Possibilidade de detecção directa de Buracos Negros por radiação electromagnética

Possibilidade de detecção directa de

Buracos Negros

por radiação electromagnética

José Laurindo de Góis Nóbrega Sobrinho

Revisão da Tese submetida para satisfação parcial dos requisitos das Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica para habilitação à Categoria de Assistente

Abstract

Os buracos negros são objectos previstos pela Teoria da Relatividade Geral. São conhecidos actualmente vários candidatos a buraco negro, todos eles identificados a partir de processos indirectos, que vão desde os de massa estelar (1-102M ) aos supermassivos (106-1010M ). Embora não se conheça nenhum candidato a buraco negro de massa subestelar (<1M ), nem nenhum processo capaz de os produzir no Universo actual, é provável que estes tenham sido produzidos nos primórdios do Universo.

Os buracos negros também emitem radiação própria composta por fotões, gravitões e, em fases mais avançadas, partículas com massa. Esta radiação de corpo negro, designada por radiação de Hawking, é, ao que sabemos, o único processo pelo qual poderemos detectar directamente buracos negros. É possível associar a cada comprimento de onda do espectro electromagnético um buraco negro podendo assim falar-se em buracos negros rádio, infravermelhos, visíveis, ultravioletas, de raios X e de raios gama.

Neste trabalho determinámos a distância máxima, d, à qual se poderá detectar, dentro dos limites técnicos actuais, a componente electromagnética da radiação de Hawking. Foram considerados buracos negros com massas desde as 106M (buraco negro rádio) a 10-38M (buraco negro de raios gama) onde se incluem buracos negros na fase final da evaporação (tempos de evaporação inferiores a 1 ano).

Concluímos que os buracos negros rádio, infravermelhos, visíveis e ultravioletas apenas podem ser detectados em experiências de tipo laboratorial, quer na Terra, quer no Espaço (d<103km). Os buracos negros de raios X podem ser detectados até distâncias comparáveis à da Terra-Lua. Finalmente os buracos negros de raios gama (em fase final de evaporação) são detectáveis, nos raios gama, a distâncias que podem ir até aos 85 anos luz.

Índice

Lista de Figuras vii

Lista de Tabelas ix Lista de Fórmulas x Acrónimos xv Prefácio xvii Dedicatória xxi 1 Buracos negros 1 1.1 Introdução... 1 1.2 Propriedades... 3

1.2.1 Buracos Negros de Schwarzschild... 3

1.2.2 Geodésicas no espaço-tempo de Schwarzschild... 5

1.2.3 Desvio gravitacional para o vermelho... 8

1.2.4 Conversão de massa em energia radiativa... 9

1.2.5 Captura de partículas... 10

1.2.6 Ângulo de captura de fotões... 12

1.2.7 Outros tipos de buracos negros... 14

1.2.8 Termodinâmica de Buracos Negros... 19

1.3 Formação... 22

1.3.1 Buracos negros estelares... 22

1.3.2 Buracos negros primordiais... 23

1.3.3 Buracos negros supermassivos... 25

1.3.4 Evolução de um buraco negro... 26

1.4 Processos de detecção indirecta... 27

1.4.1 Acreção esférica de matéria... 27

1.4.2 Buracos Negros em sistemas binários... 33

1.4.3 Microlentes gravitacionais... 39

1.4.4 Dinâmica estelar e do gás ionizado... 42

1.4.5 Masers... 44

2 Radiação de Hawking 45 2.1 Emissão de radiação por buracos negros... 45

2.2 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros com

carga eléctrica ou com rotação... 53

2.3 Emissão de radiação de Hawking por buracos negros uniformemente acelerados... 54

2.4 Emissão partículas com massa... 59

2.5 Evaporação de um buraco negro... 60

2.6 Explosões de buracos negros... 62

2.7 Destino final de um buraco negro... 65

3 Identificação de objectos candidatos a buraco negro 67 3.1 Buracos negros supermassivos... 67

3.1.1 Via Láctea... 69 3.1.2 M106 (NGC 4258)... 70 3.1.3 M31 (NGC 224)... 71 3.1.4 NGC 3115... 73 3.1.5 M87 (NGC 4486)... 73 3.1.6 O contra-exemplo M33... 74

3.2 Buracos Negros de massa intermédia... 74

3.3 Buracos negros estelares em sistemas binários... 75

3.3.1 Cyg X-1... 78

3.3.2 A0620-00... 79

3.3.3 O contra-exemplo CAL 87... 79

3.4 Buracos negros de massa estelar isolados... 80

3.4.1 Radiação emitida na acreção esférica... 80

3.4.2 Buracos negros como microlentes... 80

3.4.3 Surgimento de buracos negros em supernovas... 81

4 A possibilidade de detecção directa de buracos negros 85 4.1 Buracos negros de Schwarzschild... 85

4.2 Buracos negros e o espectro electromagnético... 90

4.3 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (teórica).. 94

4.4 Possibilidade de detecção directa de buracos negros (limites técnicos actuais)... 96

4.4.1 Rádio... 96

4.4.3 Visível... 105

4.4.4 Ultravioleta... 112

4.4.5 Raios X... 113

4.4.6 Raios gama... 119

4.4.7 Buracos negros em fase terminal... 121

4.4.8 Emissão de partículas com massa e raios gama secundários... 125

4.5 Análise e discussão de resultados... 128

4.5.1 Dos buracos negros rádio aos buracos negros de raios gama... 128

4.5.2 Distância máxima de detecção versus raio de Schwarzschild... 132

4.5.3 Buracos negros terminais... 137

4.5.4 Raios gama secundários... 138

5 Conclusão 141 Referências 145 A Geodésicas na vizinhança de um buraco negro de Schwarzschild 151 A.1 Geodésicas radiais nulas... 151

A.2 Geodésicas radiais para partículas com massa... 152

A.3 Geodésicas nulas não radiais... 153

A.4 Geodésicas não radiais para partículas com massa... 154

B Disco de acreção de matéria geometricamente finos 159 B.1 Formação de um disco de acreção... 159

B.2 Dinâmica geral do disco... 160

B.3 Viscosidade... 162

B.4 Densidade superficial de matéria... 164

B.5 A altura do disco... 166

B.6 Estrutura radial... 168

B.7 Dissipação de energia no disco... 170

B.8 Luminosidade do disco... 172

B.9 Partição do disco... 173

B.11 Espectro emitido... 177 B.12 Espectro integral da radiação emitida... 179

C Efeito de lente gravitacional 173

D Partículas elementares 189

Lista de Figuras

1.1 Estrutura do buraco negro de Schwarzschild... 4

1.2 Parâmetro de impacto de uma partícula... 11

1.3 Ângulo entre a direcção de propagação do fotão e a componente radial da velocidade... 12

1.4 Captura de fotões por um buraco negro... 13

1.5 Estrutura dos buracos negros de Reissner-Nordström... 15

1.6 Estrutura dos buracos negros de Kerr... 18

1.7 Os vários tipos de buracos negros... 19

1.8 Massa e natureza dos restos estelares em função da massa estelar inicial... 23

1.9 Perturbação de densidade no Universo primordial... 24

1.10 Diagrama de Rees para a formação de buracos negros supermassivos... 26

1.11 Espectro emitido na acreção esférica por um buraco negro numa região HII.. 30

1.12 Espectro emitido na acreção esférica por um buraco negro numa região HI.... 30

1.13 Espectro da emissão de radiação de sincotrão resultante da acreção esférica por um buraco negro numa região HII... 32

