4 A possibilidade de detecção directa de buracos negros

4 A possibilidade de detecção

directa de buracos negros

4.1 Buracos negros de Schwarzschild

A temperatura de Hawking para buracos negros de Kerr-Newmann, de Kerr e de Reissner-Nordström (Secção 1.2.7) é dada, respectivamente, pelas equações (2.14), (2.15) e (2.16).

No gráfico da Figura 4.1 estão representadas as curvas para a temperatura de um buraco negro de Reissner-Nordström de massa m, com a respectiva carga a variar entre 0 e m, e para um buraco negro de Kerr de massa m, com o respectivo momento angular por unidade de massa a variar também entre 0 e m. Verifica-se que essas temperaturas são sempre inferiores à temperatura de um buraco negro de Schwarzschild (equação 2.8) com a mesma massa. A temperatura do buraco negro de Reissner-Nordström decai bruscamente quando este se aproxima do caso extremo (ε=m) atingindo o zero nesse ponto. O mesmo acontece com o buraco negro de Kerr. À medida que a sua velocidade de rotação aumenta a respectiva temperatura diminui atingindo o zero quando o buraco negro se torna máximo (a=m). Temos, assim, que a buracos negros de Reissner-Nordström extremos e a buracos negros de Kerr máximos correspondem temperaturas nulas. Estes não emitem radiação de Hawking.

No gráfico da Figura 4.2 está representada a temperatura de um buraco negro de Kerr-Newmann (ε≠0, a≠0), de massa m, com a respectiva carga eléctrica e momento angular por unidade de massa a variarem entre 0 e m. Qualquer aumento num destes parâmetros, com m mantido constante, leva a um decréscimo da temperatura. A temperatura atinge zero para os pontos tais que ε2+a2=m2 sobre os quais o buraco negro se torna extremo (Secção 1.2.7).

Consideremos agora um buraco negro de Schwarzschild (Secção 1.2.1) uniformemente acelerado (Secção 2.3). Devido à aceleração, Ar, temos, para além de um horizonte de acontecimentos rh2 (equação 2.23), um horizonte de Rindler rh1 (equação 2.22).

Figura 4.1 - (a) Temperatura (T0) de um buraco negro de Schwarzschild de massa m. (b) Variação da temperatura de um buraco negro de Reissner-Nordström, de massa m, quando a respectiva carga eléctrica,

ε, varia entre 0 e m. (c) Variação da temperatura de um buraco negro de Kerr, de massa m, quando o respectivo momento angular por unidade de massa, a, varia entre 0 e m.

Figura 4.2 - Variação da temperatura de um buraco negro de Kerr-Newmann, de massa m, quando a respectiva carga eléctrica, ε, e momento angular por unidade de massa, a, variam entre 0 e m. O valor T0 corresponde à temperatura de um buraco negro de Schwarzschild de massa m.

Figura 4.3 - Variação do raio do horizonte de Rindler (rh1) e do horizonte de acontecimentos (rh2) de um buraco negro de Schwarzschild em função da respectiva aceleração uniforme Ar. Quanto maior a aceleração maior será rh2 e menor será rh1. Quando Ar atinge o seu valor máximo os dois horizontes coincidem sendo o respectivo raio dado por 3m.

Quando Ar→0, rh1 diverge e rh2→2m como seria de esperar (equação 1.3). À medida que Ar aumenta rh1 vai decrescendo e rh2 vai-se tornando maior até que, quando Ar atinge o seu valor máximo (expressão 2.26), temos rh1=rh2=3m. Este comportamento está ilustrado no gráfico da Figura 4.3.

As temperatura T1 e T2 associadas, respectivamente, aos horizontes rh1 e rh2 podem ser determinadas a partir da equação (2.25). No gráfico da Figura 4.4 está representada a variação destas temperaturas com a aceleração do buraco negro. Quando Ar=0 temos T1=0 e T2 a coincidir, naturalmente, com o valor dado pela equação (2.8). À medida que Ar aumenta, a temperatura do horizonte de acontecimentos, T2, diminui e a temperatura do horizonte de Rindler, T1, embora comece por aumentar, acaba também por decrescer. Em r=3m as duas temperaturas anulam-se, deixando assim de ser emitida radiação de Hawking.

Consideremos agora um buraco negro de Kerr uniformemente acelerado. Como acontecia com o buraco negro de Schwarzschild a aceleração, Ar, não pode assumir qualquer valor. Os valores permitidos são aqueles que verificam a desigualdade (2.27). No gráfico da Figura 4.5 está representada a variação da aceleração uniforme máxima permitida em função do momento angular por unidade de massa, a, para um buraco negro de massa m (sem carga eléctrica).

Figura 4.4 - Variação da temperatura do horizonte de Rindler (T1) e da temperatura do horizonte de acontecimentos (T2) de um buraco negro de Schwarzschild em função da respectiva aceleração uniforme Ar (em valor absoluto).

Figura 4.5 - Variação da aceleração uniforme máxima, Ar, permitida em função do momento angular por

unidade de massa, a, para um buraco negro de massa m e sem carga eléctrica. A região colorida corresponde à zona permitida aos buracos negros. O eixo horizontal corresponde ao buraco negro de Schwarzschild uniformemente acelerado e o eixo vertical ao buraco negro de Kerr sem aceleração. As

Figura 4.6 - Variação da temperatura do horizonte de Rindler (T1) e do horizonte de acontecimentos (T2) para um buraco negro com rotação, em função da respectiva aceleração uniforme Ar. Foram considerados os casos a=0.5m e a=0.8m. A linha horizontal corresponde à temperatura de um buraco negro de Kerr com iguais valores de m e a mas sem aceleração. No eixo vertical T=T0 corresponde à temperatura de um buraco negro de Schwarzschild de igual massa.

Consideremos a variação das temperaturas dos horizontes rh1 e rh2 (que podem ser determinadas a partir de 2.25) com a aceleração, Ar, de um buraco negro de Kerr com

momento angular por unidade de massa, a, fixo. Nos gráficos da Figura 4.6 estão representados os casos a=0.5m e a=0.8m. Verifica-se que quanto maior o valor de Ar,

mais a temperatura do horizonte de acontecimentos, T2, se torna inferior à temperatura

de um buraco negro de Kerr com iguais valores de m e a mas sem aceleração.

Acabamos de constatar que buracos negros de Reissner-Nordström, Kerr, Kerr-Newmann ou uniformemente acelerados têm sempre temperaturas inferiores às de um buraco negro de Schwarzschild de igual massa. Vamos então considerar, ao longo deste capítulo, dedicado à possibilidade de detecção directa de buracos negros (a partir da radiação electromagnética emitida pelos mesmos), apenas buracos negros de Schwarzschild uma vez que serão os que terão melhores possibilidades de detecção.

4.2 Buracos negros e o espectro

electromagnético

Os buracos negros são na sua essência objectos bastante simples. Um buraco negro fica completamente determinado por três parâmetros: massa, carga eléctrica e momento angular (Secção 1.2.7).

Consideremos um buraco negro de Schwarzschild (Secção 1.2.1). Este é completamente caracterizado pela sua massa M. Todos os outros valores referentes ao buraco negro podem ser expressos em termos de M. É o que acontece, por exemplo, com λmax (Secção 2.1) correspondente ao comprimento de onda para o qual a emissão de radiação de Hawking electromagnética é mais intensa. Saber M é equivalente a saber λmax. Quanto maior a massa de um buraco negro maior é o seu valor de λmax e menor é a sua temperatura (equações 2.10 e 2.11). A buracos negros de massas iguais correspondem iguais valores de λmax.

Podemos, deste modo, associar a cada comprimento de onda do espectro electromagnético (Figura 4.7) um (e só um) buraco negro de Schwarzschild. Uma travessia de todo o espectro, desde o rádio longínquo, até aos raios gama mais energéticos, leva-nos dos buracos negros supermassivos presentes no centro de algumas galáxias (Secção 3.1), até aos buracos negros de dimensões microscópicas.

Falaremos então em buracos negros rádio, infravermelhos, visíveis, ultravioleta, de raios X e de raios gama. Note-se que dizer que um buraco negro é, por exemplo, infravermelho não significa que este apenas emite raios infravermelhos de um dado comprimento de onda. Significa, isso sim, que apesar de emitir fotões de todos os comprimentos de onda, a emissão é mais intensa para um determinado comprimento de onda (λmax) situado na região do infravermelho.

Na Tabela 4.1 é indicada uma lista de 50 buracos negros de Schwarzschild, devidamente numerados, que serão referidos como exemplos ao longo das secções seguintes. Foram considerados desde os buracos negros supermassivos (emissão mais intensa em rádio) até aos de dimensão planckiana (emissão em raios gama). Para além de λmax foram indicados, em cada caso, o valor da temperatura (equação 2.11), da massa (equação 2.10), o raio de Schwarzschild (equação 1.3) e a luminosidade total do buraco negro (equação 2.31).

