Aula 04: Potencial Elétrico

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Aula 04: Potencial El´ etrico

Felipe Russman

[email protected]

Maio de 2017

Felipe Russman (FIS1182) F´ısica Geral - Eletromagnetismo

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Energia Potencial El´ etrica

A for¸ ca el´ etrica depende apenas da distˆ ancia relativa entre as part´ıculas carregadas (F ∝ 1/r ² ). Assim, podemos associar ` a esta uma fun¸ c˜ ao chamada - no nosso caso - Energia Potencial El´ etrica. As for¸ cas que admitem esta associa¸ c˜ ao s˜ ao ditas for¸ cas conservativas. A motiva¸c˜ ao para associar uma energia potencial a uma for¸ca ´ e o fato de que isso permite aplicar a lei de conserva¸ c˜ ao da energia mecˆ anica a sistemas fechados que envolvam a for¸ ca.

Tamb´ em, enquanto for¸ cas e campos tˆ em car´ ater vetorial, a ener-

gia potencial tem car´ ater escalar, o que facilita, possivelmente, o

estudo dos sistemas.

(3)

Energia Potencial El´ etrica

Quando uma for¸ca eletrost´ atica age entre duas ou mais part´ıculas de um sistema, podemos associar uma energia potencial el´ etrica U ao sistema.

Se a configura¸ c˜ ao do sistema muda de um estado inicial i para um estado final f , a for¸ ca eletrost´ atica realiza um trabalho W sobre as part´ıculas. A varia¸ c˜ ao de energia potencial associada ´ e dada por ∆U = U _f − U _i = −W . Como acontece com qualquer for¸ ca conservativa, o trabalho realizado pela for¸ ca eletrost´ atica ´ e independente da

trajet´ oria.

(4)

1 Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

2 Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

3 Superf´ıcies Equipotenciais

4 C´ alculo do Potencial El´ etrico a partir do Campo El´ etrico

5 Potencial de uma Distribui¸ c˜ ao Cont´ınua de Cargas

(5)

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

A figura ao lado mostra um par de placas met´ alicas par- alelas carregadas que produzem um campo el´ etrico uniforme com m´ odulo E.

Vamos calcular o trabalho real- izado pela for¸ ca el´ etrica em ter- mos das quantidades conhecidas.

W a→b = −∆U = q 0

−

→ E · − → d

(6)

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(a) Carga positiva que se desloca no sentido do campo el´ etrico.

U diminui;

O campo realiza trabalho

positivo sobre a carga.

(7)

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(b) Carga positiva que se desloca no sentido oposto do campo el´ etrico.

U aumenta;

O campo realiza trabalho negativo sobre a carga.

(8)

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(c) Carga negtiva que se desloca no sentido do campo el´ etrico.

U aumenta;

O campo realiza trabalho

negativo sobre a carga.

(9)

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(d) Carga negtiva que se desloca no sentido do campo el´ etrico.

U diminui;

O campo realiza trabalho positivo sobre a carga.

(10)

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

Exemplo:

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Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

A energia potencial por unidade de carga associada a um campo el´ etrico ´ e chamada de potencial el´ etrico (ou, simplesmente, potencial) e representada pela letra V . Assim,

V = U q

A diferen¸ca de potencial el´ etrico entre dois pontos i e f ´ e igual ` a diferen¸ ca entre os potenciais el´ etricos dos dois pontos. Assim,

∆V = V _f − V _i = U f

q − U i

q = ∆U

q = − W q

A diferen¸ ca de potencial entre dois pontos ´ e, portanto, o negativo do trabalho realizado pela for¸ ca eletrost´ atica para transportar uma carga unit´ aria de um ponto at´ e o outro.

(12)

Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

Se tomarmos U _i = 0 no infinito como referˆ encia para a energia potencial, o potencial el´ etrico no infinito tamb´ em ser´ a nulo. Nesse caso, podemos definir o potencial el´ etrico em qualquer ponto do espa¸co atrav´ es da rela¸ c˜ ao

V = − W ∞

q

onde W ∞ ´ e o trabalho realizado pelo campo el´ etrico sobre

uma part´ıcula carregada quando a part´ıcula ´ e deslocada do

infinito para o ponto f .

(13)

Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

A unidade no SI de potencial el´ etrico ´ e chamada de volt (1V), em homenagem ao cientista italiano e pesquisador experimental da eletricidade Alessandro Volta (1745-1827), sendo igual a 1 joule por coulomb:

1 V = 1 J/C

A voltagem desta pilha ´ e igual

`

a diferen¸ ca de potencial V _ab = V _a − V _b

entre o terminal positivo (ponto a) e o terminal negativo (ponto b).

