MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS ENGENHARIA E TECNOLOGIA ESPACIAIS

MECÂNICA ESPACIAL E CONTROLE – MESTRADO

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Seminário de Dinâmica Orbital I – CMC-203-0 Prof. Dr. Mário César Ricci

André Guilherme da Silva Tavares Registro: 82120

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Programação: • Motivação • Teoria associada •Exemplo unidimensional • Vantagens e desvantagens •Convergência • Demonstração prática • Referências

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Motivação

O Método dos Elementos Finitos (MEF) surgiu na área da indústria aeroespacial no começo da década de 50 como uma poderosa ferramenta numérica para a solução de problemas matemáticos da Engenharia e da Física.

Ele possibilita a solução de Equações Diferenciais (ou sistemas de Equações

Diferenciais) e sua abrangência é bastante ampla, cobrindo desde a análise de vibração simples de uma estrutura até os geradores nucleares, passando por diversas áreas, como a mecânica dos fluidos, dentre diversas outras. E não está limitado a estes exemplos, há inúmeras outras

aplicações para este método.

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Método dos elementos finitos

Teoria associada

O conceito mais fundamental do MEF é que “toda função contínua, seja ela de

temperatura, pressão ou deslocamento, pode ser aproximada por um modelo composto de um conjunto de funções contínuas (dentro de um certo intervalo) definidas sobre um número finitos de subdomínios”[1].

A situação mais comum é quando desconhecemos o valor da função contínua e queremos saber o quanto ela vale em certos pontos dentro de uma determinada região.

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Método dos elementos finitos

Teoria associada (continuação)

1) Um número finito de pontos é identificado no domínio. Estes pontos são chamados Pontos Nodais ou Nós.

2) O valor da função em cada nó é definido como uma variável a ser determinada.

3) O domínio é dividido em subdomínios, chamados "elementos ". Estes elementos estão conectados pelos nós comuns e juntos aproximam a forma do domínio.

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Método dos elementos finitos

O exemplo unidimensional mais simples desta construção é relacionado à

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Método dos elementos finitos

A construção do modelo discreto segue as etapas mencionadas anteriormente.

1) 5 pontos ao longo do eixo x são identificados e nomeados (a). Estes pontos são os nós, que não precisam necessariamente serem eqüidistantes.

Mais que 5 pontos poderiam ser identificados, mas neste exemplo, 5 pontos são o suficiente para demonstrar os conceitos.

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Método dos elementos finitos

Os polinômios dos elementos são definidos usando as variáveis T(x) de cada nó. Se subdividirmos o domínio em quatro elementos, haverá dois nós por linha.

4) A aproximação final de T(x) irá consistir de 4 funções lineares contínuas no intervalo entre os seus nós. Cada função é definida sobre um único elemento.

Notamos que a divisão do domínio em dois elementos faz com que as funções associadas aos elementos sejam de ordem quadrática (figura anterior). Tais funções constituem uma

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Método dos elementos finitos

Os valores nodais de T(x) devem então ser ajustados a providenciar a melhor aproximação da distribuição da temperatura ao longo da barra.

Este ajuste é feito por meio da minimização de alguma quantidade associada ao problema físico em questão.

A minimização produz um conjunto de equações algébricas lineares que podem ser solucionadas para os valores nodais de T(x) (que são as variáveis do problema).

O conceito básico do MEF é também aplicável a domínios bidimensionais e tridimensionais.

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Método dos elementos finitos

As funções dos elementos passam a ser planos ou superfícies curvas (figuras abaixo).

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Método dos elementos finitos

Um número excessivo de nós sendo utilizados também permite que os elementos tenham fronteiras curvas.

A aproximação final da função contínua bidimensional Φ (x,y) é um conjunto de superfícies contínuas dentro dos seus intervalos. Cada qual definida dentro de um elemento utilizando os valores de Φ (x,y) nos pontos nodais.

