UFPE — MA989 — 2011.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA LISTA DE EXERC´ICIOS 03 – v. 2.0

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Assuntos: Introdu¸c˜ao aos conjuntos parcialmente ordenados (CPOs); diagrama de Hasse; ordens parciais no conjunto das partes, num grafo orientado ac´ıclico, num produto cartesiano, e por divisibilidade nos n´umeros naturais.

Obs. E importante recordar os conceitos de ordem estrita´ < num conjunto C (uma rela¸cão irreflexiva, assimétrica e transitiva) e ordem parcial≤em C (uma rela¸cão reflexiva, anti-simétrica e reflexiva), a qual é a união disjunta de uma rela¸cão de ordem estrita em ccom a rela¸cão de igualdade em C.

Questão 0. No todo, esta questão é muito dif´ıcil para os estudantes novi¸cos e, assim, constitui uma série de defini¸cões e enunciados para estes estudantes.

As demonstra¸cões ficam para os estudantes mais experientes. Sejam X um conjunto,Re ˜Rrela¸cões binárias emX (isto é,R ⊆X×X), e<uma rela¸cão de ordem estrita em X. Definimos (Há um exemplo na Questão 1):

• Ofecho transitivo F T(R) deR é a menor rela¸cão binária transitiva em X tal que R ⊆F T(R);

• R˜ é uma redu¸cão transitiva de R se, e somente se, R^′ é minimal (para efeito de inclusão/continência ⊆) dentre as rela¸cões binárias cujo fecho transitivo é igual a F T(R);

• A rela¸cão de cobertura ≺ da rela¸cão < é dada por: para todos x, y ∈ X, x ≺ t (“x é coberto por y”; “y cobre x”) se, e somente se, x < y e não existe z ∈ X tal que x < z < y. Em outras palavras, o intervalo fechado [x, y]< é igual a {x, y};

• Recordar que os caminhos orientados num grafo orientado ac´ıclico G fornecem uma rela¸cão de ordem estrita<no conjuntoV(G) dos vértices deG(indo do maior para o menor). Quando V(G) é finito e as arestas deGrepresentam a rela¸cão de cobertura deG(ou seja,−→

E(G) é minimal para a determina¸cão de < pelos caminhos orientados em G), dizemos que Gé o diagrama de Hassede <e de sua ordem parcial ≤. 0.a. Demonstrar que F T(R) =R se, e somente se, R é transitiva;

0.b. Demonstrar que a interse¸cão de uma fam´ılia de rela¸cões binárias em X transitivas é uma rela¸cão transitiva;

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0.c. Observando queX×X´e uma rela¸c˜ao transitiva, demonstrar queF T(R)

é a interse¸cão de todas as rela¸cões binárias emX transitivas que contêm R, Da´ı, F T(R) existe e é único. Além disto, F T(R)6=∅ ⇐⇒R6=∅;

0.d. Consideremos a seguinte defini¸c˜ao recursiva:

R⁰ =b R;

Rⁿ⁺¹ =b RⁿS{(x, y)∈X×X|∃z ∈X : (x, z), (z, y)∈Rⁿ}, ∀n∈N. Demonstrar que F T(R) = [

n∈N

Rⁿ. Intuitivamente, isto diz: x F T(R)ysigni- fica que existem pares “encadeados” xRz1, z1Rz2, . . . , z_n−1Rz_n, z_nRy;

0.e. Demonstrar que, se F T(R) é uma rela¸cão anti-simétrica e finita (enquanto conjunto), então R possui uma única redu¸cão transitiva¹;

0.f. Se X é finito, então a rela¸cão de cobertura de < é a única redu¸cão transitiva de < e também da rela¸cão de ordem parcial≤ associada a<.

Quest˜ao 1. Consideremos os conjuntos C1={a};b C2={a, b};b C3={a, b, c};b e C4={a, b, c, d}, ondeb a,b, ce d s˜ao elementos dois a dois distintos.