(14)

Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

A defini¸c˜ ao de volt permite adotar uma unidade mais conveniente para o campo el´ etrico, que at´ e agora vem sendo expresso em newtons por coulomb. Com duas convers˜ oes de unidades, obtemos

Um el´ etron-volt (eV) ´ e a energia igual ao trabalho necess´ ario

para deslocar uma carga elementar e atrav´ es de uma diferen¸ ca

de potencial de um volt. Como o valor absoluto desse tra-

balho ´ e q∆V , temos:

(15)

Superf´ıcies Equipotenciais

Os potenciais em diversos pontos de um campo el´ etrico po- dem ser representados graficamente por superf´ıcies equipo- tenciais.

Elas empregam a mesma ideia b´ asica de mapas topogr´ aficos, como os usados por excursionistas e alpinistas.

Por analogia ` as linhas de contorno em um mapa topogr´ afico, uma superf´ıcie equipotencial ´ e uma superf´ıcie em trˆ es di- mens˜ oes, sobre a qual o potencial el´ etrico V permanece con- stante em todos os seus pontos.

(16)

Superf´ıcies Equipotenciais

As linhas de contorno em um mapa topogr´ afico s˜ ao curvas

que ligam pontos com a mesma altura e, portanto, com en-

ergia potencial gravitacional constante.

(17)

Superf´ıcies Equipotenciais

(18)

Superf´ıcies Equipotenciais

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Superf´ıcies Equipotenciais

(20)

Superf´ıcies Equipotenciais

(21)

Superf´ıcies Equipotenciais

(22)

Superf´ıcies Equipotenciais

Quando todas as cargas est˜ ao

em repouso, a superf´ıcie de

um condutor ´ e sempre uma su-

perf´ıcie equipotencial. As lin-

has de campo el´ etrico pene-

tram perpendicularmente na su-

perf´ıcie desse condutor

(23)

C´ alculo do Potencial El´ etrico a partir do Campo El´ etrico

Dada uma configura¸ c˜ ao de campo el´ etrico queremos deter- minar a diferen¸ ca de potencial entre os pontos i e f. Tomando V i = 0 vamos concluir que

V = − Z f

i

−

→ E · − → ds

(24)

C´ alculo do Potencial El´ etrico a partir do Campo

El´ etrico

(25)

C´ alculo do Potencial El´ etrico a partir do Campo El´ etrico

(26)

Potencial El´ etrico produzido por Cargas Puntiformes

Consideremos um ponto

P situado a uma distˆ ancia

R de uma part´ıcula fixa

de carga positiva q. Imag-

ine que uma carga de

prova positiva q 0 ´ e deslo-

cada do ponto P at´ e o

infinito. Como a tra-

jet´ oria seguida pela carga

de prova ´ e irrelevante,

podemos escolher a mais

simples: uma reta que liga

a part´ıcula fixa ao ponto

(27)

Potencial El´ etrico produzido por Cargas Puntiformes

Podemos calcular o potencial produzido em um ponto do espa¸ co por um grupo de cargas pontuais usando o princ´ıpio de super- posi¸ c˜ ao. Para isso, calculamos separadamente os potenciais pro- duzidos pelas cargas no ponto dado e somamos os potenciais. No caso de n cargas, o potencial ´ e dado por:

V =

n

X

i=1

V i = 1 4π ₀

n

X

i=1

q i

r _i

(28)

Potencial El´ etrico produzido por Cargas Puntiformes

(29)

Potencial El´ etrico produzido por Cargas Puntiformes

(30)

Potencial produzido por um Dipolo El´ etrico

No ponto P , a carga pon-

tual positiva -que est´ a a uma

distˆ ancia r ₍₊₎ - produz um po-

tencial V ₍₊₎ e a carga negativa

-que est´ a a uma distˆ ancia r (−) -

produz um potencial V ₍₋₎ .

(31)

Potencial produzido por um Dipolo El´ etrico

Os dipolos que ocorrem natural- mente tˆ em dimens˜ oes reduzidas.

Assim, normalmente estamos in- teressados em pontos distantes do dipolo, tais que r d, onde d ´ e a distˆ ancia entre as cargas.

r (−) − r ₍₊₎ ≈ d cos(θ) r ₍₋₎ r ₍₊₎ ≈ r ²

(32)

Potencial de uma Distribui¸c˜ ao Cont´ınua de Cargas

(33)

Potencial de uma Distribui¸c˜ ao Cont´ınua de Cargas

Exemplo 1: Uma barra fina, uniformemente carregada, produz um potencial el´ etrico V no ponto P .

Aula 04: Potencial Elétrico

Aula 04: Potencial El´ etrico

Felipe Russman

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Energia Potencial El´ etrica

Tamb´ em, enquanto for¸ cas e campos tˆ em car´ ater vetorial, a ener-

gia potencial tem car´ ater escalar, o que facilita, possivelmente, o

estudo dos sistemas.

Energia Potencial El´ etrica

Quando uma for¸ca eletrost´ atica age entre duas ou mais part´ıculas de um sistema, podemos associar uma energia potencial el´ etrica U ao sistema.

trajet´ oria.