A habilidade de separar um elemento típico de um conjunto de elementos para o propósito de definir a função do elemento é um aspecto importante no MEF.

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Teoria associada (continuação) Discretização de um domínio

A discretização do domínio não tem uma regra teórica, depende do “feeling” de quem está solucionando o problema. A má escolha dos pontos nodais irá produzir resultados

incertos, uma vez que as etapas seguintes do processo dependem desta primeira.

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Teoria associada (continuação) Regras gerais para a discretização de um domínio contínuo 1) Tipos de elementos finitos

Elementos unidimensionais

O caso mais simples possui dois pontos nodais (a), um em cada extremidade do elemento.

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Teoria associada (continuação) Elementos bidimensionais

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Teoria associada (continuação) Elementos tridimensionais

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Teoria associada (continuação) A divisão do domínio em elementos

A divisão do domínio deve ter início com a divisão do meio contínuo em regiões, que serão depois divididas em elementos.

As subdivisões em regiões devem acontecer onde houver mudança na geometria, nas propriedades físicas do meio ou ambos os casos.

Após a divisão em regiões, acontece a divisão de cada região em elementos. Para o caso de uma região triangular, haverá (n-1)² elementos nesta região, sendo n o número de nós

identificados na lateral da região.

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Teoria associada (continuação) Nomeando os pontos nodais

A nomenclatura não pode ser feita sem uma prévia análise, pois o esforço computacional depende da numeração dos nós.

O conjunto de equações lineares obtido com a utilização do MEF tem um grande número de coeficientes nulos. Quando as equações estão na forma matricial, vê-se que alguns destes

e também alguns não nulos ficam entre uma faixa limitada por duas linhas paralelas à diagonal principal.

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É interessante, com relação à redução do esforço computacional, que esta faixa seja o mais estreita possível.

A faixa, B, é calculada usando:

B = (R+1) NDOF

onde, R é a maior diferença entre os números dos nós em um mesmo elemento da malha e NDOF é o número de graus de liberdade desconhecidos de cada nó. A minimização de B

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Teoria associada (continuação) Interpolação polinomial linear

Como visto na definição do conceito fundamental do MEF, a solução é aproximada por um conjunto de funções.

A forma mais comum destas funções são polinômios. A ordem destes polinômios depende do número de itens conhecidos sobre a função objetivo em cada ponto nodal de cada elemento.

Os elementos finitos são classificados em três grupos, de acordo com a ordem do polinômio associado a ele. Estes grupos são: “Simplex, Complex e Multiplex”.

Os elementos Simplex têm uma aproximação polinomial que consiste de um termo

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Teoria associada (continuação) O polinômio

Φ = α₁ + α₂x + α₃y

é a função Simplex de um elemento triangular bidimensional, uma vez que o polinômio é linear em x e y e contém três coeficientes, já que o triângulo possui três nós.

Os elementos Complex utilizam funções polinomiais compostas por um termo

constante e por termos lineares, além dos termos de segunda, terceira e quantas ordens mais forem necessárias.

Os elementos Complex têm a mesma forma que os elementos Simplex. No entanto, possuem pontos nodais adicionais nas fronteiras e podem também ter nós internos.

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O polinômio interpolador para elementos Complex bidimensionais triangulares tem a forma:

Φ = α₁ + α₂x + α₃y + α₄x² + α₅xy + α₆y²

esta equação tem seis coeficientes; então o elemento deve ter seis pontos nós. Isto também é percebido pela presença de termos de segunda ordem. (segunda ordem implica o dobro de nós; terceira ordem implica o triplo, etc).

Os elementos Multiplex também usam polinômios contendo termos de ordem superior, mas as fronteiras do elemento devem ser paralelas aos eixos de coordenadas para executar a

condição de continuidade entre os elementos. As fronteiras dos elementos Simplex e Complex não estão sujeitas à esta restrição.

