Alguns casos integráveis em cinética de carga espacial

)

GUILHERME FONTES LEAL FERREIRA

ALGUNS

CASOS

lNTEGRÁ VElS

em

Cinética

de

carga

espacial

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

! I

t

TE S E A PBIESEN T.4I.D A A O IN §TITU TO D E FíSICA E «tlJíM ICA D E SÃ O CA Rlf,O fiô, W JSP, PA BA A O BTEN ÇÃ O D O TÍTU LO D E LIV BE D O CEN TE.

I r ,,:-',$ _ U Sp _zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

.A

U N [V E R S ID A D E D E são P A U L O

INSTITUTO DE FISICA E QUIMICA

DEPARTAMENTO DE FíSICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS

SÃO CARLOS

;xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e•

.~ .

fNDICEzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Introdução

.

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. . .

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..

. ..

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. . . ....

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. .

Métodos de Solução

... . .. .

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.. . ..

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. .. ..

19 Caso

· .. . . ...

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. . ..

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. . . . .

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....

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. ..

29 Caso

·

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. . .

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... .

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..

..

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.. .

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...

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39 Caso

·..

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.. .

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..

..

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.

. .... .

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....

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Referências

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....

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. . . ...

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Figuras

·. .

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..

..

.

página

1

2

7

12

22

40

AGRADECIMENTOSonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f com o máximo prazer que, nesta oportunidade,

ex-pressamos nossos agradecimentos:

ao Prof. Bernhard Gross, com quem nos iniciamos

nes-se campo e a quem devemos, como profundo

conhece-dor do assunto que é, a orientação para as linhas

de pesquisa ainda em aberto;

ao sr. Luíz Nunes de Oliveira, pelos cálculos

reali-zados e pelo diálogo sempre inteligente e sugesti

vo;

aos colegas Milton Ferreira de Souza, Sylvio Goulart

Rosa Jr. e ao Prof. Sérgio Mascarenhas pelo

estí-mulo recebido;

a todo o pessoal do Departamento de Física e Ciência

dos Materiais pelo ambiente amistoso que nele faz

prevalecer;xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ã

D. Maria Laura Campos de Ulhoa Cintra pelo cuidado

e dedicação na preparação desta tese;

e aos srs. Carlos Alberto De Simone e Paulo Roberto

INTRODUÇÃO

Este trabalho apresenta a soluçio de alguns

pro-blemas em que, inicialmente, cargas positivas e

negati-vas estao presentes. Elas, quando móveis,sio

conside-radas livres, com o que queremos dizer que nio interagem

com sistemas de traps, que sio, entio, completamente

ig-norados.

Apesar de todas estas simplificações,o sistema de

equações diferenciais parciais nio linear, a partir do

qual deve ser procurada a soluçio, é suficientemente com

plicado, a ponto dé se necessitar de condições iniciais

e de contorno favoráveis. Entre as primeiras, conta-se

considerar-se distribuições de carga uniformes e, na

se-gunda, a condiçio de curto circuito, muito apropriada p~

ra o método de soluçio que empregaremos.

Estudaremos o desenvolvimento temporal a partir

das seguintes situações iniciais:

1. cargas positivas e negativas ocupam, cada,

metade do espaço entre as placas de um

con-densador plano.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAAs negativas sao

-

fixas e nio há recombinaçio;

2. situaçio geométrica igual a anterior. As car

gas negativas sio também móveis, mas a

cons-tante de recombinaçio entre as cargas de

si-nal oposto tem um valor particular, dado.

3. Cargas positivas e negativas estio

(Alguns ca80S integrãveis ••• )

elas.

Esboçamos também a solução quandoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa separaçao

-

se dá continuamente no tempo.

MfTODO DE SOLuçio

tes:

ondexwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-

-As equaçoes que temos de resolver sao as seguin

-ai

(x,t) •

ax

& - permissividade dielétrica

E - campo elétrico

p+ -d"ensidade de carga positiva

p- -densidade de carga negativa

i+ -densidade de corrente de condução das cargas

positivas

i -densidade de corrente de conduçã~ das cargas

negativas

~+ -mobilidade, constante, das cargas positivas

~_ -mobilidade, constante, das cargas negativas

k - constaate de recombin,ção entre cargas

posi-tivas e negativas

-2-( 1 )

(2)

(3)

(4)

(Alguns casos integrãveisõ ••)

-3-x,t - variáveis, respectivamente espaciais e

tempo-rais.

A Eq.(l)xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé a equação de Poisson. &s Eqs. (2) e (3)

são a equação de continuidade para as cargas positivas

e negativas; o termo kp+p_ exprime recombinação, embora

formas mais gerais existam para ela. As Eqs. (4) e (5)

definem a densidade de corrente de condução, com o

auxí-lio das mobilidades.

A densidade de corrente total

j,

J• •onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi + i

+ + E

3E

at

(6)

só

é

função do tempo, como imediatamente se verifica, a

partir das Eqs. (1), (2) e (3).

As velocidades das cargas, em qualquer instante,

-sao dadas por

dx+

E

• lI+ dt

e

dx

-

_{• -lI_ E}

dt

(7)

(8)

onde os índices + e - indicam tratar-se de cargas positi

vas e negativas.

-Vamos tomar as Eqs.(7) e (8) como equaçoes de

mo-vimento das cargas. As respectivas acelerações serão da

das por

[aE

• li

-+ ax

dx+ + aE]

(Alguns casos integráveis ••• )

-4-

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

li+xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(9)

.

-- . - li

d .

- E(x (t) ,t)

dt

-dx

- +

dt

! ! ]

3t

.