λλλλ (m) νννν (Hz) E (eV) ELF - Extremely Low Frequency

106

3×102 VF - Voice Frequency

105

3×103 VLF - Very Low Frequency

104 3×104 LF - Low Frequency 103 3×105 MF - Medium Frequency 102 3×106 HF - High Frequency 10 3×107 VHF - Very High Frequency

1 3×108 UHF - Ultra High Frequency

10-1

3×109 SHF - Super High Frequency

10-2

3×1010 Rádio

EHF - Extremely High Frequency 10-3 3×1011 Submilimétrico 3×10-4 ₁₀12 IV longínquo 3×10-5 1013 IV médio 5×10-6 6×1013 Infravermelho IV Próximo 7×10-7 4.3×1014 Visível 4×10-7 7.5×1014 3.1 eV UV próximo 3×10-7 1015 4.1 eV UV médio 2×10-7 _1.5×1015 _{6.2 eV} UV distante 10-7 3×1015 _{12.4 eV} Ultravioleta UV extremo 10-8 3×1016 124 eV RX Suaves 1.2×10-9 2.4×1017 1 KeV RX Médios 1.2×10-10 2.4×1018 10 Kev Raios X RX Fortes 2×10-12 1.2×1020 0.5 MeV Rγ Suaves 1.2×10-13 2.4×1021 10 MeV Rγ Médios 1.2×10-17 2.4×1025 105 MeV Raios Gama Rγ Fortes

Tabela 4.1 - Lista de 50 buracos negros de Schwarzschild. Em cada caso são indicados os

valores do comprimento de onda máximo (λmax), da temperatura (T), da massa (M), do raio de Schwarzschild (rs) e da luminosidade (L). n λλλλmax (m) T (K) M (M ) rs (m) L (W) 1 1012 2.9×10-15 2.1×107 6.3×1010 2.0×10-43 2 1011 2.9×10-14 2.1×106 6.3×109 2.0×10-41 3 1010 2.9×10-13 2.1×105 6.3×108 2.0×10-39 4 109 2.9×10-12 2.1×104 6.3×107 2.0×10-37 5 108 2.9×10-11 2.1×103 6.3×106 2.0×10-35 6 107 2.9×10-10 2.1×102 6.3×105 2.0×10-33 7 106 2.9×10-9 2.1×101 6.3×104 2.0×10-31 8 105 2.9×10-8 2.1×100 6.3×103 2.0×10-29 9 104 2.9×10-7 2.1×10-1 6.3×102 2.0×10-27 10 103 2.9×10-6 2.1×10-2 6.3×101 2.0×10-25 11 102 2.9×10-5 2.1×10-3 6.3×100 2.0×10-23 12 101 2.9×10-4 2.1×10-4 6.3×10-1 2.0×10-21 13 100 2.9×10-3 2.1×10-5 6.3×10-2 2.0×10-19 14 10-1 2.9×10-2 2.1×10-6 6.3×10-3 2.0×10-17 15 Rádio 10-2 2.9×10-1 2.1×10-7 6.3×10-4 2.0×10-15 16 10-3 2.9×100 2.1×10-8 6.3×10-5 2.0×10-13 17 10-4 2.9×101 2.1×10-9 6.3×10-6 2.0×10-11 18 10-5 2.9×102 2.1×10-10 6.3×10-7 2.0×10-9 19 Raios IV 10-6 2.9×103 2.1×10-11 6.3×10-8 2.0×10-7 20 7.0×10-7 4.1×103 1.5×10-11 4.4×10-8 4.1×10-7 21 6.0×10-7 4.8×103 1.3×10-11 3.8×10-8 5.6×10-7 22 5.0×10-7 5.8×103 1.1×10-11 3.2×10-8 8.0×10-7 23 Visível 4.0×10-7 _7.2×103 _8.6×10-12 _2.5×10-8 _1.3×10-7 24 10-7 2.9×104 2.1×10-12 6.3×10-9 2.0×10-5 25 Raios UV 10-8 2.9×105 2.1×10-13 6.3×10-10 2.0×10-3 26 10-9 2.9×106 2.1×10-14 6.3×10-11 2.0×10-1 27 Raios X 10-10 2.9×107 2.1×10-15 6.3×10-12 2.0×101 (continua)

Tabela 4.1 - Lista de 50 buracos negros de Schwarzschild (continuação). n λλλλmax (m) T (K) M (M ) rs (m) L (W) 28 10-11 2.9×108 2.1×10-16 6.3×10-13 2.0×103 29 10-12 2.9×109 2.1×10-17 6.3×10-14 2.0×105 30 10-13 2.9×1010 2.1×10-18 6.3×10-15 2.0×107 31 10-14 2.9×1011 2.1×10-19 6.3×10-16 2.0×109 32 10-15 2.9×1012 2.1×10-20 6.3×10-17 2.0×1011 33 10-16 2.9×1013 2.1×10-21 6.3×10-18 2.0×1013 34 10-17 2.9×1014 2.1×10-22 6.3×10-19 2.0×1015 35 10-18 2.9×1015 2.1×10-23 6.3×10-20 2.0×1017 36 10-19 2.9×1016 2.1×10-24 6.3×10-21 2.0×1019 37 10-20 2.9×1017 2.1×10-25 6.3×10-22 2.0×1021 38 10-21 2.9×1018 2.1×10-26 6.3×10-23 2.0×1023 39 10-22 2.9×1019 2.1×10-27 6.3×10-24 2.0×1025 40 10-23 2.9×1020 2.1×10-28 6.3×10-25 2.0×1027 41 10-24 2.9×1021 2.1×10-29 6.3×10-26 2.0×1029 42 10-25 2.9×1022 2.1×10-30 6.3×10-27 2.0×1031 43 10-26 2.9×1023 2.1×10-31 6.3×10-28 2.0×1033 44 10-27 2.9×1024 2.1×10-32 6.3×10-29 2.0×1035 45 10-28 2.9×1025 2.1×10-33 6.3×10-30 2.0×1037 46 10-29 2.9×1026 2.1×10-34 6.3×10-31 2.0×1039 47 10-30 2.9×1027 2.1×10-35 6.3×10-32 2.0×1041 48 10-31 2.9×1028 2.1×10-36 6.3×10-33 2.0×1043 49 10-32 2.9×1029 2.1×10-37 6.3×10-34 2.0×1045 50 Raios Gama 10-33 2.9×1030 2.1×10-38 6.3×10-35 2.0×1047

Verifica-se, a partir da análise da Tabela 4.1, que as temperaturas só começam a ter valores mensuráveis do espaço (>1K) a partir dos buracos negros infravermelhos (em laboratório podemos ir até aos 10-5K). Como era de esperar pela equação (2.31) temos que os buracos negros mais pequenos (menor massa) são também os mais luminosos. Por exemplo, o buraco negro nº19, cuja massa é de 2.1×10-11M , tem uma luminosidade de 2.0×10-7

W. Por sua vez o buraco negro nº28 cuja massa é de 2.1×10-16

M tem uma luminosidade de 2.0×103W (ver mais exemplos nas Figuras 4.8 e 4.9).

Figura 4.8 - Representação em tamanho real de um buraco negro de Schwarzschild com ≈10-5M (rs=3.1 cm) do ponto de vista de um observador distante.

Figura 4.9 - Representação de quatro buracos negros visíveis: vermellho, amarelo, azul esverdeado e violeta (nºs 20 a 23 da Tabela 4.1). Os quatro objectos estão representados segundo uma escala comum a qual corresponde a uma ampliação de cerca de 750 000 vezes.

4.3 Possibilidade de detecção directa de buracos

negros (teórica)

Vamos começar por determinar a distância máxima a que se pode estar de um buraco negro para que a radiação de Hawking (a única forma de emissão electromagnética que se conhece: Secção 2.1) emitida pelo mesmo seja detectável num determinado comprimento de onda.

O espectro de emissão de um buraco negro é igual ao de um corpo negro à mesma temperatura (Secção 2.1). A densidade de fluxo7 da radiação de Hawking emitida por um buraco negro de Schwarzschild é então dada por (Anexo E):

7

A densidade de fluxo traduz a energia emitida por unidade de área, de tempo e de frequência, ou seja, é o fluxo por unidade de frequência.

(

)

Esta expressão traduz a quantidade de energia emitida pelo buraco negro por unidade de área, de tempo e de frequência. Seja sν a densidade de fluxo incidente sobre um detector à distância d do centro do buraco negro. Consideraremos sempre d>>rs por forma a que se possam desprezar os efeitos da relatividade geral junto ao detector. Os valores de Sν, s_ν, e d relacionam-se através da expressão (e.g. Lang 1999):

2 s ν ν r d s S       = (4.2)

onde rs é o raio de Schwarzschild do buraco negro (expressão 1.3).

Este resultado permite-nos relacionar as densidades de fluxo da radiação emitida e a medida com a distância ao buraco negro emissor. Como estamos particularmente interessados em saber a distância máxima de detectabilidade da radiação de Hawking emitida pelo buraco negro, para um determinado comprimento de onda, vamos tomar a

densidade de fluxo s_ν igual à sensibilidade do telescópio para esse comprimento de onda. A distância máxima será então dada pelo valor de d.

Conciliando a expressão do raio de Schwarzschild (1.3) com a da temperatura do buraco negro (2.9) obtemos:

s kr π 4 c T= h

Substituindo este último resultado na densidade de fluxo (4.1) vem:

(

)

1 e c s r d c / ν r π 8 2 ν s s 2 − = (4.4)

Se a densidade de fluxo sν traduzir a sensibilidade do telescópio então a expressão

anterior diz-nos qual a distância máxima à qual se poderá detectar, com esse telescópio, a radiação de Hawking emitida no comprimento de onda, λ=c/ν, por um buraco negro de raio rs.

4.4 Possibilidade de detecção directa de buracos

negros (limites técnicos actuais)

4.4.1 Rádio

Nem todas as ondas de rádio, provenientes do espaço exterior, conseguem penetrar na atmosfera da Terra. A janela do rádio situa-se aproximadamente entre os comprimentos de onda de 1cm e 10m. O limite inferior depende da composição atmosférica e o limite superior da densidade electrónica da ionosfera (e.g. Kraus 1986).

Existem actualmente vários rádio-telescópios, e respectivas redes interferométricas, operando desde as ondas milimétricas até as métricas. A sensibilidade varia consoante o telescópio e, para cada um, consoante o comprimento de onda de trabalho. O VLA (Very Large Array), por exemplo, apresenta uma sensibilidade de 0.045mJy nos 3.6cm e de 15mJy nos 4m (http://www.vla.nrao.edu).

Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking dos 50 buracos negros da Tabela 4.1 nos 4m e 3.6cm considerando as sensibilidades indicadas anteriormente. Vamos considerar também a detecção nos 20m (embora não exista actualmente qualquer rádio-telescópio a operar neste comprimento de onda) para uma sensibilidade de 15mJy (a mesma do VLA nos 4m).

As distâncias máximas de detecção, determinadas a partir da equação (4.4), para os buracos negros 13 a 50 da Tabela 4.1, estão indicadas na Tabela 4.2. Na tabela são também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso.

Tabela 4.2 - Distâncias máximas para a detecção no rádio. São indicados, para os buracos

negros nºs 13 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual podem ser detectados nos comprimentos de onda de 20m (sν=15mJy), 4m (sν=15mJy) e 3.6cm

(sν=0.045mJy). Os buracos negros nºs 1 a 12 não foram incluídos pois para esses é sempre d<rs.