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Teoria associada (continuação) Elementos Simplex unidimensionais

Os elementos Simplex unidimensionais são segmentos de reta com comprimento L e dois pontos nodais, um em cada extremidade. Os nós são referenciados por i e j e os valores nodais por Φi e Φj.

A origem do sistema de coordenadas é fora do elemento. A função polinomial para uma quantidade escalar Φ é:

Φ = α₁ + α₂x

Os coeficientes α₁ e α₂ podem ser determinados utilizando as condições nodais: Φ = Φ_i quando x = X_i e também Φ = Φ_j quando x = X_j

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Estas duas condições nodais resultam no par de equações

Φ_i = α₁ + α₂X_i Φ_j = α₁ + α₂X_j

que pode ser solucionado por: α₁ = Φ_iX_j – Φ_jX_i

L α₂ = Φ_j – Φ_i

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Substituindo os valores de α₁ e α₂ na equação original, temos

que pode ser rearranjado em:

As funções lineares de x acima são chamadas de funções interpoladoras. Estas funções são indicadas por aí como N, com um índice associado ao nó ao qual elas pertencem.

No caso acima, as funções interpoladoras são:

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A equação final, contendo as funções interpoladoras, pode ser escrita na forma matricial: Φ = N_iΦ_i + N_jΦ_j = [N] {Φ}

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Exemplo unidimensional

Exemplo: Um elemento Simplex unidimensional foi usado para aproximar a distribuição de temperatura em uma barra. A solução indica que a temperatura nos nós _i e _j são 120º e 90º,

respectivamente. Determine a temperatura a um ponto 4cm distante da origem e o gradiente de temperatura dentro do elemento. Os nós _i e _j estão localizados a 1.5cm e 6cm da origem.

A temperatura T é dada por:

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Exemplo unidimensional (continuação)

O gradiente de temperatura é obtido por: dT = -1 T_i + 1 T_j = 1 (T_j – T_i)

dx L L L

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Convergência

O MEF irá convergir na direção da solução correta à medida em que o tamanho dos elementos forem diminuindo, de modo que os valores das funções polinomiais gerem um valor constante ao longo dos elementos quando os valores nodais forem numericamente constantes.

A existência de um valor constante também implica no desaparecimento do

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Vantagens e desvantagens

O MEF tem sido amplamente utilizado em todos os problemas físicos que são

governados por equações diferenciais. Diversas vantagens apresentadas na utilização deste método têm contribuído com o aumento da sua utilização.

Algumas das principais vantagens são:

• As propriedades dos materiais não precisam ser necessariamente as mesmas em elementos adjacentes, o que possibilita a utilização de corpos compostos por diversos materiais.

• Fronteiras irregulares podem ser aproximadas usando elementos com lados estreitos ou representadas com exatidão utilizando elementos com fronteiras curvas.

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Vantagens e desvantagens (continuação)

A principal desvantagem da utilização do MEF é relacionada à necessidade de programas de computador e facilidades computacionais.

Além da necessidade de um computador, o método necessita de uma grande quantidade de memória para a solução de grandes problemas complicados.

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Implementação prática

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Referências

• [1] SEGERLIND; Larry. J., “Applied Finite Element Analysis” – John Wiley & Sons, New York, 1976. ISBN: 0-471-77440-5

• [2] RIBEIRO; Fernando L. B., “Introdução ao método dos elementos finitos” COPPE/UFRJ – Notas de aulas do Programa de Engenharia Civil, 2003.

• [3] PILCHOWSKI; Hans-Ulrich, “Estudo da solução numérica de alguns problemas de difusão, usando o método de elementos finitos” – INPE-3003-TDL/154, Tese de doutorado em Ciência Espacial, 1984.

• [4] AZEVEDO; Álvaro F. M., “Método dos elementos finitos” – Faculdade de Engenharia da Universidade de Porto – Portugual, 1ª edição, 2003.