-

( 1 0 )

onde se U S 8 U o sistema de Eqs.(I)-(5) e a Eq.(6). Dessas

equações se vê que a condição de circuito aberto (j-O),

simplifica de início a solução de um problema.

As trajetirias obti.as daintegração das Eqs. (7)

e (8) serão chamadas linhas de corrente.

A variação da densidade de carga ao longo de uma

linha de corrente, também pode ser achada com o auxílio

do sistema (1)-(5):

--

-

--dx+ +

dt

-

-(11) dt

3p..;. dx

dt 3x -dt + 3t -- e

--

-Em casos em que há um excesso de cargas si de um

sinal, por exemplo, as positivas, e as de sinal oposto

são im~veis (p_ - O)~ as equações acima dão, para o movi

manto das cargas positivas:

(Alguns casos integráveis ••• )

-5-dtonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

( 1 1 ')xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

--

.

e

c.."'<)

Em circuito abertq j-O. e a primeira equaçao

po-de ser diretamente integrada. dando

onde x dá a posição inicial da linha de corrente em t-O.

o

Por outro lado. (11') também pode ser integrada

direta-mente. dando

p(x )

o

1I+

1 + p(x)t

t o

-Essas duas equaçoes resolvem completamente o

pro-~lema de se determinar a função densidade de carga. em

qualquer tempo, embora a obtenção da função p(x,t) seja,

cientemente complicada.

impossível, se p(x ,O) é

o

Com outras condições de

sufi-em geral. praticamente

contor

no, por exemplo, voltagem como dada função do tempo

(u-sualmente constante), ao nosso conhecimento, só existe

.solução publicada para o caso em que distribuição de car

ga não toca os eletródios(l); é que, nestas condições,~

inda é possível obter-se j por integrações convenientes,

e, então, por procedimento análogo ao usado em circuito

aberto, obter-se a posição das linhas de corrente no

de-correr do tempo. Entretanto, conseguimos já obter a s~

lução geral, quando uma das extremidades da distribuição

encosta em um dos eletródios. Este trabalho está sendo

(Alguns casos integrãveis ••• )

-6-de Almeida.

Em circuito abertoxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé de muita utilidade o uso do

teorema de Lindmayer(2onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1,(3), que obteremos a partir de

um resultado mais geral, conforme dedução elaborada pelo

sr. Lufz Nunes de Oliveira.

Seja x (t) o ponto na distribuição para o qual o

o

campo tem um valor constante E (não necessariamente ze

o

ro). Então, a variação temporal do campo, ao longo de

x (t) se anula:

o

dt

d E(x (t),t) _ aE

o

dx

--2. + aE _ O

dt ât

ax

Mas, pela Eq.(6),

1

-

-at E:

Levando este resultado na relação anterior,

usan-do-se a equação de Poisson e as definições de i+ e i_ ,

Eqs. (4) e (5), vem

dx

o

dt

Se na distribuição éxiste,inicialmente, um ponto

de campo nulo, então o seu movimento .atará ligado ao va

lor da corrente total atraves da relação

dx

(Alguns casos integrãveis ••• )

-7-Este é o teorema de Lindmayer.

Note-se que, nesta dedução, nada se afirmou ares

peito da condição de contorno elétrica.

vê-se que, em circuito aberto, um ponto de campo

nulo permanece estacionário.

Ao método acima descrito, (Eqs. 7-11), chamaremos

de método das caracterIsticas, como é conhecido no

estu-do das equações diferenciais. Em problemas de carga e~

pacial, ele foi usado, pela primeira vez, por Many-Rak~

vj(4) , no estudo dotransiente de estabelecimento do

re-gime SCLC.

19 CASO

A Fig.1A mostra a situação inicial. As cargas p~

sitivas são móveis, as negativas, fixas.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO campo

..

e

mos-trado na Fig.1B onde assumiu-se que ele é zero junto aos

eletródios.

Tem-se, entao, chamando-ee os intervalos 0<x<d/2

e d/2<x<d, respectivamente, de Região 1 e Região II,a se

guinte distribuição de cargas

carga positiva: Po'_{xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

{ O ,

.-reg1ao 1

região 11

carga negativa: O, região 1

{

-Po' região 11

-Como as cargas negativas sao fixas, precisamos so

mente das equações das linhas de corrente das cargas

po-sitivas. Elas dão, (Figs.9 e 11), assumindo-se ,k-O, e

(Alguns casos integrãveis ••• )

-8-correspondentes a cada região:

Região I

2 -onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d x+

- ° ,

dp+ 11+ _{2xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

(13 )

-

-

p+

dt e

Região 11

d2 ••_{x+ 11+ dx+}

--

-

_Po (14)

dt2

&

dt

-dp+ 11+

--

(15)

-

-

(p+

-

po)P+

dt e

Na região I, a densidade de carga permanece

uni-forme no espaço. mas decresce no tempo, de acordo com a

relação

p+(t)

-1 +

11+

-

&

(16)

que ê a integral da Eq.(l3). A densidade

é

uniforme no

espaço, pois qualquer linha de corrente, independenteme~

te de sua posição. tem a densidade no tempo t, dada pela

Eq.(l6).

Portanto, sabemos a densidade de carga em

qual-quer tempo, t ,em d/2; sabemos também o campo elétri

o

co, pois o campo em x-O, sendo zero em t-O, permanece as

(Alguns casos integráveis ••• )xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9

-EonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

( ! ,

t ) •

2 o

d

2e

.

,

o

conhecimento da posição (d/2) e da velocidade num dado

instante (to) • suficiente para se caracterizar uma

li-nha de corrente, cuja equação diferencial é de segunda

ordem no tempo. Prosseguimos, integrando as equaçoes

das traj etórias.

A integração da Eq.(l4) dá, diretamente,

• • lJ+Po

dx+ dx+

(d

--(t-t )

t ) e o

--

.