Situação idêntica ocorre para o buraco negro nº13 quando observado nos 3.6cm. Os casos assinalados com fundo cinzento correspondem a distâncias de detecção inferiores a 10rs.

λλλλ=20m λλλλ=4m λλλλ=3.6cm n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

13 6.3×10-2 5.5×10-2 1.2×10-1 7.9×10-1 4.6×10-1 - <rs 14 6.3×10-3 6.2×10-1 4.1×10-2 15 2.0×10-1 2.7 1.6 15 6.3×10-4 6.3 1.3×10-2 1.6×102 6.4×10-2 9.0×105 89 16 6.3×10-5 63 4.1×10-3 1.6×103 2.0×10-2 1.8×107 40 17 6.3×10-6 6.3×102 1.3×10-3 1.6×104 6.5×10-3 1.9×108 13 18 6.3×10-7 6.3×103 4.1×10-4 1.6×105 2.0×10-3 1.9×109 4.1 19 6.3×10-8 6.3×104 1.3×10-4 1.6×106 6.5×10-4 1.9×1010 1.3 20 4.4×10-8 9.0×104 1.1×10-4 2.2×106 5.4×10-4 2.8×1010 1.1 21 3.8×10-8 1.0×105 1.0×10-4 2.6×106 5.0×10-4 3.2×1010 1.0 22 3.2×10-8 1.3×105 9.1×10-5 3.1×106 4.6×10-4 3.9×1010 9.3×10-1 23 2.5×10-8 1.6×105 8.2×10-5 3.9×106 4.1×10-4 4.8×1010 8.3×10-1 24 6.3×10-9 6.3×105 4.1×10-5 1.6×107 2.0×10-4 1.9×1011 4.1×10-1 25 6.3×10-10 6.3×106 1.3×10-5 1.6×108 6.5×10-5 1.9×1012 1.3×10-1 26 6.3×10-11 6.3×107 4.1×10-6 1.6×109 2.0×10-5 1.9×1013 4.1×10-2 27 6.3×10-12 6.3×108 1.3×10-6 1.6×1010 6.5×10-6 1.9×1014 1.3×10-2 28 6.3×10-13 6.3×109 4.1×10-7 1.6×1011 2.0×10-6 1.9×1015 4.1×10-3 29 6.3×10-14 6.3×1010 1.3×10-7 1.6×1012 6.5×10-7 1.9×1016 1.3×10-3 30 6.3×10-15 6.3×1011 4.1×10-8 1.6×1013 2.0×10-7 1.9×1017 4.1×10-4 31 6.3×10-16 6.3×1012 1.3×10-8 1.6×1014 6.5×10-8 1.9×1018 1.3×10-4 32 6.3×10-17 6.3×1013 4.1×10-9 1.6×1015 2.0×10-8 1.9×1019 4.1×10-5 33 6.3×10-18 6.3×1014 1.3×10-9 1.6×1016 6.5×10-9 1.9×1020 1.3×10-5 34 6.3×10-19 6.3×1015 4.1×10-10 1.6×1017 2.0×10-9 1.9×1021 4.1×10-6 35 6.3×10-20 6.3×1016 1.3×10-10 1.6×1018 6.5×10-10 1.9×1022 1.3×10-6 36 6.3×10-21 6.3×1017 4.1×10-11 1.6×1019 2.0×10-10 1.9×1023 4.1×10-7 37 6.3×10-22 6.3×1018 1.3×10-11 1.6×1020 6.5×10-11 1.9×1024 1.3×10-7 38 6.3×10-23 6.3×1019 4.1×10-12 1.6×1021 2.0×10-11 1.9×1025 4.1×10-8 39 6.3×10-24 6.3×1020 1.3×10-12 1.6×1022 6.5×10-12 1.9×1026 1.3×10-8 (continua)

Tabela 4.2 - Distâncias máximas para a detecção no rádio (continuação). λλλλ=20m λλλλ=4m λλλλ=3.6cm n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

40 6.3×10-25 6.3×1021 4.1×10-13 1.6×1023 2.0×10-12 1.9×1027 4.1×10-9 41 6.3×10-26 6.3×1022 1.3×10-13 1.6×1024 6.5×10-13 1.9×1028 1.3×10-9 42 6.3×10-27 6.3×1023 4.1×10-14 1.6×1025 2.0×10-13 1.9×1029 4.1×10-10 43 6.3×10-28 6.3×1024 1.3×10-14 1.6×1026 6.5×10-14 1.9×1030 1.3×10-10 44 6.3×10-29 6.3×1025 4.1×10-15 1.6×1027 2.0×10-14 1.9×1031 4.1×10-11 45 6.3×10-30 6.3×1026 1.3×10-15 1.6×1028 6.5×10-15 1.9×1032 1.3×10-11 46 6.3×10-31 6.3×1027 4.1×10-16 1.6×1029 2.0×10-15 1.9×1033 4.1×10-12 47 6.3×10-32 6.3×1028 1.3×10-16 1.6×1030 6.5×10-16 1.9×1034 1.3×10-12 48 6.3×10-33 6.3×1029 4.1×10-17 1.6×1031 2.0×10-16 1.9×1035 4.1×10-13 49 6.3×10-34 6.3×1030 1.3×10-17 1.6×1032 6.5×10-17 1.9×1036 1.3×10-13 50 6.3×10-35 6.3×1031 4.1×10-18 1.6×1033 2.0×10-17 1.9×1037 4.1×10-14 Os buracos negros 1 a 12 não foram incluídos pois para esses a distância de detecção, dada pela expressão (4.4) é, para qualquer dos comprimentos de onda considerados, sempre inferior aos respectivos raios de Schwarzschild o que significa que a detecção é impossível. Situação idêntica ocorre com o buraco negro nº13 para um comprimento de onda de observação de 3.6cm.

No caso λ=20m os buracos negros nº13 e nº14 são detectáveis a distâncias equivalentes a 1.9rs e 6.4rs respectivamente. No caso λ=4m o buraco negro nº13 é detectável à distância de 7.3rs. Como estamos a considerar d>>rs (queremos distâncias superiores a, pelo menos, 10rs) estas três situações foram assinaladas na Tabela 4.2 com fundo cinzento.

De acordo com os valores da Tabela 4.2, a distância de detecção máxima é tanto menor quanto maior for o comprimento de onda de observação. Vejamos o que acontece, por exemplo, com o buraco negro nº15. Para λ=3.6cm este é detectável até uma distância de 89m. No entanto, para λ=4m a distância máxima para a detecção fica-se pelos 6.4cm e para λ=20m pelos 1.3cm.

A densidade de fluxo (equação 4.3) cresce, obedecendo a uma lei exponencial, com o decrescimento de rs. Assim, quanto maior a massa do buraco negro menor será a xxx

Figura 4.10 - Variação da luminosidade por unidade de frequência com o raio de Schwarzschild para um comprimento de onda de observação λ=4m. O pico do gráfico corresponde a Lν≈4.1×10-28Ws para um

buraco negro com rs≈0.08m.

densidade de fluxo emitida. Por exemplo, o buraco negro nº11 (2.1×10-3

M ), apresenta, para um comprimento de onda de observação de λ=4m, uma densidade de fluxo da ordem de 10-54Jy. Já o buraco negro nº32 (2.1×10-20M ) apresenta, para o mesmo comprimento de onda de observação, uma densidade de fluxo de 1.5×1015Jy.

A luminosidade por unidade de frequência, L_ν, obtém-se integrando a densidade de fluxo (4.3) sobre toda a área do horizonte de acontecimentos do buraco negro:

∫

Embora os buracos negros de dimensões subatómicas apresentem densidades de fluxo bastante elevadas (Tabela 4.2) as respectivas luminosidades por unidade de frequência (equação 4.5) são, dadas as reduzidas dimensões dos mesmos, bastante baixas. Continuando com λ=4m temos, para o buraco negro nº11, Lν≈1.1×10-77Ws, e, para o buraco negro nº32 Lν≈7.5×10-43Ws.

No gráfico da Figura 4.10 está representada a variação de Lν com rs (equação 4.5) para um comprimento de onda λ=4m. Verifica-se que o valor máximo de L_ν é de ≈4.1×10-28Ws, para um buraco negro com rs≈0.08m (≈2.7×10-5M ). Considerando, por exemplo, uma largura de banda de 1.5MHz o valor anterior equivale a uma luminosidade de ≈6.2×10-22

Figura 4.11- Distância para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro para o comprimento de onda λ=20m e uma sensibilidade de 15mJy: (a) A parte cinzenta corresponde aos valores de rs para os quais d>10rs. O ponto de intersecção (d=10rs) corresponde a um buraco negro com rs≈2.6×10-3m e M≈8.8×10-7M . (b) A parte cinzenta corresponde aos valores de rs para os quais é d>rs. O ponto de intersecção (d=rs) corresponde a um buraco negro com rs≈0.18m e M≈6.1×10-5M .

Consideremos agora a função d(rs) dada pela equação (4.4). Vamos utilizar de novo os comprimentos de onda de 20m, 4m e 3.6cm (mantendo também os mesmos valores paras as sensibilidades do detector).

No caso λ=20m apenas buracos negros com raio inferior a ≈2.6×10-3m (M<8.8×10-7

M ) podem ser detectados a uma distância d>10rs (Figura 4.11a). Incluem-se neste caso os buracos negros nºs 15 a 50 da Tabela 4.1. O facto de ter de Incluem-ser d>rs implica que, para λ=20m, apenas sejam detectáveis buracos negros cujos raios sejam inferiores a ≈0.18m (M<6.1×10-5

M ) (Figura 4.11b). Incluem-se neste caso os buracos negros nºs 13 a 50 da Tabela 4.1.

