Cálculo Diferencial em
R
Mariana Dias Júlia Justino
Conteúdo
1 Cálculo Diferencial em R 1
1.1 Definição de derivada num ponto . . . 1
1.2 Interpretação geométrica . . . 2
1.3 Derivadas laterais . . . 4
1.4 Diferenciabilidade e continuidade . . . 6
1.5 Função derivada . . . 8
1.6 Regras de derivação . . . 8
1.7 Teoremas fundamentais das funções diferenciáveis . . . 11
1.7.1 Teorema de Rolle . . . 12
1.7.2 Regra de Cauchy . . . 13
1.7.3 Teorema de Lagrange . . . 15
1.8 Derivadas de ordem superior . . . 16
1.9 Fórmula de Taylor . . . 16
1.10 Aplicações das derivadas . . . 20
1.10.1 Monotonia e extremos . . . 20
1.10.2 Concavidades e pontos de inflexão . . . 21
1.10.3 Problemas de otimização . . . 22
1.11 Estudo de funções . . . 23
1.12 Exercícios propostos . . . 29
1
Cálculo Diferencial em
R
O estudo das principais características de uma função pode ser feito através do conceito de derivada de uma função. Nesta área destacaram-se vários matemáticos a partir do século XVII, como Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), os grandes criadores do cálculo infinitesimal. O matemático Leonhard Euler (1707-1783) clarificou um conjunto
de notações usadas no cálculo diferencial e o português José Anastácio da Cunha (1744-1787), através da sua obraPrincípios Matemáticos em que dedica uma parte ao cálculo diferencial,
apresentou um conjunto de definições que mereceu elogios de vários matemáticos.
Em 1821 o matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857) apresentou a ideia-chave de limite que permitiu, uns anos mais tarde, ao matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) apresentar uma definição formal da noção de limite. A partir daí o cálculo diferencial
adquiriu sustentação teórica sólida, sendo que a notação f0 foi introduzida por Lagrange
(1736-1813) no final do século XVIII.
1.1
De
fi
nição de derivada num ponto
Definição 1 A taxa média de variação de uma função f no intervalo [a, b] é dada
por:
tmv[a,b] =
f(b)−f(a) b−a .
x y
a b
( )
f a
( )
f b
b a−
( ) ( )
f b−f a
x y
a b
( )
f a
( )
f b
b a−
( ) ( )
f b−f a
Em termos físicos, a taxa média de variação corresponde à velocidade média, isto é, espaço percorrido
tempo gasto .
Definição 2 Aderivada(ou taxa de variação instantânea)de uma funçãofno ponto
x=c∈]a, b[⊆Df é o número real, se existir, dado por:
f0(c) =lim
x→c
f(x)−f(c)
x−c =hlim→0
f(c+h)−f(c)
h .
x y
c c+h
( )
f c
( )
f c+h
h
( ) ( )
f c+ −h f c
x y
c c+h
( )
f c
( )
f c+h
h
( ) ( )
Para além de f0(c), podem ser utilizadas as notações
Df(c) ou
µdf
dx
¶
(c).
Em termos físicos, a taxa de variação instantânea corresponde à velocidade instantânea.
Definição 3 Se uma função fadmite derivada finita num ponto x=c∈]a, b[⊆Df, diz-se
que f é diferenciável em c.
Se não existir derivada finita no ponto, diz-se que a função não é diferenciável nesse ponto.
Exemplo 1 A distância, em metros, percorrida por um móvel ao longo de uma linha reta,
t segundos depois de partir, é dada pela função definida por:
f(t) =2t2, 0≤t≤10.
Tem-se que tvm[1,5] =
f(5)−f(1) 5−1 =
2×52−2×12
4 =
50−2
4 =
48 4 =12.
Assim, a velocidade média do móvel no intervalo [1, 5] é de 12 m/s.
Além disso,
f0(1) = lim
h→0
f(1+h)−f(1)
h =hlim→0
2(1+h)2−2×12
h =hlim→0
2¡1+2h+h2¢−2
h
= lim
h→0
2+4h+2h2−2
h =hlim→0
4h+2h2
h (0
0)
= lim
h→0
h(4+2h)
h =hlim→0(4+2h) =4.
Logo, a velocidade do móvel no instante t = 1 é de 4 m/s. Portanto, f é diferenciável no
ponto t=1.
1.2
Interpretação geométrica
Propriedade 1 Caso f seja diferenciável em c∈]a, b[⊆Df, a derivada de f emc
corres-ponde ao declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c)) cuja equação é dada
por:
y−f(c) =f0(c) (x−c).
Para determinar o declive da reta tangente a uma curva num ponto (c, f(c)), considera-se um número muito pequeno h, diferente de zero e, sobre a curva, considera-se o ponto (c+h, f(c+h)). Quando h → 0, a linha secante, definida pelos pontos de abcissas c e c+h, tende para uma posição limite que é reta tangente à curva no ponto (c, f(c)). Como o declive da secante é dado por
f(c+h)−f(c)
h ,
o declive da reta tangente ao gráfico de fno ponto(c, f(c)) é dado por lim
h→0
f(c+h)−f(c)
x y
c c+h
( )
f c
( )
f c h+
h
( ) ( )
f c h+ −f c
x y
c c h+
( )
f c
( )
f c h+
h
( ) ( )
f c h+ −f c
x y
recta tg recta secante recta secante
c
( )
f c x
y
c c+h
( )
f c
( )
f c h+
h
( ) ( )
f c h+ −f c
x y
c c h+
( )
f c
( )
f c h+
h
( ) ( )
f c h+ −f c
x y
recta tg recta secante recta secante
c
( )
f c
Quando os dois pontos(c, f(c))e(c+h, f(c+h))se aproximam indefinidamente, a secante acaba por trasformar-se na tangente à curva no ponto (c, f(c)), isto é, calcula-se o limite do declive da secante quando a distância entre os dois pontos tende para zero (h→0). Em relação à reta normal, a reta perpendicular à reta tangente que também passa pelo
ponto (c, f(c)),a equação é dada por
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
y−f(c) =− 1
f0(c)(x−c) , se f 0
(c)6=0
x=c , se f0
(c) =0 .
Exemplo 2 Observe-se a representação gráfica da função f e as retas tangentes ao gráfico
nos pontos de abcissa a, b, c e d.
x y
a b c d
( )
f x
x y
a b c d
( )
f x
Tem-se que:
• f0
(a) > 0, porque o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é positivo;
• f0(c)
< 0, porque o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é negativo;
• f0
Além disso, f0(a)> f0(b),
porque o declive da reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa
a é maior do que o declive da reta tangente ao gráfico de fno ponto de abcissa b.
Exemplo 3 Considere-se a função f(x) =3x2+2.
f0
(1) = lim
h→0
f(1+h)−f(1)
h =hlim→0
3(1+h)2+2−5
h =hlim→0
3+6h+3h2−3
h
= lim
h→0
6h+3h2
h =hlim→0
h(6+3h)
h =hlim→0(6+3h) =6,
donde f é diferenciável em1.
Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=1 é dada por
y−f(1) =f0(1) (x−1)
⇔y−5=6(x−1)⇔
⇔y=6x−6+5⇔y=6x−1
e a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto x=1 é dada por
y−f(1) =− 1
f0(1)(x−1)⇔y−5=−
1
6(x−1)
⇔y=−1
6x+ 1
6+5⇔y=− 1 6x+
31 6 .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 1 2 3 4 5 6 7
x y
( ) 2
3 2
f x= +x
6 1
= −
y x
1 31 6 6
=− +
y x
1.3
Derivadas laterais
Definição 4 Dada uma função real de variável real f e c ∈ ]a, b[ ⊆ Df, definem-se as
seguintes derivadas laterais de f no ponto x=c:
(i)
f0(c+) =f0d(c) = lim
x→c+
f(x)−f(c)
x−c =hlim→0+
f(c+h)−f(c)
h ,
a que se chama derivada à direita de c.
