01. O gráfico de setores abaixo ilustra como a massa de um homem de 80 kg está distribuída entre músculos, gordura, ossos e outros. O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com base nesse gráfico, responda às perguntas:
a) Quantos quilogramas de músculos esse homem possui?
b) Juntos, gordura e ossos representam que percentual da massa desse homem?
02. 100 litros de uma solução contêm inicialmente 75% de álcool e 25% de água. Nessa solução, após x litros da água serem removidos,
( ) volume da água na solução após x litros da água serem retirados f x
volume da solução após x litros da água serem removidos =
a) Qual o valor de f(0)?
b) Obtenha a expressão de f(x) em termos de x. 03. Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen (2πt)
descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s e t = 0,75 s.
b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?
04. Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x2, por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de
Matemática 1
reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a2), serão refletidos na direção da reta 4ay + (1 – 4a2).x = a. Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se encontrarão.
05. Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira bomba, funcionando sozinha, esvazia a piscina em 2 horas. A segunda bomba, também funcionando sozinha, leva 3 horas para esvaziar a piscina. A piscina estará vazia em quantos minutos, caso as duas bombas sejam ligadas juntas, mantendo o mesmo regime de funcionamento?
06. Sabe-se que a velocidade do som no ar depende da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade V (em metros por segundo) com a temperatura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é V 20. t 273= + . Com base nessas informações, responda as seguintes perguntas:
a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 27 °C? (sugestão: use 3 1,73= )
b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s. Isso ocorre a que temperatura, em graus Celsius?
07. Para atrair novos clientes, um supermercado decidiu fazer uma promoção reduzindo o preço do leite. O gerente desse estabelecimento estima que, para cada R$ 0,01 de desconto no preço do leite, será possível vender 25 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Sabendo que, em um dia sem promoção, esse supermercado vende 2.600 litros de leite ao preço de R$ 1,60 por litro:
a) Qual é o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em um dia sem promoção? b) Qual será o valor arrecadado por esse supermercado
com a venda de leite em um dia, se cada litro de leite for vendido por R$ 1,40 ?
c) Qual é o preço do litro de leite que fornece a esse supermercado o maior valor arrecadado possível? De quanto é esse valor arrecadado?
08. Uma fábrica de produtos químicos possui um sistema de filtragem do ar que é ligado automaticamente toda vez que a quantidade de poluentes no ar atinge certo nível previamente estabelecido. Sabe-se que a quantidade Q(t) de poluentes no ar dessa fábrica, depois de ligado o sistema de filtragem, é dada em função do tempo pela expressão: Q t
( )
10.t 750t 15 + =
+ , sendo a quantidade Q(t) medida em partículas por litro de ar e o tempo (t) em minutos.
a) Qual a quantidade de poluentes existente no ar no instante inicial t = 0 em que o sistema de filtragem foi acionado ? Em quinze minutos depois da filtragem ter sido iniciada ?
b) Esse sistema de filtragem está programado para desligar automaticamente no momento em que a quantidade de poluentes no ar atingir 12 partículas por litro de ar. Quantas horas esse sistema de filtragem precisa funcionar até atingir o ponto de desligamento automático ?
c) Encontre o valor das constantes A, B e C tais que
( )
BQ t A t C = +
+ .
09. Em estudos realizados numa área de proteção ambien-tal, constataram que o número N de indivíduos de certa espécie de primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão
( )
( )
0,1t 600 N t 5 3. 2− =+ . Supondo que o instante t = 0 corres-ponde ao início desse estudo e que a expressão conti-nue válida com o passar dos anos, determine:
a) O número de primatas dessa espécie presentes na reserva no início do estudo.
b) O número aproximado de primatas dessa espécie presentes na reserva 20 anos após o início do estudo.
c) Demonstre que o número de primatas dessa es-pécie presentes na reserva nunca ultrapassará 120 indivíduos.
10. C o n s i d e r e a s f u n ç õ e s r e a i s f x 2
( )
= + x e (x) = (x2 – x + 6) . (2x – x2):a) Calcule f ° g(0) e g ° f(1).
b) Determine o domínio da função f ° g(x)
11. Alguns processos de produção permitem obter mais de um produto a partir dos mesmos recursos, por exemplo, a variação da quantidade de níquel no processo de produção do aço fornece ligas com diferentes graus de resistência. Uma companhia siderúrgica pode produzir, por dia, x toneladas do aço tipo Xis e y toneladas do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo processo de produção. A equação 2x + 3y2 + 9y – 30 = 0, chamada de curva de transformação de produto, estabelece a relação de dependência entre essas duas quantidades. Obviamente deve-se supor x ≥ 0 e y ≥ 0. Com base nessas informações, determine:
a) Qual é o valor máximo de toneladas produzidas em um dia, considerando-se exclusivamente o aço tipo Xis ?
b) Qual é o valor máximo de toneladas produzidas em um dia, considerando-se exclusivamente o aço tipo Ypsilon ?
c) Se num único dia forem produzidos 500 kg de aço tipo Ypsilon, qual a quantidade máxima de toneladas do aço tipo Xis que ainda podem ser produzidas? 12. Um determinado tipo de canhão para artilharia
anti-aérea dispara projéteis que descrevem uma trajetória parabólica. Após vários disparos, um grupo de engenheiros militares constatou que, desprezando-se a resistência do ar, os projéteis lançados a partir do solo descrevem uma parábola de equação y = 16 . k2 . x . –k . x2, sendo x e y dados em metros e k um fator positivo relacionado à inclinação que pode ser ajustado diretamente no canhão.
a) Que valor deve-se atribuir a k para que um projétil lançado por este canhão atinja o solo a exatamente 400 m do ponto de disparo?
b) Qual é o menor valor que se deve atribuir a k para que um projétil lançado por este canhão atinja a altura de 1.000 m?
13. O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x – x2 e C(x) = 10.(x + 40), sendo x o número de itens produzidos por dia. Sabe-se que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia. a) Qual o número mínimo de itens x que devem ser
produzidos para que a fábrica não tenha prejuízo? b) Para que a fábrica tenha o maior lucro possível,
quantos itens x deve produzir?
c) Se a fábrica produzir 50 itens x por dia terá lucro ou prejuízo?
14. O gráfico da função f(x) = y = Ax2 + Bx + C é a parábola representada pela figura abaixo. Com base nestas informações, determine o valor de (B – 5.C)A.
15. Sejam as funções reais dadas por f(x) = x2 − 2x e g(x) = ax + b, onde a e b são números reais.
a) Determine (f ° g)(x).
b) Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação (f ° g)(x) = 0.