1.a. Escrever, explicitamente, todas as ordens estritas em C1 e todas em C2. Fazer o mesmo em C3 e em C4 a menos de permuta¸cão (Vide o Item 1.b). Para a descri¸cão, podem ser usadas várias apresenta¸cões. No exemplo a seguir, apresentamos uma mesma ordem estrita< em C4 por diversos meios (recomendamos os diagramas de Hasse):

• Como rela¸c˜ao em C4: < ={(a, b); (a, d); (b, d)};

• Na nota¸cão usual para ordem, < diz que: a < b, a < d e b < d (enquanto cé incomparável a todos eles por meio de<);

• Por sua rela¸c˜ao de cobertura: ≺ ={(a, b); (b, d)}, isto ´e, a≺b ≺d;

• Pelo seu diagrama de Hasse: aôô bôô c

1.b. Para C1 e C2, dar um isomorfismo de ordens para cada par (desorde- nado) de CPOs isomorfos. Qual o papel, nisto, da permuta¸c˜aoa↔b emC2? Em geral, qual o papel das permuta¸c˜oes de C_ para os tipos de ordem ?

1A unicidade vem da anti-simetria. Para a existência, basta F T(R) ser localmente finita. A finitude local de uma rela¸cão binária S em um conjunto X é definida por:

∀x, y ∈X, xSy =⇒ {z ∈X|xRzRy}é finito. Finalmente, observemos que uma redu¸cão transitiva deRnão precisa estar contida emR. Da´ı, uam rela¸cão de ordem é finitamente local se, e somente se, seus intervalos fechados são finitos.

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1.c. Para cada uma das rela¸c˜oes de ordem estrita obtidas no Item 1.a, for- necer: todos os seus elementos minimais², elementos maximais, m´ınimos e m´aximos; e todas as cadeias ⊆ −maximais e anticadeias ⊆ −maximais;

1.d. SejaP o conjunto das partes deC4, ordenado parcialmente por inclus˜ao (continˆencia). Repetir o Item 1.c para P.

Quest˜ao 2. Sejam (A,≤A) e (B,≤B) CPOs. Consideremos as rela¸c˜oes de ordem parcial em A×B definidas abaixo: ∀(a, b),(a^′, b^′)∈A×B,

• (a, b)≤L (a^′, b^′)⇐⇒[(a=a^′∧b ≤B b^′)∨a <_A a^′] (ordem lexicogr´afica);

• (a, b)≤C (a^′, b^′)⇔[(b =b^′∧a ≤Aa^′)∨b <B b^′] (ordem colexicogr´afica);

• (a, b)≤P (a^′, b^′)⇐⇒[a≤A a^′∧b≤B b^′] (ordem produto); e

• (a, b)≤R (a^′, b^′)⇐⇒[(a, b) = (a^′, b^′)∨(a <Aa^′ ∧b <_B b^′)].

Obs. Alguns estudantes podem achar mais f´acil fazer, primeiro, o Item 2.d, o qual possui mais hip´oteses sobre os CPOs.

2.a. Demonstrar que as quatro são rela¸cões de ordem parcial em A×B; 2.b. Demonstrar que, se ≤A e ≤B são totais, então ≤L é total;

2.c. Demonstrar que, ∀(a, b),(a^′, b^′)∈A×B,

(a, b)≤R (a^′, b^′) =⇒(a, b)≤P (a^′, b^′), e (a, b)≤P (a^′, b^′) =⇒(a, b)≤L (a^′, b^′);

Para os itens restantes, usar A =B ={0,1,2} e as ordens totais≤B =≤A

determinadas por 0≤A1≤A2 (ou seja, induzidas pela ordem usual de N).

2.d. Para cada uma das quatro rela¸c˜oes, escrever seus diagramas de Hasse;

2.e. Mostrar que≤P e≤R podem não ser totais mesmo que≤A e≤B sejam, e que as rec´ıprocas das duas implica¸cões no Item 2.c podem ser falsas. Rela- cionar isto ao número de elementos de A e B.

2Recordar que: mserelemento minimalde um CPO (C,≤) significa que não existe c ∈ C tal que c < m, ou seja, todoc ∈ C ou satisfaz m≤c ou não é comparável a m.

Já mser m´ınimodeC tem um significado mais forte: ∀c∈C, m≤c. M´ınimo, quando existe, é único e também é o único elemento minimal. Por sua vez, elemento minimal num conjunto totalmente ordenado é, necessariamente, m´ınimo. Já num conjunto parcialmente ordenado por uma ordem parcial não-total, podemos ter nenhum, um ou mais elementos minimais, inclusive elementos minimais que não são m´ınimos.