1.14 Transferência de matéria num sistema binário via ponto de Lagrange L1... 34

1.15 Transferência de matéria num sistema binário via vento estelar... 34

1.16 Ângulo de inclinação de um sistema binário... 38

1.17 Anel de Einstein... 40

1.18 Variação de magnitude provocada por uma lente gravitacional... 41

2.1 Formação de pares partícula-antipartícula junto ao horizonte de acontecimentos... 47

2.2 Espectro de radiação do corpo negro... 52

2.3 Observador uniformemente acelerado no espaço-tempo de Minkowski... 55

3.1 Evolução de 6 estrelas no centro da Galáxia... 71

3.2 A região central de NGC 4258... 72

3.3 Curvas para a determinação da massa de 96-BLG-5 e MACHO-98-BLG-6... 82

3.4 Curva para a determinação da massa de MACHO-99-BLG-22... 82

4.1 Temperatura de buracos negros de Reissner-Nordström e de Kerr... 86

4.2 Temperatura de buracos negros de Kerr-Newmann... 86

4.4 Temperatura de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente

acelerado... 88

4.5 Aceleração permitida aos buracos negros de Kerr... 88

4.6 Temperatura de buracos negros de Kerr uniformemente acelerados... 89

4.7 Espectro electromagnético... 91

4.8 Representação de um buraco negro de Schwarzschild em tamanho real... 94

4.9 Buracos negros visíveis... 94

4.10 Variação da luminosidade por unidade de frequência com o raio de Schwarzschild... 99

4.11 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 20m... 100

4.12 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 4m... 101

4.13 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos 3.6cm... 102

4.14 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no infravermelho... 106

4.15 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no visível... 108

4.16 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking a olho nu... 112

4.17 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking no ultravioleta... 115

4.18 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos raios X... 118

4.19 Distância máxima para a detecção da radiação de Hawking nos raios gama.. 122

4.20 Função f(M) para a evaporação de buracos negros... 123

A.1 Geodésicas radiais para fotões... 152

A.2 Tempo próprio e tempo coordenada... 154

A.3 Função potencial para os fotões... 155

A.4 Função potencial para partículas com massa... 156

B.1 Evolução da densidade superficial de matéria num disco de acreção... 167

B.2 Taxa de dissipação de energia num disco de acreção... 174

B.3 Partição radial de um disco de acreção fino... 175

B.4 Variação da temperatura do disco na perpendicular... 178

B.5 Espectro de emissão formado na superfície do disco de acreção... 179

B.6 Radiação emitida pelo disco de acreção para diferentes taxas de acreção... 181

C.1 Desvio de um raio de luz por um corpo... 184

C.2 Buraco negro como lente gravitacional... 186

Lista de Tabelas

3.1 Galáxias com candidatos a buraco negro supermassivo... 68

3.2 Candidatos a buraco negro de massa intermédia... 75

3.3 Os 21 mais fortes candidatos a buraco negro de massa estelar em binários.... 77

4.1 Lista de 50 buracos negros de Schwarzschild (desde os supermassivos aos de dimensão Planckiana)... 92

4.2 Distâncias de detecção de buracos negros no rádio... 97

4.3 Distâncias de detecção de buracos negros no infravermelho... 104

4.4 Sensibilidades dos filtros R, V e B... 107

4.5 Distâncias de detecção de buracos negros no óptico... 109

4.6 Magnitude absoluta de buracos negros... 111

4.7 Distâncias de detecção de buracos negros no ultravioleta... 114

4.8 Distâncias de detecção de buracos negros em raios X... 117

4.9 Distâncias de detecção de buracos negros em raios gama... 120

4.10 Tempo de evaporação de buracos negros... 124

4.11 Emissão de neutrinos e leptões por buracos negros... 126

4.12 Distância para a observação de buracos negros a partir da detecção de raios gama secundários... 127

4.13 Lista dos telescópios considerados... 129

4.14 Distâncias máximas para a detecção dos buracos negros da Tabela 4.1 nas várias bandas do espectro electromagnético... 133