,

e

dt dt 2 o

com

dx+

( !,

t ) • lJ+Pod

dt 2 o _lJ+

2e (1 + - _Po t )

e o

Uma segunda integração dá

d

• - +

2

d ₍₁₇₎

onde se usou o fato de todas as linhas de corrente, como

aqui caracterizadas, terem como ponto de partida o ponto

d/2.

Obtem-se a densidade de carga por integração dir~

ta da Eq.(lS). Tendo-se em conta que, em t ,a densida

o

(Alguns casos integrãveis ••• ) -10-onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

,

obtem-se

-p+(t) -

(18)

(t-t )xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

As Eqs.

(17)

e

(18)

resolvem o problema. Embora

não seja possível eliminar-se t dessas duas relações,

o

-

--para se obter p+ como funçao de x+ e t, pode-se,

entre-tanto, atribuindo-se,para cada t, valores a t tais que

o

-

=

..

to~t, obter-se, speradamente, p+ e x+ ' o que e igualme~

te satisfatório.

Notemos que a linha de frente, isto

é,

a linha de

corrente emitida em t - 0, tem como trajetória (da Eq.

o

(17»

- d

x+_f - d - - e

2

(18a)

.

'.

.

..•

o que 1nd1ca que x+_f - d, so para t+- • Portanto, nao

-há perda de carga pelo eletródio em x-d e a neutraliza

--

-çao e total.

A

diferença de potencial V(t) entre os eletródios

como função do tempo, pode ser obtida da seguinte

manei-ra:

Integrando-se em x a expressao

-

da corrente total,Eq.(6),

(Alguns casos integrãveis ••• )onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 1

-Região I:

d/2

+ E IxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

as dx at

(19)

Região 1 1 :

d d

E~(d ,t) +

P

I EdxJ+E I aE dx

2 o d/2 d/2 at

(20)

Tendo em conta que

d d/2

I Edx - V - I

d/2 o

e, somando-se as relações (19) e (20), obtem-se a seguinte

equação diferencial:

8&

dV dt

- O.

d2

Po

Com a condição inicial, V(O)- , a integração

4

-desta equaçao permite escrever:

V(t)

-2

p d

o

_[I

p+p_ot/E

o

x

•

l+x

dx + 2] (21)

e

Resultados:

As Figs. 2 e

a,

conseguidas pelo sr.Luíz Nunes de

OlivRira, usando a calculadora Hewlett-Packard 9100,

(Alguns casos integraveis •••)

-12-Na Fig.3, mostra-se p+/po como função de x/d,

.para diferentes valores de ~ p t/e. V~-se que, para temonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo

-pos pequenos, a densidade de carga. positivas na região

11, p+/po é quse linear, mas começa a se distorcer

pa-ra ~+pot/e da ordem de 2,5. Para tempos grandes, p+/po'

tende para a função degrau, como era de se esperar.

A fig.4 mostra eV

2

p d

o

por integração da Eq.(21).

_ ~+Pot .

como funçao de , obt14a

e

o

decaimento inicial é quase

exponencia1, mas, para grandes valores do tempo,

torna-se proporcional a t-1, devido ã contribuição da integral.

29 CASO

A situação inicial é a mesma que no 19 caso.

En-tretanto, assumiremos que ambas as cargas tem mobilidade.

Nesta generalidade, o sistema Eqs.(9)-(l2) é ainda muito

difícil de se resolver, visto que as integrações das Eqs.

(9) e (10) requerem o conhecimento das densidades de car

ga de sinal oposto, em cada ponto da linha de corrente,

o que não ê fornecido pelas Eqs.(ll)-(12) - as quais, di

ga-se de passagem, apresentam a mesma dificuldade, ou se

ja, a dependência com a densidade de carga de sinal opo~

to - pois se referem a uma dada linha de corrente. Obser

va-se, porem, que, se a constante de recombinação

adqui-re um valor particular, por exemplo k-~

tE,

a Eq.(ll) po

+

-de ser diretamente integrada, o que permitira

integrar-se todo o sistema Eqs.(9)-(l2).

Então, pondo-se k-~+/e, a integração da Eq.(ll)

(Alguns casos integrâveis ••• ) -13-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

P (t) -onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+ (22)

Concluimos daí que a densidade de carga positiva

é uniforme no espaço. Para delimita-la, é suficiente co

nhecer-se a posição da frente de carga espacial, isto e,

das cargas que, em t-O, estando em x-d/2, avançam para a

região 11. A equação diferencial para a frente, x+

f' e

P (23 )

Como a frente vai encontrando sempre regiões de

carga negativa, que estiveram, ate então, livres de

car-gas positivas, podemos afirmar que

(24 )

Quer dizer, a densidade de carga negativa, para x>x+ f ' e

uniforme nó espaço e satisfaz a Eq.(24). Isto decorre da

Eq.(l2) com p -O.