(ii)
f0(c−) =f0e(c) = lim
x→c−
f(x)−f(c)
x−c =hlim→0−
f(c+h)−f(c)
h ,
Teorema 2 Uma função fé diferenciável num ponto x=cse e só se existem, são finitas e
iguais as derivadas laterais nesse ponto. Nesse caso, f0
(c) =f0
(c+) =f0
(c−).
Observação 1 Em termos geométricos as derivadas laterais correspondem aos declives das
semitangentes à esquerda e à direita ao gráfico da função f no ponto de abcissa x=c.
Só existe derivada de uma função num ponto quando as semitangentes estão no prolonga-mento uma da outra.
x y
c
Semitangente à esquerda
( )
'
m=f c−
Semitangente à direita
( )
'
m=f c+ x y
c
Semitangente à esquerda
( )
'
m=f c−
Semitangente à direita
( )
'
m=f c+
Exemplo 4 Considere a função real de variável real
f(x) =
±
x+1 , x < 1 −x2+3 , x≥1 .
-3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3 x y ( ) f x
-3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3 x y ( ) f x
Observando o gráfico da função, constata-se que não existe f0(1).
Analiticamente,
f0(1+) = lim
h→0+
f(1+h)−f(1)
h =hlim→0+
³
−(1+h)2+3´−¡−12+3¢ h
= lim
h→0+
−1−2h−h2+3−2
h =hlim→0+
−2h−h2
h
(0 0)
= lim
h→0+
h(−2−h) h = lim
h→0+(−2−h) =−2
e
f0
(1−) = lim
h→0−
f(1+h)−f(1)
h =hlim→0−
((1+h) +1)−¡−12+3¢
h =hlim→0−
2+h−2 h
= lim
h→0−
h h =1.
Como f0(1+)6=f0(1−),
Exemplo 5 Considere a função real de variável real definida por g(x) =√3 x.
-3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3 x y
( ) 3
g x = x
-3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3 x y
( ) 3
g x = x
Observando o gráfico da função, constata-se que não existe g0(0).
Analiticamente,
g0(0+) = lim
h→0−
g(0+h)−g(0)
h =hlim→0−
3
√ h−0
h (0
0)
= lim
h→0−
3
r
h
h3 =hlim→0−
3
r
1
h2 = +∞
e
g0(0−) = lim
h→0+
g(0+h)−g(0)
h =hlim→0+
3
√ h−0
h (0
0)
= lim
h→0−
3
r
h
h3 =hlim→0−
3
r
1
h2 = +∞.
Neste caso,
g0(0+) =g0(0−) = +∞,
o que significa que existe g0(0) = +
∞. No entanto, como g0(0)
não é finita, g não é
diferenciável em 0.
Definição 5 Dada uma função f:Df ⊆R→R diz-se que:
1. fé diferenciável em ]a, b[⊆Df sefé diferenciável em todos os pontos do intervalo
]a, b[.
2. f é diferenciável em [a, b] se f é diferenciável em ]a, b[ e se existem e são finitas
as derivadas laterais f0(a+) e f0(b−)
.
1.4
Diferenciabilidade e continuidade
Teorema 3 Qualquer função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto.
Dem. Sejaf uma função diferenciável emc. Tem-se que
∀x6=c, f(x)−f(c) = f(x)−f(c)
x−c ×(x−c), donde
lim
x→c[f(x)−f(c)] =limx→c
f(x)−f(c)
x−c ×limx→c(x−c) =f
0
(c)×0.
Como fé diferenciável em c,f0
(c) existe e éfinita. Logo,
lim
x→c[f(x)−f(c)] =0, ou seja, limx→cf(x) =f(c).
Observação 2 .
• Uma função pode ser contínua num ponto e não ser diferenciável nesse ponto.
• Toda a função que não é contínua num ponto não é diferenciável nesse ponto.
Exemplo 6 Considere a f.r.v.r. definida por f(x) =|x| cujo gráfico é dado por
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x y ( )
f x =x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x y ( )
f x =x
Verifica-se facilmente que f é contínua em0. No entanto,
f0
(0−) = lim
h→0−
f(0+h)−f(0)
h =hlim→0−
−h−0 h =−1
e
f0(0+) = lim
h→0+
f(0+h)−f(0)
h =hlim→0+ h−0
h =1.
Como f0(0−)6= f0(0+), f não é diferenciável em 0.
Exemplo 7 Considere a f.r.v.r. definida por g(x) =
±
2x+1 , x < 0
x2−4 , x≥0 cujo gráfico é
dado por
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y ( ) g x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y ( ) g x Como lim
x→0−g(x) =1 6=−4 =xlim→0+g(x), não existe xlim
→0g(x). Logo, g não é contínua em 0,
donde g não é diferenciável em0. De facto,
g0(0−) = lim
h→0−
g(0+h)−g(0)
h =hlim→0−
(2h+1)−¡02−4¢
h =hlim→0−
2h+1+4 h
= lim
h→0−
2h+5
h =
5
0− =−∞
e
g0(0+) = lim
h→0+
g(0+h)−g(0)
h =hlim→0+
¡
h2−4¢−¡02−4¢
h =hlim→0+
h2−4+4
h
= lim
h→0+
h2
1.5
Função derivada
Definição 6 A função derivada de f é a função definida pelo seguinte limite
f0
(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h .
O domínio de f0
é o conjunto de todos os valores de xpara os quais o limite existe e éfinito.
Além da notação f0
(x), pode utilizar-se
Df ou
df dx.
Exemplo 8 Considere a função real de variável real definida por f(x) =x2−4. Então,
f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h =hlim→0
³
(x+h)2−4´−¡x2−4¢
h
= lim
h→0
x2+2xh+h2−4−x2+4
h =hlim→0
2xh+h2
h (0
0)
= lim
h→0
h(2x+h) h = lim
h→0(2x+h) =2x,
donde Df0 =R.
1.6
Regras de derivação
Apresentam-se em seguida algumas das regras de derivação mais usuais, obtidas a partir da definição da função derivada.
Propriedade 4 Seja f uma função real de variável real e k∈R.
1. Se f(x) =k, então f0(x) = (k)0 =0.
2. Se f(x) =x, então f0
(x) = (x)0 =1.
3. Se f(x) =xk, então f0(x) =¡
xk¢0 =kxk−1.
Propriedade 5 Sejam feg duas funções diferenciáveis em ]a, b[ e k∈R.Entãokf, f+g,
f−g, f×g, f
g (se g 6=0) e f
k são funções diferenciáveis em ]a, b[ tais que
1. (kf)0(x) =k·f0(x)
.
2. (f+g)0(x) =f0
(x) +g0
(x).
3. (f−g)0(x) =f0(x)−
g0(x)
.
4. (f×g)0(x) =f0(x)×g(x) +f(x)×g0(x).
5.
µf
g
¶0
(x) = f
0
(x)×g(x)−f(x)×g0
(x)
g2(x) .
6. ¡fk¢0(x) =kfk−1(x)f0(x)
Apenas irá ser demonstrado o resultado da derivada da soma de funções, já que os outros resultados são analogamente demonstrados.
Dem. Aplicando a definição de derivada de uma função num pontoxondefegtêm derivada
finita, tem-se
(f+g)0(x) = lim
h→0
(f+g) (x+h)−(f+g) (x)
h =hlim→0
[f(x+h) +g(x+h)]−[f(x) +g(x)] h
= lim
h→0
f(x+h) +g(x+h)−f(x)−g(x)
h =hlim→0
f(x+h)−f(x) +g(x+h)−g(x) h
= lim
h→0
f(x+h)−f(x) h +hlim→0
g(x+h)−g(x)
h =f
0
(x) +g0(x).