4.15 Distâncias máximas para a detecção de buracos negros... 134

4.16 Buracos negros detectáveis a pelo menos 10 raios de Schwarzschild de distância... 136

4.17 Comparação entre as distâncias para a detecção de raios gama primários e secundários... 139

Lista de Fórmulas

1.1 Métrica de Schwarzschild... 3

1.2 Massa geometrizada... 3

1.3 Raio de Schwarzschild... 3

1.4 Tensor métrico na forma covariante... 4

1.5 Passagem do tensor métrico para a forma contravariante... 4

1.6 Tensor métrico na forma contravariante... 5

1.7 Lagrangeano para o espaço-tempo de Schwarzschild... 5

1.8 Integral do movimento E (energia) ... 5

1.9 Integral do movimento L (momento angular azimutal) ... 5

1.10 Momento radial Pr... 6

1.11 Integral do movimento δ... 6

1.12 Equação radial para o movimento no espaço-tempo de Schwarzschild... 6

1.13 Função potencial para o movimento no espaço-tempo de Schwarzschild... 6

1.14 Raio da órbita circular instável para partículas materiais no espaço-tempo de Schwarzschild... 7

1.15 Raio da órbita circular estável para partículas materiais no espaço-tempo de Schwarzschild... 7

1.16 Variação da coordenada radial r com a coordenada angular ϕ no espaço-tempo de Schwarzschild... 7

1.17 Desvio gravitacional para o vermelho... 9

1.18 Parâmetro de impacto... 10

1.19 Secção de choque para a captura de partículas... 11

1.20 Componente azimutal da velocidade de um fotão... 12

1.21 Equação radial para fotões... 12

1.22 Parâmetro de impacto do fotão em função da massa... 13

1.23 Ângulo para a captura de fotões por um buraco negro... 13

1.24 Métrica de Kerr na forma de Boyer-Lindquist... 15

1.25 Função ρ da métrica de Kerr... 16

1.26 As coordenadas cartesianas (x,y,z) e as coordenadas da métrica de Kerr.... 16

1.27 Singularidade de um buraco negro de Kerr... 16

1.28 Horizonte de acontecimentos exterior num buraco negro de Kerr... 17

1.29 Horizonte de acontecimentos interior num buraco negro de Kerr... 17

1.31 Relação entre carga eléctrica e momento angular num buraco negro de

Kerr-Newmann... 18

1.32 Área de um buraco negro de Kerr-Newmann... 20

1.33 Primeira Lei da Termodinâmica para buracos negros... 21

1.34 Massa inicial dos buracos negros primordiais... 25

1.35 Equação da continuidade... 28

1.36 Equação de Euler... 28

1.37 Equação da entropia... 28

1.38 Luminosidade emititda na acreção esférica, por um buraco negro, numa região HII... 29

1.39 Eficiência da conversão entre massa e energia na acreção de matéria por um buraco negro... 31

1.40 Luminosidade resultante da emissão de sincotrão na acreção esférica, por um buraco negro numa região HII... 31

1.41 Terceira Lei de Kepler... 37

1.42 Terceira Lei de Kepler incluindo o ângulo de inclinação do binário... 38

1.43 Função de massa de um sistema binário... 39

1.44 Raio do Anel de Einstein (adaptado a buracos negros)... 39

1.45 Tempo de atravessamento do Anel de Einstein... 40

1.46 Ampliação por uma microlente gravitacional... 40

1.47 Velocidade transversal de uma lente gravitacional... 41

1.48 Massa de uma lente gravitacional... 42

1.49 Massa de um buraco negro supermassivo a partir da dinâmica estelar... 42

1.50 Raio de influência de um buraco negro (supermassivo)... 44

1.51 Resolução relativa das observações de buracos negros supermassivos... 44

2.1 Princípio da Incerteza de Heisenberg... 46

2.2 Integral da energia de um fotão criado num par partícula-antipartícula... 48

2.3 Tempo para um referencial (partícula) atingir o horizonte de acontecimentos... 49

2.4 Energia do fotão para um observador local... 49

2.5 Energia do fotão para um observador local (em função do 4-momento)... 49

2.6 Energia do fotão ao atingir o infinito... 50

2.7 Relação entre energia cinética e temperatura... 50

2.8 Temperatura de um buraco negro em unidades geometrizadas... 51

2.9 Temperatura de um buraco negro em unidades não geometrizadas... 51

2.11 Lei de Wien... 52

2.12 Temperatura de um buraco negro em função da gravidade superficial... 53

2.13 Gravidade superficial de um buraco negro de Kerr-Newmann... 53

2.14 Temperatura de um buraco negro de Kerr-Newmann... 53

2.15 Temperatura de um buraco negro de Kerr... 54

2.16 Temperatura de um buraco negro de Reissner-Nordström... 54

2.17 Temperatura registada por um observador de Rindler... 54

2.18 Métrica para o espaço-tempo de Rindler... 55

2.19 Métrica C para um buraco negro com rotação e aceleração uniforme... 56

2.20 Função ∆ presente na métrica C... 56

2.21 Horizontes para um buraco negro de Kerr uniformemente acelerado... 56

2.22 Horizonte de Rindler de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente acelerado... 57

2.23 Horizonte de acontecimentos de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente acelerado... 57

2.24 Função Θ (presente nas expressões dos horizontes de um buraco negro de Schwarzschild uniformemente acelerado)... 58

2.25 Temperatura sobre os horizontes de um buraco negro uniformemente acelerado... 58

2.26 Limitações da aceleração de um buraco negro de Schwarzschild... 58

2.27 Limitações da aceleração de um buraco negro de Kerr... 58

2.28 Comprimento de onda de Compton... 59

2.29 Massa do buraco negro a partir da qual passam a ser emitidas partículas com uma determinada massa... 60

2.30 Luminosidade do corpo negro... 60

2.31 Luminosidade de um buraco negro... 60

2.32 Taxa de evaporação de um buraco negro... 61

2.33 Tempo de evaporação de buracos negros... 61

2.34 Taxa de emissão de mesões π por um buraco negro... 63

2.35 Taxa de emissão de fotões gama secundários por um buraco negro... 63

4.1 Densidade de fluxo da radiação emitida por um corpo negro... 95

4.2 Relação entre densidade de fluxo e distância... 95

4.3 Densidade de fluxo em função do raio de Schwarzschild... 95

4.4 Distância (máxima) para a detecção da radiação de Hawking... 96

4.5 Luminosidade por unidade de frequência... 99

4.7 Relação entre luminosidade e fluxo... 107

4.8 Luminosidade na banda do visível... 110

4.9 Fluxo na banda do visível... 110

4.10 Relação entre magnitude aparente, magnitude absoluta e distância... 111

A.1 Equação para as geodésicas radiais nulas... 151

A.2 Variação do tempo coordenada nas geodésicas radiais nulas... 151

A.3 Equação para as geodésicas radiais de partículas com massa... 152

A.4 Velocidade de queda livre de uma partícula... 152

A.5 Variação do tempo próprio nas geodésicas radiais de partículas com massa... 153

A.6 Variação do tempo coordenada nas geodésicas radiais de partículas com massa... 153

A.7 Potencial para as geodésicas nulas não radiais... 154

A.8 Potencial para as geodésicas não radiais de partículas com massa... 154

B.1 Velocidade angular das partículas no disco... 161

B.2 Componente Trϕ do tensor do stress viscoso... 163

B.3 Componente Trϕ do tensor do stress viscoso em função da velocidade angular... 164

B.4 Torque entre dois anéis do disco adjacentes... 164

B.5 Densidade superficial num disco fino... 165

B.6 Equação da continuidade para um disco de acreção... 165

B.7 Equação de Navier-Stokes para um disco de acreção... 165

B.8 Altura do disco de acreção... 168

B.9 Taxa de acreção de matéria pelo disco... 169

B.10 Integração da equação de Navier-Stokes... 169

B.11 Factor de redução (potencial kepleriano)... 170

B.12 Relação entre densidade superficial, viscosidade e taxa de acreção... 170

B.13 Taxa local de dissipação de energia no disco, por unidade de volume, em função da viscosidade... 171

B.14 Taxa local de dissipação de energia no disco, por unidade de volume, cancelada a dependência da viscosidade... 171

B.15 Expressão geral para a luminosidade total do disco... 172

B.16 Componente da aceleração gravítica normal ao plano do disco... 176

B.17 Taxa de dissipação de energia no disco na direcção vertical... 176

B.18 Variação da temperatura no disco segundo a direcção vertical... 177

C.1 Equação radial com a coordenada radial reciproca u=1/r... 183

Acrónimos

Constantes físicas

Velocidade da luz no vazio c=2.99792458×108

ms-1 Constante de Planck h=6.62620×10-34_Js

Carga elementar e=1.602189×10-19_C

Número de Avogadro No=6.0221367×1023mol-1

Constante universal dos gases R=8.31441Jmol-1K-1 Constante de Boltzmann k=1.380662×10-23 JK-1 Constante de Stefan-Boltzmann σ=5.66956×10-8Wm-2K-4 Constante da gravitação G=6.6742×10-11 Nm2kg-2 Massa de Planck mp=5.456×10-8kg Raio Solar R =6.9599×108 m Massa Solar M =1.989×1030 kg Luminosidade Solar L =3.826×1026 W

Distâncias

UA - Unidade Astronómica; 1UA=1.495979×1011m AL - Ano Luz; 1AL=9.460530×1015m

pc - parsec; 1pc=3.085678×1016m (≈3.26AL) Distância (média) Terra-Lua ≈ 3.8×108_m

Distância (média) Sol-Plutão ≈ 5.9×1012_{m (≈40UA)}

Densidade de Fluxo

Abreviaturas

AGILE - Astro-revilatore Gamma a Immagini LEggero EROS - Experience pour la Recherche d'Objets Sombres FUSE - Far Ultraviolet Spectroscopic Explorer

GRB - Gamma Ray Burst

HESS - High Energy Stereoscopic System HST - Huble Space Telescope

INTEGRAL - INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory MACHO - MAssive Compact Halo Objects

MASER - Microwave Amplification Stimulated Emission of Radiation MDO - Massive Dark Object

N-XMM - Newton X-ray Multi-mirror Mission OGLE - Optical Gravitational Lensing Experiment PIH - Princípio de Incerteza de Heisenberg

4&'4XDQWXP&KURPR'\QDPLFV QPO - Quasi Periodic Oscillations

SIRTF - Space InfraRed Telescope Facility

SOFIA - Stratospheric Observatory For Infrared Astronomy TRG - Teoria da Relatividade Geral

VLA - Very Large Array

Prefácio

Todos os candidatos a buraco negro conhecidos actualmente resultam de evidências observacionais indirectas. A detecção da radiação de Hawking (radiação própria emitida por um buraco negro) é, ao que sabemos, o único processo de detecção directa de buracos negros. A motivação deste trabalho consiste em investigar se, dentro dos limites técnicos actuais, é ou não possível detectar a componente electromagnética da radiação de Hawking e, em caso afirmativo, a que distância e para que tipo de buracos negros.

Os primeiros três capítulos são de revisão de literatura, com algumas partes originais. No Capítulo 1 são introduzidos os buracos negros e descritas algumas das suas principais propriedades. São resumidos os mecanismos de formação de buracos negros e os principais processos de detecção indirecta. No Capítulo 2 é descrito o mecanismo de emissão de radiação por buracos negros. É também discutida a emissão de partículas com massa na fase final da evaporação de buracos negros. O Capítulo 3 é dedicado à apresentação dos principais candidatos a buraco negro conhecidos actualmente. Estes vão desde os buracos supermassivos (nos quais se encontram os candidatos mais seguros) aos buracos negros estelares presentes em sistemas binários.

O Capítulo 4 é dedicado ao estudo da possibilidade de detecção, dentro dos limites técnicos actuais, da radiação de Hawking emitida por buracos negros de Schwarzschild. É considerada a detecção de buracos negros das mais variadas massas em comprimentos de onda que vão desde o rádio aos raios gama. No Capítulo 5 são apresentadas as conclusões.

Este trabalho é parte integrante das minhas Provas de Capacidade Científica e Aptidão Pedagógica para a obtenção da categoria de Assistente no Departamento de Matemática e Engenharias da Universidade da Madeira.

Sou licenciado em Física (Ramo Científico) pela Universidade da Madeira (1994/95). Exerço actividade docente desde o ano lectivo de 1994/95, tendo passado pelo departamento de Física da Universidade da Madeira, Escola Secundária de Jaime Moniz, Escola Básica e Secundária de Machico e Departamento de Matemática (actual Departamento de Matemática e Engenharias) da Universidade da Madeira onde estou actualmente.