Gabarito 01. a) 30 Kg b) 37,5% 02. a) 1/4 b) f x
( )
25 x,x 100 100 x − = ≠ −03. a) 100 mmHg e 80 mmHg b) 0,75 segundos 04. (0 ; 1/4) 05. 72 minutos 06. a) 346 m/s b) 16 °C 07. a) R$ 4.160,00 b) R$ 4.340,00 c) R$ 1,32 e R$ 4.356,00 08. a) 50 e 30 b) 4,75 horas c) A = 10, B = 600 e C = 15 09. a) 75 b) 104 c) 120 10. a) 2 e – 36 b) {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 2} 11. a) 15 T b) 2 T c) 12,375 T 12. a) k = 25 b) k = 2,5 13. a) 10 a) 25 b) prejuízo 14. 1 6 15. a2x2 + 2a (b – 1) x + b2 – 2b b) (0, 0) ,(0, 2),(2, 0),(–2, 2)
01. Na figura abaixo, a reta y = −x + 6 intercepta a parábola y = x2 nos pontos A e B.
a) Determine as coordenadas dos pontos A e B. b) Seja C = (a,b) um ponto da parábola distinto de A e
B. Calcule a área do triângulo ABC, provando que seu valor é 5 . a a 62
2 + − unidades de área.
02. Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do instante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pode ser expressa pela função: T(t) = (2)t + 400+(2)–t, com t em horas, t ≥ 0, e a temperatura em graus Celsius. a) Determine as temperaturas do forno no instante em
que ocorreu a falha de energia elétrica e uma hora depois.
b) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus. Determine por quanto tempo houve falta de energia elétrica. (Use a aproximação
2
log5 2,3= )
03. Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele
dia?
04. Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f (x – 1) + 1 para todo o número real x.
a) Calcule g(3).
b) Determine f(x), para todo x real. c) Resolva a equação g(x) = 8.
05. O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, sendo assim, determine : a) A equação desta função do segundo grau.
b) O conjunto imagem desta função do segundo grau.
06. O custo da viagem de estudos de uma turma de “terceirão” é de R$ 2.800,00. No dia da viagem faltaram cinco alunos, o que obrigou cada um dos demais a pagar, além de sua parte, um adicional de R$ 10,00. Portanto, determine o número total de alunos desta turma de “terceirão”.
07. Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decres-cente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Com base nos dados do enunciado, determine:
a) A função f.
b) O valor da abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x .
08. Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido A encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido B, inicialmente com nível de 80 mm, evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) nesses mesmos recipientes.
09. Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água.
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém.
b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7.200 peixes adultos da espécie considerada?
10. Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das
partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?
11. Uma pessoa investiu em papéis de duas empresas no mercado de ações durante 12 meses. O valor, em reais, das ações da empresa A variou de acordo com a função A(t) = t + 10, e o valor,em reais, das ações da empresa B obedeceu à função B(t) = t2 – 4t + 10. Nessas duas funções, o tempo t é medido em meses, sendo t = 0 o momento da compra das ações. Com base nessas informações, determine das empresas A e B têm valores iguais:
a) após 5 meses da compra, quando valem R$ 15,00 b) Qual é o valor de cada uma ações passados 10
meses ?
c) Após quantos meses, essas duas ações estarão com valores iguais e qual é esse valor em reais? 12. Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas
de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função f(x) = (40 – x) . (20 + x), onde x indica o número de lugares vagos (0 ≤ x ≤ 40).
Determine:
a) Quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo;
b) Qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem.
13. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = –2.t2 . 8.t (t ≥ 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo. b) a altura máxima atingida pela bola.
14. Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros:
C = 5 + 10n; C = custo mensal, em reais, para a manu-tenção de n pássaros.
V = – 5n2 + 100n – 320; V = valor arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, 4 ≤ n ≤ 16. Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C.
a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas.
b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro.
15. Dadas as funções reais f e g são tais que f(g(x)) = x2 – 6x + 8 e f(x – 3) = x + 5, determine: a) A função f(x) e a função g(x).
b) O valor de k, se g (k) é o menor valor possível.
Gabarito 01. a) A =(–3,9) e B = (2,4) b) S 5. a a 62 2 = + − 02. a) 401° e 202° b) 4,3 horas 03. a) 24 caminhões b) 2.500 kg 04. a) g(3) = 2 b) f x
( )
x 2 = c) 15 05. a) y = 5x2 – 30x + 25 b) [–20; ∞) 06. 40 07. a) f(x) = –1x + 5 b) 5 08. 24 09. a) A = 400 B = 200 b) 3 m, 3 m e 2 m 10. a) 16 cm e 32 cm b) 16 cm2 e 64 cm2 11. a) A = R$ 20,00 e B = R$ 70,00 b) 5 meses e valem R$ 15,00 12. a) 10 lugares vagos b) R$ 900,00 13. a) 4 s b) 8 m 14. a) 5 < n < 13 , n ∈ Z b) n = 9 e L = R$ 80,00 15. a) f(x) = x + 8 e g(x) = x2 – 6.x b) 301. Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua própria morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 24 horas seguidas equivale a morrer, e assim por diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas, quanto tempo levará para que ele durma 24 horas seguidas, não mais acordando? 02. Um quadrado está sendo preenchido como mostra a
sequência de figura abaixo:
No passo 1, metade do quadrado original é preenchi-do. No passo 2, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida, e assim por diante.
a) No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido ?
b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preenchido ? 03. Considerando a tabela de números naturais abaixo.
Observe a regra de formação das linhas e considere que as linhas seguintes sejam obtidas seguindo a mesma regra.
a) Qual é a soma dos elementos da décima linha desta tabela?
b) Use a fórmula da soma dos termos de uma progres-são aritmética para mostrar que a soma dos elementos da linha n dessa tabela é Sn = (2.n – 1)2. 04. Considere a sequência finita de números (1, 2, 5, 7, 10,
11, 13, 14, 17, 19, ... , 1.001), na qual aparecem todos os números naturais menores ou iguais a 1.001, exceto os números múltiplos de 3 ou os números múltiplos de 4. a) Quantos termos possui esta sequência?
b) Qual a soma dos termos desta sequência?
05. Considere a função f definida no conjunto dos números naturais pela expressão f(n + 2) = f(n) + 3, sendo n um número natural, e pelos dados f(0) = 10 e f(1) = 5. Determine o valor de f(20) e f(41).
06. Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão positiva. Determine o perímetro e a área deste triângulo retângulo em função da razão R. 07. No trecho de maior movimento de uma rodovia, ou seja, entre o km 35 e o km 41, foram colocados “outdoors” educativos de 300 em 300 metros. Como o 10 “outdoor” foi colocado exatamente 50 metros após o km 35, determine em metros, a distância entre o 130 “outdoor” e o km 41.