Propriedade 6 (derivada da função composta) Sejam f e g duas funções tais que g é
diferenciável em c e fé diferenciável em g(c). Então f◦g é diferenciável emc tal que
(f◦g)0(c) =f0[g(c)]×g0(c).
Propriedade 7 (derivada da função inversa) Sejafuma função contínua e estritamente
monótona num intervalo I⊆R. Se fé diferenciável em c∈I tal que f0(c)
6
=0, então f−1 é
diferenciável em f(c) tal que
¡
f−1¢0[f(c)] = 1 f0(c).
Propriedade 8 (derivada de funções exponenciais e logarítmicas) Sejafuma função
diferenciável em ]a, b[ e α∈R+\ {1}. Então, αf é diferenciável em ]a, b[ tal que
¡
αf¢0(x) =f0
(x)αf(x)lnα.
Em particular, ¡
ef¢0(x) =f0(x)ef(x).
Se ∀x∈]a, b[, f(x)> 0, entãologαf é diferenciável em]a, b[ tal que
(logαf)0(x) = f
0(x)
f(x)lnα.
Em particular,
(lnf)0(x) = f
0(x)
f(x).
Propriedade 9 (derivada de funções trigonométricas) Sejafuma função diferenciável
em ]a, b[. Então,
(senf)0(x) =f0
(x)cos[f(x)] ; (arcsenf)0(x) = f
0(x)
p
1−f2(x);
(cosf)0(x) =−f0(x)sen[f(x)] ; (arccosf)0(x) =− f 0
(x)
p
1−f2(x);
(tgf)0(x) = f
0(x)
cos2[f(x)]; (arctgf)
0
(x) = f
0(x)
Em particular, (senx)0 = cosx, (cosx)0 = −senx, (tgx)0 = 1
cos2x, (arcsenx)
0
= √ 1 1−x2,
(arccosx)0 =−√ 1
1−x2 e (arctgx)
0
= 1 1+x2.
Exemplo 9 .
1. ¡5+2x+3x2¢0 = (5)0
+ (2x)0+¡3x2¢0 =0+2(x)0
+3¡x2¢0 =2×1+3×2x
=2+6x.
2. £¡x4−1¢√x¤0 =¡x4−1¢0√x+¡x4−1¢ ¡√x¢0
=h¡x4¢0−(1)0i√x+¡x4−1¢ ³x12
´0
=¡4x3−0¢√x+¡x4−1¢1 2x
1 2−1
=4x3x12 +¡x4−1¢1
2x
−1
2 =4x3+ 1 2 +x
4 −1
2x12
=4x72 + x
4−1
2√x =
9x4−1
2√x .
3.
µ
x−3 x2−16
¶0
= (x−3)
0¡
x2−16¢−(x−3)¡x2−16¢0 (x2−16)2
=
£
(x)0−(3)0¤ ¡x2−16¢−(x−3)h¡x2¢0−(16)0i
(x2 −16)2 =
(1−0)¡x2−16¢−(x−3) (2x−0)
(x2−16)2
= x
2−16−(x−3)2x
(x2 −16)2 =
x2−16−2x2+6x
(x2−16)2 =
−x2 +6x−16
(x2−16)2 .
4. h(2x+3)5i
0
=5(2x+3)4(2x+3)0 =5(2x+3)4£(2x)0+ (3)0¤
=5(2x+3)4(2+0) =10(2x+3)4.
5. ³√3
x2+1´
0
=h¡x2 +1¢13i
0
= 1 3
¡
x2+1¢13−1¡x2+1¢0
= 1 3
¡
x2+1¢−
2 3 h¡
x2¢0+ (1)0i= 1 3(x2+1)23
(2x+0) = 2x 3q3
(x2+1)2
.
6. ³ex2+x´
0
=¡x2+x¢0ex2+x =h¡x2¢0+ (x)0iex2+x = (2x+1)ex2+x.
7. ³√23x´
0
=³23 x2
´0 = µ3x 2 ¶0 √
23xln2= 3
2(x)
0√
23xln2= 3
2 √
23xln2.
8. £ln¡2x2+1¢¤0 =
¡
2x2+1¢0
2x2+1 =
¡
2x2¢0 + (1)0
2x2+1 =
2×2x+0 2x2+1 =
4x 2x2+1.
9. ¡log3
√ x¢0 =
¡√
x¢0 √
xln3 =
³
x12
´0
√
xln3 =
1
2x
1 2−1
√
xln3 = x−12
2√xln3 =
1
10. £sen¡3x2 +x¢¤0 =¡3x2+x¢0cos¡3x2+x¢ =h¡3x2¢0+ (x)0i
cos¡3x2+x¢
= (3×2x+1)cos¡3x2+x¢ = (6x+1)cos¡3x2+x¢.
11. £cos¡x2 −1¢¤0 =−¡x2−1¢0sen¡x2−1¢=−h¡x2¢0−(1)0i
sen¡x2−1¢
=−(2x−0)sen¡x2−1¢=−2xsen¡x2 −1¢.
12. £tg¡x3¢¤0 =
¡
x3¢0
cos2(x3) =
3x2
cos2(x3).
13. £arctg¡2x3¢¤0 =
¡
2x3¢0
1+ (2x3)2 =
6x2 1+4x6.
Exemplo 10 Sejam f e g funções reais de variável real tais que ∀x > 0, f0(x) =
3x e
g(x) =log2x. Pretente-se determinar o valor de (f◦g)0(4).
Tem-se que
g(4) =log2(4) =log2¡22¢ =2log2(2) =2.
Além disso,
g0(x) = (log
2x)
0
= 1
xln2, donde g
0
(4) = 1 4ln2.
Logo,
(f◦g)0(4) =f0[g(4)]×g0(4) =f0(2)× 1
4ln2 = 6 4ln2 =
3 2ln2 =
3 ln4.
1.7
Teoremas fundamentais das funções diferenciáveis
Nesta secção apresentam-se os teoremas de Rolle e de Lagrange e suas aplicações. Recorde-se que dada uma função f:D⊂R→R ec∈D,• f(c) é um máximo relativo def se existe um intervalo]a, b[⊂D tal que c∈]a, b[ e f(c)≥f(x),∀x∈]a, b[.
• f(c) é um mínimo relativo de fse existe um intervalo ]a, b[⊂D tal que c∈]a, b[ e f(c)≤f(x),∀x∈]a, b[.
Definição 7 Dada uma função real de variável real f e c ∈ Df, diz-se que f(c) é um
extremo local de f sef(c) é um máximo ou mínimo relativo def.
O próximo resultado afirma que se uma função diferenciável num ponto tem extremo local
nesse ponto, então a reta tangente ao gráfico da função nesse extremo é horizontal.
Teorema 10 Sejam f: [a, b]→R diferenciável em ]a, b[ e c∈]a, b[.
Se f(c) é um extremo de f, entãof0
Dem. Suponhamos que f tem um máximo relativo emx=c. Então, f(x)≤ f(c), ou seja f(x)−f(c) ≤ 0, qualquer que seja x pertencente a um intervalo aberto centrado em c e dentro do domínio def. Então, para x < c
f0
(c−) = lim
x→c−
f(x)−f(c) x−c ≥0. Analogamente, para x > c
f0(c+) = lim
x→c+
f(x)−f(c) x−c ≤0. Como fé diferenciável em c, podemos concluir que
0≤f0
(c−) =f0
(c) =f0
(c+)≤0, ou seja, f0
(c) =0.
A demonstração é análoga para o caso em que a funçãoftem um mínimo relativo emx=c.