Participei na conferência "New Trends in Geometrical and Topological Methods" realizada na Universidade da Madeira (Agosto 1995) com a apresentação de um póster intitulado "Space-Time Geometry of a Pair of Reissner-Nordström Black Holes" e no 6ºENAA (Encontro Nacional de Astronomia e Astrofísica) realizado na Universidade de Évora com a apresentação dos pósteres "Geometria do Espaço-Tempo de um Par de Buracos Negros de Reissner-Nordström" e "Escolha do local para a instalação de um Observatório na Madeira" este último, integrado no Grupo STORM (Students Taking Observational Research Measurements), foi eleito, pelos participantes, como o melhor do encontro. Fui membro da organização do 11ºENAA realizado na Universidade da Madeira (Julho 2001).

Apresentei nas 3 edições da Semana da Astronomia, realizadas pelo Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira, os cursos: "Buracos Negros" (2001), "A Nossa Galáxia" (2001), "Os Buracos Negros" (2002) e "O buraco Negro no Centro da Nossa Galáxia" (2003). Fui o organizador da III Semana da Astronomia (Julho 2003). Durante o ano lectivo 2002/03 apresentei em várias escolas básicas e secundárias da região uma palestra intitulada "Nós e o Universo".

Integrado no grupo STORM participei no trabalho de observação do seeing para a selecção do melhor local da ilha para a instalação de um observatório óptico, em várias sessões de observação (cometas Hyakutake e Hale-Bopp, Eclipses do Sol,...) e em várias edições do programa Astronomia no Verão da FCT (Fundação para a Ciência e Tecnologia).

A concretização desta tese não teria sido possível sem o apoio constante da minha esposa Elda Sobrinho e dos meus pais, Alexandre Sobrinho e Esperança Gois, a quem dedico o meu trabalho.

Agradeço ao Professor Doutor José Carmo, na qualidade de Presidente do Departamento de Matemática e Engenharias (e orientador da componente pedagógica destas provas) e ao Professor Doutor Pedro Augusto, na qualidade de Presidente do Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira (do qual também faço parte) e orientador desta tese pela disponibilidade e apoio. Ao Dr. Angelino Gonçalves do Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira, pelas discussões e críticas construtivas. De uma forma geral estou profundamente grato a todos os familiares, colegas e amigos que directa ou indirectamente me ajudaram na realização deste trabalho.

O texto desta tese foi escrito utilizando o Microsoft Word 2000 e as equações foram construídas no Microsoft Equation Editor v3.01. Grande parte dos cálculos, bem como a geração de gráficos, foram efectuados no Mathematica 4.1 (Wolfram Research). Algumas das imagens foram construídas ou adaptadas com a ajuda do Microsoft Paint.

Foi feita uma consulta, quase permanente, da NASA Astrophysics Data Systemi e também da Biblioteca de Astronomia e Astrofísica do Grupo de Astronomia da Universidade da Madeiraii

José Laurindo de Gois Nóbrega Sobrinho Outubro 2003

Durante a discussão da tese, que teve lugar 14 de Novembro de 2003 na Universidade da Madeira, o arguente Professor Doutor José Pizarro de Sande Lemos, a quem agradeço a disponibilidade e interesse, sugeriu algumas alterações. Após reunião com o orientador Professor Doutor Pedro Augusto fiz a revisão da tese incluindo algumas dessas alterações. Nomeadamente, a lista de exemplos de buracos negros que antes terminava nos de dimensão comparável à do núcleo atómico, foi estendida até aos buracos negros de dimensão planckiana. Os anexos referentes à acreção esférica por buracos negros de Schwarzschild, existentes na versão original, foram retirados e serão publicados em separado.

José Laurindo de Gois Nóbrega Sobrinho Fevereiro 2004 i http://adswww.harvard.edu ii http://www.uma.pt/Investigacao/Astro/Biblioteca/index.htm

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1 Buracos Negros

1.1 Introdução

Num artigo enviado em 1783 para a Philosophical Transactions da Royal Society o reverendo e geólogo britânico John Michell argumentou que corpos com um raio 500 vezes superior ao do Sol e com uma densidade igual ou superior à deste não deixariam, em virtude da sua atracção gravitacional, os seus próprios raios de luz escaparem sendo assim invisíveis aos nossos sentidos (e.g. Lynden-Bell 2002)1.

Michell pensou em termos de velocidade de escape que é tanto maior quanto maior for a massa do corpo (planeta, estrela,...) e tanto maior quanto menor for o respectivo raio. Embora no caso da Terra o seu valor seja de apenas 11kms-1, numa estrela de neutrões pode atingir 1.5×105kms-1, ou seja, metade da velocidade da luz. Jogando com os valores do raio e da massa podemos imaginar (como Michell) uma estrela cuja velocidade de escape seja superior à da luz. Essa estrela não seria visível por um observador distante.

Esta foi uma espectacular previsão de uma das propriedades dos buracos negros: aprisionar a luz e ser invisível. Todavia estas estrelas escuras não correspondem exactamente à definição actual de buraco negro. Um corpo capaz de aprisionar a sua própria luz não pode ser descrito pela teoria da gravitação de Newton. Em 1915 Albert Einstein apresentou uma nova teoria, actualmente designada por Teoria da Relatividade Geral (TRG), aplicável nessas situações.

Algumas provas experimentais da TRG foram surgindo com o decorrer dos anos. Um eclipse total do Sol (1919) permitiu confirmar que este desvia os raios de luz provenientes de estrelas distantes e que, além disso, o ângulo de desvio estava de acordo com o previsto. O avanço do periélio do planeta Mercúrio é outra prova experimental da TRG. A descoberta de imagens múltiplas de um quasar (1980) veio validar a previsão da existência de lentes gravitacionais avançada por Einstein.

Pouco tempo decorrido após a publicação da TRG, Karl Schwarzschild chegou,

1

Numa monografia publicada em 1795, intitulada Systéme du Mond, o astrónomo e matemático francês Pierre Laplace também descreveu a ideia de estrelas invisíveis recorrendo, embora sem o referir, aos mesmos argumentos de Michell (e.g. Lynden-Bell 2002).

baseando-se na mesma, à solução para o campo gravítico em torno de uma massa esférica (Secção 1.2.1). Este resultado permitia descrever o campo em torno de estrelas como o Sol ou ainda em torno de estrelas mais compactas como as anãs brancas e estrelas de neutrões em relação às quais os efeitos relativistas são mais relevantes. O que não ficou imediatamente evidente é que essa solução comportava também a descrição de um objecto bem mais exótico: o buraco negro.

Os buracos negros são objectos previstos pela TRG. No entanto, eram objectos de tal forma fora do comum que, na falta de qualquer evidência da sua existência, o seu estudo não foi muito motivador ao longo de muitos anos. Apenas a descoberta de outros objectos exóticos como os quasares (1963) e as estrelas de neutrões (1967) veio reavivar o entusiasmo e o interesse pelo estudo dos buracos negros.

Desde então têm sido identificados vários candidatos a buraco negro. Em termos de massa, estes vão desde os buracos negros estelares 1-102M (Secções 3.3 e 3.4), espalhados pela nossa galáxia, até aos super buracos negros 106-1010M (Secção 3.1) presentes nos núcleos de algumas galáxias incluindo a nossa. Toda esta selecção de candidatos é feita a partir de observações indirectas (Secção 1.4).

No plano teórico conseguiram-se nas últimas décadas grandes desenvolvimentos sobre as propriedades dos buracos negros e sobre a interacção dos mesmos com o meio envolvente. Um dos resultados teóricos mais fascinantes aponta para a emissão de radiação por buracos negros (Secção 2.1). Esta radiação, designada por radiação de Hawking, inclui ondas electromagnéticas, ondas gravitacionais e, no caso de buracos negros de menor massa, partículas com massa (Secção 2.4). A emissão de radiação de Hawking leva à evaporação do buraco negro (Secção 2.5). Na fase final da evaporação são emitidas grandes quantidades de raios gama num curto intervalo de tempo assistindo-se, assim, à explosão do buraco negro (Secção 2.6).

