 2121)45cot().45( xsenxsenxxtg  2sen12sen1)45cot().45( xxxxtg

LISTA DE EXERCÍCIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - GABARITO 1) Calcular secx, sabendo que sen

₂

2

₂

, com   0

  a b

b a

x ab .

Solução. Sabendo que a secante vale o inverso do cosseno, basta calcular o valor do cosseno utilizando a relação fundamental e inverter o resultado:

i)

 

   

 

  ^{( )}

cos

2 4

1 2 1

cos

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

4 2 2 4 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

positivo b

a b a b a

b x a

b a

b b a a b

a

b a b

a b

a x ab

sen x



 



 





 





 

 

 





 







ii)

^{2 2}

2 2

2 2

2 2

1 cos

sec 1

b a

b a b a

b x a

x 

 



 



2) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:

a) 1

sec cos sec

cos

sen  

x x x

x b) (cos sec cot )

²

cos

1 cos

1 x x

x

x  





c) sen( a  b ). sen( a  b )  cos

²

b  cos

²

a d)

x x x

x

tg 1 sen 2

2 sen ) 1

45 cot(

).

45

( 

 









Solução.

a) cos 1 .

cos 1 cos sec 1

cos sec

cos

2

2

 







 sen x x

x x senx

senx x

x x

senx

b)

   

   

. ) cot sec cos (cos

1 cos

cos 2 1 cos

cos 2 1

cos cos

2 1 cos

1

cos cos

2 1 cos 1 . cos 1

cos 1 . cos 1 cos 1

cos 1

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

gx senx x

x x senx

sen x x

sen x x

sen x

sen

x x

x sen

x x

x x x

x x

x x

x x



 



 



 







 





 





 







 





c)

. cos cos

cos . cos cos

cos . cos cos

cos ) cos 1 ( cos ) cos 1 ( cos cos

) cos cos

)(

cos cos

( ) ( ).

(

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

a b

b a

a b

a b

a b

b a

a b sen b a sen

a senb b

sena a senb b

sena b

a sen b a sen



































d) sen x

x x sen

x

tg 1 2

2 ) 1

45 cot(

).

45

( 

 









COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III MATEMÁTICA – 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II

COORDENAÇÃO: COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

i)

2 . cos

2 1 cos

cos 2

) cos 45

(

) ).(cos

(cos

) ).(cos

(cos ) 2 (cos

2

) 2 (cos

2 º

45 cos

º 45 cos

º 45 cos cos

º ) 45

45 (

2 2

2 2

x x sen x

sen x

x sen x senx x x

tg

senx x senx

x

senx x

senx x

senx x

senx x senx

sen x

senx x

x sen tg

 





 











 





 

 





ii)

2 . 1

cot cos 2

cos 2 1 cos

cos 2

) cos 45

(

) ).(cos

(cos

) ).(cos

(cos )

2 (cos 2

) 2 (cos

2 º

45 cos

º 45 cos

º 45 cos cos

º ) 45

45 (

2 2

2 2

x sen gx x

x x sen x

sen x

x sen x senx x x

tg

senx x

senx x

senx x

senx x

senx x

senx x senx

sen x

senx x

x sen tg

 

 

 



 











 





 

 





iii) .

2 1

2 1

2 1

. cos 2 cos

2 ) 1

45 cot(

).

45

( sen x

x sen x

sen x x

x x sen

x

tg 

 



 









3) Simplificar as expressões:

a)

) cos(

).

2 (

2 ) cos(

).

sen(

x x

tg

x x















b) . sen( 7 )

2 cos 15

2

sen 9 x   x



 

  

 



 



   

Solução.

a) Temos: ^sen (  ^x )   ^senx ;  x )   senx cos(  2

; ^tg ( 2   ^x )   ^tgx e ^{cos(   x )   cos x} .

Logo, .

cos cos . )

cos ).(

(

) ).(

( ) cos(

).

2 (

2 ) cos(

).

(

2 2

senx senx x sen x x

senx x sen x

tgx

senx senx

x x

tg

x x

sen





 





 















b) Temos: ) 1

4 2 2 (

9       sen

sen ; x   senx



 

   2 cos 15 

e ^sen ( 7   ^x )  ^senx .

Logo, . ( 7 ) 1 ( ).( ) 1 cos .

2 cos 15

2

9

2 2

x x

sen senx

senx x

sen x

sen       



 

  

 



 



   

4) Usando somas e diferenças, calcular:

a) cos15 b) cot 165 c) cossec 15

Solução.

a)Escrevendo 15º = 60º - 45º, vem:

4 6 2 2

. 2 2

3 2

. 2 2 º 1 15 cos

º 45 cos º.

60 º

45 cos º.

60 cos ) º 45 º 60 cos(

º 15 cos

 











 sen

b) Escrevendo 165º = 120º + 45º, vem:

 ^{( 6 6 2 2}  ^{. ).( 6 6 2 2}  ^{) ( 6 6 2 12 2 2 ) 4 ( 2 4 3 ) 2 3 .}

2 6 . 4 4

6 º 2

165 cos

4 2 6

4 6 2

2 . 1 2

2 2 . 2 2

3

2 . 2 2

3 2 . 2 2

1 º 120 cos º 45 º

45 cos º 120

º 45 º.

120 º

45 cos º.