+ Com este resultado, a Eq. (24) pode

ser ~ntegrada, conduzindo a:

lJ +lJ

+

-lJ P t -( lJ )

- o

-& ) (25)

( 1 +

dX+_f

onde se usou a condição inicial _•

dt 2&

(Alguns casos integrâveis ••• )

-14-(26)

Já nesse ponto podemos calcular a quantidade total

de carga que foi recombinada, Q , ate o tempo t.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

r Para

isso e suficiente subtrair da carga total positiva

ini-Pod

(-r- ),

a carga positiva presente em t (p+(t)x+ f), cial

desde que, pelo teorema de Lindmayer, não haverá perda

de carga pelo eletrodio em x-O. Tem-se, assim:

lJ

Po d Po _d u _P o t lJ+

Qr

-

_{xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

--

-

{I + }

2 t 2 E :

I + lJ+Po

E :

-

--

Pod

_{[1 -}

_____ ...;:;.1 ] > o u

lJ_Pot lJ+

+ )

E :

( 1 +

lJ P t

+ o ) ( 1

E :

2

Podemos tambem verificar se o valor do campo que

se obtem da Eq.(25), para o ponto X+

f e igual ao que se

deduz diretamente do fato de que, para x>x+_f ' a distri

buição é uniforme. Como, pelo teorema de Lindmayer, o

campo em d permanece nulo, tem-se:

,

E(x+f ,t)

-que da, usando-se a relação (26):

P d

_o

[1 + (27)

(Alguns casos integrãveis •••)

-15-Por outro lado, da Eq.(25) tira-se, imediatamente

PxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA_od

E(x+f ,t)

-2&onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

II P t

[1

+

_-_0_ ]

₍₂₈₎

vê-se que as Eqs.(27) e (28) coincidem.

Vamos agora estudar o movimento das cargas negat~

vas que jã se misturaram com cargas positivas. Caracter~

zando as linhas de corrente das cargas negativas pelo

tempo t em que a mistura se inicia, pode-se integrar a

e

Eq.(lO), usando-se para p+ o valor dado pela Eq.(22). P~

ra condição inicial, isto

é,

a velocidade em t-t

,usa-e

ll_

se a Eq.(2S), multiplicando-a por - -- , desde que as ve

ll+

-locidades são proporcionais ao campo, que é o mesmo, ta~

to para as cargas positivas como para as negativas.

Tem-se, com isto, a integral para a Eq.(lO):

1

dx d ( 1

ll+

p t )ll+ (ll+ll)

ll_Po + -- +

-[ e o e ]

-

-dt 2& 1.I_ 1

( 1 + -- P t )ll= e o e

(29)

Integrando novamente a Eq.(29), com a condição

i-nicial x (t ) obtida da Eq.(26), pois x+f(t )-x (t ) ,por

- e e - e

construção, chega-se a:

x (t,t ) _ d _ d

- e

2

&

d

-

(Alguns casos integTiveis ••• )

-16-11+onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1

(11++11_)

( 1 + - Pote)\i'7xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x[

E :

]

1

li

-P t )11_

(1 +

-E : o e

(30)

A fTente de caTga negativa esti, no tempo t, em

X _

f dado pOT:

-

-'--( 31)

Resta-nos deteTminaT a densidade de caTga negativa

ao longo de suas linhas de COTTente. Usamos, entao, a

Eq.(12), com P+ dado pOT

(22).

Então:

dp.., l1_P_

2

11_ _{P oP-} 11+

•

-

+ (

-

k )

,

k •

dt E : E : _{l1+Po t} E :

1 +

E :

«

uma equação difeTencial de Riccati, de fácil in

-tegTaçao:

li

l1+Pot li

-

1

(1 + ) +

P _ (t) • p E : (32)

li. o

l1+P_ot

-(1+ )11+ + C

E :

onde C

é

uma constante a seT deteTminada pela condição i

(Alguns casos integrãveis •••) -17-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

P_- (t_e) •

Determinando-se C e, introduzindo na relação (32),

chega-se a:

P (t,t ) - p

- e oonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( 1 +

lJ-lJ+Pot· lJ+

- - )

e

P t lJ+ ~ -1

~(l + -- P t )lJ+

o e

E e

(33)

Em geral, não é possível eliminar-se t das Eqs.

e

(30) • (33), de maneira a se obter explicitamente uma re

lação entre a densidade de carga negativa, o espaço e o

tempo. Porém, não há dificuldade em se conseguir um gr~

fico das densidades de carga em qualquer tempo. Para is

so, as Eqs. (22),(26),(30),(31) e (33) são necessárias.

Tem-se assim que, no tempo t, as densidades de car

gas são dadas por:

Região I

u

d lJ+Pot) lJ+

O<x<- (1 +

2 e

p •

+

E

(Alguns casos ~ntegrâveis ••• )

-18-RegiãoxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA11

lJ_

lJ+

d lJ+Po t

lJ+

d lJ_P o t lJ

(1 +onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA) <Jt<d

-

[1 + ]

2 e:: 2 e

Po P+ • lJ+Po t 1+ e lJ

-

1

lJ+Po t lJ+

(1 + )

• P e

P- _{o lJ_ lJ}

-

1

lJ+P o t lJ+ Pote lJ+ lJ+

(1+ ) + (lJ -lJ )--(1+ -P t )

- + o e

e c e::

u

lJ+ 1+

-.!..-lJ+ lJ+

lJ_ lJ (1+ _"",€Pote)

d ₊

_!

x • d- [1+ -P

o t

1

-

_{2 e::} e ₂ lJ+

1+

lJ_ lJ

(1+ -P t )

o e

e::

lJ_ lJ

lJ+Po t lJ+ lJ+ lJ+

x [(1 .+ )

-

(1 + _Pote)

_J

e e

com O~t $ t

e

Região 111

lJ+

d lJ-Po t lJ_

d

-

[1 + ] <x<d

2 e

P+ • O

P- _• Po

lJ 1 +

-

_Po t

(Alguns casos integráveis ••• )xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 9

-Notemos que, seonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA~ + é igual a zero, esta solução de

verá recair, a menos de trocas geométricas, naquela

estu-dada no 19 caso. Não procuraremos fazer isto em detalhe

-mas somente em uma expressao. Por exemplo, o limite

su-perior da região

I,

será:

d x

-2

ou

~_po t

d E

X - e

2

Contada a partir do eletrôdio em d, a posição da

frente negativa será:

d _ d

2

e E

-...

