1. Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios 𝐴, 𝐵 e 𝐶 a dois países da América Central, 𝑃1 e 𝑃2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz 𝑄:
𝐴 𝐵 𝐶
↓ ↓ ↓
𝑄 = [200 100 150
100 150 200]← 𝑃1
← 𝑃2
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por toneladas, como indica a matriz 𝑃:
𝑃 = [500 300
400 200]← 1ª 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎
← 2ª 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto 𝐴, com a segunda empresa, aos dois países?
b) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?
2. Uma matriz 𝐴 (𝑚 × 𝑛) é uma tabela retangular formada por 𝑚 × 𝑛 números reais (𝑎𝑖𝑗), dispostos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas. O produto de duas matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑛×𝑝 é uma matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚×𝑝, em que o elemento 𝑐𝑖𝑗 é obtido da multiplicação ordenada dos elementos da linha 𝑖, da matriz 𝐴, pelos elementos da coluna 𝑗, da matriz 𝐵, e somando os elementos resultantes das multiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴.
Faça a multiplicação das matrizes 𝐴 e 𝐵, e verifique se esse produto é comutativo, ou seja: 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴.
𝐴 = [
1 2 3 0 1 2 0 0 1
] e 𝐵 = [
0 1 −2
1 −2 3
0 1 0
]
Aluno (a): ________________________________________________________ 2ª série: ______
Professores: Robson e Paraízo Data: 01/04/2021
2ª CHAMADA – PROVA A – MATEMÁTICA – 1º BIMESTRE lll
COLÉGIO MONJOLO
ENSINO MÉDIO
3. Em um torneio de vôlei, as equipes A, B, C e D obtiveram os resultados registrados na tabela a seguir.
Equipe Vitórias por 3 × 0
Vitórias por 3 × 2 ou 3 ×
1
Derrotas por 3 × 2 ou 3 ×
1
Derrotas por 3 × 0
A 7 4 2 0
B 3 5 3 2
C 1 2 6 4
D 0 4 4 5
Sabendo-se que cada resultado, pelo regulamento do torneio, tem a pontuação correspondente segundo a tabela a seguir, a matriz que corresponde à pontuação total no torneio de cada equipe é
Resultado Número de pontos Vitórias por 3 × 0 3 Vitórias por 3 × 2 ou 3 × 1 2
Derrotas por 3 × 2 ou 3 ×
1 1
Derrotas por 3 × 0 0
a) ( 31 22 13 17
)
b) ( 31 19 13 17
)
c) ( 31 22 13 12
)
d) ( 31 19 13 12
)
e) ( 31 22 20 17
)
4. Considere as matrizes 𝑀 = [
1 −1 2
−2 0 3
2 1 1
] e 𝑁 = [
0 2 3
1 1 −1
0 −1 2
]. A matriz 𝑀 ⋅ 𝑁 tem em sua segunda coluna elementos cujo produto vale:
a) 56.
b) 28.
c) 0.
d) 48.
e) −8.
5. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2×2 uma matriz tal que 𝑎𝑖𝑗= {−𝑗𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 (−𝑖)𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗.
A inversa da matriz 𝐴, denotada por 𝐴−1, é a matriz a) [−2 1
2
1 −1
2
]
b) [−2 1
2
−1 1
2
]
c) [−1
6 −2
3 1 6 −2
3
]
d) [−1
6 −2
3 1 6
2 3
]
e) [−2
3 −1
6 1 3 −1
6
]
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Leia o texto para responder à(s) questão(ões) a seguir.
A tabela a seguir será usada para a transmissão de mensagens criptografadas em matrizes. A criptografia é feita ao se multiplicar a matriz 𝐶 pela matriz-mensagem 𝑀, gerando a matriz criptografada 𝑀𝐶 = 𝐶 ⋅ 𝑀.
0 7 G 14 N 21 U
1 A 8 H 15 O 22 V 2 B 9 I 16 P 23 W 3 C 10 J 17 Q 24 X 4 D 11 K 18 R 25 Y 5 E 12 L 19 S 26 Z 6 F 13 M 20 T 27 ?
𝐶 = [
2 1 1 1 1 1]
Por exemplo, a matriz-mensagem 𝑀 = [
5 19 20 15 21 0
14 15 0 0 0 0
9 14 19 16 5 18
], que significa ESTOU NO INSPER, depois de criptografada por 𝐶 vira a matriz 𝑀𝐶 = [
33 67 59 46 5 18 28 48 39 31 5 18 70 111 78 62 10 36
].
Ao receber 𝑀𝐶, o destinatário deve multiplicá-la pela matriz decodificadora 𝐷, da mesma ordem da matriz 𝐶, para recuperar a mensagem original.
6. Modificando-se ligeiramente a matriz 𝐶, o envio da mensagem EU ESTUDEI NO INSPER torna-se possível no sistema descrito. Uma matriz 𝐶 que funcione para a transmissão dessa mensagem tem que ser, necessariamente,
a) quadrada e igual à sua transposta.
b) de ordem 4 × 7 e inversível c) de ordem 4 × 4 e inversível.
d) de ordem 7 × 7 e inversível.
e) quadrada com determinante negativo.
7. Sabendo que tg(𝑥) = −13 e 𝜋
2≤ 𝑥 ≤ 𝜋, calcule o valor de cos(𝑥).
Apresente os cálculos na resolução da questão.
8. Um relógio marca que faltam 20 minutos para meio-dia. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos.
Apresente os cálculos na resolução da questão.
9. Calcule o valor de 𝑥, no intervalo [0;𝜋
2], tal que 4 ⋅ (1 − cos2 𝑥) ⋅ (cossec2𝑥 − 1) = 3.
Apresente os cálculos na resolução da questão.
10. Considere as sentenças abaixo.
I. Para todo 𝑥 real, temos (sen 𝑥 + cos 𝑥)2= 1.
II. A área do setor circular determinado por um ângulo central de 30° em uma circunferência de raio 2 cm é igual a 𝜋
3cm2.
III. O valor do seno de qualquer ângulo obtuso é um número real negativo.
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) Apenas a sentença III é verdadeira.
c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras.
d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras.
e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.
11. Em uma área de proteção ambiental existe uma população de coelhos. Com o aumento natural da quantidade de coelhos, há muita oferta de alimento para os predadores. Os predadores com a oferta de alimento também aumentam seu número e abatem mais coelhos. O número de coelhos volta então a cair.
Forma-se assim um ciclo de oscilação do número de coelhos nesta reserva.
Considerando-se que a população 𝑝( 𝑡) de coelhos fica bem modelada por 𝑝( 𝑡) = 2.000 − 250 sen (2𝜋𝑡
360), sendo 𝑡 ≥ 0 a quantidade de dias decorridos, e o argumento da função seno é medido em radianos, pode- se afirmar que:
a) a população de coelhos é sempre menor ou igual a 2.250 indivíduos.
b) em quatro anos a população de coelhos estará extinta.
c) a população de coelhos dobrará em 3 anos.
d) a quantidade de coelhos será de 1.000 indivíduos depois de 360 dias.
e) a população de coelhos atinge seu máximo em 1.250 indivíduos.
12. Na figura a seguir, estão representados o ciclo trigonométrico e um triângulo isósceles 𝑂𝐴𝐵.
Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo 𝑂𝐴𝐵 em função do ângulo 𝛼?
a) tg 𝛼 ⋅ sen 𝛼 b) 1
2tg 𝛼 ⋅ cos 𝛼 c) sen 𝛼 ⋅ cos 𝛼 d) 1
2tg 𝛼 ⋅ sen 𝛼 e) tg 𝛼 ⋅ cos 𝛼