A motivação deste trabalho consiste em analisar a possibilidade de detecção directa de buracos negros (dentro dos limites técnicos actuais) a partir da componente electromagnética da radiação emitida pelos mesmos. Pretende-se averiguar quais os buracos negros mais favoráveis para a detecção (em termos de distâncias) e quais as bandas do espectro mais favoráveis para a observação.

1.2 Propriedades

1.2.1 Buracos negros de Schwarzschild

A solução de Schwarzschild resulta da resolução das equações do campo no vácuo para um espaço-tempo com simetria esférica. Esta solução contém a descrição exacta de um buraco negro sem carga e sem rotação: buraco negro de Schwarzschild. A métrica correspondente, também conhecida por métrica de Schwarzschild, é normalmente escrita, em coordenadas esféricas, como se segue (e.g. d' Inverno 1992):

2 2 2 2 2 2 2 2 d sin r d r dr r m 2 1 1 dt r m 2 1 ds − θ − θ ϕ − − ¸ ¹ · ¨ © § − = (1.1)

onde t é o tempo-coordenada, s representa um intervalo de espaço-tempo e:

2

c GM

m= (1.2)

surge como uma constante de integração das equações do campo. Aqui G é a constante de gravitação universal, c é a velocidade da luz e M é a massa criadora do campo. É usual o recurso a unidades geometrizadas onde G=c=1. É importante notar que m tem as dimensões de uma distância.

A métrica (1.1) apresenta singularidades nos pontos r=0 e r=2m. No caso r=2m é possível mostrar que a singularidade correspondente não é real, ou seja, não é uma singularidade física (e.g. d' Inverno 1992). De facto, mediante uma transformação adequada de coordenadas é possível remover esta singularidade. No caso r=0 não é possível estabelecer qualquer transformação de coordenadas capaz de remover a singularidade. Estamos perante uma singularidade real. A superfície r=2m corresponde ao chamado horizonte de acontecimentos do buraco negro. O raio de um buraco negro deste tipo, também designado por raio de Schwarzschild, é dado por:

2 s c GM 2 m 2 r = = (1.3)

Figura 1.1 - Estrutura do buraco negro de Schwarzschild

Ao ponto r=0 chamamos singularidade do buraco negro. Se extrapolarmos as soluções das equações do campo para o interior do buraco negro, verifica-se que elas acabam por quebrar na singularidade. Uma vez desenvolvida uma teoria quântica da gravitação, talvez se possa substituir a ocorrência de uma singularidade por um estado da matéria que agora desconhecemos. Seja como for, no presente estudo, estamos interessados apenas em processos que ocorrem do lado de fora do horizonte de acontecimentos e, portanto, longe da singularidade, onde a TRG é válida sem qualquer restrição. Na Figura 1.1 está representada a estrutura do buraco negro de Schwarzschild. Com os coeficientes da métrica (1.1) construímos o tensor métrico na forma covariante:

j i , 0 g ; ș sin r g r g ; r m 2 1 g ; r m 2 1 g ij 2 2 33 2 22 1 11 00 ≠ = − = − = ¸ ¹ · ¨ © § − − = − = − (1.4)

onde os índices 0, 1, 2 e 3 correspondem, respectivamente às coordenadas t, r, θ e ϕ. O tensor métrico na forma contravariante obtém-se a partir da relação:

(

)

¦

onde į representa a função delta de Kronecker. No caso da métrica de Schwarzschild i_j temos:

j i , 0 g ; ș sin r 1 g 1 g ; r 1 g 1 g ; r m 2 1 g 1 g ; r m 2 1 g 1 g ij 2 2 33 33 2 22 22 11 11 1 00 00 ≠ = − = = − = = ¸ ¹ · ¨ © § − − = = ¸ ¹ · ¨ © § − = = − (1.6)

1.2.2 Geodésicas no espaço-tempo de Schwarzschild

O trajecto mais curto entre dois pontos do espaço-tempo designa-se por linha geodésica. As partículas livres deslocam-se sempre seguindo as geodésicas. As equações das geodésicas podem obter-se a partir do Lagrangeano (e.g. Chandrasekhar 1983): » » » » ¼ º « « « « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § − ¸ ¹ · ¨ © § − − ¸ ¹ · ¨ © § − ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § − = 2 2 2 2 2 2 2 g IJ d d ) ș ( Sin r IJ d ș d r r m 2 1 IJ d dr IJ d dt r m 2 1 2 1 L Q (1.7)

onde τ corresponde ao tempo próprio (tempo medido por um observador no referencial da partícula) e t corresponde ao tempo coordenada (tempo medido por um observador distante). No caso dos fotões τdeverá ser interpretado como um parâmetro afim.

No espaço-tempo de Schwarzschild as geodésicas são descritas num plano invariante (e.g. Chandrasekhar 1983). Vamos escolher, por exemplo, o plano θ=90º.

O facto do Lagrangeano (1.7) não depender explicitamente das coordenadas t e ϕ conduz aos seguintes integrais do movimento:

E IJ d dt r m 2 1 IJ d dt L P_t g ¸ = ¹ · ¨ © § − = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ = _(1.8) L IJ d d r IJ d d L P g = 2 = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ − = Q Q Q (1.9)

Podemos interpretar E como sendo a energia da partícula e L como a componente do momento angular segundo um eixo normal ao plano invariante (tudo por unidade de

massa). Considere-se também o momento radial: IJ d dr r m 2 1 1 IJ d dr L P_r g − = ¸ ¹ · ¨ © § ∂ ∂ − = _(1.10)

O facto do Hamiltoneano coincidir com o Lagrangeano (e.g. Chandrasekhar 1983) e não depender explicitamente do tempo coordenada conduz a um terceiro integral do movimento, δ, tal que:

į IJ d dr P IJ d d L IJ d dt E − Q− _r = (1.11)

O valor de δ pode ser escalonado de forma a ser zero para o movimento de fotões e igual à unidade para o movimento de partículas materiais (e.g. Chandrasekhar 1983). Substituindo (1.8), (1.9) e (1.10) em (1.11) obtemos a seguinte equação radial:

¸¸ ¹ · ¨¨ © § + ¸ ¹ · ¨ © § − − = ¸ ¹ · ¨ © § 2 2 2 2 r L į r m 2 1 E IJ d dr (1.12)

Se, nesta equação, interpretarmos o membro do lado esquerdo como sendo a energia cinética da partícula e E2 como a sua energia total, então:

( )

será a respectiva energia potencial (tudo por unidade de massa). O movimento só será permitido quando for E2≥V2. A partir desta condição podemos tirar uma série de conclusões sobre o tipo de geodésicas permitido, tanto aos fotões como às partículas materiais, nas imediações de um buraco negro de Schwarzschild.

Consideremos então um fotão que, partindo do infinito, desloca-se em direcção a um buraco negro de Schwarzschild. Se este seguir uma trajectória radial (Secção A.1) então, visto não existir qualquer barreira de potencial no seu caminho, acabará sendo capturado. Se, por outro lado, o seu movimento não for na direcção radial então o fotão

segue uma geodésica curvilínea condicionada por uma barreira de potencial (Secção A.3). Se a energia do fotão for suficiente para vencer a barreira então este avança em direcção ao horizonte de acontecimentos e é capturado. Caso contrário o fotão é reflectido pela barreira de potencial, escapando, para longe (Figura A.3).

É também permitida aos fotões uma geodésica circular. Esta, situada em r=3m, corresponde ao pico da barreira de potencial. A superfície esférica de raio r=3m é designada por rotosfera. Fotões, provenientes do infinito, cuja energia seja igual ao potencial em r=3m, descrevem uma geodésica espiral cuja curva tende para o círculo r=3m. A órbita r=3m é no entanto instável. Um fotão que permaneça durante algum tempo nessa órbita acabará mais cedo ou mais tarde por ser capturado pelo buraco negro ou por escapar para o infinito.