-expressao que podera ser comparada com x+

f ' dada em (18a).

Para se calcular a diferença de potencial Ventre

os eletrôdios em x-O e x-d, poderíamos adotar o

procedi-mento mais cauteloso de integrar a Eq.(6), separadamente,

nas três regiões. No entanto, isto não é necessário,

de-vido ã continuidade do campo elétrico. Tem~se, então:

d

f p

o

d

Edx + E f

o

êE dx

êt

Substituindo-se p no segundo integrando por seu

(Alguns casos integraveis ••• ) -20-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d

(~+ + ~_) Ip+ Edx

-o 2

d

I

oonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a E2 d

dx + &

-ax

dt

d

I

o

Edx - O

(33' )

Aplicando ao nosso problema, teremos:

x+_f

I Edx -

O

o

dV + (~ + ~ )

dt +

-Mas,

d

Edx - V - I Edx V

-x+_f

Usando a Eq.(26), chega-se finalmente a

d2

~+ 1

t -2-

-dV Po Po ~_Po ~

e

[V (1+ )

J

-o

- +

-~ +-~ dto _{~+Po t} 8& e

+

-1 +

e

OBSERVAÇÕES:

Naturalmente que, aqui, como no caso l,tambem aco~

·tece a neutralização total. Porém, a frente de carga p~

sitiva se move mais lentamente, para um mesmo valor de

sua mobilidade, que no caso anterior, qualquer que seja o

valor da mobilidade das cargas negativas. Isto se deduz

da comparação das Eqs. (18a) e (26).

As equações acima se simplificam radicalmente se

~₊

-

~_- As frentes avançam simetricamente a partir do

(Alguns casos integráveis •••)

-21-carga. Em cada instante o gráfico do campo com a

posi-çio teria a form. de um trap~zio. Por outro lado, todas

as tentativas para se integrar o sistema Eqs.(9)-(12), p~

ra outros casos al~m dos aqui apresentados, foram infrutI

feras. Mesmo para mobilidade zero das cargas negativas,

mas arbitrário, mostrou-se de manuseio difícil.

As Figs. 4-6, conseguidas pelo sr. Luíz Nunes de

Oliveira, ilustram nossos resultados.

As Figs. 4 e 5 mgstram as densidades de carga p+ e

ra vários valores de

para t-o), como função de x'-x/d, pa

~+Pot .

t'- ,respect1vamente, paraonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

E

p_ (normalizadas axwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1

~-- 4 e 0,25.

~+

calmente diferente, na regiio de mistura,

Vemos que o comportamento de p_

é

radi-comparado com a

~+

região uniforme, segundo o valor da razão --. Para o va

~

-lor 4, a densidade é maior, enquanto que, para 0,25 é

me-nor. Bastante significativa ~ a tendência observada, em

ambos os casos, para a uniformidade.

A Fig.6 mostra, para ~--- - 4, 1 e 0,25, V'- EV/p d,2

~+ o

potencial, como função de

sendo V a ~iferença de

~+Pot

t'-E Vemos que a variação da voltagem é mais rápi

~

-da para maiores valores de , desde que, nas unidades

~+

usadas no gráfico, o termo que contém a derivada da

dife-rença de potencial com o tempo

é:

1 dV'

---1 +

~

-~+

dt'

com o que se constata que as variações da diferença de p~

~

tencial são proporcionais a 1 +

(Alguns casos integráveis ••• )

-22-39 CASO

Estudaremos agora, ainda em circuito aberto, o

mo-vimento de cargas resultante da situação inicial, em que

cargas positivas e negativas, com igual densidade (po)'c~

existem na região Sl(0)<x<S2(0), em presença de um campo

(uniforme) E (Fig.7).xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o Admite-se que haja recombinação.

As cargas positivas deslocar-se-ão para a direita,

e 8S negativas para a esquerda. Permanece, pelo menos

nos primeiros estágios do processo, uma região onde elas

coexistem: afirmamos que, aí, suas densidades continuam ~

niformes e, com isso, conseguiremos uma solução para o p~o

blema, que, devendo ser única, justifica a hipótese

ini-cial.

Assim sendo, na região comum às cargas de ambos os

sinais, Sl(t)<x<S2(t), as Eqs. (11) e (12) coincidem e p~

dem ser imediatamente integradas.

(34)onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-As equaçoes de movimento para Sl(t) e S2(t),

entao, logo obtidas das Eqs. (9)e (10):

-sao,

1 + kp t

o

,

~+ + ~

.

-.

-1 + kp t

o

(Alguns casos integráveis ••• )xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA-2)

ll++ll_

dS l

EonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( 1 + kp t) kE (35 )

dt

- ll+ _{o o}

li +ll

+

-dS 2

E ( 1 kp t) kE (36)

-

-

li +

dt o o

Obtem-se, finalmente:

1

-[(l+kp t)

o

li +ll

+

-kE

-

1]

(37)

li E E

- o

1

-[(l+kp t)

o

li +ll

+

-kE

_{- 1J}

(38)

As duas frentes serão coincidentes no tempo t

l tal

Deduz-se, assim:

ll++ll_

Ek po(Ek-ll_-ll+)(S2(O)-Sl(O»

- 1 +

E Eo(ll+ + ll_)

(39)

-

-Verifica-se, desta equaçao, nao estar garantida,de

forma definitiva, a existência de t

l., pois a segunda pa!,

cela do 29 membro da Eq.(39) pode ser negativa e de

môdu-10 maior que 1. Esta análise torna-se mais simples para

(Alguns casos integriveis ••• ) -24-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-(lJonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +

P. t

+ lJ )~

e

E: E

o

vê-se, imediatamente, que, também aqui,t

l pode não

existir. As velocidades de Sl(t) e de S2(t) sao

-

sempre

respectivamente, positivas e negativas; mas os espaços

que elas percorrem são "predeterminadamente" limitados p~

Ias condições iniciais.