Observação 3 O recíproco da proposição anterior é falso, isto é, se existe c ∈ ]a, b[, tal
quef0
(c) =0,não significa que f(c)seja um extremo def.Por exemplo, a funçãof(x) =x3
é estritamente crescente em R, pelo que não tem nenhum extremo. No entanto, f0
(0) =0.
1.7.1 Teorema de Rolle
O resultado seguinte afirma que dados dos pontos, A e B, do gráfico de uma função
dife-renciável a uma mesma altura, existe pelo menos um ponto C desse gráfico em que a reta tangente é horizontal.
Teorema 11 (teorema de Rolle) Seja f : [a, b] → R uma função contínua em [a, b] e
diferenciável em ]a, b[. Se f(a) =f(b), então existe c∈]a, b[ tal que f0(c) =
0.
Dem. Pelo teorema de Weierstrass podemos concluir que a função ftem um máximo M e um mínimo mno intervalo[a, b].
Sem=M, entãof é constante, dondef0
(x) =0,∀x∈]a, b[.
Se m 6= M, como f(a) = f(b), então a função atinge o máximo M ou o mínimo m em x=c, onde c∈]a, b[. Pelo teorema 10, f0(c) =0.
Exemplo 11 Sejaf(x) =x2+x. Como fé uma função polinomial, tem-se que fé
diferen-ciável em R. Além disso, f(−2) =f(1), donde f satisfaz as condições do teorema de Rolle.
Assim,
∃c∈]−2, 1[ :f0
(c) =0.
De facto,
f0(x) =2x+1,∀x∈R,
donde
f0
(x) =0⇔x=−1
2 ∈]−2, 1[.
Corolário 12 Se f: [a, b]→R é uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[,
então entre dois zeros consecutivos de f há, no mínimo, um zero de f0.
Corolário 13 Se f: [a, b]→R é uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[,
então entre dois zeros consecutivos de f0
1.7.2 Regra de Cauchy
Uma das aplicações mais relevantes do teorema de Rolle no cálculo de derivadas é a sua utilização no levantamento de indeterminações do tipo 0
0 ou do tipo
∞
∞ no cálculo de limites.
Propriedade 14 (regra de Cauchy) Sejam f, g: D⊆ R→ R funções diferenciáveis em
]a, b[⊆D, com a, b∈R∪{−∞,+∞}, e c=a ou c=b tais que
• g0(x)
6
=0,∀x∈]a, b[ ;
• lim
x→cf(x) =xlim→cg(x) =0 ou xlim→cf(x) =xlim→cg(x) =∞;
• lim
x→c
f0(x)
g0(x) existe.
Então,
lim
x→c
f(x)
g(x) =xlim→c
f0
(x) g0(x).
Observação 4 Caso não exista lim
x→c
f0(x)
g0(x) não se pode aplicar a regra de Cauchy, devendo
utilizar-se outro processo para determinar lim
x→c
f(x) g(x).
Exemplo 12 Calculemos o valor do limite
lim
x→0
x2sen
µ1
x
¶
senx
que é uma indeterminação do tipo 0
0.
Tem-se que f(x) = x2sen
µ1
x
¶
e g(x) =senx são funções diferenciáveis em R\ {0}. Além
disso, g0(x) =cosx6=0,
∀x∈]−1, 0[∪]0, 1[.
No entanto,
lim
x→0
f0(x)
g0(x) =xlim
→0
2xsen
µ
1 x
¶
−cos
µ
1 x
¶
cosx não existe.
Portanto, não se pode aplicar a regra de Cauchy.
Por outro lado, sabe-se que lim
x→0
senx
x =1 e que o limite de um infinitésimo por uma função
limitada é um infinitésimo. Assim,
lim
x→0
x2sen
µ1
x
¶
senx =xlim→0
x
senx×x·sen
µ1
x
¶
Exemplo 13 Calculemos o valor do limite
lim
x→+∞
lnx 2x+1
que é uma indeterminação do tipo ∞
∞.
Tem-se que f(x) = lnx e g(x) = 2x +1 são funções diferenciáveis em ]0,+∞[ tais que
g0(x) =
26=0,∀x∈]0,+∞[. Além disso,
lim
x→+∞
f0(x)
g0(x) =xlim
→+∞
1 x
2 =x→lim+∞
1 2x =0.
Assim, pela regra de Cauchy,
lim
x→+∞
lnx
2x+1 =x→lim+∞
1 2x =0.
Exemplo 14 Calculemos o valor do limite
lim
x→0
x2−sen2x
x3
que é uma indeterminação do tipo 0
0.
Tem-se que f(x) = x2 − sen2x e g(x) = x3 são funções dierenciáveis em R tais que
g0(x) =
3x2 6=0,∀x6=0. Além disso,
lim
x→0
f0
(x)
g0(x) =limx
→0
2x−2senxcosx 3x2 =xlim→0
2x−sen(2x) 3x2
é também uma indeterminação do tipo 0
0.
Utilizando justificações análogas às do caso anterior, vamos então estudar o seguinte limite
do quociente de derivadas:
lim
x→0
[2x−sen(2x)]0
(3x2)0 =xlim→0
2−2cos(2x) 6x
que se mantem uma indeterminação do tipo 0
0. No entanto,
lim
x→0
[2−2cos(2x)]0
(6x)0 =limx→0
4sen(2x) 6 =0.
Assim, aplicando sucessivamente a regra de Cauchy,
lim
x→0
x2 −sen2x
x3 =xlim→0
2x−sen(2x)
3x2 =xlim→0
2−2cos(2x)
6x =limx→0
1.7.3 Teorema de Lagrange
O resultado seguinte afirma que dados dois pontos,AeB,do gráfico de uma função
diferen-ciável, existe pelo menos um ponto Cdesse gráfico em que a reta tangente é paralela à reta secante definida por A eB.
Teorema 15 (teorema de Lagrange) Seja f: [a, b]→R uma função contínua em [a, b]
e diferenciável em ]a, b[. Então, existe c∈]a, b[ tal que
f0
(c) = f(b)−f(a) b−a .
Dem. Considere-se a função
g(x) =f(x)− f(b)−f(a)
b−a x (1)
definida em [a, b] que verifica as condições do teorema de Rolle. Então,
g(a) =f(a)− f(b)−f(a) b−a a=
f(a) (b−a)−[f(b)−f(a)]a
b−a =
f(a)b−f(b)a b−a e
g(b) =f(b)−f(b)−f(a) b−a b=
f(b) (b−a)−[f(b)−f(a)]b
b−a =
f(a)b−f(b)a b−a .
Portanto,g(a) =g(b).Pelo teorema de Rolle, conclui-se que ∃c∈]a, b[ :g0
(c) =0,
donde, por(1),
∃c∈]a, b[ :f0
(c)− f(b)−f(a) b−a =0,
ou seja, f0
(c) = f(b)−f(a) b−a .
Corolário 16 Seja f uma função nas condições do teorema de Lagrange tal que f0
(x) = 0,
para todo o x∈]a, b[. Então, f é constante no intervalo [a, b].
Corolário 17 Seja fuma função nas condições do teorema de Lagrange. Então,
1. f é crescente em ]a, b[⇔f0
(x)≥0,∀x∈]a, b[ ;
2. f é estritamente crescente em ]a, b[⇔f0(x)
> 0,∀x∈]a, b[ ;
3. f é decrescente em ]a, b[⇔f0(x)
≤0,∀x∈]a, b[ ;
4. f é estritamente decrescente em]a, b[⇔f0
1.8
Derivadas de ordem superior
Definição 8 Dado um intervalo aberto I e uma função f : D ⊆ R → R diferenciável em
I⊆D, diz-se que f tem segunda derivada emc ∈I sef0
é diferenciável em c, ou seja,
f00(c) = (f0
)0(c) =lim
x→c
f0(x)−
f0(c)
x−c existe e é finito.