08. Após o nascimento do filho,o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai re começaria os depósitos como de início e assim o faria até o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, determine o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança.
09. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2.200 membros, acre-dita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10.000 membros?
10. Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.
Suponha que essas figuras representam os três primei-ros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F1, F2 e F3 indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura N seja FN. a) Calcule F10 e escreva a expressão geral de FN.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E
b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras.
11. Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule:
a) O número total de questões da referida prova. b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva
todas as questões da prova.
12. A soma dos cinco primeiros termos de uma P.G., de razão negativa, é 1
2. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da P.G. é igual a 3. Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
13. Em uma progressão aritmética, a soma dos N primeiros termos é dada por SN = b.N2 + N, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7 , determine:
a) O valor de b e a razão da progressão aritmética. b) O 20º termo da progressão.
c) A soma dos 20 primeiros termos da progressão. 14. Seja x > 0 tal que a sequência 1
( )
2 a log x= , 2
( )
4 a log 4x= e 3( )
8a log 8x= forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Com base nestas informações, determine: a) A razão desta progressão aritmética.
b) a soma dos três primeiros termos desta progressão aritmética.
15. Determine a razão e a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.
Gabarito 01. 64 dias 02. a) 93,75% b) 10 passos 03. a) 361 b) Sn = (2n – 1)2 04. a) 501 b) 251.000 05. f(20) = 40 e f(41) = 65 06. perímetro = 6R2 área = 12R 07. 2.350 m 08. R$ 85.995,00 09. a) 3.200 e 6.450 b) 12 semanas 10. a) F10 = 76 e FN = 8N – 4, N ∈ N* b) 10.000 11. a) 8 questões b) 127,5 min 12. a) –2 b) 3 22 13. a) b 6 5 = e r 12 5 = b) a20=2395 c) S20 = 500 14. a) r 1 2 = − b) S3 15 2 = 15. razão = 70 e média = 255
01. Suponha que o tempo t (em minutos) necessário para ferver água em um forno de micro-ondas seja dado pela função T(n) = A.(n)B, sendo A e B constantes e n o número de copos de água que se deseja aquecer.
Número de copos Tempo de aquecimento
1 1 minuto a 30 segundos
2 2 minutos
a) Com base nos dados da tabela, determine os valores de A e B.
(Sugestão : use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,45)
b) Qual o tempo necessário para se ferverem 4 copos de água nesse forno de micro-ondas ?
02. O gráfico abaixo corresponde a uma função exponencial da forma f(x) = (2)a.x + b sendo a e b constantes e x ∈ .
a) Calcule os valores de a e b da expressão de f(x) que correspondem a esse gráfico.
b) Calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 1. c) Dado k > 0 qualquer, mostre que o ponto
( )
22
x log 4k= satisfaz a equação f(x) = k.
03. O teste de alcoolemia informa a quantidade de álcool no sangue levando em conta fatores como a quantidade e o tipo de bebida ingerida. O código de transito brasileiro determina que o limite tolerável de álcool no sangue, para uma pessoa dirigir um automóvel, é de até 0,6 g/L. Suponha que um teste de alcoolemia acusou a presença de 1,8 g/L de álcool no sangue de um indivíduo. A partir do momento em que ele pára de beber, a quantidade, em g/L, de álcool no seu sangue decresce segundo a função Q(t) = 1,8.(2)–0,5 t, sendo o tempo t em horas. a) Quando t = 2, qual é a quantidade de álcool no
sangue desse indivíduo ?
b) Quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantidade de álcool no seu sangue atingirá o limite favorável para ele poder dirigir ?
(Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47)
04. Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor “X” que satisfaz a equação N = 10x e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log 2 = 0,30 e log = 0,47, utilizando esse método determine o número “X” inteiro que mais se aproxima de N (2)130 . (3)30.
05. Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias do tipo I era dado pela função f(x) = 2.(3)t + 1, e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função g(x) = 3.(2)4 – 2t, ambas em função do número t de horas.
a) Qual era o número de bactérias, de cada tipo, no instante inicial do experimento?
b) Após quantos minutos,aproximadamente, a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II ? (Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47)
06. Um medicamento é administrado continuamente a um paciente, e a concentração desse medicamento em mg/ml de sangue aumenta progressivamente, aproximando-se de um número fixo S, chamado nível de saturação. A quantidade Q(t) desse medicamento na corrente sanguínea é dada pela fórmula Q(t) S. 1 0,2= −
( )
t, sendo t dado em horas.a) Após quantas horas,aproximadamente , a quantidade desse medicamento na corrente sanguínea fica exatamente igual a metade do valor do nível de saturação ?
(Use log 2 = 0,30)
b) Após 1 horas a quantidade desse medicamento na corrente sanguínea fica exatamente igual qual porcentagem do valor do nível de saturação ? 07. Uma determinada substância radioativa desintegra-se
com o tempo, segundo a função M(t) = M0.(e)–Kt, sendo M0, a massa inicial, K uma constante característica da substância (K ≠ 0) e t o tempo dado em anos. Sabendo-se que a quantidade inicial de 100 g dessa substância radioativa diminui para 50 g em 28 anos, calcule quanto tempo será necessário para que 100 g dessa substância se reduzam a 25 g.
08. Um grupo de estudantes resolveu repetir a medição da altura do Pico da Neblina feita na década de 60. Para isso, escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efetuaram várias medições da pressão atmosférica no local e obtiveram o valor médio de 530 mmHg. A pressão atmosférica P(h) a uma dada altura h (em metros, em relação ao nível do mar) é fornecida pela função P(h) = P0.(e)αh, sendo e a base do sistema de logaritmos neperianos,
P0 = 760 mmHg a pressão atmosférica no nível do mar, e a um número que depende principalmente da tempe-ratura média no local de medição. Sabendo-se que, nas condições desse experimento, α = –0,0012 e que os estudantes usaram valores aproximados ln 760 = 6,63 e ln 530 = 6,27, qual foi a altura que encontraram no Pico da Neblina? 09. Dado o sistema
( )
(
)
x 4 y 2 1 2 2 log 2x y 1 + = + = , determine o valor de(
)
4 x y− .EXPONENCIAIS E LOGARÍTMOS
10. Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:
a) O capital acumulado após 2 anos.
b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.
(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 ). 11. Determine a solução (x,y), com y > 1 para o sistema
(
)
(
)
y 3y log 9x 35 6 log 27x 81 3 − = − = .12. Determine a soma dos valores reais, que formam o conjunto solução da equação
16 x
5 logx log2
4
+ = .
13. O valor de um automóvel sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de R$ 40.000,00 , depois de quantos anos o valor desse carro será de R$ 16.000,00 ? (Use o valor de 0,3 para log2 e o valor de 0,48 para log 3).
