xx  0134

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Exercícios de Números Complexos – Forma Algébrica - GABARITO 1. Resolva, em C, cada equação:

a) x

²

 4 x  13  0 b) 9 x

²

 36 x  37  0 c) x

⁴

 5 x

²

 6  0 Solução. Utilizando a fórmula da equação do 2º grau, temos:

a)

 ^{i i} 

V i i

i i x

x x

x

3 2, 3 2 3

2 2 6 4

3 2 2

6 4

2 36 4

2 52 16 4 )1

( 2

) 13 )(

1(

4 ) 4 ( ) 4 0 (

13 4

2 2









 



 





 



 





 

 



 









 









b)

 



 

  





 



 



 



 







 

 



 









 









3 , 6 3 6 3

6 18

6 36

3 6 18

6 36

18 36 36

18

1332 1296 36

)9 (2

) 37 )(

9(

4 ) 36 ( ) 36 0 (

37 36 9

2 2

i V i

i i

i i

x

x x

x

c)

  ^{ii ii}

V

i x

i x

i x

i x y

y

yy yx xx

yx

2,2, 3,3

33 3 33

2 15

22 2 22

2 15 2

15 2

2425 5 )1(2

)6)(1(4 )5()5 (

06 5 06 5

2 2 2 4 2 4 2





 















 







 





 







 



 

 

 



 





 

 







2. Qual o valor de m para que o produto ( 2  mi ).( 3  i ) , seja um imaginário puro?

Solução. Para que um número complexo seja imaginário puro, a parte real deve ser nula. Desenvolvendo, temos:

6 0 ) 6(

0 ) Re(

)3 2(

) Im(

) 6(

) )3 Re(

2(

) 6(

)3 2(

6 3

2 6 ) 3).(

2( ²















 

 







 































m m

z

m z

m im z

m m im mi

mi i i mi z

3. Dado z  ( m  2 )  ( m

²

 16 ) i , determine m real de modo que z seja um número real não nulo.

Solução. Para que um número complexo seja real, a parte imaginária deve ser nula. Temos:

 





 

 













 



 4

4 0)4 ).(4 (0 )16 () Im(

0)2 () )16 Re(

()2

( ² ₂

m m m

m mz

i mz m mz

4. Observe o gráfico e escreva a forma algébrica dos números representados no plano Argand-Gauss e seus

respectivos conjugados e módulos.

A = 3i _{A } – 3i ^{A } 0

²

 ( 3 )

²

 9  3 B = 3 + 2i _{B } 3 – 2i ^{B } 3

²

 2

²

 9  4  13 C = – 2i C  2i ^{C } 0

²

 (  2 )

²

 4  2 D = – 4 – 3i _{D } – 4 + 3i ^{D }

5 25 9 16 )

3 ( ) 4

( 

²

 

²

   

5. Determine os valores reais de m e n para que ^m  ^{n 1}  ^{i 3 i}

2

1  

₂

 



 

   .

Solução. Dois complexos são iguais e suas partes reais e imaginárias o forem. Temos:

 

 



 



 





 











 



 

  

2 4 2 31

2 0 1 2 1 30 2 1

1

2 2 2

n n n n

m m i in m

6. Dados os complexos z

₁

 4  3 i , z

₂

  1  5 i e z

₃

  4  7 i , determine:

a) z

1

 z

2

 z

3

b) R

e

( 3 z

1

 z

2

 2 z

3

) c) z

₁

.z

₂

d)

2 1

z

z e)

3 2

2 1

z z

z z





Solução. Efetuando as operações com complexos, temos:

a) z

₁

 z

₂

 z

₃

 4  3 i  1  5 i  4  7 i  4  1  4  3 i  5 i  7 i   1  5 i

b) R

_e

( 3 z

₁

 z

₂

 2 z

₃

)  Re( 12  9 i  1  5 i  8  14 i )  Re( 12  1  8  9 i  5 i  14 i )  Re( 19  10 i )  19 c) z

₁

. z

₂

 ( 4  3 i ).(  1  5 i )   4  20 i  3 i  15 i

²

  4  15  23 i  11  23 i

d)  

 i  ^{i i i i i}

i i

i i

i z

z

26 17 26 19 26

17 15 4 )

5 ( ) 1 (

15 3 20 4 5

1 5 . 1 5 1

3 4 5 1

3 4

2 2

2

2

1

     

 









 













 





 

e) i i i i

i i i

i i

i z

z z z

153 30 153

33 153

30 153

33 144

9

24 6 36 9 12

3 12 . 3 12 3

2 3 12

3 2 3

3 2

2

1

  