Desde que, na relação (39), aparece o produto da

densidade de carga pela espessura S2(0)-Sl (O), as mesmas

considerações se aplicam para quando po~· e (S2(0)

-Sl(O»~O, mantendo-se finito o produto. Mas, como tI-O,

vê-se que a relação não pode ser verificada.

A Eq.(39) mostra que a existência de tI não

depen-de da posição absoluta das frentes consideradas, senão,da

espessura contendo iniéialmente as cargas de ambos os

si-nais.

Pode-se verificar que as densidades de carga, bem

como o campo elitrico, obtidos para. região onde hi

mis-tura, obedecem ã Eq.(6).

à medida em que a frente S2(t) avança para a

es-querda' cargas positivas, que a atravessam, começam a se

mover numa região livre de cargas negativas. Podemos, en

tão, caracterizar as linhas de corrente das cargas

posi-tivas, pelo tempo t , no qual a frente negativa~ atingiu

e

Assim, a posição, a velocidade e a

densidade de cargas iniciais serão dadas por S2(t_e) dS

___1 (t ) (pois o campo não varia no intervalo Sl(t)<x<S2(t»

dt e

e p (t ), obtidos diretamente das Eqs.(38),(35) e (34).

(Alguns casos integráveis ••• )

-25-A partir desses valores iniciais, determina-se oonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-seu movimento subsequente, com as seguintes equaçoes (eqs.

(9')

xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe

11'»:

,

.

-dt E :

que, integradas, dão:

dS 2

x+(t,t ) • S2(t ) + (t-t ) (t )

e e e dt e

Tratamento análogo pode ser feito para as linhas

-de corrente das cargas negativas, que sao originadas em

Sl(t

e), com velocidade e densidade de carga iniciais

da-dS2

das por (t) e p (t).

e (Eqs.(37),(36) e (34».

Obtem-dt se, assim:

dS 2

x (t, t ) • Sl (t ) + (t-t ) (t )

- e e e e

dt

P_- (t,t _e) •

u

1 + p (t ) (t-t )

- e e

Notemos que as linhas de corrente x+(t,O) e x_(t,O)

movem-se com velocidade constante, pois o campo junto ao

eletrôdios mantem-se constante no tempo, como pode ser de

(Alguns casos integriveis ••• )

Resumindo, as densidades de carga, p+ e ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

,

-26-como

função do tempo e da posição, serão obtidas, nas cinco re

gi~es em que, no inIcio do processo, podemos naturalmente

dividir a amostra, da seguinte maneira:

Região

I:

O<x<S1(O) - li

E

txwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

p - O

+

p - O

Região 11:

x [(1 + kp t)

o

- 1]

p₊ -

O

- (t-t ) li E (1 + kp t )

e - o o e

P (t,t )

-- e

O<t <t

e

- li )

+

1

-[(l+kp t )

(Alguns casos integraveis ••• )

-27-Região 111:xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

8

1(0)onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+

p

(Ek -

l.l o

1 -[(l+kp t )

o

l.l+l.l

+

-€k

-lJ <x<S2 (O)

- l.l)

+

u E E

o

1

-l.l+l.l

+

-p

(Ek -

l.l

o - l.l)+

[(1 + kp t)

o

kE

_{- 1J}

p •

+

1 + kp t

o

1 + kp t

o

Região IV:

l.l

E

&

- o

1

-[(l+kp e )

- l.l) o

+

l.l+l.l

+

-&k

_-lJ

<x<S2 (O)

+ l.l E t

+ o

l.l+l.l

1 - +

-l.l_E_0&

&k x+(t,t

e) • 82(0)- [(l+kp t )

-

11

..

p_o (&k

-

1l_

-

l.l+) o e

l.l+l.l

+

-+ (t-t ) E ( 1 + kp t ) &k

e l.l+ o o e

, p • O

l.l+ l.l+ 1 + P t (k - --) + -- P t

o e o

(Alguns casos integraveis ••• )

-23-Região V:

S2(0) + ~ E t<x<d ,d sendo a espessura da amostraonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo

P₊ • O

~ interessante calcular-se que a fração

r

do

to-tal de carga inicialmente separada (P

o(S2(0)-Sl(0»

con-segue, finalmente, se libertar. Para isto, considere-se

a linha de corrente S2(t). A corrente de condução de ca~

ga positiva atravis dela i ( ~+~ )p (t)E(S2(t», pois a

+ - +

velocidade relativa das cargas positivas i (~++~_)E(S2(t».

A integral no tempo da expressão da corrente de condução

dada acima, fornece o que queremos calcular. Tem-se que

distinguir dois casos: no primeiro, t

l existe e pode ser

calculado da expressão (39); tl'sera o limite superior da

integral. Caso t

l não ~xista - i o outro caso -, o

limi-te da integral devera ser extendido ao infinito. O calcu

10

i direto, razão pela qual passamos logo ao resultado:

19 caso

e: E

o

~ +~

+

-r •

e:k-~ -~ ]

- +

29 caso

t ..•.ao

r •

t E

o (40)

(Alguns casos integráveis ••• ) -29-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

~otável, a respeito do segundo resultado,é que a

fração de carga libertada não depende da existência de re

combinação.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf nele, também, que se inclue a situação em que Po(S2(O)-Sl(0», é finito, com Po-+CIC)e (S2(0)-8

1(0)-+0,

e que valerá, também, com qualquer outra condição de

con-torno elétrica.