14. Determine o conjunto solução da equação exponencial
(
)
5( )
x 1( )
x 2( )
x 3( )
x 4 x 1.000 =900. 10 − + 10 − + 10 − + 10 − +... ,
com (x >0).
15. As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhões de habitantes pelas funções
( )
( )
68
A t log 1 t= + e
( )
(
)
2
A t log 4 4t= + , onde a variável t representa o tempo em anos.
a) Qual é a população, em milhões de habitantes, em cada uma das cidades para t = 7?
b) Após certo tempo t, essas duas cidades ficam com suas populações iguais. Determine o valor desse tempo t e também o valor da população, em milhões de habitantes, em cada uma destas cidades neste tempo t. Gabarito 01. a) A = 1,5 e B = 0,5 b) 3 min 02. a) a = ½ e b = – 1 b) x = 2 c)
( )
2 2 x log 4k= 03. a) 0,9 g/L b) 3h 8 min 04. 50 05. a) I = 6 e II = 48 b) 50,4 min 06. a) 0,428 horas b) 80% 07. 56 anos 08. 3.000 m 09. 2 10. a) R$ 13.996,80 b) 10 11. (11, 2) 12. 18 13. 20 anos 14. 3 15. a) cidade A = 6 e cidade B = 5 b) 3 anos e 401. Na função f a bi det
(
)
a bi 1 i i 1 2i+ +
+ =
− − , a e b são números reais e i é a unidade imaginária.
Considerando que para calcular o determinante acima usa-se a mesma regra de determinantes de matrizes com números reais:
a) Calcule f(1 + I) e f(0).
b) Encontre os números reais a e b tais que f(a + bi) = 0. 02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e I é a matriz
identidade de mesma ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais a e b tais que (A)n = α.A + β.I.
Dada a matriz A 2 3 0 1
= :
a) Encontre α e β tais que (A)2 = α.A + β.I.
b) Multiplicando a expressão do item anterior pela matriz inversa A–1, obtém-se a expressão A = α.I + β.A–1. Use esta informação para calcular a matriz A–1. 03. Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas
por elementos inteiros pares receba o nome de EVEN. Seja M uma matriz 2 × 2, com elementos reais, tal que
2 3x M x 1 x = + .
Admita que M seja EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a 2. a) Determine o valor de x nas condições dadas. b) Determine a inversa de M nas condições dadas. 04. Dadas as matrizes 2 1 A 2 2 0 1 − = − e B 1 2 3 2 1 1 − = , sendo N = 50 + det(AB), determine o valor de N. 05. Qual valor do determinante da matriz abaixo?
2 2 2
2 2 2
1 1 1
tg tg tg
1 1 1
cos cos cos
α β θ α β θ 06. Dadas as matrizes A 1 x y z = , 1 2 B 1 1 = e 4 5 C 36 45 =
com x, y e z números reais. Se A.B = C , determine: a) A soma dos elementos da matriz A.
b) Determine, se possível, a matriz inversa de A. 07. Seja a matriz
8 4 16
logx logx logx
A 1 1 1 1 2 2 = , determine o valor
de x, sabendo que det A 3 2 = − .
08. Se x é um número real positivo, tal que A 1 1 x 0 − = e x 1 B 1 1 − = − e det(A.B) = 2, calcule: a) O valor de (x)–x. b) A matriz inversa de B. 09. Considere a matriz 1 2 3 M 2 3 2 3 2 x =
. Calcule a soma das raízes da equação det(M2) = 25.
10. Considere a matriz quadrada A de ordem “n”, sendo n inteiro e positivo, definida por A = (aij) tal que
( )
ij i j ij a 0,para i j a 2 ,para i j+ = ≠ = = Com base nos dados do enunciado, determine: a) O valor do determinante da matriz A.
b) O valor do determinante da matriz A, admitindo ser a matriz A de ordem 2.
c) O valor do traço da matriz A, admitindo ser a matriz A de ordem 3. 11. Dada a matriz 2 logx 1 3 H 0 logx 1 1 0 1 − = − , determine: a) Os valores de x que garantem que a matriz H seja
invertível.
b) O valor do determinante da matriz H para x = 10. 12. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos
de sua diagonal principal. Se os números inteiros x e y são tais que a matriz
2 1 0 3 x 4 1 1 y
tem traço igual a 4 e determinante igual a –19, então determine o valor do produto xy.
13. Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde 1 1 1 A 3 0 x 2 0 2 3 − = − .
Com base na fórmula p(x) = det A, determine: a) O peso médio de uma criança de 5 anos;
b) A idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
14. Se A = x 1 2 3 , B = − − 0 1 4 y , det(A.B) = 0 e se
det(A + B) = 0, então determine: a) Os valores de x e y.
b) O valor de det(A) + det(B).
15. Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3, det A = d, det (2A.At) = 4.k, sendo At a transposta de A e d a ordem da matriz B. Se det B = 2 e det (3.B) = 162. Com base nos dados descritos no enunciado, determine o valor (k + d). Gabarito 01. a) 2 e –1 + i b) a = 3/5 e b = 1/5 02. a) α = 3 e β = –2 b) A1 12 32 0 1 −= − 03. a) x 1 2 = − b) M1 2 6 2 8 − − = − 04. 50 05. 0 06. a) 40 b) não possui 07. 64 08. a) 1/4 b) B1 1 1 1 2 − − = − − 09. –14 10. a) (2)n2 + n b) 64 c) 84 11. a) x 1 e x 10 10 10 ≠ ≠ b) –6 12. –3 13. a) 18 Kg b) 11 anos 14. a) x = 2 3 e y = 3 b) 4 15. 36
01. No diagrama abaixo, os números dos círculos grandes são obtidos a partir de uma determinada regra.
a) Descreva a regra pela qual os números dos círculos grandes desse diagrama são obtidos.
b) Sabendo-se que os números dos círculos maiores do diagrama abaixo são obtidos pela mesma regra do diagrama anterior, determine a, b, c, d, de modo que esses números sejam inteiros positivos.
02. Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço deste perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. Qual o preço que esse perfume era vendido em dezembro ?
03. Uma parábola é o gráfico de uma função da forma y = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0.
a) Encontre a função cujo gráfico é a parábola que contém os pontos P = (–1; 2), Q = (1; 2) e R = (2; 5). (Sugestão: utilize os pontos dados para construir um sistema linear.)
b) Existe uma parábola que contém os pontos P = (–1;–1), Q = (1; 3) e R = (2; 5). Justifique. 04. Encontre a solução do sistema linear
x y z w 1 x y z w 0 x y z w 1 x y z 2 − + + + = − + + − + − + = − − + =
(sugestão: utilize o processo de escalonamento ou o de substituição de variáveis.)