 



 

 



 











 

 

 











 

 

 







 





7. (FEI-SP) Se a soma dos valores complexos z  2 z  3 z  4 z é 320 + 28i ( _z é conjugado de z), então:

( ) z = 10 – 2i ( ) z = 10 + 2i ( X ) z = 32 – 14i ( ) z = 32 – 2i ( ) z = 2 + 14i

Solução. Considerando z = a + bi, efetuando a soma e igualando as partes reais e imaginárias, temos:

i b z

b

a i a

bi a

bi a bi a bi a bi a bi a z z z z z bi z

a z

bi a z

14 14 32

28 2

32 320

28 10 320 2 10

2 10 6 6 4 4 ) (6 ) (4 6 4 4 3 2





 

 













 







































 

 









8. (UFBA) Sendo

i y i i x

i 1 2

) 3 4 ( ) 2

(       , calcule (2xy), com ^{x , y  IR} .

Solução. Desenvolvendo a expressão do lado direito e eliminando a unidade do denominador, temos:

  ^{2 2( 2. )5. 20}

,

2 5 8 10

2 2 2 )2 (4 2

2 4

2 2 6 2

2 4 2 )2 ( 1 3

2 4 0 2

)1 3 ( )2 4 2(

0 2 3

4 1 2

3 2 4 2

2 . 3 1

4 ) 2 (





























 

 









 

 















 































 

 









 











xy Logo

x x

x

y y y

x y x y

x y i x

y x y

x

i yi xi y i x

yi y xi i x

i i yi i y x i

9. (UFBA) Existe um número real x tal que

i i z x

3 1 

  é um número imaginário puro. Determine o simétrico de x.

Solução. Escrevendo a forma algébrica de “z” e igualando a parte real a zero, temos:

3) 3(

3 10 0

3 0)

Re(

10 1 3 10

3 3

1 3 3 31 . 31 31

31 ^{2 2}

2











 

 

 





 

 





 







 



 

Simétrico x x

z

x i x i ixi x i i i ix i z ix

10. (UNEB-BA) Se i é a unidade imaginária, qual é o valor de i

²⁵

 i

³⁹

 i

¹⁰⁸

 i .i

⁵⁰

^?

Solução. Substituindo as potências de “i” pelos respectivos restos pela divisão por 4, temos:

i i

i i i i i i i i i i i

i

²⁵



³⁹



¹⁰⁸

 .

⁵⁰



¹



³



⁰

 .

²

   1    1 

11. (UF-AL) Seja o número complexo z  i

¹⁰¹

 i

¹⁰²

 i

¹⁰³

 i

¹⁰⁴

 i

¹⁰⁵

 i

¹⁰⁶

. Calculando-se z

²

, obtém-se:

( X ) – 2i ( ) 2i ( ) – 1 + i ( ) 2 – 2i ( ) – 6 + 6i Solução. Substituindo as potências de “i” pelos respectivos restos pela divisão por 4, temos:

i i

i i i

z

i i i i i i i i i i i i i i i i z

2 1 2 1 1 2 )

1 (

1 1 1 1

2 2 2

2 1 0 3 2 1 106 105 104 103 102 101































































12. (FUVEST) Considere a equação z

²

  z  (   1 ) z , onde  é um número real e _z indica o conjugado do número complexo z.

a) Determine os valores de  para os quais a equação tem quatro raízes distintas.

b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando   0 . Solução. Considerando z = a + bi e efetuando as operações, temos:

a)

 

 



 





 



















































































 

 









2 1 0 0

)1 2(

0 2

0 2

0 ) 2(

2 2

) )(1 ( ) ( ) ( )1 (

2 2

2 2 2

2

2 2

a b a

b b

ab

a a b a

ib ab a a b a bi a i b a i b a abi b

a

bi a bi

a bi

a z z

bi z a z

bi a z





















i)

 







 

















 2 1

0 0 )1 2 ( 0 2

0 ²

 

 a

aa a a

a a b

ii)













































 



 



 

 

 



 

 



 



 



4 3

4 0 3

4 0 3

2 1 4

0 1 2 1 2 2 1 2

1 2

1

² _{2 2 2 2}

b

b b

b b

a

Para que as raízes sejam distintas, o radicando deve ser maior que zero. Logo,

4 0 3

4

3      

b) Se   0 , temos:

 



 









 



 









 

 







 





 

 







 

i z

i z b

b b

b a

z z a

b a

2 3 2 1

2 3 2 1

2 3 2

3 4 0

3 4

3 2

1

1 0 11 )0(2 0 0

4 3 2

1



Representação no plano complexo.