Resta-nos obter a diferença de potencial,

V,

entre

o eletródio em x-O e o em x-do Limitar-nos-emos a

conse-guir uma equação diferencial para

V,

enquanto nenhuma das

duas nuvens de carga positiva e negativa, não atingiram ,

ainda, o eletródio para o qual se dirigem. Para isto, lan

çamos mão da Eq.(33'), que aqui reproduzimos:

d dE2 d V

I dx + E : - - O

o dX dt

(33' ) 2

A primeira integral pode ser assim dividida:

d

I

o

d

I

8 2 ( t )

(41)

Em 8

l(t)<x<82(t), P+(t) é dado pela Eq.(34) e d8

l

(Eq.37); tem-se~

dt

por

1

-P+ Edx - Po Eo(l+kPót)

lJ +lJ

+

-E:k

1

-{(1+kp e) o

lJ +lJ

+

-E:k

(Alguns casos integráveis ••• )

-30-A segunda integral em (41) pode ser trabalhada ten

do-se em conta que no intervalo 5

2{t)<x<d, somente

exis-tem cargas positivas. Entio, com o auxrli~ daonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAequaçao

-de Poisson, tem-se:

d ·

p+ Edx • e: J

52xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(e )

Ou, usando a Eq.(35):

d -2

J p+ Edx • e: E2 [l-{l + kp t)

( ) 2 o o

52 t

l.I +l.I

+

-ke:

J .

(43)

Usando-se (42) e (43) em (41) e o resultado em

{33'),e, notando-se que a integral intermediária em (40)

se anula, obtem-se:

e: e:E2

-1-dV + ~ + E (l+kp t)

o o

l.I +l.I

+

-e:k

dt 2

(44)

A condiçio inicial i V{O)-E d.

o

Nio há dificuldade em integrar a equaçio

(Alguns casos integráveis •••) -31:-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

E o

lJ +lJonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+

-lJ_+lJ

E:k E:E2 1. + lJ +lJ

{l-(l+kp t) } - o ( + - )

x

o ₂

ek + u ' -lJ

Po ₊

-lJ -~\.I

-2 + - +1

l-(l+kp t) E:k

x{ o

}

]

(45)

E:k

-

2lJ

-

2lJ+

Esta expressão

e

válida se Sl(t);S2(t), para todo

o t compreendido entre

O

e a chegada de uma das frentes,

(que, como já vimos, se movem com velocidade constante)ao

eletrôdio.

-Se Sl(t

l)-S2(t2), enquanto as frentes ainda nao

a-tingiram o eletrôdio,

e

bastante fácil encontrar-se a vol

tagem para t>t

l• Pois a Eq.(33') agora dá, simplesmente

3E2 dV

dx +

_{- O}

(46)

3x dt

mas o campo em Sl(t_l) tem um valor constante no tempo, d~

pois que as cargas positivas e negativas não mais se

su-perpõem - como a aplicação do teorema de Gauss nos indica.

Assim, o campo em Sl(t₁), E(Sl(t_l» será -&Po(S2(0)

-Sl(O»r, com r dado pela expressão (40). Alem disso,

E(d,t)-E • Portanto,

(Alguns casos integriveis •••) -32-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(47)

e, assim,

vê-se, entao, que para t>t

l, a voltagem

linearmente com o tempo, pois Eo>E(Sl(t»,pelo teorema de decresce

Gauss. A ligação entre as duas soluções dadas nas Eqs.

(45) e (47) se di sem descontinuidade na derivada de V

com o tempo, pois as equações diferenciais coincidem em

t-tl•

x'-x/d, para diversos valores de t'-kp t com

o

ll+ 1 2

tros assim escolhidos:onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAli -O, -- - - S (0)

-ek 3' 2 3

-os

parame-e E_o-EP _od. No grifico representando p_/po' a curva A

pertence ã função desde o ponto ~ ate o patamar correspo~

dente ao valor de t' considerado. Por exemplo, para

t'-0,2, p /p .e representado pelo ramo a b da curva A e mais

- o

a parte horizontal.

t

interessante observar-se a quase

linearidade da carga com o espaço na região 111. Para o

caso representado no grifico, embora a frente Sl(t) ultra

passe S2(t)-S2(0), ela só o faz depois que a frente x+(t,

O) atinge o eletródio da direita. (Gráfico obtido pelo sr.

Luíz Nunes de Oliveira).

OBSERVAÇÕES

I. Gostaríamos de mostrar com que dificuldades nos

-(Alguns casos integrãveis ••• )

-33-ção de contorno elétrica é a de voltagem constante (curto

circuito não forneceria campo inicial diferente de zero,

como requerido). Portanto, da expressão da corrente

to-tal, Eq.(6}, e integrando em x, obtem-seonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d

jd -xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA~+ 1 p+ Edx + ~ o

d

1 p_ Edx

o

a integral da corrente de deslocamento se anulando pela

condição imposta de voltagem constante. Uaando-se a e

quação de Poisson, vem:

(48) 2

-Mas, enquanto as nuvens de carga ainda nao

atingi-ram os eletródios, podemos escrever

j - € dE (d,t) -€ dE _(O,t).

dt dt

(49)

Como E(d,O}-E(O,O}, conclue-se E(d,t}-E(O,t},

anu-lando-se, assim, a segunda parcela do lado direito da Eq.

(48).

Parece-nos bastante claro que, na região de

mistu-ra, as duas densidades, de cargas positivas e negativas,

são iguais e dadas por Eq.(34}: a influência da corrente

total se manifesta somente no movimento das frentes Sl(t}

Com isso, a integral na Eq.(48} pode se

(Alguns casos integrãveis ••• ) -34-onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

E : (ll++ll_) d

Edx + f

2 S2(t) ax

usando-se a equação de Poisson na região S2(t)<x<d. Mas,

... dS,

o campo e constante em Sl(t)<x<S2(t) e igual a ll+ ~

dtxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Dai:

•

[E2(d,t) 1

dS l 2

)(

-

(-)

J

₍₅₀₎

ll+ dt

Com as relações

d2S _ll+j (ll++ll_) dS

l 1

(51 )

.

