=−1/ϕ, de modo que (6.6) pode ser também expressa como

an = 1

√5

hϕⁿ⁺¹−(1−ϕ)ⁿ⁺¹i

= 1

√5

"

ϕⁿ⁺¹−

−1 ϕ

n+1#

. (6.7)

5Leonardo Pisano, cognominado “Fibonacci” (1170–1250).

6Para algumas referˆencias:

•S. L. Basin, “The Fibonacci Sequence as it appears in Nature”, The Fibonacci Quarterly,1, (1963), 53–57.

•A. Brousseau, “Fibonacci Statistics in Conifers”, The Fibonacci Quarterly,7(1969), 525–532.

•P. B. Onderdonk, “Pineapples and Fibonacci Numbers”, The Fibonacci Quarterly,8(1970), 507–508.

Um livro clássico sobre o assunto é [394]. A área da Biologia e da Matemática que se dedica ao estudo da forma¸cão e evolu¸cão de padrões é denominada Filotaxia.

7Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856).

8Abraham de Moivre (1677–1754).

9Leonhard Euler (1707–1783).

10Daniel Bernoulli (1700–1782).

A fun¸cão geratriz da sequência de Fibonacci é F(t) =

X∞

n=0

antⁿ. (6.8)

Mostremos primeiramente que a série de potências do lado direito tem um raio de convergência não nulo. Pelo teste da razão vale, paran >0,

an+1tⁿ⁺¹ antⁿ

= an+1

an |t| = an+an−1

an |t|=

1 +an−1

an

|t| ≤ 2|t|,

poisâⁿ⁻¹_a_n ≤1, já que a sequência de Fibonacci é crescente. Logo, a série converge absolutamente pelo menos na região

|t|<1/2. A verdadeira região de convergência é um pouco maior (como veremos adiante), mas não precisaremos desse fato por ora, pois tudo o que necessitamos é da existência de um raio de convergência não nulo, o que justifica as manipula¸cões que faremos.

Fa¸camos uso da defini¸cão da sequência de Fibonacci para obter uma fórmula expl´ıcita paraF(t). Temos que F(t) = 1 +t+

X∞

n=2

antⁿ

= 1 +t+ X∞

n=2

(an−1+an−2)tⁿ = 1 +t+ X∞

n=2

an−1tⁿ+ X∞

n=2

an−2tⁿ

= 1 +t+t X∞

n=1

antⁿ+t² X∞

n=0

antⁿ

= 1 +t+t(F(t)−1) +t²F(t). Assim, (1−t−t²)F(t) = 1 e, portanto,

F(t) = 1

1−t−t².

A ideia agora é obter a expansão em série de Taylor deF(t) em torno det= 0 e compará-la a (6.8), para assim obter uma expressão expl´ıcita para osan’s. Para isso, ao invés de calcularmos as derivadas deFemt= 0, é mais fácil proceder da seguinte forma. Escrevemos 1−t−t²=−(t−γ1)(t−γ2) onde

γ1 =

√5−1

2 , γ2 = −

√5 + 1

2 .

Assim,

F(t) = 1

1−t−t² = − 1

(t−γ1)(t−γ2) = 1 γ1−γ2

1 γ1−t− 1

γ2−t

= 1

√5

"

1 γ1

1 1−γ^t1

!

− 1 γ2

1 1−γ^t2

!#

= 1

√5 X∞

n=0

1 γⁿ⁺¹1

− 1 γ2ⁿ⁺¹

tⁿ

= 1

√5 X∞

n=0

(−γ2)ⁿ⁺¹−(−γ1)ⁿ⁺¹ tⁿ

= X∞

n=0

√1 5



 1 +√ 5 2

!n+1

− 1−√ 5 2

!n+1

tⁿ,

(4)

onde usamos que 1/γ1=−γ2. Comparando com (6.8) obtemos (6.6), como quer´ıamos. Da última expressão, vê-se também que o raio de convergência da série de potências que defineFé (√

5−1)/2≈0,6180339887. . ..

No Exerc´ıcio E. 10.58, página 580, reobtemos (6.6) usando técnicas matriciais, as quais permitem obter os valores deanmesmo para condi¸cões iniciais outras que nãoa0 =a1 = 1. Essas mesmas ideias são usadas no Exerc´ıcio E.

10.59, página 581, para tratar da chamadasequência de Fibonacci generalizada, definida pela rela¸cão de recorrência an+2=αan+1+βan, ondeαeβsão constantes (reais ou complexas).

6.1.3 N´umeros de Bernoulli

A sequência de números racionais denominadosnúmeros de Bernoulli¹¹ tem importância destacada na Teoria dos Números, especialmente devido à sua rela¸cão com a fun¸cão zeta de Riemann, definida acima. Os números de Ber- noulli também aparecem na expansão em série de Taylor da fun¸cão tangente e na chamada fórmula de Euler-Maclaurin.