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Questão 3 (A rela¸cão de ordem parcial em N por divisibilidade). Seja (N,0, S) um sistema de número naturais com sua boa ordena¸cão total ≤ e sua aritmética usual. Consideremos as seguintes defini¸cões:

• Dados m, n ∈N, dizemos que m divide n, n édivis´ıvel por m, m é divisor de n, e que n émúltiplo de m, e denotamos³ isto tanto por m\n como m|n se, e somente se, existe r∈N tal que rm=n;

• Dado p ∈ N, p ´e primo se, e somente se, p possui exatamente dois divisores distintos⁴, a saber, 1 ep;

• Dado q∈N\{0,1}, q écomposto se, e somente se, q não é primo.

3.a. Definido-se 1 :=S(0), 2 :=S(1) e 3 :=S(2), demonstrar que que 2 n˜ao

´e divisor de 3;

3.b. Demonstrar que a rela¸cão binária ≤D abaixo é uma rela¸cão de ordem parcial em N:

∀m, n∈N, (m≤D n⇐⇒m\n) ;

3.c. Demonstrar que 1 e 0 s˜ao, respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo do CPO (N,≤D);

3.d. Demonstrar que, para todos os naturais n˜ao-nulos m e n, se m ≤D n, ent˜ao m ≤n (na ordem usual)⁵;

3.e. Dos itens anteriores, deduzir que: 0 não é primo; 2 e 3 são primos; e que os números primos são os elementos minimais de N\{1} para a rela¸cão de ordem parcial ≤D;

3.f. Mostrar que ≤D n˜ao ´e total (linear);

3.g. Demonstrar que ≤D ébem fundada. Recordar que isto significa que, para todo subconjunto não-vazioC deN, existem∈C tal quemé minimal⁶ emC com rela¸cão a≤D. Dica: Usar o Item 3.d e a boa ordena¸cão de (N,≤).

Obs. Eventualmente, ser˜ao discutidos os seguintes resultados:

Teorema⁷: O conjunto dos n´umeros naturais primos ´e infinito;

Teorema: Toda rela¸cão bem fundada induz uma no¸cão de demonstra¸cão por

3Esta nota¸cão também se aplica à extensão deste conceito deNparaZ.

4Logo, 1 não é primo por defini¸cão de primalidade.

5Do Item 3.a e do fato de que 2< S(2) = 3, a rec´ıproca ´e falsa !

6Isto ´e, n˜ao existec∈C tal quec <Dm.

7Teorema devido a Euclides, c. 300. ´E a Proposi¸c˜ao 20 do Livro IX dos Elementos.

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indu¸cão bem fundada e uma no¸cão de defini¸cão por recursão bem fundada;

Teorema Fundamental da Aritmética: Todo número natural maior que 1 possui uma única (uma e apenas uma) fatora¸cão como produto p1p2· · ·p_k de naturais primos p1 ≤p2 ≤ · · · ≤p_k (para algum k∈N\{0}).

Obs. Este ´ultimo pode ser demonstrado pela indu¸c˜ao bem-fundada de ≤D

e por outros meios.

Questão 4. Dados um conjunto X e um conjunto totalmente ordenado (Y,≤), consideremos o conjunto Y^X de todas as fun¸cões de X em Y. Ele admite uma rela¸cão de ordem parcial (aqui denotada por ) dada por:

∀f, g∈Y^X, (f g ⇐⇒ ∀x∈X, f(x)≤g(x))

ou seja, o valor de f em cada ponto deve ser menor que ou igual ao valor de g naquele ponto⁸.

4.a. Demonstrar que é, de fato, uma rela¸cão de ordem parcial em Y^X; Para os itens restantes, fixemos um conjunto X com mais de um elemento (digamos, X = C4 da Questão 1), e Y = N para um sistema de números naturais (N,0, S) munido de sua boa ordena¸cão total usual ≤.

4.b. possui m´ınimos ? M´aximos ? Elementos minimais ? Elementos maximais ?

4.c. Mostrar que, em geral, n˜ao ´e total;

Dadas f, g, h ∈ Y^X, definamos f+g : X −→Y =N

x 7−→f+g(x) =f(x) +g(x), f·g : X −→Y =N

x 7−→f·g(x) =f(x)·g(x), e

0: X −→N

x 7−→0(x) = 0 constante.