Para além de f00(c),
podem ser utilizadas as notações
D2f(c) ou
µd2f
dx2
¶
(c).
Em termos físicos, a segunda derivada de f corresponde à aceleração instantânea.
Analogamente, se f00 for uma função diferenciável em
c ∈ I definimos f000
(c) = (f00
)0(c). De forma sucessiva, se existirem e forem diferenciáveis em c as funções f0
, f00
, f000
, . . . , f(n−1),
podemos definir a derivada de ordemn (comn > 1) como f(n)(c) =¡f(n−1)¢0(c) e dizemos
que fé n-vezes diferenciável em c.
Exemplo 15 Seja g(x) = senx definida em R. A função g é 4-vezes diferenciável em R.
De facto, ∀x∈R,
g0(x) = cosx; g00(x) = (g0
)0(x) = (cosx)0 =−senx; g000(x) = (g00)0(x) = (−senx)0 =−cosx; g(4)(x) = (g000)0(x) = (−cosx)0 =senx.
Exemplo 16 Sejaf(x) = ex definida em R. A função f é n-vezes diferenciável em R. De
facto, ∀x∈R,
f(n)(x) =ex, para qualquer n∈N.
1.9
Fórmula de Taylor
Sem o resurso de uma calculadora, ou de um computador, não é fácil calcular grande parte dos valores de funções relativamente simples, como a função logarítmica ou a função seno. No entanto, se fôr possível aproximar estas funções por polinómios, onde apenas intervêm as operações algébricas da soma e do produto, pode-se utilizar o valor do polinómio em vez do valor da função, desde que a diferença entre o valor exato da função e o valor aproximado do polinómio seja suficientemente pequena, ou seja, desde que o erro cometido seja tão pequeno
quanto se queira.
Considere-se, por exemplo, a função f(x) = ex e os polinómios P
1(x) = 1 + x e
P2(x) =1+x+
x2
2 cuja representação gráfica é dada por:
f
P2 P1
Em relação ao ponto (0, 1), verifica-se queP2 é uma melhor aproximação de fdo queP1.
Definição 9 Seja f uma função n-vezes diferenciável em a. Define-se polinómio de
Taylor de grau n de f em a como sendo
Pn(x) =f(a) +f0(a) (x−a) +
f00(a)
2! (x−a)
2
+. . .+f
(n)(a)
n! (x−a)
n
,
∀x∈]a−ε, a+ε[⊆Df, com ε> 0.
Observação 5 No caso particular em que a = 0, o polinómio de Taylor designa-se por
polinómio de Maclaurin.
No caso particular do polinómio de Taylor de grau 1,
P1(x) =f(a) +f0(a) (x−a)
o termo f0(a) (x−a) corresponde ao conceito do diferencial de f ema, sabendo que, para
valores de xpróximos de a, se tem
f(x)≈P1(x).
Definição 10 Seja f : D ⊆ R → R uma função diferenciável em a ∈ D. Define-se
difer-encial de f em a relativamente ao acréscimo ∆x=x−a ao polinómio
df =f0(a)∆x
que, para valores de x próximos dea, dá um valor aproximado da diferença finita de f
∆f=f(x)−f(a).
Ou seja,
Exemplo 17 Considere-se a função f(x) = lnx definida em ]0,+∞[ e a = 1. Com f é
3-vezes diferenciável em a=1, tem-se que
f(1) = 0;
f0
(x) = 1 x ⇒f
0
(1) =1;
f00(x) = −1 x2 ⇒f
00
(1) =−1;
f000(x) = 2 x3 ⇒f
00
(1) =2.
Assim, o polinómio de Taylor de grau 3 de f ema=1 é definido por
P3(x) = 0+1(x−1)−
1
2!(x−1)
2
+ 2
3!(x−1)
3
= (x−1)− 1
2(x−1)
2
+ 1
3(x−1)
3
,∀x∈]0, 2[.
f
Além disso, o diferencial de f no ponto a=1 é
df =f0(1) (x−1) =x−1.
Exemplo 18 Calculemos um valor aproximado dee0.1,utilizando o polinómio de Maclaurin
de grau 1 da função exponencial. Seja f(x) =ex. Então,
P1(x) =f(0) +f0(0) (x−0) =1+x,
donde
f(0.1)≈P1(0.1), ou seja, e0.1 ≈1.1.
Definição 11 Dada uma função f n-vezes diferenciável ema e Pn o respetivo polinómio de
Taylor de grau n ema, define-seresto de ordem n como sendo a função
Rn(x) =f(x)−Pn(x),
que corresponde ao erro cometido na aproximação de f por pn.
Teorema 18 (fórmula de Taylor) Seja f uma função n-vezes diferenciável em a e Pn o
respetivo polinómio de Taylor de grau n em a. Então,
f(x) =Pn(x) +Rn(x)
tal que
lim
x→a
Rn(x)
(x−a)n =0.
Observação 6 Paraa=0, a fórmula anterior designa-se por fórmula de Maclaurin.
Das várias formas que se podem deduzir para calcular explicitamente Rn(x), resto
inte-gral, resto de Lagrange e resto de Cauchy, apresenta-se em seguida a expressão do resto de Lagrange.
Teorema 19 (resto de Lagrange) Sejafuma função(n+1)-vezes diferenciável num
in-tervalo aberto I⊆Df tal que a∈I. Então, para cada x∈I, existe c entre a e x tal que
Rn(x) =
f(n+1)(c)
(n+1) ! (x−a)
n+1
.
Exemplo 19 Considere-se a função f(x) =exsenx, n-vezes diferenciável em R,∀n∈N.
Em particular, f é 4-vezes diferenciável em R tal que
f0
(x) = ex(senx+cosx), f00(x) = 2excosx,
f000(x) = 2ex(cosx−senx) e
Pela fórmula de Maclaurin de grau 3,
f(x) =f(0) +f0(0) (x−0) + f
00(0)
2! (x−0)
2
+ f
000(0)
3! (x−0)
3
+R3(x)
tal que lim
x→0
R3(x)
x3 =0.
Aplicando o resto de Lagrange, conclui-se que para cada x∈]−1, 1[, existe c entre0 e xtal
que
f(x) =0+1×x+ 2 2!x
2+ 2
3!x
3− 4e
csenc
4! x
4,
ou seja,
exsenx=x+x2 +x
3
3 −
ecsenc
6 x
4,
com0 < c < x oux < c < 0.
1.10
Aplicações das derivadas
Nesta secção irão ser abordadas algumas das aplicações mais importantes do cálculo de derivadas.
1.10.1 Monotonia e extremos
Recorde-se que, através do corolário 17 do teorema de Lagrange visto na subsecção 1.7.3, dado um intervalo]a, b[⊂R, coma, b∈R, e uma função real de variável realfdiferenciável em]a, b[, tem-se que:
• fé crescente em ]a, b[⇔f0(x)>0,∀x∈]a, b[ ;
• fé decrescente em ]a, b[⇔f0(x)60,∀x∈]a, b[. Pela definição de máximo e de mínimo relativos sabe-se que:
• f(c) é um máximo relativo se fé crescente em ]a, c[ e decrescente em]c, b[ ;
• f(c) é um mínimo relativo sef é decrescente em]a, c[ e crescente em ]c, b[.
Assim, para determinar os extremos de uma função diferenciável, identificam-se os zeros da
função derivada e analisam-se os sinais à esquerda e à direita desses zeros.
Exemplo 20 Considere a função definida por f(x) = 2−e−x4
. Como f é diferenciável em
R,
f0(x) =−¡−x4¢0 ·e−x4 =4x3e−x4.
Portanto,
f0(x) =0⇔4x3·e|{z}−x4
>0
=0⇔x=0.
