3. Elementos de Sistemas Elétricos de Potência

3. Elementos de Sistemas Elétricos de Potência

Sistemas Elétricos de Potência

3.1.4 Capacitância e Susceptância Capacitiva de Linhas de Transmissão

Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito

E-mail:raphaelbenedito@utfpr.edu.br

disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito

- Introdução;

- Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D;

- Capacitância de uma Linha a dois fios (bifilar);

- Capacitância de uma Linha Trifásica;

Conteúdo

pa ;

- Capacitância de uma Linha Trifásica com arranjo equilátero de Condutores;

- Transposição de Condutores;

- Cabos múltiplos por fase;

- Reatância Capacitiva e Susceptância Capacitiva

• A capacitância, ou efeito capacitivo, de linhas de transmissão é o resultado da diferença de potencial elétrico entre os condutores.

• De modo geral, a capacitância entre condutores (C) é a relação entre carga (q) e diferença de potencial (V):

Introdução

) (F m V

C = q

d d d di õ d di tâ i t d t

e depende das dimensões e da distância entre os condutores.

• O efeito da capacitância para linhas curtas é pequeno e, por isso, é geralmente desprezado em cálculos com linhas de transmissão.

• Por outro lado, em linhas longas de tensões elevadas, o efeito capacitivo afeta consideravelmente o transporte de energia elétrica, tornando importantíssimo o cálculo desse parâmetro.

• Assim como o Campo Magnético é importante na determinação da indutância, o estudo e análise do Campo Elétrico é essencial no cálculo da Capacitância de linhas de transmissão aéreas.

• Considere um condutor cilíndrico de raio “r”, reto e longo, tendo uma carga elétrica “q” uniforme em toda a sua extensão e que está a uma distância “D”

de um condutor de raio ínfimo “P” (com q = 0).

Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D

• Observe que todo o fluxo de campo elétrico está fora do condutor, já que as cargas elétricas tendem a se agrupar na superfície externa do condutor. Assim, para calcularmos a capacitância causada por este condutor até “P”, devemos:

i) aplicar a Lei de Gauss do Campo Elétrico;

ii) calcular a diferença de potencial entre “P” e a superfície do condutor;

iii) calcular a capacitância através de C =q/V.

• Através da Lei de Gauss, a densidade do campo elétrico (ou densidade do fluxo elétrico) pode ser obtida por:

Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D

2 x L q

D

q A d D

E s E

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅ π

onde: q é a carga no condutor por metro de comprimento; x é a distância do centro do condutor até o ponto onde deve ser calculada a densidade de fluxo elétrico.

A partir da densidade de campo, podemos calcular a intensidade de campo elétrico:

sendo a permissividade elétrica do meio

/ 2

2 C m

x D_E q

= ⋅ π

m x V

q

E D^E /

2π ε ε = ⋅ ⋅

=

m

r ) 8,85 10 F/

(ε = ε ⋅ε₀ ε₀ = ⋅ ⁻¹²

• A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do condutor de raio “r” e o condutor P (distante “D” metros do centro do condutor) pode ser calculada pela integral de linha do campo elétrico, da seguinte forma:

Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de raio ínfimo a uma distância D

[ ]

1 2

q

x x d x q

d E

V ^D

r D

r ⋅

= ⋅

⋅

= π ε

[ ]

) ( 2 ln

ln 2 ln

r V D V q

r q D

V

= ⋅

⋅ −

=

ε π

ε π

• A partir da diferença de potencial entre o condutor de raio “r” e o condutor P sem carga, a capacitância é calculada por:

) / ( ln

2 ln

2 F m

r D r

q D q V

C q ⋅

=

⋅

⋅

= ⋅

= π ε π ε

• Considere um condutor cilíndrico de raio “r₁” e outro condutor de raio “r₂” (retorno), que estão distantes entre si em “D” metros, e que q₂ = - q₁.

Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)

• No cálculo da capacitância C12, deve-se calcular primeiramente o valor da tensão V12 entre os dois condutores da linha.

• Por sua vez, a tensão V12 pode ser obtida através da superposição de efeitos, isto é, calculando primeiro a diferença de potencial devido à carga q1 do condutor 1; e depois, a diferença de potencial devido à carga q2 do condutor 2.

Fig.: Linha monofásica bifilar

'' 12 '

12

12

V V

V = +

Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)

r q

r q D

x dx V q

V V

r q D

x dx V q

D r

D r

2 '' 2

2

2 2

2 21

21 ''

12

1

1 1

' 1 12

2 ln 1

2

2 ln 1

2

ε π ε

π

ε π ε

π

= ⋅

⋅ ⋅

=

−

=

= ⋅

⋅ ⋅

=

• Para o cálculo de cada efeito, teremos:

Somando os efeitos, temos:

D r V q

V₁₂^'' ₂₁ ² ln ² 2π ⋅ε

=

−

=

D r q

r q D

V V

V ^{2 2}

1 '' 1

12 '

12

12 ln

ln 2

2π ε + π ⋅ε

= ⋅ +

=

como q2 = - q1, a equação acima fica:

2 1

2 1

2 1 1

12

2 1

1 1

12

2 ln 2 ln

2 ln 2 ln

r r q D

D r r D V q

D r q

r q D

V

⋅

= ⋅

= ⋅

− ⋅

= ⋅

ε π ε

π

ε π ε

π

Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)

A expressão anterior ainda pode ser escrita como:

2 1 1

2 1

2 1

12 ln ln

r r

D q

r r

D V q

⋅ ⋅

⋅ =

= ⋅

ε π ε

π

• Por fim, a capacitância C12 entre os condutores é:

) / ( ln

2 ln

2

2 1

2

2 1

2 1

1 12

1

12 F m

r r

D r

r q D

q V

C q

⋅

= ⋅

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

= π ε π ε

Caso r1 = r2 = r, podemos simplificar a equação anterior:

) / ( ln ln

2

2

12 2 F m

r D r

D

C ⋅

⋅ =

= π ε π ε

Observe que “r” é o raio externo do condutor ou do cabo encordoado.

Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

• Considere 3 condutores retilíneos, paralelos e de raios distintos, que constituem uma linha trifásica onde .

Também considere um ponto P (ou condutor de raio ínfimo com q=0) afastado desses condutores conforme a figura abaixo:

3 0

2

1 + q + q =

q

Figura: Condutores de uma Linha Trifásica distantes de um ponto P