No caso das partículas materiais o tipo de geodésicas permitido está condicionado pelo valor do integral L (Secções A.2 e A.4). O caso mais interessante ocorre quando 12m2<L2. Neste caso o potencial (1.13) apresenta dois extremos relativos correspondentes aos pontos:

¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − − = ₂ 2 2 max L m 12 1 1 m 2 L r (1.14) ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − + = ₂ 2 2 min L m 12 1 1 m 2 L r (1.15)

Uma partícula material abandonada do infinito pode, dependendo da sua energia, acabar sendo capturada pelo buraco negro ou reflectida pela barreira de potencial para longe. Existe, como acontecia para os fotões, uma geodésica circular instável. O seu raio, dado por (1.14), oscila, consoante o valor de L, entre os 3m e 6m. Existe ainda uma geodésica circular estável cujo raio, dado por (1.15), é superior a 6m. São também permitidas geodésicas elípticas estáveis (Figura A.4).

A equação que relaciona as coordenadas r e ϕ pode escrever-se, introduzindo (1.9) em (1.12), na forma:

(

)

1.2.3 Desvio gravitacional para o vermelho

Consideremos um buraco negro de Schwarzschild de massa m e uma partícula material de coordenada radial r1>2m. Vamos supor que essa partícula emite luz de um

dado comprimento de onda e que alguns desses raios de luz são captados por um observador distante de coordenada radial r2>r1. O período de emissão em termos de

tempo próprio, que designaremos por dτ1, relaciona-se com o período de emissão em

termos de tempo-coordenada, que designaremos por dt1, através da seguinte relação (e.

g. Berman & Gomide 1987):

1 1 1 dt r m 2 1 dτ = −

De modo análogo, o período de recepção, em termos de tempo próprio, que designaremos por dτ2, relaciona-se com o período de recepção em termos de

tempo-coordenada, que designaremos por dt2, através da seguinte relação:

2 2 2 dt r m 2 1 dτ = −

Como o espaço-tempo de Schwarzschild é estático (os elementos do tensor métrico (1.4) não dependem explicitamente do tempo) fica dt1=dt2 (e.g. d'Inverno 1992).

Relacionando as duas expressões anteriores obtemos:

1 2 1 2 1 2 r m 2 1 r m 2 1 IJ cd IJ cd Ȝ Ȝ − − = =

onde λ1 e λ2 são os comprimentos de onda registados no momento da emissão e da

recepção respectivamente. Se supusermos que r2>>r1 então o numerador do lado direito

1 1 2 r m 2 1− λ = λ (1.17)

À medida que a partícula se aproxima do buraco negro, o valor de λ2 vai

aumentando progressivamente. O observador distante regista assim um desvio para o vermelho no comprimento de onda da luz emitida pela partícula. Esse desvio vai ficando cada vez mais acentuado tornando-se infinito sobre o horizonte de acontecimentos. Diz-se que r=2m é uma superfície de desvio para o vermelho infinito. Por Diz-seu turno λ1

permanece sempre constante pois corresponde ao comprimento de onda, de emissão, medido no referencial da partícula.

1.2.4 Conversão de massa em energia radiativa

Resolvendo (1.15) em ordem a L2 e substituindo o resultado na equação radial (1.12) obtemos, no caso das geodésicas circulares para partículas com massa, a seguinte expressão para o integral da energia:

r m 3 1 r m 2 1 E 2 2 − ¸ ¹ · ¨ © § − =

No caso da última órbita circular estável (r=6m) esta expressão toma o valor:

9 8 E_6m =

pelo que a energia de ligação, por unidade de massa, para uma partícula nessa órbita é:

% .72 5 9 8 1 E E E_lig = _∞− _6m = − ≈

repouso no infinito (V=E=1), descreve um movimento espiral em direcção a um buraco negro de Schwarzschild, até à órbita circular estável mais interior (caindo depois em direcção ao horizonte de acontecimentos). Esta taxa de conversão de massa em outras formas de energia é muito superior à das reacções nucleares no seio das estrelas, a qual ronda apenas os 0.9% (no máximo), quando se dá a conversão H→Fe (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983).

1.2.5 Captura de partículas

A secção de choque para a captura de uma partícula material proveniente do infinito, por um buraco negro, é dada por (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):

2 cap ʌb

ı = _max

onde bmax é o valor máximo que o parâmetro de impacto, b, pode ter para que a

partícula seja capturada. Se o parâmetro de impacto for nulo, temos uma captura frontal, e se for superior a bmax, não ocorre captura. O parâmetro de impacto é determinado,

como se depreende da Figura 1.2, pela expressão:

( )

b=lim_r→∞ sinQ≈ Q (1.18)

Quando r→∞ podemos desprezar os termos de ordem inferior a r4 na equação (1.16) ficando:

(

)

Introduzindo nesta equação o resultado (1.18) vem:

2 2 2 _L 1 E b 1 − =

Figura 1.2 - Parâmetro de impacto b para uma partícula com uma trajectória r=r(ϕ) na vizinhança de um buraco negro de massa M (adaptado de Shapiro & Teukolsky 1983).

Quando r→∞ a função potencial, dada pela expressão (1.13), tende para a unidade. Podemos, assim, interpretar E2-1 como a energia cinética da partícula no infinito. Considerando que a velocidade da partícula no infinito é v∞ temos a relação:

∞

= bv L

Se for v∞<<1 (partícula não relativista) então temos E≈1. Nesse caso para haver

captura o valor máximo da barreira de potencial, Vmax, terá de ser inferior à unidade.

Como Vmax=1 para L=4m (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983) temos que qualquer

partícula com L<4m será capturada pelo buraco negro, pois, para essa partícula, não existe barreira de potencial que a reflicta. Conciliando este facto com a expressão anterior resulta: ∞ = v m 4 b_max

o que nos permite escrever, para a secção de choque, a expressão:

( )

Figura 1.3 - Ângulo entre a direcção de propagação de um fotão e a direcção de vr, num dado ponto P (adaptado de Shapiro & Teukolsky 1983).

1.2.6 Ângulo de captura de fotões

Seja ψ o ângulo entre a direcção de propagação de um fotão e a direcção radial, num dado ponto P, como se mostra na Figura 1.3. Atendendo a que, em unidades geometrizadas a velocidade da luz é igual à unidade, as componentes da velocidade, num referencial local, podem ser escritas como:

( )

( )

Por outro lado, do ponto de vista de um observador local, a componente azimutal da velocidade é dada por (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983):

( )

onde estamos a considerar f=L/E. A equação (1.12) pode escrever-se, para o caso dos fotões, do seguinte modo:

2 2 2 2 2 f 2 2 2 r L r m 2 1 f L V f L ȣ d dr ¸ ¹ · ¨ © § − − = − = ¸ ¹ · ¨ © § (1.21)

Figura 1.4 - Captura de fotões por um buraco negro de Schwarzschild do ponto de vista de um

observador local. Os fotões emitidos de cada ponto (abcissa r) para o interior da região a cinzento são capturados (e.g. Shapiro & Teukolsky 1983)

onde ȣ é um parâmetro afim e Vf é dado por (1.13) com δ=0.

O potencial efectivo Vf é máximo quando r=3m, ou seja, no ponto, correspondente

à única geodésica circular permitida aos fotões (Secção 1.2.2). Fazendo na equação (1.21) r=3m resulta: 3m) (r m 3 3 f = = (1.22)

Um fotão, proveniente do infinito, será capturado se f for inferior ao valor anterior e será reflectido se f for superior a esse valor. O parâmetro f é claramente um parâmetro de impacto.

Assim, conjugando (1.20) com (1.22), resulta que do ponto de vista de um observador local, um fotão, deslocando-se em direcção ao buraco negro (r decrescente), pode escapar à captura apenas se se verificar a condição:

( )

Em r=6m um fotão, deslocando-se em direcção ao buraco negro, pode escapar apenas quando ψ>45º (Figura 1.4) e em r=4m quando ψ>67º. Em r=3m já é ψ>90º pelo que o fotão já não pode escapar. Isto significa que 50% da luz radiada por um emissor isotrópico situado sobre a rotosfera (Secção 1.2.2) é irremediavelmente capturada.