Quando λ=4m podem ser detectados, a uma distância d>10rs, buracos negros cujo raio seja inferior a ≈0.04m (M<1.4×10-5M ) (Figura 4.12a). Incluem-se neste caso os

xxx

Figura 4.12 - Distância para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro para o comprimento de onda λ=4m e uma sensibilidade de 15mJy: (a) A parte cinzenta corresponde aos valores de rs para os quais d>10rs. O ponto de intersecção (d=10rs) corresponde a um buraco negro com rs≈0.04m e M≈1.4×10-5M . (b) A parte cinzenta corresponde aos pontos para os quais é d>rs. O ponto de intersecção (d=rs) corresponde a um buraco negro com rs≈0.25m e M≈8.5×10-5_{M . O pico da curva d(rs)} ocorre para rs≈0.08m (M≈2.7×10-5M ) sendo nesse caso d≈0.5m

buracos negros nºs 14 a 50 da Tabela 4.1. A condição d>rs implica que, para λ=4m, apenas sejam detectáveis buracos negros cujos raios sejam inferiores a ≈0.25m (M<8.5×10-5

M ) (Figura 4.12b). Incluem-se nesta categoria os buracos negros nºs 13 a 50 da Tabela 4.1.

O pico da curva d(rs) ocorre para rs≈0.08m (M≈2.7×10-5M ) sendo nesse caso d≈0.5m≈6.3rs (Figura 4.12b). Note-se que para λ=20m o pico da curva d(rs) ocorre para um ponto onde a detecção já não é possível (situa-se fora na região d<rs; Figura 4.11b).

No gráfico da Figura 4.13a está representada a função d(rs) para λ=3.6cm. A distância de detecção máxima, correspondente ao pico do gráfico, é de 90m

Figura 4.13 - Distância para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro para o comprimento de onda λ=3.6m e uma sensibilidade de 0.045mJy. (a) O pico da curva corresponde a rs≈7.3×10-4m, M≈2.5×10-7M , d≈90m. (b) O ponto de intersecção (d=10rs) corresponde a um buraco negro com rs≈9.2×10-3m (M≈3.1×10-6M ).

correspondente a um buraco negro com rs=7.3×10-4m (2.5×10-7M ). O ponto de intersecção d=10rs, representado na Figura 4.13b, ocorre para rs≈9.2×10-3m (M≈3.1×10-6

M ). São, assim, detectáveis nos 3.6cm, a distâncias superiores a 10rs, buracos negros com rs<9.2×10-3m. Incluem-se neste caso os buracos negros nºs 14 a 50 da Tabela 4.1.

4.4.2 Infravermelho

O vapor de água, o dióxido de carbono e o ozono atmosféricos absorvem grande parte da radiação infravermelha proveniente do espaço fazendo com que a observação, nesta banda do espectro, a partir do solo, seja possível apenas para algumas janelas.

Os observatórios de infravermelho terrestres devem ser montados em zonas altas e secas. É, por exemplo, o caso do JMCT (James Clerk Maxwell Telescope) instalado no monte Mauna Kea (Ilhas Hawai) 4092m acima do nível do mar.

Alguns programas de observação recorrem também à montagem de telescópios em aviões os quais voando a altitudes superiores a 12km evitam grande parte do vapor de água atmosférico. Como exemplo temos o SOFIA (Stratospheric Observatory For

Infrared Astronomy) que estará operacional em 2004 e vem substituir o KAO (Kuiper Airborne Observatory) da NASA o qual esteve operacional entre 1975 e 1995. O SOFIA poderá operar em toda a banda do infravermelho.

Em Agosto de 2003 foi lançado o telescópio espacial SIRTF (Space InfraRed Telescope Facility) que irá operar nos comprimentos de onda de λ=1µm (infravermelho próximo) a λ=180µm (infravermelho longínquo).

Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking dos 50 buracos negros da Tabela 4.1 nos 800µm (ondas submilimétricas), 20µm (infravermelho médio - Filtro Q ) e nos 3.4µm (infravermelho próximo - Filtro L). Nos 800µm vamos considerar a sensibilidade de 10mJy (correspondente ao SOFIA). Nos 20µm e 3.4µm consideraremos sensibilidades de 10-2mJy e 10-3mJy (correspondentes ao SIRTF).

As distâncias máximas de detecção, determinadas a partir da equação (4.4), para os buracos negros 16 a 50 da Tabela 4.1, estão indicadas na Tabela 4.3. Na tabela são também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso.

Verifica-se que, nos 3.4µm, os buracos negros nºs 19 a 23 seriam detectáveis a distâncias da ordem dos 104m (cerca de 1011rs). No caso dos 20µm o melhor resultado, em termos de distância, corresponde ao buraco negro nº18 com d=1.4×103m (2.2×109rs). Nos 800µm o melhor resultado corresponde ao buraco negro nº 17 com d=31m (4.9×106rs).

Nos gráficos da Figura 4.14 estão representadas as curvas da função d(rs) para os mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.3. Foram também consideradas as mesmas sensibilidades.

No caso dos 800µm (Figura 4.14a) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=1.6×10-5m (5.4×10-9M ) a 40m de distância. A condição d=10rs ocorre quando rs≈2.6×10-4m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 800µm todos os buracos negros com rs<2.6×10-4m onde se incluem os buracos negros nºs 16 a 50 da Tabela 4.1.

Nos 20µm (Figura 4.14b) verifica-se que seria possível detectar um buraco negro com rs=4.0×10-7m (1.4×10-10M ) a 8.0×103m de distância. A condição d=10rs ocorre quando rs≈1.2×10-5m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim detectáveis nos 20µm buracos negros com rs<1.2×10-5m onde se incluem os buracos negros nºs 17 a 50 da Tabela 4.1.

Tabela 4.3 - Distâncias máximas para a detecção no infravermelho. São indicados, para os

buracos negros nºs 16 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual podem ser detectados nos comprimentos de onda de 800µm (sν=10mJy), 20µm

(sν=0.01mJy) e 3.4µm (sν=0.001mJy). Os buracos negros nºs 1 a 15 não foram incluídos pois

para esses é sempre d<rs. Situação idêntica ocorre para o buraco negro nº16 nos 20µm e 3.4µm

e para o buraco negro nº17 nos 3.4µm.

λλλλ=800µµµµm λλλλ=20µµµµm λλλλ=3.4µµµµm n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

16 6.3×10-5 4.9×108 13 17 6.3×10-6 2.8×1011 31 2.6×105 1.8×10-1 18 6.3×10-7 3.8×1012 11 1.4×1015 1.4×103 1.4×1012 2.4×102 19 6.3×10-8 3.9×1013 3.6 5.5×1016 8.6×102 9.6×1017 2.0×104 20 4.4×10-8 5.6×1013 3.0 8.2×1016 7.3×102 1.8×1018 1.9×104 21 3.8×10-8 6.5×1013 2.8 9.7×1016 6.8×102 2.3×1018 1.8×104 22 3.2×10-8 7.8×1013 2.6 1.2×1017 6.3×102 3.0×1018 1.7×104 23 2.5×10-8 9.8×1013 2.3 1.5×1017 5.6×102 4.0×1018 1.6×104 24 6.3×10-9 3.9×1014 1.1 6.2×1017 2.9×102 2.0×1018 9.0×103 25 6.3×10-10 3.9×1015 3.6×10-1 6.3×1018 91 2.2×1020 2.9×103 26 6.3×10-11 3.9×1016 1.1×10-1 6.3×1019 29 2.2×1021 9.3×102 27 6.3×10-12 3.9×1017 3.6×10-2 6.3×1020 9.1 2.2×1022 2.9×102 28 6.3×10-13 3.9×1018 1.1×10-2 6.3×1021 2.9 2.2×1023 93 29 6.3×10-14 3.9×1019 3.6×10-3 6.3×1022 9.1×10-1 2.2×1024 30 30 6.3×10-15 3.9×1020 1.1×10-3 6.3×1023 2.9×10-1 2.2×1025 9.3 31 6.3×10-16 3.9×1021 3.6×10-4 6.3×1024 9.1×10-2 2.2×1026 2.9 32 6.3×10-17 3.9×1022 1.1×10-4 6.3×1025 2.9×10-2 2.2×1027 9.3×10-1 33 6.3×10-18 3.9×1023 3.6×10-5 6.3×1026 9.1×10-3 2.2×1028 2.9×10-1 34 6.3×10-19 3.9×1024 1.1×10-5 6.3×1027 2.9×10-3 2.2×1029 9.3×10-2 35 6.3×10-20 3.9×1025 3.6×10-6 6.3×1028 9.1×10-4 2.2×1030 2.9×10-2 36 6.3×10-21 3.9×1026 1.1×10-6 6.3×1029 2.9×10-4 2.2×1031 9.3×10-3 37 6.3×10-22 3.9×1027 3.6×10-7 6.3×1030 9.1×10-5 2.2×1032 2.9×10-3 38 6.3×10-23 3.9×1028 1.1×10-7 6.3×1031 2.9×10-5 2.2×1033 9.3×10-4 39 6.3×10-24 3.9×1029 3.6×10-8 6.3×1032 9.1×10-6 2.2×1034 2.9×10-4 40 6.3×10-25 3.9×1030 1.1×10-8 6.3×1033 2.9×10-6 2.2×1035 9.3×10-5 41 6.3×10-26 3.9×1031 3.6×10-9 6.3×1034 9.1×10-7 2.2×1036 2.9×10-5 (continua)

Tabela 4.3 - Distâncias máximas para a detecção no infravermelho (continuação). λλλλ=800µµµµm λλλλ=20µµµµm λλλλ=3.4µµµµm n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

42 6.3×10-27 3.9×1032 1.1×10-9 6.3×1035 2.9×10-7 2.2×1037 9.3×10-6 43 6.3×10-28 3.9×1033 3.6×10-10 6.3×1036 9.1×10-8 2.2×1038 2.9×10-6 44 6.3×10-29 3.9×1034 1.1×10-10 6.3×1037 2.9×10-8 2.2×1039 9.3×10-7 45 6.3×10-30 3.9×1035 3.6×10-11 6.3×1038 9.1×10-9 2.2×1040 2.9×10-7 46 6.3×10-31 3.9×1036 1.1×10-11 6.3×1039 2.9×10-9 2.2×1041 9.3×10-8 47 6.3×10-32 3.9×1037 3.6×10-12 6.3×1040 9.1×10-10 2.2×1042 2.9×10-8 48 6.3×10-33 3.9×1038 1.1×10-12 6.3×1041 2.9×10-10 2.2×1043 9.3×10-9 49 6.3×10-34 3.9×1039 3.6×10-13 6.3×1042 9.1×10-11 2.2×1044 2.9×10-9 50 6.3×10-35 3.9×1040 1.1×10-13 6.3×1043 2.9×10-11 2.2×1045 9.3×10-10

Finalmente, nos 3.4µm (Figura 4.14c) verifica-se que seria possível detectar um buraco negro com rs=6.9×10-8m (2.3×10-11M ) a 6.2×104m de distância. A condição d=10rs ocorre para rs≈2.3×10-6m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 3.4µm todos os buracos negros com rs<2.3×10-6m onde se incluem os buracos negros nºs 18 a 50 da Tabela 4.1.