05. Luiz Carlos investiu R$ 10.000,00 no mercado financeiro da seguinte forma: parte no fundo de ações, parte no fundo de renda fixa e parte na poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1.018,00 em juros simples dos três investimentos. Nesse período de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%. Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações apenas metade do que ele investiu na poupança, determine os juros que ele obteve, respectivamente, em cada um dos investimentos. 06. Artur e Isabel viajaram para o litoral nas férias e
passa-ram por 3 locais diferentes, permanecendo 7 dias em Guaratuba, 3 dias na Ilha do Mel e 5 dias em Matinhos. O casal gastou R$ 1.220,00 em hospedagem, sendo que a diária do hotel de Guaratuba é 2/3 da diária da Ilha do Mel, e esta última é o dobro da diária do hotel de Matinhos. Quanto eles gastaram em hospedagem em cada um dos lugares visitados ?
07. Os clientes de um determinado banco podem fazer saques no caixa automático, no qual há cédulas disponíveis nos valores de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00. Considerando que um cliente fez um saque no valor de R$ 300,00.
a) De quantas formas diferentes ele pode sacar esse valor com exatamente 20 cédulas ?
b) Com a quantidade igual de Cédulas de cada um dos três valores disponíveis, qual é o número de formas diferentes ele pode sacar esse valor ?
08. Considere o seguinte sistema linear:
(
) (
)
mx 4y 5z m 1 2x m 1 y m 1 z 4 1x 1y 2z 2 + + = + + − + + = + + = Sabendo que esse sistema é possível para qualquer m real:
a) Resolva o sistema para m = 2.
b) Encontre os valores de m que tornam esse sistema possível e indeterminado.
09. Em um exame, foi usado o seguinte critério de correção: I. Para cada questão respondida corretamente o
candidato recebeu 5 pontos;
II. Para cada questão respondida incorretamente o candidato perdeu 2 pontos;
III. Para cada questão em branco o candidato perdeu 1 ponto.
A tabela abaixo apresenta o desempenho, nesse exame, dos candidatos Antônio e Maria.
Nº de questões respondidas corretamente Nº de questões respondidas incorretamente Nº de questões em branco Pontos obtidos Antônio 2y + 2z y z 84 Maria 3y + z y – z y 100
Com base nos dados acima, determine o número de questões do exame.
DETERMINANTES E SISTEMAS
10. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6kg de farinha, responda às questões abaixo.
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo
do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?
11. João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgue-res, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 ham-búrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
12. Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10.000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa R$ 3.300,00, calcule:
a) Calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.
b) Se a quantidade de maçãs e de peras for toda trocada por laranjas(uma por uma), determine qual será a quantidade total de caixas de laranjas transportadas por este caminhão.
13. Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.
a) Quantos reais cada um tinha inicialmente? b) Qual o rendimento da aplicação de risco?
14. A tabela abaixo indica o consumo efetuado num restau-rante, em três mesas diferentes, especificando as porções consumidas de cada alimento e a conta em reais.
Sendo x reais a conta da mesa III, calcule x.
Número de porções consumidas Valor da
conta R$ Arroz Feijão Frango Refrigerante
Mesa I 3 2 3 4 11,00
Mesa II 2 1 1 2 6,00
Mesa III 6 5 9 10 x
15. Num grande acampamento militar há 150 blindados dos tipos BM3, BM4 e BM5, isto é, equipados com 3, 4 e 5 canhões do tipo MX9 respectivamente. O total de canhões disponíveis é igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2/3 dos BM3. Se para o início de uma manobra militar, cada canhão carrega 12 projéteis, determine:
a) Quantos blindados de cada tipo temos neste acam-pamento ?
b) Quantos projéteis serão necessários para o grupo todo dos BM4 no início da operação?
Gabarito
01. a) a soma dos menores é igual ao maior adjacente. b) {20 – d; d – 8; 19 – d; d}
02. R$ 60,00 03. a) y = x2 + 1
b) não, pois são alinhados 04. x = 3/2 y = 2 z = 5/2 w = –2 05. Ação = R$ 270,00 Renda = R$ 460,00 Poupança = R$ 288,00 06. Guaratuba = R$ 560,00 Ilha = R$ 360,00 Matinhos = R$ 300,00 07. a) 4 b) 0 08. a) {1, –1, 1} b) m = 1 e m = 3 09. 30
10. a) não, pois faltará farinha b) Tipo A: 22,5 kg; tipo B: 5 kg 11. Hambúrguer = R$ 4,00 Suco = R$ 2,50 Cocada = R$ 3,50 12. a) 2.000 maçãs 3.000 peras 5.000 laranjas b) 100 caixas 13. a) Carlos = 20 mil Luís = 30 mil Sílvio = 50 mil b) 60% 14. R$ 26,00 15. a) BM3 = 90 BM4 = 40 BM5 = 20 b) 1920
01. O Festival de Dança de Joinville é considerado o maior do mundo pelo Guinnes Book of Records de 2005.
Desde 1998, este festival é realizado no Centreventos Cau Hansen, que tem capacidade para 4.200 pessoas por noite. Suponha que no 28º Festival de Dança, realizado em julho de 2010, houve uma noite exclusiva para cada uma das seguintes modalidades: ballet, dança de rua e jazz. A noite da dança de rua teve seus ingressos esgotados; na noite do jazz restaram 5% dos ingressos; e a noite do ballet teve 90% dos ingressos disponíveis vendidos. Sabe-se que algumas pessoas costumam prestigiar mais de uma noite do Festival. Neste ano, 700 pessoas assistiram à dança de rua e ao jazz; 1.610 assistiram ao ballet e à dança de rua; 380 assistiram ao ballet e ao jazz e 105 prestigiaram as três modalidades de dança. Se todas as pessoas que adquiriram os ingressos do Festival assistiram à(s) apresentação(ões), então qual o número total de pessoas distintas que assistiu a pelo menos uma das três modalidades anteriormente mencionadas?
02. Mediante uma pesquisa de mercado foi constatado que 200 pessoas utilizam pelo menos um dos sabonetes A ou B. Sabendo que 80 dessas pessoas não usam a marca A e que 70 pessoas usam somente o sabonete A, qual é o número de pessoas que utilizam o sabonete A? 03. O controle de vacinação em uma creche indica que,
dentre 98 crianças cadastradas, 60 receberam a vacina Sabin, 32 foram vacinadas contra o sarampo e 12 crianças não foram vacinadas. Dessa forma, qual o número de crianças que não receberam exatamente as duas vacinas?