1.2.7 Outros tipos de buracos negros

Quando se dá a formação de um buraco negro, seja por que processo for, é apenas retida informação acerca da massa, carga eléctrica e momento angular. Qualquer outra informação relativa ao corpo que originou o buraco negro (e.g. forma geométrica, tipo de matéria, campo magnético) é completamente radiada para longe ou simplesmente engolida2. No caso de a carga eléctrica e o momento angular serem nulos temos um buraco negro caracterizado apenas pelo valor da sua massa. Estes buracos negros, ditos de Schwarzschild, já foram discutidos na Secção1.2.1.

Caso exista, para além da massa, uma quantidade não nula de carga eléctrica então dizemos que temos um buraco negro de Reissner-Nordström. A métrica para este tipo de buracos negros escreve-se, em coordenadas esféricas, na forma (e.g. d' Inverno 1992): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d sin r d r dr r r m 2 1 1 dt r r m 2 1 ds − θ − θ ϕ ε + − − ¸¸ ¹ · ¨¨ © § _ε + − =

onde m continua a ser, como na solução de Schwarzschild, a massa geometrizada e ε é a carga eléctrica escrita também em unidades geometrizadas. Note-se que quando ε=0 o elemento de linha anterior reduz-se à métrica de Schwarzschild (1.1). A solução de Reissner-Nordström apresenta uma única singularidade real para r=0. A singularidade associada a g11=0 é apenas aparente podendo ser removida mediante uma escolha

conveniente de coordenadas (e.g. d' Inverno 1992). O horizonte de acontecimentos para este tipo de buraco negro é determinado resolvendo a equação (e.g. d' Inverno 1992):

0 r İ r m 2 1 g 1 g ₂ 2 11 11_{= = − + =}

(onde g11 é determinado com a ajuda da expressão 1.5). A equação tem duas soluções:

2

Este facto levou o físico teórico John Wheeler a proferir a célebre frase "Black holes have no hair" (e.g. Novikov 1995)

Figura 1.5 - Estrutura interna de alguns buracos negros de Reissner-Nordström. Em cada caso foram

indicados os dois horizontes de acontecimentos, r+ e r-, e a singularidade s. O buraco negro da esquerda

tem carga nula (ε=0) e por isso é na realidade um buraco negro de Schwarzschild. Por sua vez o buraco negro da direita tem a carga máxima permitida (ε=m) e por isso diz-se que é um buraco negro de Reissner-Nordström extremo. 2 2 m m r₊ = + −ε 2 2 m m r− = − −ε

Num buraco negro de Reissner-Nordström existem dois horizontes de acontecimentos (r+ e r-). O horizonte de raio r+, mais exterior, é semelhante ao dos

buracos negros de Schwarzschild. Quando ε=0, r- é nulo e r+=2m. Por ouro lado quando

ε=m os dois horizontes coincidem (são iguais a m) e dizemos, nesse caso, que temos um buraco negro de Reissner-Nordström extremo. Na Figura 1.5 estão representadas as estruturas de alguns buracos negros de Reissner-Nordström.

Se, para além da respectiva massa, o buraco negro tiver movimento de rotação e for electricamente neutro temos um buraco negro de Kerr3. A métrica correspondente, também designada por métrica de Kerr, é muitas vezes escrita na forma de Boyer-Lindquist (e.g. d' Inverno 1992):

( )

( )

_[

₍

₎

_{( )}

_]

O nome foi atribuído em homenagem ao neozelandês Roy Kerr que em 1963 descobriu a solução das equações do campo para um corpo em rotação.

com:

( )

onde o parâmetro a traduz o momento angular do buraco negro por unidade de massa. Note-se que quando a=0, ou seja, quando o buraco negro não tem rotação é recuperada a métrica de Schwarzschild (1.1). As coordenadas (R,θ,ϕ) estão relacionadas com as coordenadas cartesianas (x,y,z) do seguinte modo:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

A coordenada R não corresponde à coordenada radial usual. A coordenada radial usual, r, é dada por:

( )

sendo, no entanto, R≈r quando r>>a ou quando a≈ . A métrica de Kerr depende de 0

θ e por isso não é simetricamente esférica. No entanto, como não depende de ϕ

concluímos que é axialmente simétrica. O eixo de simetria, que coincide com o eixo de rotação do buraco negro, é, por convenção, o eixo ZZ'. A métrica de Kerr apresenta uma única singularidade real correspondente a ρ=0 (e.g. d' Inverno 1992). A partir de (1.25) e (1.26), com ρ=0 e a≠0, tiramos que:

¯ ® ­ = = 0 z a r2 2 (1.27)

Isto significa que, para um buraco negro em rotação, a singularidade consiste num anel assente no plano equatorial. Quanto maior a velocidade de rotação, maior o raio da singularidade. Quando a=0 temos um buraco negro de Schwarzschild com a sua

singularidade pontual. O horizonte de acontecimentos para um buraco negro de Kerr é determinado a partir de g11=0. A partir da expressão (1.5) pode verificar-se que g11=1/g11, ou seja, g11=-∆/ρ2. Resolvendo então a equação ∆=0 obtêm-se as soluções:

( )

(

)

( )

(

)

Num buraco negro de Kerr existe um horizonte de acontecimentos mais interior r

-e outro mais -ext-erior r+. A partir das expressões (1.28) e (1.29) verifica-se que a

velocidade angular do buraco negro não pode exceder m. Quando a=m fica r-=r+ e

dizemos que temos um buraco negro de Kerr máximo.

Num buraco negro de Schwarzschild o horizonte de acontecimentos é simultaneamente uma superfície de desvio para o vermelho infinito (Secção 1.2.3). No caso de um buraco negro com rotação não acontece o mesmo. A superfície de desvio para o vermelho infinito pode ser determinada avaliando g00=0 (e.g. d' Inverno 1992),

resultando:

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

A superfície s+ é exterior a r+, tocando este apenas sobre os pólos. s+ é também

conhecida por superfície do limite estacionário uma vez que, embora ainda seja possível a uma partícula escapar do seu interior, entre esta e r+ não é permitido o repouso. Tudo é

arrastado no sentido da rotação do buraco negro. Na Figura 1.6 está representada a estrutura no plano equatorial (θ=90º) e segundo um plano meridiano de buracos negros de Kerr com a=0.8m e a=m (foi representada também a estrutura do buraco negro de Schwarzschild para efeitos de comparação).

Por último vamos referir os buracos negros de Kerr-Newmann. Estes caracterizam-se por possuírem massa, carga eléctrica e momento angular (e.g.

aaaaaaaaa

Figura 1.6 - (A) Estrutura de um buraco negro de Schwarzschild (buraco negro de Kerr com a=0). (B)

Estrutura de um buraco negro de Kerr com a=0.8m segundo um plano meridiano (à esquerda) e segundo o plano equatorial (θ=90º; à direita). (C) Estrutura de um buraco negro de Kerr máximo (a=m) segundo um plano meridiano (à esquerda) e segundo o plano equatorial (à direita).

Demianski 1985). Num buraco negro de Kerr-Newmann a carga eléctrica e o momento angular por unidade de massa devem respeitar a relação (e.g. Davies 1978):

2 2 2 m İ a + ≤ (1.31)

Quando se verifica a igualdade, na expressão anterior, diz-se que temos um buraco negro de Kerr-Newmann extremo. Este é o caso limite de um objecto que ainda possui um horizonte de acontecimentos. No diagrama da Figura 1.7 estão incluídos todos os tipos de buracos negros descritos anteriormente.

Figura 1.7 - Cada ponto da circunferência representa um buraco negro de Kerr-Newman extremo. Todos

os outros buracos negros são representados por pontos interiores à circunferência. Ao buraco negro de Schwarzschild corresponde a origem dos eixos. Os buracos negros de Reissner-Nordström são representados pelos pontos do eixo ε (carga eléctrica) e os buracos negros de Kerr pelos pontos do eixo a (momento angular).