4.4.3 Visível

Embora a transição entre a luz visível e as bandas adjacentes não seja abrupta, vamos considerar que a mesma se situa entre os 0.7µm e os 0.4µm8. A atmosfera terrestre deixa-se atravessar pela luz visível pelo que existem inúmeros observatórios ópticos terrestres. No espaço está, desde 1990, o HST que também efectua observações no óptico.

A sensibilidade dos detectores ópticos mede-se normalmente em termos de magnitudes aparentes. O olho humano é sensível até a magnitude 6. Os melhores detectores ópticos conseguem captar, actualmente, o brilho de objectos de magnitude aparente 30.

8

Estes são os valores indicados pelo Institute for Telecommunications Sciences dos Estados Unidos (http://its.bldrdoc.gov).

Figura 4.14 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro. Foram considerados os comprimentos de onda 800µm (ondas submilimétricas), 20µm (infravermelho médio - Filtro Q ) e 3.4µm (infravermelho próximo - Filtro L). Os valores correspondentes a cada um dos picos dos gráficos são: (a) rs=1.6×10-5m, d=40.3m, M=5.4×10-9M ; (b) rs=4.0×10-7m, d=8.0×103m, M=1.4×10-10M ; (c) rs=6.9×10-8m, d=6.2×104m M=2.3×10-11M .

Tabela 4.4 - Sensibilidades dos filtros R, V e B. Para cada um dos filtros é apresentado o

respectivo comprimento de onda (em µm), a largura de banda (em Hz) e a densidade de fluxo (em µJy) para uma fonte cuja magnitude aparente é m=30.

Filtro λλλλ (µµµµm) ∆∆∆∆νννν (××××1014Hz) s (µµµµJy)

R 0.70 1.3 0.022

V 0.55 0.8 0.034

B 0.44 1.6 0.017

Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking dos 50 buracos negros da Tabela 4.1 nos 0.7µm (Filtro R), 0.55µm (Filtro V) e 0.44µm (Filtro B). Em qualquer dos casos vamos considerar, como sensibilidade limite, a magnitude aparente m=30. Para podermos continuar a aplicar, no cálculo da distância, a expressão (4.4) é preciso exprimir esta magnitude em termos de densidade de fluxo.

A luminosidade, L, de um corpo celeste, relaciona-se com a respectiva magnitude

absoluta, MA, através da expressão (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):

(

)

onde L =3.826×1026W é a luminosidade do Sol e MA =4.83 é a respectiva magnitude absoluta. A Luminosidade por sua vez pode relacionar-se com o fluxo, F, através da

expressão: F d π 4 L= 2 (4.7)

onde d é a distância entre o detector e a fonte emissora. Se esta estiver a uma distância de 10pc (≈32.6AL) então a sua magnitude absoluta é igual (por definição) à respectiva magnitude aparente. Fazendo então, em (4.6), MA=30 e substituindo a luminosidade obtida em (4.7), com d=32.6AL, obtemos o fluxo F≈2.7×10-20

Wm-2. Se dividirmos este fluxo pela largura de banda associada a cada um dos comprimentos de onda de observação obtemos a densidade de fluxo, ou seja, a sensibilidade, em cada caso. Os resultados são os apresentados na Tabela 4.4.

Figura 4.15 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no óptico em função do raio do buraco negro. Foram considerados os comprimentos de onda 0.70µm (Filtro R), 0.55µm (Filtro V) e 0.44µm (Filtro B). Os valores correspondentes aos picos das três curvas são: (R) rs=1.4×10-8m, d=9.2×105m, M=4.7×10-12M ; (V) rs=1.1×10-8m, d=8.3×105m, M=3.7×10-12M ; (B) rs=8.9×10-9m, d=1.3×106m, M=3.0×10-12M .

Na Tabela 4.5 são indicadas as distâncias máximas para a detecção, no óptico, dos buracos negro nºs 19 a 50 da Tabela 4.1. A sensibilidade do detector para cada comprimento de onda de observação é a indicada na Tabela 4.4. Na Tabela 4.5 são também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso.

Verifica-se que os buracos negros nºs 20 a 25 são detectáveis até distâncias da ordem dos 105m. Em particular o buraco negro nº24 é detectável, nos 0.44µm, à distância de 1.3×106_{m. Note-se que os buracos negros nºs 24 e 25 têm o respectivo λ}

max na banda do ultravioleta (Tabela 4.1) e não na banda do visível como acontece com os buracos negros nºs 20 a 23.

No gráfico da Figura 4.15 estão representadas as curvas da função d(rs) para os comprimentos de onda considerados anteriormente (Tabela 4.5). Foram também consideradas as mesmas sensibilidades.

Verifica-se que um telescópio capaz de observar até a magnitude 30 seria capaz de detectar um buraco negro com rs=8.9×10-9m (3.0×10-12M ) à distância de 1.3×106m. O ponto d=10rs (que não está representado na figura) ocorre quando rs é da ordem dos 10-7m (5.5×10-7m para o filtro R, 4.3×10-7m para o filtro V, 3.5×10-7m para o filtro B).

Tabela 4.5 - Distâncias máximas para a detecção no visível. São indicados, para os buracos

negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual podem ser detectados para os comprimentos de onda de 0.70µm (sν=0.022µJy), 0.55µm

(sν=0.034µJy) e 0.44µm (sν=0.017µJy). Os buracos negros nºs 1 a 18 não foram incluídos pois

para esses é sempre d<rs.

λλλλ=0.70µµµµm λλλλ=0.55µµµµm λλλλ=0.44µµµµm n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

19 6.3×10-8 3.0×1017 2.4×105 9.0×1016 1.0×105 1.8×1016 6.6×104 20 4.4×10-8 2.6×1018 4.8×105 1.4×1018 2.8×105 5.4×1017 2.5×105 21 3.8×10-8 5.2×1018 5.9×105 3.3×1018 3.8×105 1.7×1018 3.8×105 22 3.2×10-8 1.1×1019 7.1×105 8.3×1018 4.9×105 5.2×1018 5.5×105 23 2.5×10-8 2.3×1019 8.2×105 2.1×1019 6.3×105 1.6×1019 7.8×105 24 6.3×10-9 3.5×1020 8.1×105 5.1×1020 7.8×105 7.0×1020 1.3×106 25 6.3×10-10 4.9×1021 3.0×105 7.9×1021 3.1×105 1.2×1022 5.4×105 26 6.3×10-11 5.1×1022 9.7×104 8.3×1022 9.9×104 1.3×1023 1.7×105 27 6.3×10-12 5.1×1023 3.1×104 8.3×1023 3.1×104 1.3×1024 5.5×104 28 6.3×10-13 5.1×1024 9.8×103 8.3×1024 9.9×103 1.3×1025 1.7×104 29 6.3×10-14 5.1×1025 3.1×103 8.3×1025 3.1×103 1.3×1026 5.5×103 30 6.3×10-15 5.1×1026 9.8×102 8.3×1026 9.9×102 1.3×1027 1.7×103 31 6.3×10-16 5.1×1027 3.1×102 8.3×1027 3.1×102 1.3×1028 5.5×102 32 6.3×10-17 5.1×1028 98 8.3×1028 99 1.3×1029 1.7×102 33 6.3×10-18 5.1×1029 31 8.3×1029 31 1.3×1030 55 34 6.3×10-19 5.1×1030 9.8 8.3×1030 9.9 1.3×1031 17 35 6.3×10-20 5.1×1031 3.1 8.3×1031 3.1 1.3×1032 5.5 36 6.3×10-21 5.1×1032 9.8×10-1 8.3×1032 9.9×10-1 1.3×1033 1.7 37 6.3×10-22 5.1×1033 3.1×10-1 8.3×1033 3.1×10-1 1.3×1034 5.5×10-1 38 6.3×10-23 5.1×1034 9.8×10-2 8.3×1034 9.9×10-2 1.3×1035 1.7×10-1 39 6.3×10-24 5.1×1035 3.1×10-2 8.3×1035 3.1×10-2 1.3×1036 5.5×10-2 40 6.3×10-25 5.1×1036 9.8×10-3 8.3×1036 9.9×10-3 1.3×1037 1.7×10-2 41 6.3×10-26 5.1×1037 3.1×10-3 8.3×1037 3.1×10-3 1.3×1038 5.5×10-3 42 6.3×10-27 5.1×1038 9.8×10-4 8.3×1038 9.9×10-4 1.3×1039 1.7×10-3 43 6.3×10-28 5.1×1039 3.1×10-4 8.3×1039 3.1×10-4 1.3×1040 5.5×10-4 44 6.3×10-29 5.1×1040 9.8×10-5 8.3×1040 9.9×10-5 1.3×1041 1.7×10-4 45 6.3×10-30 5.1×1041 3.1×10-5 8.3×1041 3.1×10-5 1.3×1042 5.5×10-5 46 6.3×10-31 5.1×1042 9.8×10-6 8.3×1042 9.9×10-6 1.3×1043 1.7×10-5 (continua)

λλλλ=0.70µµµµm λλλλ=0.55µµµµm λλλλ=0.44µµµµm n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

47 6.3×10-32 5.1×1043 3.1×10-6 8.3×1043 3.1×10-6 1.3×1044 5.5×10-6 48 6.3×10-33 5.1×1044 9.8×10-7 8.3×1044 9.9×10-7 1.3×1045 1.7×10-6 49 6.3×10-34 5.1×1045 3.1×10-7 8.3×1045 3.1×10-7 1.3×1046 5.5×10-7 50 6.3×10-35 5.1×1046 9.8×10-8 8.3×1046 9.9×10-8 1.3×1047 1.7×10-7 Buracos negros cujos raios sejam inferiores aos indicados podem ser detectados no óptico. Estão neste caso os buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1 como já foi indicado na Tabela 4.5.