Os chamados números de Bernoulli, denotados porBn, comn∈N₀, são definidos de sorte que sua fun¸cão geratriz exponencialE_{Bn}(z) seja a fun¸cãoz/(e^z−1), ou seja, são definidos por

z e^z−1 =:

X∞

n=0

Bn

n! zⁿ. (6.9)

Devido ao fato dez/(e^z−1) ter um polo emz=±2πisendo, porém, anal´ıtica em|z|<2π, conclu´ımosa priorique a série de potências do lado direito é convergente para|z|<2π. Multiplicando (6.9) pore^z−1 =P_∞

m=1z^m/m!, obtemos z =

X∞

n=0

Bn

n!zⁿ

! _∞ X

m=1

z^m m!

!

= X∞

p=0

Xp

q=0

Bq

q!(p+ 1−q)!

! z^p+1,

de onde conclu´ımos que

B0 = 1 e

Xp

q=0

Bq

q!(p+ 1−q)! = 0 para todop≥1. Multiplicando a segunda rela¸c˜ao acima por (p+ 1)! a mesma torna-se

Xp

q=0

Bq

p+ 1 q

= 0 para todop≥1,

forma essa mais frequentemente encontrada na literatura. Essa rela¸c˜ao acima permite obter recursivamente os coeficientes Bna partir deB0= 1. De fato, isolando o termo comq=p, temos

Bp = −1 p+ 1

p−1X

q=0

Bq

p+ 1 q

para todop≥1, (6.10)

ou seja,

Bp = −p!

p−1

X

q=0

Bq

q!(p+ 1−q)! para todop≥1. (6.11)

Usando a fórmula (6.10) é poss´ıvel obter os primeiros números de Bernoulli, vide Tabela 6.1, página 317.

A contempla¸cão da Tabela 6.1 permite conjecturar que, excetoB1, todos osBncomn´ımpar sejam nulos. Veremos abaixo que essa conjectura é verdadeira. A impressão, porém, que osBn’s não nulos crescem lentamente, obtida da observa¸cão dos primeiros elementos da sequência, é falsa. Devido ao fato de a série de potências em não convergir para

|z|= 2πconclu´ımos que os|Bn|não nulos devem assintoticamente ser maiores que, ou da ordem de,n!/(2π)ⁿparan grande. Isso de fato é correto (B98, por exemplo, é da ordem de 1,13×10⁷⁶) e a expressão precisa será apresentada em (6.18). Outra conjectura que se pode levantar da observa¸cão da Tabela 6.1 é que os sinais dos números de Bernoulli com

´ındice par (excetoB0) são alternados. Esse fato é também correto e será provado mais adiante.

11Jakob Bernoulli (1654–1705).

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Bn 1 −¹2 1

6 0 −30¹ 0 ₄₂¹ 0 −30¹ 0 ₆₆⁵ 0 −2730⁶⁹¹ 0 ⁷₆ 0 −³⁶¹⁷510 0 Tabela 6.1: N´umeros de BernoulliBnparan= 0, . . . ,17.

Separando o termo comB1de (6.9), que ´e−z/2, e passando-o para o lado esquerdo, obtemos z

e^z−1+z 2 = 1 +

X∞

n=2

Bn

n!zⁿ. O lado esquerdo vale^z₂coth ^z₂

, como facilmente se constata. Conclu´ımos assim que zcoth(z) = 1 +

X∞

n=2

2ⁿBn

n! zⁿ, (6.12)

para|z|<2π. Comozcoth(z) é uma fun¸cão par, vemos de (6.12) que, excetoB1, todos os demaisBn’s comn´ımpar são nulos. Com esse conhecimento podemos escrever

zcoth(z) = X∞

n=0

4ⁿB2n

(2n)! z²ⁿ. (6.13)

Comozcotg (z) =izcoth(iz), obtemos tamb´em zcotg (z) =

X∞

n=0

(−1)ⁿ4ⁿB2n

(2n)! z²ⁿ, (6.14)

para|z|<2π.

Há uma conclusão importante a se obter de (6.14). A fun¸cãozcotg (z) satisfaz também a igualdade, obtida primeiramente por Euler em 1748,

zcotg (z) = 1−2z² X∞

k=1

1

(kπ)²−z². (6.15)

Demonstra¸cões dessa importante rela¸cão podem ser encontradas nestas notas no Exerc´ıcio E. 7.5, página 356, no Exerc´ıcio- dirigido E. 6.17, página 339, ou no Exerc´ıcio-dirigido E. 36.23, página 1852 (para outras referências, vide esses Exerc´ıcios- dirigidos). Agora, para|z|< π, podemos escrever, já quek≥1,

1

(kπ)²−z² = 1 (kπ)²

1 1− kπ^z

2

!

= 1

(kπ)² X∞

n=0

z kπ

2n

,

e reinserindo isso em (6.15), obtemos

zcotg (z) = 1− X∞

n=1

2 X∞

k=1

1 (kπ)²ⁿ

! z²ⁿ.

Comparando a (6.14), obtemos finalmente X∞

k=1

1

k²ⁿ = (−1)ⁿ⁺¹4ⁿB2n

2(2n)!π²ⁿ = (−1)ⁿ⁺¹(2π)²ⁿB2n

2(2n)! , (6.16)

válida para todo inteiron > 0. Note que o lado esquerdo é igual aζ(2n), onde ζé a fun¸cão zeta de Riemann, definida em (6.1), página 311. A célebre expressão (6.16) foi obtida pela primeira vez em 1735, por Euler, resolvendo