Assim,
x∈D −∞ 0 +∞ f0(x) − 0 +
f(x) & 1 %
donde se conclui quefé decrescente em]−∞, 0]e crescente em [0,+∞[.Logo,y=1=f(0)
Exemplo 21 Considere a função definida por g(x) = 2−x3. Como g é diferenciável em
R, g0(x) =−3x2.
Logo,
g0(x) =0⇔−3x2 =0⇔x=0.
Assim,
x∈D −∞ 0 +∞ g0(x) − 0 −
g(x) & 2 &
donde se conclui que g é decrescente em R. Logo, g não tem extremos.
Notação 20 Podem existir extremos de um função em pontos do domínio em que não exista
derivada. Por exemplo, para f(x) = |x| tem-se que y= 0 = f(0) é mínimo relativo de f e
no entanto não existe derivada de f no ponto x=0.
1.10.2 Concavidades e pontos de inflexão
Considere f : D ⊂ R −→ R uma função diferenciável em ]a, b[ ⊂ D. Então, f tem a
concavidade voltada para cima em]a, b[ se o gráfico de f está acima da reta tangente
em todos os pontos de ]a, b[ e f tem a concavidade voltada para baixo em ]a, b[ se o gráfico de festá abaixo da reta tangente em todos os pontos de ]a, b[.
Propriedade 21 Seja f: ]a, b[⊂R−→R 2-vezes diferenciável em ]a, b[. Então,
1. sef00(x)> 0,∀x∈]a, b[, f tem a concavidade voltada para cima em]a, b[ ;
2. sef00(x)< 0,∀x∈]a, b[, f tem a concavidade voltada para baixo em]a, b[.
Considere f : D ⊂ R −→ R tal que f é diferenciável num ponto c ∈ D. Recorde-se que (c, f(c))é umponto de inflexãodefse, neste ponto, ocorre uma mudança de concavidade no gráfico def.
Assim, para determinar os pontos de inflexão de uma função diferenciável, identificam-se os
Exemplo 22 Considere a função definida por f(x) = x3 − 6x2. Tem-se que f é 2-vezes
diferenciável em R tal que
f0(x) =3x2−12x e f00(x) =6x−12.
Logo,
f00(x) =0⇔6x−12=0⇔x=2.
Assim,
x∈D −∞ 2 +∞ f00(x) − 0 +
f(x) ∩ −16 ∪
donde se conclui que f tem a concavidade voltada para baixo em ]−∞, 2[ e a concavidade
voltada para cima em ]2,+∞[. Portanto, (2,−16) é ponto de inflexão de f.
Observação 7 Combinando os sinais de f0
e f00
tem-se:
Sinal de f0
e f00
Propriedades do gráfico de f
f0
(x)> 0 f é estritamente crescente e tem
e f00(x)
> 0 concavidade voltada para cima
f0
(x)> 0 f é estritamente crescente e tem
e f00(x)
< 0 concavidade voltada para baixo
f0(x)
< 0 f é estritamente decrescente e tem e f00(x)> 0
concavidade voltada para cima
f0(x)
< 0 f é estritamente decrescente e tem e f00(x)< 0
concavidade voltada para baixo
Forma do gráfico
1.10.3 Problemas de otimização
As derivadas também se aplicam na resolução de problemas de otimização, isto é, problemas de máximos e de mínimos.
Suponhamos que se pretende construir um cilindro com 169, 56 cm3 de volume mas de modo a minimizar a quantidade de material utilizado na sua construção. É então necessário descobrir qual o cilindro com 169, 56cm3 de volume que tem a área total mínima.
De modo a simplificar os cálculos assumimos queπ=3, 14. Sabemos que a área da base do cilindro é dada por
Ab =2πr2
e a área lateral do cilindro é dada por
Al =2πrh.
Então, a área total do cilindro é dada por
A=Ab+Al =2πr2+2πrh.
Por outro lado, o volume do cilindro é dado por V =πr2h.
Assim,
169, 56=πr2h⇔h= 169, 56 πr2 =
54 r2.
Subtituindo h na fórmula da área total, tem-se que
A=2πr2+2πr· 54
r2 =2πr
2+2π54
r =2π
µ
r3+54
r
¶
.
Agora basta procurar os extremos deA, considerandoAuma função a depender da variávelr.
A0 =2π
µr3+54
r
¶0
=2π
Ã
3r2 ·r−¡r3+54¢
r2
!
=2π
µ2r3−54
r2
¶
.
Logo,
A0 =0⇔ 2r
3 −54
r2 =0⇔2r
3−54=0∧r6=0
⇔r=3.
Assim,
r∈]0,+∞[ 0 3 +∞
A0 − 0 +
A & 54π %
donde se conclui que54πé um mínimo relativo de A, pelo que se deve construir um cilindro comr=3 cm e h=6 cm de modo a minimizar a área.
1.11
Estudo de funções
O gráfico de uma função pode ser muito útil para visualizar as propriedades dessa função.
De facto, através da observação do gráfico de uma função é possível compreender e sintetizar
1. Domínio;
2. Estudo da continuidade no domínio; 3. Assíntotas;
4. Zeros da função;
5. Intervalos de monotonia e extremos; 6. Concavidades e pontos de inflexão.
Depois de obtidos todos estes itens, têm-se todos os elementos necessários para esboçar o gráfico da função. A este processo dá-se o nome de estudo da função.
Notação 22 Nesta secção n.d. será a abreviatura de não definido.
Exemplo 23 Considere a função definida por f(x) = x
2−2x+1
x+1 . Pretende-se fazer o
estudo desta função.
1. O domínio de f é Df =R\ {−1}.
2. ∀x∈Df,f(x)é quociente com denominador não nulo de funções contínuas (polinómios).
Portanto, f é contínua em Df.
3. Assíntotas verticais (pois −1 /∈Df mas é ponto de acumulação de Df):
lim
x→−1−f(x) =x→lim−1−
x2 −2x+1
x+1 = 4
0− =−∞
e
lim
x→−1+f(x) =xlim
→−1+
x2−2x+1
x+1 = 4
0+ = +∞.
Logo, x=−1 é assíntota vertical do gráfico de f.
Assíntotas não verticais:
m = lim
x→±∞
f(x)
x =x→lim±∞
x2−2x+1
(x+1)x =x→lim±∞
x2−2x+1
x2+x
= lim
x→±∞
1− 2x + 1 x2
1+1x =1∈R
e
b = lim
x→±∞[f(x)−mx] =x→lim±∞
µ
x2−2x+1 x+1 −x
¶
= lim
x→±∞
x2−2x+1−x2−x
x+1 =x→lim±∞
1−3x x+1
= lim
x→±∞
1
x −3
1+1 x
=−3∈R.
4. ∀x∈Df,
f(x) =0⇔ x
2 −2x+1
x+1 =0⇔x
2−2x+1=0
⇔(x−1)2 =0⇔x−1=0⇔x=1.
5. ∀x6=1,
f0(x) =
µ
x2 −2x+1
x+1
¶0
= (2x−2) (x+1)−
¡
x2−2x+1¢
(x+1)2
= 2x
2+2x+2x−2−x2+2x−1
(x+1)2 =
x2+2x−3
(x+1)2 .
Logo,
f0(x) =0⇔ x
2 +2x−3
(x+1)2 =0⇔x
2+2x−3=0⇔x= −2±
p
4−4(−3) 2
⇔x= −2±4
2 ⇔x=−3∨x=1.
x −∞ −3 −1 1 +∞
x2+2x−3 + 0 − −4 − 0 +
(x+1)2 + + + 0 + + +
f0(x) + 0 − n.d. − 0 +
f(x) % −8 & n.d. & 0 %
Portanto, f é crescente em ]−∞,−3] e em [1,+∞[ e é decrescente em [−3,−1[ e em
]−1, 1], donde se conclui que −8=f(−3) é máximo relativo def e 0=f(1)é mínimo
relativo de f.