Verifica-se, ainda pelo gráfico da Figura 4.15, que a observação com o filtro B tem vantagem, em termos de distância, para buracos negros cujo raio seja inferior a ≈2.5×10-8

m (onde se incluem os buracos negros nºs 23 a 50 da Tabela 4.1). Para valores de rs superiores é já o filtro R que permite observar a maiores distâncias (estão neste caso os buracos negros nºs 19 a 22 da Tabela 4.1).

A magnitude absoluta de um buraco negro na banda do óptico pode determinar-se a partir de (4.6) com a luminosidade L substituída pela luminosidade do buraco negro na

banda do visível (a qual designaremos por Lvis). O valor de Lvis é dado por :

vis 2 s vis 4πr F

L = (4.8)

onde rs é dado pela equação (1.3) e Fvis corresponde ao fluxo da radiação emitida por um determinado buraco negro na banda do visível. O valor de Fvis é obtido integrando a expressão (4.3) ao longo de toda a banda do visível (0.7µm>λ>0.4µm):

(

)

∫

∫

Na Tabela 4.6 são indicados para os buracos negros nºs 19 a 30 da Tabela 4.1 os correspondentes valores de Fvis (equação 4.9), Lvis (equação 4.8) e magnitude absoluta na banda do visível, MA, (equação 4.6). Verifica-se que o buraco negro mais brilhante (magnitude absoluta menor) é o nº 24 com MA=86.4.

Tabela 4.6 - Magnitude absoluta na banda do visível. São indicados para os buracos negros

nºs 19 a 30 da Tabela 4.1 os respectivos fluxos e luminosidades na banda do visível bem como as correspondentes magnitude absolutas.

n rs (m) Fvis (Wm-2) Lvis (W) MA 19 6.3×10-8 2.7×105 1.3×10-8 91.0 20 4.4×10-8 3.6×106 9.0×10-8 88.9 21 3.8×10-8 9.0×106 1.6×10-7 88.3 22 3.2×10-8 2.3×107 2.9×10-7 87.6 23 2.5×10-8 6.0×107 4.8×10-7 87.1 24 6.3×10-9 1.8×109 9.2×10-7 86.4 25 6.3×10-10 3.0×1010 1.5×10-7 88.3 26 6.3×10-11 3.2×1011 1.6×10-8 90.8 27 6.3×10-12 3.2×1012 1.6×10-9 93.3 28 6.3×10-13 3.2×1013 1.6×10-10 95.8 29 6.3×10-14 3.2×1014 1.6×10-11 98.3 30 6.3×10-15 3.2×1015 1.6×10-12 100.8

Consideremos a observação de buracos negros a olho nu. O olho humano consegue detectar objectos até a magnitude aparente 6. A expressão que relaciona magnitude aparente (ma), magnitude absoluta (MA) e distância (d) pode escrever-se como (e.g. Harwit 1998)9:

d log 5 5 m M_A = _a+ − ₁₀ (4.10)

com a distância d expressa em pc. Fazendo ma=6 em (4.10) e recorrendo às equações (4.6), (4.8) e (4.9) para determinar MA podemos calcular a distância máxima à qual se

podem detectar buracos negros a olho nu. A curva d(rs) correspondente está representada no gráfico da Figura 4.16.

Verifica-se que o olho humano seria capaz de detectar um buraco negro com um raio de 1.0×10-8

m a cerca de 27.2m de distância. Buracos negros com raios maiores ou menores seriam detectáveis a distâncias inferiores. Por exemplo, a 10cm de distância, xxx

9

Não vamos considerar a parcela correspondente à extinção interestelar uma vez que para as distâncias em causa (ver Figura 4.16) a mesma poder considerar-se nula

Figura 4.16 - Distância máxima para a detecção a olho nu da radiação de Hawking emitida por buracos negros. Ao pico do gráfico correspondem os valores rs≈1.0×10-8m, d≈27.2m e M≈3.4×10-12M .

seria detectável um buraco negro com rs≈1.3×10-7m (λmax no infravermelho; Tabela 4.1) ou um buraco negro com rs≈5.0×10-14m (λmax nos raios gama; Tabela 4.1).

4.4.4 Ultravioleta

A radiação ultravioleta proveniente do exterior da Terra é bloqueada pela camada de ozono pelo que a observação nesta banda do espectro (Figura 4.7) tem de ser feita a partir do espaço (e.g. Smith 1995).

Os instrumentos do HST conseguem detectar no ultravioleta médio (165nm<λ<310nm) objectos de magnitude aparente ma≈25 ao que corresponde uma sensibilidade sν≈0.32µJy10

O satélite FUSE (Far Ultraviolet Spectroscopic Explorer), lançado em 1999, permite efectuar observações entre os 90nm e 120nm (ultravioleta distante - ultravioleta longínquo) com uma sensibilidade limite s_ν≈3.3×10-7Jy11.

10

Os dados foram retirados do "Hubble Space Telescope, Primer for Cycle 11" - Secção 4.1. (http://www.stsci.edu/proposer/cy11/documents/online)

11

Os dados foram retirados do "The Fuse Observers Guide" Versão 5.0, Julho 2003 (http://fuse.pha.edu/suport/guide/guide.html)

Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking, emitida pelos 50 buracos negros da Tabela 4.1, nos 237nm (ultravioleta médio) e nos 105nm (ultravioleta distante). Nos 237nm vamos considerar sν=3.2×10-7Jy (HST) e nos 105nm sν=3.3×10-7Jy (FUSE).

As distâncias máximas de detecção, determinadas a partir da equação (4.4), para os buracos negros 19 a 50 da Tabela 4.1, estão indicadas na Tabela 4.7. Na tabela são também indicadas as densidades de fluxo emitidas por cada buraco negro em cada caso. Verifica-se que os buracos negros 24 e 25 são detectáveis, para os comprimentos de onda considerados, a distâncias da ordem dos 105m.

Nos gráficos da Figura 4.17 estão representadas as curvas da função d(rs) para os mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.7. Foram também consideradas as mesmas sensibilidades.

No caso dos 237nm (Figura 4.17a) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=4.8×10-9m (M=1.6×10-12M ) a 4.1×105m de distância. A condição d=10rs ocorre quando rs≈2.6×10-7m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 237nm todos os buracos negros com rs<2.6×10-7m onde se incluem os buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1.

No caso dos 105nm (Figura 4.17b) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=2.1×10-9m (M=7.1×10-13M ) a 6.1×105m de distância. A condição d=10rs ocorre quando rs≈8.4×10-8m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 105nm todos os buracos negros com rs<8.4×10-8m onde se incluem os buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1.

4.4.5 Raios X

Os raios X interagem fortemente com a matéria por meio do processo de absorção fotoelectrónica. O livre percurso médio dos raios X no ar é, por essa razão, limitado a alguns centímetros (e.g. Smith 1995) pelo que a astronomia de raios X tem de ser efectuada a partir do espaço.

Ao longo dos últimos anos foram colocados em órbita vários telescópios de raios X. Um dos mais sensíveis, actualmente em operação, é o Newton-XMM. Apresenta, por exemplo (http://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/xmm/), sensibilidade sν=3.3×10-10Jy nos

Tabela 4.7 – Distâncias máximas para a detecção no ultravioleta. São indicados, para os

buracos negros nºs 19 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual podem ser detectados nos comprimentos de onda de 237nm (s_ν=3.2×10-7Jy) e 105nm (sν=3.3×10-7Jy). Os buracos negros nºs 1 a 18 não foram incluídos pois para esses é sempre d<rs.

λλλλ=237nm λλλλ=105nm n rs (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) 19 6.3×10-8 7.7×1012 3.1×102 3.1×102 1.9×10-3 20 4.4×10-8 4.1×1015 5.0×103 4.5×108 1.6 21 3.8×10-8 3.3×1016 1.2×104 5.1×1010 15 22 3.2×10-8 2.7×1017 2.9×104 5.8×1012 1.3×102 23 2.5×10-8 2.2×1018 6.6×104 6.5×1014 1.1×103 24 6.3×10-9 1.3×1021 4.0×105 9.6×1020 3.4×105 25 6.3×10-10 4.0×1022 2.2×105 1.8×1023 4.6×105 26 6.3×10-11 4.4×1023 7.4×104 2.2×1024 1.6×105 27 6.3×10-12 4.5×1024 2.4×104 2.3×1025 5.2×104 28 6.3×10-13 4.5×1025 7.5×103 2.3×1026 1.7×104 29 6.3×10-14 4.5×1026 2.4×103 2.3×1027 5.2×103 30 6.3×10-15 4.5×1027 7.5×102 2.3×1028 1.7×103 31 6.3×10-16 4.5×1028 2.4×102 2.3×1029 5.2×102 32 6.3×10-17 4.5×1029 75 2.3×1030 1.7×102 33 6.3×10-18 4.5×1030 24 2.3×1031 52 34 6.3×10-19 4.5×1031 7.5 2.3×1032 17 35 6.3×10-20 4.5×1032 2.4 2.3×1033 5.2 36 6.3×10-21 4.5×1033 7.5×10-1 2.3×1034 1.7 37 6.3×10-22 4.5×1034 2.4×10-1 2.3×1035 5.2×10-1 38 6.3×10-23 4.5×1035 7.5×10-2 2.3×1036 1.7×10-1 39 6.3×10-24 4.5×1036 2.4×10-2 2.3×1037 5.2×10-2 40 6.3×10-25 4.5×1037 7.5×10-3 2.3×1038 1.7×10-2 41 6.3×10-26 4.5×1038 2.4×10-3 2.3×1039 5.2×10-3 42 6.3×10-27 4.5×1039 7.5×10-4 2.3×1040 1.7×10-3 43 6.3×10-28 4.5×1040 2.4×10-4 2.3×1041 5.2×10-4 44 6.3×10-29 4.5×1041 7.5×10-5 2.3×1042 1.7×10-4 45 6.3×10-30 4.5×1042 2.4×10-5 2.3×1043 5.2×10-5 46 6.3×10-31 4.5×1043 7.5×10-6 2.3×1044 1.7×10-5 (continua)

Tabela 4.7 – Distâncias máximas para a detecção no ultravioleta (continuação). λλλλ=237nm λλλλ=105nm n rs (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) 47 6.3×10-32 4.5×1044 2.4×10-6 2.3×1045 5.2×10-6 48 6.3×10-33 4.5×1045 7.5×10-7 2.3×1046 1.7×10-6 49 6.3×10-34 4.5×1046 2.4×10-7 2.3×1047 5.2×10-7 50 6.3×10-35 4.5×1047 7.5×10-8 2.3×1048 1.7×10-7

Figura 4.17 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro. Foram considerados os comprimentos de onda 237nm (ultravioleta médio) e 105nm (ultravioleta extremo). Os valores correspondentes a cada um dos picos dos gráficos são: (a) rs=4.8×10-9m, d=4.1×105m, M=1.6×10-12M ; (b) rs=2.1×10-9m, d=6.1×105m, M=7.1×10-13M .

