A pulga e o escorpião

(1)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 14 de Dezembro de 2013

LIGA DELFOS2013-2014 1a JORNADA

A pulga e o escorpião

A pulga e o escorpião jogam um jogo a dois de cerco e fuga. O jogo é jogado num tabuleiro de xadrez n× n cu-jas casas são quadradinhos de lados de comprimento 1. É dado um real positivo d que

não muda até ao fim do jogo. A pulga ocupa um dos nodos do tabuleiro saltando de um nodo para ou-tro em cada jogada. O escorpião arrasta-se continuamente sobre a fronteira do tabuleiro e pode ocupar qualquer ponto dessa fronteira (não apenas os 4n nodos periféricos). Em cada jogada da pulga ela tem que desocupar o nodo em que se encontra e saltar para um dos nodos adjacentes a esse; cada jogada do escorpião consiste em arrastar-se sobre a linha periférica podendo percorrer qualquer distância⩽ d.

Notem que, para ir dum ponto do bordo do tabuleiro ao ponto diametralmente oposto, o escorpião tem que percorrer uma distância 2n.

Na primeira jogada, a pulga ocupa um nodo inicial à sua escolha; depois o escorpião ocupa um ponto da fronteira à sua escolha; a seguir, a pulga salta, depois o escorpião arrasta-se, etc., jogando alternadamente. Diz-se que a pulga escapa (e ganha o jogo) se salta para um nodo periférico aonde o escorpião não pode chegar na jogada seguinte.

1. Para n = 2 determinem, justificando, os valores de d para os quais a pulga tem estratégia para escapar ao cerco.

2. O mesmo que o problema anterior, para n= 3.

3. Suponham (apenas neste problema) que ao escorpião só é permitido percorrer distâncias estrita-mente inferiores a d. Com esta nova regra, respondam de novo aos problemas 1 e 2.

4. O mesmo que o problema 1, mas com n= 4.

5. Provem que se n= 5 e d = 3, a pulga tem estratégia para escapar. 6. Provem que se n= 5 e d ⩾ 4, a pulga não tem estratégia para escapar.

(2)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Janeiro de 2014

LIGADELFOS 2013-2014 2a JORNADA

Aρβηλoς

O título desta jornada vai em Grego, um luxo que poderá não se repetir por muitas outras. É uma honra celebrar Arquimedes, considerado como o maior matemático da Antiguidade. Acredita-se que tenha

A

X Y

B

estudado o arbelos, mas ao certo não se sabe. A palavra significa “faca de sapateiro"e a forma geométrica é o que sobra dum semi-círculo depois de dele se retirarem dois semi-círculos menores (destes, na figura da esquerda, apenas se percebem as dentadas que deixaram). Os semi-círculos menores têm centros no diâmetro[XY ] do maior, são tangentes entre si e cada um deles é também tangente ao semi-círculo maior. A figura da direita mostra um arbelos múltiplo: do semi-círculo maior foram retirados 11 semi-círculos menores, com centros no diâmetro do maior e com as tangências que a figura mostra.

0. Arquimedes nasceu no ano 287 AC. Quantas velas teria ele de soprar este ano se por cá aparecesse? 1. Determinem o perímetro do arbelos múltiplo, sabendo que o raio do círculo maior é 1 e que os raios dos11 círculos menores, quando postos por ordem crescente, crescem em proporção geométrica. 2. Provem que a área do arbelos é igual à área do círculo que tem como diâmetro o segmento vertical

[AB] marcado na figura.

3. Considerem todos os arbelos múltiplos cujo arco maior tem raio 1 e que têm 2300 ou menos denta-das. Qual o máximo da área dessesarbelos? Porquê?

4. Seja M a interseção do segmento ]BX[ com a semi-circunferência esquerda do arbelos, e N a interseção de]BY [ com a semi-circunferência da direita. Provem que [ANBM] é um retângulo. 5. Provem que a reta M N é tangente a ambos os semicírculos menores.

6. Considerem todos os arbelos com semicírculo maior de raio 1. Determinem, justificando, o máximo possível da área do retângulo[ANBM] e para que arbelos esse máximo é atingido.