6. ∀x6=1,
f00(x) =
Ã
x2 +2x−3
(x+1)2
!0
= (2x+2) (x+1)
2−
2(x+1)¡x2+2x−3¢
(x+1)4
= (x+1)
£
(2x+2) (x+1)−2¡x2+2x−3¢¤
(x+1)4
= 2x
2+2x+2x+2−2x2−4x+6
(x+1)3 = 8 (x+1)3.
Então,
f00(x) =0⇔ 8
(x+1)3 =0,
que é uma condição impossível donde se conclui que não existem pontos de inflexão.
No entanto,
x −∞ −1 +∞
8 + 8 +
Portanto, f tem a concavidade voltada para baixo em ]−∞,−1[ e tem a concavidade
voltada para cima em ]−1,+∞[.
Assim, de acordo com a informação obtida, o esboço do gráfico def será:
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16
x y
Exemplo 24 Considere a função definida porg(x) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
ex
x x > 0 x
x2+1 x60
. Pretende-se fazer
o estudo desta função.
1. O domínio de g é
Dg = {x∈R: (x6=0∧x > 0)∨x60}
= {x∈R:x > 0∨x60}=R.
2. ∀x > 0, g(x) = e
x
x é quociente com denominador não nulo de funções contínuas
(função exponencial e polinómio). ∀x < 0, g(x) = x
x2+1 é quociente com
denomi-nador não nulo de funções contínuas (polinómios). Portanto, g é contínua em R\ {0}.
Além disso,
lim
x→0−g(x) =xlim→0−
x
x2+1 =0
e
lim
x→0+g(x) =xlim
→0+ ex
x = 1
0+ = +∞,
donde se conclui que não existe lim
x→0g(x). Portanto,g não é contínua no pontox=0.
3. Assíntotas verticais (pois g não é contínua em 0):
Comolim
x→0+g(x) = +∞,x=0 é assíntota vertical do gráfico de g.
Assíntotas não verticais:
lim
x→+∞
g(x)
x =x→lim+∞
ex
mas
m= lim
x→−∞
g(x)
x =x→lim+∞
x
(x2+1)x =x→lim+∞
1
x2 +1 =0.
Logo,
b = lim
x→−∞[g(x)−mx] =x→lim−∞g(x) =x→lim−∞
x x2+1
= lim
x→−∞
1 x
1+ 1 x2
=0.
Assim, y=0 é assíntota horizontal do gráfico deg.
4. ∀x > 0,g(x) = e
x
x > 0e ∀x60, g(x) = x
x2+1 =0⇔x=0.
5. Note-se que seg não é contínua em0,gnão é diferenciável em0e portanto não existe
derivada de g no ponto x=0. Além disso,
∀x > 0, g0(x) =
µ
ex
x
¶0
= e
x·x−ex
x2 =
ex(x−1)
x2
e
∀x < 0, g0(x) =
µ x
x2+1
¶0
= x
2 +1−2x·x
(x2+1)2 =
1−x2
(x2+1)2.
Logo,
∀x > 0, g0(x) =0⇔ e
x(x−1)
x2 =0⇔x=1
e
∀x < 0, g0(x) =0⇔ 1−x
2
(x2 +1)2 =0⇔x=−1.
Assim,
x −∞ −1 0 1 +∞
ex(x−1) − 0 +
x2 + 1 +
1−x2 − 0 +
¡
x2+1¢2 + 4 +
g0(x) − 0 + n.d. − 0 +
g(x) & −12 % 0 & e %
Portanto, g é crescente em [−1, 0[ e [1,+∞[ e é decrescente em ]−∞,−1] e ]0, 1],
donde se conclui que −1
2 =g(−1) e e=g(1) são mínimos relativos de g.
6. ∀x > 0,
g00(x) =
µex(x−1)
x2
¶0
= [e
x(x−1) +ex]x2−2x·ex(x−1)
x4
= e
xx3−xex(2x−2)
x4 =
xex¡x2−2x+2¢
x4 =
e ∀x < 0,
g00(x) =
Ã
1−x2 (x2+1)2
!0
= −2x
¡
x2 +1¢2−2¡x2+1¢2x¡1−x2¢
(x2 +1)4
= 2x
¡
x2+1¢ £−¡x2+1¢−2¡1−x2¢¤
(x2+1)4 =
2x£−x2−1−2+2x2¤
(x2+1)3
= 2x
¡
x2−3¢
(x2+1)3 .
Logo,
∀x > 0, g00(x) =0⇔
exh(x−1)2
+1i x3 =0,
que é uma condição impossível pois exh(x−1)2+1i> 0,∀x∈R. Por outro lado,
∀x < 0, g00(x) =0⇔ 2x
¡
x2 −3¢
(x2+1)3 =0⇔x
2−3=0
⇔x=−√3.
Assim,
x −∞ −√3 0 +∞
exh(x−1)2
+1i +
x3 +
2x¡x2−3¢ − 0 +
¡
x2 +1¢3 + 64 +
g00(x) − 0 + n.d. +
g(x) ∩ −12 ∪ 0 ∪
Portanto,g tem a concavidade voltada para baixo emi−∞,−√3he tem a concavidade
voltada para cima emi−√3, 0he ]0,+∞[. Portanto,
µ
−√3,−1 2
¶
é ponto de inflexão
de g.
Assim, de acordo com a informação obtida, o esboço do gráfico deg será:
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
1.12
Exercícios propostos
Exercício 1 Admita que, após uma injecção de cálcio, a quantidade de cálcio presente no
sangue de uma pessoa ao fim de t horas é dada, numa unidade de massa conveniente, por
Q(t) = √90
t, para t≥10.
1. Qual a taxa média de variação entre as 12e as 24horas? E entre as 12e as 15horas?
E entre as 12 e as 12 horas e 30 minutos?
2. Qual a taxa variação às 12 horas?
Exercício 2 Calcule, caso exista, recorrendo à definição de derivada de uma função, a
derivada de f no ponto indicado:
1. f(x) =ex no ponto x=1;
2. f(x) =lnx no ponto x=1.
Exercício 3 Considere a função real de variável real definida por f(x) =x3.
1. Calcule, usando a definição de derivada, f0(1)
e interprete o resultado;
2. Calcule, usando a definição de derivada, f0
(x) ;
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de fno ponto de abcissa 2;
4. Determinem∈R de modo que a reta y=mx+2 seja tangente ao gráfico def.
Exercício 4 Considere a função real de variável real
f(x) =
±
3x−6 , x≥2 −3x−6 , x < 2 .
Calcule f0
(2+), f0
(2−) e diga se existe f0
(2).
Exercício 5 Considere a função real de variável real
f(x) =
±
x , x≤1
x2 , x > 1 .
1. Calcule f0(1+), f0(1−)
e diga se existe f0(1) ;
2. Caracterize a função derivada de f;
3. Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.
Exercício 6 Estude a continuidade e diferenciabilidade das funções seguintes nos pontos
indicados:
1. f(x) =|x−2| no ponto x=2;
2. g(x) =√3 x2 no ponto x=0;
3. h(x) =
±
−x , x≤1
Exercício 7 Sejam f e g duas funções definidas por f(x) = √x3 −2 e g(x) = x4.
Deter-mine:
1. f0
(x) e g0
(x) ;
2. (f−g)0(x) ;
3. (f×g)0(x) ;
4.
µf
g
¶0
(x) ;
5. (f◦g)0(x).
Exercício 8 Calcule a derivada das funções seguintes:
1. f(x) = (x+1)3+ (2x+5) ;
2. g(x) =¡x2+3¢√x−1;
3. h(x) = x
3+2x2
x2 +1 ;
4. j(x) =¡x2 +3¢e2x;
5. l(x) =3x2−2x;
6. m(x) =ln
µ x3
x+1
¶
;
7. n(x) =ln2(2x) ;
8. o(x) =log2(x+3) ;
9. p(x) =3x4− 2
x+cosx− √
2;
10. t(x) =xsen¡x2¢;
11. u(x) =3tg(2x).