0.2-0.5KeV (6.2nm>λ>2.5nm - raios X suaves), sν=8.6×10-11Jy nos 0.5-2.0KeV (2.5nm>λ>0.6nm - raios X suaves e médios) e sν=2.0×10-10Jy nos 5-10KeV (0.25nm>λ>0.13nm - raios X médios)

Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking, emitida pelos 50 buracos negros da Tabela 4.1, nos 3.5nm (s_ν=3.3×10-10Jy), 1nm (s_ν=8.6×10-11Jy) e 0.167nm (s_ν=2.0×10-10Jy). As distâncias máximas para a detecção dos buracos negros nºs 25 a 50, obtidas a partir da equação (4.4), bem como a densidade de fluxo emitida por cada buraco negro em cada caso, estão indicadas na Tabela 4.8.

Verifica-se que alguns dos buracos negros são detectáveis a distâncias da ordem dos 108m, ou seja, a distâncias comparáveis à distância Terra-Lua. Por exemplo, o buraco negro nº27 é detectável nos 0.167nm até à distância de 5.4×108m e para 1nm até à distância de 3.0×108

m. O buraco negro nº28 é detectável nos 0.167nm até à distância de 3.9×108_{m e para 1nm à distância máxima de 1.3×10}8

m.

Nos gráficos da Figura 4.18 estão representadas as curvas da função d(rs) para os mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.8. Foram também consideradas as mesmas sensibilidades.

No caso dos 3.5nm (Figura 4.18a) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=7.1×10-11m (M=2.4×10-14M ) a 1.1×108m de distância (≈1/3 da distância Terra-Lua). A condição d=10rs ocorre quando rs≈3.6×10-9m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 3.5nm todos os buracos negros com rs<3.6×10-9m onde se incluem os buracos negros nºs 25 a 50 da Tabela 4.1.

Para o comprimento de onda de 1nm (Figura 4.18b) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=2.0×10-11m (M=6.8×10-15M ) a 3.9×108m de distância (aproximadamente à distância Terra-Lua). A condição d=10rs ocorre quando rs≈1.0×10-9m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de 1nm todos os buracos negros com rs<1.0×10-9m onde se incluem os buracos negros nºs 25 a 50 da Tabela 4.1.

Por fim, no caso dos 0.167nm (Figura 4.18c) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=3.4×10-12m (M=1.2×10-15M ) a 6.2×108m de distância (≈1.6 vezes superiores à distância Terra-Lua). A condição d=10rs xxx

Tabela 4.8 – Distâncias máximas para a detecção nos raios X. São indicados, para os

buracos negros nºs 25 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual podem ser detectados para os comprimentos de onda de 3.5nm (sν=3.3×10-10Jy), 1nm

(sν=8.6×10-11Jy) e 0.167nm (sν=2.0×10-10Jy). Os buracos negros nºs 1 a 24 não foram incluídos

pois para esses é sempre d<rs.

λλλλ=3.5nm λλλλ=1nm λλλλ=0.167nm n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

25 6.3×10-10 2.3×1021 1.7×106 3.2×107 3.8×10-1 26 6.3×10-11 9.1×1026 1.0×108 8.7×1026 2.0×108 3.2×1018 8.0×103 27 6.3×10-12 1.9×1028 4.7×107 1.9×1029 3.0×108 1.4×1030 5.4×108 28 6.3×10-13 2.0×1029 1.5×107 2.5×1030 1.1×108 7.7×1031 3.9×108 29 6.3×10-14 2.0×1030 4.9×106 2.5×1031 3.4×107 8.9×1032 1.3×108 30 6.3×10-15 2.0×1031 1.5×106 2.5×1032 1.1×107 9.0×1033 4.2×107 31 6.3×10-16 2.0×1032 4.9×105 2.5×1033 3.4×106 9.0×1034 1.3×107 32 6.3×10-17 2.0×1033 1.5×105 2.5×1034 1.1×106 9.0×1035 4.2×106 33 6.3×10-18 2.0×1034 4.9×104 2.5×1035 3.4×105 9.0×1036 1.3×106 34 6.3×10-19 2.0×1035 1.5×104 2.5×1036 1.1×105 9.0×1037 4.2×105 35 6.3×10-20 2.0×1036 4.9×103 2.5×1037 3.4×104 9.0×1038 1.3×105 36 6.3×10-21 2.0×1037 1.5×103 2.5×1038 1.1×104 9.0×1039 4.2×104 37 6.3×10-22 2.0×1038 4.9×102 2.5×1039 3.4×103 9.0×1040 1.3×104 38 6.3×10-23 2.0×1039 1.5×102 2.5×1040 1.1×103 9.0×1041 4.2×103 39 6.3×10-24 2.0×1040 49 2.5×1041 3.4×102 9.0×1042 1.3×103 40 6.3×10-25 2.0×1041 15 2.5×1042 1.1×102 9.0×1043 4.2×102 41 6.3×10-26 2.0×1042 4.9 2.5×1043 34 9.0×1044 1.3×102 42 6.3×10-27 2.0×1043 1.5 2.5×1044 11 9.0×1045 42 43 6.3×10-28 2.0×1044 4.9×10-1 2.5×1045 3.4 9.0×1046 13 44 6.3×10-29 2.0×1045 1.5×10-1 2.5×1046 1.1 9.0×1047 4.2 45 6.3×10-30 2.0×1046 4.9×10-2 2.5×1047 3.4×10-1 9.0×1048 1.3 46 6.3×10-31 2.0×1047 1.5×10-2 2.5×1048 1.1×10-1 9.0×1049 4.2×10-1 47 6.3×10-32 2.0×1048 4.9×10-3 2.5×1049 3.4×10-2 9.0×1050 1.3×10-1 48 6.3×10-33 2.0×1049 1.5×10-3 2.5×1050 1.1×10-2 9.0×1051 4.2×10-2 49 6.3×10-34 2.0×1050 4.9×10-4 2.5×1051 3.4×10-3 9.0×1052 1.3×10-2 50 6.3×10-35 2.0×1051 1.5×10-4 2.5×1052 1.1×10-3 9.0×1053 4.2×10-3

Figura 4.18 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro. Foram considerados os comprimentos de onda 3.5nm (raios X suaves), 1nm (raios X médios) e 0.167nm (raios X fortes). Os valores correspondentes a cada um dos picos dos gráficos são: (a) rs=7.1×10-11m, d=1.1×108m, M=2.4×10-14M ; (b) rs=2.0×10-11m, d=3.9×108m, M=6.8×10-15M ; (c) rs=3.4×10-12m, d=6.2×108m, M=1.2×10-15M .

ocorre quando rs≈1.9×10-10m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis nos 0.167nm todos os buracos negros com rs<1.9×10-10m onde se incluem os buracos negros nºs 26 a 50 da Tabela 4.1.

4.4.6 Raios gama

Tal como os raios X, os raios gama interagem fortemente com a matéria pelo que a astronomia de raios gama tem de ser feita a partir do espaço. Exceptuam-se aqui os raios gama fortes com energias superiores a 100GeV que conseguem penetrar a atmosfera e atingir o solo (e.g. Morselli 2002).

No domínio dos raios gama suaves está actualmente operacional o INTEGRAL (INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory). Os instrumentos deste permitem a observação entre os 15KeV (λ=8.3×10-11

m; ainda nos raios X fortes) até aos 10MeV (λ=1.2×10-13m; raios gama suaves) com uma sensibilidade próxima dos 6.6×10-11Jy (e.g. Winkler 2000).

Para a observação a nível dos raios gama médios será lançado brevemente o AGILE (Astro-revilatore Gamma a Immagini LEggero). Os instrumentos do AGILE permitirão efectuar observações nos 0.1-30GeV (1.2×10-14_m>λ>4.1×10-17

m; raios gama médios) com uma sensibilidade próxima dos 6.7×10-13

Jy (e.g. Morselli 2002).

Quanto aos raios gama fortes está a ser construído na Namíbia o HESS (High Energy Stereoscopic System). Este terá uma sensibilidade próxima dos 1.7×10-17Jy na banda dos 0.1-10TeV (1.2×10-17m>λ>1.2×10-19m; raios gama fortes) (e.g. Morselli 2002).

Vamos considerar a possibilidade de detecção da radiação de Hawking, emitida pelos 50 buracos negros da Tabela 4.1, nos 2.5×10-13

m (sν=6.6×10-11Jy), nos 8.3×10-17m (sν=6.7×10-13Jy) e nos 2.5×10-19m (sν=1.7×10-17Jy). As distâncias máximas para a detecção dos buracos negros nºs 29 a 50, obtidas a partir da equação (4.4), bem como a densidade de fluxo emitida por cada buraco negro em cada caso, estão indicadas na Tabela 4.9. Os buracos negros 1 a 28, no caso λ=2.5×10-13m, 1 a 31, no caso λ=8.3×10-17m, e 1 a 34, no caso λ=2.5×10-19m, não foram considerados pois para esses é d<rs.