1.2.8 Termodinâmica de buracos negros

A fronteira de um buraco negro é dada pelo respectivo horizonte de acontecimentos. Sobre o horizonte residem as trajectórias espaço-temporais dos raios luminosos emitidos no momento da formação do mesmo. Estas trajectórias são sempre não convergentes (e.g. Hawking 1994). Com base neste facto Stephen Hawking provou um importante teorema sobre buracos negros (e.g. Hawking & Ellis 1973), designado por Teorema da Área, que indicamos a seguir:

Teorema da área - Em qualquer interacção a área da superfície, A,

Este comportamento, da área da superfície do buraco negro sugere uma forte analogia com a quantidade termodinâmica entropia. A desordem (entropia) de um sistema aumenta sempre ou, quanto muito, permanece constante. Podemos colocar uma certa ordem numa parte do sistema, mas sempre à custa de um aumento da desordem de outra parte do sistema. Globalmente, "a entropia nunca decresce" (Segunda Lei da Termodinâmica; e.g. Holman 1988).

A Segunda Lei da Termodinâmica é diferente de outras leis físicas no sentido em que podem ocorrer violações da mesma. Essas violações são muito pouco prováveis. No entanto, se lançarmos alguma matéria com elevado grau de entropia para o interior de um buraco negro teríamos aparentemente um decréscimo da entropia relativa à matéria exterior ao buraco negro. Note-se que qualquer entropia existente no interior do buraco negro não pode ser contabilizada por um observador externo. Estamos assim perante uma violação da Segunda Lei da Termodinâmica. Para tornear este problema foi então sugerido que a área do horizonte de acontecimentos do buraco negro era uma medida da sua entropia. Assim, quando um buraco negro absorve matéria, a sua área, ou seja a sua entropia, aumenta. A soma da entropia da matéria exterior com a entropia do buraco negro é sempre crescente no tempo. O Teorema da área pode assim ser visto como uma Segunda Lei da Termodinâmica para Buracos Negros.

A Primeira Lei da Termodinâmica, que traduz a conservação da energia de um sistema que troca energia com a sua vizinhança na forma de calor ou trabalho, pode escrever-se como (e.g. Holman 1988):

dW dQ

dU= +

onde U representa a energia interna do sistema (que depende apenas do estado do mesmo), Q representa o calor transferido entre o sistema e a sua vizinhança e W o trabalho realizado pelo sistema sobre a sua vizinhança. É possível escrever uma expressão equivalente para buracos negros.

A área total da superfície do horizonte de acontecimentos de um buraco negro de Kerr-Newmann é dada por (e.g Davies 1978):

» » ¼ º « « ¬ ª − − + − = ₂ 2 2 2 2 2 2 m a m İ 1 m 2 İ m 2 ʌ 4 A (1.32)

com ε2

<m2 e a2<m2. Resolvendo esta equação em ordem a m vem:

2 4 2 2 2 a ʌ 64 A 16 ʌ İ ʌ 16 İ A ʌ 8 A m − + + =

Se interpretarmos m como a energia interna do buraco negro então a Primeira Lei da Termodinâmica para Buracos Negros será dada pelo diferencial total de m que escreveremos na forma (Davies 1978):

İ d W da W dA ʌ 8 ț dm= + _L + _İ (1.33)

onde κ/(8π)≡∂m/∂A, WL≡∂m/∂a e Wε≡∂m/∂ε. Os termos WLda e Wεdε correspondem,

respectivamente, ao trabalho efectuado na alteração do momento angular e da carga eléctrica do buraco negro. Se A desempenha o papel da entropia então κ desempenha o papel da temperatura (dQ∝TdS; Segunda Lei da Termodinâmica).

A Lei Zero da Termodinâmica afirma que "num sistema em equilíbrio termodinâmico as diferentes partes são caracterizadas por uma temperatura comum" (e.g. Holman 1988). É possível mostrar que o parâmetro de temperatura κ, também designado por gravidade superficial, é constante ao longo de toda a superfície do horizonte de acontecimentos. Este resultado traduz a Lei Zero da Termodinâmica para Buracos Negros (e.g. Davies 1978).

A Terceira Lei da Termodinâmica afirma que "a entropia de qualquer substância pura tende para zero à medida que a respectiva temperatura absoluta se aproxima do zero" (e.g. Holman 1988). A gravidade superficial, κ, tende para zero quando é satisfeita a igualdade na relação (1.31). Embora a entropia do buraco negro tenda para um valor finito, diferente de zero, podemos tomar:

2 2 2 _{İ m}

a + =

como sendo a expressão para a Terceira Lei da Termodinâmica de buracos negros (e.g. Davies 1978).

1.3 Formação

1.3.1 Buracos negros estelares

O destino final de uma estrela depende da respectiva massa inicial. Uma estrela com uma massa inicial de 0.8-8M acabará como uma anã branca de massa 0.5-1.4M . Se a massa inicial da estrela for 8-60M então o produto final será provavelmente uma estrela de neutrões de ≈1.4M . Se a massa inicial da estrela se situar entre as 60-90M então o produto final será um buraco negro de massa superior a 1.4M . Estrelas cuja massa inicial seja superior a 90M são estruturalmente instáveis sabendo-se pouco acerca da respectiva evolução. É provável que também se formem buracos negros (e não estrelas de neutrões) a partir de estrelas com massas iniciais de 40-60M . Esses buracos negros teriam massas muitos próximas de 1.4M (e.g. Unsöld & Baschek 2002; Padmanabhan 2001; Binney & Merrifield 1998).

Na Figura 1.8 está representada a massa dos restos estelares em função da massa estelar inicial. Os valores apresentados têm um caracter meramente indicativo uma vez que os mesmos não são conhecidos com exactidão.

Existe um limite superior para a massa de uma estrela de neutrões. O valor desse limite não é bem conhecido. Unsöld & Baschek (2002) falam em 1.8M mas, por exemplo, Padmanabhan (2001) considera 3-5M . De qualquer forma restos estelares cuja massa seja superior ao permitido para uma estrela de neutrões representam configurações de matéria para as quais não existe um estado de equilíbrio. Nesses casos ocorre o colapso gravitacional da estrela (e.g. Padmanabhan 2001; Demianski 1985; Hawking & Ellis 1973)

Para um observador distante o raio da estrela diminui progressivamente aproximando-se do respectivo raio de Schwarzschild (Secção 1.2.1). Esse ponto será atingido apenas assimptoticamente, ou seja, ao fim de um intervalo de tempo infinito. No entanto a radiação electromagnética emitida pela estrela sofre um desvio para o vermelho (Secção 1.2.3) cada vez mais intenso, acabando o respectivo comprimento de onda por ser indetectável. A estrela torna-se então invisível para o observador distante.

Figura 1.8 - Massa dos restos estelares (Mf) e respectiva natureza em função da massa estelar inicial (Mi)

Do ponto de vista de um observador local, solidário com a superfície da estrela, tudo se passa de uma forma diferente. Para este o raio de Schwarzschild não só é atingido num tempo finito, como o processo de contracção continua a partir desse ponto. A estrela tende para um volume nulo, ou seja, para uma densidade infinita.

No processo libertam-se enormes quantidades de energia que, a exemplo do que acontece numa supernova, são transferidas para o envelope da estrela podendo fazer com que este seja violentamente expulso. Se for esse o caso, o observador distante registará uma explosão catastrófica que não saberá distinguir de outras não relacionadas com a formação de buracos negros (e.g. Demianski 1985).

Podemos ter também outros cenários para a formação de buracos negros de massa estelar. Por exemplo, uma estrela de neutrões, pertencente a um sistema binário, pode, ao acretar matéria da sua companheira, atingir uma massa acima do nível permitido. Se isso acontecer então ocorre o colapso da estrela dando origem a um buraco negro (e.g. Luminet 1998).

1.3.2 Buracos negros primordiais

É possível que no Universo Primordial, nos instantes seguintes ao Big Bang, tenham estado reunidas as condições para que se formassem buracos negros de pequena massa (Hawking 1971).