Exercício 9 A concentração de um certo medicamento no sangue de um doente, t horas
depois de ser tomado, é dada pela funçãoC(t) = 0.3t
t2 +1.CalculeC
0
µ1
3
¶
eC0(3)
e interprete
os valores obtidos.
Exercício 10 Dois pontos movem-se numa reta. Em cada instante t, medido em segundos,
as suas posições (abcissas) respetivas são dadas pelas funções f(t) = 5t e g(t) = t+ 1
2t
2.
Exercício 11 Um automóvel em movimento começa a reduzir a velocidade sob acção do
travão de mão. Admita que, a partir do instante t = 0, medido em segundos, em que é
accionado o travão, a distância do carro ao ponto que ocupa naquele instante é dada por
D(t) = 80t−1.5t2, 0 ≤ t ≤ T e esta fórmula vale até ao instante T em que o carro se
imobiliza. Determine T e velocidade média do carro no intervalo [0, T].
Exercício 12 Determine o ponto ou os pontos do gráfico da função cuja tangente é uma
reta horizontal, sendo:
1. f(x) =x3−6x2;
2. g(x) =x2ex;
3. h(x) =3+ln¡4−x2¢.
Exercício 13 A altura de uma bolatsegundos após ter sido lançada verticalmente de baixo
para cima a uma altura de 32 m e com velocidade inicial de 48 m/s é dada pela função
f(t) =−16t2+48t+32.
1. Mostre que f verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo [1, 2].
2. O que pode afirmar sobre a velocidade em algum instante do intervalo[1, 2]? Determine
esse instante.
Exercício 14 A função f(x) =q3
(x−2)2 assume valores iguais nos extremos do intervalo
[0, 4]. O teorema de Rolle é válido para fno intervalo indicado?
Exercício 15 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→+∞
2x
x3;
2. lim
x→0
(x−tgx)senx 2x2−xsen(2x);
3. lim
x→0−
1 xe
1 x;
4. lim
x→0(1+3x)
1 2 x ;
5. lim
x→0
x2sen1 x
senx .
Exercício 16 Verifique a validade das condições do teorema de Lagrange para a função
f(x) =x−x3 no intervalo [−2, 1] e determine o valor médio correspondente.
Exercício 17 A altura de um objecto t segundos após ter sido largado de uma altura de
500 m é
1. Calcule a velocidade média do objecto durante os primeiros 3 segundos.
2. Use o teorema de Lagrange para mostrar que, em algum instante durante os primeiros
3segundos de queda, a velocidade instantânea se iguala à velocidade média. Determine
esse instante.
Exercício 18 Seja f a função real de variável real definida por
f(x) =
±
1+ln(x−1) , x > 2 ex−2 , x≤2 .
Determine a expressão da função f00
Exercício 19 Utilize o polinómio de Maclaurin de ordem 2 para calcular um valor
aproxi-mado de:
1. √e;
2. sen(0.3).
Exercício 20 Considere a função real de variável real definida por
g(x) =ln(x+1).
1. Escreva a fórmula de Maclaurin da função g com resto de Lagrange de ordem 1.
2. Escreva a fórmula de Maclaurin da função g com resto de Lagrange de ordem 2.
3. Prove que
x−x
2
2 ≤ln(x+1)≤x, ∀x≥0.
Exercício 21 Determine, se existirem, os extremos relativos da função definida por:
f(x) =2(x−1)25 .
Exercício 22 Estude a monotonia e calcule os extremos relativos, caso existam, da função
definida por:
f(x) =xex.
Exercício 23 Estude a monotonia e calcule os extremos relativos, caso existam, de cada
uma das funções definidas a seguir:
1. f(x) =ex −1−x;
2. g(x) =xln2x;
3. h(x) =
±
0 , x=0
e−x2−x 21 , x6=0
Exercício 24 Determine o sentido das concavidades do gráfico da função definida por
f(x) = (x−1)3 e, se existirem, os pontos de inflexão.
Exercício 25 Com 25 mde rede pretende-se construir um recinto retangular. Quais devem
ser as dimensões do recinto de forma a que a área seja máxima?
Exercício 26 De todos os retângulos com 5 cm2 de área, qual é o que tem perímetro
mín-imo?
Exercício 27 Observe a representação gráfica das funções. Para cada uma, indique o
domínio, o contradomínio, a paridade, os intervalos de monotonia, os extremos, o sentido
da concavidade e os pontos de inflexão.
1.
0 1 2 3
1 2 3
x y
0 1 2 3
1 2 3
x y
2.
0 1 2 3
1 2 3
x y
A
0 1 2 3
1 2 3
x y
A
3.
-1 1 2 3
2 3
x y
3 2 1
2
-1 1 2 3
2 3
x y
3 2 1
2
4.
-3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3
x y
-3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3
Exercício 28 Qual dos gráficos seguintes satizfaz as condições:
f(1) =2; f00(1) =0; @f0(1).
0 1 2 3
1 2 3
x y
A
0 1 2 3
1 2 3
x y
A
1 2 3
1 2 3
x y
B
1 2 3
1 2 3
x y
B
0 1 2 3
1 2 3
x y
C
0 1 2 3
1 2 3
x y
C
Exercício 29 Faça o estudo completo das seguintes funções reais de variável real:
1. f(x) =x3−x2−8x+6;
2. f(x) = x x2 −1;
3. f(x) = 2x
2 −2x+1
(x+1)2 ;
4. f(x) =
±
ln(ex−1) , x > 0
e−x , x≤0 ;
5. f(x) = 2x−x
2
x−1 ;
6. f(x) =ln|x+1|;
7. f(x) = 3x x2 −4;
8. f(x) =ln(2ex−1).
Exercício 30 Considere a função definida por f(x) =
±
1+ln¡x2¢ , x > 0
cos(2x) , −π≤x≤0 .
1. Determine o domínio e os zeros de f.
2. Mostre que f não é contínua em (0, 0).
3. Determine a função derivada de f.
4. Estude fquanto à monotonia e existência de extremos relativos.
5. Determine, caso existam, os pontos de inflexão de f.
Exercício 31 Faça um esboço do gráfico de uma funçãofque satisfaz as seguintes condições:
· Domínio: R;
· zeros: (1, 0) e (0, 0) ;
· Assíntotas: y=0 e x=0;
· Intervalos de monotonia: crescente em ]0, 2[ e decrescente em ]−∞, 0[ e ]2,+∞[ ;
· Extremos: 2=f(2) é máximo relativo;
· Concavidades: voltada para baixo em ]−∞, 0[ e ]0, 3[, voltada para cima em ]3,+∞[ ;
· Ponto de Inflexão: (3, 1).
Exercício 32 A altitude (em mm) de um foguete, tsegundos depois de ser lançado, é dada
pela expressão
f(t) =10+195t+96t2−t3.
1. Determine a altitude máxima atingida pelo foguete;
2. Determine a velocidade máxima atingida pelo foguete;
3. Comente a seguinte frase relativa ao foguete referido no enunciado: "Quando viajava
no meu balão de ar quente, a uma altitude de 200 metros, quase fui atingida por um
foguete que passou mesmo junto do balão."
Exercício 33 O vértice B do retângulo [OABC] é um ponto do 1o quadrante e pertence
ao gráfico da função f definida por f(x) = e−x. Os vértices O, A e C pertencem aos eixos
coordenados, como se mostra na figura.
x y
O A (x,0)
B C
x y
O A (x,0)
B C
Determine o valor dex (abcissa do ponto A) de modo que a área do retângulo[OABC] seja