Tabela 4.9 – Distâncias máximas para a detecção nos raios gama. São indicados, para os

buracos negros nºs 29 a 50 da Tabela 4.1 a densidade de fluxo emitida e a distância máxima à qual podem ser detectados para os comprimentos de onda de 2.5×10-13m (sν=6.6×10-11Jy),

8.3×10-17m (sν=6.7×10-13Jy) e 2.5×10-19m (sν=1.7×10-17Jy). Os buracos negros nºs 1 a 28 no caso

λ=2.5×10-13m, nºs 1 a 31 no caso λ=8.3×10-17m e nºs 1 a 34 no caso λ=2.5×10-19m não foram incluídos pois para esses é sempre d<rs.

λλλλ=2.5××××10-13m λλλλ=8.3××××10-17m λλλλ=2.5××××10-19m n rs (m)

S (Jy) d (m) S (Jy) d (m) S (Jy) d (m)

29 6.3×10-14 1.9×1031 3.3×107 30 6.3×10-15 1.3×1039 2.8×1010 31 6.3×10-16 3.6×1040 1.5×1010 32 6.3×10-17 4.0×1041 4.9×109 2.2×1024 1.2×102 33 6.3×10-18 4.0×1042 1.6×109 5.5×1047 5.7×1012 34 6.3×10-19 4.0×1043 4.9×108 2.7×1050 1.3×1013 35 6.3×10-20 4.0×1044 1.6×108 3.5×1051 4.6×1012 1.9×1049 6.7×1013 36 6.3×10-21 4.0×1045 4.9×107 3.6×1052 1.5×1012 1.3×1057 5.5×1016 37 6.3×10-22 4.0×1046 1.6×107 3.6×1053 4.7×1011 3.6×1058 3.0×1016 38 6.3×10-23 4.0×1047 4.9×106 3.6×1054 1.5×1011 4.0×1059 9.8×1015 39 6.3×10-24 4.0×1048 1.6×106 3.6×1055 4.7×1010 4.0×1060 3.1×1015 40 6.3×10-25 4.0×1049 4.9×105 3.6×1056 1.5×1010 4.0×1061 9.9×1014 41 6.3×10-26 4.0×1050 1.6×105 3.6×1057 4.7×109 4.0×1062 3.1×1014 42 6.3×10-27 4.0×1051 4.9×104 3.6×1058 1.5×109 4.0×1063 9.9×1013 43 6.3×10-28 4.0×1052 1.6×104 3.6×1059 4.7×108 4.0×1064 3.1×1013 44 6.3×10-29 4.0×1053 4.9×103 3.6×1060 1.5×108 4.0×1065 9.9×1012 45 6.3×10-30 4.0×1054 1.6×103 3.6×1061 4.7×107 4.0×1066 3.1×1012 46 6.3×10-31 4.0×1055 4.9×102 3.6×1062 1.5×107 4.0×1067 9.9×1011 47 6.3×10-32 4.0×1056 1.6×102 3.6×1063 4.7×106 4.0×1068 3.1×1011 48 6.3×10-33 4.0×1057 49 3.6×1064 1.5×106 4.0×1069 9.9×1010 49 6.3×10-34 4.0×1058 16 3.6×1065 4.7×105 4.0×1070 3.1×1010 50 6.3×10-35 4.0×1059 4.9 3.6×1066 1.5×105 4.0×1071 9.9×109

O buraco negro nº30 é detectável nos 2.5×10-13_{m a uma distância de 2.8×10}10 m ou seja a 0.18UA (cerca de 73 vezes a distância Terra-Lua). O buraco negro nº34 é detectável nos 8.3×10-17_{m a uma distância de 1.3×10}13

m (cerca de duas vezes a distância Sol-Plutão). No caso da observação nos 2.5×10-19m temos que o buraco negro

nº 36 é detectável a 5.5×1016

m o que equivale a cerca de 5.8AL.

Nos gráficos da Figura 4.19 estão representadas as curvas da função d(rs) para os mesmos comprimentos de onda da Tabela 4.9. Foram também consideradas as mesmas sensibilidades.

Para o comprimento de onda de 2.5×10-13

m (Figura 4.19a) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=5.0×10-15m (M=1.7×10-18_{M ) a 2.8×10}10_{m de distância (≈73 vezes a distância Terra-Lua ou} ≈0.19UA). A condição d=10rs ocorre quando rs≈3.5×10-13m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de 2.5×10-13

m todos os buracos negros com rs<3.5×10-13m onde se incluem os buracos negros nºs 29 a 50 da Tabela 4.1.

No caso dos 8.7×10-17m (Figura 4.19b) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=1.7×10-18m (M=5.8×10-22M ) a 1.5×1013m de distância (≈100UA, ≈14 horas luz ou ≈2.5 a distância máxima de Plutão ao Sol). A condição d=10rs ocorre quando rs≈1.5×10-16m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de 8.7×10-17

m todos os buracos negros com rs<1.5×10-16m onde se incluem os buracos negros nºs 32 a 50 da Tabela 4.1.

No caso dos 2.5×10-19m (Figura 4.19c) verifica-se, pelo pico do gráfico, que seria possível detectar um buraco negro com rs=5.0×10-21m (M=1.7×10-24M ) a 5.5×1016m de distância (≈5.8AL). A condição d=10rs ocorre quando rs≈5.3×10-19m (este ponto não está representado no gráfico). São, assim, detectáveis no comprimento de onda de 2.5×10-19m todos os buracos negros com rs<5.3×10-19m onde se incluem os buracos negros nºs 35 a 50 da Tabela 4.1.

4.4.7 Buracos negros em fase terminal

Para estimar o tempo de evaporação de um buraco negro podemos recorrer à equação (2.33). A função f(M) presente nas equações (2.32) e (2.33) varia muito lentamente com a massa. O seu valor é de 15.4 para M<<108kg e de 1 para M>>1014kg. Vamos supor, por simplicidade que f(M)=15.4, para M<108kg, que f(M)=1, para xxxxxxx

Figura 4.19 - Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking em função do raio do buraco negro. Foram considerados os comprimentos de onda 2.5×10-13m (raios gama suaves), 8.3×10-17m

(raios gama médios) e 2.5×10-19m (raios gama fortes). Os valores correspondentes a cada um dos picos dos gráficos são: (a) rs=5.0×10-15m, d=2.8×1010m, M=1.7×10-18M ; (b) rs=1.7×10-18m, d=1.5×1013m, M=5.8×10-22M ; (c) rs=5.0×10-21m, d=5.5×1016m, M=1.7×10-24M

Figura 4.20 - Função f(M) para a evaporação de buracos negros (cf. equações 2.32 e 2.33).

M>1014kg e que f(M) apresenta um comportamento linear entre estes dois pontos (Figura 4.20). Na Tabela 4.10 são apresentados os tempos de evaporação para os buracos negros 30 a 50 da Tabela 4.1.

A idade estimada para o Universo é da ordem dos 1010anos (e.g. Unsöld & Bascheck 2002). Isto significa que os buracos negros primordiais, como o buraco negro nº30 da Tabela 4.1 (tempo de evaporação da ordem dos 1012anos), ainda não tiveram tempo para se evaporar completamente. Os buracos negros nºs 1 a 29 da Tabela 4.1 apresentam, por terem massas superiores, tempos de evaporação superiores (cf. equação 2.33).

O buraco negro nº34 tem um tempo de evaporação aproximadamente igual a 1 ano. Consideraremos como buracos negros terminais todos aqueles cujo tempo de

evaporação seja igual ou inferior a 1 ano onde se incluem os buracos negros nºs 34 a 50 da Tabela 4.1. Note-se que todos estes buracos negros têm o seu λmax na banda dos raios gama fortes (cf. Figura 4.7).

As distâncias máximas para a detecção da radiação de Hawking emitida por buracos negros terminais foram determinadas anteriormente (Tabelas 4.2, 4.3, 4.5, 4.7, 4.8 e 4.9). Os melhores resultados ocorrem para a observação nos 2.5×10-19

m (Tabela 4.9). Neste comprimento de onda o buraco negro nº36 (rs=6.3×10-21m, T=2.9×1016K, M=4.3×106kg) é detectável a uma distância de 5.5×1016m (≈5.8AL). O mesmo buraco negro é detectável nos 8.3×10-17m (raios gama médios) a cerca de 1.5×1012m (≈10UA) e

Tabela 4.10 - Tempo de evaporação de buracos negros de Schwarzschild. São indicados

para os buracos negros de Schwarzschild nºs 30 a 50, da Tabela 4.1, os respectivos tempos de evaporação de acordo com a equação (2.33).

n rs (m) M (kg) tevap 30 6.3×10-15 4.3×1012 1012 anos 31 6.3×10-16 4.3×1011 109 anos 32 6.3×10-17 4.3×1010 106 anos 33 6.3×10-18 4.3×109 103 anos 34 6.3×10-19 4.3×108 1 ano 35 6.3×10-20 4.3×107 8.7 horas 36 6.3×10-21 4.3×106 31s 37 6.3×10-22 4.3×105 3.1×10-2s 38 6.3×10-23 4.3×104 3.1×10-5s 39 6.3×10-24 4.3×103 3.1×10-8s 40 6.3×10-25 4.3×102 3.1×10-11s 41 6.3×10-26 43 3.1×10-14s 42 6.3×10-27 4.3 3.1×10-17s 43 6.3×10-28 4.3×10-1 3.1×10-20s 44 6.3×10-29 4.3×10-2 3.1×10-23s 45 6.3×10-30 4.3×10-3 3.1×10-26s 46 6.3×10-31 4.3×10-4 3.1×10-29s 47 6.3×10-32 4.3×10-5 3.1×10-32s 48 6.3×10-33 4.3×10-6 3.1×10-35s 49 6.3×10-34 4.3×10-7 3.1×10-38s 50 6.3×10-35 4.3×10-8 3.1×10-41s nos 2.5×10-13_{m (raios gama suaves) a cerca de 4.9×10}7

m. Nos raios X médios (λ=0.167nm) a distância de detecção é de 4.2×104_{m, no visível (λ=0.44µm) de 1.7m, no} infravermelho próximo (λ=3.4µm) de 9.3×10-3_{m e no rádio SHF (λ=3.6cm) de} 4.1×10-7