Caminho mais curto e o algoritmo de Dijkstra

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Caminho mais curto e o algoritmo de Dijkstra

Márcia R. Cerioli

Departamento de Ciência da Computação - IM e PESC - COPPE

UFRJ

Algoritmos e Grafos Dezembro de 2015

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Problema a ser resolvido a cada consulta do tipo:

Qual o caminho mais curto do DCC ao Pão de Açúcar?

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O Problema

Qual o caminhomais curto do DCC ao Pão de Açúcar?

Objetivo: Caminho com o menor:

I custo

I distância

I trânsito

I tempo

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Caminho mais curto e o algoritmo de Dijkstra Problema do Caminho mais Curto

Modelagem em grafos

Mundo real Modelagem Matemática

pontos importantes vértices V(G) esquinas

ruas arestas E(G)

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Modelagem em grafos

Mundo real Modelagem Matemática

pontos importantes vértices V(G) esquinas

ruas arestas E(G)

custo custo da aresta c :E(G)→Q⁺

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Modelagem em grafos

a 2

4 b

1

4

3

c 1

d 2

e 3

1 f

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a 2

4 b

1

4

3

c 1

d 2

e 3

1 f

Vérticea é a origem do caminho

(8)

a 2

4 b

1

4

3

c 1

d 2

e 3

1 f

e queremos encontrar o menor caminho de aatéf.

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Propriedades dos caminhos

v₀-v_k-caminho:

Sequência de vérticesP =v₀v₁. . .v_k, tal quev_i−1v_i ∈E(G) CustodeP:

Custo(P) =

k

X

i=1

c(vi−1v_i) Distânciaentre u e v:

dist(u,v)=min{Custo(P) :P é u-v-caminho}

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a 2

4 b

1

4

3

c 1

d 2

e 3

1 f

Custo(P) =2+3+1=6

(11)

a 2

4 b

1

4

3

c 1

d 2

e 3

1 f

Custo(Q) =2+1+1+1=5 dist(a,f) = 5

Q é caminho mínimo deaatéf

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Propriedade dos caminhos mínimos

a• v

• •f

SeP é um a-f-caminho mínimo ev ∈P,

entãoP⁰, a parte de P que vai de a atév, é uma-v-caminho mínimo.

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Caminhos mínimos tem a Prop. da Subestrutura Ótima

a• v

• •f

Se P é um a-f -caminho mínimo e v ∈P,

então a parte de P que vai de a até v é um a-v -caminho mínimo.

Pois caso contrário, existiriaQ um a-v-caminho mínimo, e Q concatenado comP⁰⁰, a parte de P que vai de v atéf, seria um a-f-caminho menor queP (que é mínimo)... um absurdo!

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E.W. Dijkstra

Edsger Wybe Dijkstra, em 1956 Holanda

(1930 – 2002)

(15)

A motivação de Dijkstra – 1956

Trabalhando como programador

no Centro de Matemática da Holanda – atual CWI

Tarefa de divulgação ao público leigo sobre a capacidade do novo computador - ARMAC

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Caminho mais curto e o algoritmo de Dijkstra A solução de Dijkstra

A ideia de Dijkstra – 1956

Menor caminho deAmsterdãa uma cidade escolhida pelo público.

e os algoritmos até então existentes não funcionavam no ARMAC...

Calcular e Manter

d(v) =tamanho do menor caminho até então encontrado dea atév

Conjunto S dos vérticesresolvidos

(17)

A ideia de Dijkstra – 1956

Mas... era necessário ter um programa para determinar tal caminho...

Calcular e Manter

(18)

A ideia de Dijkstra – 1956

(19)

A ideia de Dijkstra – 1956

Calcular e Manter

(20)

O algoritmo

Entrada: GrafoG = (V,E),c :E →Q⁺ e a∈V

Saída: d :V →Q⁺, onded é a distância dea atév,∀v ∈V

1. d(a)←0;π(a)←a

2. Para cada v ∈V \ {a},d(v)← ∞

3. Q ←V Q é dos ainda a resolver

4. S ← ∅ S é o dos resolvidos

(21)

O algoritmo

Entrada: GrafoG = (V,E),c :E →Q⁺ e a∈V

Saída: d :V →Q⁺, onded é a distância dea atév,∀v ∈V

1. d(a)←0;π(a)←a

2. Para cada v ∈V \ {a},d(v)← ∞

3. Q ←V Q é dos ainda a resolver

4. S ← ∅ S é o dos resolvidos

Q é uma fila de prioridades.

(22)

O algoritmo

5. Enquanto Q6=∅

6. u ←Extrai_min(Q,d) 7. Para cada v ∈Adj(u)∩Q, 8. Sed(u) +c(uv)<d(v),

8. então d(v)←d(u) +c(uv)

8. π(v)←u

9. S ←S∪ {u}

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O algoritmo

5. Enquanto Q6=∅

6. u ←Extrai_min(Q,d) 7. Para cada v ∈Adj(u)∩Q, 8. Sed(u) +c(uv)<d(v),

8. então d(v)←d(u) +c(uv)

8. π(v)←u

9. S ←S∪ {u}

(24)

Um exemplo

a 2

4 b

1

4

3

c 1

d 2

e 3

1 f

(25)

Um exemplo

a 2

4 b

1

4

3

c 1

d 2

e 3

1 f

Execute o algoritmo de Dijkstra, com o mesmo estilo de tabela que usamos para a execução do algoritmo de Prim.

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Prêmio Turing

Edsger W. Dijkstra, em 2002 Prêmio Turing, em 1972

(27)

O algoritmo de Dijkstra é amplamento usado

I Roteamento de msg em rede de computadores

I Na determinação de caminhos em aplicativos

I e em muitas outras aplicações, de forma indiretas

Estima-se que seja o algoritmo que mais vezes é executado por minuto, no mundo.