120 cos ) º 45 º 120 (

) º 45 º 120 º cos(

165 cot





 

 







 









 





 







 



 

 

 



 

sen sen

sen sen

g sen

c) Escrevendo 15º = 60º - 45º, vem:

 

     _{6 2 .}

2 6

2 6 . 4 2 6 . 2 6

2 6 . 4 4

2 6 º 1 15 cos

2 . 1 2

2 2

. 2 2

3 1 º

60 cos º 45 º

45 cos º 60

1 )

º 45 º 60 (

1 º

15 º 1

15 sec cos



 

 





 

 



 

 



 sen sen sen sen

5) Sendo

3

sen   2 , com 0 <  < /2, calcule: a) 



 

     2 2

sen b) 



 

     cos 4 Solução.

a) Temos: .

3 5 9

4 9 9 1 4 3

1 2 3 cos

2 

²

    



 



 





 



sen Desenvolvendo o seno pedido e

substituindo, vem:

9 . 1 9 4 9 cos 5

2 2

. 2 2 cos cos 2 2

2 cos 2 2

2

2

   

 



 



 





 



 



 





 

 



 

 

sen sen

sen sen

sen

b) Temos: (cos ).

2 cos 2 cos 4

cos 4

cos  4       

sen

sen  



 



 



  Substituindo os valores,

vem: ^.

6 2 2 10 3

2 3

5 2

2

cos 4    



 

 

 



 



   

6) Se  

2 2 e 3 5

cos x  3  x  , calcular sen(3x).

Solução. Temos:

25 24 5 . 3 5 . 4 2 cos 2

2

25 7 25 16 25 cos 9

2 cos

) 5 (

4 25 16 25

9 25 25 - 9 5 1

- 3 1 5 senx

cos 3

2 2

2







 











 



 



 



 





x senx x

sen

x sen x x

positivo x

.

Escrevendo sen(3x) = sen(2x + x) = sen2xcosx + senxcos2x e substituindo, vem:

125 . 44 125

28 125 ) 72 25 ( 7 5 4 5 . 3 25

3 x  24     

sen

7) Resolva as equações trigonométricas em  :

a) 2

3 2

sen x  b) sen 5 x  sen 3 x c)

2

cos x   3 d) tg(3x)=1 Solução.

a) O ângulo cujo seno vale 2

2 é 45º ou 135º e seus côngruos. Logo, é da forma   k 4  2 ou

  k 4 2

3  , com   Z. Logo a solução será: .

3 2 2 4

4 3 3

3 2 2 12

3 4

 



 



























 





 



x k k x

sen ou

x k k x

sen

b) Para que sen5x = sen3x, temos que 5x e 3x estarão sobre a mesma linha horizontal.

). 8 1 2 ( 2

8

2 ) 3 ( 5

2 2 2

3 5

 









































k x k x

k x x

ou

k x k x k

x x

Em ambos os casos, k  Z.

c) O ângulo cujo cosseno vale 2

 3 é 150º ou 210º e seus côngruos. A solução, então é

expressa da forma: 2 .

6 5 2

cos 3  

k x

x       k  Z.

d) O ângulo cuja tangente vale 1 é 45º e seus côngruos. A solução, então é expressa da forma:

3 . 12 3 4

1

3    k 

x k x

x

tg        k  Z.

8) Se 2460º cos1110º

2205º M sen

tg

  , calcule M.

Solução. Encontrando as extremidades dos ângulos com a divisão por 360º, temos:

i) 2460º ~ 300º ii) 1110º ~ 30º iii) 2205º ~ 45º

Substituindo, vem: _.

4 3 1

2 . 3 2

3 º

45 º 30 cos º 300 º

2205

º 1110 cos º

2460  







 tg

x sen tg

x M sen

9) Se sen x = 3

 5 , com x  4º quadrante então qual o valor de tg x?

Solução. Calculando o cossseno pela relação fundamentel, temos:

5 . 4 25 16 25 1 9 5

1 3 1

cos

2

2

    



 



  





 sen x

x Utilizando a fórmula da tangente, vem:

4 . 3 4 . 5 5

3 5

4 5 3 cos

 

 







 tgx

x tgx senx

10) Qual é o valor de: sec 60º+ sec 45º – cossec30º + cossec 315º?

Solução. Substituindo as funções por senos e cossenos e calculando, temos:

. 2 0

2 2 2 2

2 2 2 2

2 1 2 1 1 2

2 1 2 1 1 º 315 1 º

30 1 º 45 cos

1 º 60 cos

1     

 











 sen sen

11) Se x e y são dois arcos complementares, calcule A = (cosx - cosy)

²

+ (senx + seny)

²

Solução. Desenvolvendo os produtos e lembrando que x + y = 90º, vem:

. 2

) 0 ( 2 2

º 90 cos 2 2

) cos(

. 2 1 1

) cos

(cos 2 ) cos (

) (cos

2 cos

cos cos 2 cos

2 2

2 2

2 2

2 2











































A A A

y x A

senxseny y

x y

y sen x

sen x A

y sen senxseny x

sen y y

x x

A

12) Calcule sen2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.

Solução. A cotangente é o inverso da tangente. E podemos escrever sen2x = 2senxcosx.

Temos:

3 . 2 2 3

. 1 2 cos 3 2

cos 1 cos 3

1

cos 3

cos cos 3

3 cos

^{2 2}





























x sen x

senx x

senx

x senx

x senx x

x senx sen

x x

ctgx senx

tgx