7. Os gémeos de Arquimedes. Provem que as duas circunferências marcadas no arbelos têm raios iguais.

(3)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 15 de Fevereiro de 2014

Dobragens

Num círculo de papel de raio R e centro C, fixem um ponto Z cuja distância ao centro é d, um real tal que 0⩽ d < R. Escolham um ponto X no bordo do círculo e dobrem o papel de modo a fazer coincidir X com Z. Vinquem bem a dobra, depois desdobrem. Escolham outro ponto X e repitam a operação de modo a obter novo vinco no papel. Façam isto um bom número de vezes, variando as vossas escolhas de X, sem mudar Z. Fica no papel uma região, que parece ser um disco elítico, que não foi propriamente atravessada por nenhum vinco. A ideia desta 3a_{Jornada é provarem que isso é verdadeiro.}

Para elipse e disco elítico, sugere-se que utilizem a definição do jardineiro. Conjetura-se que a região da figura é um disco elíticoD, delimitado por uma elipse E . Supomos que D contém E 1. Indiquem a vossa conjetura sobre quais os focos e as medidas dos eixos de E . O caso d = R foi

excluído do problema; o que acontece nesse caso?

2. Provem que cada vinco, interpretado como uma reta, interseta a elipse conjeturada num e apenas num ponto. (Se isto não for verdade, a vossa conjetura não é boa.)

3. Cada vinco v determina dois semiplanos cuja interseção é v; denotamos por Sv o semiplano que

contémZ. Provem que, para qualquer vinco v, o disco elíticoD está contida em Sv.

4. Provem que o disco elíticoD é a interseção de todos os semiplanos Sv.

5. Provem que por cada ponto do plano passam exatamente w vincos, onde w pode tomar um de 3 valores: 0, 1 ou 2. Para cada um destes w’s, qual o conjunto dos pontos pelos quais passam w vincos? Descrevam uma construção de régua e compasso que determine o(s) vinco(s) que passa(m) por cada pontoP fixado no plano. Justifiquem.

6. Provem que D é estritamente convexo, isto é: se P, Q são pontos distintos do disco, então o seg-mento[P Q] está contido no disco e o seu ponto médio não pertence à elipse E .

7. Determinem, justificando, o lugar geométrico dos pontos do plano pelos quais passam dois vincos perpendiculares entre si.

(4)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 22 de Março de 2014

Pedais e roletas

Dado um polígono convexo fechado,P, dizemos que uma reta é subtangente a P se interseta P mas não interseta o interior deP. Fixemos, de uma vez por todas, um vértice V de P. Chama-se pedal de P ao lugar geométrico dos pés das perpendiculares lançadas de V para as subtangentes de P.

AssenteP sobre um eixo fixo do plano de P (o eixo é subtangente a P) e faça o polígono rolar sobre o eixo sem escorregar, como na figura da esquerda. A curva descrita por V chama-se roleta. Notem que a roleta é uma curva periódica, que toca periodicamente o eixo; chamamos arco da roleta a uma secção da roleta cujas extremidades são os únicos pontos de contacto da dita secção com o eixo. À região delimitada por um arco da roleta e pelo eixo chamamos região sob o arco da roleta.

Nesta jornada, num polígono de n vértices não há três que sejam colineares. Por definição, ângulo entre dois arcos de circunferência que se cruzam em P é o ângulo formado pelos vetores tangentes em P , supondo, em cada circunferência, que os arcos se orientam no sentido direto.

1. Num triângulo arbitrário T escolham um vértice V . Desenhem um arco da roleta de T e deter-minem a área da região sob esse arco.

2. ParaT e V como acima, desenhem a curva pedal e mostrem que ela é a fronteira da união de dois círculos, nenhum deles contido no outro. Calculem a área delimitada por essa pedal.

3. Provem que, seP tem n vértices, a pedal é a fronteira duma união de n − 1 círculos, nenhum dos quais contido na união dos outrosn− 2.

4. A pedal é uma concatenação de n− 1 arcos circulares. Determinem, em cada ponto de junção de dois arcos, o ângulo que eles fazem entre si. Calculem a soma desses ângulos.

5. Determinem, justificando, uma fórmula que dê o perímetro da pedal, em função dos lados, diago-nais e ângulos emP.

6. Determinem, justificando, uma fórmula que dê a área sob um arco da roleta, em função dos lados, ângulos e diagonais deP.

7. Provem que, para qualquer escolha deP e V , a área delimitada pela pedal é metade da área da região sob um arco da roleta.