1 Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

2 Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

3 Superf´ıcies Equipotenciais

4 C´ alculo do Potencial El´ etrico a partir do Campo El´ etrico

5 Potencial de uma Distribui¸ c˜ ao Cont´ınua de Cargas

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

A figura ao lado mostra um par de placas met´ alicas par- alelas carregadas que produzem um campo el´ etrico uniforme com m´ odulo E.

Vamos calcular o trabalho real- izado pela for¸ ca el´ etrica em ter- mos das quantidades conhecidas.

W a→b = −∆U = q 0

−

→ E · − → d

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(a) Carga positiva que se desloca no sentido do campo el´ etrico.

U diminui;

O campo realiza trabalho

positivo sobre a carga.

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(b) Carga positiva que se desloca no sentido oposto do campo el´ etrico.

U aumenta;

O campo realiza trabalho negativo sobre a carga.

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(c) Carga negtiva que se desloca no sentido do campo el´ etrico.

U aumenta;

O campo realiza trabalho

negativo sobre a carga.

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

(d) Carga negtiva que se desloca no sentido do campo el´ etrico.

U diminui;

O campo realiza trabalho positivo sobre a carga.

Part´ıcula Carregada em um Campo El´ etrico Uniforme

Exemplo:

Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

A energia potencial por unidade de carga associada a um campo el´ etrico ´ e chamada de potencial el´ etrico (ou, simplesmente, potencial) e representada pela letra V . Assim,

V = U q

A diferen¸ca de potencial el´ etrico entre dois pontos i e f ´ e igual ` a diferen¸ ca entre os potenciais el´ etricos dos dois pontos. Assim,

∆V = V f − V i = U f

q − U i

q = ∆U

q = − W q

A diferen¸ ca de potencial entre dois pontos ´ e, portanto, o negativo do trabalho realizado pela for¸ ca eletrost´ atica para transportar uma carga unit´ aria de um ponto at´ e o outro.

Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

Se tomarmos U i = 0 no infinito como referˆ encia para a energia potencial, o potencial el´ etrico no infinito tamb´ em ser´ a nulo. Nesse caso, podemos definir o potencial el´ etrico em qualquer ponto do espa¸co atrav´ es da rela¸ c˜ ao

V = − W ∞

q

onde W ∞ ´ e o trabalho realizado pelo campo el´ etrico sobre

uma part´ıcula carregada quando a part´ıcula ´ e deslocada do

infinito para o ponto f .

Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

A unidade no SI de potencial el´ etrico ´ e chamada de volt (1V), em homenagem ao cientista italiano e pesquisador experimental da eletricidade Alessandro Volta (1745-1827), sendo igual a 1 joule por coulomb:

1 V = 1 J/C

A voltagem desta pilha ´ e igual

`

a diferen¸ ca de potencial V ab = V a − V b

entre o terminal positivo (ponto a) e o terminal negativo (ponto b).

Diferen¸ca de Potencial El´ etrico (ddp)

A defini¸c˜ ao de volt permite adotar uma unidade mais conveniente para o campo el´ etrico, que at´ e agora vem sendo expresso em newtons por coulomb. Com duas convers˜ oes de unidades, obtemos

Um el´ etron-volt (eV) ´ e a energia igual ao trabalho necess´ ario

para deslocar uma carga elementar e atrav´ es de uma diferen¸ ca

de potencial de um volt. Como o valor absoluto desse tra-

balho ´ e q∆V , temos:

Superf´ıcies Equipotenciais

Os potenciais em diversos pontos de um campo el´ etrico po- dem ser representados graficamente por superf´ıcies equipo- tenciais.

Elas empregam a mesma ideia b´ asica de mapas topogr´ aficos, como os usados por excursionistas e alpinistas.

Por analogia ` as linhas de contorno em um mapa topogr´ afico, uma superf´ıcie equipotencial ´ e uma superf´ıcie em trˆ es di- mens˜ oes, sobre a qual o potencial el´ etrico V permanece con- stante em todos os seus pontos.

Superf´ıcies Equipotenciais

As linhas de contorno em um mapa topogr´ afico s˜ ao curvas

que ligam pontos com a mesma altura e, portanto, com en-

ergia potencial gravitacional constante.

Superf´ıcies Equipotenciais

∆V = V _f − V _i = U f

Se tomarmos U _i = 0 no infinito como referˆ encia para a energia potencial, o potencial el´ etrico no infinito tamb´ em ser´ a nulo. Nesse caso, podemos definir o potencial el´ etrico em qualquer ponto do espa¸co atrav´ es da rela¸ c˜ ao

a diferen¸ ca de potencial V _ab = V _a − V _b

V i = 1 4π ₀

r _i

distˆ ancia r ₍₊₎ - produz um po-

tencial V ₍₊₎ e a carga negativa

produz um potencial V ₍₋₎ .

r (−) − r ₍₊₎ ≈ d cos(θ) r ₍₋₎ r ₍₊₎ ≈ r ²