04. Para avaliar o aspecto disciplinar dos jogadores em certo campeonato de futebol, depois de selecionada uma partida para cada time participante do campeonato, foi feito um levantamento das faltas cometidas pelos jogadores durante essas partidas. O resultado obtido indicou que, dentre os jogadores que cometeram pelo menos uma falta, 20 receberam cartão amarelo ou vermelho e dentre eles:
• 6 receberam cartão vermelho após ter recebido o amarelo;
• 4 receberam cartão vermelho sem ter recebido o amarelo.
Com base nesses dados, nas partidas selecionadas, qual o número de jogadores que receberam cartão amarelo pelas faltas cometidas?
05. Dados A e B conjuntos, a operação de diferença simétrica (⊕) é definida por
A ⊕ B = A ∪ B – A ∩ B. Se A = {1, {1}, ∅, a} e B = {1, 2, {∅}, a, b} então o conjunto A ⊕ B é igual a:
Matemática 2
06. A expressão 1,101010... 0,111... 0,09696...
+
é igual a:
07. Dois representantes de laboratórios farmacêuticos estiveram numa determinada cidade no dia 1º de março de 2010. Um deles voltou a cidade 21 dias depois, e o outro 35 dias depois. Durante todo o ano de 2010, os dois visitaram a cidade com esses intervalos constantes (21 e 35 dias). Pode-se afirmar que, depois do dia 1º de março, o primeiro dia em que a presença simultânea dos dois, nessa cidade ocorreu, foi:
08. Em Aracaju, os estudantes do Curso de Recreação que optarem por estágios em ONGs, que acolham grupos da terceira idade são, automáticamente, participantes do Festival de Conhecimentos do qual faz parte a resolução das questões a seguir.
Considerando que conjuntos numéricos podem ser representados sob a forma M = [0, 3], N = [− ∞, 3] e P = [− 2, 3], o vencedor deverá afirmar que (N − M) ∩ P representa o conjunto em qual intervalo?
09. De um ponto A, situado no mesmo nível da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 20° ≈ 0,36 e tg 18° ≈ 0,32
10. Uma pessoa construiu um triângulo ABC, retângulo em A, em que o ângulo C media α e os lados AB e BC mediam, respectivamente, (3 . cos α) e 6. Nessas condições, qual a tangente do ângulo α?
11. Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 12
13. Qual o valor do cosseno, tangente, cotangente, cossecante e da secante desse ângulo?
12. Seja m ∈ tal que existe um ângulo x com cos x = 2 m 1− e tg x = m 2− . Qual o valor de 2m – 1?
13. Na figura, temos duas circunferências concêntricas coplanares. Sendo OM = PQ = 2 cm, e 3 cm o comprimento do arco PM,qual o comprimento do arco QN?
14. O valor da expressão tg 5 3
π
3tg (–210°) é:
15. Um triângulo tem dois dos seus ângulos internos medindo α e 2α, os lados opostos a estes ângulos têm 1 cm e 2 cm de comprimento, respectivamente. O ângulo a mede: Gabarito 01. 9.385 02. 120 03. 92 04. 16 05. {{1}, ∅, {∅}, 2, b} 06. 12,5
07. Na primeira quinzena de junho. 08. [–2, 0[ 09. 45 10. 0,5 11. cossec = 1312 cos = 5 13 sec = –13 5 tang = –12 5 cotang = – 5 12 12. 16 13. 6 14. 0 15. 45°
01. Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen (2πt) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos.
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em
t = 0 s; t = 0,75 s.
b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?
02. No dia primeiro de janeiro de 2011, ocorreu a cerimônia de posse da nova Presidente da República. Um dos atos solenes desta cerimônia foi a subida da rampa do Palácio do Planalto, sede do governo brasileiro que pode ser vista na Figura abaixo.
Palácio do Planalto. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/ Ficheiro:Palacio_do_Planalto.JPG>. Acesso em: 12/8/2010. Suponha que essa rampa possua uma elevação de 15° em relação à sua base e uma altura de 3 m. Então a nova Chefe de Estado, ao subir toda a rampa presidencial, percorrerá uma distância de quantos metros?
03. Sabendo que sen 30° = 1
2, qual o valor de sen 15° . cos15°?
04. Quantas soluções a equação trigonométrica sen4x – cos4x = 1
2 admite no intervalo fechado com extremos 0 e 35π?
05. Calcule as soluções da equação (sen x)3 . cos x – sen x . (cos x)3 = 1
4.
06. Na ilustração abaixo, temos dois retângulos congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm. Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação 3 ≈ 1,73.
07. O conjunto solução da equação senx . cosx = 2 4 , para x e [0, 2π] é:
08. Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela função h(t) = 3 + 0,2 . cos .t
6 π
, onde é medido em horas a partir da meia noite.
Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento das marés.
Desse modo,
a) qual a altura máxima atingida pela maré?
b) em quais horários isto ocorre no período de um dia? 09. Analise cada uma das proposições seguintes e conclua
sobre sua respectiva veracidade. )
( Sejam x – 1, x e x + 1 as medidas dos lados de um triângulo, numa dada unidade de comprimento. Se um dos ângulos internos desse triângulo mede 120°, o seu perímetro, na unidade de comprimento considerada é 7,5.
)
( (sen 2.550°) . [tg (–2.115°)] + (cos 1.560°) . (cotg 1.665°) > 0.
)
( Considerando que a é um número real tal que 0 < α < 2p, então o menor número inteiro m que satisfaz a sentença cos α = 1 3m
5 −
é igual a – 2. )
( Se a é um arco trigonométrico tal que sec a < 0 e cotg a > 0, então a pertence ao segundo quadrante. )
( A equação cossec x = 2 . sen x admite apenas oito soluções no intervalo [–2π, 2π[.
10. Um turista caminhando em linha reta, ao longo da orla da praia de atalaia, vai do ponto P ao ponto Q, fazendo um percurso de 800 metros. Quando em P, ele avista um navio parado no ponto N, de tal maneira que o ângulo NPQ é de 30°, e quando em Q, verifica que o ângulo NQP é de 45°.
Com base nessas informações, qual a distância, em metros, do navio à praia?
11. Suponha que sec α = x e tg α = x – 1, então qual o valor de x?
12. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) = 3 cos x 0 – sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir.
Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f: ) ( f(x) = 2 . sen x 6 π +
, para todo x real. )
( f é periódica com período 2π. ) ( As raízes de f(x) são – 6 π + 2kπ, com k inteiro. ) ( f(x) ≥ –3 , para todo x real. ) ( f(x) ≤ 2, para todo x real.
13. A Figura abaixo representa uma torre de altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos L1 e L2, fixados nos pontos C e D, respectivamente.
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição das distâncias entre esses pontos. Apenas com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo (L1 + L2) que usou para fixar a torre.