--dt2 E : E : dt

d2S

2 ll_j

--.----dt2· E :

(li +ll )

+ - ₍₅₂₎

E :

as relações (49), (50), (51) e (52) permitiriam obter

j,

E(d,t), Sl(t) e S2(t) com P+(t) substituído da Eq.(34).

As cargas positivas e negativas que se tornam

li-vres em te ao atingirem respectivamente S2(t_e) e Sl(t_e),

(Alguns casos integraveis ••• )

-35-x (t,t ) - Sl(t )- ~ E(Sl(t »(t-t )-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

- e e - e eonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

t

r

dt'

t

e

t'

r

t

e

j(t")dt"

com densidades, respectivamente,

lJ+

1 + p+(t )(t-t )

E e e

P_- (t,t _e)

-P (t )

- e

1 + - P (t )(t-t)

- e e

11. No problema que acabamos de estudar, as cargas

positivas e negativas ja estão presentes em t-O, criadas,

pode ser, por iluminação breve mas intensa, no intervalo

Seria interessante analisar-se o que

a-contece se a separaçao das cargas positivas e negativas

se da continuamente, numa dada razão constante no tempo,

a. Limitar-nos-emos a considerar o caso em que k-O,e o~

de a geração de cargas se dã em toda a espessura da

amos-tra, sendo fixas as cargas negativas. Então, em vez das

Eqs.(2) e (3), vira:

- - + a (53)

at

ax

e

- a.

Daí, ê muito facil obter-se as equações das traje-

u-(Alguns casos integraveis ••• )

-36-uma linha de corrente, em circuito aberto:onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-

-

xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp ('14 )

dt

-

-

(p - p ) p + a

+ - + (55)

dt €

- a.

dt

Consideremos as cargas positivas criadas em toda a

espessura da amostra em t-O. A densidade de cargas cre~

-cera no tempo, da mesma forma que a das cargas negativas,

isto Portanto, em toda a regiio qu~

se estende da posição ocupada em t por aquelas cargas cri

de carga.

(x (O,t), ate o catodo, não havera excesso

+0

°

campo em x+o(O,t), poderá ser obtido da in

adas em t-O,

tegraçao da Eq.(54), com p _

-

at:

d2_{x+o lJ+ dx+o}

-

-

at

dt2 € dt

- ou

at2

dX+o + 2€ dx+o

-

lJ+ E e

,

_{- lJ+E(x+o)} (56)

dt o dt

Uma ulterior integração fornece a posição x+o(t):

at2

e

e- lJ+

2€

(Alguns casos integráveis ••• )

-37-Para se obter a densidade de carga positiva entre

x-o e x-x (t), consideramos todas as cargas que se

ori-+0

ginam em x-O para todo t <toxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e

Como as cargas positivas estao sempre deixando o

pnnto x-O, a condição inicial será p (t ,t )-0.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+ e e

A integração da Eq.(55):

(57)

com a condição p+(t ,t

)-0,

fornecerá as densidades

e e em

função de t

e

A posição x+(t

e ,t), ocupada por estas cargas,

se-rá obtida da integração da Eq.(54):

dt

E(O,t)e

e

2 a E

dx+

(t ,t) - II

e + t <te

Mas, E(O,t )-E ,pois se p(t ,t

)-0,

pela expre_s

e o e e

- dE

sao da corrente total d e (O,t)-O. Portanto,

2

ll+t e

2 a E

x+ - (te ,t) - ll+Eo e

t

I e

t

e

dt , t <t,

e

(58)

com o que a solução fica estabelecida.

A compatibilidade da hipótese p (t ,t )-0, com as

+ e e

-equaçoes do problema, pode ser verificada usando-se a Eq.

(53) para o ponto x-O. Teremos, com p (O,t) indicando a

+

(Alguns casos integravies ••• ) -38-xwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

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dX

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cor-(IX

rente que se inicia em qualquer tempo t

e A Eq. (55) ,com

dp

+ - a

dt

que também pode ser escrita

dx

- a

dx dt

onde dx é o espaço percorrido em dt, ou seja, a

velocida-...

de, que e dada por ~ + Eo Então,

a .

-

(60)

e as Eqs. (59) e (60) coincidem.

Por outro lado, o caso limite no qual também

~ •.o

+

pode ainda ser obtido de nossa solução, pela inspeção das

Eqs. (58) e (60): por (60), a derivada de p+ em relação a

X tende para infinito, indicando a formação de um degrau,

como a Eq.(58) nos confirma.

Finalmente, a voltagem Ventre os eletrõdios em

x-o e em x-d, sera conseguida pelo uso da relação (33'),

que fornece

(Alguns casos integrãveis ••• )

-39-com E(x+

o) .dado por (56).

Nio tentaremos obter as integrais das Eqs.(56) eonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

( 6 1 ) • Achamos sufieiente termos indicado que o método

das características consegue, em princípio, levar a uma

soluçio do problema aqui considerado. I

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-(Alguns caS08 integrÃvei8 •••)

-40-REFE R!NCIAS

1.

G.F. Leal Ferreira, B.Gro88,

(1973).

2.

J.Lindmayer,

J.App1.Phys., 1!, 196 (1965).

3:

B.Grolli, M.Per1man,

J.Appl.PhY8., 43, 853 (1972).

4.

A.Many, G.Rakavy,

PhY8.Rev.,!!!,

1980 (1962).

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