(5)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 26 de Abril de 2014

Problemas Isoperimétricos

Considerem uma curva no plano. Aqui, uma curva é sempre contínua e simples, i.e., sem pontos múltiplos. Se for fechada, o conjunto plano constituído pela curva e pelo seu conteúdo designa-se por região. Dada uma região X de área A e perímetro P , ao número r(X) = A/P2 _{chamamos razão isoperimétrica de X.}

Notem que regiões semelhantes têm a mesma razão isoperimétrica. Um problema isoperimétrico consiste em, dada uma família de regiões de perímetros iguais, determinar qual o supremo das áreas dessas regiões e quais as regiões da família (se existem) para as quais a área é máxima. O famoso teorema isoperimétrico afirma que r(X) ⩽1/_4π_{, com igualdade se e só se X é um círculo.}

As vossas respostas devem sempre ser devidamente justificadas.

1. Na família dos triângulos existem elementos de razão isoperimétrica máxima. Quais são eles? 2. Um quadrilátero tem lados de comprimentos a, b, c, d. De entre os quadriláteros com lados com

esses comprimentos, quais os de maior área?(Sugestão: usem a fórmula de C. Bretschneider (1842) que dá a área do quadrilátero: A =

√

(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2µ , onde s é o semi-perímetro e µ a média de dois ângulos opostos.)

3. Dentre os polígonos de n lados existem elementos de razão isoperimétrica máxima. Quais são eles? 4. Uma curva simples C de comprimento fixo L tem as suas extremidades apoiadas numa reta r, ficando toda do mesmo lado der.(a) Provem que existem curvas deste género que tornam máxima a área “entre”C e r. Que curvas são essas? (Sugestão: use o truque da reflexão, de J. Steiner, 1838.)

(b) Resolva o mesmo problema, supondo que as extremidades de C estão na reta r a uma distância d independente de C.

5. São dadas duas semi-retas s, t de origem O formando um ângulo convexo sOt de amplitude fixa α. Contida emsOt está uma curva C, de comprimento fixo L, com uma extremidade em s e outra em t. Provem a existência de C que maximiza a área da região delimitada por C no ângulo sOt. 6. Dado um triângulo T , qual é o comprimento e a forma das curvas mais curtas que dividem T em

duas regiões de áreas iguais?

7. Uma região é delimitada por uma concatenação de curvas simples em número par, S1, S2, . . . , S2n,

onde cadaSk tem comprimento fixo Lk. Parak ímpar, Sk é um segmento de reta; para k par Sk

tem forma à nossa escolha. Das regiões possíveis identifiquem as que têm área máxima, e provem a sua maximalidade. Para simplificar, suponham que os números m = max{L1, L2, . . . , L2n} e

(6)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Maio de 2014

As vossas respostas devem ser devidamente justificadas.

1. Neste final de Xadrez estranho, em tabuleiro 4× 3, a Dama branca, que joga primeiro, tem como objetivo obrigar o Rei negro a ocupar a casa do canto superior direito (d3), em não mais de 4 movimentos do Rei. O objetivo do Rei é evitar isso. Qual dos dois tem estratégia vencedora? 2. (a) Três esferas maciças, impenetráveis, estão dentro dum contentor também esférico. O volume

do contentor é o menor possível de modo a conter as3 esferas. Mostrem que são complanares os centros das quatro esferas.

(b) Se uma das três esferas tem raio R e as outras duas são iguais de raio r < R, determinem o raio do contentor em função der e R.

3. (a) Antes de iniciar um jogo de snooker, as bolas foram empacotadas num caixilho triangular, sobre a mesa, como manda a tradição. Sem se retirar o triângulo, empilharam-se, com base nas 15 iniciais, o maior número possível de outras bolas congéneres, em várias camadas, de modo a que cada bola ficasse em contacto com3 bolas da camada imediatamente abaixo. Sabendo que as bolas são esferas de3 cm de raio, qual a distância do ponto mais alto da pilha à mesa de jogo? (b) A pilha de bolas e o caixilho triangular foram, de seguida, cobertos por uma campânula; esta é um paralelepípedo retângulo, cujo bordo retangular ficou assente na mesa de jogo. O caixilho tem espessura de1 cm. Supondo que o paralelepípedo tem volume o menor possível de modo a conter a pilha e o caixilho, quais são as medidas dos seus lados?