O valor encontrado, usando 3 = 1,73 e BD = 10 m, é
14. Considere tga e tgβ raízes da equação 2x2 – x + 1 = 0. Se 0≤ α + β ≤ π, então qual a medida de α + β? 15. Se sen x = 21 e x é um arco do 2 quadrante, então qual
o valor do cos 2x? Gabarito 01. 0,75 seg 02. 6 3 + 6 m 03. 1 4 04. 70 05. x 3 k 4 2 π π = + , com k inteiro. 06. 10,32 cm 07. ,3 9 11, , 8 8 8 8 π π π π 08. a) 3,2 b) 0h, 12h e 24h 09. F, F, F e V 10. 400 ( 3 –1) 11. 1 12. F, V, F, F e V 13. 54,6 14. 45° 15. 21
01. A soma dos coeficientes do primeiro, segundo e terceiro termos do desenvolvimento de m 2 1 x x + é 46. O termo independente de x vale: 02. Considere o binômio 4 2 3x x + . Calcule os seguintes itens: a) a soma dos coeficientes do desenvolvimento. b) o termo central do desenvolvimento.
03. Aproveitando a Semana de Promoções de um Shopping Center, um jovem verifica que tem dinheiro para comprar apenas 3 dos 24 DVDs disponíveis em uma loja. De quantas maneiras diferentes esse jovem poderá fazer sua escolha?
04. Para fazer uma “cama de gato”, é necessário ligar com cordão, os cinco pontos de uma circunferência que constitui um conjunto. Considerando-se que existem n polígonos, cujos vértices pertencem a esse conjunto, pode-se afirmar que o valor de n é:
05. Um tanque de um pesque-pague contém apenas 15 peixes, sendo 40% destes carpas. Um usuário do pesque-pague lança uma rede no tanque e pesca 10 peixes. O número de formas distintas possíveis para que o usuário pesque exatamente 4 carpas é:
06. A importação ilegal de 9 carros esportivos foi detectada pela policia federal de um pais. Decidiu-se então, que o lote de carros iria a leilão. Os carros eram idênticos e foram leiloados um a um. De quantas maneiras diferentes esses carros podem ter sido distribuídos entre os quatro compradores que os adquiriram no leilão? 07. Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve ser
escolhida em uma turma com vinte estudantes, para participar de uma olimpíada. De quantas maneiras a equipe pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimpíada no ano anterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudantes, deve fazer parte da equipe? 08. Quatro amigos (duas moças e dois rapazes) estão se
colocando lado a lado para tirar uma foto. O número de maneiras diferentes que eles poderão se organizar, de modo que as moças e os rapazes fiquem intercalados, é: 09. Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas
geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 82%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade?
10. Sete cadeiras estão enfileiradas. Júnior escolhe uma delas, aleatória e com mesma probabilidade, e senta-se. Em seguida, Beatriz escolhe uma das cadeiras restantes, ao acaso e com igual chance, e senta-se. Qual a probabilidade de Júnior e Beatriz estarem sentados lado a lado?
11. Considerando o espaço amostral constituído pelos números de 3 algarismos distintos, formados pelos algarismos 2, 3, 4, e 5, assinale a opção em que consta a probabilidade de que, ao escolhermos um destes números, aleatoriamente, este seja múltiplo de 3. 12. Considere o conjunto de todos os números de cinco
algarismos distintos, formados com os algarismos 1, 3, 5, 8 e 9. Escolhendo, aleatoriamente, um elemento desse conjunto, calcule a probabilidade de o número escolhido ser menor que o número 58.931.
13. Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Companhia B. Suponha que 96% das telhas compradas de A são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com defeito, calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p.
14. Uma gaveta contém 6 meias azuis e 4 meias pretas. Escolhendo, aleatoriamente, 4 meias da gaveta, qual a probabilidade de elas formarem um par de meias azuis e outro de meias pretas?
a) 1/9 b) 1/7 c) 2/7 d) 3/7 e) 1/5
15. Considere três caixas contendo bolas brancas e pretas, conforme ilustra a figura.
Uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 1 e coloca-da na caixa 2. Então, uma bola é retiracoloca-da aleatoriamente da caixa 2 e colocada na caixa 3. Finalmente, uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 3. Calcule a proba-bilidade de que essa última bola retirada seja branca.
ANÁLISE COMBINATÓRIA E
Gabarito 01. 84 02. a) soma = 1 b) termo central = 216 03. 2.024 04. 16 05. 1.260 06. 56 07. 3.876 08. 8 09. 28% 10. 2/7 11. 1/2 12. 65/120 13. 75% 14. d 15. 22/45
01. O gráfico ao lado representa a velocidade de um veículo durante um passeio de três horas, iniciado às 13h00.
De acordo com o gráfico, o percentual de tempo nesse passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de:
02. Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 carros a mais que em 2009. Ao lado temos um gráfico ilustrando as vendas nesses dois anos.
Nessas condições, pode-se concluir que a média aritmé-tica simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de:
03. Em uma cidade de 250.000 habitantes, aproximadamente 10.000 foram vacinados contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1?
04. O gráfico de setores abaixo ilustra como a massa de um homem de 80 kg está distribuída entre músculos, gordura, ossos e outros. O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com base nesse gráfico, responda às perguntas:
a) Quantos quilogramas de músculos esse homem possui?
b) Juntos, gordura e ossos representam que percentual da massa desse homem?
05. Considerando a tabela abaixo, em que constam os resultados obtidos em uma eleição para prefeito de um certo município, responda os seguintes itens:
Candidato Porcentagem do total de votos Número de vo-tos em milhares A 46% B 32% C 19% Nulos e Brancos 9,75
a) Qual o total de eleitores que votaram para prefeito? b) Em um gráfico de setores circulares, qual seria
a medida do ângulo central correspondente ao candidato B?
06. João Apostador passou em frente a uma lotérica e resolveu fazer uma “fezinha”. Entre todas as loterias disponíveis, escolheu a Mega Sena e fez uma aposta simples. Porém, ao assinalar os números cometeu um equívoco, assinalando 7 números no cartão. Sabendo que os jogos da Mega Sena são compostos de 6 números, e cada aposta com 6 números custa R$ 2,00, qual o custo do cartão preenchido por João?
07. Em uma pesquisa para saber a intenção de voto de 135.000.000 de eleitores, foi escolhida uma amostra de 2.700 pessoas, o que corresponde a 0,002% do total dos eleitores. Esse percentual representa a pesquisa da opinião de duas pessoas para deduzir qual é a intenção de voto de __________ eleitores.
Qual é o valor que completa a lacuna acima, de modo a tornar a sentença verdadeira?