4.d. Vale a lei de cancelamento f +h=g+h⇒f =g ? Vale a monotonicidade f g =⇒f+hg+h ?

4.e. Se 0h, então valem a lei de cancelamento f ·h = g ·h ⇒ f = g e a monotonicidade f g =⇒f ·hg·h ? Em caso negativo, que condi¸cão sobre h é necessária para os resultados valerem ?

8Podemos, em particular, ordenar parcialmente o conjuntoY^Ndas sequências emY, e o conjuntoRÎ das fun¸cões reais num intervalo realI.

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Questão 5. Consideremos os seguintes tipos de rela¸cão: reflexiva, irreflexiva, simétrica, assimétrica, anti-simétrica, transitiva, ordem parcial, total, ordem estrita, tricótoma, total à esquerda, sobrejetiva, correspondência, injetiva, funcional e biun´ıvoca. Verificar que a rela¸cão emA ={0,1,2,3}dada por R=b {(0,0); (0,1); (1,0); (0,2); (3,2)}não é de nenhum destes tipos ! Dica: Este exemplo enfatiza o papel do quantificador ∀ (“para todo”) nas defini¸cões dos tipos especiais de rela¸cão mencionados !

Questão 6. Esta questão também é dif´ıcil para estudantes novi¸cos, mas recomendamos que estes, ao menos, tentem fazê-la. Sejam (X,≤) e (Y,≤^′) CPOs, e f : X −→ Y uma fun¸cão estritamente crescente. Em cada item abaixo, enfatizar onde é essencial que a monotonicidade de f seja estrita.

6.a. Demonstrar que, se ≤ é total, então f é injetiva. Dar um contra- exemplo⁹ para o caso de ≤ não ser total;

6.b. Demonstrar que, se f é uma bije¸cão e ≤ é total, então f⁻¹ também é estritamente crescente¹⁰ e ≤^′ também é total. Dar um contra-exemplo para o caso de ≤ não ser total mesmo que ≤^′ seja total, exibindo uma bije¸cão estritamente crescente f cujo contra-dom´ınio é totalmente ordenado e cuja fun¸cão inversa não é estritamente crescente;

6.c. Demonstrar que, sebé um elemento minimal deY, então os elementos¹¹ def⁻¹({b}) são elementos minimais deX. Dar um contra-exemplo para “m´ı- nimo”, exibindo f estritamente crescente cujo contra-dom´ınio é totalmente ordenado e tem m´ınimom tal que nenhum elemento (minimal) def⁻¹({m})

´e m´ınimo do dom´ınio def.

9Ou seja, darf estritamente crescente e n˜ao-injetiva.

10Em particular, sefé uma das seguintes fun¸cões: f(x) =x+mparam∈N;f(x) =mx ou f(x) =x^m para m∈N\{0}; ou f(x) =m^x para m∈N\{0,1}, que são estritamente crescentes, então suas fun¸cões inversas também preservam desigualdade. Em outras palavras, dados os naturais x e y, temos que x < y equivale às seguintes desigualdades:

x+m < y+m (m∈ N), mx < my (m ∈N\{0}), x^m < y^m (m∈ N\{0}), e m^x < m^y (m∈N\{0,1}). Fato semelhante valerá para a extensão destas opera¸cões paraR(com as devidas restri¸cões sobre o parâmetrome os númerosxey), e uma justificativa para que a frase “x < yimplica que” possa ser substitu´ıda por “x < yequivale a” para cada opera¸cão

é o Item 6.b. Assim, uma vez demonstrado que, emR, multiplicar por uma constante positiva, elevar amnatural ´ımpar, elevar um real não-negativo amnatural positivo par, e exponenciar com base maior que 1 são fun¸cões estritamente crescentes, temos que também são fun¸cões estritamente crescentes as seguintes opera¸cões: dividir por uma constante positiva; tirar a raizm−ésima (mnatural ´ımpar); tirar a raizm−ésima (mnatural positivo par) de um real não-negativo; e tomar logaritmo com base maior que 1.

11Aimagem inversadeS⊆Y ´e o conjuntof⁻¹(S) ={x∈X|f(x)∈S}.