4. Em R2são dados dois pontosA e B. Definimos caminho zigzag entre A e B como sendo uma curva C , contínua, com extremidades A e B, que satisfaz a condição:

Para n ímpar, se C interseta a faixa {(x, y) ∶ n ⩽ y ⩽ n + 1} em mais de um ponto, essa intersecção é um segmento de reta paralelo à bissetriz dos quadrantes pares, ou paralelo à bissectriz dos quadrantes ímpares.

(a) Determinem o menor comprimento dos caminhos zigzag entre A = (0, 1.2) e B = (13, 50). (b) Determinem quantos caminhos zigzag entre A = (0, 1.2) e B = (13, 50) têm comprimento mínimo.

(7)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Junho de 2014

Puzzle dos 16

& companhia

12 8 4 13 9 5 1 15 10 6 2 14 11 7 3 10 11 6 12 7 3 13 8 4 1 14 9 5 2 1 2 3 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 4 10 18 19 20 21

Trata-se dum puzzle do famoso Sam Lloyd (1841-1911) jogado num tabuleiro 4× 4, com 15 peças nu-meradas e uma casa vazia que rotulamos com ∅. Em cada jogada, ∅ troca de posição com o rótulo duma das casas adjacentes. Uma configuração ou rotulação é uma permutação de∅, 1, . . . , 15, lida no tabuleiro linha após linha (da esquerda para a direita) de cima para baixo; a rotulação da figura acima é S= (∅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14). O problema de Sam Lloyd é o de saber se existe uma sequência de jogadas que permita, partindo de S, chegar à configuração ‘natural’ N = (∅ 1 2 3 . . . 13 14 15).

Numa sequência de jogadas, o rótulo ∅ percorre um caminho no tabuleiro, que se chama circuito se ∅ começa e acaba na mesma posição. Cada circuito de∅ determina uma aplicação f ∶ C → C , onde f(A) é a configuração obtida quando se executa o circuito de∅ começando com A. Chamamos F ao conjunto dessas funções. Um invariante de F é uma aplicação ϕ de domínioC , tal que ϕ(f(A)) = ϕ(A). A órbita de A∈ C é o conjunto OA= {f(A) ∶ f ∈ F }. Os elementos duma órbita têm todos ∅ no mesmo local. Os

problemas básicos são descobrir invariantes e determinar órbitas.

1. Mostrem que F é um grupo para a composição funcional. Provem que OA= OBse e só se existef ∈ F

tal queB= f(A), e que órbitas distintas são disjuntas.

2. No puzzle dos 16, que relação há entre as paridades das permutações A e f(A)? O problema de Sam Lloyd tem solução? Quantas órbitas há e quantos elementos tem cada uma?

(∗

) O puzzle pode generalizar-se a um grafo (simples) com nodos rotulados, um deles com ∅. Pergunta-se então: quais são e quantos são os elementos da órbita da configuração dada? 3. Respondam às perguntas colocadas em(∗), quando:

(a) O grafo é o de 16 nodos da figura.

(b) O grafo é o triangular da figura. Generalizem a um grafo triangular com n nodos de lado. (c) O grafo é um ciclo de 2n nodos com uma ponte de 1 nodo ligando dois nodos opostos do ciclo. (d) O grafo é o da quarta figura acima.

4. No conjuntoC das rotulações dum grafo com n ⩾ 3 nodos, há n órbitas. Provem que o grafo é conexo, sem nodos pendentes, e com pelo menos um ciclo ímpar. Será verdadeiro o recíproco?

(8)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 28 de Junho de 2014

Filhos e primos

1. Duas amigas matemáticas que não se viam há muito, encontram-se na rua e conversam:

— Casei-me há 23 anos e, depois disso, tive 4 filhos. A outra pergunta: — Que idades têm eles? — Bem, o produto das idades (que são números naturais) é 216 e a soma é o número daquela porta acolá. A outra pensou, pensou e disse: — Isso não chega para eu saber as idades deles!

— Sim, eu sei, mas poderás determiná-las se eu acrescentar que a diferença entre o máximo e o mínimo das idades é um número primo. Que idades têm os quatro filhos?

2. Seja m um inteiro positivo. Mostrem que todo o inteiro par pode ser escrito, de infinitas maneiras, como diferença de dois inteiros positivos primos comm.