08. O gráfico mostra o número de gols por temporada, marcados pelo atacante brasileiro Ronaldo “fenômeno”, até maio de 2009.
Se não for considerado o ano de 2000, em que o craque esteve em tratamento de uma séria lesão no joelho e praticamente não jogou, a sua média de gols entre 1997 e 2008 foi de, aproximadamente:
09. O gráfico a seguir apresenta uma previsão, para os próximos dez anos, do volume de negócios, em milhões de dólares, e o crescimento das áreas dinâmicas da biotecnologia médica.
DIEGUEZ, Flávio. A guerra dos genes. Revista Fórum, Ano 9, ago. 2010. Neste gráfico, as áreas dos círculos são proporcionais ao respectivo volume de negócios, e a área do círculo associado à Europa é proporcional a 1,75 × 109 dólares. Assim, sendo R o raio do círculo referente aos Estados Unidos e R 7
4 o raio do círculo referente à Europa, calcule o valor do volume de negócios dos Estados Unidos para os próximos dez anos.
10. Em uma cidade com três mil habitantes, cada morador escova os dentes, em média, três vezes ao dia durante três minutos. Considerando que cada habitante deixa a torneira parcialmente aberta durante a escovação e desperdiça, em média, cinco gotas de água por segundo, quantos litros de água, em média, são desperdiçados a cada 30 dias nessa cidade? Dado: 1 mL = 20 gotas 11. Realizada uma pesquisa na Escola Vamos Estudar para
saber o número de horas que seus alunos dormem por dia, encontrou-se o resultado apresentado no quadro a seguir:
Número de horas Número de alunos
3 5
5 10
7 14
9 8
11 3
Qual o tempo médio dormido pelos alunos dessa Escola?
12. O site de uma cidade criou uma enquete para que os munícipes atribuíssem notas de 1 a 10 para a qualidade do ensino ofertado na rede municipal de educação. Com as notas das 500 pessoas que responderam a enquete, os organizadores elaboraram um gráfico (conforme Figura a seguir) de frequência para divulgar o resultado.
Gráfico de frequência das notas atribuidas à qualidade de ensino. De acordo com o resultado apresentado no gráfico da figura acima, qual a média aritmética, a mediana e a moda das notas?
13. O salário médio, em reais, dos funcionários de uma empresa, conforme nos mostra a tabela de distribuição abaixo, é:
Faixa Salarial
(Em reais) FuncionáriosNúmero de
800 ├ 1.100 300 1.100 ├ 1.400 600 1.400 ├ 1.700 150 1.700 ├ 2.000 50 2.000 ├ 2.300 30 2.300 ├ 2.600 20
14. O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb
Número de
chamadas 3 4 6 9 5 7 8
Calcule os seguintes itens:
a) O número médio de chamadas dos últimos sete dias. b) O desvio padrão.
15. Uma determinada região apresentou, nos últimos cinco meses, os seguintes valores (fornecidos em mm) para a precipitação pluviométrica média:
jun jul ago set out
32 34 27 29 28
A média, a mediana e a variância do conjunto de valores acima são, respectivamente:
Gabarito 01. 50% 02. 540 carros 03. 2 habitantes 04. 37,5 % 05. a) 325 mil b) 115,2 graus
06. R$ 14,00, pois é possível formar 7 combinações. 07. 100.000
08. 26,18
09. 4 × 109 Dólares
10. 12.150.000 mL que corresponde a 12.150 litros de água. 11. 6h 42 min 12. 5.54, 6 e 6 13. 1.281,30 14. a) 6 b) 2 15. 30; 29 e 6,8
01. As retas (r) 2x + 3y − 14 = 0 e (s) 3x − 5y − 2 = 0 do plano cartesiano interceptam-se no ponto P. Qual a distância do ponto P até a origem do sistema de coordenadas ? 02. A reta t do plano cartesiano passa pelo ponto (−8, 0) e
tangencia a circunferência de equação (x − 5)2 + y2 = 25 num ponto do 1º quadrante, como representado no esquema.
Qual o coeficiente angular da reta t?
03. Em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, com unidades nos eixos medidas em centímetro e com origem no ponto Q(0, 0), as retas 3x + y – 18 = 0 e 2x – y + 8 = 0 interceptam os eixo-x e eixo-y respectiva-mente nos pontos R e S. Se estas retas se interceptam no ponto P, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos P, R, Q e S, em cm2, é: 04. Qual o perímetro de um triângulo de vértices D(–2, 0),
E(0, 4) e F(0, –4) ?
05. Na figura a seguir, os pontos A, B estão no gráfico das funções y = 2x e y = 1 x
2
e os segmentos AD e BC são paralelos ao eixo y. O perímetro do quadrilátero ABCD, em cm, é:
06. Os gráficos da função quadrática f (x) = 4 − x2 e da reta r estão representados a seguir. Então r tem equação:
07. O quádruplo da área de um triângulo de vértices B(0, –1), C(1, 2) e D(–3, 1) é:
08. A equação reduzida da reta que intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e o eixo x no ponto (2, 0), é:
09. Considerando-se os pontos M(–3, 4), N(–1, 1) e Q(1, 4), pode-se afirmar que uma equação da reta que contém a altura relativa ao lado MN, do triângulo MNQ, é: 10. Observe o gráfico.
Qual a Lei de formação da função?
11. O gráfico a seguir mostra as posições, em função do tempo, de dois ônibus que partiram simultaneamente. O ônibus A partiu de Cuiabá para Jaciara e o ônibus B partiu de Jaciara para Cuiabá. As distâncias são medidas a partir de Cuiabá. A que distância de Cuiabá, em quilômetros, ocorre o encontro entre os dois ônibus?
GEOMETRIA ANALÍTICA
12. São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8).
a) Escreva a equação reduzida da circunferência que tem centro no ponto médio do segmento AB e contem os pontos A e B:
b) Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A, no qual a circunferência intercepta o eixo y.
13. A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.
a) Sabendo que A + (8,4) e que r : 3y + x = 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D.
14. O retângulo ABCD está inscrito na circunferência de equação x2 + y2 – 2x – 4y – 8 = 0. Seja A (– 2, 4) um dos vértices da diagonal AC. Então qual a soma das coordenadas do vértice C?
15. Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. Quais as coordenadas do ponto P?
Gabarito 01. 2 5 02. 5 12 03. 44 04. 4 (2 + 5) u.a 05. 9 + 13 06. x – y + 2 = 0 07. 22 08. y = –2x + 4 09. 2x – 3y + 10 = 0 10. y = 7x 19 2 2 − + 11. 70 Km 12. a) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 b) (0,8) 13. a) 30 b) (5,5) 14. 4 15. (24,12)