3. Determinem todos os naturais n para os quais existem números inteiros, a1, a2, . . . , an, tais que

1 3 a1− 1+ 1 3 a2− 1+ ⋯ + 1 3 an− 1 = 1.

4. Sendo n e m números naturais, n⌢_{m denota o natural cuja representação na base 10 é a}

concate-nação das representações dem e n na base 10. Por exemplo: 20⌢₁₄= 2014 e 14⌢₂₀= 1420. (NB:

neste problema, é positivo o dígito mais à esquerda da representação decimal dum número.) Diz-se quem é mágico se, para todo o natural n, o número m é divisor de n⌢_m.

(α) Determinem todos os números mágicos menores que 1000.

(β) Determinem quantos números mágicos existem menores que 102014_.

5. Em certa base de numeração b, o número n e o seu triplo representam-se por 854b e2351b (quer

dizer:n= 8b2+ 5b + 4 e 3n = 2b3+ 3b2+ 5b + 1). Determinem b e n na base 10.

6. De cada um dos naturais na lista abaixo, apenas se revelam os seis algarismos mais à direita da representação decimal. Dentre eles existe um quadrado perfeito. Determinem o resto da divisão por40 000 desse quadrado perfeito.

. . . 243510 . . . 190521 . . . 190521 . . . 723339 . . . 612718 . . . 874105

7. Seja p um primo ímpar. Por definição, um p-gono, ou polígono de p vértices, é uma sequência de p pontos do plano,G = (V0, V1, . . . , Vp−1); os Vi chamam-sevértices deG.

Pensem nump-gono como polígono fechado de p vértices, os quais se consideram numerados mó-dulop, isto é: Vp+k= Vk, para todo ok inteiro.

É dado ump-gonoG0arbitrário. Define-se uma sequênciaG0,G1,G2,G3, . . . de p-gonos de acordo

com a seguinte regra: seW0, . . . , Wp−1 são os vértices deGk−1, oj-ésimo vértice deGk é o ponto

simétrico deWj relativamente aWj+k,j = 0, . . . , p − 1.

Mostrem queGp−1é semelhante aG0.

(9)

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Setembro de 2014

Última Jornada

de 2013-2014

1. Mostrem que para n≥ 4 qualquer triângulo pode partir-se em n triângulos isósceles. NB: neste problema e no seguinte os triângulos são de áreas positivas.

2. Quais são os triângulos que podem partir-se em dois triângulos isósceles?

TPC: Quais os que podem partir-se em três triângulos isósceles?

3. Seja[ABCD] um losango. Uma circunferência que passa em A intersecta o lado [AD] em N, o lado[AB] em M e a diagonal [AC] em P . Mostre que AP = (AM + AN)AB

AC.

4. Um sudoku é uma matriz que resulta do preenchimento de todas as casas dum tabuleiro 9× 9, cada casa com um número de 1 a 9, de acordo com regras que todos conhecem. A casa na linha i e coluna j é identificada com o par(i, j), e o tabuleiro é o conjunto T desses 81 pares.

Matematicamente falando, um sudoku é uma aplicação s ∶ T → {1, . . . , 9}, com características muito especiais vossas conhecidas. Cada uma das 81! permutações τ ∶ T → T transforma um sudoku s numa aplicação s○ τ que pode ser ou não um sudoku. Uma dessas permutação diz-se sudokantese, para todo o sudoku s, s○ τ é também um sudoku.

Mostrem que a permutação que corresponde a trocar a primeira coluna com a última não é sudo-kante; e que a transposição,(i, j) ↦ (j, i), é sudokante.

5. Quais e quantas são as permutações sudokantes?

6. Mediatrizes em Manhattan. Num tabuleiro de xadrez n×n, com n2_{casas, chamamos passo ao salto}

duma casa para outra adjacente, a norte, a sul, a este ou a oeste. A distância-M da casa A à casa B é, por definição, o número mínimo de passos para ir de A até B. Uma casa diz-se mediadora de A e B, se ela está a igual distância-M de A e de B; a mediatriz-M de A e B é o conjunto de todas as casas mediadoras de A e B.

Para cada par de casas, determinem o número de elementos da sua mediatriz-M. 7. Quais são os pares de casas distintas que têm mediatriz-M de maior cardinal?